平面静力学平衡问题
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第二章 平面问题的受力分 ——静力学平衡问题
第一节 平面力系的平衡条件和平衡方程
第二节 物体系统的平衡问题 第三节 考虑摩擦的平衡问题
第四节 空间一般力系的平衡问题
本章重点： 平面力系平衡方程及其应用。
求解物体系统的平衡问题。
第一节 平面力系的平衡条件和平衡方程
一、平面一般力系的平衡条件 FR’=0，MO=0。 二、 平面一般力系平衡方程的三种形式 1.一般形式
F 'Cx FCx 0.375 kN
(3)再考虑ACE，写出其第三个平衡方程，
Fx 0
解得
FCx FEx FT 0 FEx FCx FT 1.375 kN
返回 目录
例3-10
返回 目录
第三节 考虑摩擦的平衡问题
两接触物体之间有相对运动或相对运动趋势时，接触面 上产生阻碍称为摩擦。 1. 摩擦的两重性 摩损；有用。
解：（1）取冲头为研究对象，
选取投影轴如图，列平衡方程：
Fy 0 F FB cos 0
FB
Fx 0
F cos
FL L2 R 2
FN FB sin 0
FN FB sin F tan
FR L2 R 2 返回
目录
（2）取飞轮为研究对象，列平衡方程：
wenku.baidu.comWA y
FT1 FN FS1
x
A
返回 目录
(2)下滑临界状态
WA y
FT1 FN FS1 FT2 FN FS2
x
解得：
A
x
WA y
A
返回 目录
第四节 空间一般力系的平衡问题
各力的作用线在空间任意分布的力系称为空间一般力系。 一、空间一般力系的平衡条件 1.各分力在x、y、z轴上投影的代数和为零； 2.各分力对x、y、z轴之矩的代数和为零。
证明
目录
三、 特殊平面力系的平衡方程 在平面一般力系的平衡方程中去掉恒等式，可得各特殊平面
力系的平衡方程。
1.平面汇交力系 四、解题步骤 1. 取研究对象；2. 画受力图；3. 建立坐标系；4. 列平衡方程 2.平面平行力系 3.平面力偶系
目录
单个物体平衡例题导航
例题号
例3-1
题型
解题格式示范
例3-2
保证起重机不致翻到，平衡重W3的取值范围：
75 kN W3 350 kN
返回 目录
例3-5 平面刚架如图所示，已知F＝50kN，q＝10kN/m， M＝30kN· m，试求固定端A处的约束反力。 解： 取刚架为研究对象
Fx 0
Fy 0
M A 0
返回
FAx 10 1 0 FAx 10 kN
45°
45°
_ 2
M 0
a)
l FC sin 45 M 0 2
b)
b)
45°
2M 2 2M FA FC l sin 45 l
b)
目录 返回
例3-4
塔式起重机机架重W1=700kN，作用线通过塔架的
中心。最大起重量W2=200kN，最大悬臂长为12m，轨道AB的 间距为4m。平衡重W3到机身中心线距离为6m。试问：保证起 重机在满载和空载时都不致翻到，平衡重W3应为多少？ 解：取起重机为研究对象，起重机受平行 力系作用。 （一）满载 临界情况下，FA=0
目录
例 3-11 一物块重W=100 N，受水平力F=500 N作用，物块与 墙面间的静摩擦因数为fs = 0.3，动摩擦因数f=0.28。（1）问 物块是否静止，并求摩擦力的大小；（2）物块与墙面间的 静摩擦因数为fs为多大物块可平衡？ 解：（1）该问为判断物体是否平衡的问题。
返回 目录
（2）该问为求某量的单向变化范围问题。 可用摩擦关系式求fs的取值范围。
解：取磙子为研究对象 （一）求F（FA= 0）
1.解析法
∑Fy=0, FBcosα-W =0
∑Fx=0, FBsinα-F =0
x F W FB
FB = W/cosα
F = Wtanα=11.5kN
y Fmin β R F O W α B A FB FA
