高考数学-对数函数图像和性质及经典例题
专题27 对数函数的图像和性质(一)(解析版)
专题27 对数函数的图像和性质（一）题组1 对数函数的图像1.已知函数f (x )＝133,1log ,1x x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩则函数y ＝f (1－x )的大致图象是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】先画出函数f (x )＝133,1log ,1x x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩的草图，令函数f (x )的图象关于y 轴对称，得函数f (－x )的图象，再把所得的函数f (－x )的图象，向右平移1个单位，得到函数y ＝f (1－x )的图象，故选：D.2.函数f （x ）=10x 与函数g （x ）=lgx 的图象 A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于y=x 对称【答案】D【解析】因为f （x ）=10x 与函数g （x ）=lgx 是一对反函数，所以其图象关于y=x 对称. 故选D. 3.函数f （x ）=ln|11xx+-|的大致图象是（ ） A. B. C. D.【答案】D【解析】因为()()11lnln 11x xf x f x x x-+-==-=-+-，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，可排除,A C ；由()2ln30f =>,可排除B ，故选D.4.函数f （x ）=log 2（x+1）与g （x ）=2﹣x +1在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】定义域为，函数为增函数；定义域为，函数为减函数，所以结合指数函数对数函数的性质可知B 图像正确5.已知函数f(x)＝－x 2＋2，g(x)＝log 2|x |，则函数F(x)＝f(x)·g(x)的图象大致为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，函数()(),f x g x 为偶函数，∴函数()()()F x f x g x =为偶函数，其图象关于y 轴对称， 故只需考虑0x >时的情形即可.由函数()(),f x g x 的取值情况可得，当0x >时，函数()F x 的取值情况为先负、再正、再负， 所以结合各选项得B 满足题意.故选B. 6.设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C.11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.11,,33⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】因为函数()()21ln 11f x x x =+-+定义域为R ，关于原点对称， 且()()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x xx -=+--=+-=++-， 所以函数()f x 是偶函数， 又()f x 在()0,∞+是增函数， 所以()()21f x f x >-等价于()()21fx f x >-，所以2213410x x x x >--+<，， 解得113x <<，故选：A7.函数2()ln(1)x xe ef x x --=+在[3,3]-的图象大致为（ ）A. B. C . D.【答案】C【解析】函数2()ln(1)x xe ef x x --=+，则2()()ln(1)x xe ef x f x x ---==-+，所以()f x 为奇函数，排除B 选项； 当x →+∞时，2()ln(1)x xe ef x x --=→+∞+，所以排除A 选项； 当1x =时，11 2.720.37(1) 3.4ln(11)ln 20.69e e e ef -----==≈≈+， 排除D 选项；综上可知，C 为正确选项， 故选：C. 8.函数()1ln 1y x x=-+的图象大致为（ ） A. B. C. D.【答案】A【解析】0x >时，函数为减函数，排除B ，10x -<<时，函数也是减函数，排除D ，又1x =时，1ln 20y =->，排除C ，只有A 可满足.故选：A. 9.函数()()22ln 11x f x x +=+的大致图像为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为()()22ln 11x f x x +=+是由()22ln xg x x=向左平移一个单位得到的， 因为()22ln ()(0)()xg x g x x x --==≠-，所以函数()22ln xg x x=为偶函数，图像关于y 轴对称， 所以()f x 的图像关于1x =-对称，故可排除A ，D 选项； 又当2x <-或0x >时，2ln 10x +>，()210x +>， 所以()0f x >，故可排除C 选项 故选：B .10.在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ） A. B. C. D.【答案】D【解析】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.故选：D11.函数()24ln x f x x=的部分图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为()24ln x f x x =是偶函数，排除B ，当01x <<时，ln 0x <，()204ln x f x x=<，排除C ， 当x e =时()214ef e =>，排除D.故选：A.12.已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）=x 2﹣2x ﹣3，求当x≤0时，不等式f （x ）≥0整数解的个数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A【解析】由函数为奇函数可知当x≤0时，不等式f （x ）≥0整数解的个数与0x ≥时()0f x ≤的个数相同，由奇函数可知()00f =，由2230x x --≤得()()320x x -+≤，所以整数解为1,2，3，所以满足题意要求的整数点有4个 13.若x 1，x 2是方程2x ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭+1-1x 的两个实数解，则x 1＋x 2＝________.【答案】-1 【解析】 ∵2x ＝1112x-+⎛⎫⎪⎝⎭，∴2x ＝112x -，∴x ＝1x－1，∴x 2＋x －1＝0. ∴x 1＋x 2＝－1. 故答案：－114.已知函数()lg f x x =.(1)画出函数()y f x =的草图,并根据草图求出满足()1f x >的x 的集合； (2)若0a b <<,且()()f a f b >,求证：1ab <. 【答案】(1)图见解析，(0，110)∪(10，＋∞).(2)证明见解析 【解析】(1)画出函数()y f x =的草图,如图所示：令()1f x =,则lg 1,lg 1x x ==±,可得10x =或110x =. 故满足()1f x >的x 的集合为1(0,)(10,)10⋃+∞. (2)证明：若0a b <<,且()()f a f b >,则lg lg a b >. 当01a b <<≤时, lg lg a b >显然成立且1ab <.当01a b <≤≤,因为lg lg a b >则lg lg lg +lg 0lg 01a b a b ab ab -><⇒<⇒<，成立 当1a b ≤<时, lg lg a b >不成立. 综上所述1ab <成立.15.已知函数2()4||3f x x x =-+，（1）试证明函数()f x 是偶函数；（2）画出()f x 的图象；（要求先用铅笔画出草图，再用黑色签字笔描摹，否则不给分） （3）请根据图象指出函数()f x 的单调递增区间与单调递减区间；（不必证明）（4）当实数k 取不同的值时，讨论关于x 的方程24||3x x k -+=的实根的个数；（不必求出方程的解） 【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）增区间()()+∞-,2,0,2减区间)2,0(),2,(--∞（4）①当1k <-时，方程无实数根；②当1k =-或3k >时，方程有两个实数根；③当3k =时，方程有三个实数根；④当13k -<<时，方程有四个实数根【解析】（1）()f x 的定义域为R ,且2()()4||3f x x x -=---+ 24||3()x x f x =-+=故()f x 为偶函数； （2）如图（3）递增区间有：()()+∞-,2,0,2 递减区间有：)2,0(),2,(--∞ （4）根据图象可知，①当1k <-时，方程无实数根；②当1k =-或3k >时，方程有两个实数根； ③当3k =时，方程有三个实数根； ④当13k -<<时，方程有四个实数根； 16.已知函数f (x )＝x ln x －x .（1）设g (x )＝f (x )＋|x －a |，a ∈R.e 为自然对数的底数.①当32a e=-时，判断函数g (x )零点的个数； ②1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数g (x )的最小值.（2）设0＜m ＜n ＜1，求证：()2201mf n m +<+ 【答案】（1）① g (x )有且仅有两个零点.②a －e.（2）证明见解析 【解析】（1）①当32a e =-时， g (x )＝x ln x －x ＋|x ＋32e |＝x ln x ＋32e， g′(x )＝1＋ln x ，当0＜x ＜1e 时，g′(x )＜0；当x ＞1e时，g′(x )＞0； 因此g (x )在(0，1e )上单调递减，在(1e，＋∞)上单调递增，又434412424g =0e e e e e -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，g (1e )＝－1e ＋23322e e e-=＜0，g (1)＝32e ＞0， 所以g (x )有且仅有两个零点. ②（i ）当a ≤1e时，g (x )＝x ln x －x ＋x －a ＝x ln x －a ， 因为x ∈[1e ，e ]，g′(x )＝1＋lnx ≥0恒成立， 所以g (x )在[1e ，e ]上单调递增，所以此时g (x )的最小值为g (1e )＝－1e－a .（ii ）当a ≥e 时，g (x )＝x ln x －x ＋a －x ＝x ln x －2x ＋a ，因为x ∈[1e ，e]，g′(x )＝ln x －1≤0恒成立， 所以g (x )在[1e ，e ]上单调递减，所以此时g (x )的最小值为g (e )＝a －e .（iii ）当1e ＜a ＜e 时，若1e≤x ≤a ，则g (x )＝x ln x －x ＋a －x ＝x ln x －2x ＋a ， 若a ≤x ≤e ，则g (x )＝x ln x －x ＋x －a ＝x ln x －a ， 由（i ），（ii ）知g (x )在[1e，a ]上单调递减，在[a ，e ]上单调递增， 所以此时g (x )的最小值为g (a )＝a ln a －a ， 综上有：当a ≤1e 时，g (x )的最小值为－1e－a ；当1e＜a ＜e 时，g (x )的最小值为a ln a －a ； 当a ≥e 时，g (x )的最小值为a －e . （2）设h (x )＝221xx +， 则当x ∈(0，1)时，h′(x )＝()()222211x x -+＞0，于是h (x )在(0，1)单调递增，又0＜m ＜n ＜1，所以h (m )＜h (n )， 从而有()()()2222ln 111m f n f n h n n n m n ⎛⎫+<+=-+ ⎪++⎝⎭设φ(x )＝22ln 11n n -++，x ＞0 则φ′(x )＝()()()222222114011x xx x x x --=≥++因此φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，因为0＜n ＜1，所以φ(n )＜φ(1)＝0，即ln n －1＋221n +＜0， 因此()2222ln 1011m f n n n m n ⎛⎫+<-+< ⎪++⎝⎭ 即原不等式得证.17.已知函数f (x )＝xln x ，g (x )＝－x 2＋ax －2(e 为自然对数的底数，a ∈R ). （1）判断曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与曲线y ＝g (x )的公共点个数； （2）当1[,]x e e∈时，若函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）3＜a ≤e ＋2e＋1. 【解析】（1）()1f x lnx '=+， 所以切线的斜率()11k f ='=， 又()10f =，所以曲线在点(1,0)处的切线方程为1y x =-，由221y x ax y x ⎧=-+-⎨=-⎩，得2(1)10x a x +-+=，由△22(1)423(1)(3)a a a a a =--=--=+-可得，当△0>时，即1a <-或3a >时，有两个公共点，当△0=时，即1a =-或3a =时，有一个公共点，当△0<时，即13a -<>时，没有公共点，（2）2()()2y f x g x x ax xlnx =-=-++，由0y =，得2a x lnx x =++， 令2()h x x lnx x =++，则2(1)(2)()x x h x x -+'=，当1[x e ∈，]e 时，由()0h x '=，得1x =，所以()h x 在1[e ，]e 上单调递减，在[1，]e 上单调递增，因此()()13min h x h ==，由11()21h e e e =+-，()21h e e e =++，比较可知()1h h e e ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以，结合函数图象可得，当231a e e <++时，函数()()y f x g x =-有两个零点.18.根据函数f(x)＝log 2x 的图像和性质解决以下问题：(1)若f(a)>f(2)，求a 的取值范围；(2)求y ＝log 2(2x －1)在[2,14]上的最值.【答案】(1) (2，＋∞) (2) 最小值为log 23，最大值为log 227【解析】（1）由函数2()log f x x =的单调性及()(2)f a f >，即可求出a 的取值范围；（2）根据定义域为[2,14]，表示出21x -的取值范围，结合对数函数的性质，即可求得最值.试题解析：函数f (x )＝log 2x 的图象如图：(1)因为f (x )＝log 2x 是增函数，故f (a )>f (2)，即log 2a >log 22，则a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞).(2)∵2≤x ≤14，∴3≤2x －1≤27，∴log 23≤log 2(2x －1)≤log 227.∴函数y ＝log 2(2x －1)在[2,14]上的最小值为log 23，最大值为log 227. 题组2 对数函数的性质 19.已知定义在R 上的函数()y f x =满足()()()111f x f x f x -=+=-，当[]12x ∈，时，2()log f x x =，若方程()0f x ax -=在()0+∞，上恰好有两个实数根，则正实数a 的值为（ ）A.2log ee B.1ln 2e C.12 D.2【答案】C【解析】由()()()111f x f x f x -=+=-，可知()f x 为偶函数，且一条对称轴为1x =，再由()()11f x f x +=-，可得()2()f x f x +=，即函数()f x 的周期为2.根据[]12x ∈，时，2()log f x x =作出函数()f x 的草图，如图所示：方程()0f x ax -=在()0+∞，上恰好有两个实数根，∴函数y ax =与()y f x =的图象在y 轴右侧有两个交点，设y ax =与2log y x =相切时，切点坐标为()020log x x ，，由1ln2y x '=，得2000log 1ln2x x x =，解得02x e =>.∴由图象可知，当直线y ax =过点()21，时，方程()0f x ax -=在()0+∞，上恰好有两个实数根，12a ∴=.故选：C .20.已知函数2|1|,0()log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3122341x x x x x ++的取值范围是（ ）. A.(1,)-+∞B.[1,1)-C.(,1)-∞D.(]1,1- 【答案】D 【解析】函数()21,0|log ,0x x f x x x ⎧+⎪=⎨>⎪⎩，的图象如下：根据图象可得：若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则11x a +=-，21x a +=，23log x a =-，24log x a =.(01)a <≤122x x +=-，32a x -=，42a x =∴则31222344()22221222a a a a a x x x x x ---++=-⋅+=-⋅. 令2a t ，(1t ∈，2]，而函数2y t t=-在(1，2]单调递增. 所以211t t -<-≤，则21212a a ∴-<-. 故选：D.21.函数()log 1xa f x a x =-有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.()1,10B.()1,+∞C.0,1D.()10,+∞【答案】B【解析】函数()f x 有两个零点等价于1x y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭与log a y x =的图象有两个交点，当01a <<时同一坐标系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当1a >时同一坐标系中做出两函数图象如图（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B.22.已知函数()2,11,12x a x f x x a x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，其中a R ∈.如果函数()f x 恰有两个零点，则a 的取值范围为（）A.1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ B.[)2,-+∞ C.12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D.12,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】当1x ≤时，(]2,2x y a a a =+∈+，当1x >时，11,22y x a a ⎛⎫=+∈++∞ ⎪⎝⎭，两段均为增函数，函数()f x 恰有两个零点，可得102200a a a ⎧+<⎪⎪⎨+≥⎪⎪<⎩，解得12,2a ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭.故选：D23.给出下列四个结论：(1)若集合A ={x,y }，B ={0，2x },且A=B ,则x =1,y =0;(2)若函数f (x )的定义域为（-1,1），则函数f (2x +1)的定义域为（-1，0);(3)函数1()f x x =的单调减区间是{}0x x ≠；(4)若()()()f x y f x f y +=⋅，且(1)2f =，则(2)(4)(2014)(2016)(2018)2018(1)(3)(2013)(2015)(2017)f f ff f f f f f f +++++=其中不正确的有______.【答案】（3）【解析】（1）因为A=B ，所以20,0,1x y x x x ≠==∴=，故（1）正确；（2）因为函数f (x )的定义域为（-1,1），所以121110x x -<+<∴-<<，故（2）正确； （3）函数1()f x x =的单调减区间是(,0)-∞和(0,)+∞，故（3）错误；（4）因为()()()f x y f x f y +=⋅，所以(1)()(1)2()f x f x f f x +=⋅=，因此(2)(4)(2014)(2016)(2018)210092018(1)(3)(2013)(2015)(2017)f f f f f f f f f f +++++=⨯=，故（4）正确； 故答案为：（3）题组3 对数值大小比较24.已知1275a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1357b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，25log 7c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）.A.b a c <<B.c b a <<C.c a b <<D.b c a <<【答案】C 【解析】12125757a -⎛⎫=⎛⎫= ⎝⎭⎪⎭⎪⎝<135()7b =，225log log 107c =<=因此c a b <<故选：C.25.函数()log (2)a f x ax =-（0a >且1a ≠）在[]0,3上为增函数，则实数a 的取值范围是（）A.2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.(0,1) C.20,3⎛⎫⎪⎝⎭ D.[)3,+∞【答案】C【解析】因为0a >且1a ≠，令2t ax =-，所以函数2t ax =-在[]0,3上为减函数， 所以函数log a y t =应是减函数，()f x 才可能是增函数，∴01a <<，因为函数()f x 在[]0,3上为增函数，由对数函数性质知230a ->，即23<a ， 综上023a <<. 故选：C .26.设3log 7a =， 1.12b =， 3.10.8c =，则（ ）A.b a c <<B.a c b <<C.c b a <<D.c a b << 【答案】D【解析】因为333log 7(log 3,log 9)a =∈，所以(1,2)a ∈； 1.122b =>； 3.100.80.81c =<=； 所以c a b <<，故选D.27.三个数0.76，60.7，0.7log 6的大小顺序是（ ）A.60.70.7log 60.76<<B.60.70.70.76log 6<<C.0.760.7log 660.7<<D.60.70.70.7log 66<< 【答案】A 【解析】因为0.70661>=，6000.70.71<<=，0.70.7log 6log 10<=；所以60.70.7log 60.76<<.故选：A.28.已知0.42x =，2lg 5y =，0.425z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A.x y z <<B.y z x <<C.z y x <<D.z x y <<【答案】B【解析】0.40221x =>=，2lg lg105y =<=，0.4021525z ⎛⎫<= ⎪⎝⎫⎭⎭⎛=⎪⎝，又0z >，即01z <<.因此，y z x <<.故选：B.。
