哈尔滨市高二上学期数学期末考试试卷(I)卷

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黑龙江省哈尔滨市高三上学期期末考试数学(理)测试题(含答案)(2019级)

哈尔滨市XX 中学上学期期末测试高三理科数学一、选择题（共12小题，每题5分，共60分） 1．复数ii i 1313+-+等于（） A.i -3 B.i 2- C.i 2 D.02．等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为32303S x dx =⎰，则公比q 的值是（）A. 1B.－12C. 1或－12D. -1或－123. 已知)6cos()42(cos 2ππ+=+x x ，则=x cos （） A.33 B. 33- C. 31 D 31-. 4．已知,x y 满足不等式组22y xx y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值与最小值的比值为( )A.21 B.2 C.23 D.34 5．下列选项中，说法正确的个数是( )(1)命题“0x R ∃∈，2000x x -≤”的否定为“0,2>-∈∃x x R x ”； (2)命题“在ABC ∆中，30A >，则1sin 2A >”的逆否命题为真命题； (3)设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的充分必要条件； (4)若统计数据n x x x ,,,21 的方差为1,则n x x x 2,,2,221 的方差为2； (5)若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数绝对值越接近1.A.1个B.2个C.3个D.4个6. 某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的前提下，学生CA ．13B ．21C ．197．如图，给出的是求111246+++ (1)20+的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是( ) A ．10i ≥ B ．10i ≤ C ．9≥i D ．9≤i8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于( )A.12B.4C.5639．某同学为了解秋冬季用电量（y 度）与气温（C x ）的关系，曾由下表数据计算出回归直线方程为602+-=∧x y ，现表中一个数据被污染，则被污染的数据为（）A ．40 B. 39 C ．38 D ． 37 10．若实数x ，y 满足|x －1|－ln 1y＝0，则y 关于x 的函数图象的大致形状是( )A B C D11．从抛物线x y 42=的准线l 上一点P 引抛物线的两条切线PB PA ,,B A ,为切点,若直线AB 的倾斜角为3π,则P 点的纵坐标为( ) A.33 B.332 C.334 D. 32 12. 若方程0122=---t x x 有四个不同的实数根4321,,,x x x x ，且4321x x x x <<<则)()(22314x x x x -+-的取值范围是（）A.]26,8[B.(]54,26C.[]54,8D.(]54,8 二、填空题：（共4题，每题5分，共20分）13．在52512⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，x 的系数为 .14. 在直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为，在底面ABC ∆中，3,60=︒=AB C ，则此直三棱柱的外接球的表面积为 .15．已知点21,F F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于B A ,两点，若|:|AB ||2BF 5:4:3|:|2=AF ，则双曲线的离心率为 .16.ABC ∆中，BC B c B A b ,tan 2)tan (tan =+边上中线长是1，则a 的最小值是 .三、解答题：（共70分）17．（共12分）已知数列{}n a 满足(){}21,n n n S a n N b *=-∈是等差数列，且1143,b a b a ==. （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）若*)(211N n b b a c n n n n ∈-=+,求数列}{n c 的前n 项和n T .18．（共12分）2015年12月10日, 我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为,,x y z ，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标x y z ω=++的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若4ω≥，则长势为一级；若23ω≤≤，则长势为二级；若01ω≤≤，则长势为三级；为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了10块青蒿人工种植地，得到如下结果：（1）在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z 相同的概率；（2）从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为m ，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为n ，记随机变量X m n =-，求X 的分布列及其数学期望.19．（共12分）如图，已知长方形ABCD 中，2,1AB AD ==，M 为DC 的中点，将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．（1）求证：AD BM ⊥；（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D --20.（共12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆:O 224x y +=，椭圆:C 2214x y +=，A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于,B C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中6(,0)5D -．设直线,AB AC 的斜率分别为12,k k ．（1）求12k k 的值；（2）记直线,PQ BC 的斜率分别为,PQ BC k k ，是否存在常数λ，使得PQ BC k k λ=？若存在，求λ值；若不存在，说明理由.21．（共12分）已知函数()()22ln f x x a x a x =-++，其中常数0a >．（1）当2a >，求函数()f x 的单调递增区间；（2）设定义在D 上的函数()y h x =在点()()00,P x h x 处的切线方程为():l y g x =，若()()0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 为函数()yh x =的“类对称点”，当4a =时，试问()y f x =是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．请考生在题（22）（23）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（共10分）已知曲线1C 的极坐标方程为θρcos 4=，曲线2C 的参数方程是)0(sin cos πααα<≤⎩⎨⎧=+=为参数，t t y t m x ，射线4,4,πϕθπϕθϕθ-=+==与曲线1C 交于极点O 外的三点C B A ,,. （1）求||||||OA OC OB +的值；（2）当12πϕ=时，C B ,两点在曲线2C 上，求m 与α的值.23．（共10分）已知c b a ,,都是正数. （1）若b a ≠，求证：2233ab b a b a +>+；（2）求证：abc cb a ac c b b a ≥++++222222.高三理科数学答案1-12 DCABA ABBCB BD13.14.15.16.17.（1）由21,n n S a =-可得1121n n S a ++=-，两式作差可得1112n n n n a S S -++=-=，又111a S ==适合此通项公式，所以12n n a -=；由此可得11431,4,b a b a ====由等差数列的性质可得n b n=；（2）由题意写出数列{}n c 的通项公式111211221n n n n n c a b b n n -+⎛⎫=-=-- ⎪+⎝⎭，再用分组求和法求之即可. 试题解析：（1） 1121,21n n n n S a S a ++=-=-,两式相减可得 111122,2n n n n n n n S S a a a a a ++++-==-∴=, 当1n =时，111121,1S a a a ==-∴=，所以n a 是以1为首项，2为公比的等差数列，所以12n n a -=，11431,4,n b a b a b n ====∴=.（2）()1111221122211n n n n n n c a b b n n n n --+⎛⎫=-=-=-- ⎪++⎝⎭，111111111112221 (22121223121112)n n n n T n n n n ---⎛⎫⎛⎫∴=--+-++-=---=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭-18.（1）由表可知：空气温度指标为0的有1A ；空气温度指标为1的有23,58,910,,,A A A A A A ,空气温度指标为2的有46,7,A A A .所以空气温度指标z 相同的概率22632101532455C C P C ++===.（2）计算10块青蒿人工种植地的综合指标, 可得下表：其中长势等级是一级的有234679,,,,A A A A A A ，共个，长势等级不是一级的4<有15810,,,A A A A ，共4个.随机变量X的所有可能取值为：1,2,3,4,5.()()11111132312211116464171,2424C C C C C C P X P X C C C C ⋅⋅+⋅======⋅⋅,()()1111111111312121112111116464713,4248C C C C C CC C C C P X P X C C C C ⋅+⋅+⋅⋅+⋅======⋅⋅,()111111641524C C P X C C ⋅===⋅,所以X的分布列为：()123454242482412E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=19.（1）因为平面AMD ⊥平面ABCM ，2,1AB AD ==，M 为DC 的中点，AD DM ∴=，取AM 的中点O ，连结OD ，则DO ⊥平面ABCM ，取AB 的中点N ，连结ON ，则ONAM ⊥，以O 为原点如图建立空间直角坐标系，根据已知条件，得0,0,0,0,0,0,A B M D ⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭⎝⎭⎝⎭⎝，则AD ⎛=- ⎝⎭，()BM =，所以0AD BM ⋅=，故AD BM ⊥．（2）设DE DB λ=，因为平面AMD 的一个法向量()0,1,0n =，2ME MD DB λ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0AM =．设平面AME 的一个法向量为(),,m x y z =，)2210x y z λλ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，取1y =，得20,1,1x y z λλ===-，所以20,1,1m λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，因为5cos ,m n m n m n⋅==⋅，求得51=λ 20.（1）设()00,y x B ，则()00,y x C --，142020=+y x所以4144114222022020000021-=--=-=+⋅-=x x x y x y x y k k （2）联立122(2)4y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222111(1)44(1)0k x k x k +-+-=，解得211122112(1)4,(2)11P P P k k x y k x k k --==-=++，联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14)2(221y x x k y 得2222111(14)164(41)0k x k x k +-+-=，解得212141)14(2k k x B +-=，2111414)2(k k x k y B B +-=-= 所以121241B BC B y k k x k -==-，121122112141562(1)641515P PQP k y k k k k k x k -+-===--+++，所以52PQBC k k =，故存在常数52λ=，使得52PQBC k k =．21.（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，∵()()22l n f xx ax a x=-++，∴()()()()22122222a x x x a x a af x x a x xx⎛⎫-- ⎪-++⎝⎭=-++==，∵2a>，∴12a >，令()0f x '>，即()2120a x x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭>，∵0x >，∴01x <<或2a x >，所以函数()f x 的单调递增区间是()0,1,,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）当4a=时，()264ln f x xx x =-+，∴()426f x x x'=+-，()()200000042664ln y g x x x x x x x x ⎛⎫==+--+-+ ⎪⎝⎭，令()()()()22000000464ln 2664ln x f x g x x x x x x x x x x x φ⎛⎫=-=-+-+--+-+ ⎪⎝⎭，则()00x φ=，()()()()00000000002442222262621x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x φ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫'=+--+-=--=--=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当0x ()x φ在002,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．∴当002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()00x x φφ<=，从而有002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()00x x x φ<-，当0x ()x φ在002,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，∴当002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()00x x φφ>=，从而有002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()00x x x φ<-， ∴当(()2,x ∈+∞时，()y f x=不存在“类对称点”．当0x ()(22x x xφ'=，∴()x φ在()0,+∞上是增函数，故()00x x x φ>-，所以当0x=()y f x =存在“类对称点”．。

2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试卷及答案

2015-2016学年度第一学期期末质量监测高二数学（理科）试卷一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线023=+-y x 的倾斜角是A.6π B.3π C.23π D.56π 2. 直线l 过点(2,2)P -，且与直线032=-+y x 垂直，则直线l 的方程为 A. 220x y +-= B. 260x y --=C. 260x y --=D. 250x y -+=3. 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为π12, 则该几何体的体积是A. π4B. 12πC. 16πD. 48π 4. 在空间中，下列命题正确的是 A. 如果直线m ∥平面α,直线α⊂n 内,那么m ∥n ;B. 如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC. 如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m α⊥D. 如果平面α⊥平面β，任取直线m α⊂，那么必有m β⊥5. 如果直线013=-+y ax 与直线01)21(=++-ay x a 平行.那么a 等于A. -1B.31 C. 3 D. -1或316. 方程)0(0222≠=++a y ax x 表示的圆A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于直线x y =轴对称D. 关于直线x y -=轴对称7. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是1AA ，AD 的中点，则1CD 与EF 所成角为A. 0︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒8. 如果过点M (-2,0)的直线l 与椭圆1222=+y x 有公共点,那么直线l 的斜率k 的取值范围是A.]22,(--∞ B.),22[+∞ C.]21,21[-D. ]22,22[-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知双曲线的标准方程为116422=-y x ，则该双曲线的焦点坐标为，_________________渐近线方程为_________________.10. 已知向量)1,3,2(-=a，)2,,5(--=y b 且a b ⊥ ，则y =________.11. 已知点),2,(n m A -，点)24,6,5(-B 和向量(3,4,12)a =-且AB ∥a .则点A 的坐标为________.12. 直线0632=++y x 与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 13. 抛物线x y 82-=上到焦点距离等于6的点的坐标是_________________.14. 已知点)0,2(A ，点)3,0(B ，点C 在圆122=+y x 上，当ABC ∆的面积最小时，点C 的坐标为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，E ，F ,G 分别是AC ，AD ,BC 的中点. 求证：（I ）AB ∥平面EFG ;（II ）平面⊥EFG 平面ABC .16. （本小题共13分）已知斜率为2的直线l 被圆0241422=+++y y x 所截得的弦长为求直线l 的方程.17. （本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAB 平面ABCD ，AB ∥CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，E 为PA 的中点,M 在PD 上(点M 与D P ,两点不重合).（I ）求证：PB AD ⊥；（II ）若λ=PDPM,则当λ为何值时, 平面⊥BEM 平面PAB ?（III ）在（II ）的条件下,求证：PC ∥平面BEM .18. （本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，PD CD =,E 为PC 的中点. （I ）求证：AC ⊥PB ；（II ）求二面角P --BD --E 的余弦值.19. （本小题共14分）已知斜率为1的直线l 经过抛物线22y px =(0)p >的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，4=AB .（I ）求p 的值；（II ）设经过点B 和抛物线对称轴平行的直线交抛物线22y px =的准线于点D ，求证：DO A ,,三点共线(O 为坐标原点).20. （本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的左焦点为F ,离心率为33，过点)1,0(M 且与x 轴平行的直线被椭圆G 截得的线段长为6. （I ）求椭圆G 的方程；（II ）设动点P 在椭圆G 上（P 不是顶点），若直线FP 的斜率大于2,求直线OP (O 是坐标原点)的斜率的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末质量检测高二数学（理科）试卷参考答案2016.1一、ABB C BA CD二、9.（±52,0），2y x =±10. -411. (1,-2,0)12. 313. (-4,24±)14. （13133，13132）说明：1.第9题，答对一个空给3分。

