抽象代数 孟道骥版 习题解答 第四章
近世代数初步_习题解答(抽象代数)
《近世代数初步》习题答案与解答引 论 章一、知识摘要1.A 是非空集合,集合积A A b a b a A A 到},:),{(∈=⨯的一个映射就称为A 的一个代数运算(二元运算或运算).2. 设G 非空集合,在G 上有一个代数运算,称作乘法,即对G 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的积,记为c=ab.若这个运算还满足：,,,G c b a ∈∀(1),ba ab = (2)),()(bc a c ab =(3)存在单位元e 满足,a ae ea ==(4)存在,'G a ∈使得.''e a a aa =='a 称为a 的一个逆元素.则称G 为一个交换群.(i)若G 只满足上述第2、3和4条,则称G 为一个群. (ii) 若G 只满足上述第2和3条,则称G 为一个幺半群. (iii) 若G 只满足上述第2条,则称G 为一个半群.3.设F 是至少包含两个元素的集合,在F 上有一个代数运算,称作加法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的和,记为c=a+b.在F 上有另一个代数运算,称作乘法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素d 与之对应,d 称为a 与b 的积,记为d=ab.若这两个运算还满足：I. F 对加法构成交换群.II. F*=F\{0}对乘法构成交换群.III..)(,,,ac ab c b a F c b a +=+∈∀就称F 为一个域.4.设R 是至少包含两个元素的集合,在R 上有加法和乘法运算且满足：I. R 对加法构成交换群(加法单位元称为零元,记为0;加法单位逆元称为负元). II. R *=R\{0}对乘法构成幺半群(乘法单位元常记为1).III. .)(,)(,,,ca ba a c b ac ab c b a R c b a +=++=+∈∀ 就称R 为一个环.5.群G 中满足消去律：.,,,c b ca ba c b ac ab G c b a =⇒==⇒=∈∀且6.R 是环,),0(00,,0,==≠∈≠∈ba ab b R b a R a 或且若有则称a 是R 中的一个左(右)零因子.7.广义结合律:半群S 中任意n 个元a 1,a 2,…,a n 的乘积a 1a 2…a n 在次序不变的情况下可以将它们任意结合.8.群G 中的任意元素a 及任意正整数n,定义：个n n a aa a ...=, 个n n a a a a e a 1110...,----==.则由广义结合律知,,,Z n m G a ∈∀∈∀有.)(,)(,1m m mn n m n m n m a a a a a a a --+===(在加法群中可写出相应的形式.)9.关于数域上的行列式理论、多项式理论(包括除法算式、整除性、最大公因式、因式分解唯一性定理等)、线性方程组理论、矩阵运算及理论、线性空间及线性变换理论在一般域F 上都成立.二、习题解答 1、（1）否，（2）否，（3）是，（4）是。
近世代数初步_习题解答(抽象代数)(优选.)
《近世代数初步》习题答案与解答引 论 章一、知识摘要1.A 是非空集合,集合积A A b a b a A A 到},:),{(∈=⨯的一个映射就称为A 的一个代数运算(二元运算或运算).2. 设G 非空集合,在G 上有一个代数运算,称作乘法,即对G 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的积,记为c=ab.若这个运算还满足：,,,G c b a ∈∀(1),ba ab =(2)),()(bc a c ab =(3)存在单位元e 满足,a ae ea ==(4)存在,'G a ∈使得.''e a a aa =='a 称为a 的一个逆元素.则称G 为一个交换群.(i)若G 只满足上述第2、3和4条,则称G 为一个群.(ii) 若G 只满足上述第2和3条,则称G 为一个幺半群.(iii) 若G 只满足上述第2条,则称G 为一个半群.3.设F 是至少包含两个元素的集合,在F 上有一个代数运算,称作加法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的和,记为c=a+b.在F 上有另一个代数运算,称作乘法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素d 与之对应,d 称为a 与b 的积,记为d=ab.若这两个运算还满足：I. F 对加法构成交换群.II. F*=F\{0}对乘法构成交换群.III..)(,,,ac ab c b a F c b a +=+∈∀就称F 为一个域.4.设R 是至少包含两个元素的集合,在R 上有加法和乘法运算且满足：I. R 对加法构成交换群(加法单位元称为零元,记为0;加法单位逆元称为负元).II. R *=R\{0}对乘法构成幺半群(乘法单位元常记为1).III. .)(,)(,,,ca ba a c b ac ab c b a R c b a +=++=+∈∀就称R 为一个环.5.群G 中满足消去律：.,,,c b ca ba c b ac ab G c b a =⇒==⇒=∈∀且6.R 是环,),0(00,,0,==≠∈≠∈ba ab b R b a R a 或且若有则称a 是R 中的一个左(右)零因子.7.广义结合律:半群S 中任意n 个元a 1,a 2,…,a n 的乘积a 1a 2…a n 在次序不变的情况下可以将它们任意结合.8.群G 中的任意元素a 及任意正整数n,定义：个n n a aa a ...=, 个n n a a a a e a 1110...,----==.则由广义结合律知,,,Z n m G a ∈∀∈∀有.)(,)(,1m m mn n m n m n m a a a a a a a --+===(在加法群中可写出相应的形式.)9.关于数域上的行列式理论、多项式理论(包括除法算式、整除性、最大公因式、因式分解唯一性定理等)、线性方程组理论、矩阵运算及理论、线性空间及线性变换理论在一般域F 上都成立.二、习题解答1、（1）否，（2）否，（3）是，（4）是。
孟道骥《高等代数与解析几何》(第3版)(上册)课后习题(含考研真题)详解-线性空间(圣才出品)
若 k＝0，l≠0（k≠0，l＝０），则 γ＝lβ 与 β 共线（γ＝kα 与 α 共线），亦有γ与α，β共
面．
若 k≠0，l≠0，作
，
（如图4-2-6），于是
因而α，β，γ均平行于由 A，B，C 决定的平面，故共面．得证．
图 4-2-5
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图 4-2-2
图 4-2-3
图 4-2-4
5．设向量α≠0．试证β与α共线的充分必要条件是存在实数 k，使得β＝kα．且 k 由α，
β唯一确定．
证：若β＝kα，根据向量与数的乘法的定义知，β 与 α 共线．
反之，设β与α共线，因为α≠0，故存在唯一的 k1≥0，使得
若α，β 共线．则 α，β，γ 共线，自然共面；若 α，β 不共线，则由习题 6，亦有α，β， γ共面．于是充分性亦得证．
综上所述，结论成立．
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8．设α，β，γ是三个非零向量，k，l，m 是三个非零实数．试证 kα－lβ，lβ－mγ，mγ －kα是三个共面向量．
图 4-2-6
7．试证向量α，β，γ共面的充分必要条件是存在不全为 0 的实数 k，l，m，使得 kα＋ lβ＋mγ＝0．
证：先证必要性．若α，β，γ共面，可分三种情形． （i）α＝β＝γ＝0．则可取 k，l，m 为任意数，自然可以是非零的． （ⅱ）α，β，γ 共线．其中有非零的，不妨设 α≠0．于是由习题 5，可得 β＝k1α，γ＝ k2α．于是－（k1＋k2）α＋β＋γ＝0，即可取 k＝－（k1＋k2），l＝m＝1． （iii）α，β，γ 不共线，故其中至少有两个例如 α，β 不共线．于是根据习题 6 的结论 可得γ＝kα＋lβ，即 kα＋lβ＋（－1）γ＝0． 总之，α，β，γ共面的所述的必要条件成立． 再证充分性．kα＋lβ＋mγ＝0，k，l，m 不全为 0，不妨设 m≠0．于是有
高等代数第四章矩阵练习题参考答案
高等代数第四章矩阵练习题参考答案第四章矩阵习题参考答案一、判断题1. 对于任意n 阶矩阵A ,B ,有A B A B +=+、错、2. 如果20,A =则0A =、错、如211,0,011A A A ??==≠--??但、3. 如果2A A E +=,则A 为可逆矩阵、正确、2()A A E A E A E +=?+=,因此A 可逆,且1A A E -=+、4. 设,A B 都就是n 阶非零矩阵,且0AB =,则,A B 的秩一个等于n ,一个小于n 、错、由0AB =可得()()r A r B n +≤、若一个秩等于n ,则该矩阵可逆,另一个秩为零,与两个都就是非零矩阵矛盾、只可能两个秩都小于n 、5.C B A ,,为n 阶方阵,若,AC AB = 则.C B = 错、如112132,,112132A B C===------,有,AC AB =但B C ≠、6.A 为n m ?矩阵,若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ,使.00=sI PAQ 正确、右边为矩阵A 的等价标准形,矩阵A 等价于其标准形、7.n 阶矩阵A 可逆,则*A 也可逆、正确、由A 可逆可得||0A ≠,又**||AA A A A E ==、因此*A 也可逆,且11(*)||A A A -=、8.设B A ,为n 阶可逆矩阵,则.**)*(A B AB = 正确、*()()||||||.AB AB AB E A B E ==又()(**)(*)*||*||*||||AB B A A BB A A B EA B AA A B E ====、因此()()*()(**)AB AB AB B A =、由B A ,为n 阶可逆矩阵可得AB 可逆,两边同时左乘式AB 的逆可得.**)*(A B AB = 二、选择题1.设A 就是n 阶对称矩阵,B 就是n 阶反对称矩阵()TB B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的就是(B )、(A) AB BA - (B) AB BA + (C) 2()AB (D) BAB (A)(D)为对称矩阵,(B)为反对称矩阵,(C)当,A B 可交换时为对称矩阵、 2、设A 就是任意一个n 阶矩阵,那么( A)就是对称矩阵、 (A) T A A (B) T A A - (C) 2A (D) TA A - 3.以下结论不正确的就是( C )、(A) 如果A 就是上三角矩阵,则2A 也就是上三角矩阵; (B) 如果A 就是对称矩阵,则 2A 也就是对称矩阵; (C) 如果A 就是反对称矩阵,则2A 也就是反对称矩阵; (D) 如果A 就是对角阵,则2A 也就是对角阵、4.A 就是m k ?矩阵, B 就是k t ?矩阵, 若B 的第j 列元素全为零,则下列结论正确的就是(B )(A ) AB 的第j 行元素全等于零; (B )AB 的第j 列元素全等于零; (C ) BA 的第j 行元素全等于零; (D ) BA 的第j 列元素全等于零; 5.设,A B 为n 阶方阵,E 为n 阶单位阵,则以下命题中正确的就是(D )(A) 222()2A B A AB B +=++ (B) 22()()A B A B A B -=+- (C) 222()AB A B = (D) 22()()A E A E A E -=+- 6.下列命题正确的就是(B )、(A) 若AB AC =,则B C = (B) 若AB AC =,且0A ≠,则B C = (C) 若AB AC =,且0A ≠,则B C = (D) 若AB AC =,且0,0B C ≠≠,则B C = 7、A 就是m n ?矩阵,B 就是n m ?矩阵,则( B)、 (A) 当m n >时,必有行列式0AB ≠; (B) 当m n >时,必有行列式0AB = (C) 当n m >时,必有行列式0AB ≠; (D) 当n m >时,必有行列式0AB =、AB 为m 阶方阵,当m n >时,(),(),r A n r B n ≤≤因此()r AB n m ≤<,所以0AB =、8.以下结论正确的就是( C )(A) 如果矩阵A 的行列式0A =,则0A =;(B) 如果矩阵A 满足20A =,则0A =;(C) n 阶数量阵与任何一个n 阶矩阵都就是可交换的; (D) 对任意方阵,A B ,有22()()A B A B A B -+=-9.设1234,,,αααα就是非零的四维列向量,1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵,已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ,则方程组*0A x =的基础解系为( C )、(A)123,,ααα、(B)122331,,αααααα+++、(C)234,,ααα、(D)12233441,,,αααααααα++++、由0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T 可得12341310(,,,)0,2020αααααα?? ? ?=+= ? ???、因此(A),(B)中向量组均为线性相关的,而(D)显然为线性相关的,因此答案为(C)、由12341234**(,,,)(*,*,*,*)A A A A A A A O αααααααα===可得12,,αα34,αα均为*0A x =的解、10、设A 就是n 阶矩阵,A 适合下列条件( C )时,n I A -必就是可逆矩阵(A) nA A = (B) A 就是可逆矩阵 (C) 0nA = (B) A 主对角线上的元素全为零11.n 阶矩阵A 就是可逆矩阵的充分必要条件就是( D )(A) 1A = (B) 0A = (C) T A A = (D) 0A ≠ 12.,,A B C 均就是n 阶矩阵,下列命题正确的就是( A )(A) 若A 就是可逆矩阵,则从AB AC =可推出BA CA = (B) 若A 就是可逆矩阵,则必有AB BA = (C) 若0A ≠,则从AB AC =可推出B C =(D) 若B C ≠,则必有AB AC ≠13.,,A B C 均就是n 阶矩阵,E 为n 阶单位矩阵,若ABC E =,则有(C ) (A) ACB E = (B)BAC E = (C)BCA E = (D) CBA E = 14.A 就是n 阶方阵,*A 就是其伴随矩阵,则下列结论错误的就是( D )(A) 若A 就是可逆矩阵,则*A 也就是可逆矩阵; (B) 若A 就是不可逆矩阵,则*A 也就是不可逆矩阵; (C) 若*0A ≠,则A 就是可逆矩阵; (Ｄ)*.AA A =*.nAA A E A ==15.设A 就是5阶方阵,且0A ≠,则*A =( Ｄ )(A) A (B) 2A (C) 3A (D) 4A 16.设*A 就是()ij n n A a ?=的伴随阵,则*A A 中位于(,)i j 的元素为(Ｂ )(A)1njkki k aA =∑ (B)1nkjki k aA =∑ (C) 1n jk ik k a A =∑ (D) 1nki kj k a A =∑应为A 的第i 列元素的代数余子式与A 的第j 列元素对应乘积与、17、设1111n n nn a a A a a =??L L L L L, 1111n n nn A A B A A ??=LL L L L ,其中ij A 就是ij a 的代数余子式,则(C )(A) A 就是B 的伴随 (B)B 就是A 的伴随 (C)B 就是A '的伴随 (D)以上结论都不对18.设,A B 为方阵,分块对角阵00A C B ??=?,则*C = ( Ｃ ) (A) **00A C B ??=?(B)**00A A CB B ??=(C) **00B A C A B ??=?(D) **0A B A C A B B ??= 利用*||CC C E =验证、19.已知46135,12246A B==?-,下列运算可行的就是( C ) (A) A B + (B)A B - (C)AB (D)AB BA -20.设,A B 就是两个m n ?矩阵,C 就是n 阶矩阵,那么( D )(A) ()C A B CA CB +=+ (B) ()TTTTA B C A C B C +=+ (C) ()TTTC A B C A C B +=+ (D) ()A B C AC BC +=+21.对任意一个n 阶矩阵A ,若n 阶矩阵B 能满足AB BA =,那么B 就是一个( Ｃ )(A) 对称阵 (B)对角阵 (C)数量矩阵 (D)A 的逆矩阵与任意一个n 阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵、22.设A 就是一个上三角阵,且0A =,那么A 的主对角线上的元素( Ｃ )(A) 全为零 (B)只有一个为零（C ）至少有一个为零 (D)可能有零,也可能没有零23.设1320A ??=??,则1A -=( D ) (A) 1021136?-- (B)1031136??-???(C)1031126-(D)1021136?-24. 设111222333a b c A a b c a b c =??,若111222333222a c b AP a c b a c b ??=?,则P =( B ) (A) 100001020 (B)100002010 (C)001020100 (D)200001010??25.设(3)n n ≥阶矩阵1111a a a a a a A aa a aa a ??=??LL L L L L L L L ,若矩阵A 的秩为1,则a 必为(A )(A) 1 (B)-1 (C)11n - (D)11n -矩阵A 的任意两行成比例、26、设,A B 为两个n 阶矩阵,现有四个命题: ①若,A B 为等价矩阵,则,A B 的行向量组等价;②若,A B 的行列式相等,即||||,A B =则,A B 为等价矩阵; ③若0Ax =与0Bx =均只有零解,则,A B 为等价矩阵; ④若,A B 为相似矩阵,则0Ax =与0Bx =解空间的维数相同、以上命题中正确的就是( D )(A) ①, ③、(B) ②, ④、(C) ②,③、(D)③,④、当AP P B 1-=时,,A B 为相似矩阵。