高中数学-对数函数图像和性质及经典例题
对数函数的概念: 函数y 对数函数的图象和性质高中数学-对数函数图像和性质及经典例题第一部分：回顾基础知识点log a x(a 0,且a 1）叫做对数函数其中x是自变量，函数的定义域是（o, +3）.在同一坐标系中画岀下列对数函数的图象;(1) y log 2 x (2)y log! x2(3)y log3x(4)y log i x3 ■0 5 -・图象特征函数性质a 10 a 1 a 10 a 1函数图象都在y轴右侧函数的定义域为（0，+x）图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R函数图象都过定点（1 , 1） 1 1自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数第一象限的图象纵坐标都大于0第一象限的图象纵坐标都大于0x 1, log a x 00 x 1, log a x 0第二象限的图象纵坐标都小于0第二象限的图象纵坐标都小于00 x 1, log a x 0x 1, log a x 0 -1 --底数a是如何影响函数log a x 的.规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大第二部分：对数函数图像及性质应用例1 •如图，A , B , C 为函数y log i x 的图象上的三点，它们的横坐标分别是t , t +2, t +4(t 1).2⑴设 ABC 的面积为S 。
求S=f (t )； ⑵判断函数S=f (t )的单调性;解：(1 )过A,B,C,分别作AAi,BB i ,CC i 垂直于x 轴，垂足为 Ai,B i ,C i ，则 S =S 梯形 AA i B i B +S 梯形 BB 1C 1C — S上是减函数，且 1<u“ 2 (x 23) 3 解：(1 )••• f(x -3)=lg2,(x 3) 3••• f(x)=lg x —3l t24t汽6log 3(1 J )t 2 4t2(2)因为v= t4t 在[1,)上是增函数，且v 5,梯形 AA i C i C.S log 3 u 在上是增函数,所以复合函数 S=f (t )Iog 3(1t 2上是减函数(3)由(2)知t =1 时，S 有最大值, 最大值是f (1) log 39 52 log3 59例2 .已知函数f(x -3)=lg2x x 26(1)f(x)的定义域；⑵判断f(x)的奇偶性;⑶求f(x)的反函数；⑷若f[ (x)]=lgx,求(3)的值。
对数函数及其性质(比较大小)经典练习及答案
[基础巩固]1．(多选)若log 2a ＜0，⎝⎛⎭⎫12b ＞1，则( )A ．0＜a ＜1B ．a ＞1C ．b ＞0D ．b ＜0解析 由log 2a ＜0得0＜a ＜1，由⎝⎛⎭⎫12b ＞1得b ＜0，所以选A 、D 项．答案 AD2．函数f (x )＝| log 12x |的单调递增区间是( )A ．⎝⎛⎦⎤0，12 B ．(0,1] C ．(0，＋∞) D ．[1，＋∞)解析 f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．答案 D3．(2021·新高考全国卷Ⅱ)已知a ＝log 52，b ＝log 83，c ＝12，则下列判断正确的是( ) A ．c <b <aB ．b <a <cC ．a <c <bD ．a <b <c解析 a ＝log 52<log 55＝12＝log 822<log 83＝b ，即a <c <b . 故选C. 答案 C4．不等式log 2(2x ＋3)>log 2(5x －6)的解集为________．解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3>0，5x －6>0，2x ＋3>5x －6，解得65<x <3，所以原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫65，3. 答案 ⎝⎛⎭⎫65，35．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x －1)，x ≥2，2x ，x ＜2，则f (log 23)＝________；不等式f (x )＞4的解集为________．解析 ∵log 23＜log 24＝2，∴f (log 23)＝＝3，不等式f (x )＞4可化为：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，log 2(x －1)＞4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2，2x ＞4. 解得x ＞17或无解．所以原不等式的解集为(17，＋∞)．答案 3 (17，＋∞)6．已知函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，且f (3)－f (2)＝1.(1)若f (3m －2)<f (2m ＋5)，求实数m 的取值范围；(2)求使f ⎝⎛⎭⎫x －2x ＝log 3272成立的x 的值． 解析 因为f (3)－f (2)＝1，所以a ＝32，所以f (x )＝log 32x . (1)因为32>1，所以由f (3m －2)<f (2m ＋5)得⎩⎪⎨⎪⎧ 3m －2>0，2m ＋5>0，3m －2<2m ＋5，所以23<m <7. (2)由f ⎝⎛⎭⎫x －2x ＝log 32 72，即log 32⎝⎛⎭⎫x －2x ＝log 3272， 所以x －2x ＝72.所以x ＝－12或x ＝4. [能力提升]7．已知f (x )＝|ln x |，若a ＝f ⎝⎛⎭⎫15，b ＝f ⎝⎛⎭⎫14，c ＝f (3)，则( ) A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a 解析 因为f (x )＝|ln x |，所以a ＝f ⎝⎛⎭⎫15＝⎪⎪⎪⎪ln 15＝ln 5，b ＝f ⎝⎛⎭⎫14＝⎪⎪⎪⎪ln 14＝ln 4，c ＝f (3)＝|ln 3|＝ln 3， 因为y ＝ln x 是单调递增函数，所以ln 5＞ln 4＞ln 3，即a ＞b ＞c ，故选D.答案 D8．设a ＝log 132，b ＝log 23，c ＝⎝⎛⎭⎫12 0.3 ，则a ，b ，c 从小到大的顺序是________． 解析 因为a ＝log 13 2＜log 131＝0，b ＝log 23＞log 22＝1，0＜c ＝⎝⎛⎭⎫12 0.3 ＜⎝⎛⎭⎫12 0 ＝1，所以a ＜c ＜b .答案 a ＜c ＜b9．定义：区间[x 1，x 2](x 1＜x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝|log 0.5x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为________．解析 函数y ＝|log 0.5x |的值域为[0,2]，则由0≤|log 0.5x |≤2，得14≤x ≤4， 所以[a ，b ]长度的最大值为4－14＝154. 答案 15410．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0＜a ＜1)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－2，求a 的值．解析 (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0， 解得－3＜x ＜1，所以定义域为(－3,1)．(2)函数可化为f (x )＝log a [(1－x )(x ＋3)]＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]，因为－3＜x ＜1，所以0＜－(x ＋1)2＋4≤4，又0＜a ＜1，所以log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4， 即f (x )的最小值为log a 4.由log a 4＝－2，得a －2＝4，所以a ＝4－12＝12. [探索创新]11．已知函数f (x )＝a x －1(a ＞0且a ≠1)．(1)若函数y ＝f (x )的图象经过点P (3,4)，求a 的值；(2)若f (lg a )＝100，求a 的值；(3)比较f ⎝⎛⎭⎫lg 1100与f (－2.1)的大小，并写出比较过程． 解析 (1)因为函数y ＝f (x )的图象经过P (3,4)， 所以a 3－1＝4，即a 2＝4.又a ＞0，所以a ＝2.(2)由f (lg a )＝100知，a lg a －1＝100.∴lg a lg a －1＝2(或lg a －1＝log a 100)．∴(lg a －1)·lg a ＝2.∴(lg a )2－lg a －2＝0，∴lg a ＝－1或lg a ＝2，∴a ＝110或a ＝100. (3)∵f ⎝⎛⎭⎫lg 1100＝f (－2)＝a －3，f (－2.1)＝a －3.1， 当a ＞1时，y ＝a x 在(－∞，＋∞)上为增函数， ∵－3＞－3.1，∴a －3＞a－3.1， 即f ⎝⎛⎭⎫lg 1100＞f (－2.1)； 当0＜a ＜1时，y ＝a x 在(－∞，＋∞)上为减函数， ∵－3＞－3.1，∴a －3＜a－3.1， 即f ⎝⎛⎭⎫lg 1100＜f (－2.1)．。
对数函数图象及其性质知识点及例题解析
对数函数的图象及性质例题解析题型一 判断对数函数【例1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________． 解析：由a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0,1． 又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1． 【例1－1】下列函数中是对数函数的为__________．（1）y ＝log a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2；(3)y ＝8log 2(x ＋1)；(4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)；(5)y ＝log 6x ．解析：题型二【例2】如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象．已知a ，43，35，110中取值，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( )A 43，35，110B ，43，110，35C ．43，35，110D ．43110，35解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C 4的底数＜C 3的底数＜C 2的底数＜C 1的底数．故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 443，35，110．答案：A 点技巧 作直线y ＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小．题型三 对数型函数的定义域的求解(1)对数函数的定义域为(0，＋∞)．(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1． 若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．(3)求函数的定义域应满足以下原则： ①分式中分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于或等于零； ③指数为零的幂的底数不等于零； ④对数的底数大于零且不等于1；⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集．【例3】求下列函数的定义域．(1)y ＝log 5(1－x )； (2)y ＝log (2x －1)(5x －4)；(3)y =．分析：利用对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的定义求解．解：(1)要使函数有意义，则1－x ＞0，解得x ＜1，故函数y ＝log 5(1－x )的定义域是{x |x ＜1}．(2) 要使函数有意义，则54>0,21>0,211,x x x -⎧⎪-⎨⎪-≠⎩解得x ＞45且x ≠1，故函数y ＝log (2x －1)(5x －4)的定义域是4,15⎛⎫⎪⎝⎭(1，＋∞)． (3)要使函数有意义，则0.5430,log (43)0,x x ->⎧⎨-≥⎩解得34＜x ≤1，故函数y =的定义域是3<14x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭．题型四 对数型函数的值域的求解方法一、充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．方法二、对于形如y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下： ①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )这两个函数； ②求f (x )的定义域； ③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解． 方法三、对于函数y ＝f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)，可利用换元法，设log a x ＝t ，则函数f (t )(t ∈R)的值域就是函数f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)的值域．注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．【例4】求下列函数的值域：(1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝212log (32)x x ＋－．解：(1)∵x 2＋4≥4，∴log 2(x 2＋4)≥log 24＝2． ∴函数y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4≤4．∵u ＞0，∴0＜u ≤4． 又y ＝12log u 在(0，＋∞)上为减函数，∴12log u ≥－2．∴函数y ＝212log (32)x x ＋－的值域为[－2，＋∞)．【例4－1】已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及相应的x 的值．分析：先确定y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域，然后转化成关于log 3x 的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值．解：∵f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6且定义域为[1,3]． 令t ＝log 3x (x ∈[1,3])．∵t ＝log 3x 在区间[1,3]上是增函数，∴0≤t ≤1．从而要求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)在区间[1,3]上的最大值，只需求y ＝t 2＋6t ＋6在区间[0,1]上的最大值即可．∵y ＝t 2＋6t ＋6在[－3，＋∞)上是增函数，∴当t ＝1，即x ＝3时，y max ＝1＋6＋6＝13．综上可知，当x ＝3时，y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值为13．题型五 对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)过定点(1,0)，即对任意的a ＞0，且a ≠1都有log a 1＝0．这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．对于函数y ＝b ＋k log a f (x )(k ，b 均为常数，且k ≠0)，令f (x )＝1，解方程得x ＝m ，则该函数恒过定点(m ，b )．方程f (x )＝0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．(2)对数函数的图象变换的问题①函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------→向左(b >0)或向右(b <0)平移|b |个单位长度函数y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1) ②函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――---------------→向上(b >0)或向下(b <0)平移|b |个单位长度函数y ＝log a x ＋b (a ＞0，且a ≠1) ③函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)―----------------―→当x >0时，两函数图象相同当x <0时，将x >0时的图象关于y 轴对称函数y ＝log a |x |(a ＞0，且a ≠1)④函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------------------------------→保留x 轴上方的图象同时将x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换函数y ＝|log a x |(a ＞0，且a ≠1)【例5】若函数y ＝log a (x ＋b )＋c (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b ，c 的值分别为__________．解析：∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y ＝log a (x ＋b )＋c (a ＞0，且a ≠1)，得2＝log a (3＋b )＋c ． 又∵当a ＞0，且a ≠1时，log a 1＝0恒成立， ∴c ＝2．∴log a (3＋b )＝0． ∴b ＝－2．答案：－2,2【例5－1】作出函数y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象． 解：(第一步)作函数y ＝log 2x 的图象，如图①；(第二步)将函数y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得函数y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图②；(第三步)将函数y ＝log 2(x ＋1)在x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换，得函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图③；(第四步)将函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，沿y 轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④．题型六利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况：(1)底数相同，真数不同．(2)底数不同，真数相同．(3)底数不同，真数也不同．(4)对于多个对数式的大小比较注意：对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于1进行分类讨论．【例6】比较下列各组中两个值的大小．(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)log aπ，log a3.141．分析：(1)构造函数y＝log3x，利用其单调性比较；(2)分别比较与0的大小；(3)分类讨论底数的取值范围．解：(1)因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以f(1.9)＜f(2)．所以log31.9＜log32．(2)因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0，所以log23＞log0.32．(3)当a＞1时，函数y＝log a x在定义域上是增函数，则有log aπ＞log a3.141；当0＜a＜1时，函数y＝log a x在定义域上是减函数，则有log aπ＜log a3.141．综上所得，当a＞1时，log aπ＞log a3.141；当0＜a＜1时，log aπ＜log a3.141．【例6－1】若a2＞b＞a＞1，试比较loga ab，logbba，log b a，log a b的大小．分析：利用对数函数的单调性或图象进行判断．解：∵b＞a＞1，∴0＜ab ＜1．∴logaab＜0，log a b＞log a a＝1，log b1＜log b a＜log b b，即0＜log b a＜1．由于1＜ba ＜b，∴0＜logbba＜1．由log b a－logbba＝2logbab，∵a2＞b＞1，∴2ab ＞1．∴2logbab＞0，即log b a＞logbba．∴log a b＞log b a＞logb ba＞logaab．题型七 利用对数函数的单调性解不等式常见的对数不等式有三种类型：①形如log a f (x )＞log a g (x )的不等式，借助函数y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．