2.几何法 作封闭的力三角形
F = Wtanα=11.5kN
M 0
FA cos R M 0
FA = FB ，
注意到
M FB cos R FR
FO FA FB
FL L2 R 2
解题时，二力杆的受力图可略去不画。
返回 目录
例3-7
M A ( Fi ) 0
FBC 'cos l FBC 'sin l M 0
目录
物体系统平衡例题导航
例题号 例3-6、3-7
题型 研究对象上未知数等于方程数
例3-8、3-9
例3-10
两铰共线
一般问题
目录
例3-6 冲压机构在图示位置保持平衡，已知：OA = R，AB
=L，冲头所受的力为F，试求：作用于飞轮上的力偶，固定铰 支座O处的反力，连杆AB所受的力，导轨对冲头的侧压力。
物体处于临界平衡状态即可求解。此时所
需力F1最小。 与待求量有关的物体OAB的平衡，其上 有五个未知量，平面一般力系有三个独立 平衡方程，再加一个摩擦关系式，还缺一个
方程，因此，应取鼓轮为研究对象，再建立
一个平衡方程。
返回 目录
（1）取鼓轮为研究对象
M O1 (F ) 0
解得
W r FSC R 0
令： 解得：
F1 fs FN ,
fs 0.2
例3-12
设B块相对于A块临界滑动 设B块相对于A块临界倾倒 设B块和A块相对于地面临界滑动
返回
比较知，不引起物块运动的最大水平力： Fmax= 3 kN
目录
例3-13 制动器的构造和主要尺寸如图所示，制动块和鼓轮 表面之间的摩擦因数为fs，试求制动鼓轮所需的力F1的最小值。 解： 本题属求最大、最小值问题，只需令
FSC
r W R
FSC f s FN C
解得
FN C
r W Rf s
返回 目录
（2）取曲杆OAB为研究对象；
M O (F ) 0 F1 a F 'SC c F 'NC b 0
rW (b f s c) F1 f s Ra
返回 目录
例3-14
返回
目录
(1)上滑临界状态
FEy
Fy 0
x
W 1.25 0.5 kN 2.5
FEy FCy W 0 FCy W FEy 1.5 kN
返回 目录
(2)取杆CD为研究对象，以点D为矩心，写力矩方程，
M D (F ) 0
F ' Cy 1.5 F ' Cx 2 FT 1.5 0
与约束力偶。
目录
径向轴承
球形铰
推力轴承
空间固定端
例3-15 电动机通过联轴器来带动皮带轮轴，已知转矩
M = 20N· m，带轮直径d = 160mm，跨距a = 200mm，
皮带斜角a=30°,带轮两边拉力 承的约束反力。 解：取轮轴为研究对象； 画出其受力图， 取投影轴如图， 列出平衡方程：
Fy 0 M O ( F ) 0 Fx 0
平面一般力系有三个独立的平衡方程，可求解三个未知数。
目录
M A ( F ) 0 M B ( F ) 0 限制条件 2.二力矩形式 Fx 0
证明
M A (F ) 0 3.三力矩形式 M B ( F ) 0 限制条件 M C ( F ) 0
l2 2 M E ( Fi ) 0 FBC cos l q FD l 0 2 3
返回 目录
例3-8
M B ( Fi ) 0 FAx 12 r W (r / 2 8r cos30) 0
M C (Fi ) 0 - FH (r 2r cos 30) FAy 6r cos 30 FAx 9r 0
M B 0
W3 min (6 2) 2W1 W2 (12 2) 0
W3 min
1 (10W2 2W1 ) 75 kN 8
目录
返回
（二）空载 W2=0。临界情况，FB=0。
MA 0
W3 max (6 2) 2W1 0
W3 max 0.5W1 350 kN
Fx 0
Fs - F 0 Fs F
方向和相对滑动趋势方向相反
目录
2．最大静滑动摩擦力 F max=fSFN 静滑动摩擦力最大时，物体临界平衡。 3．动摩擦力 Fd＝fd FN