线性代数 课后习题详解 第四章
第四章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320;(3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3403130212011312)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020********* )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320 1312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320 21233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010(3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311 141312323~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311 )5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----221002210022100343112423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011(4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1187701298804202111110 141312782~r r r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4100041000202011111034221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102021 32~r r +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012．在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的1-r 阶子式?有没有等于0的r 阶 子式?解 在秩是r 的矩阵中,可能存在等于0的1-r 阶子式,也可能存在等 于0的r 阶子式.例如，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000000010000100001α3)(=αR 同时存在等于0的3阶子式和2阶子式.3．从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ,问B A ,的秩的关系怎样? 解 )(A R ≥)(B R设r B R =)(，且B 的某个r 阶子式0≠D r .矩阵B 是由矩阵A 划去一行得到的，所以在A 中能找到与D r 相同的r 阶子式D r ，由于0≠=D D r r ， 故而)()(B R A R ≥.4．求作一个秩是4的方阵,它的两个行向量是)0,0,1,0,1(,)0,0,0,1,1(- 解 设54321,,,,ααααα为五维向量,且)0,0,1,0,1(1=α,)0,0,0,1,1(2-=α,则所求方阵可为,54321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααααA 秩为4,不妨设⎪⎩⎪⎨⎧===)0,0,0,0,0(),0,0,0,0()0,,0,0,0(55443αααx x 取154==x x 故满足条件的一个方阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000100000100000011001015．求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073131213123； (3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013r r 21~↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443120131211 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------564056401211~12133r r r r 2000056401211~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----r r 二阶子式41113-=-．(2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073131223123⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------152********117014431~27122113r r r r r r 200000591170144313~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----r r .二阶子式71223-=-．(3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812434241322~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------023010********071210 131223~r r r r ++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0230114000016000071210344314211614~r r r r r r r r -÷÷↔↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000010*******002301秩为3 三阶子式07023855023085570≠=-=-．6．求解下列齐次线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++;0222,02,02432143214321x x x x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++;05105,0363,02432143214321x x x x x x x x x x x x (3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+;0742,0634,0723,05324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x (4)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+.0327,01613114,02332,075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解 (1) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3410013100101~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x(2) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000001001021~ 即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010*********k k x x x x(3) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000010000100001~即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x xx x故方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x(4) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3127161311423327543⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000000001720171910171317301~ 即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x x x x x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1017201713011719173214321k k x x x x7．求解下列非齐次线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+;8311,10213,22421321321x x x x x x x x (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++;694,13283,542,432z y x z y x z y x z y x(3) ⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+;12,2224,12w z y x w z y x w z y x (4) ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+;2534,4323,12w z y x w z y x w z y x解 (1) 对系数的增广矩阵施行行变换,有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--60003411100833180311102132124~2)(=A R 而3)(=B R ,故方程组无解．(2) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328354214132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000000021101201~ 即得⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=zz z y z x 212亦即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021112k z y x(3) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000100011112~ 即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===++-=0212121w z z y y z y x 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021010210012121k k w z y x(4) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000007579751025341253414312311112~⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----000007579751076717101~ 即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--=++=w w z z w z y w z x 757975767171 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00757610797101757121k k w z y x8．λ取何值时,非齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2321321321,,1λλλλλx x x x x x x x x (1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?解 (1) 0111111≠λλλ,即2,1-≠λ时方程组有唯一解.(2) )()(B R A R < ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21111111λλλλλB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011~λλλλλλλλλλ由0)1)(1(,0)2)(1(2≠+-=+-λλλλ 得2-=λ时,方程组无解.(3) 3)()(<=B R A R ,由0)1)(1()2)(1(2=+-=+-λλλλ, 得1=λ时,方程组有无穷多个解.9．非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=++-23213213212,2,22λλx x x x x x x x x 当λ取何值时有解？并求出它的解．解 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=)2)(1(000)1(321101212111212112~2λλλλλλB方程组有解，须0)2)(1(=+-λλ得2,1-==λλ当1=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111321k x x x当2-=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111321k x x x10．设⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-,1)5(42,24)5(2,122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x问λ为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求解．解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------154224521222λλλλ初等行变换~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------2)4)(1(2)10)(1(00111012251λλλλλλλλ 当0≠A ,即02)10()1(2≠--λλ 1≠∴λ且10≠λ时，有唯一解.当02)10)(1(=--λλ且02)4)(1(≠--λλ，即10=λ时，无解.当02)10)(1(=--λλ且02)4)(1(=--λλ，即1=λ时，有无穷多解.此时，增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000001221原方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (R k k ∈21,)11．试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛323513123; (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023. 解 （1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101011001200410123~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----10121121023200010023~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2102121129227100010003~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----21021211233267100010001~故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----10000100001000011210232112201023 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00100301100001001220594012102321~ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------20104301100001001200110012102321~ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321~ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021~ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106126311101042111000010000100001~ 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------1061263111010421112．(1) 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=132231,113122214B A ,求X 使B AX =;(2) 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=132321,433312120B A ,求X 使B XA =. 解 (1) ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231113122214B A 初等行变换~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--412315210100010001 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==∴-4123152101B A X (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛132321433312120B A 初等列变换~⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---474112100010001 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==∴-4741121BA X ．。
《抽象代数基础》习题解答
数学分析、高等代数、解析几何、中学数学建模、离散数学、高等几何、概率统计、竞赛数学、运筹学、数学教学实践、初等代数研究、初等几何研究、教法研究、计算机辅助教学、教育学、教育心理学、大学英语等。
《抽象代数基础》习题答解于延栋编盐城师范学院数学科学学院二零零九年五月第一章 群 论§1 代数运算1.设},,,{c b a e A =,A 上的乘法”“⋅的乘法表如下: · ea b c e ea b c a ae c b b b ce a cc b a e证明: ”“⋅适合结合律. 证明 设z y x ,,为A 中任意三个元素.为了证明”“⋅适合结合律,只需证明)()(z y x z y x ⋅⋅=⋅⋅.下面分两种情形来阐明上式成立.I.z y x ,,中至少有一个等于e .当e x =时,)()(z y x z y z y x ⋅⋅=⋅=⋅⋅;当e y =时,)()(z y x z x z y x ⋅⋅=⋅=⋅⋅;当e z =时,)()(z y x y x z y x ⋅⋅=⋅=⋅⋅.II .z y x ,,都不等于e .(I)z y x ==.这时,)()(z y x e x x z z e z y x ⋅⋅=⋅===⋅=⋅⋅.(II)z y x ,,两两不等.这时,)()(z y x x x e z z z y x ⋅⋅=⋅==⋅=⋅⋅.(III)z y x ,,中有且仅有两个相等.当y x =时,x 和z 是},,{c b a 中的两个不同元素,令u 表示},,{c b a 中其余的那个元素.于是,z z e z y x =⋅=⋅⋅)(,z u x z y x =⋅=⋅⋅)(,从而,)()(z y x z y x ⋅⋅=⋅⋅.同理可知,当z y =或x z =时,都有)()(z y x z y x ⋅⋅=⋅⋅.2.设”“⋅是集合A 上一个适合结合律的代数运算.对于A 中元素,归纳定义∏=ni ia 1为: 111a a i i =∏=,1111+=+=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∏∏r r i i r i i a a a .证明:∏∏∏+==+==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m n k k m j j n n i i a a a 111.进而证明:在不改变元素顺序的前提下,A 中元素的乘积与所加括号无关.证明 当1=m 时,根据定义,对于任意的正整数n ,等式成立.假设当r m =(1≥r )时,对于任意的正整数n ,等式成立.当1+=r m 时,由于”“⋅适合结合律,我们有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∏∏=+=m j j n n i i a a 11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∏∏+=+=111r j j n n i i a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=+=∏∏111r n r j j n n i i a a a 111++=+=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∏∏r n r j j n n i i a a a ∏∏∏+=++=+++===⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m n k k r n k k r n r n i i a a a a 11111.所以,对于任意的正整数n 和m ,等式成立.考察A 中任意n (1≥n )个元素n a a a ,,,21 :当3≥n 时,要使记号n a a a ⋅⋅⋅ 21变成有意义的记号,必需在其中添加一些括号规定运算次序.现在我们来阐明:在不改变元素顺序的前提下,无论怎样在其中添加括号,运算结果总是等于∏=ni i a 1.事实上,当1=n 或2=n 时,无需加括号,我们的结论自然成立.当3=n 时,由于”“⋅适合结合律,我们的结论成立.假设当r n ≤(1≥r )时我们的结论成立.考察1+=r n 的情形:不妨设最后一次运算是b a ⋅,其中a 为n a a a ,,,21 中前s (n s <≤1)个元素的运算结果,b 为n a a a ,,,21 中后s n -个元素的运算结果.于是,根据归纳假设,∏==s j j a a 1, ∏-=+=sn k k s a b 1.所以最终的运算结果为∏∏∏=-=+==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅n i i s n k k s s j j a a a b a 111. 3.设Q 是有理数集.对于任意的Q ,∈b a ,令2b a b a +=⋅,证明: ”“⋅是Q 上的一个代数运算,它既不适合结合律也不适合交换律.证明 众所周知,对于任意的Q ,∈b a ,Q 2∈+=⋅b a b a .所以”“⋅是Q 上的一个代数运算.令0=a ,1=b ,2=c .由于521212)10()(2=+=⋅=⋅⋅=⋅⋅c b a ,255050)21(0)(2=+=⋅=⋅⋅=⋅⋅c b a ,从而,)()(c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅,所以”“⋅不适合结合律.由于521212=+=⋅=⋅c b ,312122=+=⋅=⋅b c ,.从而,b c c b ⋅≠⋅.所以”“⋅不适合交换律.§2 群的概念1.证明:⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Z d c b a d c b a G ,,, 关于矩阵的加法构成一个群. 证明 首先,众所周知,∅≠G ,G B A ∈+,G B A ∈∀,.由于矩阵的加法适合结合律,G 上的加法适合结合律.其次,令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000O ,则G O ∈,并且A O A A O =+=+,G A ∈∀.最后,对于任意的G d c b a A ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-d c b a A ,则G A ∈-且O A A A A -+-=-+)()(.所以G 关于矩阵的加法构成一个群.2.令⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001,1001,1001,1001G ,证明:G 关于矩阵的乘法构成一个群. 证明 将⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001记作E ,并将G 中其余三个矩阵分别记作C B A ,,.于是,G 上的乘法表如下:·E A B C EE A B C AA E CB BB C E A C C BA E由于矩阵的乘法适合结合律,G 上的乘法适合结合律.从乘法表可知,X XE EX ==,E XX =,G Y X ∈∀,.所以G 关于矩阵的乘法构成一个群.3.在整数集Z 中,令2-+=⋅b a b a ,Z ∈∀b a ,.证明:Z 关于这样的乘法构成一个群.证明 对于任意的Z ∈c b a ,,,我们有42)2()2()(-++=-+-+=⋅-+=⋅⋅c b a c b a c b a c b a ,42)2()2()(-++=--++=-+⋅=⋅⋅c b a c b a c b a c b a ,从而)()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅.这就是说,该乘法适合结合律.其次,Z ∈2,并且对于任意的Z ∈a ,我们有222222⋅=-+==-+=⋅a a a a a ,a a a a a a a a ⋅-=-+-=--+=-⋅)4(2)4(2)4()4(.所以Z 关于该乘法构成一个群.4.写出3S 的乘法表.解 )}231(),321(),32(),31(),21(),1{(3=S ,3S 的乘法表如下: ·)1( )21( )31( )32( )321( )231( )1( )1( )21( )31( )32( )321( )231()21()21( )1( )231( )321( )32( )31( )31( )31( )321( )1( )231( )21( )32()32( )32( )231( )321()1( )31( )21( )321( )321( )31( )32( )21( )231()1( )231( )231( )32( )21( )31( )1( )321(5.设),(⋅G 是一个群,证明: ”“⋅适合消去律.证明 设G c b a ∈,,.若c a b a ⋅=⋅,则c c e c a a c a a b a a b a a b e b =⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=----)()()()(1111.同理,若a c a b ⋅=⋅,则c b =.这就表明,”“⋅适合消去律.6.在5S 中,令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4513254321f ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2543154321g . 求gf fg ,和1-f .解 我们有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3451254321fg ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5214354321gf ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-45213543211f . 7.设)(21k i i i a =,求1-a .解 我们有)(11i i i a k k -=.8.设f 是任意一个置换,证明:))()()(()(21121k k i f i f i f f i i i f =⋅⋅-. 证明 事实上,易见,)(,),(),(21k i f i f i f 是},,2,1{n 中的k 个不同的数字.由直接计算可知,11),())()()((1121-≤≤=⋅⋅+-k j i f i f f i i i f j j k ;)())()()((1121i f i f f i i i f k k =⋅⋅- .其次,对于任意的)}(,),(),({\},,2,1{21k i f i f i f n i ∈,i 在121)(-⋅⋅f i i i f k 之下的像是i 本身.