②形如log a f (x )＞b 的不等式，应将b 化为以a 为对数的对数式的形式，再借助函数y ＝log a x 的单调性求解．③形如log a f (x )＞log b g (x )的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集．④形如f (log a x )＞0的不等式，可用换元法(令t ＝log a x )，先解f (t )＞0，得到t 的取值范围．然后再解x 的范围．【例7】解下列不等式：(1)1177log log (4)x x >-； (2)log x (2x ＋1)＞log x (3－x )．解：(1)由已知，得>0,4>0,<4,x x x x ⎧⎪-⎨⎪-⎩解得0＜x ＜2．故原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ＞1时，有21>3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得1＜x ＜3；当0＜x ＜1时，有21<3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得0＜x ＜23．所以原不等式的解集是20<<1<<33x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或． 【例7－1】若22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，求a 的取值范围．解：∵22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，∴－1＜2log 3a ＜1，即12log log log 3a a a a a <<．(1)∵当a ＞1时，y ＝log a x 为增函数，∴123a a <<．∴a ＞32，结合a ＞1，可知a ＞32． (2)∵当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数，∴12>>3a a ．∴a ＜23，结合0＜a ＜1，知0＜a ＜23．∴a 的取值范围是230<<>32a a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，或．题型八 对数型函数单调性的讨论（1）解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a 是否大于1进行讨论； 二是运用复合法来判断其单调性；三是注意其定义域． (2)关于形如y ＝log a f (x )一类函数的单调性，有以下结论：函数y ＝log a f (x )的单调性与u ＝f (x )(f (x )＞0)的单调性，当a ＞1时相同，当0＜a ＜1时相反．【例8】求函数y ＝log 2(3－2x )的单调区间．分析：首先确定函数的定义域，函数y ＝log 2(3－2x )是由对数函数y ＝log 2u 和一次函数u ＝3－2x 复合而成，求其单调区间或值域时，应从函数u ＝3－2x 的单调性、值域入手，并结合函数y ＝log 2u 的单调性考虑．解：由3－2x ＞0，解得函数y ＝log 2(3－2x )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32．设u ＝3－2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32，∵u ＝3－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32上是减函数，且y ＝log 2u 在(0，＋∞)上单调递增， ∴函数y ＝log 2(3－2x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32上是减函数．∴函数y ＝log 2(3－2x )的单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32．【例8-1】求函数y ＝log a (a －a x )的单调区间．解：(1)若a ＞1，则函数y ＝log a t 递增，且函数t ＝a －a x 递减． 又∵a －a x ＞0，即a x ＜a ，∴x ＜1．∴函数y ＝log a (a －a x )在(－∞，1)上递减．(2)若0＜a ＜1，则函数y ＝log a t 递减，且函数t ＝a －a x 递增． 又∵a －a x ＞0，即a x ＜a ，∴x ＞1．∴函数y ＝log a (a －a x )在(1，＋∞)上递减．综上所述，函数y ＝log a (a －a x )在其定义域上递减． 析规律 判断函数y ＝log a f (x )的单调性的方法函数y ＝log a f (x )可看成是y ＝log a u 与u ＝f (x )两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．需特别注意的是，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域，即“定义域优先”．【例8－2】已知f (x )＝12log (x 2－ax －a )在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是增函数，求a 的取值范围．解：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是函数f (x )的递增区间，说明1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是函数u ＝x 2－ax －a 的递减区间，由于是对数函数，还需保证真数大于0．令u (x )＝x 2－ax －a ，∵f (x )＝12log ()u x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是增函数， ∴u (x )在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是减函数，且u (x )＞0在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上恒成立． ∴1,2210,2au ⎧≥-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩即1,10.42a a a ≥-⎧⎪⎨+-≥⎪⎩∴－1≤a ≤12．∴满足条件的a 的取值范围是112a a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．题型九 对数型函数的奇偶性问题判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f (－x )与f (x )或－f (x )是否相等；(2)当f (－x )＝f (x )时，此函数是偶函数；当f (－x )＝－f (x )时，此函数是奇函数；(3)当f (－x )＝f (x )且f (－x )＝－f (x )时，此函数既是奇函数又是偶函数； (4)当f (－x )≠f (x )且f (－x )≠－f (x )时，此函数既不是奇函数也不是偶函数．【例9】判断函数f (x )＝log )a x (x ∈R ，a ＞0，且a ≠1)的奇偶性．解：∵f (－x )＋f (x )＝＝log )a x ＋log )a x )＝log a (x 2＋1－x 2)＝log a 1＝0，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．【例9-1】已知函数f (x )＝1log 1a xx+-(a ＞0，且a ≠1)．（1）求函数f (x )的定义域； （2）判断函数f (x )的奇偶性；（3）求使f (x )＞0的x 的取值范围．分析：对于第(2)问，依据函数奇偶性的定义证明即可．对于第(3)问，利用函数的单调性去掉对数符号，解出不等式．解：(1)由11xx+-＞0，得－1＜x ＜1， 故函数f (x )的定义域为(－1,1)． (2)∵f (－x )＝1log 1ax x -+＝1log 1a xx+--＝－f (x )， 又由(1)知函数f (x )的定义域关于原点对称，∴函数f (x )是奇函数． (3)当a ＞1时，由1log 1a x x +-＞0＝log a 1，得11xx+-＞1，解得0＜x ＜1； 当0＜a ＜1时， 由1log 1ax x +-＞0＝log a 1，得0＜11xx+-＜1，解得－1＜x ＜0． 故当a ＞1时，x 的取值范围是{x |0＜x ＜1}；当0＜a ＜1时，x 的取值范围是{x |－1＜x ＜0}． 题型十 反函数【例10】若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )A ．log 2xB ．12x C ．12log x D ．2x －2 解析：因为函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2．故f (x )＝log 2x ．【例10-1】函数f (x )＝3x (0＜x ≤2)的反函数的定义域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1,9]C ．(0,1)D ．[9，＋∞)解析：∵ 0＜x ≤2，∴1＜3x ≤9， 即函数f (x )的值域为(1,9]．故函数f (x )的反函数的定义域为(1,9]． 【例10-2】若函数y ＝f (x )的反函数图象过点(1,5)，则函数y ＝f (x )的图象必过点( )A ．(5,1)B ．(1,5)C ．(1,1)D ．(5,5) 解析：由于原函数与反函数的图象关于直线y ＝x 对称，而点(1,5)关于直线y ＝x 的对称点为(5,1)，所以函数y ＝f (x )的图象必经过点(5,1)．【例10-3】已知f (e x )＝x ，则f (5)＝( )A ．e 5B ．5eC ．ln 5D ．log 5e解析：(方法一)令t ＝e x ，则x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ，即f (x )＝ln x ． 所以f (5)＝ln 5．(方法二)令e x ＝5，则x ＝ln 5，所以f (5)＝ln 5．【例10-5】已知对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭，试求f (3)的值． 分析：设出函数f (x )的解析式，利用待定系数法即可求出．解：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，∵对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴11log 299a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭．∴a 2＝19． ∴a ＝11222111933⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．∴f (x )＝13log x ． ∴f (3)＝111331log 3log 3-⎛⎫= ⎪⎝⎭＝－1．【例10-6】已知对数函数f (x )的反函数的图象过点(2,9)，且f (b )＝12，试求b 的值．解：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，则它的反函数为y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)，由条件知a 2＝9＝32，从而a ＝3．于是f (x )＝log 3x ，则f (b )＝log 3b ＝12，解得b＝123=。
对数函数常见题型例析(5种)
对数函数常见题型例析对数函数是重要的基本初等函数之一,在近几年的高考中渐渐走红,频频出现在高考试卷与模拟试卷中,主要考查对数函数的图象和性质,本文就对数函数的常见题型归纳如下,供大家参考. 1.求定义域 例1函数3)5lg()(--=x x x f 的定义域为_____.解:要使)(x f 有意义,则⎩⎨⎧≠->-0305x x ,解得5<x ,且3≠x ,∴)(x f 的定义域为5|{<x x ,且}3≠x .点评:求对数定义域切记真数大于零,底数大于零且不等于1,常用方法是列不等式组, 注意求出的定义域要写成集合或区间的形式. 2.比较大小例2设,,a b c 均为正数,且,log221a a=,log)21(21b b = c c2log)21(=,则（ ）A a b c <<B c b a <<C c a b <<D b a c << 解:由a a21log2=可知0>a 12>∴a ,210,1log21<<∴>a a ;由b b21log)21(=可知1)21(0,0<<∴>b b ,即1log021<<b ,121<<b ;由c c2log )21(=可知21,1log0,02<<∴<<∴>c c c ,从而c b a <<,故选A.点评:本题的关键就是抓住“真数大于零”这一隐含条件,利用指、对函数的性质得出结论. 3.解对数方程例3解方程:0)2(log )12(log 244=--+x x ;解:由已知得)2(log )12(log 244-=+x x ,则2122-=+x x ,即0322=--x x ,解得3=x 或1-=x ,当1-=x 时,对数真数小于零,舍去,故方程的根是3=x . 点评:解对数方程要注意验根,即保证对数的真数大于零. 4.最值问题例4设1a >,函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12,则a =（ ）B 2C 22D 4解:设1a >,函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上递增,最大值和最小值 分别为a a aalog,2log,依题意知212loglog2log==-aaaa a ,4=∴a ,故选D.点评:最值问题是高考考查对函数性质的热点题型,解决的关键是根据对数函数单调性求解. 5.求参数范围 例5已知132log<a,则a 的取值范围是（ ）A ),1()32,0(+∞ B ),32(+∞ C )1,32( D ),32()32,0(+∞解:当10<<a 时,,log132log a aa=<32<∴a ,即320<<a ;当1>a 时,,log132loga aa=<32>∴a ,即1>a .综上所述,a 的取值范围是320<<a 或1>a ,故选A.点评:这类问题一般是根据对数函数的单调性,分10<<a 和1>a 两种情况讨论.。
3.3对数函数y=logax的图像和性质(解析版)
3.3对数函数y=log a x 的图像和性质1.对数函数的概念：一般地，形如log (01)a y x a a =>≠且的函数叫对数函数.2.对数函数log (01)a y x a a =>≠且的图像和性质。
log a y x = 1a > 1a <图像性质（1）定义域：(0,)+∞ （2）值域：R（3）图像过定点：(1,0) （4）在(0,)+∞上是增函数（1）定义域：(0,)+∞ （2）值域：R（3）图像过定点：(1,0) （4）在(0,)+∞上是减函数3.指对数函数性质比较图象特征函数性质共性 向x 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R + 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都过定点（0，1） 过定点（0，1）0<a<1自左向右看，图象逐渐下降 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 当x>0时,0<y<1; 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 当x<0时,y>1图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢； a>1自左向右看，图象逐渐上升 增函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 当x>0时,y>1; 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 当x<0时,0<y<1图象上升趋势是越来越陡函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；1．作出以下函数的大致图像，并指出它的单调区间和奇偶性． （1）12log ()y x =-； （2）12log y x =-； （3）12log ||y x =．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析.【分析】根据函数解析式，由对数函数的性质求定义域区间，画出其大致图象，进而判断单调区间和奇偶性.【详解】（1）由12log ()y x =-知：定义域为(,0)-∞，图象如下：∴由图知：函数在(,0)-∞上单调递增，且为非奇非偶函数. （2）由12log y x =-知：定义域为(0,)+∞，图象如下：∴由图知：函数在(0,)+∞上单调递增，且为非奇非偶函数. （3）由12log ||y x =知：：定义域为(,0)(0,)-∞+∞，图象如下：∴由图知：函数在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，且偶函数.2．设a 与b 为实数，0a >，1a ≠.已知函数log ()a y x b =+的图象如图所示，求a 与b 的值.【答案】3a =，3b =【分析】由图象可知，函数图象过点(2,0),(0,2)-，将点的坐标代入函数中，可得关于,a b 的方程组，从而可求出,a b 的值【详解】由图象可知，函数log ()a y x b =+的图象过点(2,0),(0,2)-， 所以0log (2)a b =-+，且2log a b =，由0log (2)a b =-+，得21b -+=，解得3b =， 则2log 3a =，得3a =， 所以3a =，3b =3．在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图像，并指出它们之间的关系． (1)5log y x =； (2)15log y x =；(3)5x y =．【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析【分析】根据指数函数和对数函数的解析式画出对应的图象，利用数学结合的思想即可得出函数之间的关系. (1) 如图所示； (2)如图所示，函数5log y x =与函数15log y x=的图像关于x 轴对称；(3)如图所示，函数5log y x =与函数5x y =的图像关于直线y x =对称．题型二：判断对数函数的图像 1．函数eln ||()e e x xx f x -=+的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】判断出()f x 是偶函数，结合102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭可选出答案.【详解】由已知可得函数的定义域为{}0x x ≠，eln ||eln ||()()e e e e x x x xx x f x f x ----===++，所以()f x 是偶函数，函数图像关于y 轴对称，可排除 A ，B ； 由11221eln 1202e e f -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=< ⎪⎝⎭+，可排除D ． 故选：C2．函数ln||1()e x f x x=+的图像大致为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A【分析】当0x >时，根据函数的极值可以排除C 、D ，当0x <时，根据函数的单调性可以排除B ，从而得到结果. 【详解】当0x >时，1()f x x x=+，在1x =处取得最小值，排除C 、D ， 当0x <时，1()f x x x=-为减函数， 故选:A ．3（多选）．在同一坐标系中，函数x y a -=与log (0,a y x a =>且1)a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BD【分析】分情况进行讨论指数函数与对数函数的图象即可求解.【详解】当1a >时，x y a -=定义域为R ，且在R 上单调递减，log a y x =定义域为(0,)+∞，且在(0,)+∞上单调递增，D 符合；当01a <<时，x y a -=定义域为R ，且在R 上单调递增，log a y x =定义域为(0,)+∞，且在(0,)+∞上单调递减，B 符合．故选：BD ．题型三：根据对数函数图像判断参数范围1．已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠，a ，b 为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）A ．0a >，1b <-B ．0a >，10b -<<C ．01a <<，1b <-D ．01a <<，10b -<<【答案】D【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.【详解】因为函数()()log a f x x b =-为减函数，所以01a << 又因为函数图象与x 轴的交点在正半轴，所以10x b =+>，即1b >- 又因为函数图象与y 轴有交点，所以0b <，所以10b -<<， 故选：D2．如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b【答案】D【分析】根据对数函数的图象与单调性确定大小．【详解】y ＝log ax 的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a ＞1，函数y ＝log bx ，y ＝log cx 的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b ，c ∈（0，1），又易知c ＞b ，故a ＞c ＞b . 故选：D ．3．已知函数f (x )=ln(x +a )的图象不经过第四象限，则a 的取值范围是（ ） A ．(0，1) B ．(0， +∞)C ．(0，1]D ．[1，+∞)【答案】D【分析】根据对数函数的图象结合图象平移变换可得．【详解】()f x 的图象是由ln y x =的图象向左平移a 个单位所得．ln y x =的图象过(1,0)点，函数为增函数，因此1a ≥． 故选：D ．二、多选题4．