黑龙江省哈尔滨市德强高级中学2024-2025学年度高三上学期10月数学学科(I)试卷答案

15．【详解】（1）因为，当时，，当时，，所以．显然当时，依然成立，∴数列的通项公式为．（2）由（1）知，则，，所以，所以．16．【详解】（1），则；（2）令，得，所以函数的单调增区间为；（3）由，得，所以，所以函数的值域为．17．【详解】（1，2n S n n =+1n =11112a S ==+=2n ≥()2111n S n n -=-+-()221(1)12n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦1n =1212a =⨯={}n a 2n a n =122n n n n b a n -==⋅212222n n T n =⨯+⨯++⋅ 231212222n n T n +=⨯+⨯++⋅ ()1221112222222212212n n n n n n T n n n ++++--=++++-⋅=-⋅=---L ()1122n n T n +=-+()π23cos 26sin 26f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭2ππ2T ==πππ2π22π262k x k -+≤+≤+ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈()y f x =πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭π2ππ2,636x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭π1sin 21,62x ⎛⎫⎡⎫+∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭()y f x =[)6,3-22sin 12B B -=()1cos 1B B --=，故，可得，因为，，所以，可得.（2）若选①：由平分得：，即，即，在中，由余弦定理得，即，两式联立可得，所以的周长为；若选②：为线段的中点，故，，因为，，故，整理可得，在中，由余弦定理得，所以，两式联立可得，所以，从而的周长为.18．【详解】（1）由已知当，，，，又，，，所以数列为等差数列，公差为，，cos 2B B +=π2sin 26B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 16B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()0,πB ∈ππ7π,666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ππ62B +=π3B =BD ABC ∠ABC ABD BCD S S S =+△△△1π1π1πsin 3sin 3sin 232626ac a c =⨯+⨯)ac a c =+ABC V 222π2cos 3b ac ac =+-2212a c ac +-=a c +=ABC V a b c ++=+=D AC ()12BD BA BC =+ ()()222211244BD BA BC BA BA BC BC =+=+⋅+ π3B =3BD =221πs 2943co c c a a ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭2236a c ac ++=ABC V 222π2cos 3b ac ac =+-2212a c ac +-=12ac =a c +=ABC V a b c ++=+=2n ≥N n *∈n a =0n a ≠0≠1n n n a S S -=-1n n S S -=-=1=11==n =所以当，时，，又，所以，，设等比数列的公比为，因为，，所以，，所以，所以（2）由（1），所以，所以数列的前项和，所以.（3）由（1）知，当时，，则当时，，即对任意的，都有，所以19．【详解】（1）（i ）由，令，则，所以F (x )在(0,+∞)上单调递增，2n ≥N n *∈121n a n n n =+=+-=-11211a ==⨯-21n a n =-N n *∈{}n b q 110a b +=2233443a b a b a b ==++-111b a =-=-323357q q q -=-+=1q =-()1n n b =-()()()()1111212142121n nn n c n n n n --⎛⎫==+ ⎪-⋅+-+⎝⎭()()111142121n n n c n n +⎛⎫--=- ⎪ ⎪-+⎝⎭{}n c n ()()11111111111114343545742121n n n T n n +⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++--+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()11484n nT n -=-++222111(21)441n a n n n ==--+2n ≥22111114441n a n n n n ⎛⎫<=- ⎪--⎝⎭22212111111111111151111412231444n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++-=+-<+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 1n =211514a =<*n ∈N 22221121111514n a a a a =≤+++< 222121111n a a a ⎡⎤+++=⎢⎣⎦ ()e e sh 2x xx --=()()()e e sh ,02x xF x x x x x --=-=->()e e 102x xF x -'+=->所以，所以当时，成立；（ii ）令，则，令，则，因此φ(x )在(0,+∞)上单调递增；所以，故，即，所以在(0,+∞)上单调递增，即，所以当时，成立；（2）由时，成立，令，且，则，即，由题意，令且，可得，因为，所以，由①当时，，()()()()sh 0=sh 000F x x x F =->-=0x >()sh x x >()()21cos 1,02H x x x x =-+>()sin H x x x -'=+()sin x x x ϕ=-()1cos 0x x ϕ'=-≥()()sin 00x x x ϕϕ=-≥=sin x x >()sin 0H x x x '=-+>()H x ()()21cos 1002H x x x H =-+>=0x >21cos 12x x >-0x >21cos 12x x >-1,1x n n =≥*N n ∈211cos 12n n>-222112211cos 111124412121n n n n n n ⎛⎫>-=->-=-- ⎪--+⎝⎭()()()sh 22sh ch x x x =⋅1,1x n n =≥*N n ∈211sh 2sh ch n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()e e ch 12x xx -+=>2111sh 2sh ch 2sh n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0x >()sh x x >所以令且，可得，所以，由前面解答过程得，对任意成立，令且，可得，所以，又且，所以，所以所以可得，即可得.1,1x n n =≥*N n ∈11sh n n⎛⎫> ⎪⎝⎭21112sh 2sh ch 2sh n n n n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅>> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0,sin x x x >>1,1x n n =≥*N n ∈11sin n n>21112111sh 2sh ch 2sh 2sin 2cos tan n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅>>>=⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1n ≥*N n ∈101n<≤2sh 1112cos 2112121tan n n n n n ⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭>>-- ⎪ ⎪⎢⎥-+⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ⎪⎝⎭()()22sh sh sh 2sh 11111132111111tan13352121tan tan tan 23n n n n⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭++++>--+-++-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 242222121n n n n n =-+=-++()()()*22sh sh sh 2sh 1432N 111tan121tan tan tan 23n n n n n n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++++>-∈+。

黑龙江省哈尔滨市第六中学2010-2011学年度上学期期末考试高二数学理

哈尔滨市第六中学2010—2011学年度上学期期末考试高二（理科）数学试题考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：（每题5分共60分） 1.抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是（）A ．25 B ．5 C ．215D ．10 2. 下列命题中的假命题是A ．1,20x x R -∀∈> B. ∀*x N ∈,2(1)0x -> C ．∃ x R ∈,lg 1x < D. ∃x R ∈,tan 2x =3.由曲线x y =2和直线1x =围成图形的面积是（）A ．3B ．23C ．34D ．324. 设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 A.若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B.若l α⊥，l m //，则m α⊥ C.若l α//，m α⊂，则l m // D.若l α//，m α//，则l m //5. 函数32y x ax a =-+在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 C ．(0，＋∞) D ．(－∞，3) 6设双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线L ，则双曲线的离心率为A. 2B. 27. 已知向量(0,2,1),(1,1,2)a b ==--，则a 与b 的夹角为（）A ． 0°B ． 45°C ． 90°D ．180°8.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、AB 的中点，则EF 与对角面A 1C 1CA 所成角的度数是（）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．150º 9.函数3223125y x x x =--+在区间[0,3]上最大值与最小值分别是（） A. 5,-15 B. 5,-4 C. -4,-15 D. 5,-16 10.已知直线1y x =+与曲线y ln()x a =+相切，则a 的值为( ) A.1 B. 2 C.-1 D.-211.已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为12. 设a ∈R ，若函数3axy e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（） A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-二．填空题：（每题5分共20分）13.如图，已知一四棱锥的主视图、左视图都是等腰直角三角形，俯视图是正方形，则该四棱锥的体积为 14. 函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是． 15.已知⎰-=122)2()(dx x a axa f ，则函数)(a f 的最大值为16. 如图，矩形ABCD 中，DC=3，AD=1，在DC 上截取DE=1，将△ADE 沿AE 翻折到D 1点，点D 1在平面ABC 上的射影落在AC 上时，二面角D 1—AE —B 的平面角的余弦值是 . 三．解答题17. 已知函数()bx ax x x f --=233，其中b a ,为实数. (Ⅰ) 若()x f 在1=x 处取得的极值为2，求b a ,的值;（Ⅱ）若()x f 在区间[]2,1-上为减函数，且a b 9=，求a 的取值范围.(10分)18. 如图在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD=600，AB=2，PA=1,PA ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点，F 是AB 的中点。

2021-2022年高二数学上学期期末试卷理(含解析)

