平面静力学平衡问题
静力学：静力学基本定律和平衡条件
静力学：静力学基本定律和平衡条件静力学是物理学中研究物体静止状态的学科，通过研究物体的受力情况和平衡条件，以及静力学基本定律，可以解决物体受力分析和平衡问题。
下面我们将详细介绍静力学的基本定律和平衡条件。
静力学的基本定律主要包括牛顿第一定律和牛顿第二定律。
牛顿第一定律也称为惯性定律，指出一个物体如果没有外力作用，即使有速度也会保持匀速直线运动或保持静止。
这意味着物体的运动状态只能通过外力的作用进行改变。
例如，一个静止在水平面上的物体，如果没有外力作用，将永远保持静止状态。
牛顿第二定律是静力学中最为重要的定律，描述了物体受力与物体加速度之间的关系。
根据牛顿第二定律，物体受力大小与物体加速度成正比，方向与加速度方向相同。
具体表达式为F=ma，其中F表示物体受力，m表示物体质量，a表示物体加速度。
基于牛顿第二定律，可以推导出物体在平衡状态下的条件，即静力学的平衡条件。
静力学平衡条件分为平衡力的条件和力矩平衡条件。
平衡力的条件指出，在平衡状态下，物体所受的合力为零。
这意味着物体在平衡状态下受力平衡，不会产生加速度。
对于一个物体处于平衡状态的情况，可以应用平衡力的条件进行分析和计算。
力矩平衡条件指出，在平衡状态下，物体所受的合力矩为零。
力矩是力对物体产生的旋转效应，可以用来描述物体受力情况的平衡性。
根据力矩平衡条件，可以解决物体受力分析和平衡问题。
对于一个物体处于平衡状态的情况，可以应用力矩平衡条件进行分析和计算。
静力学的基本定律和平衡条件在工程、建筑、物理学等领域都有广泛的应用。
例如，在工程中，可以通过静力学的基本定律和平衡条件来分析和设计建筑物的结构；在物理学中，可以通过静力学的基本定律和平衡条件来解决物体受力分析和平衡问题。
总结起来，静力学是研究物体静止状态的学科，通过牛顿第一定律和牛顿第二定律可以了解物体的运动状态；静力学的平衡条件包括平衡力的条件和力矩平衡条件，用来描述物体受力平衡的情况。
静力学的基本定律和平衡条件在工程、建筑、物理学等领域有广泛应用，并且对于解决物体受力分析和平衡问题非常重要。
静力学中的平衡问题与解法
静力学中的平衡问题与解法静力学是力学中的一个分支，研究物体在静止或匀速直线运动时的力、力之间的关系以及物体的平衡条件等内容。
在静力学中，平衡问题是一个重要的研究内容。
本文将讨论静力学中的平衡问题以及常见的解法。
静力学中，平衡是指物体所受的合外力合力矩为零的状态。
平衡可以分为两种类型：平衡在点和平衡在体。
1. 平衡在点平衡在点指的是物体受力的合力通过一个点，也就是力矩为零。
这要求物体所受的合外力矢量的代数和为零，并且力矩的代数和也为零。
平衡在点的解法一般包括以下步骤：步骤一：画出物体受力的示意图，并标注出力的大小、方向。
步骤二：通过几何图形或代数方法求出合外力的代数和，判断合外力的大小和方向。
步骤三：通过几何图形或代数方法求出力矩的代数和，判断力矩的大小和方向。
步骤四：根据力矩为零的条件，确定物体的平衡条件。
如果力矩不为零，则说明物体不处于平衡状态。
平衡在点的解法中，可以利用力矩的性质，如力矩的叠加原理、力矩的向量性质等，来简化计算。
此外，还可以运用平衡条件求解未知的力或力矩。
2. 平衡在体平衡在体指的是物体受力的合外力和合力矩都为零的状态。
这要求物体所受的合外力矢量的代数和为零，并且力矩的代数和也为零。
平衡在体的解法一般包括以下步骤：步骤一：画出物体受力的示意图，并标注出力的大小、方向。
步骤二：通过几何图形或代数方法求出合外力的代数和，判断合外力的大小和方向。
步骤三：通过几何图形或代数方法求出力矩的代数和，判断力矩的大小和方向。
步骤四：根据合外力和力矩都为零的条件，确定物体的平衡条件。
如果合外力或力矩不为零，则说明物体不处于平衡状态。
平衡在体的解法中，通常需要考虑物体所受力的叠加效应。
常见的方法有力的分解、力矩的叠加等。
除了上述两种平衡问题的解法，静力学中还有一些特殊情况的解法，如斜面上物体的平衡、悬挂物体的平衡等。
对于这些特殊情况，可以利用相关的几何关系和平衡条件，采取相应的解法进行求解。
总之，静力学中的平衡问题是一个重要的内容，通过合理的求解方法可以确定物体的平衡条件。
静力学中的受力分析与平衡条件
静力学中的受力分析与平衡条件静力学是物理学的一个分支，研究物体在静止状态下的性质和行为。
在静力学中，受力分析是非常重要的一部分，它帮助我们理解物体的受力情况以及如何保持平衡。
本文将探讨静力学中的受力分析与平衡条件，并介绍一些常见的静力学问题。
一、受力分析受力分析是静力学的基础，通过分析物体所受到的力可以确定物体的平衡状态。
在受力分析中，我们需要考虑三个方面的力，即作用力、反作用力和重力。
1. 作用力：作用力是指物体所受到的外力，比如我们用手推动一辆自行车，手的作用力对应着物体所受到的作用力。
2. 反作用力：根据牛顿第三定律，每一个作用力都有一个等大、反向的反作用力。
以刚才的例子，手对自行车施加的作用力正好等于自行车对手施加的反作用力。
3. 重力：重力是地球对物体的吸引力，是物体的重量。
重力的大小取决于物体的质量和地球的引力常数。
在受力分析中，我们通常用地球重力加速度的近似值9.8m/s²来计算重力的大小。
受力分析的基本原则是，物体处于平衡状态时，所有作用力的合力和合力矩都为零。
这就引入了平衡条件的概念。
二、平衡条件平衡条件是静力学中非常重要的概念，用于描述物体处于平衡状态时受力的关系。
平衡条件包括两个方面，即力的平衡和力矩的平衡。
1. 力的平衡：当物体处于平衡状态时，所有作用力的合力为零。
即ΣF=0，其中ΣF表示作用力的合力。
例如，一个悬挂在天花板上的吊扇，由于重力和引擎产生的力相互平衡，所以整个吊扇保持静止。
2. 力矩的平衡：当物体处于平衡状态时，所有力矩的合力为零。
力矩是指作用力在垂直于力臂方向上的分量与力臂的乘积，其中力臂是指从旋转轴到作用力的垂直距离。
即Στ=0，其中Στ表示力矩的合力。
例如，一个平衡在桌子边缘的放大镜，由于重力产生的力矩和支撑力产生的力矩相互平衡，所以放大镜保持稳定。
通过对力和力矩的平衡条件的分析，我们可以解决许多与物体平衡有关的问题。