已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x x f x k a a-=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（ ）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤【答案】BCD【分析】对于A 结合对数型函数图像相关知识求解；对于B 运用定义法判断()f x 是否在R 上是奇函数；对于C 运用定义法判断函数单调性；对于D 通过作差法并对式子变形即可判断. 【详解】对于A ，由图像可知，函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）在()2,-+∞上单调递增，所以1a >，因为()g x 经过()1,0-，所以()()1log 10a g k -=-+=，所以01a k =-+，2k =，故A 错误.)x a -1．函数()log ,(01)a f x x a a =>≠且的图象所过定点的坐标为___________. 【答案】(1,0)【分析】由对数函数的性质求解，【详解】由题意得(1)0f =，()f x 的图象过定点(1,0)， 故答案为：(1,0)2．函数()()log 111a y x a =++>必过定点___________. 【答案】(0,1)【分析】根据对数函数的性质，令0x =即可确定定点. 【详解】由对数的性质知：当0x =时log 111a y =+=， 所以函数必过定点(0,1). 故答案为：(0,1)3．已知0a >且1a ≠，若函数()x mf x a n +=+与()()log 14a g x x =-+的图象经过同一个定点，则m n +=__________. 【答案】1【分析】由log 10a =可得出函数()g x 所过定点，再由01a =可得出,m n 的值，得出答案. 【详解】函数()()log 14a g x x =-+的图象经过定点()2,4所以()x m f x a n +=+的图象也过定点()2,4， 即()22=4mf a n +=+则2,3m n =-=，所以1m n += 故答案为：1题型五：对数函数图像的应用1．已知函数()()log a f x x b =+的图象如图，则ab =________．【答案】8【分析】由图像可得：()f x 过点()3,0-和()0,2，代入解得a 、b ．【详解】由图像可得：()()log a f x x b =+过点()3,0-和()0,2，则有：()3log 0log 2b a a b -⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得42b a =⎧⎨=⎩． ∴8ab =． 故答案为：８．2．若1132log log m n >（01,01m n <<<<），则m ______n （填“<”或“>”）．【答案】< 【分析】结合1132log ,log y x y x==的图象确定正确结论. 【详解】画出1132log ,log y x y x==的图象如下图所示：通过观察这两个函数在区间()0,1上的图象可知，要使1132log log m n>，则需m n <.故答案为：<3．函数2()log (1)2f x x =++的图像是把函数2log y x =的图像先向___________平移___________个单位，再向上移动2个单位. 【答案】 左 1【分析】根据自变量加减左右移，函数值上加下减的平移原则，即可得到答案； 【详解】22log log (1)x x →+，图象向左平移1个单位，22log (1)log (1)2x x +→++，图象向上平移2个单位， 故答案为：左，1 题型六：对数函数单调性1．下列函数中，在区间()0,∞+上单调递减的是（ ） A ．2log y x = B ．2xy -=C ．1y x =+D ．3y x =【答案】B【分析】根据函数解析式直接判断单调性.2．已知2log (1)log (2)a a a a +<，则实数a 的取值范围是_________.【答案】()0,1【分析】对a 进行分类讨论，结合对数函数的单调性求得a 的取值范围. 【详解】当01a <<时，log a y x =在()0,∞+上递减， ()22212,2110a a a a a +>-+=->恒成立.当1a >时，log a y x =在()0,∞+上递增， ()22212,2110a a a a a +<-+=-<无解.综上所述，a 的取值范围是()0,1. 故答案为：()0,13．已知log 2log 1a a >，则底数a 的取值范围为_________. 【答案】(1,)+∞【分析】根据对数函数底数范围和对数函数单调性即可判断a 的范围． 【详解】若0＜a ＜1，则log 2log 1a a <，不符题意； 若a ＞1，则log 2log 1a a >，符合题意； 综上，a ＞1． 故答案为：(1,)+∞．题型七：对数型复合函数单调性1．己知函数()22()log 45f x x x =--+，则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．(,2)-∞-B ．(5,2)--C ．(2,1)-D ．(2,)-+∞【答案】B【分析】求出给定函数的定义域，再利用复合函数单调性求解作答.【详解】函数()22()log 45f x x x =--+有意义，则2450x x --+>，解得51x -<<，即函数()f x 的定义域为(5,1)-，函数245u x x =--+在(5,2)--上单调递增，在(2,1)-上单调递减，而函数2log y u =在(0,)+∞上单调递增，因此函数()f x 在(5,2)--上单调递增，在(2,1)-上单调递减， 所以函数()f x 的单调递增区间为(5,2)--. 故选：B2．若()()22log 6f x x ax =-+在区间[2,2)-上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[4,5]B ．(4,5]C ．[4,5)D ．[5,)+∞3．函数()2ln(421)f x x x =+-的单调递减区间是______.【答案】(,7)-∞-【分析】根据复合函数的单调规律来判断.【详解】要使()2ln(421)f x x x =+-有意义，则24210x x +->，解得7<-x 或3x >，()2ln(421)f x x x =+-定义域为()(),73,-∞-⋃+∞，设()()2421,,73,x x x μ=+-∈-∞-⋃+∞，则ln y u =，因为ln y u =在定义域上单调递增；()()2421,,73,x x x μ=+-∈-∞-⋃+∞的增区间为()3,+∞，减区间为(),7-∞-，所以根据复合函数的单调性可得()2ln(421)f x x x =+-的递减区间为(),7-∞-故答案为：(),7-∞-题型八：对数函数单调性应用1．已知lge 2ln e,10a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．b<c<a2．已知e 是自然对数的底数，函数()e e x x f x -=-，实数,m n 满足不等式(32)(2)0f n m f n -+->，则下列结论正确的是（ ） A ．e 2e m n > B ．若1,n >-则11n nm m+>+ C ．ln()0m n -> D ．20222022m n >3．已知()()()512,10,1log ,1a a x a x f x a a x x ⎧-+≤=>≠⎨>⎩是R 上的减函数，则a 的取值范围是______. 1．已知函数12log y x =，当3,x a a ⎡⎤∈⎣⎦时，函数的最大值比最小值大4，则实数=a ______．2．设a ＞1，函数f (x )＝log ax 在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________．3．已知函数()22,4log ,4x a x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，若()f x 存在最小值，则实数a 的取值范围是______．【答案】(],2-∞-【分析】根据分段函数的解析式讨论x 的取值范围，再利用指数函数、对数函数的单调性即可求解.【详解】当4x <时，()2xf x a =-的取值范围是(),16a a --,当4x ≥时，()2log 42f x ≥=, 若()f x 存在最小值，则2-≥a ， 解得2a ≤-，即实数a 的取值范围是(],2-∞-. 故答案为：(],2-∞-.题型十：根据对数函数的最值求参数1．函数log a y x =在[]2,3上最大值比最小值大1，则=a ______.2．已知函数()f x 为函数(1)x y a a =>的反函数，且()f x 在区间[],2a a 上的最大值与最小值之差为1，则a 的值为___________. 【答案】2【分析】由题意知：()log a f x x =且在[,2]a a 上单调递增，由此即可列出等式，解出答案. 【详解】因为()f x 为函数x y a =的反函数，所以()log a f x x =， 又1a >，所以()f x =log a x 在[,2]a a 上单调递增，所以当[,2]x a a ∈时min ()()log 1a f x f a a ===，()max ()(2)log 2a f x f a a ==， 由题意，()log 211a a -=， 所以()log 22a a =，22a a =， 解得2a =或0a =（舍去）. 故答案为：2.3．已知函数41()log (41).2xf x x =+-(1)求证：44log (41)log (14)x xx -+-=+；(2)若函数()y f x =的图象与直线12y x a =+没有交点，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)0a ≤.1．设x ，y 是实数，则“01x <<，且01y <<”是“22log log 0x y +<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件22log log 0x y +<得不出“01x <<，且01y <<”，所以“01x <<，且01y <<”是“22log log 0x y +<充分不必要条件； 故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键是要熟悉充分条件和必要条件的定义，能正确判断条件能否推出结论，结论能否推出条件.2．已知()()2ln 1f x x =+，()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若[]10,3x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．若关于x 的不等式9log 2(0xa x a -≤>且1)a ≠在02⎛⎤ ⎥⎝⎦，上恒成立，则a 的取值范围为______．。
对数函数经典例题
对数函数经典例题（实用版）目录1.对数函数的定义与性质2.对数函数的图像与性质3.对数函数的运算法则4.对数函数的应用5.经典例题解析正文对数函数是一种重要的数学函数，它被广泛应用于各个领域。
对数函数的定义为：如果，那么我们称 y 为以 a 为底的 x 的对数，记作：x=loga y（a>0，且 a≠1）。
根据这个定义，我们可以得到对数函数的一些基本性质。
首先，对数函数的图像与性质。
对数函数的图像通常为一条斜率为 1，截距为 0 的直线。
其性质包括：当 x=1 时，y=0；当 x>1 时，y>0；当0<x<1 时，y<0；当 x<0 时，y 不存在。
其次，对数函数的运算法则。
对数函数的运算法则包括：loga (xy) = logax + logay；loga (x/y) = logax - logay；loga x^n = nlogax。
再次，对数函数的应用。
对数函数在实际生活中的应用非常广泛，例如在计算机科学中，对数函数被用来表示数据的大小；在经济学中，对数函数被用来表示成本与收益的关系。
最后，让我们来看一些经典的对数函数例题。
例如，如果 a=2，那么log2 8 等于多少？根据对数函数的定义，我们可以得到 log2 8=3。
再比如，如果 a=10，b=100，那么 log10 100 等于多少？根据对数函数的定义，我们可以得到 log10 100=2。
总的来说，对数函数是一种重要的数学函数，它被广泛应用于各个领域。
对数函数的定义、图像、性质、运算法则以及应用，都是我们需要掌握的基本知识。
(完整版)对数函数图像及其性质题型归纳,推荐文档
对数函数及其性质题型总结1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的特征：特征Error!判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．【例1－1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x是对数函数，则实数a ＝__________．(1)图象与性质a ＞10＜a ＜1图象(1)定义域{x |x ＞0}(2)值域{y |y R }∈(3)当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1,0)(4)当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1时，y ＜0(4)当x ＞1时，y ＜0；当0＜x＜1时，y ＞0性质(5)在(0，＋∞)上是增函数(5)在(0，＋∞)上是减函数性质（6）底数与真数位于1的同侧函数值大于0，位于1的俩侧函数值小于0性质（7）直线x ＝1的右侧底大图低谈重点 对对数函数图象与性质的理解 对数函数的图象恒在y 轴右侧，其单调性取决于底数．a ＞1时，函数单调递增；0＜a ＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．题型一：定义域的求解 求下列函数的定义域．例1、(1)y ＝log 5(1－x )； (2)y ＝log (2x －1)(5x －4)；(3)．y =在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于y ＝log a f (x )的定义域时，应首先保证f (x )＞0．题型二:对数值域问题对数型函数的值域的求解(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．(2)对于形如y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )这两个函数；②求f (x )的定义域；③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解．注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．221log 1(4y ax ax R a =++数的定义域为，变式求实数的围。
高考数学基础知识专题提升训练69---对数函数y=log2x的图象和性质
高考数学基础知识专题提升训练对数函数y=log2x的图象和性质1.已知函数f(x)=log2(x+1),若f(a)=1,则a=()A.0B.1C.2D.3f(a)=log(a+1)=1,所以a+1=2,所以a=1.22.设集合A={x|y=log2x},B={y|y=log2x},则下列关系正确的是()A.A∪B=AB.A∩B=⌀C.A∈BD.A⊆BA={x|x>0},B=R,故A⊆B.3.函数y=|log2x|的图象大致是(),本题的图象变换是翻折变换,可知这个函数的图象是将y=log2x的图象位于x轴下方的部分关于x轴翻折上去,位于x轴及上方的部分保留不变而得到.4.设f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=log2x,则当x<0时,f(x)等于()A.-log 2xB.log 2(-x )C.log x 2D.-log 2(-x )x<0,则-x>0. 又x>0时,f (x )=log 2x ,∴f (-x )=log 2(-x ). 又∵f (x )是奇函数,∴f (-x )=-f (x ).∴x<0时,f (x )=-log 2(-x ).5.已知函数f (x )={3x ,x ≤0,log 2x ,x >0,那么f (f (18))的值为()A.27B.127C.-27D.-127(18)=log 218=log 22-3=-3,f (f (18))=f (-3)=3-3=127.6.设函数f (x )=log 2x (x>0)的反函数为y=g (x ),且g (a )=14,则a=.函数f (x )=log 2x (x>0)的反函数为y=2x ,即g (x )=2x (x ∈R ). 又∵g (a )=14,∴2a =14,∴a=-2.27.方程(12)x -log 2x=0的解的个数是.y=(12)x与y=log 2x 的图象,如图所示.由图知它们的图象只有一个交点,即方程(12)x =log 2x 仅有一个解,也就是方程(12)x-log 2x=0仅有一个解.8.函数f (x )=log 2x 在区间[a ,2a ](a>0)上最大值与最小值之差为.f (x )=log 2x 在区间[a ,2a ]上是增函数,∴f (x )max -f (x )min =f (2a )-f (a )=log 2(2a )-log 2a=1.9.当m 为何值时,关于x 的方程|log 2(x-1)|=m 无解?有一个解?有两个解?,分别画出函数y=|log 2(x-1)|和y=m 的图象,如图所示.由图象得:当m<0时,方程无解; 当m=0时,方程有一个解; 当m>0时,方程有两个解.10.已知函数y=log 2x 的图象,如何得到y=log 2(x+1)的图象?求出y=log 2(x+1)的定义域、值域、函数图象与x 轴的交点.y=log 2x 的图象向左平移1个单位长度即可得到函数y=log 2(x+1)的图象,如图.函数y=log 2(x+1)的定义域为(-1,+∞),值域为R ,与x 轴的交点是(0,0). 11.设方程2x +x-3=0的根为a ,方程log 2x+x-3=0的根为b ,求a+b 的值.2x=3-x,log2x=3-x.画出函数y=2x,y=log2x,y=3-x的图象,如图所示.由图可知,a是指数函数y=2x的图象与直线y=3-x的交点A的横坐标,b是对数函数x的图象与直线y=3-x的交点B的横坐标,y=log2由于函数y=log2x与y=2x互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称,因此,A,B两点也关于直线y=x对称.于是点A为(a,b),点B为(b,a).由于点A,点B都在直线y=-x+3上,故有b=-a+3或a=-b+3,即a+b=3.。
对数函数考点分析及经典例题讲解
对数函数考点分析及经典例题讲解1． 对数函数的定义：函数 x y log =)10(≠>a a 且叫做对数函数,定义域是 (0,)+∞a 的取值 0＜a ＜1a ＞1定义域(0,)+∞图 象图像特征在y 轴的右侧，过定点（1，0）即x =1时，y =0当x>0且x →0时,图象趋近于 y 轴正半轴. 当x>0且x →0时，图象趋近于 y 轴负半轴.值域 R性 质 过定点（1，0），在（0，+∞）上是减函数在（0，+∞）上是增函数 函数值的变化规律当0<x<1时，y ∈(0,+∞)当x=1 时，y=0; 当x>1 时, y<0.当0<x<1时，y<0; 当x=1时， y=0 ; 当x>1时， y>0 .3.对数函数y=log a x(a>0,且a ≠1)与指数函数y=a x(a>0,且a ≠1)互为反函数 .它们的图象关于x y =对称.案例分析： 考点一、比较大小例1、比较下列各组数中两个值的大小：（1）log 23.4，log 23.8； （2）log 0.51.8，log 0.52.1；（3）log a 5.1，log a 5.9； （4）log 75，log 67.(5)； (6)6log ,7log 768.0log ,log 23π变式训练：1、已知函数x y 2log =，则当1>x 时，∈y ；当10<<x 时，∈y .考点二、求定义域例2、求下列函数的定义域（1）0.2log (4);y x =-； （2）log ay =(0,1).a a >≠；（3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）y =例3、选择题：若03log 3log <<n m 则m 、n 满足的条件是（ ）A 、m>n>1B 、n>m>1C 、0<m<n<1D 、0<n<m<1例4 、函数)352(log 221++-=x x y 在什么区间上是增函数？在什么区间上是减函数？1、函数f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]在定义域上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．先增后减D ．先减后增 2、方程)13lg()3lg(222+-=x x 的解集是 ．3、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1x ≤0log 2x x ＞0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________．4、若0<)12(log )1(log 22-<+a a ，则实数a 的取值范围是 .5、方程()lg 3x +-()lg 3x -＝()lg 1x -的解是 ．考点三、求值域例1、（1）、12);4x -(-x log y 221+=（2）、3);-2x -(x log y 221=（3）y=log a (a-a x)(a>1).1、求下列函数的定义域、值域：⑴ ⑵⑶⑷41212-=--x y )52(log 22++=x x y )54(log 231++-=x x y )(log 2x x y a --=)10(<<a2、求函数y ＝log 2(x 2－6x ＋5)的定义域和值域．3、已知x 满足条件09log 9)(log 221221≤++x x ，求函数)4(log )3(log )(22xx x f ⋅=的最大值．4、已知)23lg(lg )23lg(2++=-x x x ，求222log x 的值。
对数函数常见题型(解析版)