所以))()()(()(21121k k i f i f i f f i i i f =⋅⋅-.9.设S 是一个非空集合,”“⋅是S 上的一个代数运算,若”“⋅适合结合律,则称),(⋅S 是一个半群(或者称S 关于”“⋅构成一个半群).证明:整数集Z 关于乘法构成一个半群,但不构成一个群.证明 众所周知,Z 是非空集合,对于任意的Z ,∈b a ,总有Z ∈⋅b a ,并且整数乘法适合结合律,所以Z 关于乘法构成一个半群.其次,令1=e .于是,对于任意的Z ∈a ,总有a e a a e =⋅=⋅.但是,Z 0∈,并且不存在Z ∈b ,使得e b =⋅0.所以Z 关于乘法不构成一个群.10.设A 是一个非空集合,S 是由A 的所有子集构成的集合.则集合的并”“ 是S 上的一个代数运算.证明:),( S 是一个半群.证明 众所周知,对于任意的S Z Y X ∈,,,总有)()(Z Y X Z Y X =.这就是说,S 上的代数运算”“ 适合结合律,所以),( S 是一个半群.注 请同学们考虑如下问题:设A 是一个非空集合,S 是由A 的所有子集构成的集合.定义S 上的代数运算”“∆ (称为对称差)如下:)\()\(X Y Y X Y X =∆,S Y X ∈∀,.求证:),(∆S 是一个交换群.11.令⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Z ,,,d c b a d c b a S .证明S 关于矩阵的乘法构成一个半群. 证明 众所周知,对于任意的S C B A ∈,,,总有S AB ∈,)()(BC A C AB =.这就是说,矩阵的乘法是S 上的一个代数运算,并且适合结合律,所以S 关于矩阵的乘法构成一个半群.12.设),(⋅S 是一个半群,S e ∈称为S 的一个左(右)单位元,如果对于任意的S a ∈都有a a e =⋅(a e a =⋅).对于S a ∈,如果存在S b ∈使e a b =⋅(e b a =⋅),则称a 左(右)可逆的,b 是a 的一个左(右)逆元.假设S 有左(右)单位元e 且S 中每个元素都有关于e 的左(右)逆元.证明:),(⋅S 是一个群.证明 设a 是S 中任意一个元素.任取S b ∈,使得e b a =⋅.再任取S c ∈,使得e c b =⋅.于是,我们有c e c b a c b a e a a ⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=)()(且e c b c e b c e b a b =⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅)()(.因此a b e b a ⋅==⋅.所以e a a b a a b a a e ⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅)()(.由以上两式可知,e 是单位元,S 中每个元素a 都有逆元b .所以),(⋅S 是一个群. 对于S 有左单位元e 且S 中每个元素都有关于e 的左逆元的情形,请同学们自己证明.13．设G 是一个群,证明:111)(---=a b ab ,G b a ∈∀,.证明 对于任意的G b a ∈,,我们有e aa aea a bb a a b ab ====------111111)())((,e b b eb b b a a b ab a b ====------111111)())((.所以111)(---=a b ab ,G b a ∈∀,.16.设G 是一个群,证明:G 是交换群的充要条件是222)(b a ab =,G b a ∈∀,.证明 必要性是显然的.现在假设G 满足该条件.于是,对于任意的G b a ∈,,我们有222)(b a ab =,即aabb abab =.运用消去律(第5题)立即可得ba ab =.所以G 是交换群.17．设G 是一个群.假设对于任意的G a ∈都有e a =2,证明:G 是交换群. 证明 我们有222)(b a ee e ab ===,G b a ∈∀,.由上题知,G 是交换群.18.设G 是非空集合,”“⋅是G 上的一个代数运算且适合结合律.(1)证明:),(⋅G 是一个群当且仅当对于任意的G b a ∈,,方程b x a =⋅和b a y =⋅在G 中都有解.(2)假设G 是有限集,证明:),(⋅G 是一个群当且仅当”“⋅适合消去律.证明 (1)当),(⋅G 是一个群时,显然,对于任意的G b a ∈,,b a x ⋅=-1是方程b x a =⋅的解,1-⋅=a b y 是方程b a y =⋅的解.现在假设对于任意的G b a ∈,,方程b x a =⋅,b a y =⋅在G 中都有解.任取G a ∈,考察方程a x a =⋅.根据假设,方程a x a =⋅有解G e x ∈=.设b 是G 中任意一个元素,考察方程b a y =⋅.根据假设,方程b a y =⋅有解G c y ∈=.于是,我们有b ac e a c e a c e b =⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅)()(.由于G b ∈的任意性,上式表明e 是半群),(⋅G 的一个右单位元.再考察方程e x a =⋅.根据假设,方程e x a =⋅有解G d ∈.由于G a ∈的任意性,这表明G 中每个元素关于右单位元e 都有右逆元.所以),(⋅G 是一个群.(2)当),(⋅G 是一个群时,根据第5题,”“⋅适合消去律.现在假设},,,{21n a a a G =,并且”“⋅适合消去律.任取},,2,1{,n k i ∈,考察方程k i a x a =⋅.由于”“⋅适合左消去律,因此k a 必出现于乘法表的第i 行中.这就意味着存在},,2,1{n j ∈,使得k j i a a a =⋅,从而方程k i a x a =⋅在G 中有解.同理,由于”“⋅适合右消去律,方程k i a a y =⋅在G 中有解.这样一来,根据(1),),(⋅G 是一个群.19.证明命题2.8中的表示法在不计循环置换的顺序的意义下是唯一的.注注 宜将这道题表述成“证明:在不计循环置换的顺序的意义下,在用命题2.8中的证明中所说的方法将一个置换n S f ∈表示成两两不相交的循环置换的乘积时,表达式是唯一的”.证明 显然,当f 是单位置换时,表达式就是f f =.不妨设f 不是单位置换,u f f f f 21=和v g g g f 21=都是在用命题2.8中的证明中所说的方法将置换n S f ∈表示成两两不相交的循环置换的乘积的表达式.于是,u f f f ,,,21 两两不相交,v g g g ,,,21 两两不相交,而且它们的阶都大于或等于2.考察任意的l f (u l ≤≤1):设)(21s l i i i f =.由u f f f f 21=和v g g g f 21=可知,存在'l (v l ≤≤'1),使得)(21't l j j j g =,},,,{211t j j j i ∈.不妨设11j i =.由u f f f f 21=和v g g g f 21=可知,t s =并且k k j i =,},,2,1{s k ∈∀,从而,'l l g f =.由于u f f f ,,,21 两两不相交,v g g g ,,,21 两两不相交,并且不计循环置换的顺序,不妨设l l g f =,},,2,1{u l ∈∀.假设v u <,则u g g g f 21=,由此可见,当v l u ≤<时,l g 必与u g g g ,,,21 中某一个相交.这与我们的假设矛盾.所以v u =.这就表明,v g g g f 21=和v g g g f 21=是同一个表达式.§3 子 群1.设)(P n GL G =是数域P 上的n 级一般线性群,H 是G 的由全体n 阶可逆的对角矩阵组成的子集,证明:H 是G 的子群.证明 众所周知,H 非空,并且有H A AB ∈-1,,H B A ∈∀,,其中AB 表示矩阵A 与矩阵B 的乘积,1-A 表示矩阵A 的逆矩阵.所以H 是G 的子群.2.设G 是一个群,H 是G 的非空子集,证明:H 是G 的子群的充分必要条件是H ab ∈-1,H b a ∈∀,.证明 由定理3.3可知,当H 是G 的子群时,H 满足条件. 假设H 满足条件.对于任意的H b a ∈,,我们有H aa e ∈=-1.因为H 满足条件,由H b a e ∈,,可知,H ea a ∈=--11,H eb b ∈=--11.因为H 满足条件,由H b a ∈-1,可知11)(--=b a ab .总而言之 对于任意的H b a ∈,,我们有H a ab ∈-1,.根据定理3.3,H 是G 的子群.3.设H 是群G 的子群,G a ∈,证明:}|{11H h aha aHa ∈=--也是G 的子群(称为H 的一个共轭子群).证明 显然,1-aHa 是G 的非空子集.设121,-∈aHa b b .于是,存在H h h ∈21,,使得111-=a ah b ,121-=a ah b .因此11211121))((----=a ah a ah b b 1112111211)(------∈==aHa a h h a a ah a ah . 所以1-aHa 是G 的子群.4.设G 是交换群,0>n 为整数,令}|{e a G a H n =∈=,证明:H 是G 的子群. 证明 显然H e ∈.若H b a ∈,,则e ee b a ab n n n ===--11)()(,从而,H ab ∈-1.由此可见,H 是G 的子群.5.设G 是交换群,证明:G 的所有阶为有限的元素构成的集合是G 的子群. 证明 令H 表示G 的所有阶为有限的元素构成的集合.显然H e ∈.设H b a ∈,,其中m a =||,n b =||.于是,e ee b a ab m n n m m n ===--)()()(1,从而,H ab ∈-1.由此可见,H 是G 的子群.6.设G 是群,G b a ∈,,证明:a 与1-bab 具有相同的阶.证明 显然,对于任意的正整数n ,11)(--=b ba bab n n ,从而,e bab e b ba e a n n n =⇔=⇔=--)(11.由此可见,a 与1-bab 具有相同的阶.7.设)(21k i i i a =是循环置换,求a 的阶.解 当1=k 时,显然,)1(=a ,k a =||.当1>k 时,我们有11(+=j i i i a )1()1≠-j i ,}1,,2,1{-∈∀k j ,)1(=k a ,从而,k a =||.8.设群G 的除单位元外的每个元素的阶都为2,证明:G 是交换群. 证明 参看§2习题第17题.17．设G 是一个群.假设对于任意的G a ∈都有e a =2,证明:G 是交换群. 证明 我们有222)(b a ee e ab ===,G b a ∈∀,.由上题知,G 是交换群.9.设G 是群,G b a ∈,,证明:ab 与ba 具有相同的阶.证明 注意到111))((---=a ab a ba ,根据第6题的结论,ab 与ba 具有相同的阶.10.设G 是群,G b a ∈,,ba ab =.假设a 的阶与b 的阶互素,证明:||||||b a ab =.证明 令m a =||,n b =||,k ab =||.由于e e e b a ab m n m n n m m n ===)()()(,根据命题3.12可以断言mn k |.其次,我们有kn kn k n kn kn kn kn a e a b a b a ab e =====)()(,从而,根据命题 3.12,kn m |.因为m 与n 互素,由kn m |可知k m |.同理可知,k n |.由于m 与n 互素,因此k mn |.所以mn k =,即||||||b a ab =.11.设Z 是整数集关于加法构成的群,H 是Z 的子群,证明:存在H n ∈使〉〈=n H .证明 众所周知,H ∈0.当}0{=H 时,显然〉〈=0H .现在假设}0{≠H .于是,存在H m ∈使0≠m .这时H m ∈-,并且,在m 和m -中,一个是正数,另一个是负数.令n 表示H 中的最小正数.显然,我们有H qn ∈,Z ∈∀q .现在考察任意的H m ∈:众所周知,存在整数q 和r ,使得r qn m +=,n r <≤0.于是,H qn m r ∈-=.由于令n 是H 中的最小正数,必有0=r ,从而,qn m =.上述表明}|{Z ∈=q qn H .所以〉〈=n H . 12.设G 是一个群,1H ,2H 都是G 的子群.假设1H 不包含于2H 且2H 不包含于1H ,证明:21H H 不是G 的子群.证明 由于1H 不包含于2H 且2H 不包含于1H ,是G 的子群,因此存在21\H H a ∈且存在12\H H b ∈.于是,21,H H b a ∈.假设1H ab ∈,则11)(H ab a b ∈=-,矛盾.因此1H ab ∉.同理,2H ab ∉.这样一来,21H H ab ∉.所以21H H 不是G 的子群.13.设G 是一个群, ⊆⊆⊆⊆n G G G 21是G 的一个子群链,证明:nn G ∞=1 是G 的子群.证明 设n n G b a ∞=∈1, .于是,存在正整数i 和j 使得i G a ∈,j G b ∈.令},max{j i k =.k G b a ∈,.由于k G 是G 的子群,因此k G ab ∈-1,从而,n n G ab ∞=-∈11 .所以n n G ∞=1 是G 的子群.14.证明:)}1()31(),12{(n (2≥n )是n S 的一个生成集.证明 考察任意的对换n S j i ∈)(:若1=i 或1=j ,则)}1()31(),12{()(n j i ∈.若1≠i 且1≠j ,则)1()1()1()(i j i j i =.这就是说,对于每一个对换n S j i ∈)(,要么它本身属于)}1()31(),12{(n ,要么它可以表示成)}1()31(),12{(n 中的一些对换的乘积.这样一来,根据推论2.10可以断言,每一个n S f ∈可以表示成)}1()31(),12{(n 中的一些对换的乘积.由此可见,〉〈⊆)1()31(),12(n S n ,从而,〉〈=)1()31(),12(n S n .§4 循环群1.证明:循环群是交换群.证明 设〉〈=a G 是一个循环群.于是,}|{Z ∈=n a G n (参看课本第12页倒数第4行).众所周知,m n n m n m a a a a a ==+,Z ∈∀n m ,.所以G 是交换群.2.设G 是一个群,G a ∈.假设a 的阶为n ,证明:对任意整数r ,有),(||n r n a r =. 证明 令〉〈=a H .由于n a =||,根据命题 3.10,H 是有限循环群.根据命题4.2,),(||n r n a r =.3.设〉〈=a G 是一个n 阶循环群,r 是任意整数,证明:r a 与),(n r a 具有相同的阶且〉〈=〉〈),(n r r a a .证明 根据命题4.2,我们有||),()),,((||),(r n r a n r n n n r n a ===. 根据命题 3.10,〉〈r a 和〉〈),(n r a 都是G 的),(n r n 阶子群.显然,),(n r r a a 〈∈,从而, 〉〈⊆〉〈),(n r r a a .由此可见,〉〈=〉〈),(n r r a a .4.设〉〈=a G 是一个n 阶循环群,证明:G a r =〉〈当且仅当1),(=n r .证明 根据命题4.2,我们有G a r =〉〈n a r =⇔||n n r n =⇔),(1),(=⇔n r . 5.设〉〈=a G 是循环群,〉〈=s a H 和〉〈=t a K 是G 的两个子群,证明:〉〈=],[t s a K H .证明 显然K H a t s ∈],[,从而,K H a t s ⊆〉〈],[. 为了证明〉〈=],[t s a K H ,现在只需证明〉〈⊆],[t s a K H .考察任意的K H x ∈:当x 为G 的单位元e 时,显然〉〈∈],[t s a x .不妨假定e x ≠.于是,由H x ∈知,存在Z ∈i ,使得is a x =;由K x ∈知,存在Z ∈j ,使得jt a x =.因为e x ≠,所以0≠st .众所周知,1)),(,),((=t s t t s s , 从而,存在Z ,∈v u ,使得1),(),(=+t s vt t s us . 