三、常见静力学问题静力学中存在着许多常见的问题，以下是一些例子：1. 斜面问题：考虑一个物体沿着斜面下滑的情况，我们可以根据重力和斜面的倾角来计算摩擦力是否足够使物体停止滑动。
平面任意力系的平衡条件和平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图 3-8 b
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（2）按图示坐标列平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（3）解方程 解方程，求得
负号说明图中所设方向与实际情况相反，即 MA 为顺时针转向。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
二、关于平面任意力系 的例题
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
例3-2 起重机 P1 = 10 kN，可绕铅直轴AB转动；
起重机的挂钩上挂一重为 P2 = 40 kN 的重物， 如图 3-6 所示。
起重机的重心C到转动轴的距离为1.5 m， 其他尺寸如图所示。
求在止推轴承 A 和轴承 B 处的约束力。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
b．如果力系对另一点 B的主矩也同时为 零，则这个力系或一合力沿 A，B 两点的连 线，或者平衡（图3-9）。
c．如果再加上
，那么力系如
有合力，则此合力必与 x 轴垂直。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图 3-9
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
解： （1）选梁AB为研究对象 梁 AB 所受的主动力有： 均布载荷 q，
重力 P 和矩为 M 的力偶。 梁AB所受的约束力有： 铰链 A 的两个分力 Fax 和 FAy ，滚动支
座 B 处铅直向上的约束力FB。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（2）列平衡方程 取坐标系如图3-7所示，列出平衡方程：
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
第3章 静力学平衡问题 (2)
例题
（2）再研究轮
FOx FOy FʹB
M
O
(F ) 0
FB cos R M 0
F
F
解得：
x
0
0
FOx FB sin 0
FB cos FOy 0
y
M FP R
FOx FP tg
FOy FP
【负号表示力的方向与图中所设方向相反】
由图示几何关系，在Rt△BFE和 Rt△EDA中
BD=BE+DE=1.2 2+
1.8 2
≈2.97(m)
∑ MA(F) =0 M-FA×BD=0
解得 FA=M/BD=269.36（N） FC=FA=269.36N
B
解法二：以整体作为研究对象， 画出受力图。
C
M FCy
FAx
FCx
列平衡方程
∑ Fx=0 ∑ Fy=0
§3-1 平面力系的平衡条件与平衡方程
例题
M A (F ) 0 : MB (F ) 0 MC (F ) 0
解得：
2 3M FA 3a 3P 3
FC
3 aM 0 2
3 a FA aP M 0 2 2 3 a FB a P M 0 2 2
FAx=FCx=190.48kN
【3-5】为了测定飞机螺旋桨所受的空气阻力偶，可将飞机水平放
置，其一轮搁置在地秤上。当螺旋桨未转动时，测得地秤所受的压
力为4.6 kN；当螺旋桨转动时，测得地秤所受的压力为6.4 kN。已 知两轮间的距离l＝2.5 m。试求螺旋桨所受的空气阻力偶的力偶矩 M 的数值。
B
α
FNC
∑ MB(F) =0
3-2平面一般力系的平衡与应用
一、导入由上节课的简化结果可知：若平面一般力系平衡，则作用于简化中心的平面汇交力系和附加力偶也必须同时满足平衡条件。
由此可知，物体在平面一般力系的作用下，既不发生移动，也不发生转动的静力平衡条件为：力系中的所有各力在两个不同方向的X\Y轴上投影的代数和均为零，且力系中各力对平面内任意一点的力矩大代数和也等于零。
二、新授3-2平面一般力系的平衡与应用一、平面一般力系的平衡条件、平衡方程及其应用平面一般力系平衡的充要条件是力系主矢F R/ 和力系对某一点的主矩m o都等于零。
即：F R/ =0，m o =0要使F R/ =0，必须满足：∑F x =0 ∑F y =0要使m o =0，必须满足：∑m o（F）=0于是，平面一般力系的平衡条件可表达为：∑F x =0基本形式∑F y =0∑m o（F）=0 力矩方程平面一般力系有三个独立方程。
例1：钢筋混凝土钢架的受力及支座情况如图。
已知F=10KN，m=15KN.m，钢架自重不计，求支座反力。
平面一般力系平衡必须同时满足三个平衡方程式，这三个方程彼此独立，可求解三个未知量。
因此，平面一般力系平衡的充要条件又可叙述为：力系中所有各力在两个坐标轴上的投影的代数和都等于零，而且力系中所有各力对任一点力矩的代数和也等于零。
解：1、刚架为研究对象，画刚架的受力图， 建立坐标轴2、列平衡方程求解未知力 ∑F x =0 F －F BX ＝0 F BX ＝F ＝10KN∑m A （F ）=0 －F ×3－m ＋F BY ×3＝0 F BY ＝15KN （） ∑F y =0 F A ＋F BY ＝0 F A ＝－F BY ＝－15KN （） 二、平面一般力系平衡方程的其他形式 1、二力矩式平衡方程的基本形式并不是唯一的形式，还可以写成其他的形式,它与基本形式的平衡方程是等效的,但往往应用起来会方便一些。
形式：三个平衡方程中有两个力矩方程和一个投影方程00===∑∑∑xBA Fm m如果力系满足0=∑A m 的方程,简化结果就不可能是个合力偶,而只能是合力或平衡；若是合力则合力应通过A 点,同理,力系又满足0=∑B m ，则此合力还应通过B 点,也就是说,力系如果有合力则合力作用为AB 连线,又因为力系还满足=∑xF的方程，则进一步表明力系即使有合力,这合力也只是能与X 轴相垂直,但附加条件是AB 连线不与OX 轴垂直。