4.4 对数函数1．对数函数的定义一般地，我们把函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(1)由于指数函数y＝a x中的底数a满足a＞0，且a≠1，则对数函数y＝log a x中的底数a也必须满足a＞0，且a≠1.(2)对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.2．对数函数的图象和性质一般地，对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表所示：a＞10＜a＜1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数非奇非偶函数3.反函数对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x 对称．4．对数型复合函数的单调性复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数.对于对数型复合函数y＝log a f(x)来说，函数y＝log a f(x)可看成是y＝log a u与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．5．对数型复合函数的值域对于形如y＝log a f(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：(1)分解成y＝log a u，u＝f(x)两个函数；(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；(3)求u的取值范围；(4)利用y＝log a u的单调性求解．题型一 对数函数的判断例1、（1）给出下列函数：①223log y x =；①3log (1)y x =-；①(1)log x y x +=；①log e y x =.其中是对数函数的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（2）若函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解:（1）①①不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x ； ①不是对数函数，因为对数的底数不是常数；①是对数函数．（2）由题可知：函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数所以23201a a a -+=⇒=或2a =，又0a >且1a ≠所以2a = 跟踪练习1．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）①y ＝log x 2；①y ＝log a x (a ①R )；①y ＝log 8x ；①y ＝ln x ；①y ＝log x (x ＋2)；①y ＝log 2(x ＋1)． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】形如log a y x =（0a >且1a ≠）的函数为对数函数，故①①为对数函数，所以共有2个. 2．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）①log 2x y =；①()log a y x a =∈R ；①8log y x =；①ln y x =；①()log 2x y x =+；①42log y x =；①()2log 1y x =+. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个【解析】由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数； 由于①中底数a ∈R 不能保证0a >，且1a ≠，∴①不是对数函数； 由于①①的真数分别为()2x +，()1x +，∴①①也不是对数函数； 由于①中4log x 的系数为2，∴①也不是对数函数； 只有①①符合对数函数的定义.3．（全国高一课时练习）若函数()2()log 45a f x x a a =+--是对数函数，a =_________.【解析】由对数函数的定义可知，245001a a a a ⎧--=⎪>⎨⎪≠⎩，解得5a =．题型二 对数函数的解析式或函数值例2（1）（上海高一专题练习）对数函数的图像过点M (125，3)，则此对数函数的解析式为（ ） A ．y ＝log 5xB ．y ＝15log xC ．y ＝13log xD ．y ＝log 3x（2）（全国高一课前预习）设()log a f x x =（0a >且1a ≠），若1(2)2f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）. A ．2B ．2-C ．12-D ．12【解析】（1）设函数解析式为y ＝log a x (a >0，且a ≠1)．由于对数函数的图像过点M (125，3)， 所以3＝log a 125，得a ＝5.所以对数函数的解析式为y ＝log 5x . （2）因为()log a f x x =（0a >且1a ≠），1(2)2f =，所以1(2)log 22a f ==，即122a =，解得4a =， 所以4()log f x x =，所以4111log 222f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.跟踪练习1．若某对数函数的图象过点()4,2，则该对数函数的解析式为（ ） A ．2log y x =B ．42log y x =C ．2log y x =或42log y x =D ．不确定【解析】设函数为()log 0,1a y x a a =>≠，依题可知，2log 4a =，解得2a =，所以该对数函数的解析式为2log y x =．2．若函数()()lo 1g a f x x =+(0,1)a a >≠的图像过点(7,3)，则a 的值为（ ） A 2B ．2C ．22D ．12【解析】由题, ()373log 182a a a +⇒=⇒==.题型三 对数函数的定义域例3（1）函数()ln 14x f x x-=-的定义域为（ ）A ．(]1,2B ．[]1,4C ．()1,4D ．[]2,4（2）已知函数(2)x y f =的定义域是[]1,1-，则函数3(log )f x 的定义域是（ ） A ．[]1,1-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,3D ．[3,9]（3）若函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则a =（ ） A ．1 B ．－1 C ．2D ．无法确定【解析】（1）对于函数()ln 14x f x x -=-1040x x ->⎧⎨->⎩，解得14x <<.因此，函数()ln 14x f x x-=-的定义域为()1,4.（2）由[]1,1x ∈-，得1,222x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以31log ,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以3,9x ⎤∈⎦． （3）函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则10ax +>的解集为(),1-∞， 即0a <，且10ax +=的根11a-=，故1a =-. 跟踪练习1．函数()00.5log 21y x =-⎡⎤⎣⎦的定义域为（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】要使函数有意义，只需()0.5log 210x -≠，即210211x x ->⎧⎨-≠⎩，解得112x <<或1x >． 2．函数3()log (21)1xf x x x =--的定义域是（ ） A ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(1,)+∞D ．1(,1)2【解析】由已知得1021>0x x ->⎧⎨-⎩，解得112x <<，所以函数()f x 的定义域为112⎛⎫⎪⎝⎭， 3．若函数(1)f x +的定义域为[0 1]，，则(lg )f x 的定义域为（ ） A ．[10 100]，B ．[1 2]，C ．[0 1]，D ．[0 lg2]，【解析】因为函数(1)f x +的定义域为[0 1]，，所以112x ≤+≤，所以1lg 2x ≤≤， 解得：10100x ≤≤，所以(lg )f x 的定义域为[10 100]，. 4.求下列函数的定义域 （1）2112y x x=+-- （2）函数221()x f x --=（3）20()(54)lg(43)x f x x x =+-+ 【解析】（1）若要使函数有意义，则22010x x ⎧-≠⎪⎨-≥⎪⎩，解得1≥x 或1x ≤-且2x ≠±，所以该函数的定义域为][)()(,2)(2,11,22,-∞-⋃--⋃⋃+∞；（2）若要使函数有意义，则2210log (1)010x x x ⎧--≥⎪-≠⎨⎪->⎩，解得3x ≥，所以该函数的定义域为[)3,+∞；（3）若要使函数有意义，则lg(43)0430540x x x +≠⎧⎪+>⎨⎪-≠⎩，解得34x >-且12x ≠-，45x ≠，所以该函数的定义域为31144,,,42255⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋃-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.题型四 对数函数的定点例4函数()log 272=+-a y x （0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．7,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()3,2--C ．()3,1--D ．()4,2--【解析】令271x +=，3x =-，则2y =-，即函数图象过定点()3,2--． 跟踪练习1．函数()()log 310,1a y x a a =->≠的图象过定点（ ） A ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,1-【解析】对于函数()()log 310,1a y x a a =->≠，令311x -=，可得23x =，则log 10a y ==， 因此，函数()()log 310,1a y x a a =->≠的图象过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭.2．函数()log 1a y x =-的图象必过的点是（ ） A ．()1,0- B ．()1,0C ．()0,0D ．()2,0【解析】() log 1a y x =-，则当11x -=，即2x =时，0y =是与a 的值无关的定值，故函数()log 1a y x =-的图形必过的点是()20,.3．（湖北高一开学考试）已知函数log (3)2a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则lg (4)lg (25)f f +=（ ) A ．2-B ．2C ．1D ．1-【解析】函数()log 32a y a =-+中，令31x -=，解得4x =，此时log 122a y =+=；所以函数y 的图象恒过定点()4,2P ，又点P 在幂函数()my f x x ==的图象上，所以42m =，解得0.5m =；所以()0.5f x x =，所以()()()()lg 4lg 25lg 425lg101f f f f +=⋅==⎡⎤⎣⎦．题型五 对数函数的值域（最值）例5（1）已知184x ≤≤，则函数2()log f x x =的值域是 。
高考数学基础知识专题提升训练75---对数函数y=logax的图象和性质
高考数学基础知识专题提升训练 对数函数y=log a x 的图象和性质1.函数f (x )=log a (x+1)+1(a>0,且a ≠1)的图象恒过定点P ,则点P 在函数()的图象上. A.y=3x+2 B.y=4-x 2 C.y=2xD.y=log 2xx+1=1,得x=0.又f (0)=log a 1+1=1.所以P (0,1),将P (0,1)代入各选项,可知只有选项C 符合,故选C .2.函数y=√log 12(2x -1)的定义域是()A.[1,+∞)B.(0,+∞)C.[0,1]D.(0,1],只需lo g 12(2x -1)≥0=lo g 121.∴0<2x -1≤1,解得0<x ≤1.故所求函数的定义域为(0,1].3.若log a 12>1(a>0,且a ≠1),则实数a 的取值范围是 ()A.(12,1)B.(-∞,12)C.(0,12)∪(12,+∞)D.(0,1)∪(1,+∞)log a 12>1得log a 12>log a a , 则有{a >1,a <12或{0<a <1,a >12,解得12<a<1.4.已知a<b,函数f(x)=(x-a)·(x-b)的图象如图所示,则函数g(x)=log b(x+a)的图象可能为()0<a<1<b,故函数g(x)为增函数,排除A,D.又0<a<1,结合选项可知选B.5.设a=log54,b=(log53)2,c=log45,则()A.b>c>aB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>blog5>log44=1,1=log55>log54>log53>(log53)2,所以c>a>b.46.若指数函数f(x)=a x(x∈R)的部分对应值如下表:则不等式log a(x-1)>0的解集为.f(-2)=4,所以a-2=4,故a=1,2故log a (x-1)>0,即lo g 12(x-1)>0.所以{x -1>0,x -1<1,得1<x<2.故不等式log a (x-1)>0的解集为(1,2).7.已知函数f (x )=log a (2-ax )(a>0,且a ≠1),若存在实数a ,使函数f (x )在区间[0,1]上是关于x 的减函数,则实数a 的取值范围是.u=2-ax ,∵a>0,且a ≠1,∴u=2-ax 在区间[0,1]上是关于x 的减函数. 又f (x )=log a (2-ax )在区间[0,1]上是关于x 的减函数,∴函数y=log a u 是关于u 的增函数,∴a>1.∵x ∈[0,1]时,u=2-ax 恒为正数,∴2-a>0. ∴{a >1,2-a >0,即1<a<2,故实数a 的取值范围为(1,2).8.已知函数f (x )=log a (1-x )+log a (x+3),其中0<a<1. (1)求函数f (x )的定义域.(2)若函数f (x )的最小值为-4,求a 的值.要使函数有意义,只需{1-x >0,x +3>0,解得-3<x<1,所以函数f (x )的定义域为(-3,1).(2)函数f (x )可化为f (x )=log a [(1-x )(x+3)]=log a (-x 2-2x+3)=log a [-(x+1)2+4], 因为-3<x<1,所以0<-(x+1)2+4≤4, 因为0<a<1,所以log a [-(x+1)2+4]≥log a 4,即f (x )min =log a 4,故log a 4=-4,得a -4=4, 所以a=4-14=√22. 9.已知函数f (x )=log a (x 2-2),且f (2)=1. (1)求a 的值; (2)求f (3√2)的值; (3)解不等式f (x )<f (x+2).因为f (2)=1,所以log a (22-2)=1, 即log a 2=1,解得a=2.(2)由(1)得函数f (x )=log 2(x 2-2), 则f (3√2)=log 2[(3√2)2-2]=log 216=4. (3)不等式f (x )<f (x+2), 即log 2(x 2-2)<log 2[(x+2)2-2], 即log 2(x 2-2)<log 2(x 2+4x+2).因为函数y=log 2x 在区间(0,+∞)上为增函数, 所以{x 2-2>0,x 2+4x +2>0,x 2-2<x 2+4x +2,解得x>√2,所以原不等式的解集为(√2,+∞). 10.已知函数f (x )=ln 1-mx x -1是奇函数.(1)求m 的值.(2)判断f (x )在区间(1,+∞)上的单调性,并加以证明.f (-x )=ln 1+mx-x -1=ln-1-mx 1+x ,-f (x )=-ln1-mx x -1=ln x -11-mx ,因为f (x )是奇函数,所以f (-x )=-f (x ), 即ln -1-mx 1+x=ln -1+x1-mx ,所以-1-mx 1+x=-1+x1-mx ,解得m=±1.当m=1时,1-mx x -1=-1,函数无意义,所以m=-1.(2)f (x )在区间(1,+∞)上是减函数,证明如下: 由(1)知f (x )=ln x+1x -1=ln (1+2x -1). 任取x 1,x 2且x 2>x 1>1, 则(1+2x1-1)−(1+2x 2-1)=2x 1-1−2x 2-1=2(x 2-x 1)(x 1-1)(x 2-1).由x 2>x 1>1知,x 2-x 1>0,x 1-1>0,x 2-1>0, 所以2(x 2-x 1)(x1-1)(x 2-1)>0,即(1+2x1-1)−(1+2x 2-1)>0,所以1+2x1-1>1+2x 2-1>0,所以ln (1+2x1-1)>ln (1+2x 2-1),即f (x 1)>f (x 2).所以函数f (x )在区间(1,+∞)上为减函数.0.50.5A.(1,+∞)B.(-∞,1)C.(0,+∞)D.(-∞,0){2x >0,x -1>0,2x >x -1,解得x>1.故原不等式的解集为(1,+∞).2.已知函数f(x)是函数y=log a x(a>0,且a≠1)的反函数,则函数y=f(x)+2的图象恒过点()A.(1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(0,3)y=loga x(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),且f(x)是函数y=logax(a>0,且a≠1)的反函数,所以函数f(x)的图象过定点(0,1),从而函数y=f(x)+2的图象过点(0,3).3.函数f(x)=log2(3x+3-x)是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数3x+3-x>0恒成立,所以f(x)的定义域为R.又因为f(-x)=log2(3-x+3x)=f(x),所以f(x)为偶函数.4.已知lo g13b<lo g13a<lo g13c,则()A.3b>3a>3cB.3a>3b>3cC.3c>3b>3aD.3c>3a>3bb>a>c,因为y=3x在定义域内是增函数,所以3b>3a>3c.5.若对数函数f(x)=lo g(a2-1)x在区间(0,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是.a2-1>1,解得a>√2,或a<-√2.√2,或a<-√26.函数f (x )={ax +b ,x ≤0,log c (x +19),x >0的图象如图所示,则a+b+c=.,x ≤0时,函数f (x )的图象过点(-1,0),(0,2), 则有{-a +b =0,b =2,解得a=b=2.又由题图可知,函数y=log c (x +19)的图象过点(0,2), 则有log c 19=2,解得c=13, 所以a+b+c=2+2+13=133.7.已知f (x )=2+log 3x ,x ∈[1,9],求y=[f (x )]2+f (x 2)的最大值,及y 取最大值时x 的值.f (x )=2+log 3x ,x ∈[1,9],∴y=[f (x )]2+f (x 2)=(2+log 3x )2+(2+log 3x 2)=(log 3x )2+6log 3x+6=(log 3x+3)2-3. ∵函数f (x )的定义域为[1,9],∴要使函数y=[f (x )]2+f (x 2)有意义,必须满足{1≤x 2≤9,1≤x ≤9,解得1≤x ≤3.令u=log 3x ,则0≤u ≤1.又∵函数y=(u+3)2-3在区间[-3,+∞)上单调递增,∴当u=1,即x=3时,函数y=(u+3)2-3取得最大值13. 故当x=3时,函数y=[f (x )]2+f (x 2)取得最大值13.8.我们知道对数函数f(x)=log a x,对任意x,y>0,都有f(xy)=f(x)+f(y)成立,若a>1,则当x>1时,f(x)>0.参照对数函数的性质,研究下面的问题:定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)对任意x,y∈(0,+∞),都有f(xy)=f(x)+f(y),并且当且仅当x>1时,f(x)>0成立.(1)设x,y∈(0,+∞),求证:f(yy)=f(y)-f(x);(2)设x1,x2∈(0,+∞),若f(x1)>f(x2),比较x1与x2的大小.x,y∈(0,+∞),都有f(xy)=f(x)+f(y),把x用yy代替,把y用x代替,可得f(y)=f(yy)+f(x),即f(yy)=f(y)-f(x).f(x)在x∈(0,+∞)上的单调性,设x3,x4∈(0,+∞),且x3>x4,则f(x3)-f(x4)=f(y3y4).又因为x3,x4∈(0,+∞),且x3>x4,所以y3y4>1.由题目已知条件当且仅当x>1时,f(x)>0成立,故f(y3y4)>0,则f(x3)-f(x4)=f(y3y4)>0,即f(x3)>f(x4).所以函数f(x)在x∈(0,+∞)上单调递增.因此对x1,x2∈(0,+∞),若f(x1)>f(x2),则可以得到x1>x2.。
对数函数专题——含参对数函数完整版题型汇总
对数函数专题——含参对数函数完整版题型汇总一、定义与性质1. 对数函数的定义对数函数是指定义域在正数集合上的函数，它的函数值是指数函数的反函数。
通常用符号 $\log$ 表示对数函数。
2. 对数函数的性质- 对数函数的图像是一条倾斜的曲线，与指数函数的图像关于直线 $y = x$ 对称。
- 对数函数具有单调递增性质，即随着自变量的增加，函数值也会增加。
- 对数函数的定义域是正数集合，值域是实数集合。
二、常见题型1. 对数运算题型例题：计算 $\log_3 27$。
解析：由于 $3^3 = 27$，所以 $\log_3 27 = 3$。
2. 对数方程题型例题：求解方程 $2^x = 8$。
解析：将 $8$ 表示成 $2$ 的幂次形式得到 $8 = 2^3$，所以$2^x = 2^3$，即 $x = 3$。
3. 对数不等式题型例题：求解不等式 $\log_2 \left( \frac{x}{3} \right) \geq 2$。
解析：根据对数定义，$\log_2 \left( \frac{x}{3} \right) \geq2$ 可转化为 $\frac{x}{3} \geq 2^2$，即 $\frac{x}{3} \geq 4$。
解得$x \geq 12$。
三、注意事项1. 在计算对数函数的值时，要注意指数与对数的关系，充分运用指数函数和对数函数的定义和性质。