2021-2022年高二数学上学期期末试卷理（含解析）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x2﹣7x+10＜0}，则∁R（A∩B）=（）A．（﹣∞，3）∪（5，+∞）B．（﹣∞，3）∪∪∪（5，+∞）2．（5分）若，则下列结论不正确的是（）A．a2＜b2B．|a|﹣|b|=|a﹣b| C． D．ab＜b23．（5分）一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）A．B．C．D．4．（5分）设{an }是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=（）A．B．C．D．5．（5分）已知如程序框图，则输出的i是（）A．9 B．11 C．13 D．156．（5分）已知θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则x2sinθ﹣y2cosθ=1表示（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线7．（5分）方程|x|（x﹣1）﹣k=0有三个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）对于任意实数x，符号表示x的整数部分，即是不超过x的最大整数，例如=2；=2；=﹣3，这个函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么+++…+的值为（）A．21 B．76 C．264 D．642二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）在△ABC中∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．10．（5分）为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为11．（5分）已知f（x）=则不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5的解集是．12．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为．13．（5分）设点O为坐标原点，A（2，1），且点F（x，y）坐标满足，则||•cos∠AOP 的最大值为．14．（5分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，F为焦点，A，B，C为抛物线上的三点，且满足，，则抛物线的方程为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．16．（12分）已知，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知，且α∈（0，π），求α的值．17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．18．（14分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？19．（14分）已知如图，椭圆方程为（4＞b＞0）．P为椭圆上的动点，F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线F1M，垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．（1）求M点的轨迹T的方程；（2）已知O（0，0）、E（2，1），试探究是否存在这样的点Q：Q是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积S△OEQ=2？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．20．（14分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f（x）=（b，c∈N）有且只有两个不动点0，2，且f（﹣2），（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知各项不为零的数列{a n}满足4S n•f（）=1，求数列通项a n；（3）如果数列{a n}满足a1=4，a n+1=f（a n），求证：当n≥2时，恒有a n＜3成立．广东省揭阳一中xx高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x2﹣7x+10＜0}，则∁R（A∩B）=（）A．（﹣∞，3）∪（5，+∞）B．（﹣∞，3）∪∪∪（5，+∞）考点：交、并、补集的混合运算．分析：先计算集合B，再计算A∩B，最后计算C R（A∩B）．解答：解：∵B={x|2＜x＜5}，∴A∩B={x|3≤x＜5}，∴C R（A∩B）=（﹣∞，3）∪所以四棱锥的体积为：，所以h=．故选B．点评：本题是基础题，考查三视图与直观图的关系，考查几何体的体积的计算，考查计算能力．4．（5分）设{a n}是由正数组成的等比数列，S n为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=（）A．B．C．D．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a3=1，再由S3=++1=7可得q=，进而可得a1的值，由求和公式可得．解答：解：设由正数组成的等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，由题意可得a32=a2a4=1，解得a3=1，∴S3=a1+a2+a3=++1=7，解得q=，或q=（舍去），∴a1==4，∴S5==故选：C点评：本题考查等比数列的求和公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．5．（5分）已知如程序框图，则输出的i是（）A．9 B．11 C．13 D．15考点：循环结构．专题：计算题．分析：写出前5次循环的结果，直到第五次满足判断框中的条件，执行输出．解答：解：经过第一次循环得到S=1×3=3，i=5经过第二次循环得到S=3×5=15，i=7经过第三次循环得到S=15×7=105，i=9经过第四次循环得到S=105×9=945，i=11经过第五次循环得到S=945×11=10395，i=13此时，满足判断框中的条件输出i故选C点评：解决程序框图中的循环结构的问题，一般先按照框图的流程写出前几次循环的结果，找规律．6．（5分）已知θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则x2sinθ﹣y2cosθ=1表示（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线考点：椭圆的标准方程．专题：计算题；三角函数的求值；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用平方法，可得sinθcosθ＜0，再将方程化为标准方程，运用作差法，即可判断分母的大小，进而确定焦点的位置．解答：解：θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则平方可得，1+2sinθcosθ=，则sinθcosθ=﹣＜0，即sinθ＞0，cosθ＜0，x2sinθ﹣y2cosθ=1即为=1，由于﹣=＜0，则＜，则方程表示焦点在y轴上的椭圆．故选C．点评：本题考查椭圆的方程和性质，注意转化为标准方程，考查三角函数的化简和求值，属于中档题和易错题．7．（5分）方程|x|（x﹣1）﹣k=0有三个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．B．C．D．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：数形结合法．分析：将方程转化为函数y=k与y=|x|（x﹣1），将方程要的问题转化为函数图象交点问题．解答：解：如图，作出函数y=|x|•（x﹣1）的图象，由图象知当k∈时，函数y=k与y=|x|（x﹣1）有3个不同的交点，即方程有3个实根．故选A．点评：本题研究方程根的个数问题，此类问题首选的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题，其次是直接求出所有的根．8．（5分）对于任意实数x，符号表示x的整数部分，即是不超过x的最大整数，例如=2；=2；=﹣3，这个函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么+++…+的值为（）A．21 B．76 C．264 D．642考点：对数的运算性质．专题：压轴题；新定义．分析：利用“取整函数”和对数的性质，先把对数都取整后可知++++…+=1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6，再进行相加运算．解答：解：∵=0，到两个数都是1，到四个数都是2，到八个数都是3，到十六个数都是4，到三十二个数都是5，=6，∴++++…+=0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6=264故选C．点评：正确理解“取整函数”的概念，把对数正确取整是解题的关键．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）在△ABC中∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=2．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：由题意和三角形的面积公式求出c，再由余弦定理求出a，代入式子求值即可．解答：解：由题意得，∠A=60°，b=1，S△ABC=，所以，则，解得c=4，由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×=13，则a=，所以==2，故答案为：2．点评：本题考查正弦定理，余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式和定理是解题的关键．10．（5分）为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：先根据分段函数的定义域，选择解析式，代入“不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5”求解即可．解答：解：①当x+2≥0，即x≥﹣2时．x+（x+2）f（x+2）≤5转化为：2x+2≤5解得：x≤．∴﹣2≤x≤．②当x+2＜0即x＜﹣2时，x+（x+2）f（x+2）≤5转化为：x+（x+2）•（﹣1）≤5∴﹣2≤5，∴x＜﹣2．综上x≤．故答案为：（﹣∞，]点评：本题主要考查不等式的解法，用函数来构造不等式，进而再解不等式，这是很常见的形式，不仅考查了不等式的解法，还考查了函数的相关性质和图象，综合性较强，转化要灵活，要求较高．12．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为4．考点：等差数列的前n项和；等差数列．专题：压轴题．分析：利用等差数列的前n项和公式变形为不等式，再利用消元思想确定d或a1的范围，a4用d或a1表示，再用不等式的性质求得其范围．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4≥10，S5≤15，∴，即∴∴，5+3d≤6+2d，d≤1∴a4≤3+d≤3+1=4故a4的最大值为4，故答案为：4．点评：此题重点考查等差数列的通项公式，前n项和公式，以及不等式的变形求范围；13．（5分）设点O为坐标原点，A（2，1），且点F（x，y）坐标满足，则||•cos∠AOP 的最大值为．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出满足的可行域，再根据平面向量的运算性质，对||•cos∠AOP 进行化简，结合可行域，即可得到最终的结果．解答：解：满足的可行域如图所示，又∵||•cos∠AOP=，∵=（2，1），=（x，y），∴||•cos∠AOP=．由图可知，平面区域内x值最大的点为（5，2）||•cos∠AOP的最大值为：故答案为：．点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．14．（5分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，F为焦点，A，B，C为抛物线上的三点，且满足，，则抛物线的方程为y2=4x．考点：抛物线的标准方程．专题：计算题．分析：设向量的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）则可知x1+x2+x3=0，进而表示出A，B，C三点的横坐标，根据抛物线定义可分别表示出|FA|，|FB|和|FC|，进而根据，求得p，则抛物线方程可得．解答：解：设向量的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）由得x1+x2+x3=0∵X A=x1+，同理X B=x2+，X C=x3+∴|FA|=x1++=x1+p，同理有|FB|=x2++=x2+p，|FC|=x3++=x3+p，又，∴x1+x2+x3+3p=6，∴p=2，∴抛物线方程为y2=4x．故答案为：y2=4x．点评：本题主要考查了抛物线的标准方程和抛物线定义的运用．涉及了向量的运算，考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：（1）现将a=1代入命题p，然后解出p和q，又p∧q为真，所以p真且q真，求解实数a的取值范围；（2）先由￢p是￢q的充分不必要条件得到q是p的充分不必要条件，然后化简命题，求解实数a的范围．解答：解：（1）当a=1时，p：{x|1＜x＜3}，q：{x|2＜x≤3}，又p∧q为真，所以p真且q真，由得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为（2，3）（2）因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，又p：{x|a＜x＜3a}（a＞0），q：{x|2＜x≤3}，所以解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2]点评：充要条件要抓住“大能推小，小不能推大”规律去推导．16．（12分）已知，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知，且α∈（0，π），求α的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（1）首先根据已知条件，利用向量的坐标运算，分别求出向量的数量积和向量的模，进一步把函数的关系式通过三角恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用（1）的函数关系式，根据定义域的取值范围．进一步求出角的大小．解答：解：（1）已知：则：f（x）====所以：函数的最小正周期为：…（2分）…（4分）（2）由于f（x）=所以解得：所以：…（6分）因为：α∈（0，π），所以：则：解得：点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量的坐标运算，正弦型函数的性质的应用，利用三角函数的定义域求角的大小．属于基础题型．17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．考点：点、线、面间的距离计算；与二面角有关的立体几何综合题．分析：解法（一）：（1）通过观察，根据三垂线定理易得：不管点E在AB的任何位置，D1E⊥A1D总是成立的．（2）在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题可采用“等积法”：即利用三棱锥的换底法，通过体积计算得到点到平面的距离．本法具有设高不作高的特殊功效，减少了推理，但计算相对较为复杂．根据=既可以求得点E到面ACD1的距离．（3）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，则∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．（1）因为=（1，0，1）•（1，x，﹣1）=0，所以．（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为，从而，所以点E到平面AD1C的距离为．（3）设平面D1EC的法向量，可求得．，因为二面角D1﹣EC﹣D的大小为，所以根据余弦定理可得AE=时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．解答：解法（一）：（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故，而．∴，∴，∴．（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．设AE=x，则BE=2﹣x在Rt△D1DH中，∵，∴DH=1．∵在Rt△ADE中，DE=，∴在Rt△DHE中，EH=x，在Rt△DHC中CH=，在Rt△CBE中CE=．∴．∴时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）因为=（1，0，1）•（1，x，﹣1）=0，所以．（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为．（3）设平面D1EC的法向量，∴，由令b=1，∴c=2，a=2﹣x，∴．依题意．∴（不合，舍去），．∴AE=时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．点评：本小题主要考查棱柱，二面角、点到平面的距离和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．18．（14分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？考点：基本不等式；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：（Ⅰ）求当t=时，直路l所在的直线方程，即求抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）在x=时的切线方程，利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；（Ⅱ）求出x=t时的抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0＜t＜）上的极大值，也就是最大值．解答：解：（I）∵y=﹣x2+2，∴y′=﹣2x，∴过点M（t，﹣t2+2）的切线的斜率为﹣2t，所以，过点M的切线方程为y﹣（﹣t2+2）=﹣2t（x﹣t），即y=﹣2tx+t2+2，当t=时，切线l的方程为y=﹣x+，即当t=时，直路l所在的直线方程为12x+9y﹣22=0；（Ⅱ）由（I）知，切线l的方程为y=﹣2tx+t2+2，令y=2，得x=，故切线l与线段AB交点为F（），令y=0，得x=，故切线l与线段OC交点为（）．地块OABC在切线l右上部分为三角形FBG，如图，则地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积为S=（2﹣）×2=4﹣t﹣=4﹣（t+）≤2．当且仅当t=1时，取等号．∴当t=100米时，地块OABC在直路l不含游泳池那侧的面积最大，最大值为xx0平方米．点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，在实际问题中，函数在定义域内仅含一个极值，该极值往往就是最值．属中档题型．19．（14分）已知如图，椭圆方程为（4＞b＞0）．P为椭圆上的动点，F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线F1M，垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．（1）求M点的轨迹T的方程；（2）已知O（0，0）、E（2，1），试探究是否存在这样的点Q：Q是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积S△OEQ=2？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题；数形结合．分析：（1）延长F1M与F2P的延长线相交于点N，连接OM，利用条件求出M是线段NF1的中点，转化出|OM|=4即可求出M点的轨迹T的方程；（2）可以先观察出轨迹T上有两个点A（﹣4，0），B（4，0）满足S△OEA=S△OEB=2，再利用同底等高的两个三角形的面积相等，，，知道符合条件的点均在过A、B作直线OE的两条平行线l1、l2上，再利用点Q是轨迹T内部的整点即可求出点Q的坐标．解答：解：（1）当点P不在x轴上时，延长F1M与F2P的延长线相交于点N，连接OM，∵∠NPM=∠MPF1，∠NMP=∠PMF1∴△PNM≌△PF1M∴M是线段NF1的中点，|PN|=|PF1||（2分）∴|OM|=|F2N|=（|F2P|+|PN|）=（|F2P|+|PF1|）∵点P在椭圆上∴|PF2|+|PF1|=8∴|OM|=4，（4分）当点P在x轴上时，M与P重合∴M点的轨迹T的方程为：x2+y2=42．（6分）（2）连接OE，易知轨迹T上有两个点A（﹣4，0），B（4，0）满足S△OEA=S△OEB=2，分别过A、B作直线OE的两条平行线l1、l2．∵同底等高的两个三角形的面积相等∴符合条件的点均在直线l1、l2上．（7分）∵∴直线l1、l2的方程分别为：、（8分）设点Q（x，y）（x，y∈Z）∵Q在轨迹T内，∴x2+y2＜16（9分）分别解与得与（11分）∵x，y∈Z∴x为偶数，在上x=﹣2，，0，2对应的y=1，2，3在上x=﹣2，0，2，对应的y=﹣3，﹣2，﹣1（13分）∴满足条件的点Q存在，共有6个，它们的坐标分别为：（﹣2，1），（0，2），（2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣2），（2，﹣1）．（14分）点评：本题涉及到轨迹方程的求法．在求动点的轨迹方程时，一般多是利用题中条件得出关于动点坐标的等式，整理可得动点的轨迹方程．20．（14分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f（x）=（b，c∈N）有且只有两个不动点0，2，且f（﹣2），（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知各项不为零的数列{a n}满足4S n•f（）=1，求数列通项a n；（3）如果数列{a n}满足a1=4，a n+1=f（a n），求证：当n≥2时，恒有a n＜3成立．考点：反证法与放缩法；数列的函数特性；数列递推式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由=x，化简为（1﹣b）x2+cx+a=0，利用韦达定理可求得，代入f（x）=（b，c∈N），依题意可求得c=2，b=2，从而可得函数f（x）的解析式；（2）由4S n﹣=1，整理得2S n=a n﹣（*），于是有2S n﹣1=a n﹣1﹣（**），二式相减得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1+1）=0，讨论后即可求得数列通项a n；（3）由a n+1=f（a n）得，a n+1=，取倒数得=﹣2+≤⇒a n+1＜0或a n+1≥2，分别讨论即可．解答：解：（1）依题意有=x，化简为（1﹣b）x2+cx+a=0，由韦达定理得：，解得，代入表达式f（x）=，由f（﹣2）=＜﹣，得c＜3，又c∈N，b∈N，若c=0，b=1，则f（x）=x不止有两个不动点，∴c=2，b=2，故f（x）=，（x≠1）．（2）由题设得4S n•=1，整理得：2S n=a n﹣，（*）且a n≠1，以n﹣1代n得2S n﹣1=a n﹣1﹣，（**）由（*）与（**）两式相减得：2a n=（a n﹣a n﹣1）﹣（﹣），即（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1+1）=0，∴a n=﹣a n﹣1或a n﹣a n﹣1=﹣1，以n=1代入（*）得：2a1=a1﹣，解得a1=0（舍去）或a1=﹣1，由a1=﹣1，若a n=﹣a n﹣1得a2=1，这与a n≠1矛盾，∴a n﹣a n﹣1=﹣1，即{a n}是以﹣1为首项，﹣1为公差的等差数列．（3）由a n+1=f（a n）得，a n+1=，=﹣2+≤，∴a n+1＜0或a n+1≥2．若a n+1＜0，则a n+1＜0＜3成立；若a n+1≥2，此时n≥2，从而a n+1﹣a n=≤0，即数列{a n}在n≥2时单调递减，由a2=2知，a n≤a2=2＜3，在n≥2上成立．综上所述，当n≥2时，恒有a n＜3成立．点评：本题考查数列的函数特性，着重考查等差数列的判定，考查推理证明能力，考查转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于难题． 36365 8E0D 踍37704 9348 鍈4 27966 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哈尔滨市第九中学2020-2021学年高二上学期期末考试理科数学试题-含答案

哈尔滨市第九中学2020--2021学年度.上学期期末学业阶段性评价考试高二学年数学学科(理)试卷(考试时间:120分钟满分:150分共2页第I 卷(选择题共60分)一､选择题(本大题共12小题,每小题5分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.过点M(-4,3)和N(-2,1)的直线方程是A.x -y+3=0B.x+y+1=0C.x -y -1=0D.x+y -3=02.双曲线221169y x -=的虚半轴长是 A.3 B.4 C.6 D.83.直线x+y=0被圆22|6240x y x y +-++=截得的弦长等于A.4B.2 .C .D 4.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河."诗中隐含着一个有趣的数学问题--“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为221,x y +≤若将军从点A(4,-3)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=4,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马"的最短总路程为A.8B.7C.6D.55.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F,过点F 的直线与抛物线交于A,B 两点,满足|AB|=6,则线段AB 的中点的横坐标为A.2B.4C.5D.66.直线kx -y+2k+1=0与x+2y -4=0的交点在第四象限,则k 的取值范围为A.(-6,-2) 1.(,0)6B - 11.(,)26C -- 11.(,)62D -- 7.设12,F F 分别为双曲线22134x y -=的左,右焦点,点P 为双曲线上的一点.若12120,F PF ︒∠=则点P 到x 轴的距离为.A .B .C .D 8.已知点A(-2,3)在抛物线C 2:2y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B,记C 的焦点为F,则直线BF 的斜率为1.2A2.3B3.4C4.3D 9.已知点(x,y)满足:221,,0x y x y +=≥,则x+y 的取值范围是.[A B.[-1,1] .C .D10.设双曲线221916x y -=的右顶点为A,右焦点为F,过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB 的面积为32.15A 34.15B 17.5C 19.5D 11.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B,F 为其右焦点,若AF ⊥BF,设∠ABF=α,且[,]64ππα∈则该椭圆的离心率e 的取值范围是.A .1]B .C .D12.如图,,AB ､CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径,E 是母线PB 的中点,已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于1.2A B.1.C.D 第II 卷(非选择题共90分)二､填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.圆222200x y x y ++--=与圆2225x y +=相交所得的公共弦所在直线方程为___.14.若三个点(-2,1),(-2,3),(2,-1)中恰有两个点在双曲线222:1(0)x C y a a-=>上,则双曲线C 的渐近线方程为___. 15.椭圆221123x y +=的焦点分别是12,F F 点P 在椭圆上,如果线段1PF 的中点在y 轴上,那么1||PF 是2||PF 的___倍.16.过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线l 与C 相交于A,B 两点,且A,B 两点在准线上的射影分别为M,N ，,,MFN BFN AFM MFN S S S S λμ∆∆∆==则λμ=___. 三､解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本题满分10分)在①圆经过C(3,4),②圆心在直线x+y -2=0上,③圆截y 轴所得弦长为8且圆心E 的坐标为整数;这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,进行求解.已知圆E 经过点A(-1,2),B(6,3)且___;(1)求圆E 的方程;(2)求以(2,1)为中点的弦所在的直线方程.18.(本题满分12分)已知抛物线C:22(0)y px p =>,焦点为F,准线为1,抛物线C 上一点M 的横坐标为3,且点M 到焦点的距离为4.(1)求抛物线的方程;(2)设过点P(6,0)的直线'l 与抛物线交于A,B 两点,若以AB 为直径的圆过点F,求直线'l 的方程.19.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=2acosθ(a>0),且曲线C 与直线l 有且仅有一个公共点.(1)求a;(2)设A,B 为曲线C.上的两点,且,3AOB π∠=求|OA|+|OB|的最大值.20.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为1cos ,sin .x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2:4cos .C ρθ=(1)求曲线2C 的直角坐标方程;(2)若点A(1,0),且1C 和2C 的交点分别为点M,N,求11||||AM AN +的取值范围.21.(本题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为12(F F 且过点1).2 (1)求椭圆C 的方程;(2)设椭圆的上顶点为B,过点(-2,-1)作直线交椭圆于M,N 两点,记直线MB,NB 的斜率分别为,,MB NB k k 试判断MB NB k k +是否为定值?若为定值,求出该定值;若不是定值,说明理由.22.(本题满分12分)已知点F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点,过点F 的直线l 交椭圆于M,N 两点,当直线l 过C 的下顶点时,l当直线l垂直于C的长轴时,△OMN的面积为3 . 2(1)求椭圆C的标准方程;(2)当|MF|=2|FN|时,求直线l的方程;(3)若直线l上存在点P满足|PM|,|PF|,|PN|成等比数列,且点P在椭圆外,证明:点P在定直线上.。