f S，静滑动摩擦因数，和物体的材料以及接触表面的状态有关。
fd，动摩擦因数，当vr不大时，可认为是常数。和物体的材
≤ m。 2、临界平衡： FS = fS FN 或 = m。
注意：1、只要解题时用摩擦平衡条件，FS的方向不可假设。 2、考虑摩擦的平衡问题，解常为一个范围。 3、可先考虑临界平衡状态，再对结果进行讨论。
4、有几处存在摩擦，有几种可能的运动趋势时，应
注意作逐一判别。
目录
考虑摩擦物体平衡例题导航 例题号 例3-11 例3-12 例3-13 例3-11 例3-14 题型 判别物体是否平衡 物体有几个可能的临界平衡状态 求最大、最小值 求单向变化范围 求双向变化范围
例3-3 例3-4 例3-5
平面汇交力系
平面力偶系 平面平行力系 平面一般力系
目录
例3-1
解：取ABC为研究对象
y
x
返回 目录
例3-2、磙子受力如图，已知W =20 kN，R =0.6m，h =0.08m，
求（1）水平力F至少为多大，可将磙子拉过障碍物？
（2）F沿什么方向最省力？此时力为多大？
R h F O W B A
FAy 50 0
FAy 50 kN
M A 65 kN m
目录
M A 30 10 1 1.5 50 1 0
第二节 物体系统的平衡
一、物体系统平衡 由n个物体组成的物系，独立方程数≤3n
二、求解物体系统平衡的一般思路 紧扣待求量，取与之有关的物体为研究对象， 建立足够数目的平衡方程。
返回 目录
例3-9图示构架，重W＝1kN的重物B通过滑轮A用绳系
于杆CD上。杆和滑轮的自重不计，试求铰链C、E处约束反力。 解：（1）取ACE以及滑轮加重物为研究对象, 选取投影轴如图，建立平衡方程
M C (F ) 0
y
W 1.75 FT 0.5 FEy 2.5 0
2. 摩擦的分类 静摩擦与动摩擦；滑动摩擦滚动摩擦；干摩
擦与湿摩擦。
目录
一、滑动摩擦 两个表面粗糙相互接触的物体，发生相对滑动或有相对 滑动趋势时，在接触面上产生阻碍相对滑动的力，称为滑动 摩擦力，简称摩擦力，一般以F表示。只有相对滑动趋势为静 摩擦力；有相对滑动为动摩擦力。 1、静滑动摩擦力 静摩擦力特点： 0≤FS≤Fmax
目录
二、空间一般力系的平衡方程：
Fx 0 Fy 0 Fz 0
M x (F ) 0 M y ( F ) 0 M z (F ) 0
空间一般力系有六个平衡方程，可用来求解六个未知数。 三、空间约束的类型
根据约束可能限制的运动，可确定空间约束的约束反力
料以及接触表面的状态有关。
目录
二、摩擦角与自锁现象
支承面全约束力 FR ＝ FN ＋FS 1．摩擦角
m 全约束力与法线夹角的最大值。
FR
Fs tan = FN
Fmax f s FN tan m = fs FN FN
m与fS都是表示材料摩擦性质的物理量。
目录
2．自锁现象 作用于物体的主动力合力FR的作用线在摩擦角范围之内时， 物体依靠摩擦能保持平衡的现象称为自锁。
目录
返回
(二) 求Fmin
F Fmin W FB
Fmin的方向未知，必须补充一个条件。由图 可知， Fmin应和FB垂直，
Fmin = Wsinα = 10kN
β=α=21°
返回 目录
例3-3、已知力偶的力偶矩为M，如图所示，试求铰链 A的约
束反力和撑杆CD所受的力。
_ 2 _ 2
解： 选取横梁AB为研究对象， 梁受力偶系作用。
FR F
FR1
目录
根据摩擦角的概念，可测定静摩擦因数。将待测定摩擦
因数的材料制成物块和平板，逐渐增加平板和水平线的夹角
θ，使物块达到临界平衡状态，此时 θ=
m ，tanθ=fS 。
由此还可知，斜面的自锁条件为：
m
问题：如何测定散粒体之间的摩擦因数？
目录
三、考虑摩擦的平衡问题
求解考虑摩擦的平衡问题：力系平衡方程加摩擦平衡条件。 摩擦平衡条件 1、一般平衡： FS ≤fS FN 或
