解析几何经典例题
高中解析几何典型题
高中解析几何典型题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一、直线和平面的关系题目题目1：设直线L经过平面α和β两个平面的交点A和B，问直线L在平面α和平面β之间的位置关系是怎样的？解析：直线L在平面α和平面β之间的位置关系有三种情况，分别是直线L既不垂直于平面α，也不垂直于平面β；直线L既垂直于平面α，也垂直于平面β；直线L既不垂直于平面α，但垂直于平面β。
具体位置可根据直线和平面的垂直关系来确定。
解析：点P在平面α和平面β之间的位置关系根据两个平面的相交线和点P所在位置的具体情况来确定。
如果直线L和点P的位置不同，点P在两个平面之间；如果直线L和点P的位置相同，点P在两个平面外部；如果直线L和点P的位置重合，点P在两个平面上。
题目3：已知平面α和平面β相交于直线m，直线n与直线m相交于点A，平面α和平面β的交线分别为l1和l2，求证：∠l1An=∠l2An。
解析：根据已知条件可得到∠l1An=∠mAn，∠l2An=∠mAn，即∠l1An=∠l2An。
解析：根据已知条件可得到∠A和∠B垂直于直线m，因此∠A和∠B所成的角度为90度。
通过以上的几个典型题目及其解析，我们不难看出解析几何题目的解题思路主要是根据已知条件，运用几何知识和性质来推导出结论。
在解析几何的学习过程中，学生应该注重培养逻辑思维能力和数学运算能力，多进行几何图形的分析和推理，提高解题的能力和速度。
在解析几何的学习过程中，还需要注意以下几点：1、熟练掌握基本几何知识和性质，包括直线、角、三角形、四边形等几何图形的性质和计算方法。
2、善于画图分析，对于解析几何题目一定要画出清晰准确的图形，以便更直观地理解题意和计算。
3、多练习典型题目，通过多做题目来积累经验，查漏补缺，加深对解析几何知识的理解。
4、注意总结归纳，将解析几何的各种题目和性质进行分类和总结，形成自己的知识体系。
高中解析几何是一个非常重要的学科，学生在学习过程中要认真对待，多加练习，提高理解能力和解题能力，从而取得更好的学习成绩。
解析几何经典例题及解析
解析几何经典例题及解析题目：已知三点A（1,2）、B（3,4）、C（4,5），判断是否共线。
解析：为了判断这三个点是否共线，我们可以算出它们的斜率是否相等。
斜率公式为k=(y2-y1)/(x2-x1)。
我们先算出AB、AC两条线段的斜率，如果它们相等，则这三个点共线。
k_AB=(4-2)/(3-1)=1k_AC=(5-2)/(4-1)=1因为k_AB=k_AC，所以这三个点共线。
2. 点到直线距离问题：题目：已知直线L：2x-y+1=0，点P（3，4）到直线L的距离是多少？解析：点P到直线L的距离可以通过求点P到直线L的垂线的长度来计算。
我们先求出直线L的斜率k，因为与L垂直的直线的斜率为-k的倒数。
直线L的一般式表示为Ax+By+C=0，所以斜率k=-A/B。
将直线L的一般式转化为斜截式y=kx+b的形式，可以得到直线L的斜率为k=2/1=2。
所以与L垂直的直线的斜率为-1/2。
接下来我们求出与L垂直的直线的截距b。
因为点P在这条直线上，所以直线的表达式可以写为y=-1/2x+b，将点P代入这个方程组中可得b=5。
因此与点P到直线L的垂线的方程为y=-1/2x+5，求出点P到这条直线的垂足Q的坐标为（2，3）。
所以点P到直线L的距离为PQ的长度，即√((3-2)+(4-3))=1.41。
3. 直线交点问题：题目：已知直线L1：2x-y+1=0，直线L2：x+y-3=0，求出它们的交点。
解析：求出两条直线的交点，可以将两条直线的方程联立起来解方程组。
将L1的方程改写成x=(y-1)/2的形式，将其代入L2的方程中，得到：((y-1)/2)+y-3=0，即y=2，代入L1的方程中可以得到x=1。
因此两条直线的交点为(1,2)。
高中数学解析几何大题精选
解析几何大量精选1.在直角坐标系xOy中，点M到点F13,0，F23,0的距离之和是4，点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线l:y kx b与轨迹C交于不同的两点P和Q．⑴求轨迹C的方程；⑵当AP AQ0时，求k与b的关系，并证明直线l过定点．【解析】⑴2x421y．y⑵将y kx b代入曲线C的方程，整理得222(14k)x8kbx4b40，P因为直线l与曲线C交于不同的两点P和Q，A Ox所以22222264k b4(14k)(4b4)16(4k b1)0①Q且28kb4b4设P x1,y1，Q x2,y2，则12，x x x x212214k14k22b4k22y y(kx b)(kx b)k x x kb(x x)b，12121212214k②显然，曲线C与x轴的负半轴交于点A2,0，所以A P x12,y1，AQ x22,y2．由AP AQ0，得(x2)(x2)y y0．1212将②、③代入上式，整理得2212k16kb5b0．所以(2k b)(6k5b)0，即b2k或6b k．经检验，都符合条件①5当b2k时，直线l的方程为y kx2k．显然，此时直线l经过定点2,0点．即直线l经过点A，与题意不符．当6b k时，直线l的方程为566y kx k k x．55显然，此时直线l经过定点65,0点，满足题意．综上，k与b的关系是6b k，且直线l经过定点565,02.已知椭圆C22x y:122a b(a b0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x y60相切．⑴求椭圆C的方程；⑵设P(4,0)，A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；⑶在⑵的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求OM ON的取值范围．【解析】⑴22x y431．⑵由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y k(x4)．y k(x4),由x2y2得1.432222(4k3)x32k x64k120．①设点B(x1,y1)，E(x2,y2)，则A(x1,y1)．直线AE的方程为y y21y y(x x)22x x21．令y0，得x x2y(x x)221y y21．将y1k(x14)，y2k(x24)代入整理，得x 2x x4(x x)1212x x128．②2232k64k12由①得x xx x，1221224k34k3所以直线AE与x轴相交于定点Q(1，0)．代入②整理，得x1．⑶5 4,4．３.设椭圆22x yC:1(a b0)22a b的一个顶点与抛物线2C:x43y的焦点重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率点．1e，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两2⑴求椭圆C的方程；⑵是否存在直线l，使得OM ON2．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【解析】⑴22x y431．⑵由题意知，直线l与椭圆必有两个不同交点．①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．②设存在直线l为y k(x1)(k0)，且M(x1，y1)，N(x2，y2)．22x y1由，得43y k(x1)2222(34k)x8k x4k120，28kx x12234k ，24k12x x12234k，2OM ON x1x2y1y2x1x2k[x1x2(x1x2)1]2224k128k5k12222(1k)k k222234k34k34k，所以k2，故直线l的方程为y2(x1)或y2(x1)．本题直线l的方程也可设为my x1，此时m一定存在，不能讨论，且计算时数据更简单．４.如图，椭圆2 2x yC1 : 2 2 1 a b 0a b的离心率为32，x 轴被曲线 2C2 : y x b 截得的线段长等于C的长半轴长．1⑴求C1 ，C2 的方程；⑵设C与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C2 相交于点A，B ，直线2MA ，MB分别与C相交与 D ，E ．1①证明：MD⊥ME ；②记△MAB ，△MDE 的面积分别是S1 ，S2 ．问是否存在直线l ，使得S1S21732?请说明理由．【解析】⑴2x42 1 2 1y ，y x ．y⑵①由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y kx ．A由y kx得2 1y x2 1 0x kx ，E DOx设A xy Bx yx x ，，，，则，是上述方程的两1 21122个实根，于是x1 x2 k ，x1 x2 1．BM又点M 的坐标为0， 1 ，所以k kMA MB2y 1 y 1kx 1 kx 1 k x x k x x 11 2 1 2 1 21 2x x x x x x1 2 1 2 1 21 ，故MA MB ，即MD⊥ME ．②设直线KM 的斜率为k1 ，则直线的方程为y k1x 1，由y k x12y x11，解得xy1或x k12y k1 1，则点A的坐标为 2k1 ，k1 1 ．又直线MB的斜率为1k1，同理可得点 B 的坐标为1 1，．12k k1 1于是21 1 1 1 1 k2 1S | MA | |MB | 1 k |k| 1 | |1 1 1 22 2 k k 2 |k |1 1 1．由y k x112 2x 4y 4 0得 2 21 4k x 8k x 0，1 1解得xy1或xy8k121 4k124k 1121 4k1，则点 D 的坐标为28k 4k 11 1，；2 21 4k 1 4k1 1又直线MB的斜率为1k1，同理可得点 E 的坐标28k 4 k1 1，．2 24 k 4 k1 1于是232 1 k | k |11 1S |MD | |ME |2 2 22 1 4k 4 k1 1．因此2 2S (1 4k )(4 k ) 1 41 1 1 24k 172 1 2S 64k 64 k2 1 1，由题意知，141724k171264k321解得2k14或12k．14又由点A，B的坐标可知，21k12k1k k11k1k11k1，所以3k．2故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为3y x和23y x．2５.在直角坐标系xOy中，点M到点F13,0，F23,0的距离之和是4，点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线l:y kx b与轨迹C交于不同的两点P和Q．⑴求轨迹C的方程；⑵当AP AQ0时，求k与b的关系，并证明直线l过定点．2x21【解析】⑴y．4⑵将y kx b代入曲线C的方程，整理得222(14k)x8kbx4b40，y P因为直线l与曲线C交于不同的两点P和Q，OA x所以22222264k b4(14k)(4b4)16(4k b1)0①Q28kb4b4设P x1,y1，Q x2,y2，则12x xx x，212214k14k22b4k22且y y(kx b)(kx b)k x x kb(x x)b，12121212214k显然，曲线C与x轴的负半轴交于点A2,0，②所以A P x12,y1，AQ x22,y2．由AP AQ0，得(x2)(x2)y y0．1212将②、③代入上式，整理得2212k16kb5b0．所以(2k b)(6k5b)0，即b2k或6b k．经检验，都符合条件①5当b2k时，直线l的方程为y kx2k．显然，此时直线l经过定点2,0点．即直线l经过点A，与题意不符．当6b k时，直线l的方程为566y kx k k x．55显然，此时直线l经过定点65,0点，满足题意．综上，k与b的关系是6b k，且直线l经过定点565,0．。
解析几何 典型例题
解析几何典型例题
题目：已知圆心为 $(0,0)$,半径为 $2$ 的圆，圆上一点 $A$ 的极角为$frac{pi}{4}$,求 $AB$ 的中点 $B$ 的坐标。
答案：
首先，我们可以利用圆的性质得到 $AB$ 的中点 $B$ 的坐标。
由于 $AB$ 的斜率为 $frac{AB}{AB^2-AC}=frac{3}{5}$,因此可以得到 $AB^2-AC=5AB$。
由于圆心为 $(0,0)$,半径为 $2$,因此可以得到 $AC=2$,代入上式得到 $AB^2=10$。
进一步代入极角为 $frac{pi}{4}$,得到 $AB=sqrt{10}$。
接下来，我们可以利用三角函数得到 $AB$ 的中点 $B$ 的坐标。
由于$angle BAC=frac{pi}{4}$,因此可以得到 $sin angle BAC =
frac{AB}{AC}=frac{sqrt{10}}{2}$。
因此，$AB$ 的中点 $B$ 的坐标为$(0,frac{1}{sqrt{2}}}sin angle BAC)$。
拓展：
在解决这道题时，我们利用了圆的性质和三角函数的知识，这些知识在解析几何中是非常重要的。
此外，这道题也展示了解析几何中的一种常见题型，即求圆上一点的特殊坐标。
在日常生活中，解析几何中的一些概念和公式也经常被用来解决各种问题，因此掌握解析几何的知识是非常重要的。
解析几何典型例题含答案
1. 已知动点P 到点A （-2,0）与点B （2,0）的斜率之积为14-，点P 的轨迹为曲线C 。
(Ⅰ)求曲线C 的方程；(Ⅱ)若点Q 为曲线C 上的一点，直线AQ ，BQ 与直线x =4分别交于M 、N 两点，直线BM 与椭圆的交点为D 。
求证，A 、D 、N 三点共线。
解：（I ）设P 点坐标(,)x y ，则2AP y k x =+（2x ≠-），2BP yk x =-（2x ≠）， 由已知1224y y x x ⋅=-+-，化简得：2214x y +=.所求曲线C 的方程为2214x y +=（2x ≠±）。
（II ）由已知直线AQ 的斜率存在， 且不等于0，设方程为(2)y k x =+，由2244(2)x y y k x ⎧+=⎨=+⎩，消去y 得： 2222(14)161640k x k x k +++-=⋅⋅⋅（1）.因为2-，Q x 是方程（1）的两个根， 所以22164214Q k x k --⨯=+，得222814Q k x k -=+，又222284(2)(2)1414Q Q k ky k x k k k -=+=+=++，所以222284(,)1414k k Q k k -++。
当4x =，得6M y k =，即(4,6)M k 。
又直线BQ 的斜率为14k -，方程为1(2)4y x k =--，当4x =时，得12N y k =-，即1(4,)2N k-。
直线BM 的斜率为3k ，方程为3(2)y k x =-。
由22443(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，消去y 得：2222(136)14414440k x k x k +-+-=⋅⋅⋅（2）.因为2，D x 是方程（2）的两个根，所以 2214442136D k x k-⋅=+，得22722136D k x k -=+，又2123(2)136D Dky k x k =-=-+，即22272212(,)136136k k D k k --++。
数学 解析几何 经典例题 附带答案