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题三、填空题四、解答题20．我校后勤服务中心为监控学校稻香圆食堂的服务质量情况，每学期会定期进行两次食堂服务质量抽样调查，每次调查的具体做法是：随机调查50名就餐的教师和学生，请他们为食常服务质量进行名评分，师生根据自己的感受从0到100分选取一个分数打分，根据这50名师生对食堂服务质量的评分并绘制频率分布直方图．下图是根据本学期第二次抽样调查师生打分结果绘制的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50），[50，60），……，[90，100]．(1)求频率分布直方图中a 的值并估计样本的众数：(2)学校规定：师生对食堂服务质量的评分平均分不得低于75分，否则将进行内部整顿．用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿；(3)我校每周都会随机抽取3名学生和校长共进午餐，每次校长都会通过这3名学生了解食堂服务质量，校长的做法是让学生在“差评、中评、好评”中选择一个作答，如果出现“差评”或者“没有出现好评”，校长会立即责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务情况．若以本次抽取的50名学生样本频率分布直方图作为总体估计的依据，并假定本周和校长共进午餐的学生中评分在[40，60）之间的会给“差评”，评分在[60，80）之间的会给“中评”，评分在[80.100]之间的会给“好评”，已知学生都会根据自己的感受独立地给出评价不会受到其它因素的影响，试估计本周校长会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的概率．21．在平面直角坐标系xOy 中，圆1F ：()2224x y ++=，()22,0F ，P 是圆1F 上的一个动点，线段2PF 的垂直平分线l 与直线1PF 交于点M ．记点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点2F 作与x 轴不垂直的任意直线交曲线C 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为任意一点，连接线段AM交椭圆于点（i）证明：点B在以PQ为直径的圆内；。