工程力学中的静力学平衡方程
工程力学中的静力学平衡方程工程力学是一门研究物体力学特性及其相互作用的学科，其中静力学是力学的基础。
在工程力学中，通过分析物体在平衡状态下所受到的力的平衡关系，可以推导出静力学平衡方程，进而解决工程力学中的各种问题。
一、引言静力学是力学中的一个重要分支，它主要研究物体在静止状态下的力学特性。
静力学中的平衡状态是指物体受到的力平衡，不会发生任何运动的状态。
而要确定一个物体是否处于平衡状态，就需要利用静力学平衡方程进行分析。
二、静力学平衡方程的定义静力学平衡方程是指在一个平面内，物体受到的作用力与约束力之间的关系式。
它是根据牛顿第一定律提出的，即物体在静止状态下受力平衡。
三、力的分类在工程力学中，力可以分为两个方向：竖直方向和水平方向。
竖直方向的力称为垂直力，水平方向的力称为水平力。
在处理问题时，我们需要将所有的力分解为水平力和垂直力。
四、力的合成与分解根据向量概念，我们可以通过合成和分解来处理力的问题。
合成是指将多个力合成为一个力，分解是指将一个力分解为多个力。
在分析物体受力情况时，我们可以将力进行合成与分解，从而得到更简单的问题进行求解。
五、静力学平衡方程的应用静力学平衡方程可以应用于各种各样的工程力学问题中，例如静止物体的平衡问题、斜面的稳定问题、悬挂物体的平衡问题等等。
通过建立静力学平衡方程，我们可以推导出相关的方程，进而解决实际工程中的问题。
六、实例解析为了更好地理解静力学平衡方程的应用，我们以一个实例进行解析。
假设有一根水平悬挂的杆上挂有一个重物，请问该杆的受力情况如何？为了解决这个问题，我们可以先建立杆在平衡状态下的静力学平衡方程，然后利用该方程求解出杆的受力情况。
七、结论静力学平衡方程在工程力学中起到至关重要的作用。
通过建立和求解静力学平衡方程，我们可以分析物体在平衡状态下的受力情况，解决各种各样的工程力学问题。
只有深入理解和掌握静力学平衡方程的原理和应用，才能在实际工程中取得良好的效果。
理论力学：第3 章 力系的平衡
力系平衡是静力学研究的主要内容之一，也是静力学最重要的内容。其中平面力系的平衡又
是重要之重要内容，平面物系的平衡又是重要之重要内容。
事实上我们已经得到力系的平衡条件(充要)：
R
0，M O
0 。下面将其写成代数方程即
平衡方程，用其解决具体问题。
3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程
受力图如图(c)，列解方程：
Y 0, P cos G sin 0
P
使 P 最小，则
G sin cos
G sin cos( )
cos( ) 1,
arctan 3
3652'
Pmin
G sin
20
3 5
12kN
4
另解：（几何法） 画自行封闭的力三角形，如图(d)，则
Q
G(b
e) 50b a
Hale Waihona Puke 350.0kN∴ 使起重机正常工作的平衡重为：333.3kN≤Q≤350.0kN 注：也可按临界平衡状态考虑，求 Pmin 和 Pmax。 静力学的应用：
学习静力学有何用处？——上面几个例题有所反映。
例 1：碾子问题——满足工作条件的载荷设计。
例 2：梁平衡问题——结构静态设计（一类重要工程问题）。
分由由由图图图析(((：acb)))汽：：：车受平面平行力mmm系EBB(((，FFF))易) 列解000,,,方程。下shl面只给出方程：
例 4 平行力系典型题目，稳定性问题且求范围。 行动式起重机的稳定性极其重要，要求具有很好的稳定裕度，满载时不向右翻倒，空载时不 向左翻倒。已知自重 G = 500kN，最大载荷 Pmax = 210kN，各种尺寸为：轨距 b = 3m，e = 1.5m， l = 10m，a = 6m，试设计平衡重 Q，使起重机能正常工作，且轨道反力不小于 50kN。
工程力学中的静力学平衡与平面问题
工程力学中的静力学平衡与平面问题工程力学是一门研究物体受力学的学科，其中静力学平衡与平面问题是其中一个重要的研究内容。
本文将深入探讨静力学平衡与平面问题的概念、原理以及应用。
一、静力学平衡的概念和原理静力学平衡是指物体处于静止状态下所满足的力学条件。
在静力学平衡中，物体所受的合力为零且力矩为零。
具体来说，对于一个处于静止状态的物体，其合力在水平和竖直方向上都应该为零，而力矩则是指物体上的力在某一点的旋转效应，当物体处于平衡状态时，力矩在任何一点都应该为零。
为了更好地理解静力学平衡的原理，我们先来看一个简单的力学模型：悬臂梁。
悬臂梁由一根支点固定在墙壁上的横梁和一个悬挂在横梁下方的物体组成。
在这个模型中，物体所受的重力向下作用，而横梁所受的支持力则向上作用，这两个力的合力应该为零。
此外，在支持点处，重力产生的力矩与支持力产生的力矩也应该相等且反向，以保持悬臂梁的平衡。
二、平面问题的定义和解决方法平面问题是指在一个平面上的物体所受的力学条件和平衡状态。
在平面问题中，物体的受力和力矩都在一个平面内产生。
对于一个平面问题，我们可以通过以下几个步骤来解决：1. 绘制自由体图：将物体从整体中分离出来并绘制其自由体图，即只保留物体受力的部分。
在绘制自由体图时，需要注意受力的方向和对应的力的大小。
2. 施加坐标系：在平面问题中，我们通常选择一个适当的坐标系，以便更好地描述受力的情况。
在坐标系中，我们可以将各个受力分解为水平和竖直方向的分量。
3. 列写力平衡方程：根据自由体图和坐标系，我们可以列写力平衡方程。
力平衡方程是指在平衡状态下，物体所受的合力在水平和竖直方向上都应该为零。
4. 列写力矩平衡方程：除了力平衡方程外，我们还需要列写力矩平衡方程。
力矩平衡方程是指物体所受的力矩在任何一点都应该为零。
在列写力矩平衡方程时，需要选择一个适当的点，并根据该点的选择来计算力矩的大小和方向。
5. 求解未知量：通过解析力平衡方程和力矩平衡方程，我们可以得到一系列方程，从而求解物体上的未知量。
静力学平衡方程的解题技巧