数学解析几何经典例题~一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线x 22－y 21＝1的焦点坐标是( ) A ．(1,0)，(－1,0) B ．(0,1)，(0，－1)C ．(3，0)，(－3，0)D ．(0，3)，(0，－3)解析： c 2＝a 2＋b 2＝2＋1，∴c ＝ 3.∴焦点为(3，0)，(－3，0)，选C.答案： C2．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线 x －ay ＝0互相垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 当a ＝1时，直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直成立；当直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0垂直时，a ＝1.所以“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直”的充要条件．答案： C3．(2010·福建卷)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋2x ＝0B ．x 2＋y 2＋x ＝0C ．x 2＋y 2－x ＝0D ．x 2＋y 2－2x ＝0解析： 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，故以(1,0)为圆心，且过坐标原点的圆的半径为r ＝12＋02＝1，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0，故选D.答案： D4．方程mx 2＋y 2＝1所表示的所有可能的曲线是( )A ．椭圆、双曲线、圆B ．椭圆、双曲线、抛物线C ．两条直线、椭圆、圆、双曲线D ．两条直线、椭圆、圆、双曲线、抛物线解析： 当m ＝1时，方程为x 2＋y 2＝1，表示圆；当m <0时，方程为y 2－(－m )x 2＝1，表示双曲线；当m >0且m ≠1时，方程表示椭圆；当m ＝0时，方程表示两条直线．答案： C5．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是( ) A ．－x ＋2y －4＝0 B ．x ＋2y －4＝0C ．－x ＋2y ＋4＝0D ．x ＋2y ＋4＝0解析： 由题意知所求直线与直线2x －y －2＝0垂直．又2x －y －2＝0与y 轴交点为(0，－2)．故所求直线方程为y ＋2＝－12(x －0)， 即x ＋2y ＋4＝0.答案： D6．直线x －2y －3＝0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E 、F 两点，则△ECF 的面积为( )A.32B.34C ．2 5 D.355解析： 圆心(2，－3)到EF 的距离d ＝|2＋6－3|5＝ 5. 又|EF |＝29－5＝4，∴S △ECF ＝12×4×5＝2 5. 答案： C 7．若点P (2,0)到双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C ．2 2D ．2 3解析： 由于双曲线渐近线方程为bx ±ay ＝0，故点P 到直线的距离d ＝2b a 2＋b2＝2⇒a ＝b ，即双曲线为等轴双曲线，故其离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 2.答案： A8．过点M (1,2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l 的方程是( )A ．x ＝1B ．y ＝1C ．x －y ＋1＝0D ．x －2y ＋3＝0解析： 由条件知M 点在圆内，故当劣弧最短时，l 应与圆心与M 点的连线垂直，设圆心为O ，则O (2,0)，∴k OM ＝2－01－2＝－2. ∴直线l 的斜率k ＝12， ∴l 的方程为y －2＝12(x －1)， 即x －2y ＋3＝0.答案： D9．已知a >b >0，e 1，e 2分别为圆锥曲线x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2b2＝1的离心率，则lg e 1＋lg e 2的值( )A ．大于0且小于1B ．大于1C ．小于0D ．等于0解析： 由题意，得e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a (a >b >0)， ∴e 1e 2＝a 4－b 4a 2＝1－b 4a4<1， ∴lg e 1＋lg e 2＝lg(e 1e 2)＝lga 4－b 4a 2<0. 答案： C10．已知A (－3,8)和B (2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|AM |＋|BM |为最短，那么点M 的坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C.⎝⎛⎭⎫225，0D.⎝⎛⎭⎫0，225 解析： 点B (2,2)关于x 轴的对称点为B ′(2，－2)，连接AB ′，易求得直线AB ′的方程为2x ＋y －2＝0，它与x 轴交点M (1,0)即为所求．答案： B11．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )A.95B ．3 C.977 D.94解析： 设椭圆短轴的一个端点为M .由于a ＝4，b ＝3，∴c ＝7<b .∴∠F 1MF 2<90°，∴只能∠PF 1F 2＝90°或∠PF 2F 1＝90°.令x ＝±7得y 2＝9⎝⎛⎭⎫1－716＝9216， ∴|y |＝94. 即P 到x 轴的距离为94. 答案： D12．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC →＝48，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝16xD ．y 2＝42x解析： 由AF →＝FB →及|AF →|＝|AC →|知在Rt △ACB 中，∠CBF ＝30°，|DF |＝p 2＋p 2＝p ， ∴AC ＝2p ，BC ＝23p ，BA →·BC →＝4p ·23p ·cos 30°＝48，∴p ＝2. 抛物线方程为y 2＝4x .答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 2－y 23＝1的右焦点重合，则p 的值为________． 解析： 双曲线x 2－y 23＝1的右焦点为(2,0)， 由题意，p 2＝2，∴p ＝4.答案： 414．两圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝r 2和(x －2)2＋(y ＋2)2＝R 2相交于P 、Q 两点，若点P 坐标为(1,2)，则点Q 的坐标为______．解析： ∵两圆的圆心分别为(－1,1)，(2，－2)，∴两圆连心线的方程为y ＝－x .∵两圆的连心线垂直平分公共弦，∴P (1,2)，Q 关于直线y ＝－x 对称，∴Q (－2，－1)．答案： (－2，－1)15．设M 是椭圆x 24＋y 23＝1上的动点，A 1和A 2分别是椭圆的左、右顶点，则MA 1→·MA 2→的最小值等于________．解析： 设M (x 0，y 0)，则MA 1→＝(－2－x 0，－y 0)，MA 2→＝(2－x 0，－y 0)⇒MA 1→·MA 2→＝x 20＋y 20－4＝x 20＋⎝⎛⎭⎫3－34x 20－4＝14x 20－1， 显然当x 0＝0时，MA 1→·MA 2→取最小值为－1.答案： －116．已知双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点为F 1、F 2，P 是双曲线右支上一点，且PF 1的中点在y 轴上，则△PF 1F 2的面积为________．解析： 如图，设PF 1的中点为M ，则MO ∥PF 2，故∠PF 2F 1＝90°.∵a ＝4，b ＝3，c ＝5，∴|F 1F 2|＝10，|PF 1|＝8＋|PF 2|.由|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2得(8＋|PF 2|)2＝|PF 2|2＋100，∴|PF 2|＝94，S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|PF 2|＝454. 答案： 454三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)双曲线的两条渐近线方程为x ＋y ＝0和x －y ＝0，直线2x －y －3＝0与双曲线交于A ，B 两点，若|AB |＝5，求此双曲线的方程．解析： ∵双曲线渐近线为x ±y ＝0，∴双曲线为等轴双曲线．设双曲线方程为x 2－y 2＝m (m ≠0)，直线与双曲线的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x 2－y 2＝m ， 得3x 2－12x ＋m ＋9＝0，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝m ＋93. 又|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋[(2x 1－3)－(2x 2－3)]2＝(x 1－x 2)2＋4(x 1－x 2)2＝5(x 1－x 2)2＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]， ∴(5)2＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤42－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋93， 解得m ＝94. 故双曲线的方程为x 2－y 2＝94. 18．(12分)已知圆C 的方程为(x －m )2＋(y ＋m －4)2＝2.(1)求圆心C 的轨迹方程；(2)当|OC |最小时，求圆C 的一般方程(O 为坐标原点)．解析： (1)设C (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ，y ＝4－m .消去m ，得y ＝4－x ，∴圆心C 的轨迹方程为x ＋y －4＝0.(2)当|OC |最小时，OC 与直线x ＋y －4＝0垂直，∴直线OC 的方程为x －y ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －y ＝0，得x ＝y ＝2. 即|OC |最小时，圆心的坐标为(2,2)，∴m ＝2.圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.其一般方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0.19．(12分)(盐城市三星级高中20XX 届第一次联考)已知圆C 1的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝203，椭圆C 2的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且C 2的离心率为22，如果C 1、C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰好为C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程．解析： 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．A 、B 在椭圆上，∴b 2x 21＋a 2y 21＝a 2b 2，b 2x 22＋a 2y 22＝a 2b 2. ∴b 2(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＋a 2(y 2＋y 1)(y 2－y 1)＝0.又线段AB 的中点是圆的圆心(2,1)，∴x 2＋x 1＝4，y 2＋y 1＝2，∴k AB ＝－b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－2b 2a 2， 椭圆的离心率为22，∴b 2a 2＝1－e 2＝12， k AB ＝－2b 2a2＝－1， 直线AB 的方程为y －1＝－1(x －2)，即x ＋y －3＝0.由(x －2)2＋(y －1)2＝203和x ＋y －3＝0得 A ⎝⎛⎭⎫2＋103，1－103. 代入椭圆方程得：a 2＝16，b 2＝8，∴椭圆方程为：x 216＋y 28＝1. 20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e . (1)若半焦距c ＝22，且23、e 、43成等比数列，求椭圆C 的方程； (2)在(1)的条件下，直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴分别交于M 、N 两点，P 是直线l 与椭圆C 的一个交点，且M P →＝λMN →，求λ的值；(3)若不考虑(1)，在(2)中，求证：λ＝1－e 2.【解析方法代码108001121】解析： (1)∵e 2＝23×43，∴e ＝223， ∴a ＝3，b ＝1，∴椭圆C 的方程为x 29＋y 2＝1. (2)设P (x ，y )，则⎩⎨⎧ y ＝223x ＋3x 29＋y 2＝1，解得P ⎝⎛⎭⎫－22，13. ∵M ⎝⎛⎭⎫－924，0，N (0,3)，M P →＝λMN →， ∴λ＝19. (3)证明：∵M 、N 的坐标分别为M ⎝⎛⎭⎫－a e ，0，N (0，a )， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝ex ＋ax 2a 2＋y 2b 2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－cy ＝b 2a (其中c ＝a 2－b 2)，∴P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a . 由M P →＝λMN →得⎝⎛⎭⎫－c ＋a e ，b 2a ＝λ⎝⎛⎭⎫a e ，a ， ∴⎩⎨⎧ a e －c ＝λ·a eb 2a ＝λa ，∴ λ＝1－e 2. 21．(12分)设椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，A 是椭圆C 上的一点，且AF 2→·F 1F 2→＝0，坐标原点O 到直线AF 1的距离为13|OF 1|. (1)求椭圆C 的方程；(2)设Q 是椭圆C 上的一点，过Q 的直线l 交x 轴于点P (－1，0)，交y 轴于点M ，若M Q →＝2QP →，求直线l 的方程．解析： (1)由题设知F 1(－a 2－2，0)，F 2(a 2－2，0)，由于AF 2→·F 1F 2→＝0，则有AF 2→⊥F 1F 2→，所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2－2，±2a ， 故AF 1所在直线方程为y ＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫x a a 2－2＋1a ， 所以坐标原点O 到直线AF 1的距离为a 2－2a 2－1(a >2)， 又|OF 1|＝a 2－2，所以a 2－2a 2－1＝13a 2－2，解得a ＝2(a >2)，所求椭圆的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则有M (0，k )，设Q (x 1，y 1)，由于M Q →＝2QP →，∴(x 1，y 1－k )＝2(－1－x 1，－y 1)，解得x 1＝－23，y 1＝k 3. 又Q 在椭圆C 上，得⎝⎛⎭⎫－2324＋⎝⎛⎭⎫k 322＝1， 解得k ＝±4，故直线l 的方程为y ＝4(x ＋1)或y ＝－4(x ＋1)，即4x －y ＋4＝0或4x ＋y ＋4＝0.22．(14分)已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1的一个焦点为F (0,22)，与两坐标轴正半轴分别交于A ，B 两点(如图)，向量A B →与向量m ＝(－1，2)共线．(1)求椭圆的方程；(2)若斜率为k 的直线过点C (0,2)，且与椭圆交于P ，Q 两点，求△POC 与△QOC 面积之比的取值范围．【解析方法代码108001122】解析： (1)y 216＋x 28＝1. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且x 1<0，x 2>0.PQ 方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程并消去y ，得(2＋k 2)x 2＋4kx －12＝0，x 1＋x 2＝－4k 2＋k 2，① x 1x 2＝－122＋k 2.② 设S △QOC S △POC ＝|x 2||x 1|＝－x 2x 1＝λ，结合①②得 (1－λ)x 1＝－4k 2＋k 2，λx 21＝122＋k 2. 消去x 1得λ(1－λ)2＝34⎝⎛⎭⎫1＋2k 2>34，解不等式λ(1－λ)2>34，得13<λ<3. ∴△POC 与△QOC 面积之比的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，3.。