黑龙江省哈尔滨市2023-2024学年高二上学期期中考试数学含解析

哈2023—2024学年上学期高二学年期中考试数学试卷（答案在最后）考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟；（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线28y x =-的准线方程为（）A.=2y -B.4x =- C.2x = D.2x =-2.双曲线22916144xy -=的焦点坐标为（）A.(B.(0,C .(5,0),(5,0)- D.(0,5),(0,5)-3.若点P 到点()2,0的距离比它到直线30x +=的距离小1，则点P 的轨迹方程是（）A.28y x= B.28y x=- C.28x y= D.28x y=-4.若直线1:90l x y λ++=与直线()2:2330l x y λλ-++=平行，则λ的值为（）A.3B.1- C.3或1- D.25.如图，一抛物线型拱桥的拱顶O 比水面高2米，水面宽度12AB =米．水面下降1米后水面宽（）米A. B. C. D.6.已知双曲线22:13x E y -=，直线:1l y kx =+，若直线l 与双曲线E 的两个交点分别在双曲线的两支上，则k 的取值范围是（）A.3k <-或3k >B.33k -<<C.k <或k >D.k <<7.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 与椭圆2212516x y +=的右焦点重合．斜率为()0k k >的直线l 经过点F ，且与C 的交点为,A B ．若2AF BF =，则直线l 的斜率为（）A.1B.C.24D.8.已知圆22:1O x y +=，若曲线12y k x =++上存在四个点()1,2,3,4=i P i ，过点i P 作圆O 的两条切线，,A B 为切点，满足32i iP A PB ⋅= ，则k 的取值范围是（）A.4,03⎛⎫-⎪⎝⎭B.4,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C.()4,00,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.()4,0,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知圆()221:34C x y -+=，圆222:1C x y +=，则（）A.圆1C 与圆2C 内切B.直线1x =是两圆的一条公切线C.直线2x my =+被圆1C截得的最短弦长为D.过点,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭作圆2C 的切线有两条10.已知12,F F 同时为椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>的左右焦点，设椭圆1C 与双曲线2C 在第一象限内交于点M ，椭圆1C 与双曲线2C 的离心率分别为12,,e e O 为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.22221122a b a b -=+ B.若12π3F MF ∠=，则22123b b =C.若122F F OM =，则22121113e e += D.若122MF MF =则(]21,2e ∈11.已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，过点F 的直线交C 于,M N 两个不同点，则下列结论正确的是（）A.MN 的最小值是6B.若点5,22P ⎛⎫⎪⎝⎭，则MF MP +的最小值是4C.113MF NF+= D.若18MF NF ⋅=，则直线MN 的斜率为1±12.已知O 为坐标原点，12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的左，右焦点，直线4:3l y x=与双曲线E 交于,A B 两点，220F A F B =⋅．M 为双曲线E 上异于,A B 的点，且,MA MB 与坐标轴不垂直，过2F 作12F MF ∠平分线的垂线，垂足为N ，则下列结论正确的是（）A.双曲线E 的离心率为B.双曲线E 的渐近线方程是2y x =±C.直线MA 与MB 的斜率之积为4D.若1ON =，则12AF F △的面积为4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上．13.设点P 为圆22:2440C x y x y +---=上一点，则点P 到直线3450x y ++=距离的最小值为______．14.已知椭圆()2222:10,0y x C a b a b +=>>的离心率为63，点12,A A 为其长轴两端点，点P 为椭圆C 上异于12,A A 的一点，则直线1PA 和2PA 的斜率之积等于______．15.已知直线1y x =-+与椭圆()222210x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，且线段AB 的中点在直线:40l x y -=上，则此椭圆的离心率为______．16.抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A ,B 是抛物线上的两个动点，且满足0AF FB ⋅=.设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则23MN AB的最大值是___________.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线()()():120,1,1,2,1l kx y k k P Q -++=∈--R ．（1）若经过,P Q 两点的直线与直线l 垂直，求此时直线l 的斜率；（2）1k =时，若点P 关于直线l 的对称点为点P '，求线段P Q '的长度．18.已知半径为4的圆C 与双曲线221916x y -=的渐近线相切，且圆心C 在x 轴正半轴上．（1）求圆C 的方程；（2）经过()8,0点，且斜率为k 的直线l 交圆C 于,A B 两点，若AB =l 的方程．19.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点1,8A m ⎛⎫ ⎪⎝⎭在抛物线上，且OAF △的面积为216（O 为坐标原点）．（1）求抛物线的标准方程；（2）抛物线的准线与x 轴交于点T ，过点T 的直线l 交抛物线C 于,M N 两点，若以MN 为直径的圆过点F ，求直线l 的方程．20.已知椭圆C 的中心在坐标原点，两焦点12,F F 在x 轴上，离心率为12，点P 在C 上，且12PF F △的周长为6．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点2F 的直线l 交椭圆C 于两点,A B ，求1ABF 面积的取值范围．21.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点与椭圆22212x y +=的焦点相同，且双曲线C 经过点()1,1P ．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）设,A B 为双曲线C 上异于点P 的两点，记直线,PA PB 的斜率为12,k k ，若()()12111k k --=．求直线AB 恒过的定点．22.有一个半径为的圆形纸片，设纸片上一定点F 到纸片圆心E 的距离为上一点M 与点F 重合，以点,F E 所在的直线为x 轴，线段EF 的中点O 为原点建立平面直角坐标系．记折痕与ME 的交点Q 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）P 为曲线C 上第一象限内的一点，过点P 作圆()22:11M x y ++=的两条切线，分别交y 轴于,D H 两点，且32DH =，求点P 的坐标；PA PB的倾斜角互补，判断直线AB的斜（3）在（2）的条件下，直线l与曲线C交于,A B两点，且直线,率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．哈2023—2024学年上学期高二学年期中考试数学试卷考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟；（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线28y x =-的准线方程为（）A.=2y -B.4x =- C.2x = D.2x =-【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线的准线方程即可求解.【详解】抛物线28y x =-中，28p =，所以4p =，故抛物线的准线方程为2px =，即2x =，故选：C 2.双曲线22916144xy -=的焦点坐标为（）A.(B.(0,C.(5,0),(5,0)-D.(0,5),(0,5)-【答案】C 【解析】【分析】将双曲线的方程化为标准方程判断焦点位置，写出焦点坐标即可.【详解】因为双曲线方程为22916144xy -=，化为标准方程为：221169x y -=，所以216925c =+=，由于焦点在x 轴上，所以焦点坐标为：(5,0),(5,0)-.故选：C.3.若点P 到点()2,0的距离比它到直线30x +=的距离小1，则点P 的轨迹方程是（）A.28y x =B.28y x=- C.28x y= D.28x y=-【答案】A 【解析】【分析】根据抛物线的定义即可求解.【详解】由于点P 到点()2,0的距离比它到直线30x +=的距离小1，故点P 到点()2,0的距离比它到直线20x +=的距离相等，故点P 是在以()2,0为焦点，以2x =-为准线的抛物线上，故轨迹为28y x =，故选：A4.若直线1:90l x y λ++=与直线()2:2330l x y λλ-++=平行，则λ的值为（）A.3B.1- C.3或1- D.2【答案】B 【解析】【分析】根据两条直线平行的充要条件，列出方程组，解出即可.【详解】因为两条直线平行，所以3(2)039(2)λλλλ--=⎧⎨≠-⎩，解得1λ=-，故选：B.5.如图，一抛物线型拱桥的拱顶O 比水面高2米，水面宽度12AB =米．水面下降1米后水面宽（）米A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】由已知条件求出抛物线方程即可.【详解】如图建系，设抛物线方程为22x py=由()6,2B -可得218p =-所以抛物线方程为218x y =-，和3y =-相交于()()36,3,6,3C D ---故水面宽66米故选：C.6.已知双曲线22:13x E y -=，直线:1l y kx =+，若直线l 与双曲线E 的两个交点分别在双曲线的两支上，则k 的取值范围是（）A.33k <-或33k > B.3333k -<<C.3k <-或3k > D.33k -<<【答案】B 【解析】【分析】联立直线与双曲线方程，再结合一元二次方程判别式及韦达定理列式求解即得.【详解】由22133y kx x y =+⎧⎨-=⎩消去y 并整理得：22(13)660k x kx ---=，由直线l 与双曲线E 的两个交点分别在双曲线的两支上，得2222130Δ3624(31)06031k k k k ⎧⎪-≠⎪=-->⎨⎪⎪<-⎩，解得3333k -<<，所以k 的取值范围是3333k -<<.故选：B7.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 与椭圆2212516x y +=的右焦点重合．斜率为()0k k >的直线l 经过点F ，且与C 的交点为,A B ．若2AF BF =，则直线l 的斜率为（）A.1B.C.24D.【答案】D 【解析】【分析】由椭圆与抛物线的定义与性质计算即可.【详解】由椭圆方程可知()3,0F ，则2:12C y x =，由题意可设直线l 的方程为：13x y k=+，()()1122,,,A x y B x y ，l 与抛物线方程联立可知212360y y k--=，即1236y y =-，又122122AF BF y y y y =⇒=-⇒=-=所以(1236,3262x x k -==⇒==-.故选：D8.已知圆22:1O x y +=，若曲线12y k x =++上存在四个点()1,2,3,4=i P i ，过点i P 作圆O 的两条切线，,A B 为切点，满足32i iP A PB ⋅= ，则k 的取值范围是（）A.4,03⎛⎫-⎪⎝⎭B.4,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C.()4,00,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.()4,0,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】设||,i i PO d APO α=∠=，根据题意利用32i iP A PB ⋅= 推出2d =，确定()1,2,3,4=i P i 在圆224x y +=上，继而将问题转化为(1)2,(1)y k x x =-++<-和224x y +=有两个交点的问题，利用圆心到直线的距离小于半径，即可求得答案.【详解】设||,i iPO d APO α=∠=，由题意知i P A OA ⊥，则1sin dα=，则22311cos 22i iP A PB d d α⋅--== ，即()()()222223112sin 112d d d α⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭，整理得422940d d -+=，解得24d =或212d =，由于()1,2,3,4=i P i 在圆22:1O x y +=外，故1d >，则2d =，即()1,2,3,4=i P i 的轨迹方程为圆224x y +=，曲线12y k x =++过定点(1,2)-，由射线(1)2,(1)y k x x =++≥-和射线(1)2,(1)y k x x =-++<-组成，且(1)2,(1)y k x x =++≥-和(1)2,(1)y k x x =-++<-关于直线=1x -对称，结合图象可知要使曲线12y k x =++上存在四个点()1,2,3,4=i P i 满足题意，需使得(1)2,(1)y k x x =-++<-和224x y +=有两个交点，故需有0k ->221k <+，解得43k <-，即4,3k ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，故选：B【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要满足曲线12y k x =++上存在四个点()1,2,3,4=i P i ，使得32i iP A PB ⋅= ，因而要由此推出()1,2,3,4=i P i 的轨迹方程，进而将问题转化为(1)2,(1)y k x x =-++<-和224x y +=有两个交点的问题，即可求解.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知圆()221:34C x y -+=，圆222:1C x y +=，则（）A.圆1C 与圆2C 内切B.直线1x =是两圆的一条公切线C.直线2x my =+被圆1C 截得的最短弦长为D.过点32,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭作圆2C 的切线有两条【答案】BCD【解析】【分析】由两圆的标准方程得出圆心和半径，利用圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系和点与圆的位置关系分别判断即可．【详解】由题意得，圆()221:34C x y -+=的圆心为1(3,0)O ，半径12r =，圆222:1C x y +=的圆心为2(0,0)O ，半径21r =；对于A ，123O O =，12213r r +=+=，即1212O O r r =+，两圆外切，故A 错误；对于B ，圆心1(3,0)O 到直线1x =的距离112d r ==，则1x =与圆1C 相切，圆心2(0,0)O 到直线1x =的距离221d r ==，则1x =与圆2C 相切，所以1x =是两圆的一条公切线，故B 正确；对于C ，直线2x my =+恒过点(2,0)M ，连接1MO ，过M 作1AB MO ⊥，交于圆1C 于点,A B ，如图所示，则AB 即为直线2x my =+被圆1C 截得的最短弦，则11O M =，由勾股定理得，MB =，则AB =所以直线2x my =+被圆1C 截得的最短弦长为，故C 正确；对于D ，因为22325((1224+=>，所以32,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在圆2O 外部，所以过点32,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭作圆2C 的切线有两条，故D 正确；故选：BCD ．10.已知12,F F 同时为椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>的左右焦点，设椭圆1C 与双曲线2C 在第一象限内交于点M ，椭圆1C 与双曲线2C 的离心率分别为12,,e e O 为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.22221122a b a b -=+ B.若12π3F MF ∠=，则22123b b =C.若122F F OM =，则22121113e e += D.若122MF MF =则(]21,2e ∈【答案】AB【解析】【分析】利用椭圆与双曲线的定义及性质，结合余弦定理，三角形三边关系计算即可.【详解】对于A 项，由题意可设()2,0F c ，则222221122a b a b c -=+=，故A 正确；对于B 项，在12F MF △中，设12,MF m MF n ==，则有1222m n a m n a +=⎧⎨-=⎩，由余弦定理可知()()2222221122222241434122cos 22424122m n mn c b mn m n c mn F MF mn b mn m n mn c mn ⎧+--=⎪⎧=+-⎪∠==⇒⇒⎨⎨=-+-⎩⎪=⎪⎩，显然22123b b =，故B 正确；对于C 项，若1212290F F OM F MF =⇒∠=，结合B 项及勾股定理可知()()2222212242442m n mn c m n mn b b mn +-==-+⇒==，222222121222221211123a a b c c b e e c c +++-+===≠，故C 错误；对于D 项，若212121214423232223m a a m n n a MF MF m n n a n a a ⎧==⎪-==⎧⎪=⇒⇒⎨⎨+==⎩⎪==⎪⎩，则222623m n c a c e +>⇒>⇒>，故D 错误.故选：AB11.已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，过点F 的直线交C 于,M N 两个不同点，则下列结论正确的是（）A.MN 的最小值是6 B.若点5,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则MF MP +的最小值是4C.113MF NF+= D.若18MF NF ⋅=，则直线MN 的斜率为1±【答案】ABD【解析】【分析】A ，根据12||=MN x x p ++结合基本不等式即可判断；B ，由抛物线定义知当,,P M A 三点共线时MF MP +；C ，D ，设直线方程，联立抛物线，应用韦达定理即可求解.【详解】对A ，设112212(,),(,),(,0)M x y N x y x x >，因为这些MN 倾斜角不为0，则设直线MN 的方程为32x ky =+，联立抛物线得2690y ky --=，则12126, 9y y k y y +=⋅=-，所以()()221212121212399363,244k x x k y y k x x k y y y y ∴+=++=+=+++=，则212||=3666MN x x k ++=+≥（当且仅当0k =时等号成立），A 正确；对B ，如图MA ⊥抛物线准线，MF MP MA MP +=+要使其最小，即,,P M A 三点共线时取得最小值，即53||422MF MP MA MP PA +=+==+=，B 正确；对C ，由()121212311||||239||||||||324x x NF MF MF NF MF NF x x x x ++++===+++，C 错误；对D ，1212123339()()()2224MF NF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++2293993(63)(63)1842422k k =+++=++=，解得1k =±,D 正确故选：ABD.12.已知O 为坐标原点，12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左，右焦点，直线4:3l y x =与双曲线E 交于,A B 两点，220F A F B =⋅ ．M 为双曲线E 上异于,A B 的点，且,MA MB 与坐标轴不垂直，过2F 作12F MF ∠平分线的垂线，垂足为N ，则下列结论正确的是（）A.双曲线E的离心率为 B.双曲线E 的渐近线方程是2y x =±C.直线MA 与MB 的斜率之积为4D.若1ON =，则12AF F △的面积为4【答案】BCD【解析】【分析】由直线斜率为43可知24tan 3AOF ∠=，不妨设A 在第一象限，即可得到34,55A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入双曲线方程，即可得到关于e 的方程，从而求出离心率，则渐近线方程可求，即可判断A 、B ，则双曲线方程可化为2224y x a -=，设()()1100,,,A x y M x y ，根据对称性得()11,B x y --，利用点差法判断C ，求出动点N 的轨迹方程，即可得到a ，从而求出12AF F △的面积，即可判断D.