第一节 平面力系的平衡条件和平衡方程
第二节 物体系统的平衡问题 第三节 考虑摩擦的平衡问题
第四节 空间一般力系的平衡问题
本章重点： 平面力系平衡方程及其应用。
求解物体系统的平衡问题。
第一节 平面力系的平衡条件和平衡方程
一、平面一般力系的平衡条件 FR’=0，MO=0。 二、 平面一般力系平衡方程的三种形式 1.一般形式
F 'Cx FCx 0.375 kN
(3)再考虑ACE，写出其第三个平衡方程，
Fx 0
解得
FCx FEx FT 0 FEx FCx FT 1.375 kN
返回 目录
例3-10
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第三节 考虑摩擦的平衡问题
两接触物体之间有相对运动或相对运动趋势时，接触面 上产生阻碍称为摩擦。 1. 摩擦的两重性 摩损；有用。
解：（1）取冲头为研究对象，
选取投影轴如图，列平衡方程：
Fy 0 F FB cos 0
FB
Fx 0
F cos
FL L2 R 2
FN FB sin 0
FN FB sin F tan
FR L2 R 2 返回
目录
（2）取飞轮为研究对象，列平衡方程：
wenku.baidu.comWA y
FT1 FN FS1
x
A
返回 目录
(2)下滑临界状态
WA y
FT1 FN FS1 FT2 FN FS2
x
解得：
A
x
WA y
A
返回 目录
第四节 空间一般力系的平衡问题
各力的作用线在空间任意分布的力系称为空间一般力系。 一、空间一般力系的平衡条件 1.各分力在x、y、z轴上投影的代数和为零； 2.各分力对x、y、z轴之矩的代数和为零。
证明
目录
三、 特殊平面力系的平衡方程 在平面一般力系的平衡方程中去掉恒等式，可得各特殊平面
力系的平衡方程。
1.平面汇交力系 四、解题步骤 1. 取研究对象；2. 画受力图；3. 建立坐标系；4. 列平衡方程 2.平面平行力系 3.平面力偶系
目录
单个物体平衡例题导航
例题号
例3-1
题型
解题格式示范
例3-2
保证起重机不致翻到，平衡重W3的取值范围：
75 kN W3 350 kN
返回 目录
例3-5 平面刚架如图所示，已知F＝50kN，q＝10kN/m， M＝30kN· m，试求固定端A处的约束反力。 解： 取刚架为研究对象
Fx 0
Fy 0
M A 0
返回
FAx 10 1 0 FAx 10 kN
45°
45°
_ 2
M 0
a)
l FC sin 45 M 0 2
b)
b)
45°
2M 2 2M FA FC l sin 45 l
b)
目录 返回
例3-4
塔式起重机机架重W1=700kN，作用线通过塔架的
中心。最大起重量W2=200kN，最大悬臂长为12m，轨道AB的 间距为4m。平衡重W3到机身中心线距离为6m。试问：保证起 重机在满载和空载时都不致翻到，平衡重W3应为多少？ 解：取起重机为研究对象，起重机受平行 力系作用。 （一）满载 临界情况下，FA=0
目录
例 3-11 一物块重W=100 N，受水平力F=500 N作用，物块与 墙面间的静摩擦因数为fs = 0.3，动摩擦因数f=0.28。（1）问 物块是否静止，并求摩擦力的大小；（2）物块与墙面间的 静摩擦因数为fs为多大物块可平衡？ 解：（1）该问为判断物体是否平衡的问题。
返回 目录
（2）该问为求某量的单向变化范围问题。 可用摩擦关系式求fs的取值范围。
解：取磙子为研究对象 （一）求F（FA= 0）
1.解析法
∑Fy=0, FBcosα-W =0
∑Fx=0, FBsinα-F =0
x F W FB
FB = W/cosα
F = Wtanα=11.5kN
y Fmin β R F O W α B A FB FA
2.几何法 作封闭的力三角形
F = Wtanα=11.5kN
M 0