解析几何例题
解析几何例题解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是几何图形在坐标平面上的性质和变换规律。
通过解析几何的方法，我们可以更加直观地理解和推导几何图形的性质。
下面我们来分析一些典型的解析几何例题，以便更好地掌握这一知识点。
例题一：直线的方程已知直线L过点A(1,2)和点B(3,4)，求直线L的方程。
解析：设直线L的方程为y=ax+b，其中a为斜率，b为截距。
由于直线L 过点A和点B，代入相应的点坐标得到两个方程：2=a+b (1)4=3a+b (2)解这个方程组，可以求得a=1/2，b=3/2。
所以直线L的方程为y=x/2+3/2。
例题二：直线的垂直平分线已知直线L的方程为y=2x+1，求直线L的垂直平分线的方程。
解析：直线L的斜率为2，垂直平分线的斜率为-1/2（斜率互为倒数且符号相反），设垂直平分线的方程为y=ax+b。
由于垂直平分线过直线L的中点M，求中点M的坐标。
直线L上任意两点的横坐标和纵坐标分别求平均，得到中点M的坐标为：x=(1+3)/2=2，y=(2+4)/2=3。
代入直线L的方程，得到3=2*2+1=5，所以点M的坐标为(2,3)。
垂直平分线通过点M，代入点坐标得到方程：3=a*2+b，所以b=1-4a。
垂直平分线的方程为y=-1/2*x+1-2a。
例题三：圆的方程已知圆C的圆心为点O(2,3)，半径为r=4，求圆C的方程。
解析：圆C上任意一点P(x,y)到圆心O的距离等于半径r，可以得到方程：sqrt((x-2)^2+(y-3)^2)=4对上式进行平方处理得到：(x-2)^2+(y-3)^2=16所以圆C的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=16。
例题四：两条直线的交点已知直线L1的方程为y=2x+1，直线L2的方程为y-3=3(x-2)，求直线L1和L2的交点坐标。
解析：将直线L2的方程变形为y=3x-3+3=3x，得到y=3x。
将L1的方程和L2的方程联立，解这个方程组即可求出交点的坐标。
高中解析几何试题及答案
高中解析几何试题及答案1. 已知圆的方程为 \((x-2)^2+(y-3)^2=9\)，求该圆的圆心坐标和半径。
答案：圆心坐标为 \((2, 3)\)，半径为 \(3\)。
2. 求直线 \(2x + 3y - 6 = 0\) 关于点 \((1, 2)\) 对称的直线方程。
答案：对称直线的方程为 \(2x - 3y + 8 = 0\)。
3. 已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（其中\(a > b > 0\)）经过点 \((2, 3)\)，且离心率 \(e = \frac{c}{a}\) 为 \(\frac{1}{2}\)，求椭圆的长轴和短轴长度。
答案：根据离心率 \(e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}\)，我们有 \(c =\frac{a}{2}\)。
由于椭圆经过点 \((2, 3)\)，代入椭圆方程得\(\frac{4}{a^2} + \frac{9}{b^2} = 1\)。
又因为 \(c^2 = a^2 -b^2\)，代入 \(c = \frac{a}{2}\) 得 \(\frac{a^2}{4} = a^2 -b^2\)，解得 \(b^2 = \frac{3}{4}a^2\)。
将 \(b^2\) 代入椭圆方程，解得 \(a^2 = 16\) 和 \(b^2 = 12\)。
因此，椭圆的长轴长度为\(2a = 32\)，短轴长度为 \(2b = 24\)。
4. 求抛物线 \(y^2 = 4px\)（\(p > 0\)）的焦点坐标。
答案：焦点坐标为 \((\frac{p}{2}, 0)\)。
5. 已知双曲线 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) 的一条渐近线方程为 \(y = \frac{b}{a}x\)，求双曲线的离心率。
答案：双曲线的离心率 \(e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}\)。
(完整版)解析几何练习题及答案
解析几何一、选择题1．已知两点A (－3，)，B (，－1)，则直线AB 的斜率是( )33A. B ．－33C. D ．－3333解析：斜率k ＝＝－，故选D.－1－33－(－3)33答案：D 2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意．②a ≠0，x ＝0时，y ＝2＋a .y ＝0时，x ＝，a ＋2a 则＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D.a ＋2a 答案：D 3．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为( )A ．4B ．21313C. D ．5132671020解析：把3x ＋y －3＝0转化为6x ＋2y －6＝0，由两直线平行知m ＝2，则d ＝＝.|1－(－6)|62＋2271020故选D.答案：D4．(2014皖南八校联考)直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －5＝0 D ．x ＋2y －5＝0解析：由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0.故选C.答案：C5．若直线l ：y ＝kx －与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角3的取值范围是( )A. B ．[π6，π3)(π6，π2)C. D ．(π3，π2)[π3，π2]解析：由题意，可作直线2x ＋3y －6＝0的图象，如图所示，则直线与x 轴、y 轴交点分别为A (3,0)，B (0,2)，又直线l 过定点(0，－)，由题知直线l 与线段AB 相交(交点不含3端点)，从图中可以看出，直线l 的倾斜角的取值范围为.故选B.(π6，π2)答案：B 6．(2014泰安一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( )A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y ＋3＝0 D ．x －2y ＋5＝0解析：直线2x ＋y －5＝0的斜率为k ＝－2，∴所求直线的斜率为k ′＝，12∴方程为y －3＝(x －2)，即x －2y ＋4＝0.12答案：A二、填空题7．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为____________．解析：由题意知截距均不为零．设直线方程为＋＝1，x a yb 由Error!解得Error!或Error!.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.答案：x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝08．(2014湘潭质检)若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m的值为________．解析：∵过点A ，B 的直线平行于直线2x ＋y ＋2＝0，∴k AB ＝＝－2，解得m ＝－8.4－mm ＋2答案：－89．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．解析：由直线PQ 的倾斜角为钝角，可知其斜率k <0，即<0，化简得<0，∴－2<a <1.2a －(1＋a )3－(1－a )a －1a ＋2答案：(－2,1)10．已知k ∈R ，则直线kx ＋(1－k )y ＋3＝0经过的定点坐标是________．解析：令k ＝0，得y ＋3＝0，令k ＝1，得x ＋3＝0.解方程组Error!得Error!所以定点坐标为(－3，－3)．答案：(－3，－3)三、解答题11．已知两直线l 1：x ＋y sinα－1＝0和l 2：2x sinα＋y ＋1＝0，试求α的值，使(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解：(1)法一 当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.当sin α≠0时，k 1＝－，k 2＝－2sin α.1sin α要使l 1∥l 2，需－＝－2sin α，1sin α即sin α＝±，∴α＝k π±，k ∈Z .22π4故当α＝k π±，k ∈Z 时，l 1∥l 2.π4法二 由l 1∥l 2，得Error!∴sin α＝±，22∴α＝k π±，k ∈Z .π4故当α＝k π±，k ∈Z 时，l 1∥l 2.π4(2)∵l 1⊥l 2，∴2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0.∴α＝k π，k ∈Z .故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.12．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.(1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)假设l 1与l 2不相交，则l 1∥l 2即k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k ＋2＝0，这与21k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)法一 由方程组Error!解得交点P 的坐标为，(2k 2－k 1，k 2＋k 1k 2－k 1)而2x 2＋y 2＝22＋2(2k 2－k 1)(k 2＋k 1k 2－k 1)＝8＋k 2＋k 21＋2k 1k 2k 2＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 2＋4k 21＋k 2＋4＝1.即P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．即l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．法二 交点P 的坐标(x ，y )满足Error!故知x ≠0.从而Error!代入k 1k 2＋2＝0，得·＋2＝0，y －1x y ＋1x 整理后，得2x 2＋y 2＝1.所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．第八篇 第2节一、选择题1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：由题意，设圆心(0，t )，则＝1，得t ＝2，12＋(t －2)2所以圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1，故选A.答案：A 2．(2014郑州模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：设P (x ，y )，则由题意可得2＝，(x －2)2＋y 2(x －8)2＋y 2化简整理得x 2＋y 2＝16，故选B.答案：B3．(2012年高考陕西卷)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( )A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能解析：x 2＋y 2－4x ＝0是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，而点P (3,0)到圆心的距离为d ＝＝1<2，(3－2)2＋(0－0)2点P (3,0)恒在圆内，过点P (3,0)不管怎么样画直线，都与圆相交．故选A.答案：A4．(2012年高考辽宁卷)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0解析：由题知圆心在直线上，因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选项C 符合，故选C.答案：C 5．(2013年高考广东卷)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －＝0B ．x ＋y ＋1＝02C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋＝02解析：与直线y ＝x ＋1垂直的直线方程可设为x ＋y ＋b ＝0，由x ＋y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，可得＝1，故b ＝±.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形|b |12＋122分析知b ＝－，则直线方程为x ＋y －＝0.故选A.22答案：A 6．(2012年高考福建卷)直线x ＋y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦3AB 的长度等于( )A ．2B ．253C. D ．13解析：因为圆心到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝＝1，半径r ＝2，3|0＋3×0－2|12＋(3)2所以弦长|AB |＝2＝2.22－123故选B.答案：B二、填空题7．(2013年高考浙江卷)直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________．解析：圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r ＝5.