哈 尔 滨 职 业 技 术 学 院 学 报 ２ ０ １ ２ 年 第 ２ 期 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈａｒｂｉｎ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ ＆ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ ·７３·
关键词：平衡方程；坐标系；矩心；解题技巧
中图分类号：Ｇ６２３．５ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００８ — ８９７０ —（２０１２）０２ — ００７３ — ０２
如何迅速正确地解答静力学平面任意力系的平 衡 问 题 ，是 我 们 研 究 平 面 任 意 力 系 的 个 重 要 环 节 。达 成这一目的的关键是解题时要避免平衡方程之间的 联 立 。我 们 可 以 合 理 地 选 择 平 衡 方 程 的 形 式 、合 理 建 立直角坐标系和选择矩心的位置来避免平衡方程之 间的联立，即可以使平面任意力系平衡方程组中三个 方 程 各 自 独 立 — — 一 个 方 程 中 只 有 一 个 未 知 量 。这 样 不 仅 可 以 大 大 地 节 省 解 题 时 间 ，提 高 解 题 速 度 ，而 且 减少出错的机率。
显然，每 个 方 程 也 只 有 一 个 未 知 量 ，通 过 解 一 元 一次方程就可以求出未知力的大小。
三 通 过 以 上 实 例 的 分 析 可 以 看 出 ，只 要 我 们 根 据 未 知力交点的数目选择具有相同数目的力矩平衡方程 的 方 程 组 形 式 ，同 时 取 未 知 力 的 交 点 为 矩 心 ，并 且 使 投 影 轴 与 较 多 的 未 知 力 垂 直 ，就 可 以 完 全 避 免 平 衡 方 程 之 间 的 联 立 ，从 而 提 高 解 题 速 度 ，减 少 出 错 率 。
第3章 静力学平衡问题
FQ Cx FN
习题 3－11b 解图
取节点C为研究对象，见习题3－11b解图，
∑ Fy = 0 : F'BC cosα = FN
∴ FN
=
FP cosα 2 sin α
=
FP 2 tan α
=
3 × 15 2×2
= 11.25kN
3－12 蒸汽机的活塞面积为0.1m2，连杆AB长2m，曲柄BC长0.4m。在图示位置时， 活塞两侧的压力分别为p0=6.0×105Pa, p1=1.0×105Pa， ∠ABC=90D 。试求连杆AB作用于曲柄 上 的 推 力 和 十 字 头 A对 导 轨 的压力(各部件之间均为光滑接触)。
图（b）：ΣMi = 0
∴ 由对称性知
FRB
=
M d
（←）
FRA
=
M d
（→）
FBy = FAy = 0
FBx
=
M d
M
FB
3－10 固定在工作台上的虎钳如图所示，虎钳丝杠将一铅垂力 F=800N 施加于压头上， 且沿着丝杠轴线方向。压头钳紧一段水管。试求压头对管子的压力。
习题 3－10 图
FNB
FNC FN
10
由几何关系得 cosα = 4500 = 0.9 ， 5000
列平衡方程
sin α = 0.436
∑ MO (F ) = 0 : 2FA × 4500 −F Wcosα × 5000 +F Wsinα ×1250 = 0
解得 FA = 27.25 kN
∑ Fx = 0 : FOx = FW sin α = 27.03kN ∑ Fy = 0 : FOy = FW cosα − 2FA = 1.3kN
静力学中的平衡条件与平衡问题
静力学中的平衡条件与平衡问题在静力学中，平衡条件是解决平衡问题的基础。
平衡是指一个物体或系统处于静止状态，并且受到的合力和合力矩均为零。
平衡条件可以通过力的分解和矩的平衡来确定，这些条件对于解决平衡问题至关重要。
在静力学中，平衡条件分为两个方面：平衡力条件和平衡矩条件。
首先，平衡力条件要求物体受到的合力为零。
这意味着物体所受的外力与其它物体对它施加的力相平衡。
合力为零可以表示为ΣF = 0，其中ΣF 表示物体受到的合力，它是所有作用在物体上的力的矢量和。
根据平衡力条件，物体在静止时，所有作用在它上面的力必须平衡，即相互抵消，使合力为零。
其次，平衡矩条件要求物体受到的合力矩为零。
合力矩是通过力乘以力臂计算得到的，力臂是力的作用线到关于物体旋转的轴的距离。
平衡矩条件可以表示为ΣM = 0，其中ΣM 表示物体受到的合力矩，它是所有作用在物体上的力矩的矢量和。
根据平衡矩条件，物体在静止时，所有作用在它上面的力矩必须平衡，即合力矩为零。
要注意的是，在使用平衡条件解决问题时，需要选择合适的参考点或参考轴。
参考点或参考轴的选择应根据问题的特点和需要进行合理的选择，以简化问题的分析和计算。
平衡条件是解决平衡问题的基础，通过这些条件可以确定未知力或未知距离的大小。
然而，平衡条件并不是唯一的，有时候可能需要更多的信息或者使用其他方法来解决问题。
在实践中，可以利用力的平衡或者矩的平衡进行分析，也可以同时使用二者。
在静力学中，平衡条件是基础知识，对于理解物体的平衡状态、分析受力情况以及解决平衡问题具有重要意义。
通过学习和应用平衡条件，我们可以更好地理解物体的力学特性，并能够解决各种实际问题，如桥梁的结构设计、建筑物的稳定性分析等。
总之，静力学中的平衡条件是解决平衡问题的基础。
平衡力条件要求物体受到的合力为零，平衡矩条件要求物体受到的合力矩为零。
通过使用这些平衡条件，可以确定未知力或未知距离的大小，并解决各种平衡问题。
了解和应用平衡条件对于学习和理解静力学具有重要意义。
工程力学03章静力学平衡问题
FP
l
l
FP
l
l
M
q
M
q
2l l
2l l
A
FAx A MA
解：1.选择研究对象。
FAy
2 受力分析,画出受力图如图所示。
8
2l l
FP
l
l
M
FAx
A MA
FAy
3. 建立平衡方程求解未知力 应用平衡方程
Fx = 0, FAx ql 0
q Fy = 0, FAy FP 0
MA= 0，
B
C
M1
A 60o
M2
60o D
20
解: 取杆AB为研究对象画受力图。