FA cos R M 0
FA = FB ，
注意到
M FB cos R FR
FO FA FB
FL L2 R 2
解题时，二力杆的受力图可略去不画。
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例3-7
M A ( Fi ) 0
FBC 'cos l FBC 'sin l M 0
目录
物体系统平衡例题导航
例题号 例3-6、3-7
题型 研究对象上未知数等于方程数
例3-8、3-9
例3-10
两铰共线
一般问题
目录
例3-6 冲压机构在图示位置保持平衡，已知：OA = R，AB
=L，冲头所受的力为F，试求：作用于飞轮上的力偶，固定铰 支座O处的反力，连杆AB所受的力，导轨对冲头的侧压力。
物体处于临界平衡状态即可求解。此时所
需力F1最小。 与待求量有关的物体OAB的平衡，其上 有五个未知量，平面一般力系有三个独立 平衡方程，再加一个摩擦关系式，还缺一个
方程，因此，应取鼓轮为研究对象，再建立
一个平衡方程。
返回 目录
（1）取鼓轮为研究对象
M O1 (F ) 0
解得
W r FSC R 0
令： 解得：
F1 fs FN ,
fs 0.2
例3-12
设B块相对于A块临界滑动 设B块相对于A块临界倾倒 设B块和A块相对于地面临界滑动
返回
比较知，不引起物块运动的最大水平力： Fmax= 3 kN
目录
例3-13 制动器的构造和主要尺寸如图所示，制动块和鼓轮 表面之间的摩擦因数为fs，试求制动鼓轮所需的力F1的最小值。 解： 本题属求最大、最小值问题，只需令
FSC
r W R
FSC f s FN C
解得
FN C
r W Rf s
返回 目录
（2）取曲杆OAB为研究对象；
M O (F ) 0 F1 a F 'SC c F 'NC b 0
rW (b f s c) F1 f s Ra
返回 目录
例3-14
返回
目录
(1)上滑临界状态
FEy
Fy 0
x
W 1.25 0.5 kN 2.5
FEy FCy W 0 FCy W FEy 1.5 kN
返回 目录
(2)取杆CD为研究对象，以点D为矩心，写力矩方程，
M D (F ) 0
F ' Cy 1.5 F ' Cx 2 FT 1.5 0
与约束力偶。
目录
径向轴承
球形铰
推力轴承
空间固定端
例3-15 电动机通过联轴器来带动皮带轮轴，已知转矩
M = 20N· m，带轮直径d = 160mm，跨距a = 200mm，
皮带斜角a=30°,带轮两边拉力 承的约束反力。 解：取轮轴为研究对象； 画出其受力图， 取投影轴如图， 列出平衡方程：
Fy 0 M O ( F ) 0 Fx 0
平面一般力系有三个独立的平衡方程，可求解三个未知数。
目录
M A ( F ) 0 M B ( F ) 0 限制条件 2.二力矩形式 Fx 0
证明
M A (F ) 0 3.三力矩形式 M B ( F ) 0 限制条件 M C ( F ) 0
l2 2 M E ( Fi ) 0 FBC cos l q FD l 0 2 3
返回 目录
例3-8
M B ( Fi ) 0 FAx 12 r W (r / 2 8r cos30) 0
M C (Fi ) 0 - FH (r 2r cos 30) FAy 6r cos 30 FAx 9r 0
M B 0
W3 min (6 2) 2W1 W2 (12 2) 0
W3 min
1 (10W2 2W1 ) 75 kN 8
目录
返回
（二）空载 W2=0。临界情况，FB=0。
MA 0
W3 max (6 2) 2W1 0
W3 max 0.5W1 350 kN
Fx 0
Fs - F 0 Fs F
方向和相对滑动趋势方向相反
目录
2．最大静滑动摩擦力 F max=fSFN 静滑动摩擦力最大时，物体临界平衡。 3．动摩擦力 Fd＝fd FN