于是,我们有),(),(),(),(),(),()()(t s vtis t s usjt t s vtt s ust s vt t s us a a x x x x ===+〉〈∈==+],[],)[(],[],[t s t s iv ju n t s niv t s nju a a a a ,其中,当0≥st 时1=n ,当0<st 时1-=n .综上所述,对于任意的K H x ∈,总有〉〈∈],[t s a x .所以〉〈⊆],[t s a K H .6.设〉〈=a G 是n 阶循环群,〉〈=s a H 和〉〈=t a K 是G 的两个子群,证明:K H =的充要条件是),(),(n t n s =.证明 假设K H =.根据命题4.2,我们有),(||||),(n t n a a n s n t s ===, 从而,),(),(n t n s =.假设),(),(n t n s =.于是,),(),(n t n s a a =,从而,〉〈=〉〈),(),(n t n s a a .这样根据第3题的结论可以断言,〉〈=〉〈t s a a ,即K H =.7.设G 是无限循环群,证明:G 有且仅有两个生成元.证明 由于G 是无限循环群,不妨设a 是G 的一个生成元.于是,1-a 也是G 的一个生成元,并且a a ≠-1.这就是说,G 有两个不同的生成元.其次,假设b 是G 的任意一个生成元.由于〉〈=a G ,因此存在Z ∈n ,使得n a b =.由于〉〈=b G 且G a ∈,因此存在Z ∈k ,使得nk k a b a ==.由此可见,1±=n ,即a b =或1-=a b .所以G 有且仅有两个生成元.8.设〉〈=a G 是无限循环群,〉〈=s a H 和〉〈=t a K 是G 的两个子群,证明:K H =的充要条件是t s ±=.证明 当t s ±=时,显然K H =.假设K H =.显然,当}{e H =时,0==t s ,从而,t s ±=.不妨假定}{e H ≠.于是0≠s .由K a s ∈可知,存在Z ∈i ,使得it s =;由H a t ∈可知,存在Z ∈j ,使得js t =.因此ijs s =.由于0≠s ,由ijs s =可知1=ij ,从而,1±=i .所以t s ±=.§5 正规子群与商群1.证明:循环群的商群也是循环群.证明 设〉〈=a G 是循环群,H 是G 的子群.于是,我们有〉〈=∈=∈=aH n aH n H a H G n n }Z |){(}Z |{/.这就表明,H G /是循环群.2.设G 是群,i N ,I i ∈,是G 的一族正规子群,证明:i I i N ∈ 也是G 的正规子群.证明 众所周知,i I i N ∈ 是G 的正规子群.显然,我们有a N a N aN N a i I i i I i i I i i I i )()()()(∈∈∈∈=== ,G a ∈∀.所以i I i N ∈ 也是G 的正规子群.3.设1N ,2N 是群G 的正规子群且}{21e N N = ,证明:对于任意的1N a ∈,2N b ∈,都有ba ab =.证明 对于任意的1N a ∈,2N b ∈,由于1N 是群G 的正规子群,根据命题5.11我们有111N b ba ∈--,从而,111N b aba ∈--;由于2N 是群G 的正规子群,根据命题5.11我们有21N aba ∈-,从而,211N b aba ∈-=.因此2111N N b aba ∈--,从而,e b aba =--11.由此可见ba ab =.4.设H 是群G 的子群且2]:[=H G ,证明:H 是G 的正规子群.证明 我们已经知道,H Ha H a H aH =⇔∈⇔=,G a ∈∀.任意给定G a ∈.当H a ∈时,Ha H aH ==.当H a ∉时,Ha H aH H =∅=,并且,由2]:[=H G 可知,Ha H G aH H ==.由此可见Ha aH =.所以H 是G 的正规子群.5.设H 是群G 的有限子群,n H =||.假设G 只有一个阶为n 的子群,证明:H 是G 的正规子群.证明 任取G a ∈,考察1-aHa :由§3习题第3题知,1-aHa 是G 的子群.定义H 到1-aHa 的映射ϕ如下:1)(-=axa x ϕ,H x ∈∀.显然ϕ是双射.因此n aHa =-||1.由于G 只有一个阶为n 的子群,因此H aHa =-1.这样一来,由于a 的任意性,根据命题5.11可以断言,H 是G 的正规子群.6.设G 是群,H 和K 是G 的子群,(1)证明:HK 是G 的子群KH HK =⇔.(2)假设H 是G 的正规子群,证明:HK 是G 的子群.(3)假设H 和K 都是G 的正规子群,证明:HK 是G 的正规子群.证明 (1)假设HK 是G 的子群.于是,对于任意的G a ∈,我们有HK a ∈HK a ∈⇔-1⇔存在H h ∈和K k ∈,使得hk a =-1⇔存在H h ∈和K k ∈,11--=h k aKH a ∈⇔.所以KH HK =.假设KH HK =.为了证明HK 是G 的子群,任意给定HK b a ∈,.于是,存在H h h ∈21,和K k k ∈21,,使得11k h a =,22k h b =.因此121211122111))(())((----==h k k h k h k h ab .由于KH HK k k h =∈-)(1211,因此存在H h ∈3和K k ∈3,使得331211)(h k k k h =-,从而, HK KH h h k h h k h k k h ab =∈===-=---)()())((123312331212111.这样一来,由于HK b a ∈,的任意性,我们断言:HK 是G 的子群.(2)由于H 是G 的正规子群,我们有 KH kH Hk HK K k K k ===∈∈ .这样,根据(1),HK 是G 的子群.(3)根据(2),HK 是G 的子群.此外,还有a HK Ka H aK H K Ha K aH HK a )()()()()()(=====,G a ∈∀.所以HK 是G 的正规子群.7.设G 是群,H 和K 是G 的子群且H K ⊆,证明:]:][:[]:[K H H G K G =.注 证明这道题时还要用到如下约定:∞=∞⋅∞=⋅∞=∞⋅n n ,N ∈∀n .此外,这道题与§7中的Lagrange 定理类似,而且其证明难度不亚于Lagrange 定理的证明难度,因此安排在这里不太合适.证明 首先,由于K 是H 的子群,因此G a aH aK ∈∀⊆,.由此可见,当∞=]:[H G 时,∞=]:[K G ,从而,]:][:[]:[K H H G K G =.其次,由于}|{}|{G a aK H h hK ∈⊆∈,因此当∞=]:[K H 时,∞=]:[K G ,从而]:][:[]:[K H H G K G =.现在假设∞<]:[H G 且∞<]:[K H .令m H G =]:[,n K H =]:[.由m H G =]:[知,存在G a a a m ∈,,,21 ,使得H a G r mr 1== ,其中诸H a r 两两不相交.由n K H =]:[知,存在H b b b n ∈,,,21 ,使得K b H s ns 1== ,其中诸K b s 两两不相交.这样一来,我们有K b a K b a G s r n s m r s n s r mr )()(1111====== .)(*现在我们来阐明上式中的诸K b a s r )(两两不相交.为此,设},,2,1{',m r r ∈,},,2,1{',n s s ∈,我们来比较K b a s r )(与K b a s r )(''.当'r r ≠时,由于H K b s ⊆,H K b s ⊆',因此∅=⊆H a H a K b a K b a r r s r s r ''')()( ,从而,∅=K b a K b a s r s r )()('' ,即K b a s r )(与K b a s r )(''不相交.当'r r =且's s ≠时,∅=K b K b s s ' ,从而,K b a K b a K b a K b a s r s r s r s r )()()()(''''' =∅=∅==''')(r s s r a K b K b a ,即K b a s r )('与K b a s r )(''不相交.所以)(*式中的诸K b a s r )(两两不相交.这样一来,根据)(*式可以断言,mn K G =]:[,即]:][:[]:[K H H G K G =.8.设H 是群G 的子群,假设H 的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集,证明:H 是G 的正规子群.证明 任取G a ∈.由于H 是H 的左陪集,因此存在H 的左陪集bH ,使得bH aH H H Ha ==)()(,由此可见,bH Ha ⊆,bH a ∈,从而bH aH =.所以aH Ha ⊆.由于a 的任意性,根据上式我们又可以断言,H a Ha 11--⊆.将上式两边左乘a ,右乘a ,得Ha aH ⊆.所以Ha aH =.由于a 的任意性,这就意味着H 是G 的正规子群.§6 群的同构与同态1.设f 是群1G 到群2G 的同构,g 是群2G 到群3G 的同构,证明:1-f 是群2G 到群1G 的同构;gf 是群1G 到群3G 的同构.证明 众所周知,1-f 是2G 到1G 的双射.其次,又因f 保持乘法运算,故对于任意的2','G b a ∈总有''))'())'(())'()'((11b a b f f a f f b f a f f ==----,从而,)'()'()''(111b f a f b a f ---=.所以1-f 是群2G 到群1G 的同构.众所周知,gf 是1G 到3G 的双射.又因f 和g 都保持乘法运算,故对于任意的1,G b a ∈总有))()()(())(())(())()(())(())((b gf a gf b f g a f g b f a f g ab f g ab gf ====. 所以gf 是群1G 到群3G 的同构.2.设H 是群G 的子群,1-aHa 是H 的共轭子群,证明:1-aHa 与H 同构. 证明 定义H 到1-aHa 的映射f 如下:1)(-=axa x f ,H x ∈∀.直接从f 的定义可以明白,f 是满射.利用消去律容易推知,f 是单射.因此f 是双射.其次,对于任意的H y x ∈,总有)()())(()()(111y f x f aya axa a xy a xy f ===---.所以f 是群H 到群1-aHa 的同构,从而,H aHa ≅-1.3.设f 是群G 到群'G 的同构,证明:对于任意的G a ∈,|)(|||a f a =.举例说明,若f 是群G 到群'G 的同态,则a 的阶与)(a f 的阶不一定相同.证明 将群G 和群'G 的单位元分别记做e 和'e .注意到根据命题6.5,我们可以断言:对于任意的正整数n ,我们有')(')(e a f e a f e a n n n =⇔=⇔=.由此可见,|)(|||a f a =.假设2||≥G ,}{'e G =,其中e 为G 的单位元,f 为G 到'G 的映射.则f 是G 到'G 的同态.任取G a ∈,使得e a ≠,则0||>a ,1|||)(|==e a f ,从而,|)(|||a f a ≠.4.分别建立HN 到)/(N H H 和G 到)//()/(N H N G 的同态来证明定理6.11.注 定理6.11的内容如下:设G 是一个群,N 是G 的正规子群.(1)若H 是G 的子群,则N HN N H H /)()/(≅ ;(2)若H 是G 的正规子群且N H ⊇,则H G N H N G /)//()/(≅. 证明 (1)设H 是G 的子群.显然,N H 是H 的正规子群;N 是HN 的正规子群.考察任意的HN a ∈:假设332211h n n h n h a ===,其中,H h h ∈21,,N n n ∈21,.则11221-=n n h h ,从而,N H n n h h ∈=--121211.因此 )()(21N G h N H h =.这样一来,我们可以定义HN 到)/(N H H 的映射f 如下:对于任意的HN a ∈,)()(N H h a f =,若hn a =,其中H h ∈,N n ∈.由HN H ⊆可知,f 是满射.任意给定HN b a ∈,.不妨设11n h a =,22n h b =.由于HN 是G 的子群,因此HN ab ∈,从而,存在H h ∈3和N n ∈3,使得332211n h n h n h ab ==.因此)()(3N H h ab f =.另一方面,我们有)())())((()()(2121N H h h N H h N H h b f a f ==.注意到N 是G 的正规子群和命题5.11,易知N H h n h n n h h h h h ∈=-----111112123211321)))((()(,从而,)()(321N H h N H h h =,即)()()(b f a f ab f =.所以f 是HN 到)/(N H H 的满同态.最后,对于任意hn a =(H h ∈,N n ∈),我们有N a N h N H h N H N H h f a ∈⇔∈⇔∈⇔=⇔∈ )()(Ker . 因此N f =)(Ker .这样一来,根据群的同态基本定理,N HN N H H /)()/(≅ .(2)设H 是G 的正规子群且N H ⊇.显然,N H /是N G /的正规子群.定义G 到)//()/(N H N G 的映射f 如下:)/)(()(N H aN a f =,G a ∈∀.显而易见,f 是满射.由于N H /是N G /的正规子群,因此对于任意的G b a ∈,,总有)/)(/)()(()/)(()(N H N H bN aN N H abN ab f ==)()()/)()(/)((b f a f N H bN N H aN ==.因此f 是G 到)//()/(N H N G 的满同态.其次,对于任意的G a ∈,我们有N H aN N H N H aN f a //)/)(()(Ker ∈⇔=⇔∈hN aN H h =∈⇔使得存在,H a ∈⇔.因此H f =)(Ker .这样一来,根据群的同态基本定理,H G N H N G /)//()/(≅.5.设G 是群,1G ,2G 是G 的有限子群,证明:||||||||212121G G G G G G =. 注 与§5习题中第8题类似,这道题也宜安排在§7习题中.证明 令21G G H =.于是,H 既是1G 的子群,又是2G 的子群.设m H G =]:[1.则有)(11H c G j mj == ,(*)其中1G c j ∈,m j ≤≤1.显然,诸H c j 两两不相交;有且仅有一个},,2,1{m j ∈,使得H c j ∈;并且||||211G G G m =. 由于2G H ⊆,因此22G HG =.这样,由(*)式可以推得)())(())((21212121G c HG c G H c G G j m j j m j j m j ====== .(**)对于任意的},,2,1{,m j i ∈,考察2G c i 与2G c j :若22G c G c j i =,则21G c c i j ∈-,从而, H G G c c i j =∈-211 .由此可得,H c H c j i =,从而,j i =.这就表明,诸2G c j 两两不相交. 这样一来,由(**)式可以知,||||||||||2121221G G G G G m G G =⋅=. 6.设G 是群,证明: G G →1-a a是群G 到群G 的同构的充分必要条件是G 为交换群.如果G 是交换群,证明:对于任意的Z ∈k ,G G →k a a是一个同态.证明 将G 到自身的映射G G →1-a a记做f .显然f 是双射.于是,f 是群G 到群G 的同构)()()(b f a f ab f =⇔,G b a ∈∀,,即111)(---=b a ab ,G b a ∈∀, 11)()(--=⇔ba ab ,G b a ∈∀,ba ab =⇔,G b a ∈∀,是交换群G ⇔.假设G 是交换群,Z ∈k .将G 到自身的映射G G →k a a记做g .于是,我们有)()()()(b g a g b a ab ab g k k k ===,G b a ∈∀,.所以g 是一个同态.7.设f 是群G 到群'G 的满同态,'H 是'G 的正规子群,证明:'/')'(/1H G H f G ≅-.