2. 在解对数方程和不等式时，要注意将题目中的式子转化为指数形式，再进行相应的运算。
以上是对数函数专题中含参对数函数完整版题型汇总的简要内容。
对数函数作为数学中常见的函数之一，在应用中具有广泛的用途。
掌握对数函数的基本定义、性质和解题方法，有助于提高数学问题的解决能力。
高中数学复习：对数函数的图像和性质练习及答案
高中数学复习：对数函数的图像和性质练习及答案1.已知函数f (x)＝133,1log,1x xx x⎧≤⎪⎨>⎪⎩则函数y＝f (1－x)的大致图象是（）A. B. C.D.【答案】D【解析】先画出函数f (x)＝133,1log,1x xx x⎧≤⎪⎨>⎪⎩的草图，令函数f (x)的图象关于y轴对称，得函数f (－x)的图象，再把所得的函数f (－x)的图象，向右平移1个单位，得到函数y＝f (1－x)的图象，故选：D.2.函数f（x）=10x与函数g（x）=lgx的图象A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于y=x 对称 【答案】D【解析】因为f （x ）=10x 与函数g （x ）=lgx 是一对反函数，所以其图象关于y=x 对称.故选D.3.函数f （x ）=ln|11x x +-|的大致图象是（ ） A. B. C. D.【答案】D【解析】因为()()11ln ln 11x x f x f x x x-+-==-=-+-，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，可排除,A C ；由()2ln30f =>,可排除B ，故选D.4.函数f （x ）=log 2（x+1）与g （x ）=2﹣x +1在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】定义域为，函数为增函数；定义域为，函数为减函数，所以结合指数函数对数函数的性质可知B 图像正确5.已知函数f(x)＝－x 2＋2，g(x)＝log 2|x |，则函数F(x)＝f(x)·g(x)的图象大致为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，函数()(),f x g x 为偶函数，∴函数()()()F x f x g x =为偶函数，其图象关于y 轴对称，故只需考虑0x >时的情形即可.由函数()(),f x g x 的取值情况可得，当0x >时，函数()F x 的取值情况为先负、再正、再负， 所以结合各选项得B 满足题意.故选B.6.设函数()()21ln 11f x x x =+-+，则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A.1,13⎛⎫⎪⎝⎭ B.()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C.11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.11,,33⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】A【解析】因为函数()()21ln 11f x x x =+-+定义域为R ，关于原点对称， 且()()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x x x -=+--=+-=++-， 所以函数()f x 是偶函数，又()f x 在()0,∞+是增函数，所以()()21f x f x >-等价于()()21fx f x >-， 所以2213410x x x x >--+<，， 解得113x <<， 故选：A7.函数2()ln(1)x xe ef x x --=+在[3,3]-的图象大致为（ ） A. B. C.D.【答案】C 【解析】函数2()ln(1)x x e e f x x --=+， 则2()()ln(1)x xe ef x f x x ---==-+，所以()f x 为奇函数，排除B 选项； 当x →+∞时，2()ln(1)x xe ef x x --=→+∞+，所以排除A 选项； 当1x =时，11 2.720.37(1) 3.4ln(11)ln 20.69e e e ef -----==≈≈+， 排除D 选项；综上可知，C 为正确选项，故选：C.8.函数()1ln 1y x x=-+的图象大致为（ ） A. B. C. D.【答案】A【解析】0x >时，函数为减函数，排除B ，10x -<<时，函数也是减函数，排除D ，又1x =时，1ln 20y =->，排除C ，只有A 可满足.故选：A.9.函数()()22ln 11x f x x +=+的大致图像为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为()()22ln 11x f x x +=+是由()22ln x g x x=向左平移一个单位得到的， 因为()22ln ()(0)()x g x g x x x --==≠-， 所以函数()22ln x g x x =为偶函数，图像关于y 轴对称， 所以()f x 的图像关于1x =-对称，故可排除A ，D 选项；又当2x <-或0x >时，2ln 10x +>，()210x +>，所以()0f x >，故可排除C 选项故选：B .10.在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ） A. B. C. D.【答案】D【解析】当01a <<时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.故选：D11.函数()24ln x f x x =的部分图象大致为（ ） A. B. C. D.【答案】A【解析】因为()24ln x f x x =是偶函数，排除B ，当01x <<时，ln 0x <，()204ln x f x x=<，排除C ， 当x e =时()214e f e =>，排除D. 故选：A.12.已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）=x 2﹣2x ﹣3，求当x ≤0时，不等式f （x ）≥0整数解的个数为（ ）A.4B.3C.2D.1【答案】A【解析】由函数为奇函数可知当x ≤0时，不等式f （x ）≥0整数解的个数与0x ≥时()0f x ≤的个数相同，由奇函数可知()00f =，由2230x x --≤得()()320x x -+≤，所以整数解为1,2，3，所以满足题意要求的整数点有4个 13.若x 1，x 2是方程2x ＝12⎛⎫⎪⎝⎭+1-1x 的两个实数解，则x 1＋x 2＝________.【答案】-1【解析】∵2x ＝1112x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，∴2x ＝112x - ，∴x ＝1x－1，∴x 2＋x －1＝0.∴x 1＋x 2＝－1.故答案：－114.已知函数()lg f x x =. (1)画出函数()y f x =的草图,并根据草图求出满足()1f x >的x 的集合；(2)若0a b <<,且()()f a f b >,求证：1ab <.【答案】(1)图见解析，(0，110)∪(10，＋∞).(2)证明见解析 【解析】(1)画出函数()y f x =的草图,如图所示：令()1f x =,则lg 1,lg 1x x ==±,可得10x =或110x =. 故满足()1f x >的x 的集合为1(0,)(10,)10⋃+∞. (2)证明：若0a b <<,且()()f a f b >,则lg lg a b >.当01a b <<≤时, lg lg a b >显然成立且1ab <.当01a b <≤≤,因为lg lg a b >则lg lg lg +lg 0lg 01a b a b ab ab -><⇒<⇒<，成立 当1a b ≤<时, lg lg a b >不成立.综上所述1ab <成立.15.已知函数2()4||3f x x x =-+，（1）试证明函数()f x 是偶函数；（2）画出()f x 的图象；（要求先用铅笔画出草图，再用黑色签字笔描摹，否则不给分）（3）请根据图象指出函数()f x 的单调递增区间与单调递减区间；（不必证明）（4）当实数k 取不同的值时，讨论关于x 的方程24||3x x k -+=的实根的个数；（不必求出方程的解）【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）增区间()()+∞-,2,0,2减区间)2,0(),2,(--∞（4）①当1k <-时，方程无实数根；②当1k =-或3k >时，方程有两个实数根；③当3k =时，方程有三个实数根；④当13k -<<时，方程有四个实数根【解析】（1）()f x 的定义域为R ,且2()()4||3f x x x -=---+24||3()x x f x =-+=故()f x 为偶函数；（2）如图（3）递增区间有：()()+∞-,2,0,2递减区间有：)2,0(),2,(--∞（4）根据图象可知，①当1k <-时，方程无实数根；②当1k =-或3k >时，方程有两个实数根；③当3k =时，方程有三个实数根；④当13k -<<时，方程有四个实数根；16.已知函数f (x )＝x ln x －x .（1）设g (x )＝f (x )＋|x －a |，a ∈R.e 为自然对数的底数.①当32a e =-时，判断函数g (x )零点的个数； ②1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数g (x )的最小值. （2）设0＜m ＜n ＜1，求证：()2201m f n m +<+ 【答案】（1）① g (x )有且仅有两个零点.②a －e.（2）证明见解析【解析】（1）①当32a e =-时， g (x )＝x ln x －x ＋|x ＋32e |＝x ln x ＋32e ， g ′(x )＝1＋ln x ，当0＜x ＜1e 时，g ′(x )＜0；当x ＞1e时，g ′(x )＞0； 因此g (x )在(0，1e )上单调递减，在(1e ，＋∞)上单调递增， 又434412424g =0e e e e e -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，g (1e )＝－1e ＋23322e e e-=＜0，g (1)＝32e ＞0， 所以g (x )有且仅有两个零点.②（i ）当a ≤1e 时，g (x )＝x ln x －x ＋x －a ＝x ln x －a ， 因为x ∈[1e，e ]，g ′(x )＝1＋lnx ≥0恒成立， 所以g (x )在[1e ，e ]上单调递增，所以此时g (x )的最小值为g (1e )＝－1e－a . （ii ）当a ≥e 时，g (x )＝x ln x －x ＋a －x ＝x ln x －2x ＋a ，因为x ∈[1e，e]，g ′(x )＝ln x －1≤0恒成立， 所以g (x )在[1e，e ]上单调递减，所以此时g (x )的最小值为g (e )＝a －e . （iii ）当1e＜a ＜e 时， 若1e ≤x ≤a ，则g (x )＝x ln x －x ＋a －x ＝x ln x －2x ＋a ， 若a ≤x ≤e ，则g (x )＝x ln x －x ＋x －a ＝x ln x －a ，由（i ），（ii ）知g (x )在[1e，a ]上单调递减，在[a ，e ]上单调递增， 所以此时g (x )的最小值为g (a )＝a ln a －a ，综上有：当a ≤1e 时，g (x )的最小值为－1e－a ；当1e＜a ＜e 时，g (x )的最小值为a ln a －a ； 当a ≥e 时，g (x )的最小值为a －e . （2）设h (x )＝221x x +， 则当x ∈(0，1)时，h ′(x )＝()()222211x x -+＞0，于是h (x )在(0，1)单调递增， 又0＜m ＜n ＜1，所以h (m )＜h (n )，从而有()()()2222ln 111m f n f n h n n n m n ⎛⎫+<+=-+ ⎪++⎝⎭设φ(x )＝22ln 11n n -++，x ＞0 则φ′(x )＝()()()222222114011x x x x x x --=≥++因此φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，因为0＜n ＜1，所以φ(n )＜φ(1)＝0，即ln n －1＋221n +＜0， 因此()2222ln 1011m f n n n m n ⎛⎫+<-+< ⎪++⎝⎭ 即原不等式得证.17.已知函数f (x )＝xln x ，g (x )＝－x 2＋ax －2(e 为自然对数的底数，a ∈R ).（1）判断曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与曲线y ＝g (x )的公共点个数；（2）当1[,]x e e ∈时，若函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）3＜a ≤e ＋2e＋1. 【解析】（1）()1f x lnx '=+，所以切线的斜率()11k f ='=，又()10f =，所以曲线在点(1,0)处的切线方程为1y x =-， 由221y x ax y x ⎧=-+-⎨=-⎩，得2(1)10x a x +-+=，由△22(1)423(1)(3)a a a a a =--=--=+-可得， 当△0>时，即1a <-或3a >时，有两个公共点， 当△0=时，即1a =-或3a =时，有一个公共点， 当△0<时，即13a -<>时，没有公共点， （2）2()()2y f x g x x ax xlnx =-=-++， 由0y =，得2a x lnx x=++， 令2()h x x lnx x=++，则2(1)(2)()x x h x x -+'=，当1[x e∈，]e 时，由()0h x '=，得1x =，所以()h x 在1[e，]e 上单调递减，在[1，]e 上单调递增，因此()()13min h x h ==， 由11()21h e e e =+-，()21h e e e =++，比较可知()1h h e e ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以，结合函数图象可得， 当231a e e<++时，函数()()y f x g x =-有两个零点. 18.根据函数f(x)＝log 2x 的图像和性质解决以下问题： (1)若f(a)>f(2)，求a 的取值范围； (2)求y ＝log 2(2x －1)在[2,14]上的最值.【答案】(1) (2，＋∞) (2) 最小值为log 23，最大值为log 227【解析】（1）由函数2()log f x x =的单调性及()(2)f a f >，即可求出a 的取值范围；（2）根据定义域为[2,14]，表示出21x -的取值范围，结合对数函数的性质，即可求得最值. 试题解析：函数f (x )＝log 2x 的图象如图：(1)因为f (x )＝log 2x 是增函数，故f (a )>f (2)，即log 2a >log 22，则a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞). (2)∵2≤x ≤14，∴3≤2x －1≤27， ∴log 23≤log 2(2x －1)≤log 227.∴函数y ＝log 2(2x －1)在[2,14]上的最小值为log 23，最大值为log 227.19.已知定义在R 上的函数()y f x =满足()()()111f x f x f x -=+=-，当[]12x ∈，时，2()log f x x =，若方程()0f x ax -=在()0+∞，上恰好有两个实数根，则正实数a 的值为（ ） A.2log eeB.1ln 2e C.12D.2【答案】C【解析】由()()()111f x f x f x -=+=-，可知()f x 为偶函数，且一条对称轴为1x =， 再由()()11f x f x +=-，可得()2()f x f x +=，即函数()f x 的周期为2.根据[]12x ∈，时，2()log f x x =作出函数()f x 的草图，如图所示：方程()0f x ax -=在()0+∞，上恰好有两个实数根， ∴函数y ax =与()y f x =的图象在y 轴右侧有两个交点，设y ax =与2log y x =相切时，切点坐标为()020log x x ，， 由1ln2y x '=，得2000log 1ln2x x x =，解得02x e =>.∴由图象可知，当直线y ax =过点()21，时，方程()0f x ax -=在()0+∞，上恰好有两个实数根， 12a ∴=. 故选：C .20.已知函数2|1|,0()log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3122341x x xx x++的取值范围是（）.A.(1,)-+∞ B.[1,1)- C.(,1)-∞ D.(]1,1-【答案】D【解析】函数()21,0|log,0x xf xx x⎧+⎪=⎨>⎪⎩，的图象如下：根据图象可得：若方程()f x a=有四个不同的解1x，2x，3x，4x，且1234x x x x<<<，则11x a+=-，21x a+=，23log x a=-，24log x a=.(01)a<≤122x x+=-，32ax-=，42ax=∴则31222344()22221222a aa a ax x xx x---++=-⋅+=-⋅.令2a t，(1t∈，2]，而函数2y tt=-在(1，2]单调递增.所以211tt-<-≤，则21212aa∴-<-.故选：D.21.函数()log1xaf x a x=-有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A.()1,10 B.()1,+∞C.0,1D.()10,+∞【答案】B【解析】函数()f x有两个零点等价于1xya⎛⎫= ⎪⎝⎭与log ay x=的图象有两个交点，当01a<<时同一坐标系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当1a>时同一坐标系中做出两函数图象如图（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B.22.已知函数()2,11,12x a x f x x a x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，其中a R ∈.如果函数()f x 恰有两个零点，则a 的取值范围为（ ）A.1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B.[)2,-+∞C.12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D.12,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】当1x ≤时，(]2,2xy a a a =+∈+，当1x >时，11,22y x a a ⎛⎫=+∈++∞ ⎪⎝⎭， 两段均为增函数，函数()f x 恰有两个零点，可得102200a a a ⎧+<⎪⎪⎨+≥⎪⎪<⎩，解得12,2a ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭. 故选：D23.给出下列四个结论：(1)若集合A ={x,y }，B ={0，2x },且A=B ,则x =1,y =0;(2)若函数f (x )的定义域为（-1,1），则函数f (2x +1)的定义域为（-1，0); (3)函数1()f x x=的单调减区间是{}0x x ≠； (4)若()()()f x y f x f y +=⋅，且(1)2f =，则(2)(4)(2014)(2016)(2018)2018(1)(3)(2013)(2015)(2017)f f f f f f f f f f +++++=其中不正确的有______.【答案】（3）【解析】（1）因为A=B ，所以20,0,1x y x x x ≠==∴=，故（1）正确；（2）因为函数f (x )的定义域为（-1,1），所以121110x x -<+<∴-<<，故（2）正确； （3）函数1()f x x=的单调减区间是(,0)-∞和(0,)+∞，故（3）错误； （4）因为()()()f x y f x f y +=⋅，所以(1)()(1)2()f x f x f f x +=⋅=， 因此(2)(4)(2014)(2016)(2018)210092018(1)(3)(2013)(2015)(2017)f f f f f f f f f f +++++=⨯=，故（4）正确；故答案为：（3） 24.已知1275a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1357b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，25log 7c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）. A.b a c << B.c b a <<C.c a b <<D.b c a <<【答案】C 【解析】12125757a -⎛⎫=⎛⎫= ⎝⎭⎪⎭⎪⎝<135()7b =，225log log 107c =<= 因此c a b << 故选：C.25.函数()log (2)a f x ax =-（0a >且1a ≠）在[]0,3上为增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A.2,13⎛⎫⎪⎝⎭B.(0,1)C.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D.[)3,+∞ 【答案】C【解析】因为0a >且1a ≠，令2t ax =-，所以函数2t ax =-在[]0,3上为减函数， 所以函数log a y t =应是减函数，()f x 才可能是增函数， ∴01a <<，因为函数()f x 在[]0,3上为增函数， 由对数函数性质知230a ->，即23<a ，综上023a <<. 故选：C .26.设3log 7a =， 1.12b =， 3.10.8c =，则（ ） A.b a c << B.a c b <<C.c b a <<D.c a b <<【答案】D【解析】因为333log 7(log 3,log 9)a =∈，所以(1,2)a ∈； 1.122b =>； 3.100.80.81c =<=； 所以c a b <<， 故选D.27.三个数0.76，60.7，0.7log 6的大小顺序是（ ）A.60.70.7log 60.76<<B.60.70.70.76log 6<< C.0.760.7log 660.7<<D.60.70.70.7log 66<<【答案】A【解析】因为0.70661>=，6000.70.71<<=，0.70.7log 6log 10<=；所以60.70.7log 60.76<<.