又直线方程为2x －y ＋3＝0，∴圆心到直线的距离为d ＝＝，|2×3－4＋3|4＋15∴弦长为2×＝2＝4.25－5205答案：458．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．解析：因为圆C 的圆心(1,1)到直线l 的距离为d ＝＝2，|1－1＋4|12＋(－1)22又圆半径r ＝.2所以圆C 上各点到直线l 的距离的最小值为d －r ＝.2答案：29．已知圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，半径为1且与直线4x －3y ＝0相切，则圆C的标准方程是________．解析：∵圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，∴设圆心C (m,3m )．又圆C 的半径为1，且与4x －3y ＝0相切，∴＝1，|4m －9m |5∴m ＝±1，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1.答案：(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝110．圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l ：x ＋y －3＝0对称的圆的方程为________．解析：已知圆的圆心为(2,3)，半径为1.则对称圆的圆心与(2,3)关于直线l 对称，由数形结合得，对称圆的圆心为(0,1)，半径为1，故方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝1三、解答题11．已知圆C ：x 2＋(y －2)2＝5，直线l ：mx －y ＋1＝0.(1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点；(2)若圆C 与直线相交于点A 和点B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．(1)证明：法一 直线方程与圆的方程联立，消去y 得(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，∵Δ＝4m 2＋16(m 2＋1)＝20m 2＋16>0，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．法二 直线l ：mx －y ＋1恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C ：x 2＋(y －2)2＝5内部，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．(2)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，由方程(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，得x 1＋x 2＝，2mm 2＋1∴x ＝.mm 2＋1当x ＝0时m ＝0，点M (0,1)，当x ≠0时，由mx －y ＋1＝0，得m ＝，y －1x 代入x ＝，得x＝，mm 2＋1[(y －1x )2＋1]y －1x 化简得x 2＋2＝.(y －32)14经验证(0,1)也符合，∴弦AB 的中点M 的轨迹方程为x 2＋2＝.(y －32)1412．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝2时，求直线l 的方程．2解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有＝2.解得a ＝－.|4＋2a |a 2＋134(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得Error!解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.第八篇 第3节一、选择题1．设P 是椭圆＋＝1上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )x 225y 216A ．4 B ．5C ．8D ．10解析：由方程知a ＝5，根据椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.故选D.答案：D 2．(2014唐山二模)P 为椭圆＋＝1上一点，F 1，F 2为该椭圆的两个焦点，若x 24y 23∠F 1PF 2＝60°，则·等于( )PF1→ PF 2→ A ．3 B ．3C ．2 D ．23解析：由椭圆方程知a ＝2，b ＝，c ＝1，3∴Error!∴|PF 1||PF 2|＝4.∴·＝||||cos 60°＝4×＝2.PF 1→ PF 2→ PF 1→ PF 2→ 12答案：D3．(2012年高考江西卷)椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦x 2a 2y 2b 2点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A. B ．1455C. D ．－2125解析：本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用．由椭圆的性质可知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，又|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，故(a －c )(a ＋c )＝(2c )2，可得e ＝＝.故应选B.ca 55答案：B4．(2013年高考辽宁卷)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的x 2a 2y 2b 2直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝，则C 的离心率45为( )A. B ．3557C. D ．4567解析：|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB ||BF |cos ∠ABF ＝100＋64－2×10×8×＝36，45则|AF |＝6，∠AFB ＝90°，半焦距c ＝|FO |＝|AB |12＝5，设椭圆右焦点F 2，连结AF 2，由对称性知|AF 2|＝|FB |＝8，2a ＝|AF 2|＋|AF |＝6＋8＝14，即a ＝7，则e ＝＝.c a 57故选B.答案：B5．已知椭圆E ：＋＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与x 2m y 24l ：y ＝kx ＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是( )A ．kx ＋y ＋k ＝0B ．kx －y －1＝0C ．kx ＋y －k ＝0D ．kx ＋y －2＝0解析：取k ＝1时，l ：y ＝x ＋1.选项A 中直线：y ＝－x －1与l 关于x 轴对称，截得弦长相等．选项B 中直线：y ＝x －1与l 关于原点对称，所截弦长相等．选项C 中直线：y ＝－x ＋1与l 关于y 轴对称，截得弦长相等．排除选项A 、B 、C ，故选D.答案：D6．(2014山东省实验中学第二次诊断)已知椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为x 2a 2y 2b 2F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P ，使＝，则该椭圆的离心率的asin ∠PF 1F 2csin ∠PF 2F 1取值范围为( )A ．(0，－1) B ．2(22，1)C.D ．(－1,1)(0，22)2解析：由题意知点P 不在x 轴上，在△PF 1F 2中，由正弦定理得＝，|PF 2|sin ∠PF 1F 2|PF 1|sin ∠PF 2F 1所以由＝a sin ∠PF 1F 2c sin ∠PF 2F 1可得＝，a|PF 2|c|PF 1|即＝＝e ，|PF 1||PF 2|ca 所以|PF 1|＝e |PF 2|.由椭圆定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以e |PF 2|＋|PF 2|＝2a ，解得|PF 2|＝.2ae ＋1由于a －c <|PF 2|<a ＋c ，所以有a －c <<a ＋c ，2ae ＋1即1－e <<1＋e ，2e ＋1也就是Error!解得－1<e .2又0<e <1，∴－1<e <1.故选D.2答案：D 二、填空题7．设F 1、F 2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中x 225y 216点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点距离为________．解析：∵|OM |＝3，∴|PF 2|＝6，又|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝4.答案：48．椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线x 2a 2y 2b 2与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．解析：不妨设|F 1F 2|＝1，∵直线MF 2的倾斜角为120°，∴∠MF 2F 1＝60°.∴|MF 2|＝2，|MF 1|＝，2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝2＋，332c ＝|F 1F 2|＝1.∴e ＝＝2－.ca 3答案：2－39．(2014西安模拟)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方35y 225x 29程为________________．解析：由题意可设椭圆方程为＋＝1(m <9)，y 225－m x 29－m 代入点(，－)，35得＋＝1，525－m 39－m 解得m ＝5或m ＝21(舍去)，∴椭圆的标准方程为＋＝1.y 220x 24答案：＋＝1y 220x 2410．已知F 1，F 2是椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且x 2a 2y 2b 2⊥.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.PF1→ PF 2→ 解析：由题意得Error!∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，即4a 2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，∴|PF 1||PF 2|＝2b 2，∴S △PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝b 2＝9，12∴b ＝3.答案：3三、解答题11．(2012年高考广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：＋＝1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解：(1)由椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上，可得Error!∴Error!故椭圆C 1的方程为＋y 2＝1.x 22(2)由题意分析，直线l 斜率存在且不为0，设其方程为y ＝kx ＋b ，由直线l 与抛物线C 2相切得Error!消y 得k 2x 2＋(2bk －4)x ＋b 2＝0，Δ1＝(2bk －4)2－4k 2b 2＝0，化简得kb ＝1.①由直线l 与椭圆C 1相切得Error!消y 得(2k 2＋1)x 2＋4bkx ＋2b 2－2＝0，Δ2＝(4bk )2－4(2k 2＋1)(2b 2－2)＝0，化简得2k 2＝b 2－1.②①②联立得Error!解得b 4－b 2－2＝0，∴b 2＝2或b 2＝－1(舍去)，∴b ＝时，k ＝，b ＝－时，k ＝－.222222即直线l 的方程为y ＝x ＋或y ＝－x －.22222212．(2014海淀三模)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一x 2a 2y 2b 2内角为60°的菱形的四个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx 交椭圆C 于A ，B 两点，在直线l ：x ＋y －3＝0上存在点P ，使得△PAB 为等边三角形，求k 的值．解：(1)因为椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的x 2a 2y 2b 2菱形的四个顶点．所以a ＝，b ＝1，3椭圆C 的方程为＋y 2＝1.x 23(2)设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线l ：x ＋y －3＝0的交点为P (0,3)，又因为|AB |＝2，|PO |＝3，3所以∠PAO ＝60°，所以△PAB 是等边三角形，所以直线AB 的方程为y ＝0，当直线AB 的斜率存在且不为0时，则直线AB 的方程为y ＝kx ，所以Error!化简得(3k 2＋1)x 2＝3，所以|x 1|＝，33k 2＋1则|AO |＝＝.1＋k 233k 2＋13k 2＋33k 2＋1设AB 的垂直平分线为y ＝－x ，1k 它与直线l ：x ＋y －3＝0的交点记为P (x 0，y 0)，所以Error!解得Error!则|PO |＝，9k 2＋9(k －1)2因为△PAB 为等边三角形，所以应有|PO |＝|AO |，3代入得＝，9k 2＋9(k －1)233k 2＋33k 2＋1解得k ＝0(舍去)，k ＝－1.综上，k ＝0或k ＝－1.第八篇 第4节一、选择题1．设P 是双曲线－＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦点，若x 216y 220|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17 D ．以上答案均不对解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2>1，∴|PF 2|＝17.故选B.答案：B2．(2013年高考湖北卷)已知0<θ<，则双曲线C 1：－＝1与C 2：－π4x 2sin2θy 2cos2θy 2cos2θ＝1的( )x 2sin2θA ．实轴长相等 B ．虚轴长相等C ．离心率相等 D ．焦距相等解析：双曲线C 1的半焦距c 1＝＝1，双曲线C 2的半焦距c 2＝sin2θ＋cos2θ＝1，故选D.cos2θ＋sin2θ答案：D3．(2012年高考湖南卷)已知双曲线C ：－＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近x 2a 2y 2b 2线上，则C 的方程为( )A.－＝1 B ．－＝1x 220y 25x 25y 220C.－＝1 D ．－＝1x 280y 220x 220y 280解析：由焦距为10，知2c ＝10，c ＝5.