证明 由于'H 是'G 的正规子群,根据定理6.7,)'(1H f -是G 的正规子群.现在定义G 到'/'H G 的映射g 如下:')()(H a f a g =.由f 是群G 到群'G 的满同态可知g 是G 到'/'H G 的满射.其次,注意到'H 是'G 的正规子群,对于任意的G b a ∈,,有)()()')()(')(('')()(')()(b g a g H b f H a f H H b f a f H ab f ab g ====. 所以g 是G 到'/'H G 的满同态.最后,对于任意的G a ∈,我们有)'(')('')()(Ker 1H f a H a f H H a f g a -∈⇔∈⇔=⇔∈.因此)'()(Ker 1H f g -=.这样一来,根据群的同态基本定理,'/')'(/1H G H f G ≅-.8.设G 是群,1G ,2G 是G 的正规子群.假设21G G G =且}{21e G G = (此时称G 是1G 和2G 的内直积),证明:21G G G ⨯≅.证明 定义21G G ⨯到G 的映射f 如下:ab b a f =)),((,21),(G G b a ⨯∈∀.由21G G G =可知,f 是满射.现在设212211),(),,(G G b a b a ⨯∈,并且)),(()),((2211b a f b a f =.于是,2211b a b a =,从而,11112112G G b b a a ∈=--,从而,e b b a a ==--112112.这意味着21a a =且21b b =,即),(),(2211b a b a =.由此可见,f 是单射,从而,f 是双射. 对于任意的212211),(),,(G G b a b a ⨯∈,我们有))(()),(()),)(,((212121212211b b a a b b a a f b a b a f ==,))(()),(()),((22112211b a b a b a f b a f =.由于1G ,2G 是G 的正规子群且}{21e G G = ,由§5习题第3题可知,))(())((22112121b a b a b b a a =.因此)),(()),(()),)(,((22112211b a f b a f b a b a f =,从而,f 是群21G G ⨯到群G 的同构.所以21G G G ⨯≅.9.设1G ,2G 是群,证明:1221G G G G ⨯≅⨯.证明 定义21G G ⨯到12G G ⨯的映射f 如下:),()),((a b b a f =,21),(G G b a ⨯∈∀.显然,f 是双射.其次,对于任意的212211),(),,(G G b a b a ⨯∈,我们有),()),(()),)(,((212121212211a a b b b b a a f b a b a f ==,)),(()),((),)(,(),(221122112121b a f b a f a b a b a a b b ===.所以f 是群21G G ⨯到群12G G ⨯的同构,从而,1221G G G G ⨯≅⨯.10.设q p ,是不同的素数,证明:q p pq Z Z Z ⊕≅.证明 对于任意的Z ∈i 和任意的N ∈n ,将以i 为代表元的模n 同余类记做n i ][.于是,对于任意的Z ∈j i ,,注意到q p ,是不同的素数,我们有q q p p pq pq j i j i j i q j i p j i pq j i ][][][][)(|)(|)(|][][==⇔--⇔-⇔=且且. 这样一来,我们可以定义pq Z 到q p Z Z ⊕的映射f 如下:)][,]([)]([q p pq i i i f =,pq pq i Z ∈∀][.考察映射f :设pq pq pq j i Z ∈][,][且)]([)]([pq pq j f i f =.则)][,]([)][,]([q p q p j j i i =,即p p j i ][][=且q q j i ][][=,从而,pq pq j i ][][=.因此f 是单射.其次,显然 ||||q p pq Z Z Z ⊕=.因此f 是双射.最后,对于任意的pq pq pq j i Z ][,][∈,我们有)][,]([)]([)][]([q p pq pq pq j i j i j i f j i f ++=+=+,)][,][()][,]([)][][,][]([q p q p q q p p j j i i j i j i +=++=)]([)]([pq pq j f i f +=.所以f 是群pq Z 到群q p Z Z ⊕的同构,从而,q p pq Z Z Z ⊕≅.§7 有限群1.设G 是群,H 是G 的正规子群,n H G =]:[,证明:对于任意的G a ∈都有H a n ∈.证明 由于n H G =]:[,因此n H G =|/|.根据推论7.2,对于任意的G a ∈,商群H G /中元素aH 的阶整除n .因此H aH H a n n ==)(,从而,H a n ∈.2.设G 和'G 分别是阶为m 和n 的有限循环群,证明:存在G 到'G 的满同态的充要条件是m n |.证明 假设f 是G 到'G 的满同态.根据群的同态基本定理,')(Ker /G f G ≅.根据Lagrange 定理,我们有|)(||)(Ker ||'||)(Ker |)](Ker :[f Ker n f G f f G m =⋅=⋅=,从而,m n |.假设m n |.令〉〈=a G ,〉〈=n a N .于是,N 是G 的正规子群,nm N =||,N G /是n 元循环群.显然,'/G N G ≅.设f 是N G /到'G 的同构,f 是G 到N G /的自然同态.则gf 是G 到'G 的满同态.3.设G 是有限群,p 为素数,1≥r .如果|||G p r ,证明:G 一定有阶为r p 的子群.注 我们介绍过Sylow 定理的如下形式:设G 是n 阶有限群,其中,m p n r =,p 是素数,r 是非负整数,m 是正整数,并且1),(=m p .那么,对于任意的},,1,0{r k ∈,G 有k p 阶子群.显而易见,这道题已经包含在Sylow 定理中.这是因为: 由|||G p r 知,存在正整数s 和m ,使得m p n s =,其中1),(=m p .于是,s r ≤.根据Sylow 定理,G 有r p 阶子群.下面我们采用证明Sylow 定理的方法给出这道题的直接证明.证明 假设|||G p r .则存在正整数s 和m ,使得m p n s =,其中1),(=m p .显然,s r ≤.根据Sylow 定理,存在G 的子群H 使s p H =||.现在只需证明H 一定有阶为r p 的子群.为此,对s 施行第二数学归纳法.当1=s 时,显然结论成立.假设t 是整数,并且当t s ≤时,对于任意的正整数s r ≤,H 有r p 阶子群.下面我们来阐明:当1+=t s 时,对于任意的正整数s r ≤,H 有r p 阶子群.事实上,由1||+=t p H 可知,对于H 的每个真子群'H ,都有]':[|H H p .由群G 的类方程∑∈+=C H a a N H C H \]:[||||(其中C 为群H 的中心)立即可知|||C p .由于C 是交换群,根据引理7.4,存在C c ∈,使得p c =||.由C c ∈可知,〉〈c 是H 的正规子群.令〉〈=c H H /'.则t p c H H =〉〈=|||||'|. 根据归纳假设,对于任意的正整数r ,'H 有1-r p 阶子群'K .根据命题5.13,存在H的子群K ,使得K c ⊆〉〈且〉〈=c K H /',从而,r r p p p c K c H =⋅=〉〈⋅〉〈=-1|/||||'|.4.设G 是有限群,p 为素数,如果G 的每个元素的阶都是p 的方幂,则称G 是p -群.证明:G 是p -群||G ⇔是p 的一个幂.证明 显然,当||G 是p 的一个幂时,G 是p -群.现在假设||G 不是p 的一个幂.于是,存在素数p q ≠,使的m q G r =||,其中1),(=m q ,1≥r .根据Sylow 定理,G 有r q 阶子群H .所以G 不是p -群.5.证明:阶小于或等于5的群都是交换群.证明 显然1阶群是交换群.由推论7.2立即可知,2阶群、3阶群和5阶群都是循环群,因而都是交换群.设G 是4阶群.根据推论7.2,G 中元素的阶只能是1,2或4.当G 中有4阶元素时,G 是循环群,因而是交换群.当G 中有4阶元素时,G 中的元素,除单位元外,都是2阶元素.不妨设},,,{c b a e G =.容易验证,G 就是Klein 四元群,因而是交换群.6.设G 是群,1G ,2G 是G 的有限子群,假设1|))||,(|21=G G ,证明:||||||2121G G G G =.证明 由于21G G 既1G 的子群,又是2G 的子群,根据推论7.2,||21G G 是||1G 与||2G 的公约数.因为1|))||,(|21=G G ,所以1||21=G G .这样一来,根据§6习题第5题,我们有||||||||||||21212121G G G G G G G G == .第二章 环 论§1 环的概念1.证明:命题1.3的(5)-(7).注 命题1.3的(5)-(7)的原文如下:(设R 是一个环,则)(5)j n i mj i m j j n i i b a b a ∑∑∑∑=====1111)()(;(6))()()(ab n nb a b na ==,其中n 为整数;(7)若R 是交换环,则k k n n k k n n b a C b a -=∑=+0)(, n n n b a ab =)(.显然,(5)中应加进“其中),,2,1(n i a i =和),,2,1(m j b j =为R 中的任意元素,m 和n 为任意正整数”;(6)中应加进“a 和b 为R 中的任意元素”;(7)中应加进“其中，a 和b 为R 中的任意元素,n 为任意正整数,并且约定b b a =0,a ab =0”.证明 首先,因为乘法对加法适合分配律,所以j n i mj i m j j n i i m j j n i i b a b a b a ∑∑∑∑∑∑========111111)()()(. 这就是说,命题1.3(5)成立.其次,当0=n 时,根据命题 1.3(1),我们有00)(==b b na ,00)(==a nb a ,0)(0=ab ,从而,)()()(ab n nb a b na ==.当n 是正整数时,令 a a i =,b b i =,n i ,,2,1 =,则因乘法对加法适合分配律,我们有)()()(2121ab n b a b a b a b a a a b na n n =+++=+++= ,)()()(2121ab n ab ab ab b b b b a nb a n n =+++=+++= ,从而,)()()(ab n nb a b na ==.当n 是负整数时,根据命题1.3(2)和刚才证明的结论,我们有nab ab n b a n b a n b na =--=--=--=))()(()))((()))((()(,)())()(())()(()))((()(ab n ab n b a n b n a nb a =--=--=--=,从而,)()()(ab n nb a b na ==.这就是说,命题1.3(6)成立.最后,假定R 是交换环.我们用数学归纳法来证明等式k k n n k k n n b a C b a -=∑=+0)((*)成立.事实上,当1=n 时,显然(*)式成立.假设当r n =r (为某个正整数)时,(*)式成立. 当1+=r n 时,我们有k k r rk k r r n b a C b a b a b a b a -=∑+=++=+0)())(()(k k r r k k r k k r r k k r b a C b b a C a -=-=∑∑+=001110)1(11++--=-+=++++=∑∑r k k r r k k r k k r r k k r r b b a C b a C a1)1(11)1(11+-+=--+=++++=∑∑r k k r r k k r k k r r k k r r b b a C b a C a1)1(111)(+-+=-++++=∑r k k r r k k r k r r b b a C C a1)1(111+-+=++++=∑r k k r r k k r r b b a C ak k r r k k r b a C -++=+∑=)1(101k k n n k k n b a C -=∑=0. 所以对于一切正整数n ,(*)式成立.此外,由于乘法适合结合律和交换律,由第一章的§1知,n n n b a ab =)(.2．令}Z ,|2{]2[Z ∈+=b a b a ,证明]2[Z 关于实数的加法和乘法构成一个环.证明 显然,)],2[Z (+是一个交换群;)],2[Z (⋅是一个半群(也就是说,乘法适合结合律);乘法对加法适合分配律.所以),],2[Z (⋅+是一个环.(验证过程从略.)3.设R 是闭区间],[b a 上的所有连续实函数构成的集合.对于任意的R g f ∈,,定义)()())((x g x f x g f +=+,)()())((x g x f x g f =⋅,],[b a x ∈∀.证明:R 关于这样定义的”“+和”“⋅构成一个环. 证明 简单的数学分析知识告诉我们,),(+R 是一个交换群;),(⋅R 是一个半群(也就是说,乘法”“⋅适合结合律);乘法”“⋅对加法”“+适合分配律.所以),,(⋅+R 是一个环.4.设R 是有单位元1的环,n 是正整数.形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n a a a a a a a a a 2122221141211,其中R a ij ∈,n j i ,,2,1, =, 的表格称为环R 上的n n ⨯矩阵(或n 阶方阵).令)(R M n 是环R 上的所有n n ⨯矩阵构成的集合.完全类似于数域上矩阵,可以定义环上的矩阵的加法和乘法,证明:)(R M n 关于矩阵的加法和乘法构成一个环.记)(R M n 中单位矩阵为n I .对)(R M A n ∈,如果存在)(R M B n ∈,使得n I BA AB ==,则称A 是可逆的,称B 是A 的一个逆矩阵,证明:若A 可逆,则其逆是唯一的,记A 的逆矩阵为1-A .证明 完全类似于数域上矩阵,容易验证)(R M n 上的加法适合结合律和交换律(从略).令n O 表示所有元素都为R 的零元的n 阶方阵;对于任意的)(R M A n ∈,将A 中每个元素都代之以其负元而得到矩阵记做A -.显而易见,对于任意的)(R M A n ∈,有A O A n =+,n O A A =-+)(.所以)(R M n 关于矩阵加法交换群.完全类似于数域上矩阵,容易验证:)(R M n 上的乘法适合结合律,并且对)(R M n 上的加法适合分配律(从略).所以)(R M n 关于矩阵的加法和乘法构成一个环.假设)(R M A n ∈是任意一个可逆矩阵,并且矩阵B 和C 都是A 的逆矩阵.则矩阵n I AC AB ==,从而,C C I C BA AC B BI B n n =====)()(.这就表明A 的逆矩阵是唯一的.5.设R 是一个环,假设),(+R 是一个循环群,证明:R 是交换环.证明 设a 是循环群),(+R 的一个生成元.于是,对于任意的R y x ∈,,存在Z ,∈n m ,使得ma x =,na y =,从而,根据命题1.3(6),yx ma na ma n a a mn a na m a na ma xy ======))(())(()))(())(())((.。
孟道骥《高等代数与解析几何》(第3版)(上册)课后习题(含考研真题)详解-多项式(圣才出品)
