数学建模最优路径设计

2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名

参赛队员(打印并签名) ：1

2

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：

（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）

日期：2015年7 月27 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

从成都工业学院到西南交通大学最优路径设计

摘要

本文对现在生活中行车时间的不确定性进行了分析，并给出了最优路径的定义，即：行车所需期望时间最短且该路段行车时间的标准差最小。在将时间期望值和时间标准差值两个决策变量合成为一个决策变量时，为消除不同指标带来的不可公度性，我们对这两个指标进行了无量纲化。

对于问题一，建立双目标优化模型，给出最优路径的定义和数学表达式。将这两个目标相加合成单目标。利用MATLAB编程求解，将所建模型应用到例子中，得出的结论是：选择道路A。

对于问题二，在问题一定义的最优路径的基础上，建立图论模型，应用Dijkstra算法，利用MATLAB编程，得出最优路径选择结果为：成都工业学院→C→K→G→西南交通大学。

对与问题三，结合时间和空间上的相关性，采集足够多的时刻的车流速度，用神经网络算法可以拟合出该条路时刻关于车流速度的函数，建立图论模型分析时间和空间上的相关性。

关键词：多目标优化图论模型Dijkstra算法

1、问题重述

随着我国交通运输事业的迅速发展，交通拥挤和事故正越来越严重的困扰着城市交通。在复杂的交通环境下，寻找一条可靠、快速、安全的最优路径，已成为所有驾驶员的共识。

传统最优路径问题的研究大多是基于“理想”交通状况下分析的，景点的最优路径算法都是假设每段路的行驶时间是确定的。但是由于在现实生活中，行车会受到很多不确定性因素的影响，例如：交通事故、恶劣天气、突发事件等，车辆的行驶时间存在着不确定性。基于这种不确定性，讨论以下问题：

1.建立数学模型，定量的分析车辆行驶时间的不确定性，然后给出在不确定性条件下车辆从起点到终点的最优路径的定义和数学表达式。并将此模型运用到图1例子中会选哪条路。

2.根据第一问的定义，设计算法搜索最优路径，并将该算法应用到具体交通网络中，验证算法的有效性。

3.交通路段之间的行驶时间的相关性分析。时间上的相关性，对于相同路段不同时间段的相关性；空间上的相关性，相同时间段不同路段的相关性。或者将时间和空间上的相关性综合起来考虑。

2、模型假设

1.假设题目所给数据是在大量实验统计后得到的，数据真实可靠；

2.假设题目给出数据所用的样本容量大小相同；

3.假设从起点到到终点时间消耗不超过1小时；

4.假设同一路段上下行的期望时间和标准差时间相同；

5.假设各不同路段的期望时间和标准差时间相对独立。

3、变量说明

T ：表示从起点（成都工业学院）到终点（西南交通大学）期望时间； σ：表示从起点（成都工业学院）到终点（西南交通大学）标准差时间； i x ：x 类指标中的第i 个指标；

x ：x 类指标的平均值；

i x '：i x 无量纲化后的指标；

λ：指标权重，改变期望时间和标准差时间重要性的系数；

't ：t 无量纲化后的指标；

σ'：σ无量纲化后的指标； w ：期望时间和标准差时间两个指标合成的指标；

V ：顶点集，即题图给出的A~K 的点；

E ：无向弧集；

T ：无向弧上的期望时间；

S ：无向弧上的标准差时间；

ok t :表示从起点到终点期望时间；

ij x :表示0，1变量，ij x 取1时，表示所选路径经过了节点i 到节点j 的路段；ij x 取0时，表示所选路径没有经过节点i 到节点j 的路段。

σok ：从起点到终点标准差时间，其中0表示起点位置标号，k 表示终点位

置标号；

ij y ：是第i 种指标的第j 个量无量纲化后的量; ij x ：第i 种指标的第j 个量;

i x 表示第i 种指标的平均数;

ij t :从第i 个节点到第j 个节点的期望时间;

σij :从第i 个节点到第j 个节点的标准差时间;

ij t ':ij t 无量纲化后的量; σ'ij

:σij 无量纲化后的量; t :所有的路段的期望时间平均值;

σ:所有的路段的标准差时间平均值;

ij w :由期望时间和标准差时间两个指标合成的指标。

()ij u d ：第i 个节点到第j 个节点的那段街的关于d 时刻的函数值，即速度。 ok T ：表示起点0到j 点的最短消耗时间。

4、模型准备

4.1对最优路径的理解

影响实际问题的因素很多，要解决实际问题就要建立适当的数学模型，即要把建模对象所涉及的次要因素忽略掉，否则所得模型会因为结构太复杂而失去可解性同时又不能把与实质相关的因素忽略掉，而造成所得模型因为不能足够正确反映实际情况而失去可靠性。因此需要对实际问题进行抽象、简化、确定变量和参数，并应用某些“规律”建立起变量、参数间确定的数学模型。

影响路线选择的因素很多，譬如瞬时车流量、是否有交通事故、车辆状况等，而实际要解决的是从成都工业学院到西南交通大学的时间最省路径，因此车流量和路径长度成为影响解决本问题的主要因素，而是否有交通事故发生和车辆状况等次要因素均可忽略掉。

所以最优路径可定义为：实际行车路径所需期望时间最短且该路径行车时间的总标准差最小。