将P (2,1)代入y ＝x 得a ＝2b .ba a 2＋b 2＝c 2,5b 2＝25，b 2＝5，a 2＝4b 2＝20，所以方程为－＝1.故选A.x 220y 25答案：A 4．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2等于( )A. B ．1435C. D ．3445解析：∵c 2＝2＋2＝4，∴c ＝2,2c ＝|F 1F 2|＝4，由题可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，2|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝2，|PF 1|＝4，22由余弦定理可知cos ∠F 1PF 2＝＝.故选C.(42)2＋(22)2－422×42×2234答案：C5．设椭圆C 1的离心率为，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆513C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.－＝1 B ．－＝1x 242y 232x 2132y 252C.－＝1 D ．－＝1x 232y 242x 2132y 2122解析：在椭圆C 1中，因为e ＝，2a ＝26，513即a ＝13，所以椭圆的焦距2c ＝10，则椭圆两焦点为(－5,0)，(5,0)，根据题意，可知曲线C 2为双曲线，根据双曲线的定义可知，双曲线C 2中的2a 2＝8，焦距与椭圆的焦距相同，即2c 2＝10，可知b 2＝3，所以双曲线的标准方程为－＝1.故选A.x 242y 232答案：A6．(2014福州八中模拟)若双曲线－＝1渐近线上的一个动点P 总在平面区域x 29y 216(x －m )2＋y 2≥16内，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．[－5,5] D ．(－∞，－5]∪[5，＋∞)解析：因为双曲线－＝1渐近线4x ±3y ＝0上的一个动点P 总在平面区域(x －m )x 29y 2162＋y 2≥16内，即直线与圆相离或相切，所以d ＝≥4，解得m ≥5或m ≤－5，故实数|4m |5m 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．选D.答案：D 二、填空题7．(2013年高考辽宁卷)已知F 为双曲线C ：－＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的x 29y 216点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题知，双曲线中a ＝3，b ＝4，c ＝5，则|PQ |＝16，又因为|PF |－|PA |＝6，|QF |－|QA |＝6，所以|PF |＋|QF |－|PQ |＝12，|PF |＋|QF |＝28，则△PQF 的周长为44.答案：448．已知双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到较近焦点x 2a 2y 2b 2的距离为1，则双曲线C 的方程为________．解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为c －a ＝1，又e ＝＝2，两式联立得a ＝1，c ＝2，ca ∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，∴方程为x 2－＝1.y 23答案：x 2－＝1y 239．(2014合肥市第三次质检)已知点P 是双曲线－＝1(a >0，b >0)和圆x 2a 2y 2b 2x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则该双曲线的离心率为________．解析：依题意得，线段F 1F 2是圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一条直径，故∠F 1PF 2＝90°，∠PF 1F 2＝30°，设|PF 2|＝m ，则有|F 1F 2|＝2m ，|PF 1|＝m ，3该双曲线的离心率等于＝＝＋1.|F 1F 2|||PF 1|－|PF 2||2m3m －m 3答案：＋1310．(2013年高考湖南卷)设F 1，F 2是双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若x 2a 2y 2b 2在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：设点P 在双曲线右支上，由题意，在Rt △F 1PF 2中，|F 1F 2|＝2c ，∠PF 1F 2＝30°，得|PF 2|＝c ，|PF 1|＝c ，3根据双曲线的定义：|PF 1|－|PF 2|＝2a ，(－1)c ＝2a ，3e ＝＝＝＋1.c a 23－13答案：＋13三、解答题11．已知双曲线x 2－＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，y 22且点P 是线段AB 的中点？解：法一 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k .由Error!得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0(2－k 2≠0)．①∴x 0＝＝.x 1＋x 22k (1－k )2－k 2由题意，得＝1，k (1－k )2－k 2解得k ＝2.当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点．法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若直线l 的斜率不存在，即x 1＝x 2不符合题意，所以由题得x －＝1，x －＝1，21y 2122y 22两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－＝0，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2即2－＝0，y 1－y 2x 1－x 2即直线l 斜率k ＝2，得直线l 方程y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，联立Error!得2x 2－4x ＋3＝0，Δ＝16－24＝－8<0，即直线y ＝2x －1与双曲线无交点，即所求直线不合题意，所以过点P (1,1)的直线l 不存在．12．(2014南京质检)中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.13(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解：(1)由已知c ＝，13设椭圆长、短半轴长分别为a 、b ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ，则Error!解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2.∴椭圆方程为＋＝1，x 249y 236双曲线方程为－＝1.x 29y 24(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝2，13∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝＝.102＋42－(213)22×10×445第八篇 第5节一、选择题1．(2014银川模拟)抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为( )A. B ．(1,0)(12，0)C. D ．(0，18)(0，14)解析：抛物线y ＝2x 2，即其标准方程为x 2＝y ，它的焦点坐标是.故选C.12(0，18)答案：C2．抛物线的焦点为椭圆＋＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为( )x 24y 29A ．x 2＝－4y B ．y 2＝－4x55C ．x 2＝－4yD ．y 2＝－4x1313解析：由椭圆方程知，a 2＝9，b 2＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝＝，a 2－b 25∴抛物线焦点坐标为(0，－)，5∴抛物线方程为x 2＝－4y .故选A.5答案：A3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( )A ．相离 B ．相交C ．相切 D ．不确定解析：如图所示，设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线为l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝(|AA 1|＋|BB 1|)12＝(|AF |＋|BF |)＝|AB |，故圆与抛物线准线相切．故选C.1212答案：C4．(2014洛阳高三统一考试)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为( )A. B ．5383C. D ．10103解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中x 1>0，x 2>0，过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，则由Error!解得x 1＝3，x 2＝，13故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于＋1＝.故选B.x 1＋x 2283答案：B5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A. B ．134C. D ．5474解析：∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋＝3，12∴x A ＋x B ＝.52∴线段AB 的中点到y 轴的距离为＝.xA ＋xB 254故选C.答案：C6．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)解析：∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.以F 为圆心、|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.故选C.答案：C 二、填空题7．动直线l 的倾斜角为60°，且与抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．解析：设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，3联立Error!消去y ，得x 2＝2p (x ＋b )，3即x 2－2px －2pb ＝0，3∴x 1＋x 2＝2p ＝3，3∴p ＝，则抛物线的方程为x 2＝y .323答案：x 2＝y38．以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8.所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.答案：x 2＋(y －4)2＝649．(2012年高考北京卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：∵抛物线y 2＝4x ，∴焦点F 的坐标为(1,0)．又∵直线l 倾斜角为60°，∴直线斜率为，3∴直线方程为y ＝(x －1)．3联立方程Error!解得Error!或Error!由已知得A 的坐标为(3,2)，3∴S △OAF ＝|OF |·|y A |＝×1×2＝.121233答案：310．已知点P 是抛物线y 2＝2x上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A ，则(72，4)|PA |＋|PM |的最小值是________．解析：设点M 在抛物线的准线上的射影为M ′.由已知可得抛物线的准线方程为x ＝－，焦点F 坐标为.12(12，0)求|PA |＋|PM |的最小值，可先求|PA |＋|PM ′|的最小值．由抛物线的定义可知，|PM ′|＝|PF |，所以|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PM ′|，当点A 、P 、F 在一条直线上时，|PA |＋|PF |有最小值|AF |＝5，所以|PA |＋|PM ′|≥5，又因为|PM ′|＝|PM |＋，12所以|PA |＋|PM |≥5－＝.1292答案：92三、解答题11．若抛物线y ＝2x 2上的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线l ：y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－，求实数m 的值．12解：法一 如图所示，连接AB ，∵A 、B 两点关于直线l 对称，∴AB ⊥l ，且AB 中点M (x 0，y 0)在直线l 上．可设l AB ：y ＝－x ＋n ，由Error!得2x 2＋x －n ＝0，∴x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝－.12n2由x 1x 2＝－，得n ＝1.12又x 0＝＝－，x 1＋x 2214y 0＝－x 0＋n ＝＋1＝，1454即点M 为，(－14，54)由点M 在直线l 上，得＝－＋m ，5414∴m ＝.32法二 ∵A 、B 两点在抛物线y ＝2x 2上．∴Error!∴y 1－y 2＝2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)．设AB 中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2x 0，k AB ＝＝4x 0.y 1－y 2x 1－x 2又AB ⊥l ，∴k AB ＝－1，从而x 0＝－.14又点M 在l 上，∴y 0＝x 0＋m ＝m －，14即M ，(－14，m －14)∴AB 的方程是y －＝－，(m －14)(x ＋14)即y ＝－x ＋m －，代入y ＝2x 2，12得2x 2＋x －＝0，∴x 1x 2＝－＝－，∴m ＝.(m －12)m －122123212．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，2B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．OC → OA → OB→ 解：(1)直线AB 的方程是y ＝2，与y 2＝2px 联立，2(x －p2)从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，5p4所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－2，y 2＝4，22从而A (1，－2)，B (4,4)．22设＝(x 3，y 3)＝(1，－2)＋λ(4,4)OC→ 22＝(4λ＋1,4λ－2)，22即C (4λ＋1,4λ－2)，22所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，2即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.。