1.2 课后习题详解第1节数域1．举出对加法、乘法及除法封闭但对减法不封闭的例子．解：集合Q＋＝{a∈Q|a＞0}对加法、乘法及除法封闭但是对减法不封闭．2．举出对加法、减法封闭，但对乘法不封闭的例子．解：集合对加法、减法都封闭，但是对乘法不封闭．3．举出对加法、减法都不封闭，但对乘法封闭的例子．解：集合与集合{m|p∤m，p素数}对加法、减法都是不封闭的，但是对乘法封闭．4．试证C的子集P若对减法封闭，则必对加法封闭．证：可设P≠∅，于是有a∈P，因此a－a＝0∈P．又因为0－a＝－a∈P，若有b∈P，则必有a＋b＝b＋a＝b－(－a)∈P．故P若对减法封闭，则必对加法封闭．5．试证C的子集P若对除法封闭，则必对乘法封闭．证：设P≠∅，P≠{0}，于是有a∈P，a≠0，因此a÷a＝1∈P．又因为，故若b∈P成立，则有ab＝ba＝b÷a-1∈P．因此P若对除法封闭，则必对乘法封闭．6．令试证是一个数域．证：由题目易知，则有即对加法和减法都封闭．又因为则对乘法封闭．下面需证明对除法是封闭的．由于对乘法封闭，故只需证明下面结论：，则成立．下面分为三种情形讨论：（1）b＝c＝0，此时d＝a≠0，．（2）c＝0，b≠0，此时可设，于是，且a3＋5≠0．因此．（3）c≠0，此时可设，于是因此有由情形（2）及乘法的封闭性可知．故是数域．第2节一元多项式1．设P是数域．f(x)，g(x)，h(x)∈P[x]，且f(x)＋g(x)＝f(x)＋h(x)．试证g(x)＝h(x)．证：由题意知f(x)＋g(x)＝f(x)＋h(x)，于是有故结论成立．2．设f(x)，g(x)，h(x)∈P[x]，且f(x)≠0，f(x)g(x)＝f(x)h(x)．试证g(x)＝h(x)．证：由题意有f(x)g(x)＝f(x)h(x)，则f(x)(g(x)－h(x))＝0，再由f(x)≠0，因此结论成立．3．设f(x)，g(x)∈P[x]，f(x)≠0，g(x)≠0，又deg(f(x)g(x))＝degg(x)．试证f(x)＝c∈P．证：因为degf(x)＋degg(x)＝deg(f(x)g(x))＝degg(x)，所以degf(x)＝0，故f(x)＝c∈P．4．设m，n∈N，f(x)∈P[x]．归纳定义f1(x)＝(f(x))1＝f(x)，f n(x)＝(f(x))n＝f(x)f n-1(x)，试证这里f0(x)，g0(x)定义为1．证：1）对m，n作双重归纳证明．由f n(x)的定义，可知对任何m有f(x)f m(x)＝f1+m(x)．现设对于n，有f n(x)f m(x)＝f n+m(x)成立，则因此结论1）成立．2）当m＝1时，结论显然成立．设m时，结论成立，于是由结论1）有则结论2）成立．3）n＝1时，结论显然成立．设n时，结论成立，于是有因此结论3）成立．4）n＝1时，结论显然成立．设n时，结论成立，于是有因此结论4）成立．第3节带余除法1．求用g(x)除f(x)的商式q(x)与余式r(x)：1）f(x)＝x3－3x2－x－1，g(x)＝3x2－2x＋1；2）f(x)＝x4－2x＋5，g(x)＝x2－x＋2．解：分别用q(x)，r(x)表示所求的商和余式．1）由则可得．2）由则可得q(x)＝x2＋x－1，r(x)＝－5x＋7．2．m，p，q适合什么条件时，有1）x2＋mx－1|x3＋px＋q；2）x2＋mx＋1|x4＋px＋q．解：1）观察两个多项式的首项与常数项．则有因此q＝m，p＝－m2－1．2）观察两个多项式的首项与常数项，于是有则有于是可得q＝m2－1，p＝m(m2－2)．。
孟道骥《高等代数与解析几何》(第3版)(上册)复习笔记-线性空间(圣才出品)
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第 4 章 线性空间
4.1 复习笔记
一、向量及其线性运算
1．向量
向量（又称矢量）是既有长度又有方向的量．
2．零向量
长度为零的向量，即始点与终点重合的向量，零向量的方向不确定，可按需要取任意方
向．
3．向量相等
如果能将向量
平行移动到向量
设
为空间一点，直线 PQ 垂直于坐标平面 XOY，
为垂足．设
OX 到 OQ 的夹角为
，OZ 到 OP 的夹角为θ（0≤θ≤π），
．
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称为点 P 的球面坐标，O 称为极点，直线 OZ 称为极轴，半平面 称为极半平面，极点，极轴与极半平面合称球面坐标系．
6．向量共线与共面
如果几个向量平行于同一直线，则称它们共线．如果几个向量平行于同一平面，则称它
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们共面．任意两个向量一定共面．
7．向量的线性运算
（1）向量与向量的加法
设α，β为空间两个向量．在空间任取一点 O，作
架（坐标系）．P 为空间一点，向量 在α，β，γ下的坐标 称为点 P 在标架
下的（仿射）坐标．此时，记 P 点为 P（x，y，z）．
注：O 称为原点，O 的坐标为
．
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5．坐标轴与坐标系
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通过 O 点，分别与α，β，γ同向的有向直线 OX，OY，OZ 称为坐标轴；平面 XOY，
2．坐标系 空间中三个不共面的向量α，β，γ称为空间的一个坐标系（或一组基）． 3．坐标
高等代数第四章及其习题答案
α b11
A1 0
= B1 0
β a11b11 a11β + α B1
A1 B1
，
为上三角形矩阵， 由归纳法假设知 A1 B1 为上三角形矩阵，故 AB 为上三 角形矩阵。 角形矩阵。
2）设 A = ( aij ) 为一可逆的上三角形矩阵，则 ） 为一可逆的上三角形矩阵， nn
= ε iT A j L 0 L L L 0 L a jn i 行 . L 0 L L L 0
0 M 0 a1i AEij = ( B1 , L , Bn ) ε j = Bi ε j = M ( 0, L , 0,1, 0, L , 0 ) a 0 ni M 0 0 0 = L 0 L L L 0 0 0 a1i a2 i L ani 0 L L 0 . L L L 0 L 0 0 L
T
y1 n T T 2 ( Ax) Ax = y y = ( y1 ,L, yn ) M = ∑ yi = 0, y i =1 n
从而 yi = 0, i = 1, L, n , 即 y = Ax = 0 ，由
x 的任意性知 Aε j = 0, j = 1,L , n ，其中
为数量矩阵. 为数量矩阵 级矩阵可交换， 注：因 A 与所有 n 级矩阵可交换，故 A 一定与 可交换， E i j ( i , j = 1, L , n ) 可交换，于是 AEij = Eij A.
10、已知 A为实对称矩阵 且 A2 = 0 , 不妨设 A = aij 、 为实对称矩阵, 阶矩阵， 为 n 阶矩阵， = x
T
( )
nn
《初等数论(闵嗣鹤)》习题解答2010修改版
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(ii) 当 q 为奇数时，若 b 0 则令 s q 1,t a bs a q 1b ，则有
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《初等数论》习题解答（修改版）（茂名学院 WeiXLI）
b t a bs a q 1b a q 1 b 0 t b
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若 b 0 ，则令 s q 1,t a bs a q 1b ，则同样有 t b 综上所述，存在性
证明： a1, a2 , an 都是 m 的倍数。 存在 n 个整数 p1, p2, pn 使 a1 p1m, a2 p2m, , an pnm 又 q1, q2, , qn 是任意 n 个整数 q1a1 q2a2 qnan q1 p1m q2 p2m qn pnm ( p1q1 q2 p2 qn pn )m 即 q1a1 q2a2 qnan 是 m 的整数 2．证明 3 | n(n 1)(2n 1) 证明 n( n 1 ) ( 2n 1) n n( 1n)( 2n 1 )
2．求 82798848 及 81057226635000 的标准式．
解：因为 8|848，所以 8 | A, A 82798848 810349856 23 B ，
又 8|856，所以 8|B， B 81293732 23 C ，
又 4|32，所以 4|C， C 4323433 22 D
又 9|（3+2+3+4+3+3），所以 9|D， D 935937 32 E ， 又 9|（3+5+9+3+7），所以 9|E， E 93993
又 3993 31331 3113
所以 A 2835113 ；
同理有 81057226635000 23 33 54 73 112 17 2337 。
线性代数 (清华大学出版)课后习题部分解答(第四章)
第四章课后习题 及解答1. 证明：T ）（1,1,1,11=α, T ）（1,1,1,12--=α, T ）（1,1,1,13--=α, T ）（1,1,1,14--=α是4R 的一组基, 并求T ）（1,1,2,1=β在这组基下的坐标.证明：0161111111111111111,,,4321≠-=------=）（αααα.R ,,,44321的一组基是αααα∴设β在这组基下的坐标为x ，则x ）（4321,,,ααααβ=，从而 βαααα14321,,,-=）（x⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫--→→⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫------4141414510001000010000111211111111111111111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=∴111541x 2. 已知3R 的两组基为.6,1,1,1,2,5,4,1,3,1,7,3,3,3,2,1,2,1T3T 2T 1T1T 2T 1）（）（）（）（）（）（-======βββααα求：（1）向量T2,6,3）（=γ在基{}321,,ααα下的坐标； （2）基{}321,,ααα到基{}321,,βββ的过渡矩阵； （3）用公式（4.7）求γ在基{}321,,βββ下的坐标。
解：（1）设γ在基{}321,,ααα下的坐标为x ，则：x ）（321,,αααγ=从而 γααα1321,,-=）（x⎪⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛→→ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫112100010001263131732321 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∴112x（2）设基{}321,,ααα到基{}321,,βββ的过渡矩阵为A ，则：A ,,,,321321）（）（αααβββ=从而 ）（）（3211321,,,,A βββααα-= ⎪⎪⎪⎭⎫--- ⎝⎛→→ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫-8124920941712710010001614121153131732321 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=∴81249209417127A （3）设γ在基{}321,,βββ下的坐标为y ，则：x y 1A -= ⎪⎪⎪⎭⎫-⎝⎛→→ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫----4832534153100100111281249209417127⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴83106153414832534153y3. 已知4R 的两组基为.2,1,3,1,2,1,1,2,2,2,1,0,1,0,1,21,0,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,0,1,2,1T4T3T2T1T4T 3T 2T 1）（）（）（）（）（）（）（）（=-===--=-=-=-=ββββαααα（1）求基{}4321,,,αααα到基{}4321,,,ββββ的过渡矩阵；若γ在基{}4321,,,αααα下的坐标为T 0,0,0,1）（，求γ在基{}4321,,,ββββ下的坐标.（2）求基{}4321,,,ββββ到基{}4321,,,αααα的过渡矩阵；若ξ在基{}4321,,,ββββ下的坐标为T 0,1,2,1）（-，求ξ在基{}4321,,,αααα下的坐标.（3）已知向量α在基{}4321,,,αααα下的坐标为T 0,1,2,1）（-，求它在基{}4321,,,ββββ下的坐标.解：（1）设基{}4321,,,αααα到基{}4321,,,ββββ的过渡矩阵为A ，则：A ,,,,,,43214321）（）（ααααββββ=从而 ）（）（432114321,,,,,,A ββββαααα-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→→⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫------0111101011100110001000010000122211120311112021110011112121111 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴010111010111001A 设γ在基{}4321,,,ββββ下的坐标为y ，则：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0001A 1-y⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→→⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫101-01000100001000010001010111010111001 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴101-0y(2) 设基{}4321,,,ββββ到基{}4321,,,αααα的过渡矩阵为B ，则:B ,,,,,,43214321）（）（ββββαααα= ），，，（），，，（432114321B ααααββββ-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫----⎝⎛→→⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫------11111000001111101000100001000011110111121211112221112031111202⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=∴1111100000111110B设ξ在基{}4321,,,αααα下的坐标为x ，则：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1131012101011101011100101-21A x（3）设α在基{}4321,,,ββββ下的坐标为z ，则：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=20130121111110000011111001-21B z 4. 在4R 中找一个向量γ，它在自然基{}4321,,,εεεε和基T4T3T2T13,1,6,6,1,2,3,5,0,1,3,0,1,1,1,2）（）（）（）（===-=ββββ下有相同的坐标.解：设所求坐标为x ，则它满足：x x ）（）（43214321,,,,,,ββββεεεε= 即：0211111163216501=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000110010101001211111163216501 ∴此齐次线性方程组的一般解为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1111k x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==∴1111,,,4321k x ）（可取εεεεγ 5. 已知）（）（）（2,2,1,1,1,1,3,2,1,1,2,1---=-=-=γβα。