【详解】依题意得直线43y x =与双曲线两交点,A B 关于原点对称，不妨设A 在第一象限，由220F A F B =⋅ ，所以22F A F B ⊥，设()2,0F c ，由直线斜率为43可知24tan 3AOF ∠=，则24sin 5AOF ∠=，23cos 5AOF ∠=，则34,55A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入双曲线方程有222291612525c c a b-=，即()2222291612525c c a c a -=-，化简得222169251e e e -=-，化简得42950250e e -+=，1e >Q ，解得25e =，则e =，故A 错误；由c e a ==，所以2b a =，所以双曲线E 的渐近线方程是2y x =±，故B 正确；由224b a =，则双曲线方程可化为2224y x a -=，设()()1100,,,A x y M x y ，根据对称性得()11,B x y --，根据点,A M 在双曲线上则有222002221144y x a y x a ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①②，①-②得222010124y y x x --=，即002212214y y x x -=-，22010112211000104AM BMy y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅==-+-，故C 正确；点2F 关于12F MF ∠的角平分线MN 的对称点G 在直线1PF 的延长线上，故1212FG MF PF a =-=，又ON 是21F F G 的中位线，故ON a =，点N 的轨迹是以原点为圆心，a 为半径的圆，则点N 的轨迹方程为222x y a +=，因为1ON =，所以1a =，所以双曲线方程为2214y x -=，所以5c =，则355,55A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，又1225F F c ==，所以121525425AF F S =⨯=△，故D 正确；故选：BCD【点睛】关键点睛：由直线的斜率表示出A 点坐标，从而求出离心率是解决ABC 的关键，D 选项的关键是求出动点的轨迹方程.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上．13.设点P 为圆22:2440C x y x y +---=上一点，则点P 到直线3450x y ++=距离的最小值为______．【答案】15##0.2【解析】【分析】先判断圆与直线相离，故而圆上的点到直线的距离的最小值等于圆心到直线距离d r -.【详解】由圆22:2440C x y x y +---=的圆心为()1,2，半径为3r =所以圆心到直线3450x y ++=的距离为：1635d r==>=，所以圆与直线相离，所以圆上的点P到直线的距离的最小值为：161355d r-=-=，故答案为：15.14.已知椭圆()2222:10,0y xC a ba b+=>>的离心率为3，点12,A A为其长轴两端点，点P为椭圆C上异于12,A A的一点，则直线1PA和2PA的斜率之积等于______．【答案】3-或13-【解析】【分析】讨论若,a b的大小，若0a b>>，设000(,)(0)p x y x≠，根据点在椭圆上可得2222002()bx a ya-=，结合210000PAPAy a y ak kx x+-⋅=⋅化简可得1222PAPAak kb⋅=-，再根据椭圆离心率求出22ba，同理可求b a>>时情况，即可得答案.【详解】由题意知若0a b>>，则不妨取12(0,),(0,)-A a A a，设000(,)(0)P x y x≠，则()220022:10,0y xC a ba b+=>>，则2222002()bx a ya-=，则12222220000200022222()PA PAy a y a y a y a ak kx x x aabb y+---⋅=⋅===--，由于椭圆()2222:10,0y xC a ba b+=>>的离心率为3，即2222,33c a ba a-=∴=，即2213ba=，故12223A PAPak kb⋅-=-=；若0b a>>，则不妨取12(,0),(,0)A b A b-，设000(,)()p x y x b ≠±，则()220022:10,0y x C a b a b+=>>，则2222002()b b y a x -=，则122200020222202220020()PA PA a x y y y a b k k x b x b x b x b b b-⋅=⋅===-+---，由于椭圆()2222:10,0y x C a b a b +=>>的离心率为3，即2222,33c b a b b -=∴=，即2213a b =，故122213PA PA a k k b -=-⋅=，故答案为：3-或13-15.已知直线1y x =-+与椭圆()222210x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，且线段AB 的中点在直线:40l x y -=上，则此椭圆的离心率为______．【答案】2【解析】【分析】联立140y x x y =-+⎧⎨-=⎩，得到线段AB 的中点为41,55骣琪琪桫，设1y x =-+与()222210x y a b a b +=>>的交点分别为()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法能求出椭圆的离心率.【详解】联立140y x x y =-+⎧⎨-=⎩得：4515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以直线1y x =-+与直线40x y -=的交点坐标为41,55骣琪琪桫，所以线段AB 的中点为41,55骣琪琪桫，设1y x =-+与()222210x y a b a b+=>>的交点分别为()11,A x y ，()22,B x y ，所以12425x x +=，12125y y +=，则1285x x +=，1225y y +=，分别把()11,A x y ，()22,B x y 代入到椭圆()222210x y a b a b+=>>得：22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：()()()()2121221212y y y y b x x x x a -×+=--×+，因为直线AB 为：1y x =-+，所以12121AB y y k x x -==--，且121214y y x x +=+，所以()2211144b a -=-=-，所以2214b a =，即224a b =，所以()2224a ac =-，所以2234a c =，所以2234c a =，所以2c e a ==.故答案为：216.抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A ,B 是抛物线上的两个动点，且满足0AF FB ⋅=.设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则23MN AB 的最大值是___________.【答案】23【解析】【分析】根据抛物线的定义和几何性质，可得222AB AF BF =+，()12MN AF BF =+，可得222AB MN ≥，进而可得23MNAB 的最大值为23.【详解】如图，过A 点作AC l ⊥，过B 作BD l ⊥，设AF m =，BF n =，则由抛物线的定义知BD BF n ==，AC AF m ==，由题意知()()1122MN BD AC m n =+=+，因0AF FB ⋅= 得AF BF ⊥，22222AB AF BF m n =+=+，因()2222m n m n ++≥，当且仅当m n =，即AF BF =时等号成立，所以222AB MN ≥，22MNAB ≤，所以2233MN AB ≤，故答案为：3四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线()()():120,1,1,2,1l kx y k k P Q -++=∈--R ．（1）若经过,P Q 两点的直线与直线l 垂直，求此时直线l 的斜率；（2）1k =时，若点P 关于直线l 的对称点为点P '，求线段P Q '的长度．【答案】（1）32k =（2）5【解析】【分析】（1）根据两点坐标求解斜率，即可根据垂直关系求解，（2）根据点关于直线对称，求解()2,2P '-，即可由两点间距离公式求解.【小问1详解】由()()1,1,2,1P Q --得()112123PQ k --==---，由于l PQ ⊥，所以32l k =，【小问2详解】当1k =时，:30l x y -+=设点P 关于直线l 的对称点为点(),P a b '，则113022111a b b a -+⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得2,2a b =-=,故()2,2P '-，所以5P Q '==18.已知半径为4的圆C 与双曲线221916x y -=的渐近线相切，且圆心C 在x 轴正半轴上．（1）求圆C 的方程；（2）经过()8,0点，且斜率为k 的直线l 交圆C 于,A B 两点，若AB =l 的方程．【答案】（1）()22516x y -+=（2）22y x =-22y x =-+【解析】【分析】（1）相切转化为距离关系即可.（2）弦长转化为圆心到直线的距离即可.【详解】（1）因为圆心C 点在x 轴正半轴上，设圆心(),0(0)C t t >．圆C 的标准方程为：()2216x t y -+=．双曲线的渐近线方程为：430x y ±=．因为双曲线的渐近线与圆C 相切，所以圆心(),0C t 到双曲线一条渐近线430x y +=的距离与圆的半径相等．445td r ====，解得5t =，所以圆心坐标为()5,0，圆的标准方程为()22516x y -+=（2）如图，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为：()8y k x =-，即80kx y k --=．因为直线l 截圆C 所得线段AB长度AB =设圆心()5,0C 到直线l 的距离为d，则AB ===d =由d ==解得22k =或2k =-．故直线l的方程为：2y x =-或2y x =-+19.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点1,8A m ⎛⎫ ⎪⎝⎭在抛物线上，且OAF △的面积为216（O 为坐标原点）．（1）求抛物线的标准方程；（2）抛物线的准线与x 轴交于点T ，过点T 的直线l 交抛物线C 于,M N 两点，若以MN 为直径的圆过点F ，求直线l 的方程．【答案】（1）24y x=（2）10x +=或10x -+=【解析】【分析】（1）利用三角形面积公式及点A 在抛物线上可列方程组，解得p ，确定抛物线方程；（2）设直线方程，直曲联立，结合0FM FN ⋅=可求出直线方程.【小问1详解】由已知可知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以212216OAFp m S OF m =⨯⨯==△，所以24m =．又点1,8A m ⎛⎫ ⎪⎝⎭在抛物线上，所以221112848m p p p =⨯==，又0p >，所以2p =，所以抛物线的标准方程为24y x =．【小问2详解】由题意，()()1,0,1,0T F -，当直线l 斜率为0时，显然不成立，所以直线l 斜率不为0，设直线l 方程为1x my =-，设()()1122,,,M x y N x y由214x my y x=-⎧⎨=⎩消元得2440y my -+=，所以124y y m +=，124y y =，因直线l 交抛物线C 于,M N 两点，所以2Δ16160m =->，解得21m >，即1m >或1m <-,因为以MN 为直径的圆过点F ,所以0FM FN ⋅=又()()11221,,1,FM x y FN x y =-=-所以()()121211FM FN x x y y ⋅=--+()()121222my my y y =-⋅-+()()21212124m y y m y y =+-++()()214244m m m =+-+2840m =-=所以22m =，所以m =符合题意，所以直线l 的方程为1x =-，即10x ++=或10x +=.20.已知椭圆C 的中心在坐标原点，两焦点12,F F 在x 轴上，离心率为12，点P 在C 上，且12PF F △的周长为6．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点2F 的直线l 交椭圆C 于两点,A B ，求1ABF 面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=（2）(]0,3【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率为12，12PF F △的周长为6求出,a b 可得答案；（2）当l 的斜率不存在时，令1x =求出AB 可得1F AB 的面积；当l 的斜率存在时，设()():10l y k x k =-≠与椭圆方程联立，利用弦长公式求出AB 、点到直线的距离公式求出点2F 到直线1l的距离d ，可得1F AB的面积为234=+S k ，令2343k t +=>得=S 再由t 的范围可得答案．【小问1详解】设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为,,a b c ，因为12c e a ==，则2a c =，因为12126PF PF F F ++=，则226a c +=，即3a c +=，于是23c c +=，解得1c =，从而2,a b ===因为椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆C 的标准方程是22143x y+=；【小问2详解】由（1）知，1c ===，故()()121,0,1,0F F -，当l 的斜率不存在时，令1x =得，32y =±，故331,,1,22A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故3AB =，故1F AB 的面积为12332S =⨯⨯=，当l 的斜率存在时，设()():10l y k x k =-≠，联立22:143x y C +=得()22223484120k x k x k +-+-=，因为直线l 过椭圆内的点2F ，所以Δ0>，设()()1122,,,A x y B x y ，则221212228412,3434k k x x x x k k-+==++，则AB ==()2212134k k +==+，设点()21,0F 到直线1l 的距离为d，则d =，故1F AB 的面积为()222613434k S k k +==++，令2343k t +=>，则234t k -=，则S =，因为3t >，所以110,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故211121114,,,333399t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+∈+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，223111131111,,0,433124334⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+∈---++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭t t ，故()0,3S =，综上：1F AB 面积的取值范围是(]0,3．【点睛】关键点点睛：第二问的关键点是利用弦长公式求出AB 、点到直线的距离公式求出点2F 到直线1l 的距离d ，可得1F AB 的面积．21.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点与椭圆22212x y +=的焦点相同，且双曲线C 经过点()1,1P ．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）设,A B 为双曲线C 上异于点P 的两点，记直线,PA PB 的斜率为12,k k ，若()()12111k k --=．求直线AB 恒过的定点．【答案】（1）2221x y -=（2）()0,1-【解析】【分析】（1）根据焦点坐标以及经过的点，代入即可求解，（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，根据两点斜率公式求解两直线的斜率，代入韦达定理化简即可求解.【小问1详解】椭圆22212x y +=的焦点坐标为,0,2⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭故6,02⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭为双曲线C 的焦点，故双曲线23C :2c =，设双曲线C 的方程为：222211.5x y a a-=-，代入()1,1P 点，221111.5a a -=-，可得212a =或23a =，又因为双曲线中22a c <，故212a =，双曲线方程为2221x y -=．【小问2详解】当直线AB 斜率为0时，易得直线AB 方程为：1y =，此时120k k ==，符合()()12111k k --=，此时AB 直线经过()0,1-，直线AB 斜率不为0时，设直线:AB x my n =+，联立直线AB 与双曲线方程可得：()()22222214210,Δ8m 20my mny n n -++-==+->．设()()1122,,,A x y B x y ，则直线PA 斜率11111y k x -=-，直线PB 斜率22211y k x -=-．由()()12111k k --=易知：1212k k k k =+．代入12,k k 可得：()1212121210x y y x x x y y +-+-+=．又因为1122,x my n x my n =+=+．原式可转化为()()()121221210m y y m n y y n ---+-+=，由韦达定理可得：2121222214,2121n mny y y y m m --=+=--，代入式子中化简可得：()()10m n m n +--=．故m n =或10m n +-=．若m n =，直线为x my m =+，恒过点()0,1-，若10m n +-=，直线方程为()1x my m =+-，直线恒过定点()1,1p ，与题目中,A B 为异于P 的点矛盾，故直线恒过定点为()0,1-．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的定点问题：一般常采用两种方式：参数法：通过设点或者设参数，建立一个直线系或者曲线系方程，得到一个关于定点坐标的方程式，将复杂的问题转化为简单的计算问题，特殊一般法，从特殊位置入手，找到定点，再证明该定点与变量无关.22.有一个半径为的圆形纸片，设纸片上一定点F 到纸片圆心E 的距离为上一点M 与点F 重合，以点,F E 所在的直线为x 轴，线段EF 的中点O 为原点建立平面直角坐标系．记折痕与ME 的交点Q 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）P 为曲线C 上第一象限内的一点，过点P 作圆()22:11M x y ++=的两条切线，分别交y 轴于,D H 两点，且32DH =，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且直线,PA PB 的倾斜角互补，判断直线AB 的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）22182x y +=（2）()2,1P （3）是定值，12【解析】【分析】（1）根据椭圆定义可得答案；（2）设点()()()0000,0,0,0,P x y x y D m >>，()0,H n ，求出直线PD 的方程，根据圆心M 到直线、PD PH 的距离为1可知,m n 为方程()2000220x x y x x +--=的两个实根，从而可得=-=DH m n ，再由点P 在椭圆C 上，可得答案；（3）设:l y kx m =+，且()()1122,,,A x kx m B x kx m ++，与椭圆方程联立，根据直线,PA PB 的倾斜角互补，可得12k =或210k m +-=代入直线方程可得答案.【小问1详解】由题意可知，PF PE PM PE ME EF +=+===，所以P 点轨迹是以,F E为焦点，为长轴长的椭圆，所以曲线C 的方程，即椭圆方程为22182x y +=；【小问2详解】由（1）可知C 的方程为22182x y +=，设点()()()0000,0,0,0,P x y x y D m >>，()0,H n ，则直线PD 的方程为00y my x m x -=+，即()0000y m x x y mx --+=，因为圆心()1,0M -到直线PD 的距离为11=，即()()()222220000002y m x y m x m y m x m -+=---+，即()2000220x m y m x +--=，同理()2000220x n y n x +--=；由此可知，,m n 为方程()2000220x x y x x +--=的两个实根，所以00002,22y xm n mn x x +==-++；DH m n =-=因为点()00,P x y 在椭圆C 上，则2200182x y +=，则220024x y =-，则32DH ==，则2003440x x --=，因为00x >，则220002,214x x y ==-=，即01y =，故存在点()2,1P 满足题设条件；【小问3详解】由（1）可知C 的方程为22182x y +=，由题意，直线斜率存在，设:l y kx m =+，且()()1122,,,A x kx m B x kx m ++，联立方程组22182y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222418480k x kmx m +++-=，则()()()222Δ8441480km k m =-+->，可得2282m k <+，且2121222848,4141km m x x x x k k -+=-=++，因为直线,PA PB 的倾斜角互补，所以0PA PB k k +=，可得121211022kx m kx m x x +-+-+=--，整理得()()()1212212410kx x m k x x m +--+--=，代入可得()()2224882124104141m km k m k m k k -⎛⎫⋅+-----= ⎪++⎝⎭，即()242410k m k m +-+-=，即()()21210k k m -+-=，解得12k =或210k m +-=，当210k m +-=时，即12m k =-，可得12y kx k =+-，即()12y k x -=-，此时直线l 经过点()2,1P ，不符合题意，所以直线l 的斜率为12．。