解析几何大题集合(34题)
1. 已知椭圆C ：14522=+y x 的左右焦点分别为21,F F（1）若P 是椭圆上的一点，且∠︒=3021PF F ，求△的面积；（2）过椭圆的左焦点作一条倾斜角为45°的直线l 与椭圆交于A.B 两点，求AB 的长.2.已知点P 为圆A:8)1(22=++y x 的动点，点B （1,0），线段PB 的垂直平分线与半径PA 相交于点M ，记点M 的轨迹为C 。
（1）求曲线C 的方程；（2）当P 在第一象限，且322cos =∠BAP 时，求点M 的坐标3.已知椭圆E ：)0(,12222>>=+b a by a x 的离心率为21，点A,B 分别为椭圆E 的左右顶点，点C 在E 上，且△ABC 面积的最大值为32， 求（1）椭圆E 的方程；（3）设F 为E 的左焦点，点D 在直线x=-4上，过F 作DF 的垂线交椭圆E 与M,N 两点。
证明：直线OD 平分线段MN 。
4. 已知椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，A为上顶点，P 为椭圆上任一点（与左右顶点不重合）。
（1）若21AF AF ⊥,求椭圆的离心率； （2）若P （-4,3），且021=∙PF PF ,求椭圆的方程；（3）若存在一点P 使∠21PF F 为钝角，求椭圆的离心率的取值范围。
21PF F5. 如图，A,B,C 是椭圆M ：上的三点，其中A 是椭圆的右顶点，BC 过椭圆M 的中心，且满足AC ⊥BC,BC=2AC. (1) 求椭圆M 的离心率(2)若y 轴被△ABC 的外接圆所截得的弦长为9，求椭圆M 的方程。
6. 设椭圆C ：)0(,1222>=+a y a x 的两个焦点)0,(),0,-(21c F c F （c>0）,且椭圆C 与圆222c y x =+有公共点。
（1）求a 的取值范围；（2）若椭圆上的点到焦点的最短距离是2-3，求椭圆的方程。
解析几何经典练习题(含答案)
解析几何经典练习题(含答案)题目一：已知平面直角坐标系中两点A（-3，4）和B（5，-2），求直线AB的斜率和方程。
解答：直线AB的斜率可以使用斜率公式计算：斜率 = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，A的坐标为(x1, y1) = (-3, 4)，B的坐标为(x2, y2) = (5, -2)。
斜率 = (-2 - 4) / (5 - (-3)) = -6 / 8 = -3/4直线AB的方程可以使用点斜式来表示：y - y1 = m(x - x1)其中，m为斜率，(x1, y1)为直线上的任意一点。
将斜率和点A的坐标代入得到方程：y - 4 = (-3/4)(x + 3)化简得到直线AB的方程为：4y - 16 = -3x - 9整理得到标准形式方程：3x + 4y = 7答案：直线AB的斜率为 -3/4，方程为 3x + 4y = 7。
题目二：已知直线L的斜率为2，经过点A（3，-1），求直线L的方程。
解答：直线L的方程可以使用点斜式来表示：y - y1 = m(x - x1)其中，m为斜率，(x1, y1)为直线上的任意一点。
将斜率和点A的坐标代入得到方程：y - (-1) = 2(x - 3)化简得到直线L的方程为：y + 1 = 2x - 6整理得到标准形式方程：2x - y = 7答案：直线L的方程为 2x - y = 7。
题目三：已知直线L的方程为 3x + y = 5，求直线L的斜率和经过点A （2，-1）的方程。
解答：直线L的斜率可以从方程的标准形式中直接读取：3x + y = 5将方程转化成斜截式形式：y = -3x + 5可以看出直线L的斜率为-3。
经过点A（2，-1）的直线方程可以使用点斜式来表示：y - y1 = m(x - x1)其中，m为斜率，(x1, y1)为直线上的任意一点。
将斜率和点A的坐标代入得到方程：y - (-1) = -3(x - 2)化简得到通过点A的直线方程为：y + 1 = -3x + 6整理得到标准形式方程：3x + y = 5答案：直线L的斜率为-3，经过点A（2，-1）的方程为 3x + y = 5。
高三数学解析几何专题(含解析)
高三数学解析几何专题(含解析)1.【理科】已知动点P到点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2，且∠APB=2θ，且d1d2cos2θ=1.Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；Ⅱ）过点B作直线l交轨迹C于M，N两点，交直线x=4于点E，求|EM||EN|的最小值。
2.已知椭圆C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a>b>0)的离心率为2，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=7/2，PF·PF3/12=4.其中O为坐标原点。
I）求椭圆C的方程；Ⅱ）如图，过点S（0，1/3），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
3.已知两定点F1(-2,0)、F2(2,0)，满足条件PF2-PF1=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点。
Ⅰ）求k的取值范围；Ⅱ）如果AB=63，且曲线E上存在点C，使OA+OB=mOC，求m的值和△ABC的面积S。
4.已知抛物线W:y=ax^2经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同的直线L1、L2.1）求抛物线W的方程及其准线方程；2）当直线L1与抛物线W相切时，求直线L2与抛物线W所围成封闭区域的面积；3）设直线L1、L2分别交抛物线W于B、C两点（均不与A重合），若以BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程。
5.动点M(x,y)到定点F(-1,0)的距离与到y轴的距离之差为1.I）求动点M的轨迹C的方程；II）过点Q(-3,0)的直线l与曲线C交于A、B两点，问直线x=3上是否存在点P，使得△PAB是等边三角形？若存在，求出所有的点P；若不存在，请说明理由。
6.椭圆M的中心在坐标原点D，左、右焦点F1、F2在x轴上，抛物线N的顶点也在原点D，焦点为F2，椭圆M与抛物线N的一个交点为A(3,26)。
解析几何经典例题
解析几何经典例题圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。
这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。
一、椭圆定义的深层运用例1. 如图1，P 为椭圆上一动点，为其两焦点，从的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P 的延长线于N，求M的轨迹方程。
图1解析：易知故在中，则点M的轨迹方程为。
二、双曲线定义的深层运用例2. 如图2，为双曲线的两焦点，P 为其上一动点，从的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。
图2解析：不妨设P 点在双曲线的右支上，延长F1M交PF2 的延长线于N，则，即在故点M的轨迹方程为三、抛物线定义的深层运用例3. 如图3，AB为抛物线的一条弦，|AB| ＝4，F 为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1 的最短距离。
图3解析：易知抛物线的准线l ：，作AA”⊥l ，BB”⊥l ，MM”⊥l ，垂足分别为A”、B”、M”则即M到直线的最短距离为 2故M到直线y＝－1 的最短距离为。
评注：上述解法中，当且仅当A、B、F 共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。
一般地，求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当（即通径长）时，才能用上述解法。
四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用例4. ①已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（）图4②已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线解析：①如图4，由垂直平分线的性质，知|QM|＝|QP| ，而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ|即|OQ|＋|QP| ＝2＞|OP| ＝故Q的轨迹是以O（0，0）、P 为焦点长轴长为 2 的椭圆。
应选B。
②同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。
五、椭圆与双曲线定义的综合运用例5. 如图5，已知三点A（－7，0），B（7，0），C（2，－12）。
(完整版)解析几何题库
解析几何题库一、选择题1.已知圆C 与直线x －y =0 及x －y －4=0都相切，圆心在直线x +y =0上，则圆C 的方程为 A.22(1)(1)2x y ++-= B. 22(1)(1)2x y -++= C.22(1)(1)2x y -+-= D. 22(1)(1)2x y +++=【解析】圆心在x ＋y ＝0上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可. 【答案】B 2.直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（ ）A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离【解析】圆心(0,0)为到直线1y x =+，即10x y -+=的距离2d ==，而012<<，选B 。
【答案】B 3.圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）A ．22(2)1xy +-=B ．22(2)1xy ++=C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．22(3)1xy +-=解法1（直接法）：设圆心坐标为(0,)b1=，解得2b =，故圆的方程为22(2)1x y +-=。
解法2（数形结合法）：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为22(2)1x y +-=解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B ，D ，又由于圆心在y 轴上，排除C 。
【答案】A4.点P （4，－2）与圆224x y +=上任一点连续的中点轨迹方程是（ ）A.22(2)(1)1x y -++= B.22(2)(1)4x y -++=C.22(4)(2)4x y ++-=D.22(2)(1)1x y ++-=【解析】设圆上任一点为Q （s ，t ），PQ 的中点为A （x ，y ），解得：⎩⎨⎧+=-=2242y t x s ，代入圆方程，得（2x －4）2＋（2y＋2）2＝4，整理，得：22(2)(1)1x y -++=【答案】A 5.已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l kx k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是（ ）A. 1或3B.1或5C.3或5D.1或2【解析】当k ＝3时，两直线平行，当k ≠3k －3，解得：k ＝5，故选C 。
全国高考数学解析几何大题精选50题(完美编辑、含答案、知识卡片)
20．（2018•江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点（
），焦点 F1
试卷第 9 页，总 25 页
（﹣ ，0），F2（ ，0），圆 O 的直径为 F1F2． （1）求椭圆 C 及圆 O 的方程； （2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P． ①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标； ②直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点．若△OAB 的面积为 ，求直线 l 的方程．
试卷第 1 页，总 25 页
线型道路 PB，QA，规划要求：线段 PB，QA 上的所有点到点 O 的距离均不．小．于．圆 O 的半径．已知点 A，B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 BD（C，D 为垂足），测得 AB ＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）． （1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长； （2）在规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由； （3）在规划要求下，若道路 PB 和 QA 的长度均为 d（单位：百米），求当 d 最小时， P、Q 两点间的距离．
点的圆． （1）求 C 的轨迹方程； （2）动点 P 在 C 上运动，M 满足
＝2 ，求 M 的轨迹方程．
试卷第 8 页，总 25 页
18．（2018•浙江）如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线 C：y2＝4x 上 存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上． （Ⅰ）设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴；
22．（2018•上海）设常数 t＞2．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F（2，0），直线 l： x＝t，曲线Γ：y2＝8x（0≤x≤t，y≥0）．l 与 x 轴交于点 A、与Γ交于点 B．P、Q 分别是曲线Γ与线段 AB 上的动点． （1）用 t 表示点 B 到点 F 的距离； （2）设 t＝3，|FQ|＝2，线段 OQ 的中点在直线 FP 上，求△AQP 的面积； （3）设 t＝8，是否存在以 FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ，使得点 E 在Γ上？若存在， 求点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
解析几何基础100题