杆AB只受力偶的作用而平衡且C处为光滑面约束，则A 处约束反力的方位可定。
B
B FA = FC = F,
M1
A 60o
C
C AC = a
FC
Mi = 0
M2 M1
60o D A
FA
a F - M1 = 0
M1 = a F (1)
的各坐标轴上投影的代数和及所有力对
各轴之矩的代数和均等于零
Fx 0 Fy 0 Fz 0
M M
x y
(F ) (F )
0 0
M
z
(F
)
0
26
§3-3 简单的刚体系统平衡问题
一、刚体系统静定与静不定的概念
1、静定问题：一个静力平衡问题，如果系统中未知量 的数目正好等于独立的平衡方程数，单用平衡方程就 能解出全部未知量。
y
4. 联立求解，得
FAB 54.5KN FBC 74.5KN
工程力学中的静力学平衡与结构平衡问题
工程力学中的静力学平衡与结构平衡问题工程力学是研究物体静止或运动状态下受力和变形的学科。
而静力学平衡和结构平衡问题是工程力学的重要内容之一。
本文将探讨静力学平衡的基本原理和结构平衡的相关概念。
一、静力学平衡问题静力学平衡问题是指研究物体在不发生运动的情况下的受力平衡情况。
在静力学平衡问题中，物体所受外力和外力对物体的作用点位矢量之和为零，即∑F = 0。
这是基于牛顿第一定律的，物体处于静止或匀速直线运动状态时，所受合力为零。
在解决静力学平衡问题时，常使用力的合成与分解原理以及受力分析的方法。
通过分析物体所受的各个力的作用方向和大小，可以确定物体所处的平衡状态。
静力学平衡问题的应用很广泛，比如在建筑工程中，我们需要确保建筑物的稳定性。
通过分析各个构件所受的力和力矩，可以确定建筑物的结构是否平衡，从而保证其安全性。
二、结构平衡问题结构平衡问题是指研究物体内部各个构件的受力平衡情况。
在解决结构平衡问题时，需要考虑物体内部的各个节点和构件之间的相互作用关系。
结构平衡问题可以通过静力学平衡的原理来解决。
对于一个构件而言，其受力平衡要求总力合为零。
在力的合成与分解原理的帮助下，可以确定每个节点上的力的大小和方向，从而得到整个结构的受力平衡状况。
在实际工程中，结构平衡问题是保证建筑物和桥梁等工程结构稳定性的重要问题。
通过分析结构的受力平衡情况，可以确定结构的合理设计，并且预测结构在受到外力作用时的变形情况，从而确保结构的安全性。
三、应用实例为了更好地理解工程力学中的静力学平衡与结构平衡问题，我们举一个简单的桥梁的实例。
考虑一座桥梁，桥上有一辆汽车在通过。
我们需要确保桥梁的结构平衡以保证安全。
首先，我们可以将桥梁简化为若干个构件，比如桥墩、桥面等。
通过静力学平衡原理，我们可以分析每个构件所受的受力情况。
以桥墩为例，桥墩受到来自桥面和汽车的作用力。
通过力的合成与分解原理，我们可以确定桥墩所受力的大小和方向。
类似地，我们可以对桥面和其他构件进行受力分析。
第3章 静力学平衡问题
第3章 静力学平衡问题 §3.1 平衡与平衡条件一、平衡的概念物体的平衡，在工程上是指物体相对于地面保持静止或作匀速直线运动的状态。
平衡是相对于确定的参考系而言的。
静力学所讨论的平衡问题可以是单个刚体，也可以是由若干个刚体组成的刚体系统。
刚体或刚体系统是否平衡取决于作用在其上的力系。
二、平衡条件要使物体保持平衡状态，作用在其上的力必须满足一定的条件，这种条件我们称为力的平衡条件。
从效应上看，物体保持平衡应是既不移动，又不转动。
因此，力系的平衡条件是，力系的主矢和力系对任一点的主矩等于零。
其解析表达式称为平衡方程。
§3.2 平面力系的平衡方程一、平面力系的平衡方程1）基本形式⎪⎩⎪⎨⎧=∑=∑=∑0)(000F M Y X2）二矩式⎪⎩⎪⎨⎧=∑=∑=∑0)(0)(0F F B A M M X 附加条件为：A 、B 两点连线不垂直于x 轴3）三矩式⎪⎩⎪⎨⎧=∑=∑=∑0)(0)(0)(F F F C B A M M M 附加条件为：A 、B 、C 三点不共线特殊力系的平衡方程 1）共线力系：=∑i F2）平面汇交力系：⎩⎨⎧=∑=∑00Y X3）平面力偶系： 0i m =∑4）平面平行力系： )//( 0)(0轴y M Y i o F F ⎩⎨⎧=∑=∑§3.3 空间力系的平衡方程一、空间力系的平衡方程其基本形式的平衡方程为：ΣX=0 ΣM x(F)=0ΣY=0 ΣM y(F)=0ΣZ=0 ΣM z(F)=0必须指出，空间一般力系有六个独立的平衡方程可以求解六个未知量。
具体应用时，不一定使3个投影轴或矩轴互相垂直，也没有必要使矩轴和投影轴重合，而可以选取适宜轴线为投影轴或矩轴，使每一个平衡方程中所含未知量最少，以简化计算。
此外，还可以将投影方程用适当的力矩方程取代，得到四矩式、五矩式以至六矩式的平衡方程。
使计算更为简便。
几种特殊力系的平衡方程1）空间汇交力系ΣX=0ΣY=0ΣZ=02）空间力偶系ΣM x(F)=0ΣM y(F)=0ΣM z(F)=03）空间平行力系（若各力//z轴）ΣZ=0ΣM x(F)=0ΣM y(F)=04）平面任意力系（若力系在Oxy平面内）∑X==∑YM(=∑F)z§3.4 平衡方程的应用一、一般应用举例例3-1，例3-3，例3-4，例3-5（改求起重机不翻平衡块的重量就应是多少？），例3-6，例3-7 补充：已知：带轮D ：D1=400 mm ，FT=2000 N ，Ft=1000 N ；齿轮C ：D2=200 mm ，a=20° 求：齿轮C 的啮合力Fn ，轴承A 、B 的约束力FA 、FB轴承A 、B 的约束力FA 、FB 就是圆轴受支座中圆孔的约束力，圆孔销钉就是固定铰链两个分力 为说明两分力方向，建立空间直角坐标系Ｏxyz ？