应用数理统计试题

应用数理统计复习题

1.设总体~(20,3)X N ，有容量分别为10，15的两个独立样本，求它们的样本均值之差的绝对值小于0.3的概率.

解：设两样本均值分别为,X Y ，则1~(0,)2

X Y N - (||0.3)(0.424)(0.424)0.328P X Y -<=Φ-Φ-=

其中(01)θθ<<为未知参数，已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，求θ的矩估计和最大似然估计.

解：（1）矩估计：2

2

22(1)3(1)23EX θθθθθ=+⨯-+-=-+

14

(121)33

X =++=

令EX X =，得5ˆ6

θ=. （2）最大似然估计：

2

2

5

6

()2(1)22L θθθθθθθ=⋅⋅-=-

45ln()

10120d d θθθθ=-= 得5ˆ6

θ= 3. 设某厂产品的重量服从正态分布，但它的数学期望μ和方差2

σ均未知，抽查10件，测得重量为i X 斤10,,2,1Λ=i 。算出

10

11 5.410i i X X ===∑ 10

21

() 3.6i i X X =-=∑

给定检验水平0.05 α=，能否认为该厂产品的平均重量为5.0斤？

附：t 1-0.025(9)=2.2622 t 1-0.025(10)=2.2281 t 1-0.05(9)=1.8331 t 1-0.05(10)=1.8125 解: 检验统计量为0

|

|/X T S n

m -=

将已知数据代入，得2t =

=

1/2

0.975(1)(9) 2.26222t n t a -

-==>

所以接受0H 。

4. 在单因素方差分析中，因素A 有3个水平，每个水平各做4次重复实验，完成下列方差分析表，在显著水平0.05α=下对因素A 是否显著做检验。

解：

0.95(2,9) 4.26F =，7.5 4.26F =>，认为因素A 是显著的.

5. 现收集了16组合金钢中的碳含量x 及强度y 的数据，求得

0.125,45.7886,0.3024,25.5218xx xy x y L L ====，2432.4566yy L =.

（1）建立y 关于x 的一元线性回归方程01

ˆˆˆy x ββ=+； （2）对回归系数1β做显著性检验（0.05α=）.

解：（1）1

25.5218

ˆ84.39750.3024

xy xx

l l β==

=

01

ˆˆ35.2389y x ββ=-= 所以，ˆ35.238984.3975y

x =+ （2）1ˆ2432.456684.397525.5218278.4805e yy xy Q l l β=-=-⨯= 2

278.4805

ˆ19.8915214

e Q n σ

===- ˆ 4.46σ

==

10.4060t ===

0.025(14) 2.1604t =

10.4060 2.1604t =>

拒绝原假设，故回归效果显著.

6.某正交试验结果如下

（2） 找出“算一算”的较优生产条件；（指标越大越好） （3） 写出第4号实验的数据结构模型。 解：

（2） “算一算”的较优生产条件为221A B C （3） 4号实验的数据结构模型为

2214y a b c με=++++，24~(0,)N εσ

7.设总体1122~(,),~(,)p p G N G N μμ∑∑，样品为X .已知

1 1.02.25.4μ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，

2 4.25.56.8μ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1

2.300.250.470.250.600.040.470.040.60-⎛⎫

⎪∑= ⎪ ⎪⎝⎭，123 1.83.67.0x X x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

（1） 求线性判别函数()X μ； （2） 对样品X 的归属做判别.

解：（1）1

12 2.300.250.47 3.28.8()0.250.600.04 3.3 2.80.470.040.60 1.4 2.5αμμ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=∑-=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭

2.6

3.96.1μ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

123()()8.8( 2.6) 2.8( 3.9) 2.5( 6.1)T X X x x x μαμ=-=------；

（2）()8.8(0.8) 2.8(0.3) 2.50.9 5.630X μ=-⨯--⨯--⨯=> 所以，1X G ∈.

8.掷一枚硬币100次，观察到正面出现58次，能否认为该枚硬币是均匀的？(0.05)α= 解：设正面出现的概率为p ，则

0:0.5H p =

222

(5850)(4250) 2.565050

χ--=+=

20.05(1)(1) 3.841r αχχ-==

20.052.56(1)χ<，故接受0H ，可以认为该枚硬币是均匀的.

9.设总体的密度函数(1)

(;),,0p x c x

x c c θ

θθθ-+=>>，c 为已知参数，0θ>为未知参数.

当样本容量为n 时，求θ的C R -下界. 解：ln (;)ln ln (1)ln p x c x θθθθ=+-+

ln (;)1

ln ln p x c x θθθ

∂=+-∂

222

ln (;)1

p x θθθ∂=-∂

22

2ln (;)1()p x I E θθθθ

⎛⎫∂=-= ⎪∂⎝⎭. 所以，θ的C R -下界为2

1()nI n

θθ=.