f S，静滑动摩擦因数，和物体的材料以及接触表面的状态有关。
fd，动摩擦因数，当vr不大时，可认为是常数。和物体的材
≤ m。 2、临界平衡： FS = fS FN 或 = m。
注意：1、只要解题时用摩擦平衡条件，FS的方向不可假设。 2、考虑摩擦的平衡问题，解常为一个范围。 3、可先考虑临界平衡状态，再对结果进行讨论。
4、有几处存在摩擦，有几种可能的运动趋势时，应
注意作逐一判别。
目录
考虑摩擦物体平衡例题导航 例题号 例3-11 例3-12 例3-13 例3-11 例3-14 题型 判别物体是否平衡 物体有几个可能的临界平衡状态 求最大、最小值 求单向变化范围 求双向变化范围
例3-3 例3-4 例3-5
平面汇交力系
平面力偶系 平面平行力系 平面一般力系
目录
例3-1
解：取ABC为研究对象
y
x
返回 目录
例3-2、磙子受力如图，已知W =20 kN，R =0.6m，h =0.08m，
求（1）水平力F至少为多大，可将磙子拉过障碍物？
（2）F沿什么方向最省力？此时力为多大？
R h F O W B A
FAy 50 0
FAy 50 kN
M A 65 kN m
目录
M A 30 10 1 1.5 50 1 0
第二节 物体系统的平衡
一、物体系统平衡 由n个物体组成的物系，独立方程数≤3n
二、求解物体系统平衡的一般思路 紧扣待求量，取与之有关的物体为研究对象， 建立足够数目的平衡方程。
返回 目录
例3-9图示构架，重W＝1kN的重物B通过滑轮A用绳系
于杆CD上。杆和滑轮的自重不计，试求铰链C、E处约束反力。 解：（1）取ACE以及滑轮加重物为研究对象, 选取投影轴如图，建立平衡方程
M C (F ) 0
y
W 1.75 FT 0.5 FEy 2.5 0
2. 摩擦的分类 静摩擦与动摩擦；滑动摩擦滚动摩擦；干摩
擦与湿摩擦。
目录
一、滑动摩擦 两个表面粗糙相互接触的物体，发生相对滑动或有相对 滑动趋势时，在接触面上产生阻碍相对滑动的力，称为滑动 摩擦力，简称摩擦力，一般以F表示。只有相对滑动趋势为静 摩擦力；有相对滑动为动摩擦力。 1、静滑动摩擦力 静摩擦力特点： 0≤FS≤Fmax
目录
二、空间一般力系的平衡方程：
Fx 0 Fy 0 Fz 0
M x (F ) 0 M y ( F ) 0 M z (F ) 0
空间一般力系有六个平衡方程，可用来求解六个未知数。 三、空间约束的类型
根据约束可能限制的运动，可确定空间约束的约束反力
料以及接触表面的状态有关。
目录
二、摩擦角与自锁现象
支承面全约束力 FR ＝ FN ＋FS 1．摩擦角
m 全约束力与法线夹角的最大值。
FR
Fs tan = FN
Fmax f s FN tan m = fs FN FN
m与fS都是表示材料摩擦性质的物理量。
目录
2．自锁现象 作用于物体的主动力合力FR的作用线在摩擦角范围之内时， 物体依靠摩擦能保持平衡的现象称为自锁。
目录
返回
(二) 求Fmin
F Fmin W FB
Fmin的方向未知，必须补充一个条件。由图 可知， Fmin应和FB垂直，
Fmin = Wsinα = 10kN
β=α=21°
返回 目录
例3-3、已知力偶的力偶矩为M，如图所示，试求铰链 A的约
束反力和撑杆CD所受的力。
_ 2 _ 2
解： 选取横梁AB为研究对象， 梁受力偶系作用。
FR F
FR1
目录
根据摩擦角的概念，可测定静摩擦因数。将待测定摩擦
因数的材料制成物块和平板，逐渐增加平板和水平线的夹角
θ，使物块达到临界平衡状态，此时 θ=
m ，tanθ=fS 。
由此还可知，斜面的自锁条件为：
m
问题：如何测定散粒体之间的摩擦因数？
目录
三、考虑摩擦的平衡问题
求解考虑摩擦的平衡问题：力系平衡方程加摩擦平衡条件。 摩擦平衡条件 1、一般平衡： FS ≤fS FN 或