y 轮轴线，z 轴铅直，Ｏxy 是水平面，三轴垂直 轴承支座表示方法(下图)，其约束两分力为xz 方向，用F Ax 、F Az 和F Bx 、F Bz ，或X A 、Z A 和X B 、Z B 侧视图(将轮轴及其受力投影到Ｏxz 平面上)受力图，没有画轴承A 、B 的约束力，因为没有解除这两个轴承约束=B M ∑02cos 2221t 1T =⨯⨯⨯D F D F D F n a --2000×200-1000×200-Fncos20°×100=0 Fn=2130 N主视图(将轮轴及其受力投影到Ｏyz 平面上)受力图，其中Fnz=Fncos20°=2130×0.9396=2000 N因主动力Fnz=2000 N 作用点到A 、B 两个支座距离相同，方向向上显然,与之平衡的两支座约束力大小相等，实际方向向下，和受力图所画的方向相反，所以N10002N 20002-====--nzB A F Z Z俯视图(将轮轴及其受力投影到Ｏxy 平面上) 受力图，其中Fnx=Fnsin20°=2130×0.3420=729 NΣMA=0 -(FT+Ft)×0.15+Fnx ×0.25-XB ×0.5=0 -(2000+1000)×0.15+729×0.25-XB ×0.5=0 XB=-536 NΣFx=0 -FT-Ft+XA-Fnx+XB=0 -2000-1000+XA-729+(-536)=0 XA=4265 N 结论：Fn=2130 NXA=4265 N ； XB=-536 N ZA=-1000 N ； ZB=-1000 N 小结：①轮轴类部件平面解法：1.侧视图求未知主动力 2.主视图求铅直向约束力 3.俯视图求水平向约束力在每一视图上，使用平面力系力的投影方程和力矩平衡方程求解未知力 ②皮带拉力，无论倾斜与否，总是和轮缘相切，对轮轴的力矩等于拉力乘以半径齿轮啮合力一定和其分度圆不相切，对轮轴的力矩=啮合力×cosa ×半径（啮合力×cosa=圆周方向分力）③侧视图上没有画轴承A 、B 的约束力，因为没有解除两个轴承约束（若画有XA 、ZA 和XB 、ZB 四力） 不能用ΣFx=0，-FT-Ft-Fnsina=0求Fn ，因为在x 方向，实际上还有XA 、XB 两力的投影 二、重心1、物体的重心物体的重量（力）：物体每一微小部分地球引力的合力。
静力平衡原理
静力平衡原理
静力学是机械学的一个重要分支，它关注物体的力学平衡问题。
在静力学中，静力平衡定理是一种重要的原理。
本文将介绍静力平衡原理的基本概念、公式及其应用。
一、基本概念
静力平衡原理指的是物体在静止状态下总的合力、合力矩为零。
力矩是力在物体上产生的旋转效应，也可以叫做扭矩或者力臂，是一个向量。
合力矩是指物体上所有力矩的矢量和。
根据牛顿第三定律，力矩的大小相等方向相反。
二、公式
在平面上的物体，静态平衡公式如下：
ΣF = 0
ΣM = 0
其中，ΣF代表所有力的合力，ΣM代表力矩的合力。
三、应用
静力学平衡原理应用广泛，以下是几个具体的例子：
（1）摆钟
摆钟的运作依赖于摆锤的摆动往复运动，要让摆锤始终保持在同一频
率下来平衡摆钟，摆锤的重力向下，绳子的张力向上。
由于物体静止，所以要保证ΣF = 0。
人们通过调整绳子的长度，调整摆锤的位置来保证ΣM = 0，从而保证摆钟的运转。
（2）建筑物的设计
在建筑物的设计中，静力平衡原理问题对于建筑体系的结构完整性和
稳定性至关重要。
设计师必须确保所有物体受力平衡，以确保建筑安全。
（3）物理实验
在物理实验的相关研究中，静力平衡原理广泛应用。
例如在静电学实
验中，靠近电荷的另一个电荷受到的力矩平衡等，可以通过原理来证
明一些物理公式。
总之，静力平衡原理是机械学中的一种基本原理，具有广泛的应用。
了解这一原理有助于我们更好地理解力学平衡问题，提高我们的物理
学习能力。
第3章静力学平衡问题习题解
联立式（ 1 ） 、 （ 2） 、 （ 3 ）解得： FB FA 26.39 kN ， FC 33.46 kN
3–12 图示空间构架由三根不计自重的有杆组成，在 O 端用球铰链连接，A、B 和 C 端则用球铰链固 定在水平地板上，若拴在 O 端的重物 P=10kN，试求铰链 A、B、C 的反力。
l l sin l sin 1 3 由正弦定理： ， sin( ) 3 cos ) sin( ) sin(90 )
即 即
3s i n c o s s i nc o s c o ss i n
2t a n t a n 1 a r c t a n t( a n) 2
（a）
解：先分析半拱 BED，B、E、D 三处的约束力应汇交于点 E，所以铰 D 处的约束力为 水平方向，取 CDO 为研究对象，受力如图（a）所示。
M C (F ) 0 ， FD a Fa 0 ； FD F
以 AEBD 为研究对象，受力如图（b） 。
0 ； FB 2 F M A (F ) 0 ， 3aFB 3aF 3aFD
3－3 起重机由固定塔 AC 与活动桁架 BC 组成，绞车 D 和 E 分别控制桁架 BC 和重物 W 的运动。桁 架 BC 用铰链连接于点 C，并由钢索 AB 维持其平衡。重物 W = 40kN 悬挂在链索上，链索绕过点 B 的滑轮， 并沿直线 BC 引向绞盘。长度 AC = BC，不计桁架重量和滑轮摩擦。试用角 =∠ACB 的函数来表示钢索 AB 的张力 FAB 以及桁架上沿直线 BC 的压力 FBC。
F AB
y
2
FBC
W
(a)
x
静力学平衡问题
A FA G1
B FB
满载时，以B点为矩心，列平衡方程：
G( x 1.5) 0.75G1 6 F 0 (2)
由（1）、（2）可得：
G 300KN , x 1.25m
Fx 0 : F Fy 0 : F
T N
G sin 30 0 0
FT 50 N 解得 0 G cos 30 0 FN 86.6 N
思考: 若坐标系建立如下图，平衡方程 如何写？
例3-3 如图所示一简易起重机装置，重量G =2kN 的重物吊在钢 丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上， 定滑轮用直杆AB 和AC支承，定滑轮半径忽略不计，定滑轮、直 杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触均为光滑。试求当重物被匀 速提升时，杆AB、AC 所受的力。
FAy 2 KN
由上面的例题可得解平面力系平衡的步骤如下 ：
（1）选择研究对象
（2）画受力图
（3）建立坐标系，列平衡方程 （4） 解方程
§3-2 平面力系的几个特殊情形
１．平面汇交力系平衡方程
Fx 0 Fy 0
２．平面力偶系平衡方程 M o (F ) 0 ３．平面平行力系平衡方程
B
x
a
a
a