故选：A.28.已知0.42x =，2lg 5y =，0.425z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A.x y z << B.y z x << C.z y x << D.z x y <<【答案】B 【解析】0.4221x =>=，2lg lg105y =<=，0.421525z ⎛⎫<= ⎪⎝⎫⎭⎭⎛=⎪⎝，又0z >，即01z <<. 因此，y z x <<. 故选：B.考点1函数的反函数1.函数y＝ln x＋1(x>0)的反函数为( )A．y＝e x＋1(x∈R)B．y＝e x－1(x∈R)C．y＝e x＋1(x>1)D．y＝e x－1(x>1)【答案】B【解析】由y＝ln x＋1，得x＝e y－1.又因为函数y＝ln x＋1的值域为R，于是y＝ln x＋1的反函数为y＝e x－1(x∈R)．故选B.2.函数f(x)＝(x－1)2＋1(x<1)的反函数为( )A．f－1(x)＝1＋(x>1)B．f－1(x)＝1－(x>1)C．f－1(x)＝1＋(x≥1)D．f－1(x)＝1－(x≥1)【答案】B【解析】∵x<1⇒y＝(x－1)2＋1，∴(x－1)2＝y－1⇒x－1＝－，∴反函数为f－1(x)＝1－(x>1)．3.已知指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，f(x)的反函数记为y＝g(x)，且g(x)过点(4,2)，则f(x)的解析式是( )A．f(x)＝log4xB．f(x)＝log2xC．f(x)＝2xD．f(x)＝4x【答案】C【解析】指数函数的解析式为：f(x)＝a x(a>0，a≠1)，∵f(x)的反函数记为y＝g(x)函数的图象经过(4,2)点，∴f(x)的图象经过(2,4)点，∴4＝a2，a＝2，∴指数函数的解析式为y＝2x.故选C.4.已知函数f(x)的反函数为g(x)＝log2x＋1，则f(2)＋g(2)等于( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】因为函数f(x)的反函数为g(x)＝log2x＋1，所以f(2)＋g(2)＝f(2)＋2.而根据反函数的图象与性质可知f(2)＝2，因此选D.5.函数y＝f(x)的图象与y＝2x的图象关于直线y＝x对称，则函数y＝f(4x－x2)的递增区间是________．【答案】(0,2)【解析】∵函数y＝f(x)的图象与y＝2x的图象关于直线y＝x对称，∴y＝f(x)与y＝2x互为反函数，∵y＝2x的反函数为y＝log2x，∴f(x)＝log2x，f(4x－x2)＝log2(4x－x2)．令t＝4x－x2，则t>0，即4x－x2>0，∴x∈(0,4)，又∵t＝4x－x2的对称轴为x＝2，且对数的底数大于1，∴y＝f(4x－x2)的递增区间为(0,2)．6.设f－1(x)为f(x)＝2x－2＋，x∈[0,2]的反函数，则y＝f(x)＋f－1(x)的最大值为________．【答案】4【解析】由题意得：f(x)在[0,2]上单调递增，值域为[，2]，所以f－1(x)在[，2]上单调递增，因此y ＝f(x)＋f－1(x)在[，2]上单调递增，其最大值为f(2)＋f－1(2)＝2＋2＝4.7.函数f(x)＝a x＋log a(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为( )A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】函数f(x)＝a x＋log a(x＋1)，令y1＝a x，y2＝log a(x＋1)，显然在[0,1]上，y1＝a x与y2＝log a(x＋1)同增或同减．因而[f(x)]max＋[f(x)]min＝f(1)＋f(0)＝a＋log a2＋1＋0＝a，解得a＝.8.设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a等于( ) A．－1 B．1 C．2 D．4【答案】C【解析】设(x，y)是函数y＝f(x)的图象上任意一点，它关于直线y＝－x对称点为(－y，－x)，由已知知(－y，－x)在函数y＝2x＋a的图象上，∴－x＝2－y＋a，解得y＝－log2(－x)＋a，即f(x)＝－log2(－x)＋a，∴f(－2)＋f(－4)＝－log22＋a－log24＋a＝1，解得a＝2.9.方程log2x＋log2(x－1)＝1的解集为M，方程22x＋1－9·2x＋4＝0的解集为N，那么M与N的关系是( ) A．M＝N B．M N C．M N D．M∩N＝∅【答案】B【解析】由log2x＋log2(x－1)＝1，得x(x－1)＝2，解得x＝－1(舍)或x＝2，故M＝{2}；由22x＋1－9·2x＋4＝0，得2·(2x)2－9·2x＋4＝0，解得2x＝4或2x＝，即x＝2或x＝－1，故N＝{2，－1}，因此有M N.10.已知函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)【答案】C【解析】①当a>0时，f(a)＝log2a，f(－a)＝，f(a)>f(－a)，即log2a>＝log2，∴a>，解得a>1.②当a<0时，f(a)＝，f(－a)＝log2(－a)，f(a)>f(－a)，即>log2(－a)＝，∴－a<，解得－1<a<0，由①②得－1<a<0或a>1.11.若函数f(x)＝x2lg a－2x＋1的图象与x轴有两个交点，则实数a的取值范围是( ) A．0<a<10B．1<a<10C．0<a<1D．0<a<1或1<a<10【答案】D【解析】lg a≠0且Δ＝4－4lg a>0，解得0<a<1或1<a<10，故选D.12.已知集合A＝{x|x2≥1，x∈R}，B＝{x|log2x<2，x∈R}，则∁R A∩B等于( ) A．[0,1]B．(0,1)C．(－3,1)D．[－3,1]【答案】B【解析】集合A＝{x|x2≥1，x∈R}＝{x|x≥1，或x≤－1}，B＝{x|log2x<2，x∈R}＝{x|0<x<4}，∴∁R A＝(－1,1)，∴∁R A∩B＝(0,1)，故选B.13.已知函数f(x)＝log a(x－1)(a>0，且a≠1)，g(x)＝log a(3－x)(a>0，且a≠1)．(1)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的定义域；(2)利用对数函数的单调性，讨论不等式f(x)≥g(x)中x的取值范围．【答案】(1)要使函数h(x)＝f(x)－g(x)＝log a(x－1)－log a(3－x)有意义，需有解得1<x<3，故函数h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为(1,3)．(2)因为不等式f(x)≥g(x)，即log a(x－1)≥log a(3－x)，当a>1时，有解得2≤x<3.当0<a<1时，有解得1<x≤2.综上可得，当a>1时，不等式f(x)≥g(x)中x的取值范围为[2,3)；当0<a<1时，不等式f(x)≥g(x)中x 的取值范围为(1,2]．14.已知函数f(x)＝log a(1＋x)，g(x)＝log a(1－x)，(a>0，且a≠1)．(1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3,63]，求函数f(x)的最值；(2)求使f(x)－g(x)>0的x的取值范围．【答案】(1)当a＝2时，函数f(x)＝log2(x＋1)为[3,63]上的增函数，故f(x)max＝f(63)＝log2(63＋1)＝6，f(x)min＝f(3)＝log2(3＋1)＝2.(2)f(x)－g(x)>0，即log a(1＋x)>log a(1－x)，①当a>1时，1＋x>1－x>0，得0<x<1.②当0<a<1时，0<1＋x<1－x，得－1<x<0.15.下列函数关系中，可以看成是指数型函数y＝ka x(k∈R，a＞0且a≠1)模型的是( )A．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)B．我国人口年自然增长率为1%，我国人口总数随年份的变化关系C．如果某人t s内骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系D．信件的邮资与其重量间的函数关系【答案】B【解析】A：竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系，是二次函数关系；B：我国人口年自然增长率为1%，我国人口总数随年份的变化关系，是指数型函数关系；C：如果某人t s内骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系，是反比例函数关系；D：信件的邮资与其重量间的函数关系，是正比例函数关系．故选B.16.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为如图所示的( )A．B．C．D．【答案】D【解析】设原来森林蓄积量是a，则a(1＋10.4%)y＝ax,1.104y＝x，所以y＝log1.104x，故选D.17.如图是某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积会超过30m2；③野生水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延至2m2、3m2、6m2所需的时间分别为t1、t2、t3则有t1＋t2＝t3；其中正确的说法有________．(请把正确的说法的序号都填在横线上)【答案】①②④【解析】∵其关系为指数函数，图象过(4,16)点，∴指数函数的底数为2，故①正确；当t＝5时，s＝32＞30，故②正确；4对应的t＝2，经过1.5月后面积是23.5＜12，故③不正确；∵t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴有t1＋t2＝t3，故④正确．综上可知，①②④正确．故答案为①②④.18.我国辽东半岛普兰附近的泥炭层中，发掘出的古莲子，至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可用放射性碳法．在动植物的体内都含有微量的放射性14C，动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变，经过5570年(叫做14C的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半，经过科学家测定知道，若14C的原始含量为a，则经过t年后的残余量a′(与a之间满足a′＝a·e－kt)．现测得出土的古莲子中14C残余量占原量的87.9%，试推算古莲子的生活年代．【答案】因为a′＝a·e－kt，即＝e－kt.两边取对数，得lg＝－kt lge．①又知14C的半衰期是5570年，即当t＝5570时，＝.故lg＝－5570k lge，即k lge＝.代入①式，并整理，得t＝－.这就是利用放射性碳法计算古生物年代的公式．现测得古莲子的是0.879，代入公式，得t＝－≈1036.即古莲子约是1036年前的遗物．19.诺贝尔奖发放方式为：每年一次，把资金总额平均分成6份，奖励在6个领域(物理学、化学、文学、经济学、医学或生理学、和平事业)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%，资料显示：1999年诺贝尔奖发放后基金总额约为19800万美元，设f(x)表示为第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，…，依此类推)．(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.03129≈1.32,1.031210≈1.36)【答案】(1)由题意知f(2)＝f(1)(1＋6.24%)－f(1)×6.24%＝f(1)×(1＋3.12%)，f(3)＝f(2)(1＋6.4%)－f(2)×6.24%＝f(1)(1＋3.12%)2，∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x－1(x∈N*)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9≈26107(万美元)．2009年诺贝尔奖各项金额为×f(10)×6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元．故该新闻是假的．20.某城市现有人口总数为100万，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数解析式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年后该城市人口总数将达到120万人．(精确到1年)[参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)15≈1.196，(1＋1.2%)16≈1.210]【答案】(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；2年后该城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；3年后该城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)3…故x年后该城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人)．(3)令y＝120，则有100(1＋1.2%)x＝120，解得x≈16.即大约16年后该城市人口总数将达到120万人．。
高考数学-对数函数图像和性质及经典例题
高考数学-对数函数图像和性质及经典例题对数函数图像和性质及经典例题第一部分：回顾基础知识点对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．对数函数的图象和性质○1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（1）x y 2log = （2） x y 21log =（3） x y 3log = （4） x y 31log =○2 对数函数的性质如下：图象特征函数性质1a >1a 0<< 1a > 1a 0<<函数图象都在y 轴右侧函数的定义域为（0，＋∞）图象关于原点和y 轴不对称非奇非偶函数向y 轴正负方向无限延伸函数的值域为R函数图象都过定点（1，1）11=α自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数第一象限的图象纵坐标都大于0第一象限的图象纵坐标都大于0 0log ,1>>x x a0log ,10><<="" p="" x="">第二象限的图象纵坐标都小于0第二象限的图象纵坐标都小于00log ,10<<<="" p="" x="">0log ,1<>x x a○3 底数a 是如何影响函数x y alog =的．规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．第二部分：对数函数图像及性质应用例1．如图，A ，B ，C 为函数x y 21log =的图象上的三点，它们的横坐标分别是t , t +2, t +4(t ≥1).(1)设?ABC 的面积为S 。
求S=f (t ) ； (2)判断函数S=f (t )的单调性； (3) 求S=f (t)的最大值.解：（1）过A,B,C,分别作AA 1,BB 1,CC 1垂直于x 轴，垂足为A 1,B 1,C 1，则S=S 梯形AA 1B 1B +S 梯形BB 1C 1C －S 梯形AA 1C 1C .)441(log )2(4log 232231t t t t t ++=++= （2）因为v =t t 42+在),1[+∞上是增函数,且v ≥5,[)∞++=.541在v v 上是减函数，且1S ??=59,1log 3在u 上是增函数，所以复合函数S=f (t ) [)+∞++=,1)441(log 23在tt 上是减函数（3）由（2）知t =1时，S 有最大值，最大值是f (1) 5log 259log 33-== 例2．已知函数f(x 2-3)=lg 622-x x ,(1)f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性；(3)求f(x)的反函数; (4)若f[)(x φ]=lgx,求)3(φ的值。
对数运算,对数函数图像性质题型归纳含详解
对数运算，对数函数图像性质题型归纳题型一：指数式与对数式互化1、将下列指数式改写为对数式：7/1 γ3 1(1)5'3=125; (2)鼠=4；(3) - =8; (4) 6'2 =-⑸ 54 = 625; (6)2一6(7)3" =27; = 5.732、将下列对数式改写成指数式：(1) log2 64 = 6 ；(2) log3— = -4 ；(3) lg0.001 = -3；81(4)%4 = -2 ⑸ log। 8 = -3 ；(6)ιθgJl +√2) = -1,题型二：对数的简单运算1、求下列各式的值：(1)lθg216j (2) log21 ；(3) log5 25 ；(4) log04 1 ；(5) IglO； (6) IglOO； (7) IgO.Ol；(8) ∣ne>5.2、求下列各式的值：(1) 2一喻3；(2) lθ2⅛35 (3) e3,n7;(4) log392； (5) IglOO2； (6) lg0.0012.3、计算：(1) log927 ；(2) ∣og用81；(3)卜唱方625题型三：求未知数1、求下列各式中工的值：⑴ log；x = -3；(2)logγ49 = 4 ；(3) lg0.00∞l = x j (4) ↑n y fe=-x∙2(5) log64x = -- ；(6) log x8 = 6；(7) lgl∞ = x j(8) -∖ne2 =x-32、求下列各式中X的值：⑴ log2(log5x) = 05(2) log3(lgx) = l.(3)已知Iog2(log3(log4x))=θ,且log4(log2y)=L求五.)口的值.(4) log3(3「l”og3(3i-g题型四：对数计算1、求下列各式的值： ∕1x 2log 32-log 332 + log 38(5)(l °s 2125 +1°8425+⅝85)∙(tog 1258÷log 254+log 52) (6) 1°δ2 25 lθ838 1°g l 27 4、计算下列各式的值:=22)log 256.25 + lgθ.θl + ln√β-2l+lθδz3(3)322log 32-log 3y + log 38-5,°g53 4log 23-log 2^÷7,o ^5÷log 9√3(4)- 4(4) log 3√27+lg25 + lg4 + 7,og72 +(-9.8)°(6) log 525 + lg —+ ln√^ + 2,og23 100(7)322log 32-log 3-+log 38lg5 + lg2-(-^-)^2 +(>∕2-l)0 +log^ 8(8)32、计算下列各式的值:21g 5 + ∣l g 8 + l g 5.1g20÷l g 22(l g 2)3 + 31g2.1g5 + (l g 5)3l g 25÷lg21g 50÷(l g 2)221g5 + ∣lg8 + lg5∙lg20 + (lg2)2 (4) 3(5) lg2×lg50+lg5×l g 20-21g 5×l g 23、计算下列各式的值：log 1 2 + 21g4 + lg→e 3,n2/ A、 ;O(6)lg5.1g20-lg2.1g 50-l g 25∙θg 251 1°g4 5-log 13-log 2 4 + 5,og5 2(2) 2 3(4) Iog23∙log35∙log516j(4) (log32+log92)(Iog 43 + Iog83).题型五：用已知参数表示1、已知48" =24,试用〃表示下列各式: (1) log 48 2 •(2) log 48 3 .一 M 32、设x = log0M, y = log 〃N (。
2025高考数学必刷题 第10讲、对数与对数函数(学生版)
