数学素养与数学文化 (教师版)

高考微点四 数学素养与数学文化

牢记“大师经典”，避免卡壳

1.数列、算法中的数学文化

(1)抽象数列模型；(2)算法中数学文化，关键在于读懂程序框图. 2.几何与三角中的数学文化

(1)熟悉传统文化经典；(2)感恩数学文化先贤. 3.概率统计与推理证明中融合的数学文化.

提升“数学核心素养”，快速抢分

1.直观想象、数学运算

2.数学抽象、逻辑推理

3.数学建模、数据分析

高效微点训练，完美升级

1.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树，该株茶树恰好种在圭田内的概率为( ) A.215 B.25 C.415

D.15

解析 由题意可得邪田的面积S ＝12×(10＋20)×10＝150，圭田的面积S 1＝1

2×8×5＝20，则所求的概率p ＝S 1S ＝20150＝215. 答案 A

2.我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是( ) A.3步 B.6步 C.4步

D.8步

解析 由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17， 设其内切圆半径为r ，

则有12×(8＋15＋17)r ＝1

2×8×15(等积法). 解得r ＝3，故其直径为6步. 答案 B

3.(2019·郑州模拟)数列{F n }：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记数列{F n }的前n 项和为S n ，则下列结论正确的是( ) A.S 2 019＝F 2 021－1 B.S 2 019＝F 2 021＋2 C.S 2 019＝F 2 020－1

D.S 2 019＝F 2 020＋2

解析 根据题意有F n ＝F n －1＋F n －2(n ≥3)，所以

S 3＝F 1＋F 2＋F 3＝1＋F 1＋F 2＋F 3－1＝F 3＋F 2＋F 3－1＝F 4＋F 3－1＝F 5－1， S 4＝F 4＋S 3＝F 4＋F 5－1＝F 6－1， S 5＝F 5＋S 4＝F 5＋F 6－1＝F 7－1，…， 所以S 2 019＝F 2 021－1. 答案 A

4.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为2，记过圆锥轴的平面ABCD 为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为AC ，BD )，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则双曲线Γ的离心率为( )

A.233

B. 2

C. 3

D.2

解析 设与平面α平行的平面为β，以AC ，BD 的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为x 轴，在平面β内与x 轴垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.根据题意可设双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0).由题意可得双曲线Γ的渐近线方程为y ＝±33x ，即b a ＝3

3，所以离心率e ＝c a ＝1＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫b a 2＝23

3. 答案 A

5.《庄子·天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”反映这个命题本质的式子是( )

A.1＋12＋122＋…＋12n ＝2－12n

B.1＋12＋122＋…＋1

2n ＋…<2 C.12＋122＋…＋12n ＝1 D.12＋122＋…＋1

2n ＋…<1

解析 抽象出等比数列求和，且无穷项之和小于1，则12＋122＋123＋…＋1

2n ＋…<1. 答案 D

6.(2019·石家庄调研)宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n 等于( )

A.2

B.3

C.4

D.5

解析 当n ＝1时，a ＝15

2，b ＝4，满足进行循环的条件， 当n ＝2时，a ＝45

4，b ＝8，满足进行循环的条件， 当n ＝3时，a ＝135

8，b ＝16，满足进行循环的条件，

当n ＝4时，a ＝405

16，b ＝32，不满足进行循环的条件，退出循环. 故输出的n 值为4. 答案 C

7.《张邱建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为( ) A.12 B.1629 C.1631

D.815

解析 依题意设每天多织d 尺，依题意得S 30＝30×5＋30×292d ＝390，解得d ＝16

29.

答案 B

8.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( ) A.134石 B.169石 C.338石

D.1 365石

解析 由系统抽样的含义，该批米内夹谷约为28

254×1 534≈169(石). 答案 B

9.(2019·百校联盟TOP20联考)中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他活动的民间艺术，在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分.在如图所示的古代正八边形窗花矢量图片中，AB BC ＝2

2，则向正八边形窗花矢量图片中任投一点，落在正方形DEFG 中的概率为( )