F 0 F 0 M ( F ) 0
x y A
FAx FB sin 300 0 即： FAy FB cos 300 2 F 0 Fa 2 Fa 3aFB cos 300 0
求得：F 2.3KN B
FAx 1.15KN
FNAC为负值，表明FNAC的实际指向与假设方向相反，其反 作用力为AC 杆所受的力，所以AC 杆为受压杆件。
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FR F
FR1
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根据摩擦角的概念，可测定静摩擦因数。将待测定摩擦
因数的材料制成物块和平板，逐渐增加平板和水平线的夹角
θ，使物块达到临界平衡状态，此时 θ=
m ，tanθ=fS 。
由此还可知，斜面的自锁条件为：
m
问题：如何测定散粒体之间的摩擦因数？
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三、考虑摩擦的平衡问题
求解考虑摩擦的平衡问题：力系平衡方程加摩擦平衡条件。 摩擦平衡条件 1、一般平衡： FS ≤fS FN 或
例3-3 例3-4 例3-5
平面汇交力系
平面力偶系 平面平行力系 平面一般力系
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例3-1
解：取ABC为研究对象
y
x
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例3-2、磙子受力如图，已知W =20 kN，R =0.6m，h =0.08m，
求（1）水平力F至少为多大，可将磙子拉过障碍物？
（2）F沿什么方向最省力？此时力为多大？
R h F O W B A
料以及接触表面的状态有关。
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二、摩擦角与自锁现象
支承面全约束力 FR ＝ FN ＋FS 1．摩擦角
m 全约束力与法线夹角的最大值。
FR
Fs tan = FN
Fmax f s FN tan m = fs FN FN
m与fS都是表示材料摩擦性质的物理量。
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2．自锁现象 作用于物体的主动力合力FR的作用线在摩擦角范围之内时， 物体依靠摩擦能保持平衡的现象称为自锁。
45°
45°
_ 2
M 0
a)
l FC sin 45 M 0 2
b)
b)
45°
2M 2 2M FA FC l sin 45 l
b)
目录 返回
例3-4
塔式起重机机架重W1=700kN，作用线通过塔架的
中心。最大起重量W2=200kN，最大悬臂长为12m，轨道AB的 间距为4m。平衡重W3到机身中心线距离为6m。试问：保证起 重机在满载和空载时都不致翻到，平衡重W3应为多少？ 解：取起重机为研究对象，起重机受平行 力系作用。 （一）满载 临界情况下，FA=0
解：（1）取冲头为研究对象，
选取投影轴如图，列平衡方程：
Fy 0 F FB cos 0
FB
Fx 0
F cos
FL L2 R 2
FN FB sin 0
FN FB sin F tan
FR L2 R 2 返回
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（2）取飞轮为研究对象，列平衡方程：
证明
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三、 特殊平面力系的平衡方程 在平面一般力系的平衡方程中去掉恒等式，可得各特殊平面
力系的平衡方程。
1.平面汇交力系 四、解题步骤 1. 取研究对象；2. 画受力图；3. 建立坐标系；4. 列平衡方程 2.平面平行力系 3.平面力偶系
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单个物体平衡例题导航
例题号
例3-1
题型
解题格式示范
例3-2
FAy 50 0
FAy 50 kN
M A 65 kN m
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M A 30 10 1 1.5 50 1 0
第二节 物体系统的平衡
一、物体系统平衡 由n个物体组成的物系，独立方程数≤3n
二、求解物体系统平衡的一般思路 紧扣待求量，取与之有关的物体为研究对象， 建立足够数目的平衡方程。
M 0
FA cos R M 0 FR
FO FA FB
FL L2 R 2
解题时，二力杆的受力图可略去不画。
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例3-7
M A ( Fi ) 0
FBC 'cos l FBC 'sin l M 0
第二章 平面问题的受力分 ——静力学平衡问题
第一节 平面力系的平衡条件和平衡方程
第二节 物体系统的平衡问题 第三节 考虑摩擦的平衡问题
第四节 空间一般力系的平衡问题
本章重点： 平面力系平衡方程及其应用。
求解物体系统的平衡问题。
第一节 平面力系的平衡条件和平衡方程
一、平面一般力系的平衡条件 FR’=0，MO=0。 二、 平面一般力系平衡方程的三种形式 1.一般形式
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例 3-11 一物块重W=100 N，受水平力F=500 N作用，物块与 墙面间的静摩擦因数为fs = 0.3，动摩擦因数f=0.28。（1）问 物块是否静止，并求摩擦力的大小；（2）物块与墙面间的 静摩擦因数为fs为多大物块可平衡？ 解：（1）该问为判断物体是否平衡的问题。
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（2）该问为求某量的单向变化范围问题。 可用摩擦关系式求fs的取值范围。
2. 摩擦的分类 静摩擦与动摩擦；滑动摩擦滚动摩擦；干摩