第10讲对数与对数函数知识梳理1、对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log Na ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ；③自然对数：以e 为底，记为ln N ；(3)对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)；③对数换底公式：log log log c a c bb a=；④log ()log log a a a MN M N =+；⑤log log log aa a MM N N=-；⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈；⑦log a b a b =和log b a a b =；⑧1log log a b b a=；2、对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数．对数函数的图象1a >01a <<图象性质定义域：(0)+∞，值域：R过定点(10)，，即1x =时，0y =在(0)+∞，上增函数在(0)+∞，上是减函数当01x <<时，0y<，当1x≥时，0y ≥当01x <<时，0y >，当1x ≥时，0y ≤【解题方法总结】1、对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)必考题型全归纳题型一：对数运算及对数方程、对数不等式【例1】（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）1ln3411e812-+=______．【对点训练1】（2024·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）已知lg 2a b +=-，10b a =，则=a ______．【对点训练2】（2024·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）方程()2lg(2)lg 3x x -=-的解集为________．【对点训练3】（2024·山东淄博·统考二模）设0,0p q >>，满足()469log log log 2p q p q ==+，则pq=__________.【对点训练4】（2024·天津南开·统考二模）计算34223log 32log 9log log 64⋅-+的值为______.【对点训练5】（2024·全国·高三专题练习）若14log 2a =，145b =，用a ，b 表示35log 28=____________【对点训练6】（2024·上海·高三校联考阶段练习）若123==a b m ，且112a b-=，则m =__________．【对点训练7】（2024·全国·高三专题练习）()()()226622lg 3lg 2log 3log 2lg 3lg 2⋅+++=____________；【对点训练8】（2024·全国·高三专题练习）解关于x 的不等式2)l g (o 24x x <-解集为_____．【对点训练9】（2024·上海杨浦·高三上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2log f x x =，则()2f x ≥-的解集是__________.【对点训练10】（2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）方程42log 17x x +=的解为_________．【解题方法总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像【例2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()log a y x b =+（a ，b 为常数，其中0a >且1a ≠）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．0.5a =，2b =B ．2a =，2b =C ．0.5a =，0.5b =D ．2a =，0.5b =【对点训练11】（2024·全国·高三专题练习）函数()log (1)2a f x x =-+的图象恒过定点（）A ．(2,2)B ．(2,1)C ．(3,2)D ．(2,0)【对点训练12】（2024·北京·统考模拟预测）已知函数()()22log 1f x x x =--，则不等式()0f x <的解集为（）A ．()(),12,-∞+∞B ．()()0,12,⋃+∞C ．()1,2D ．()1,+∞【对点训练13】（2024·北京·高三统考学业考试）将函数2log y x =的图象向上平移1个单位长度，得到函数()y f x =的图象，则()f x =（）A ．()2log 1x +B ．21log x +C ．()2log 1x -D ．21log x-+【对点训练14】（2024·北京海淀·清华附中校考模拟预测）不等式32log (1)(2)0x x x --->的解集为__________．【对点训练15】（多选题）（2024·全国·高三专题练习）当102x <≤时，4log xa x ≤，则a 的值可以为（）AB ．2C D 【解题方法总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））【例3】（2024·全国·高三专题练习）已知函数3()log (1)f x ax =-，若()f x 在(,1]-∞上为减函数，则a 的取值范围为（）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(,1)-∞【对点训练16】（2024·新疆阿勒泰·统考三模）正数,a b 满足2224log log a bb a -=-，则a与2b 大小关系为______．【对点训练17】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()log 0,1a f x x a a =>≠在[]1,4上的最大值是2，则a 等于_________【对点训练18】（2024·全国·高三专题练习）若函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为m ，函数()(32g x m =+[0,)+∞上是增函数，则a m -的值是____________．【对点训练19】（2024·全国·高三专题练习）若函数2()log (1)a f x x ax =-+有最小值，则a的取值范围是______．【对点训练20】（2024·河南·校联考模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的函数:()f x =_____.①()()()1212f x x f x f x =+;②当,()0x ∈+∞时，()f x 单调递减;③()f x 为偶函数.【对点训练21】（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数()214log 2y x x =--的单调递区间为（）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(),1-∞-C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()2,+∞【对点训练22】（2024·陕西宝鸡·统考二模）已知函数()()lg lg 2f x x x =+-，则（）A ．()f x 在()0,1单调递减，在()1,2单调递增B ．()f x 在()0,2单调递减C ．()f x 的图像关于直线1x =对称D ．()f x 有最小值，但无最大值【对点训练23】（2024·全国·高三专题练习）若函数2,1,()2log ,1x a a x f x a x x ⎧+≤=⎨+>⎩在R 上单调，则a 的取值范围是（）A ．()0,1B ．[2,)+∞C ．10,(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()0,1[2,)⋃+∞【解题方法总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题【例4】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________.【对点训练24】（2024·全国·高三专题练习）若1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式2122log 0x x x ax -+<恒成立，则实数a 的取值范围为___________.【对点训练25】（2024·全国·高三专题练习）已知函数2()23=-+f x x x ，2()log g x x m =+，对任意的1x ，2[1x ∈，4]有12()()f x g x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________.【对点训练26】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()2223,log f x x x g x x m =-+=+，若对[][]122,4,16,32x x ∀∈∃∈，使得()()12f x g x ，则实数m 的取值范围为___________.【对点训练27】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠.(1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.【对点训练28】（2024·全国·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =.（1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；（2）对任意12,2n n x +⎡⎤∈⎣⎦，其中常数n N ∈，不等式()2()f x f kg x ⋅>恒成立，求实数k的取值范围.【解题方法总结】（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.题型五：对数函数的综合问题【例5】（多选题）（2024·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知1a >，1b >，21a aa =-，2log 1bb b =-，则以下结论正确的是（）A ．22log aa b b+=+B ．21112log ab+=C ．2a b -<-D ．4a b +>【对点训练29】（2024·海南海口·统考模拟预测）已知正实数m ，n 满足：ln e ln m n n n m =-，则nm的最小值为______.【对点训练30】（多选题）（2024·广东惠州·统考一模）若62,63a b ==，则（）A ．1ba>B ．14ab <C ．2212+<a b D ．15b a ->【对点训练31】（2024·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知1x ，2x 分别是方程e 3x x +=和ln 3x x +=的根，若12x x a b +=+，实数a ，0b >，则271b ab+的最小值为（）A ．1B ．73C ．679D ．2【对点训练32】（2024·全国·高三专题练习）若1x 满足25x x =-，2x 满足2log 5x x +=，则12x x +等于（）A ．2B ．3C ．4D ．5【对点训练33】（2024·全国·高三专题练习）已知1x 是方程32x x ⋅=的根，2x 是方程3log 2x x ⋅=的根，则12x x ⋅的值为（）A ．2B ．3C ．6D ．10。
高考数学一轮复习---对数函数知识点与题型
高考数学一轮复习---对数函数知识点与题型一、基础知识 1．对数函数的概念函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). y ＝log a x 的3个特征 (1)底数a >0，且a ≠1； (2)自变量x >0； (3)函数值域为R.2．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象与性质定义域：(0，＋∞)3．反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．二、常用结论 对数函数图象的特点(1)对数函数的图象恒过点(1,0)，(a,1)，⎪⎭⎫⎝⎛-1,1a ，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象． (2)函数y ＝log a x 与y ＝log 1ax (a >0，且a ≠1)的图象关于x 轴对称．(3)当a >1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0<a <1时，对数函数的图象呈下降趋势．三、考点解析考点一 对数函数的图象及应用 例、(1)函数y ＝lg|x －1|的图象是( )(2)已知当0<x ≤14时，有x <log a x ，则实数a 的取值范围为________．变式练习1.[变条件]若本例(1)函数变为f (x )＝2log 4(1－x )，则函数f (x )的大致图象是( )2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．3.[变条件]若本例(2)变为不等式x 2<log a x (a >0，且a ≠1)对x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛210，恒成立，求实数a 的取值范围．考点二 对数函数的性质及应用 考法(一) 比较对数值的大小例、已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b考法(二) 解简单对数不等式例、已知不等式log x (2x 2＋1)<log x (3x )<0成立，则实数x 的取值范围是________．考法(三) 对数型函数性质的综合问题例、已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)，若f (1)＝1，求f (x )的单调区间．跟踪训练 1．已知a ＝2-13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a2．若定义在区间(－1,0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛210， B.]21,0( C.)21(∞+，D ．(0，＋∞) 3．已知a >0，若函数f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是________．课后作业1．函数y ＝log 3(2x －1)＋1的定义域是( )A ．[1,2]B ．[1,2) C.)32[∞+，D.)32(∞+， 2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log2x B.12x C ．log 12x D ．2x －23．如果log 12x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x 4．函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >0，且a ≠1)的大致图象是( )5．若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log 2sin2π5，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b >c >a B ．b >a >c C ．c >a >b D ．a >b >c6．设函数f (x )＝log a |x |(a >0，且a ≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( ) A ．f (a ＋1)>f (2) B ．f (a ＋1)<f (2) C ．f (a ＋1)＝f (2) D ．不能确定7．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P .若点P 也在幂函数f (x )的图象上，则f (x )＝________.8．已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则log b a ＝________. 9．函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)(a >1)的单调递增区间是________．10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12(－x )，x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________________．11．求函数f (x )＝log 2x ·log2(2x )的最小值．12．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，且a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间]320[，上的最大值．。
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对数函数图像和性质及经典例题 第一部分：回顾基础知识点
对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 对数函数的图象和性质
○
1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象； （1） x y 2log = （2） x y 2
1log =
（3） x y 3log = （4） x y 3
1log =
○
2 对数函数的性质如下：
图象特征
函数性质
1a >
1a 0<< 1a > 1a 0<<
函数图象都在y 轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞） 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 向y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为R
函数图象都过定点（1，1） 11=α
自左向右看， 图象逐渐上升
自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数
第一象限的图象纵坐标都大于0
第一象限的图象纵坐标都大于0 0log ,1>>x x a
0log ,10><<x x a
第二象限的图象纵坐标都小于0
第二象限的图象纵坐标都小于0
0log ,10<<<x x a
0log ,1<>x x a
○
3 底数a 是如何影响函数x y a
log =的．
规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．
第二部分：对数函数图像及性质应用
例1．如图，A ，B ，C 为函数x y 2
1log =的图象上的三点，它们的横坐标分别是t , t +2, t +4(t ≥1).
(1)设∆ABC 的面积为S 。
求S=f (t ) ； (2)判断函数S=f (t )的单调性； (3) 求S=f (t)的最大值
.
解：（1）过A,B,C,分别作AA 1,BB 1,CC 1垂直于x 轴，垂足为A 1,B 1,C 1， 则S=S 梯形AA 1B 1B +S 梯形BB 1C 1C －S 梯形AA 1C 1C .
)44
1(log )2(4log 2
3223
1t t t t t ++=++= （2）因为v =t t 42+在),1[+∞上是增函数,且v ≥5,
[)∞++=.541在v v 上是减函数，且1<u ≤59;
S ⎥⎦
⎤
⎝⎛=59,1log 3在u 上是增函数，
所以复合函数S=f (t ) [)+∞++
=,1)44
1(log 2
3在t
t 上是减函数 （3）由（2）知t =1时，S 有最大值，最大值是f (1) 5log 25
9
log 33
-== 例2．已知函数f(x 2
-3)=lg 6
22
-x x ,
(1)f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性； (3)求f(x)的反函数; (4)若f[)(x φ]=lgx,求
)3(φ的值。
解：（1）∵f(x 2
-3)=lg 3
)3(3
)3(22--+-x x ,
∴f(x)=lg
3
3
-+x x , 又由06
2
2
>-x x 得x 2-3>3,
∴ f(x)的定义域为（3，+∞）。
（2）∵f(x)的定义域不关于原点对称， ∴ f(x)为非奇非偶函数。
（3）由y=lg
,3
3
-+x x 得x=1
10)
110(3-+y
y , x>3,解得y>0,
∴f -1
(x)=)0(1
10)
110(3>-+x x
x (4) ∵f[)3(φ]=lg
3lg 3
)3(3
)3(=-+φφ,
∴
33
)3(3
)3(=-+φφ，
解得φ(3)=6。
例3.已知x>0,y ≥0,且x+2y=
21
,求g=log 2
1(8xy+4y 2+1)的最小值。
解：由已知x=21
-2y>0,
41
0<≤∴y ,
由g=log 2
1
(8xy+4y 2+1)
=log 2
1
(-12y 2+4y+1)
=log 21
[-12(y-61)2+34],
∴当y=61,g 的最小值为log 2
134
例4. 已知函数()log (1)x
a f x a =-（0a >且1a ≠）．
求证：（1）函数()f x 的图象在y 轴的一侧；
（2）函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0． 证明：（1）由10x a ->得：1x a >， ∴当1a >时，0x >，
即函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 此时函数()f x 的图象在y 轴的右侧； 当01a <<时，0x <，
即函数()f x 的定义域为(,0)-∞， 此时函数()f x 的图象在y 轴的左侧． ∴函数()f x 的图象在y 轴的一侧；
（2）设11(,)A x y 、22(,)B x y 是函数()f x 图象上任意两点，且12x x <， 则直线AB 的斜率12
12
y y k x x -=
-， 11
2
2121
log (1)log (1)log 1
x x x a a a x a y y a a a --=---=-，
当1a >时，由（1）知120x x <<， ∴121x x a a <<， ∴12011x x a a <-<-，
∴12
1
011
x x a a -<<-， ∴120y y -<，又120x x -<， ∴0k >；
当01a <<时，由（1）知120x x <<， ∴121x x a a >>， ∴12110x x a a ->->，
∴12
1
11
x x a a ->-， ∴120y y -<，又120x x -<， ∴0k >．
∴函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0．
第三部分：针对性练习
1．函数y=lg （
112
-+x
）的图像关于（ ） （A ）x 轴对称 （B ）y 轴对称 （C ）原点对称 （D ）直线y=x 对称 2．函数y=log 2
1(2x 2-3x+1)的递减区间为（ ）
（A ）（1，+∞） （B ）（-∞，43］ （C ）（21，+∞） （D ）（-∞，2
1
］
3．将函数x y 2=的图象向左平移一个单位，得到图象C 1，再将C 1向上平移一个单位得到图象C 2，作出C 2关于直线y =x 对称的图象C 3，则C 3的解析式为 . 4．函数y=)124(log 22
1-+x x 的单调递增区间是 .
5．5.若f(x)=1+log x 3, g(x)=2log 2x ，试比较f(x)与g(x)的大小。
6.已知x 满足不等式2(log 2x ）2-7log 2x+3≤0,求函数f(x)=log 24
log 22x x ⋅的最大值和最小值。
针对性练习答案 1.C 2.A
3．1)1(log 2--=x y ； 4． )2,(--∞；
5.解析：f(x)-g(x)=log x 3x-log x 4=log x 43x
当0<x<1时，f(x)>g(x);当x=3
4
时，f(x)=g(x);
当1<x<34时，f(x)<g(x);当x>3
4
时，f(x)>g(x)。
6.解析：由2（log 2x ）2-7log 2x+3≤0解得2
1
≤log 2x ≤3。
∵f(x)=log 2)1(log 4
log 222-=⋅x x x (log 2x-2)=(log 2x-23)2-41
,
∴当log 2x=23时，f(x)取得最小值-41
；
当log 2x=3时，f(x)取得最大值2。