复变函数论第四版答案钟玉泉

复变函数论第四版答案钟玉泉

（1）提到复变函数，首先需要了解复数的基本性质和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根，极坐标与

xy 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候基本上都会学过。

（2）复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之类的运算就会很自然的引入到

复平面里面，从而引出解析函数的定义。那么研究解析函数的性质就是关键所在。最关键的地方就是所谓

的Cauchy—Riemann 公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。

（3）明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分的概念引入复分析中，定义几乎

是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理：Cauchy 积分公式。这

个是复分析的第一个重要定理。

（4）既然是解析函数，那么函数的定义域就是一个关键的问题。可以从整个定义域去考虑这个函数，也可

以从局部来研究这个函数。这个时候研究解析函数的奇点就是关键所在，奇点根据性质分成可去奇点，极

点，本性奇点三类，围绕这三类奇点，会有各自奇妙的定理。（5）复变函数中，留数定理是一个重要的定理，反映了曲线积分和

零点极点的性质。与之类似的幅角定理

也展示了类似的关系。

（6）除了积分，导数也是解析函数的一个研究方向。导数加上收敛的概念就可以引出Taylor 级数和

Laurent 级数的概念。除此之外，正规族里面有一个非常重要的定理，那就是Arzela 定理。

（7）以上都是从分析的角度来研究复分析，如果从几何的角度来说，最重要的定理莫过于Riemann 映照

定理。这个时候一般会介绍线性变换，就是Mobius 变换，把各种各样的区域映射成单位圆。研究

Mobius 变换的保角和交比之类的性质。

（8）椭圆函数，经典的双周期函数。这里有Weierstrass 理论，是研究Weierstrass 函数的，有经典的

微分方程，以及该函数的性质。

以上就是复分析或者复变函数的一些课程介绍，如果有遗漏或者疏忽的地方请大家指教。