擦与湿摩擦。
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一、滑动摩擦 两个表面粗糙相互接触的物体，发生相对滑动或有相对 滑动趋势时，在接触面上产生阻碍相对滑动的力，称为滑动 摩擦力，简称摩擦力，一般以F表示。只有相对滑动趋势为静 摩擦力；有相对滑动为动摩擦力。 1、静滑动摩擦力 静摩擦力特点： 0≤FS≤Fmax
令： 解得：
F1 fs FN ,
fs 0.2
例3-12
设B块相对于A块临界滑动 设B块相对于A块临界倾倒 设B块和A块相对于地面临界滑动
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比较知，不引起物块运动的最大水平力： Fmax= 3 kN
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例3-13 制动器的构造和主要尺寸如图所示，制动块和鼓轮 表面之间的摩擦因数为fs，试求制动鼓轮所需的力F1的最小值。 解： 本题属求最大、最小值问题，只需令
Fy 0 M O ( F ) 0 Fx 0
平面一般力系有三个独立的平衡方程，可求解三个未知数。
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M A ( F ) 0 M B ( F ) 0 限制条件 2.二力矩形式 Fx 0
证明
M A (F ) 0 3.三力矩形式 M B ( F ) 0 限制条件 M C ( F ) 0
FSC
r W R
FSC f s FN C
解得
FN C
r W Rf s
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（2）取曲杆OAB为研究对象；
M O (F ) 0 F1 a F 'SC c F 'NC b 0
rW (b f s c) F1 f s Ra
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例3-14
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(1)上滑临界状态
≤ m。 2、临界平衡： FS = fS FN 或 = m。
注意：1、只要解题时用摩擦平衡条件，FS的方向不可假设。 2、考虑摩擦的平衡问题，解常为一个范围。 3、可先考虑临界平衡状态，再对结果进行讨论。
4、有几处存在摩擦，有几种可能的运动趋势时，应
注意作逐一判别。
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考虑摩擦物体平衡例题导航 例题号 例3-11 例3-12 例3-13 例3-11 例3-14 题型 判别物体是否平衡 物体有几个可能的临界平衡状态 求最大、最小值 求单向变化范围 求双向变化范围
l2 2 M E ( Fi ) 0 FBC cos l q FD l 0 2 3
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例3-8
M B ( Fi ) 0 FAx 12 r W (r / 2 8r cos30) 0
M C (Fi ) 0 - FH (r 2r cos 30) FAy 6r cos 30 FAx 9r 0
M B 0
W3 min (6 2) 2W1 W2 (12 2) 0
W3 min
1 (10W2 2W1 ) 75 kN 8
目录
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（二）空载 W2=0。临界情况，FB=0。
MA 0
W3 max (6 2) 2W1 0
W3 max 0.5W1 350 kN
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物体系统平衡例题导航
例题号 例3-6、3-7
题型 研究对象上未知数等于方程数
例3-8、3-9
例3-10
两铰共线
一般问题
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例3-6 冲压机构在图示位置保持平衡，已知：OA = R，AB
=L，冲头所受的力为F，试求：作用于飞轮上的力偶，固定铰 支座O处的反力，连杆AB所受的力，导轨对冲头的侧压力。
目录
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(二) 求Fmin
F Fmin W FB
Fmin的方向未知，必须补充一个条件。由图 可知， Fmin应和FB垂直，
Fmin = Wsinα = 10kN
β=α=21°
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例3-3、已知力偶的力偶矩为M，如图所示，试求铰链 A的约
束反力和撑杆CD所受的力。
_ 2 _ 2
解： 选取横梁AB为研究对象， 梁受力偶系作用。
物体处于临界平衡状态即可求解。此时所
需力F1最小。 与待求量有关的物体OAB的平衡，其上 有五个未知量，平面一般力系有三个独立 平衡方程，再加一个摩擦关系式，还缺一个
方程，因此，应取鼓轮为研究对象，再建立
一个平衡方程。
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（1）取鼓轮为研究对象
M O1 (F ) 0
解得
W r FSC R 0
FEy
Fy 0
x
W 1.25 0.5 kN 2.5
FEy FCy W 0 FCy W FEy 1.5 kN
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(2)取杆CD为研究对象，以点D为矩心，写力矩方程，
M D (F ) 0
F ' Cy 1.5 F ' Cx 2 FT 1.5 0
与约束力偶。
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径向轴承
球形铰
推力轴承
空间固定端