解析几何基础100题一、选择题:1. 若双曲线22221x y a b -=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为A0916X Y ±= B 0169X Y ±= C 034X Y ±= D 043X Y±= 解 答：C易错原因:审题不认真,混淆双曲线标准方程中的a 和题目中方程的a 的意义.2. 椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是解 答：D易错原因:短轴长误认为是b3．过定点（1，2）作两直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是A k>2B —3〈k<2C k<—3或k>2D 以上皆不对 解 答：D易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑2240D E F +->4．设双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线L 的距离为4，则双曲线的离心率为A 2B 2或233C 2D 233解 答：D易错原因：忽略条件0a b >>对离心率范围的限制.5．已知二面角βα--l 的平面角为θ，PA α⊥，PB β⊥，A ，B 为垂足，且PA=4，PB=5,设A 、B 到二面角的棱l 的距离为别为y x ,，当θ变化时,点),(y x 的轨迹是下列图形中的A B C D 解 答: D易错原因：只注意寻找,x y 的关系式,而未考虑实际问题中,x y 的范围。
6．若曲线24y x =-(2)y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是A 01k ≤≤B 304k ≤≤ C 314k -<≤ D 10k -<≤ 解 答:C易错原因：将曲线24y x =-转化为224x y -=时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点（2，—3)且与渐近线y x =平行的直线与双曲线的位置关系。
解析几何初中试题及答案
解析几何初中试题及答案1. 已知点A(2,3)和点B(-1,-2)，求线段AB的中点坐标。
答案：线段AB的中点坐标为(\(\frac{2+(-1)}{2}, \frac{3+(-2)}{2}\))，即(\(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\))。
2. 已知直线l的方程为y=2x+3，求直线l与x轴的交点坐标。
答案：当直线l与x轴相交时，y=0，代入方程得2x+3=0，解得x=-\(\frac{3}{2}\)。
因此，交点坐标为(-\(\frac{3}{2}\), 0)。
3. 已知圆C的方程为(x-1)^2 + (y+2)^2 = 9，求圆C的半径和圆心坐标。
答案：圆C的半径为3，圆心坐标为(1, -2)。
4. 已知直线l1: y=x+1与直线l2: y=-2x+4相交，求两直线的交点坐标。
答案：将两个方程联立，得到x+1=-2x+4，解得x=1。
将x=1代入任一方程得y=2。
因此，两直线的交点坐标为(1, 2)。
5. 已知抛物线y^2=4px(p>0)的焦点坐标为(2,0)，求抛物线的方程。
答案：由焦点坐标(2,0)可得p=2，因此抛物线的方程为y^2=8x。
6. 已知椭圆的长轴为10，短轴为6，求椭圆的方程。
答案：设椭圆的方程为\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中a为长轴的一半，b为短轴的一半。
由题意得a=5，b=3，因此椭圆的方程为\(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\)。
7. 已知双曲线的实轴长为8，虚轴长为6，求双曲线的方程。
答案：设双曲线的方程为\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1\)，其中a为实轴的一半，b为虚轴的一半。
由题意得a=4，b=3，因此双曲线的方程为\(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\)。
解析几何试题及答案
解析几何试题及答案1、试题分析本文将为大家解析几个典型的解析几何试题，并给出详细的答案解析。
这些试题涵盖了解析几何的基本概念和常见解题方法，有助于提高解析几何的应用能力。
2、试题一已知平面直角坐标系中，直线L的方程为2x+3y=6，直线L与x轴、y轴分别交于点A、B。
求证：点A、B和原点O构成等边三角形。
解答：首先，求直线L与x轴的交点，令y=0，得到x=3。
所以，点A的坐标为(3,0)。
然后，求直线L与y轴的交点，令x=0，得到y=2。
所以，点B的坐标为(0,2)。
接着，计算OA的长度，用两点间距离公式可得：OA = √[(3-0)²+(0-0)²] = 3同理，计算OB的长度得到OB = √[(0-0)²+(2-0)²] = 2最后，计算AB的长度得到AB = √[(3-0)²+(2-0)²] = √13由于OA = OB = AB，所以点A、B和原点O构成等边三角形。
证毕。
3、试题二在平面直角坐标系中，一条直线L与x轴的交点为A，与y轴的交点为B。
已知A点坐标为(3,0)，且直线L与另一条直线M：2x+y=6平行。
求直线L的方程。
解答：由题可知，直线L与x轴的交点为A(3,0)，与y轴的交点为B。
设直线L的斜率为k。
由于直线L与直线M平行，所以L的斜率与M的斜率相等。
而M的斜率为2，所以L的斜率也为2。
斜率为k的直线通过点A(3,0)，即可得到直线L的方程为y=k(x-3)。
至此，直线L的方程为y=2(x-3)，即L的方程为y=2x-6。
4、试题三已知直线L1过点A(1,2)，斜率为k。
直线L2过点B(-2,3)，斜率为-2。
若直线L1与L2相互垂直，求直线L1的方程。
解答：设直线L1的方程为y=kx+b，代入点A(1,2)的坐标可得2=k+b。
由于L1与L2相互垂直，所以L1的斜率与L2的斜率之积为-1。
即k*(-2)=-1，解得k=1/2。
解析几何大题精选四套(答案)
解析几何大题精选四套（答案）解析几何大题训练（一）1. （2011年高考江西卷) (本小题满分12分）已知过抛物线()022>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于()12,,A x y ()22,B x y （12x x <）两点，且9=AB ．（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OB OA OC λ+=，求λ的值．2. （2011年高考福建卷)（本小题满分12分）如图，直线l ：y=x+b 与抛物线C ：x 2=4y 相切于点A 。
（1） 求实数b 的值；（11） 求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.3. (2011年高考天津卷)（本小题满分13分） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点(,)P a b 满足212||||PF F F =. （Ⅰ）求椭圆的离心率e ;(Ⅱ)设直线2PF 与椭圆相交于A,B 两点.若直线2PF 与圆22(1)(16x y ++-=相交于M,N 两点,且|MN|=58|AB|,求椭圆的方程.4.（2010辽宁）（本小题满分12分）设1F ，2F 分别为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ,B两点，直线l 的倾斜角为60，1F 到直线l 的距离为（Ⅰ）求椭圆C 的焦距；（Ⅱ）如果222AF F B =,求椭圆C 的方程.解析几何大题训练（二）1.（2010辽宁）（本小题满分12分）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =.(I)求椭圆C 的离心率； (II)如果|AB|=154，求椭圆C 的方程.2.（2010北京）（本小题共14分）已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(，y=t 椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段为直径作圆P,圆心为P 。
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解析几何经典例题圆锥曲线的定义就是“圆锥曲线方程”这一章的基础,对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。
这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。
一、椭圆定义的深层运用例1、如图1,P为椭圆上一动点,为其两焦点,从的外角的平分线作垂线,垂足为M,将F2P的延长线于N,求M的轨迹方程。
图1解析:易知故在中,则点M的轨迹方程为。
二、双曲线定义的深层运用例2、如图2,为双曲线的两焦点,P为其上一动点,从的平分线作垂线,垂足为M,求M的轨迹方程。
图2解析:不妨设P点在双曲线的右支上,延长F1M交PF2的延长线于N,则,即在故点M的轨迹方程为三、抛物线定义的深层运用例3、如图3,AB为抛物线的一条弦,|AB|＝4,F为其焦点,求AB的中点M到直线y＝－1的最短距离。
图3解析:易知抛物线的准线l:,作AA”⊥l,BB”⊥l,MM”⊥l,垂足分别为A”、B”、M”则即M到直线的最短距离为2故M到直线y＝－1的最短距离为。
评注:上述解法中,当且仅当A、B、F共线,即AB为抛物线的一条焦点弦时,距离才取到最小值。
一般地,求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离,只有当(即通径长)时,才能用上述解法。
四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用例4、①已知圆,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹为( )图4②已知圆,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹为( )A、圆B、椭圆C、双曲线D、抛物线解析:①如图4,由垂直平分线的性质,知|QM|＝|QP|,而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ|即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝故Q的轨迹就是以O(0,0)、P为焦点长轴长为2的椭圆。
应选B。
②同理,利用垂直平分线的性质及双曲线的定义,可知点Q的轨迹为双曲线的一支,应选C。
五、椭圆与双曲线定义的综合运用例5、如图5,已知三点A(－7,0),B(7,0),C(2,－12)。
①若椭圆过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点P的轨迹方程;②若双曲线的两支分别过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点Q的轨迹方程。
图5解析:①由椭圆定义知,|AP|＋|AC|＝|BP|＋|BC|, 即故P 的轨迹为A(－7,0)、B(7,0)为焦点 实轴长为2的双曲线的一支,其方程为;②经讨论知,无论A 在双曲线的哪一支上总有|QA|＋|QB|＝|AC|＋|BC|＝28＞|AB|＝14 故点Q 的轨迹为以A(－7,0)、B(7,0)为焦点长轴长为28的椭圆,其方程为。
［练习］1、 已知椭圆E 的离心率为e,左、右焦点为F 1、F 2,抛物线C 以为焦点,为其顶点,若P 为两曲线的公共点,且,则e ＝__________。
答案:2、 已知⊙O:,一动抛物线过A(－1,0)、B(1,0)两点,且以圆的切线为准线,求动抛物线的焦点F 的轨迹方程。
答案:圆锥曲线中的方法与运算1. (与名师对话第51练) 已知抛物线221y x =-,点(2,0)A , 问就是否存在过点A 的直线l ,使抛物线上存在不同的两点关于直线l 对称,如果存在, 求出直线l 的斜率k 的取值范围; 如果不存在,请说明理由、分析: 这就是一个求变量(斜率k )的取值范围问题, 我们必须给出与变量(斜率k )相关的变量(根据题设寻找)的关系式(组), 显然,这个关系式(组)应由按题设揭示出的几何条件转换得到、我们由题设揭示出的几何条件就是: 抛物线上关于直线l 对称的不同的两点所在直线必须与抛物线有两个不同的交点,并且交点为端点的线段的中点在直线l 上、 相应得到一个不等式与一个等式组成的变量关系式(组)、 解这个关于式组即可得变量k 的取值范围、 解: 设直线l 的方程为(2)y k x =-,若0k =,则结论显然成立,即0k =可取、若0k ≠,则直线PQ 的方程为1y x m k =-+, 由方程组21,21,y x m ky x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩可得,22210y y kb +-+=、∵ 直线PQ 与抛物线有两个不同的交点, ∴244(21)0,k kb =--+>即 2120k kb -+>、设线段PQ 的中点为G(00,x y ), 则1202y y y k +==-, ∴ 212()()2y y x k km k k km k km +=-+=--+=+, ∵ 点G(00,x y )在直线l 上, ∴ k -=2(2)k k km +-, 由 0k ≠可得,21k m k-=,∴ 212k k -+21k k-0>, 21k < (0k ≠) , ∴ 10k -<<或01k <<、综上所述, 直线l 的斜率k 的取值范围为1-1k <<、2. (与名师对话第51练)已知M 直线l 过点(1,0),且与抛物线22x y =交于,A B 两点,O 为原点,点 P 在y 轴的右侧且满足:1122OP OA OB =+、(1)求点P 的轨迹C 的方程;(2) 若曲线C 的切线的斜率为λ,满足:MB MA λ=,点A 到y 轴的距离为a ,求a 的取值范围、分析:由1122OPOA OB =+可知,点P 的轨迹C 就就是弦AB 的中点的轨迹、 解(1) 显然直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为:1y k x =-（）,由方程组212y k x x y =-⎧⎨=⎩（），，消去y 整理得2220x kx k -+=,设1122(,),(,)A x y B x y , 122x x k +=,∴122p x x x k +==,21p y k k k k =-=-（）, 消去k得点P 的轨迹C 的轨迹方程为:2y x x =-、∵ 2480kk ->, ∴ 0k <或2k >,∵ 点P 在y 轴的右侧, ∴ 2x k =>,故点P 的轨迹C 为抛物线2y x x =-上的一段弧、分析: 点A 到y 轴的距离为a 就就是点A 的横坐标的绝对值、因为曲线C 的切线的斜率为λ,所以λ='21y x =-,由2x >知,3λ>,由此可知,我们必须建立点A 的横坐标的绝对值关于λ的关系、解(2): 设1122(,),(,)A x y B x y ,则由MB MA λ=可知,22(,)(1,0)x y -=λ[11(,)(1,0)x y -],∴211(1)x x λ-=-,21y y λ= ,∴ 211x x λλ=-+, 2221x x λ=, ∴ 2211[(1)]x x λλλ--=∵ 1λ≠,∴ 211210x x λλλ-+-=,方法(一) 11x ==3λ>),∴11(3)ax λ==>,∴ a∈(1-(1,1⋃+、 方法(二)211(1)x λ-=, (3λ>),∴ 1103λ<<, 0<21(1)x -13<, ∴ 11x ≠且11133x -<<+ ∴ a∈(13-(1,13⋃+、 3. (与名师对话第51练) 已知抛物线的方程为22x py = (0)p >,过点M (0,)m 且倾斜角为θ(0<θ<2π)的直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点,且212x x p =-、 (1)求m 的值; (2)若点M 分AB 所成的比为λ,求λ关于θ的函数关系式、分析: 要求m 的值,必须给出关于m 的方程、 解(1): 设过点M(0,)m 且倾斜角为θ(0<θ<2π)的直线的方程为y kx m =+、 由方程组22y kx m x py =+⎧⎨=⎩，，消去y 整理得2220x pkx pm --=, 则122x x pm =-,∵ 212x x p =-, ∴ 2pm -2p =-, 2p m =、 分析: 由2p m =可知过点M (0,)m 且倾斜角为θ(0<θ<2π)的直线为2py kx =+、先建立关于k 的函数关系式,再转换为关于θ的函数关系式、解(2): ∵ 关于θ的函数关系式,∴ AM MB λ=, 1122(0,)(,)[(,)(0,)]22p p x y x y λ-=-, 1212,(),22x x p p y y λλ=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩由(1)可知212122,x x pk x x p +==-,由方程组1212212,2,,x x x x pk x x p λ⎧=-⎪+=⎨⎪=-⎩可消去12,,x x p 得,222(21)10k λλ-++=、∵ 0<θ<2π, ∴ 1λ<, 故222121k k k λ=+-+=2222(1sin )2tan 12tan tan 1cos θθθθθ-+-+==1sin 1sin θθ-+、4. (与名师对话第51练) 已知方向向量为(1,3)v=的直线l 过点(0,-2)与椭圆C:22221x y a b+= (0)a b >>的焦点, 且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上、(1)求椭圆C 的方程;(2)就是否存在过点E(-2,0)的直线m 交椭圆C 于,M N ,满足:OMON ⋅=463cot MON ∠ 0(O ≠为原点)? 