高二上学期期末考试数学(理)试题及答案

N MD 1C 1B 1A 1DCA学年第一学期高二年级期末质量抽测数学试卷（理科）（满分150分，考试时间 120分钟）考生须知： 1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

2．答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

3．答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。

请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。

保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。

不得在答题卡上做任何标记。

5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)（1）抛物线210y x =的焦点到准线的距离为（A ）52（C ）5 （C ）10 （D ）20 （2）过点(2,1)-且倾斜角为060的直线方程为(A) 10y --=( B) 330y --=( C)10y -+=( D)330y -+=（3）若命题p 是真命题，命题q 是假命题，则下列命题一定是真命题的是(A)p q ∧ （B ）()p q ⌝∨ (C)()p q ⌝∧ (D )()()p q ⌝∨⌝（4）已知平面α和直线,a b ，若//a α，则“b a ⊥”是“b α⊥”的(A)充分而不必要条件 ( B )必要而不充分条件 ( C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件（5）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别是面对角线111A B B D 与的中点，若1,,,DA DC DD ===a b c 则MN =CA 1俯视图侧（左）视图正（主）视图(A)1()2+-c b a ( B) 1()2+-a b c ( C) 1()2-a c ( D) 1()2-c a（6）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>(A) y =( B) y x = ( C) 12y x =± ( D) 2y x =± （7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(A )2+ ( B)2( C)4+ ( D)4（8）从点(2,1)P -向圆222220x y mx y m +--+=作切线，当切线长最短时m 的值为（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2（9）已知点12,F F 是椭圆22:14x C y +=的焦点，点M 在椭圆C 上且满足1223MF MF += 则12MF F ∆的面积为(A)3(B) 2(C ) 1 (D) 2 (10) 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是左侧面11ADD A 上的一个动点，满足11BC BM ⋅=，则1BC 与BM 的夹角的最大值为 (A) 30︒ ( B) 45︒ ( C ) 60︒ ( D) 75︒P D 1C 1B 1A 1D C BAD 1C 1B 1A 1D第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）(11)若命题2:R,220p x x x ∃∈++>，则:p ⌝ ． (12) 已知(1,3,1)=-a ，(1,1,3)=--b ，则-=a b ______________.(13)若直线()110a x y +++=与直线220x ay ++=平行，则a 的值为____ .(14)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设 11AD AA ==， 2AB =，P 是11C D 的中点，则11B C A P 与所成角的大小为____________， 11BC A P ⋅=___________.(15)已知P 是抛物线28y x =上的一点，过点P 向其准线作垂线交于点E ，定点(2,5)A ，则PA PE +的最小值为_________；此时点P 的坐标为_________ .(16)已知直线:10l kx y -+=()k ∈R ．若存在实数k ，使直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且||||AB k =，则称曲线C 具有性质P ．给定下列三条曲线方程： ① y x =-； ② 2220x y y +-=； ③ 2(1)y x =+．其中，具有性质P 的曲线的序号是________________ .三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （17）(本小题满分14分)已知圆22:2410C x y x y +--+=. (I)求过点(3,1)M 的圆C 的切线方程；(II)若直线:40l ax y -+=与圆C 相交于,A B 两点，且弦AB的长为a 的值．（18）(本小题满分14分)在直平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=︒，ACBD O =，11AB AA ==.(I)求证：111//OC AB D 平面；N MDCBAP(II)求证：1111AB D ACC A ⊥平面平面； (III)求三棱锥111A AB D -的体积. （19）(本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，且经过点(0,1)A -．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)如果过点3(0,)5B 的直线与椭圆交于,M N 两点（,M N 点与A 点不重合），求证：AMN ∆为直角三角形．（20）(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥底面，底面ABCD 为直角梯形，//,90,AD BC BAD ∠=︒22PA AD AB BC ====，过AD 的平面分别交PB PC ，于,M N 两点.（I ）求证：//MN BC ；（II ）若,M N 分别为,PB PC 的中点，①求证：PB DN ⊥；②求二面角P DN A --的余弦值.（21）(本小题满分14分)抛物线22(0)y px p =>与直线1y x =+相切，112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠是抛物线上两个动点，F 为抛物线的焦点，且8AF BF +=. （I ）求p 的值；（II ）线段AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点是否为定点，若是，求出交点坐标，若不是，说明理由；（III ）求直线l 的斜率的取值范围.高二年级期末质量抽测数学试卷参考答案及评分标准（理科）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（11）2:,220p x x x ⌝∀∈++≤R（12） 6 （13）1或2- （14）60︒；1 （15）5；(2,4) （16）②③ 三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （17）（本小题满分14分）解：（I ）圆C 的方程可化为22(1)(2)4x y -+-=，圆心(1,2)C ，半径是2.…2分①当切线斜率存在时，设切线方程为1(3)y k x -=-，即310kx y k --+=. ……3分因为2d ===，所以34k =. …………6分 ②当切线斜率不存在时，直线方程为3x =，与圆C 相切. ……… 7分所以过点(3,1)M 的圆C 的切线方程为3x =或3450x y --=. ………8分（II ）因为弦AB 的长为所以点C 到直线l 的距离为11d ==. ……10分即11d ==. …………12分所以34a =-. …………14分O 1ABCDA 1B 1C 1D 1O（18）（本小题满分14分）证明：(I) 如图，在直平行六面体1111ABCD A B C D -中，设11111AC B D O =，连接1AO .因为1111//AA CC AA CC =且，所以四边形11AAC C 是平行四边形.所以1111//AC AC AC AC =且. ……1分因为底面ABCD 是菱形，所以1111//O C AO O C AO =且. 所以四边形11AOC O 是平行四边形.所以11//AO OC . ……2分因为111AO AB D ⊂平面，111OC AB D ⊄平面所以111//OC AB D 平面. ……4分(II)因为11111AA A B C D ⊥平面，111111B D A B C D ⊂平面，所以111B D AA ⊥. ……5分因为底面ABCD 是棱形，所以1111B D AC ⊥. ……6分因为1111AA AC A =，所以1111B D ACC A ⊥平面. ……7分因为1111B D AB D ⊂平面， ……8分所以1111AB D ACC A ⊥平面平面. ……9分 (III)由题意可知，11111AA A B C D ⊥平面，所以1AA 为三棱锥111A A B D -的高. ……10分因为111111111111111332A AB D A A B D A B D V V S AA --∆==⋅=⨯⨯所以三棱锥111A AB D -. ……14分(19)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为椭圆经过点(0,1)A -，e =，所以1b =. ……1分由c e a ===，解得2a =. ……3分所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=． ……4分（Ⅱ）若过点3(0,)5的直线MN 的斜率不存在，此时,M N 两点中有一个点与A 点重合，不满足题目条件． ……5分若过点3(0,)5的直线MN 的斜率存在，设其斜率为k ，则MN 的方程为35y kx =+，由223514y kx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得222464(14)0525k x kx ++-=. ……7分设1122(,),(,)M x y N x y ，则122122245(14)64,25(14)0k x x k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎪⋅=-⎨+⎪⎪∆>⎪⎩， ……9分所以1212266()55(14)y y k x x k +=++=+， 221212122391009()52525(14)k y y k x x k x x k -+⋅=⋅+++=+. ……11分因为(0,1)A -，所以1122121212(,1)(,1)()1AM AN x y x y x x y y y y ⋅=+⋅+=++++22264100925(14)25(14)k k k -+=-+++26105(14)k ++=+所以AM AN ⊥,AMN ∆为直角三角形得证． ……14分(20)（本小题满分14分）证明：（I ）因为底面ABCD 为直角梯形，所以//BC AD .因为,,BC ADNM AD ADNM ⊄⊂平面平面所以//BC ADNM 平面. ……2分因为,BC PBC PBCADNM MN ⊂=平面平面平面，所以//MN BC . ……4分（II ）①因为,M N 分别为,PB PC 的中点，PA AB =，所以PB MA ⊥. ……5分因为90,BAD ∠=︒ 所以DA AB ⊥.因为PA ABCD ⊥底面，所以DA PA ⊥. 因为PAAB A =，所以DA PAB ⊥平面. 所以PB DA ⊥. ……7分因为AMDA A =，所以PB ADNM ⊥平面因为DN ADNM ⊂平面，所以PB DN ⊥. ……9分 ②如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -. ……10分则(0,0,0),(2,0,0),(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C D P . ……11分由（II ）可知，PB ADNM ⊥平面，所以ADNM 平面的法向量为(2,0,2)BP =-. ……12分设平面PDN 的法向量为(,,)x y z =n 因为(2,1,2)PC =-，(0,2,2)PD =-, 所以00PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n .即220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩.令2z =，则2y =，1x =. 所以(1,2,2)=n所以cos ,622BP BP BP⋅〈〉===n n n .所以二面角P DN A --的余弦值为6. ……14分(21)（本小题满分14分）解:（I ）因为抛物线22(0)y px p =>与直线1y x =+相切，所以由221y px y x ⎧=⎨=+⎩ 得：2220(0)y py p p -+=>有两个相等实根. …2分即2484(2)0p p p p ∆=-=-=得：2p =为所求. ……4分（II ）法一：抛物线24y x =的准线1x =.且8AF BF +=，所以由定义得1228x x ++=，则126x x +=. ………5分设直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点(,0)C m . 由C 在AB 的垂直平分线上，从而AC BC =………6分即22221122()()x m y x m y -+=-+. 所以22221221()()x m x m y y ---=-.即12122112(2)()444()x x m x x x x x x +--=-=-- ………8分因为12x x ≠，所以1224x x m +-=-. 又因为126x x +=，所以5m =，所以点C 的坐标为(5,0).即直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点为定点(5,0). ………10分法二：由112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m =+.由24y x y kx m⎧=⎨=+⎩可得222(24)0k x km x m +-+=. ………5分所以12221224216160km x x k m x x k km -⎧+=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪∆=-+>⎪⎪⎩. ………6分因为抛物线24y x =的准线1x =.且8AF BF +=，所以由定义得1228x x ++=，则126x x +=. ………7分所以232km k +=.设线段AB 的中点为00(,)M x y . 则12003,32x x x y k m +===+. 所以(3,3)M k m +. ………8分所以线段AB 的垂直平分线的方程为13(3)y k m x k--=--. ………9分令0y =，可得2335x m mk =++=.即直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点为定点(5,0). ………10分（III ）法一：设直线l 的斜率为1k ，由（II ）可设直线l 方程为1(5)y k x =-.设AB 的中点00(,)M x y ，由12032x x x +==.可得0(3,)M y .因为直线l 过点0(3,)M y ，所以012y k =-.………11分又因为点0(3,)M y 在抛物线24y x =的内部，所以2012y <.…12分即21412k < ，则213k <.因为12x x ≠，则10k ≠. …13分所以1k的取值范围为((0,3).………14分法二：设直线l 的斜率为1k ，则11k k =-.由（II ）可知223km k =-.因为16160km ∆=-+>，即1km <， …11分所以2231k -<.所以213k >.即21113k >.所以2103k <<.…12分因为12x x ≠，则10k ≠. …13分所以1k的取值范围为((0,3).………14分。

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市三中高二上学期期末考试数学试题

哈三中2021—2022学年度上学期高二学年期末考试数学试卷考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷（选择题,共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.经过()()3,0,6,3A B -两点的直线的倾斜角为A ．4πB ．34πC ．2πD ．3π2.在等差数列{}n a 中，若4567890a a a a a ++++=，则39a a +=A ．18B ．30C ．36D ．723.若直线1:230l ax y a +++=，()2:150l x a y +--=平行，则实数a 的值为A ．1-B ．2C ．1或2-D ．1-或24.方程2890x x -+=的两根的等比中项是A ．4-B ．3-和3C ．4-和4D ．35.若椭圆的两个焦点21,F F 与它短轴的一个端点B 是一个等腰直角三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为A ．22B C ．12D ．36.以下结论正确的是A ．事件A 与事件B 的和事件的概率一定大于事件A 的概率B ．事件A 与事件B 是对立事件，则它们一定是互斥的C ．事件A 与事件B 互斥，则有()()1P A P B =-D ．事件A 与事件B 满足()()1P A P B +=，则A ，B 是对立事件7.已知R a ∈，||3a ≥是直线:20l x y -=与圆22:52a C x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭相离的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.2021年某省实施新的“3+1+2”高考改革方案，“3”即为语文、数学、英语3科必选，“1”即为从物理和历史中任选一科，“2”即为从化学、生物、地理、政治中任选2科，则该省某考生选择全理科(物理、化学、生物)的概率是A ．16B ．18C ．110D ．1129.一种卫星接收天线如图（1）所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点F 处，如图（2）所示，已知接收天线的口径AB 为4.8m ，深度为1m .若P 为接收天线上一点，则点P 与焦点F 的最短距离为A ．0.72mB ．1.44mC ．2.44mD ．2.88m10.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，已知24a =-，31a =-，则A ．n S 有最小值，n T 有最小值B ．n S 有最大值，n T 有最大值C ．n S 有最小值，n T 有最大值D ．n S 有最大值，n T 有最小值11.2021年11月，满洲里市再次出现由新型冠状病毒引发的疫情.哈尔滨市派出5个医疗小组前往满洲里市区内三所医院开展抗疫工作，因疫情需要，每所医院至少需要安排一个医疗组，其中甲、乙两个医疗小组必须安排在同一所医院，丙、丁两个小组不能安排在同一所医院，则不同的安排方案的总数为A ．36B ．24C ．30D ．1812.在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，且2,1,2AB AD CD x ===，其中()0,1x ∈，以,A B为焦点且过点D 的椭圆的的离心率为1e ，以,C D 为焦点且过点A 的双曲线离心率为2e ，21e e +的取值范围A ．(B ．)+∞C ．(D ．(第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)13.与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(-的双曲线的方程为__________________．14.等比数列{}n a 中，258,64a a ==，则{}n a 的前7项和7S =_______________．15.()5(12)13x x -+的展开式中2x 项的系数为__________________．16.意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列又称黄金分割数列，因列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用n a 表示斐波那契数列的第n 项，则数列{}n a 满足：11a =，21a =，()*123,n n n a a a n n N --=+≥∈，记121ni n i a a a a ==+++∑ ，则下列结论①32a =②()2233n n n a a a n -+=+≥③202120231i i aa ==∑④20212202120221i i aa a ==⋅∑其中正确的命题序号是．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知数列{}n a 是一个等差数列，且2511,45a S ==．（1）求{}n a 的通项n a ；（2）求{}n a 的前n 项和n S 的最大值．18.已知y x m =+与抛物线x y 42=交于,A B 两点．（1）若28=AB ，求实数m 的值；（2）O 为坐标原点，若OA OB ⊥，求实数m 的值．19.某超市举办有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有1个红球，3个白球的甲箱和装有2个红球、2个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，若都是红球，则可获得现金100元；若只有1个红球，则可获得现金50元；若没有红球，则不获奖.球的大小重量完全相同，每次抽奖后都将球放回且搅拌均匀．（1）若某顾客有1次抽奖机会，求该顾客获得现金100元或50元的概率；（2）若某顾客有2次抽奖机会，求该顾客在2次抽奖中一共获得现金100元的概率．20.在平面直角坐标系xOy 中，已知一个圆的圆心C 在直线20x y +=上，与直线2y x =-相切于点()2,0．（1）求C 的方程；（2）若经过点()5,1的直线l 与圆C 相交于,M N 两点，且MN =求直线l 的方程．21.已知数列{}n a 中，31=a ，且满足11323++⨯+=n n n a a .（1）证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 3为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式;（2）若不等式3842+->n n a n λ，对+∈∀N n 恒成立，求λ的范围.22.如图，已知椭圆()01:2222>>=+b a b y a x M 的离心率为21，以该椭圆上的任意一点和椭圆的左、右焦点21,F F 为顶点的三角形的周长为6.双曲线N 的顶点是椭圆M 的焦点，离心率为2.设P 为双曲线N 椭圆M 的交点分别为B A ,和D C ,.（1）求椭圆M 和双曲线N 的标准方程；（2）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，求证：21k k ⋅为定值；（3）是否存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.。

高二上学期期末考试数学(理)试题及答案 (11)

学年度高二第一学期期末学分认定考试数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（填空题和解答题）两部分。

满分150分；考试时间120分钟.考试结束后，监考教师将答题纸和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷（共50分）注意事项：本试卷分第Ｉ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ｉ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是( )A ．2214y x -= B ．2214x y -=C ．2212y x -= D ．2212x y -= 2．设,a b ∈R ，则“0a b >>”是“11a b<”的（）条件 A ．充分而不必要 B ．必要而不充分 C ．充分必要 D ．既不充分也不必要 3．在ABC ∆中，如果=cos cos a bB A，则该三角形是 A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．以上答案均不正确4．已知数列{}n a 的前n 项和21nn S =-，那么4a 的值为A ．1B ．2C ．4D ．85．在平面直角坐标系中，不等式组0400x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是（）A . 2B . 4C . 8D . 16 6．若不等式08322≥-+kx kx的解集为空集，则实数k 的取值范围是（） A . )0,3(- B .)3,(--∞ C . (]0,3- D .),0[]3,(+∞--∞ 7．下列命题中，说法正确的是（）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”B.“102x <<”是“(12)0x x ->”的必要不充分条件 C ．命题“0x ∃∈R ，使得20010x x ++<”的否定是：“x ∀∈R ，均有210x x ++>”D ．命题“在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >”的逆否命题为真命题 8．等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为S n 和T n ，且231n n S nT n =+，则55b a A ．32 B ． 149 C ． 3120 D ． 979．在ABC ∆中，，，4530,2===C A a 则ABC S ∆=（） A ．2 B ．22 C ．13+ D ．()1321+10．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（）A ． 3(0,]4B ．3(0,]2 C ．3[,1)2 D ．3[,1)4第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题纸中横线上。