若存在,求出直线m 的方程;若不存在,请说明理由、6.(与名师对话第52练20) 椭圆C 的方程为221189x y +=,F 就是它的左焦点,M 就是椭圆C 上的一个动点,O 为坐标原点、(1) 求OFM 的重心G 的轨迹方程;(2) 若OFM 的重心G 对原点与点P(-2,0)的张角OGP ∠最大, 求点G 的坐标、解(1): 设点)y ,x (G (y ≠0) , M(x 1,y 1)由题设可知,F(320-，)则11333x yxy -==，, ∴ 1333x x y =+=1，y ,∴OFM 的重心G 的轨迹方程为22112x y ++=（）(0y ≠)、 (2) 由(1)可知, 原点与点P(-2,0)就是椭圆22112x y ++=（）的两个焦点、下面证明当点M 与椭圆22112x y ++=（）的短轴的端点重合时张角OGP ∠最大、 方法(一) 用椭圆的定义设椭圆C 上的一个动点M 到椭圆的两个焦点的距离为1r 、2r ,则由椭圆的定义可知1r +2r =22、在MOP ∆中,21222212r r OP r r OGP COS -+=∠=21222124r r r r -+=2121221224)(r r r r r r --+=21212224)22(r r r r --=2142r r +-≥4)(42221r r ++- (当且仅当21r r =时,等于号成立)=0∴ 当21r r =,即点M 与短轴的端点重合时张角OGP ∠最大, 最大角为090,这时点M 的坐标为(-1,1)、(-1,-1)、方法(二) 用椭圆的焦半径公式将椭圆22112x y ++=（）平移到中心在原点的位置,这时椭圆的方程为2212x y +=,原张角OGP∠就就是在点P 处的两条焦半径的夹角、设点P 的坐标为(00x y ，),则22001200222422cos 2222222x x F PF x x ++--∠=+-（2）（）（）（）=220002011[02]12122222x x x x =⋅∈--2，（） 当00x =时,12cos 0F PF ∠=, 当2002]x ∈（，时, 12cos 01]F PF ∠∈（，,故12cos [01]F PF ∠∈，, 12F PF ∠的最大值为090,这时相应点P 的坐标为(0,±1),在椭圆的原位置相应点P 的坐标为(-1,±1)、7. (与名师对话第52练21) 已知动点P 与双曲线22123x y -=的两个焦点12F F ，的距离之与为定值,且12cos F PF ∠的最小值为19-、 (1) 求动点P 的轨迹方程;(2) 若已知点D (0,3),点M N ，在动点P 的轨迹上,且DMDNλ=,求实数λ的取值范围;(3) 若已知点D (1,1), 点M N ，在动点P 的轨迹上,且MDDN =,求直线MN 的方程、分析: 由题设可知, 动点P 的轨迹就是以双曲线22123x y -=的两个焦点12F F ，为其焦点 的椭圆,因此动点P 的轨迹方程可以用待定系数法求得、解(1): 由题设可知, 动点P 的轨迹就是以双曲线22123x y -=的两个焦点12F F ，为其焦点 的椭圆,设其方程为22221x y a b+= (0a b >>)、可以证明(仿例6)当动点P在椭圆的短轴的端点时12cos F PF ∠的值最小,这时2122222010cos 12a F PF a a -∠==-, ∴ 210119a -=-, 29a =、 ∴ 24b =, ∴ 动点P 的轨迹方程为22194x y +=、 分析: 由DMDN λ=可知, 点,,D M N 共线, 直线MN 的变化可以用其斜率表示(直线的方程为3,y kx =+这时要k 作讨论),也可以用t 表44z 示(直线的方程为(3)x t y =-,这时不需要对t 作讨论)、下面用直线方程3y kx =+求解、解法(一): 由DMDNλ=可知, 点,,D M N 共线、若直线MN 的斜率不存在,则155λλ==或、 若直线MN 的斜率存在,设直线MN 的方程为3,y kx =+则由方程组223,4936,y kx x y =+⎧⎨+=⎩可得,22(94)54450k x kx +++=,设1122(,),(,)M x y N x y ,则1212225445,9494k x x x x k k -+==++、 又由DM DNλ=可得,12x x λ=,∴ 12225454,(1)94(1)94k k x x k k λλλ--==++++, ∴ 2222(54)(1)(94)k k λλ=++24594k +∴2(1)λλ=+22259454(9)324324k k k +⋅=⋅+、 ∵ 22(54)445(94)0k k ∆=-⨯+≥, ∴ 259k ≥、 ∴25136(1)4λλ<≤+, ∴ 115,555λλ<<≠且, 综上所述,155λ≤≤、 分析:用点,M N 的坐标表示直线MN 的变化、 解法(二): 由DMDN λ=可知, 点,,D M N 共线、设1122(,),(,)M x y N x y ,则2211194x y +=,2222194x y +=、 ∵ DMDN λ=, ∴ 12x x λ= , 1233y y λλ=-+, ∴22222(33)194x y λλλ-++=,222222294x y λλλ+=、 ∴ 22(33)4y λλ-+-222214y λλ=-, 223(233)(1)14y λλλλ-+-=-,∴ 1λ=或23(233)14y λλλ-+=+, 213522,06y λλλ--≤=≤>解得155λ≤≤、8. 抛物线C 的方程为2(0)y ax a =<,过抛物线C 上一点00Px y （，） (00x ≠)作斜率 为12k k ，的两条直线分别交抛物线C 于1122(,),(,)A x y B x y 两点(P A B 、、三点各不相同),且满足210k k λλλ+=≠≠（0且-1）、(1) 求抛物线C 的焦点坐标与准线方程; (2) 设直线AB 上一点M 满足:BM MA λ=,证明线段PM 的中点在y 轴上;(3)当1λ=时,若点P 的坐标为(1,-1),求PAB ∠为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围、分析: 将a 瞧作常量、 解(1): 抛物线C 的方程为21(0)x y a a=<, 故抛物线C 的焦点坐标为(104a，),准线方程为14y a=-、 分析: 从形式上瞧, 线段PM 的中点坐标与12k k λ、、相关,而实际上肯定横坐标可以消元为0、解(2): 由题设可知,直线PA 的方程为:100y k x x y =-+（）,由方程组1002y k x x y y ax =-+⎧⎨=⎩（），，可得,211000axk x k x y -+-=,即2211000ax k x k x ax -+-=,∴ 110k x x a =-, 同理 220kx x a=-, ∵ BM MA λ=, ∴ 21M M x x x x λ-=-（）, 121M x x x λλ+=+=12001k kx x a a λλ-+-+（）（）∵ 210k k λλλ+=≠≠（0且-1）, ∴ M x =-0x ,∴ 线段PM 的中点横坐标为0, 即线段PM 的中点在y 轴上、分析:解(3): 由题设与题(2)可知, 抛物线C 的方程为2y x =-,111x k =-+（）,又1λ=,故211x k =-,∴21111A k k -++（（），-（））, 21111B k k --（，-（））∴1124AB k k =（，）,211122AP k k k =++（，）, ∵PAB∠为钝角,P A B、、三点各不相同, ∴0,AP AB ⋅<即有1124k k ⋅（，）211122k k k ++（，）0<,112(2)k k ++21114(2)0k k k +<,111(2)(21)0k k k ++<∴ 111202k k <--<<或, ∴ 211(1)y k =+, 111202k k <--<<或, ∴111114y y <--<<-或、 9、已知椭圆C 的中心在原点,焦点在X 轴上,一条经过点3-（，且方向向量为25a =-（，的直线l交椭圆C 于A,B 两点,交X 轴于M 点,又2AM MB =、(1) 求直线l 的方程;(2) 求椭圆C 的长轴长的取值范围、 解(1): 直线l的方程为3y x =--） 分析: “直线l 与椭圆C 有两个不同的交点”可以转化为一个关于a b ，的不等式, 向量等式2AM MB =可以转化为一个关于a b ，的等式、解(2):由方程组222222535,2,y x b x a y a b ⎧=---⎪⎨⎪+=⎩（）可得222222244055b a y b y b a b +-+-=（）、 设设1122(,),(,)A x y B x y , 则222212122222454455b b a b y y y y b a b a -+==++，、 由2AM MB =可知, 122y y = ,∴ 21224545b y b a -=+,22228545b y b a =+, ∴ 222232545b b a =+（）2222245b a b b a -+,∴ 222251409a a b a -=>-（）∵222222244()4()()055b b a b a b =--+->, ∴ 22545a b +>,∴ 222225(1)0,9545,a a a a b ⎧->⎪-⎨⎪+>⎩ ∴ 22222225(1)0,95(1)55,9a a a a a a a ⎧->⎪⎪-⎨-⎪+>⎪-⎩219a <<、∵ 22,b a < ∴ 2222251449a a b a a -=<-（）, ∴ 224199a a <>或, ∴ 24119a<<, 4113a <<,∴ 241223a <<,即椭圆C 的长轴长的取值范围为241(2,)3、 10、自点(0,1)A -向抛物线C:2y x =作切线AB,切点为B ,且点B 在第一象限,再过线段AB 的中点M 作直线l 与抛物线C 交于不同的两点E,F,直线AE,AF 分别交抛物线C 于P,Q 两点、 (1) 求切线AB 的方程及切点B 的坐标; (2) 证明()PQAB R λλ=∈、解(1): 设切点B 的坐标为00(,)x y ,过点B 的切线的方程为20002()y x x x x =-+,∵ 切线过点(0,1)A -, ∴ 200012()x x x -=-+, 01x =,∵ 点B 在抛物线上, ∴ 01y =,∴ 切线AB 的方程为21y x =-, 切点B 的坐标为(1,1)、分析: 即证明AB ∥PQ 、(2) 证明: 由(1)可知, 线段AB 的中点M的坐标为1(,0)2,设直线l 的方程为1()2y k x =-, 222211223344(,),(,),(,),(,)E x x F x x P x x Q x x 、由方程组21(),2,y k x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩可得2102x mx m -+=, 故12121,2x x m x x m +==、2243434343(,)()(1,)PQ x x x x x x x x =--=-+、∵ A,E,P 三点共线, ∴ 2331x x +=2111x x +,131x x = , 同理241x x =,∴ 21211111()(1,)PQx x x x =-+=12121212122()(1,)(1,2)x xx x x x x x x x m-+-= 由(1,2)AB =可知, 122()()x x PQ AB R mλλ-==∈其中、11、 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A, P 为双曲线上异于点A 的一个动点, 从A 引双曲线的渐近线的两条平行线与直线OP 分别交于Q 与R 两点、(1) 证明:无论P 点在什么位置,总有2OP OQ OR=⋅(O 为坐标原点);(2) 若以OP 为边长的正方形的面积等于双曲线的实,虚轴围成的矩形的面积,求双曲线的离心率的取值范围、(1) 证明: 设直线OP 的方程为y kx=, 直线AR 的方程为()by x a a=-, AQ 的方程为()by x a a=--、由方程组(),,b y x a ay kx ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得 (,)ab kab R ak b ak b ----, ∴ OR =(,)ab kab ak b ak b ----,同理OQ =(,)ab kabak b ak b++,∴OQ OR⋅=(,)ab kab ak b ak b ----⋅(,)ab kab ak b ak b----=222222(1)a b k a k b +-、设(,)P m n ,由方程组22221,,x y a b y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩得2m =22222a b b a k -,2n =222222k a b b a k -∴ 2OP =222222(1)a b k b a k+-、 ∵ 直线OP 过原点, ∴ 2220ba k ->, ∴ 2OP OQ OR=⋅、(2) 解: 由题设知,222222(1)a b k b a k +-=4ab , 22240,4b ab k ab a -=>+又222b k a<, ∴ 2244b ab ab a -+22b a<, (恒成立))解得4a b <,∴ e>圆锥曲线的一个统一性质———由一道高考题引发出的思考题(2001年全国·理):设抛物线y 2=2px(p>0)的一个焦点为F,经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点,点C 在抛物线的准线上,且BC ∥x 轴。