黑龙江省哈尔滨市第三十二中学2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题

出题人：郝戈审题人：王丽娜郝戈哈尔滨市第三十二中学校2021-2022学年度（上）学期数学期末试卷考生须知1．考生要认真填写班级和姓名。

2．本试卷共2页，分为两卷，第I 卷选择题12小题(共48分)；第II 卷非选择题2大题(共52分)。

满分100分。

考试时间70分钟。

3．试题所有答案必须书写在答题卡上。

4．考试结束后，考生将试卷和答题卡按要求放在桌面上，待监考员收回。

第I 卷选择题(共48分)一、单选题（共计10个小题，每小题4分）1．下列事件：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②某人买彩票中奖；③从集合{1，2，3}中任取两个不同元素，它们的和大于2；④在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾．其中是随机事件的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．42．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，两数和为偶数的概率为（）A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.33．某班新学期开学统计新冠疫苗接种情况，已知该班有学生45人，其中未完成疫苗接种的有5人，则该班同学的疫苗接种完成率为（）A ．B ．C ．D ．4．已知向量＝（3，0，1），＝（﹣2，4，0），则3+2等于（）A ．（5，8，3）B．（5，﹣6，4）C ．（8，16，4）D ．（16，0，4）5．直线l 的一方向向量为（2，3），则它的斜率k 为（）A ．B．C ．D ．6．已知两直线方程分别为l 1：x +y ＝1，l 2：ax +2y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝（）A ．2B ．﹣2C ．D ．7．直线x +y ﹣2＝0的倾斜角是（）A ．45°B ．30°C ．135°D ．150°8．过点P （2，﹣1）且与原点距离最大的直线方程是（）A ．2x ﹣y ﹣5＝0B ．x ﹣2y﹣4＝0C ．2x +y ﹣3＝0D ．x +2y ＝09．已知直线ax +y +5＝0与x ﹣2y +7＝0垂直，则a 为（）A ．2B ．C ．﹣2D ．10．圆x 2+y 2+2ax ＝0的圆心和半径分别是（）A．（a ，0），|a |B ．（﹣a ，0），aC ．（a ，0），aD ．（﹣a ，0），|a |二、多选题（共计2个小题，每小题4分）11．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则下列说法正确的是（）A ．一共有36种不同的结果B ．两枚骰子向上的点数相同的概率是C ．两枚骰子向上的点数之和为5的概率是D ．两枚骰子向上的点数之差的绝对值小于4的概率为12．已知E ，F 分别是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱BC 和CD 的中点，则（）A ．A 1D 与B 1D 1是异面直线B ．A 1D 与EF 所成角的大小为45°C ．A 1F 与平面B 1EB 所成角的余弦值为D ．二面角C ﹣D 1B 1﹣B 的余弦值为第II卷非选择题（共52分）三、多选题（共计4个小题，每小题4分）13．随机投掷一枚均匀的硬币两次，则两次都正面朝上的概率为．14．已知，，且，则x的值是．15．已知直线l1：ax+2y﹣3＝0与l2：3x+（1﹣a）y+4＝0，若l1⊥l2，则实数a的值为．16．直线y＝mx+2m+1恒过定点，则定点坐标为．四、解答题（共计4个小题，共计36分）17．（8分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，求平面ACD1的一个法向量．18．（8分）已知直线l1：ax﹣2y+4＝0和l2：（a﹣2）x+4y+1＝0，设a为实数，分别根据下列条件求a的值：（1）l1⊥l2；（2）l1∥l2．19．（8分）根据下列条件求圆的方程：（1）圆心在点O（0，0），半径r＝3．（2）圆心在点O（0，0），且经过点M（3，4）．20．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD 的中点．（1）求证：D1F∥平面A1EC1；（2）求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值；（3）求二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值．出题人：郝戈审题人：王丽娜郝戈答案一．选择题（共10小题）1．B ．2．B ．3．D ．4．A ．5．C ．6．B ．7．C ．8．A ．9．A ．10．D ．二．多选题（共2小题）11．ABD ．12．AD ．三．填空题（共4小题）13．．14．3．15．﹣2．16．（﹣2，1）．四．解答题（共4小题）17．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，求平面ACD 1的一个法向量．【解答】解：由已知图象可得，A （1，0，0），C （0，1，0），D 1（0，0，1），则＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，0，1），设ACD 1的一个法向量＝（x ，y ，z ）．则，取x ＝1，可得y ＝1，z ＝1，∴＝（1，1，1）．18．已知直线l 1：ax ﹣2y +4＝0和l 2：（a ﹣2）x +4y +1＝0，设a 为实数，分别根据下列条件求a 的值：（1）l 1⊥l 2；（2）l 1∥l 2．【解答】解：（1）因为l 1⊥l 2，所以a （a ﹣2）﹣2×4＝0，解得a ＝4或a ＝﹣2，所以当l 1⊥l 2时，a ＝4或a ＝﹣2．（2）因为l 1∥l 2，所以4a ＝﹣2（a ﹣2），解得a ＝，检验：此时，l 1∥l 2，成立，所以当l 1∥l 2时，a＝．19．根据下列条件求圆的方程：（1）圆心在点O （0，0），半径r ＝3．（2）圆心在点O （0，0），且经过点M （3，4）．【解答】解：（1）根据题意，圆心在点O （0，0），半径r ＝3，则要求圆的方程为x 2+y 2＝9；（2）圆心在点O （0，0），且经过点M （3，4），要求圆的半径r ＝＝5，则要求圆的方程为x 2+y 2＝25；20．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱BC ，CD 的中点．（1）求证：D 1F ∥平面A 1EC 1；（2）求直线AC 1与平面A 1EC 1所成角的正弦值；（3）求二面角A ﹣A 1C 1﹣E的正弦值．【解答】（1）证明：以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则A 1（0，0，2），E （2，1，0），C 1（2，2，2），故，设平面A 1EC 1的法向量为，则，即，令z ＝1，则x ＝2，y ＝﹣2，故，又F （1，2，0），D 1（0，2，2），所以，则，又D 1F ⊄平面A 1EC 1，故D 1F ∥平面A 1EC 1；（2）解：由（1）可知，，则＝＝，故直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值为；（3）解：由（1）可知，，设平面AA1C1的法向量为，则，即，令a＝1，则b＝﹣1，故，所以＝＝，故二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值为＝．。

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市德强学校高二(上)月考数学试卷(10月份)(含答案)

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市德强学校高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.过点A(3,2)且斜率为1的直线方程是( )A. x +y +1=0B. x +y−1=0C. x−y +1=0D. x−y−1=02.已知两条直线l 1：ax +4y−1=0，l 2：x +ay +2=0，则“a =2”是“l 1//l 2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.方程x 2+y 2−2mx−4y +2m 2−4m−1=0所表示的圆的最大面积为( )A. 4πB. 9πC. 8πD. 16π4.动点M 在曲线x 2+y 2=1上移动，点M 和定点B(3,0)连线的中点为P ，则点P 的轨迹方程为( )A. x 2+y 2=14B. (x−32)2+y 2=14C. (x−32)2+y 2=1D. x 2+(y−32)2=145.如图，已知椭圆E ：x2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与椭圆E 交于点A ，B.直线l 为椭圆E 在点A 处的切线，点B 关于l 的对称点为M.由椭圆的光学性质知，F 1，A ，M 三点共线.若|AB|=a,|BF 1||MF 1|=45，则|BF 2||AF 1|=( )A. 19B. 211C. 911D. 13156.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 经过F 2，且与C 交于A ，B 两点，若AF 2=13F 2B ，AF 1⋅AF 2=0，则C 的离心率为( )A. 2 B. 3 C. 5 D. 1027.已知圆O 1的圆心为(2,0)，半径为4，圆O 2：x 2+y 2=r 2(0<r <2)，动圆M 与圆O 1，圆O 2都相切，若动圆圆心M 的轨迹是两个椭圆，且这两个椭圆的离心率分别为e 1，e 2(e 1>e 2)，则2e 1+3e 2的最小值为( )A. 5+2 64 B. 32 C. 2 D. 388.已知圆M ：x 2+(y−6)2=1和椭圆C ：x 210+y 2=1，点P 为椭圆C 上的动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，则弦长|AB|的范围为( )A. [4 65,7 25]B. [4 65,3 23023]C. [2,3 23023]D. [4 65,8 27]二、多选题：本题共4小题，共20分。

黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷一、单选题1．已知随机变量X 服从正态分布()24,,(5)0.3N P X σ>=，则(34)P X <<=（） A ．0.1 B ．0.2 C ．0.3 D ．0.42．在5(2)x -的展开式中，2x 项的系数为（）A ．10-B ．10C ．80-D ．803．用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，要求数字1和4相邻，则这样的六位数的个数为（）A ．192B ．240C ．360D ．7204．如图，三个元件123,,T T T 正常工作的概率均为13，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（）A ．19B ．127C ．527D ．7275．如图，一个质点从原点0出发，每隔一秒随机等可能地向左或向右移动一个单位，共移动4次，在质点第一秒位于1的位置的条件下，该质点共经过两次2的位置的概率为（）A ．14 B ．18 C ．38 D ．166．如图是函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象，则下列说法错误的是（）A ．2ω=B ．π3ϕ= C ．()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称 D ．()f x 在2ππ,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 7．有一道数学题，不知道答案的概率为0.6，如果知道答案则本题答对的概率为0.9，不知道答案则本题答对的概率为0.2，在答对本题的条件下，则不知道答案的概率为（） A ．0.75 B ．0.52 C ．0.48 D ．0.258．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,ABCD AB BC ⊥，二面角P CD A --的大小为45,2AD CD ︒+=，若点P A B C D ,,,,均在球O 的表面上，则球O 的表面积最小值为（）A ．3πBC ．8π3 D二、多选题9．近年来，我国持续释放旅游消费潜力，推动旅游业高质量发展，如图所示，是我国从2014年到2023年的国内游客出游花费统计，下列说法正确的是（）A ．从2014年到2023年，这10年的国内游客出游花费的第75百分位数为4.9B ．从2014年到2023年，这10年的国内游客出游花费的中位数为3.4C ．从2014年到2023年，这10年的国内游客出游花费的极差为2.7D ．从2014年到2019年，国内游客出游花费呈现上升趋势10．学校分别对高一学年和高二年学开展体育水平抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是（）A．样本中高二学年成绩的众数是85B．样本中高二学年成绩在80分以上的人数高于高一学年成绩在80分以上的人数C．样本中高二学年成绩的方差高于高一学年成绩的方差D．样本中高二学年成绩的中位数高于高一学年成绩的中位数11．某学校共有4000人，其中高一1000人，高二1500人，高三1500人，现采用抽样调查的方式调查学生平均身高，则下列说法正确的是（）A．若采用简单随机抽样的方式，抽取容量为200的样本，则高一25班的小明同学被抽入样本的概率为1 200B．若采用按比例分层抽样的方式，抽取容量为200的样本，则应从高一中抽取的人数为50C．若采用按比例分层抽样，发现高一、高二、高三学年的样本平均身高分别为167，169，173，则总体平均身高的估计值为170D．若采用按比例分层抽样，发现高一、高二、高三学年的样本平均身高分别为167，169，173，方差分别为50，60，40，则总体身高方差的估计值为50三、填空题12．对于随机事件,A B有111(),(),(),() 462P A P AB P A B P B ==+==.13．随机变量ξ的分布列如下表所示，则()Dξ=.14．哈三中2024-2025年度上学期高二年级十月月考中有这样一道题目:已知A，B是两个随机事件，且0()1,0()1P A P B <<<<，给出5个命题如下:①若()()1P A P B +=，则事件A ，B 对立；②若事件A 与B 独立，则()()()P AB P A P B =成立；③若()()()()P AB P AB P AB P AB ===，则事件A ，B 相互独立，且1()4P AB =；由于印刷原因，其中命题④⑤漏印了.若老师说某考生在5个命题中任选两个命题，其中真命题的个数X 的方差为925，则④⑤中真命题的个数为.四、解答题15．李老师使用频数分布表、频率分布直方图与扇形图来统计两个班学生某次数学考试的分数，已知所有学生考试成绩均位于[85，145）内，问:(1)求频率分布直方图中a 的值及分数的平均值（每组数据用该组区间中点值代表）;(2)若李老师决定对[85,95)与[95,105)这两组的学生采用按比例分层抽样，抽取6名同学进行谈话，再从这6人中随机选择两人进行试卷分析，求选中的2人来自不同组的概率. 16．在ABC V 中,,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且满足_______________.请在①2sin()2C A B +=；②()sin()()(sin sin )a b A C a c A C -+=-+，这两个中任选一个作为条件，补充在横线上，并解答问题.(1)求C ；(2)若AB 边上的高为1，ABC V ABC V 的周长. 17．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面,,ABCD AD PA AD CD ⊥⊥，//,AD BC 2PA AD CD ,===150,BAD E ︒∠=为PD 的中点.(1)求证：AE ⊥平面PCD ;(2)求平面PAB 与平面ECD 夹角的余弦值.18．如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从A 腔室出发，到达C 腔室，粒子从A 室经过1号门进入B 室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从B 室经过2号门进入C 室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为13.粒子间的旋转状态相互独立.现有两个粒子从A 室出发.(1)求两粒子进入C 室都为上旋状态的概率；(2)若实验装置出现故障，两个粒子进入C 室后，共裂变为m 个粒子，裂变后的每个粒子再经过2号门返回B 室的概率为23，各粒子返回B 室相互独立. ①4m =时，写出返回B 室的粒子个数X 的分布列、期望、方差；②30m =时，记有r 个粒子返回B 室的概率为()f r ，则r 为何值时，()f r 取最大值. 19．随着新中考英语人机测试的推行，为了确保学生能够有效应对这一新的考试形式，某中学决定展开深入调查，组织一次模拟测试，对学生的英语水平能力进行准确评估，并据此制定针对性的教学方案.该校从初二学年学生中随机抽取40人将进行模拟测试.现将40人分成,,A B C 三个小组，其中A 组15人，B 组15人，C 组10人.(1)第一轮测试按小组,,A B C 顺次进行.若一切正常，则该小组完成测试的时间为10分钟，若出现异常情况，则该小组需要延长5分钟才能完成测试.已知每小组正常完成测试的概率均为45，且各小组是否正常完成测试互不影响.记3个小组完成测试所需时间为X ，求X 的分布列;(2)第二轮测试将3组同学一起排序，每一位同学顺次上机操作.①求最后一名同学来自A 组的条件下，B 组同学比C 组同学提前完成测试的概率; ②若每名同学完成测试的时间都是为3分钟，求A 组和B 组同学全部完成测试所需时间的期望.。