线性代数第四章答案
第四章 向量组的线性相关性1 设v1(1 1 0)T v2(0 1 1)T v3(3 4 0)T求v1v2及3v12v2v3解v1v2(1 1 0)T(0 1 1)T(10 11 01)T(1 0 1)T3v12v2v33(1 1 0)T 2(0 1 1)T (3 4 0)T(31203 31214 30210)T(0 1 2)T2 设3(a1a)2(a2a)5(a3a) 求a其中a1(2 5 1 3)Ta2(10 1 5 10)T a3(4 1 1 1)T解由3(a1a)2(a2a)5(a3a)整理得(1 2 3 4)T3 已知向量组A a1(0 1 2 3)T a2(3 0 1 2)T a3(2 3 0 1)TB b1(2 1 1 2)T b2(0 2 1 1)T b3(4 4 1 3)T证明B组能由A组线性表示但A组不能由B组线性表示证明由知R(A)R(A B)3 所以B组能由A组线性表示由知R(B)2 因为R(B)R(B A) 所以A组不能由B组线性表示4 已知向量组A a1(0 1 1)T a2(1 1 0)TB b1(1 0 1)T b2(1 2 1)T b3(3 2 1)T证明A组与B组等价证明由知R(B)R(B A)2 显然在A中有二阶非零子式故R(A)2 又R(A)R(B A)2 所以R(A)2 从而R(A)R(B)R(A B) 因此A组与B组等价5 已知R(a1a2a3)2 R(a2a3a4)3 证明(1) a1能由a2a3线性表示(2) a4不能由a1a2a3线性表示证明 (1)由R(a2a3a4)3知a2a3a4线性无关故a2a3也线性无关又由R(a1 a2a3)2知a1a2a3线性相关故a1能由a2a3线性表示(2)假如a4能由a1a2a3线性表示则因为a1能由a2a3线性表示故a4能由a2a3线性表示从而a2a3a4线性相关矛盾因此a4不能由a1a2a3线性表示6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关(1) (1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T(2) (2 3 0)T (1 4 0)T (0 0 2)T解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A因为所以R(A)2小于向量的个数从而所给向量组线性相关(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B因为所以R(B)3等于向量的个数从而所给向量组线性相无关7 问a取什么值时下列向量组线性相关？a1(a 1 1)T a2(1 a 1)T a3(1 1 a)T解以所给向量为列向量的矩阵记为A由如能使行列式等于0，则此时向量组线性相关（具体看书后相应答案）8 设a1a2线性无关a1b a2b线性相关求向量b用a1a2线性表示的表示式解因为a1b a2b线性相关故存在不全为零的数12使(a1b)2(a2b)01由此得设则b c a1(1c)a2c R9 设a1a2线性相关b1b2也线性相关问a1b1a2b2是否一定线性相关？试举例说明之（也可看书后答案）解不一定例如当a1(1 2)T, a2(2 4)T, b1(1 1)T, b2(0 0)T时有a1b1(1 2)T b1(0 1)T, a2b2(2 4)T(0 0)T(2 4)T而a1b1a2b2的对应分量不成比例是线性无关的10 举例说明下列各命题是错误的(1)若向量组a1a2a m是线性相关的则a1可由a2a m线性表示解设a1e1(1 0 0 0) a2a3a m0则a1a2a m线性相关但a1不能由a2a m线性表示(2)若有不全为0的数12m使a1m a m1b1m b m01成立则a1a2a m线性相关, b1b2b m亦线性相关解有不全为零的数12m使a1m a m 1b1m b m01原式可化为(a1b1) m(a m b m)01取a1e1b1a2e2b2a m e m b m其中e1e2e m为单位坐标向量则上式成立而a1 a2a m和b1b2b m均线性无关(3)若只有当12m全为0时等式a1m a m1b1m b m01才能成立则a1a2a m线性无关, b1b2b m亦线性无关解由于只有当12m全为0时等式由1a1m a m1b1m b m0成立所以只有当12m全为0时等式(a1b1)2(a2b2) m(a m b m)01成立因此a1b1a2b2a m b m线性无关取a1a2a m0取b1b m为线性无关组则它们满足以上条件但a1a2a m线性相关(4)若a1a2a m线性相关, b1b2b m亦线性相关则有不全为0的数12m使a1m a m0 1b1m b m01同时成立解a1(1 0)T a2(2 0)T b1(0 3)T b2(0 4)Ta12a2 01221b12b2 01(3/4)210 与题设矛盾1211 设b1a1a2b2a2a3 b3a3a4 b4a4a1证明向量组b1b2b3b4线性相关证明由已知条件得a1b1a2a2b2a3 a3b3a4 a4b4a1于是a1 b1b2a3b1b2b3a4b1b2b3b4a1从而b1b2b3b40这说明向量组b1b2b3b4线性相关12 设b1a1b2a1a2b r a1a2 a r且向量组a1a2a r线性无关证明向量组b1b2b r线性无关证明已知的r个等式可以写成上式记为BAK因为|K|10 K可逆所以R(B)R(A)r从而向量组b1b2b r线性无关13 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组(1)a1(1 2 1 4)T a2(9 100 10 4)T a3(2 4 2 8)T解 由知R(a1a2a3)2 因为向量a1与a2的分量不成比例故a1a2线性无关所以a1 a2是一个最大无关组(2)a1T(1 2 1 3) a2T(4 1 5 6) a3T(1 3 4 7)解由知R(a1T a2T a3T)R(a1a2 a3)2 因为向量a1T与a2T的分量不成比例故a1T a2T 线性无关所以a1T a2T是一个最大无关组14 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组(1)解因为所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)解因为所以第1、2、3列构成一个最大无关组（关于14的说明：14题和书上的14题有些不同，答案看书后的那个）15 设向量组(a 3 1)T (2 b 3)T(1 2 1)T (2 3 1)T的秩为2 求a b解设a1(a 3 1)T a2(2 b 3)T a3(1 2 1)T a4(2 3 1)T因为而R(a1a2a3a4)2 所以a2 b516 设a1a2a n是一组n维向量已知n维单位坐标向量e1e2e n能由它们线性表示证明a1a2a n线性无关证法一记A(a1a2a n) E(e1e2e n) 由已知条件知存在矩阵K使EAK两边取行列式得|E||A||K|可见|A|0 所以R(A)n从而a1a2a n线性无关证法二因为e1e2e n能由a1a2a n线性表示所以R(e1e2e n)R(a1a2a n)而R(e1e2e n)n R(a1a2a n)n所以R(a1a2a n)n从而a1a2a n线性无关17 设a1a2a n是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示证明必要性设a为任一n维向量因为a1a2a n线性无关而a1a2a n a 是n1个n维向量是线性相关的所以a能由a1a2a n线性表示且表示式是唯一的充分性已知任一n维向量都可由a1a2a n线性表示故单位坐标向量组e1 e2e n能由a1a2a n线性表示于是有nR(e1e2e n)R(a1a2a n)n即R(a1a2a n)n所以a1a2a n线性无关18 设向量组a1a2a m线性相关且a10证明存在某个向量a k (2km) 使a k能由a1a2a k1线性表示证明因为a1a2a m线性相关所以存在不全为零的数12m使a12a2m a m01而且23m不全为零这是因为如若不然则1a10由a10知10 矛盾因此存在k(2km) 使0 k1k2m0k于是a12a2k a k01a k(1/k)(1a12a2k1a k1)即a k能由a1a2a k1线性表示19 设向量组B b1b r能由向量组A a1a s线性表示为(b1b r)(a1a s)K其中K为sr矩阵且A组线性无关证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)r证明 令B(b1b r) A(a1a s) 则有BAK必要性设向量组B线性无关由向量组B线性无关及矩阵秩的性质有rR(B)R(AK)min{R(A) R(K)}R(K)及R(K)min{r s}r因此R(K)r充分性因为R(K)r所以存在可逆矩阵C使为K的标准形于是(b1b r)C( a1a s)KC(a1a r)因为C可逆所以R(b1b r)R(a1a r)r从而b1b r线性无关20 设证明向量组12n与向量组12n等价证明将已知关系写成将上式记为BAK因为所以K可逆故有ABK1由BAK和ABK1可知向量组12n与向量组12n可相互线性表示因此向量组12n与向量组12n等价21 已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x3A x A2x且向量组x A x A2x线性无关(1)记P(x A x A2x) 求3阶矩阵B使APPB解因为APA(x A x A2x)(A x A2x A3x)(A x A2x 3A x A2x)所以(2)求|A|解由A3x3A x A2x得A(3x A x A2x)0因为x A x A2x线性无关故3x A x A2x0即方程A x0有非零解所以R(A)3 |A|0（从22题开始，凡涉及到基础解系问题的，答案都不是唯一的，可以参考本文答案，也可以看书后的答案，不过以书后的答案为主。
编译原理第四章作业答案
非终结符
FIRSTVT
LASTVT
E
+ * ↑( i
+ * ↑) i
T
* ↑( i
* ↑) i
F
↑( i
↑)i
P
（i
)i
2).关系 1.由#E#，知 # = # ；由（E）知 （ = ） 2.求 < 关系 考察对象：文法中终结符号在前，非终结符号在后的相邻符号对 由#E # < FIRSTVT(E) 由+T + < FIRSTVT(T) 由*F * < FIRSTVT(F) 由↑F ↑< FIRSTVT(F) 由(E ( < FIRSTVT(E)
T→F
F→-P
F→P
P→(E)
P→i
(1) 构造 G 的算符优先矩阵；
(2) 指出 G 不是算符优先文法，即指出具有多重定义的优先矩阵元素；
(3)将 G 改写为算符优先文法。
解：
（1）求每个非终结符号的 FIRSTVT 集和 LASTVT 集
S→E
E→E-T|T
T→T*F|F
F→-P|P
P→(E)|i
Z 11 Z 12 Z 13
(S
A
B ) = (φ (S ) + () [S ] + [])Z 21
Z 22
Z
23
Z 31 Z 32 Z 33
Z 11 Z 12 Z 13 ε φ φ A B φ Z 11 Z 12 Z 13
Z 21
Z 22
Z
23
=
φ
ε
φ
+
ε
φ
φ
Z
21
Z 22
线性代数练习册第四章习题及答案
篇一：线代第四章习题(xítí)解答第四章空间(kōngjiān)与向量运算习题(xítí)4.14-1-1、空间中三个点A,B,C坐标如下：A?2,?1,1?,B?3,2,1?,C2,2,1? 〔1〕求向量,,的坐标，并在直角坐标系中作出它们(tā men)的图形；〔2〕求点A与B 之间的间隔．解：(1) (1,3,0), (?5,0,0), (4,?3,0)(2)AB??4-1-2．利用(lìyòng)坐标面上和坐标轴上点的坐标的特征，指出以下各点的特殊位置： A?3,4,0?; B?0,4,3? ； C?3,0,0? ；D?0,?1,0? 解： A (3，4，0) 在xoy面上 B〔0，4，3〕点在yoz面上C〔3，0，0〕在x轴上 D〔0，－1，0〕在y轴上 4-1-6. 设u?a?b?2c,v3b?c，试用a、b、c表示3u?3v．解：3u－2v＝3〔a－b＋2c〕－2〔－3b－c〕＝3a＋3b＋8c4-1-7. 试用向量证明：假如平面上的一个四边形的对角线互为平分，那么这个四边形是平行四边形．解：设四边形ABCD中AC与DB交于O，由AO＝OC，DO＝OB 因为AB＝AO＋OB＝OC＋DO＝DC,AD=AO+OD=OC+BO=BC 所以ABCD为平行四边形。
4-1-8. 向量a的模是４，它与轴u的夹角60，求向量a在轴u上的投影．?解：.prju?u)?4*cos60＝4?r?rcos(r。
3＝23 24-1-9. 一向量的终点在点B?2,?1,7?，它在x轴、y轴、z轴上的投影依次为4、-4、7，求这向量起点A的坐标解：设起点A为〔x,y,z〕prjxAB?(2?x0)?4prjyAB?(?1?y)4 prjzAB?(7?z0)?7解得：x2y?3z0?04-1-12. 求以下向量的模与方向(fāngxiàng)余弦，并求与这些向量同方向的单位向量：〔1〕a2,?1,1? ；〔2〕b4,?2,2? ；〔3〕c6,?3,3? ；〔4〕d?2,1,?1? ．解：〔1〕a＝〔2，－1，1〕a?22?(?1)?122cos22a36cos?1?26cos a6a6〔2〕b=(4,-2,2) b?42?(?2)?2 cos2226? b3cos26?2?b666? cos b0?,?, b6b6b366〔3〕c=(6,-3,3) c?b2?(?4)?3 cos22236?3cos?33?? 6cos23362?6 62〔4〕d=(-2,1,-1)d?(?2)?1?(?1)?6cos?263cos16?d6cos?d0{?,,?66d366与前三向量(xiàngliàng)单位同的d{?6,,?。
线性代数第四章习题答案
0 a+1 1 −1
1 − a2 = (a + 1)2 (a − 2). a
a −1 a
0 a + 1 −1 − a
1 −1
所以, a = −1 或 a = 2 时向量组线性相关. 更常规的思路是: 向量组 a1 , a2 , a3 线性相关, 则存在不全为零的数 k1 , k2 , k3 使得
k1 a1 + k2 a2 + k3 a3 = 0.
50
第四章 向量组的线性相关性 解: (1) 因为
A= −1 2 3 1 1 0 1 −1 0 0 2 7 2 1 7 2 −1 0 0 2 1 0 1 1 , 0
r2 + 3r1 4 r3 + r1 1
可见 R(A) = 2, 所以该向量组是线性相关的. 或者: 由 −1 2 1 3 + 1 = 4 1 0 1 知线性相关. (2) 因为
1 a3 = −1 1
4
.
解: 由 3(a1 − a) + 2(a2 + a) = 5(a3 + a) 得 2 10 1 1 5 + 1 1 a = (3a1 + 2a2 − 5a3 ) = 6 2 1 3 5 3= 3 0 1
2
;
4 −2 1 , b3 = B : b1 = , b2 = 1 1 1 3 1 2
2
0
4
.
即线性方程组
抽象代数 孟道骥版 习题解答 第一章
Chapter1Ч1.11. ?ѩ .1) R ,x R y, x≥y;2) R ,x R y, |x|=|y|;3) R ,x R y, |x−y|≤3;4) Z ,x R y, x−y ;5) C n×n( C n ) ,A R B,P,Q A=P BQ;6) C n×n ,A R B, P,Q A=P BQ;7) C n×n ,A R B, P A=P−1BP.1)҂ đ҂ ӫ .2) .a)∀x∈R,|x|=|x|.b) |x|=|y|, |y|=|x|.c) |x|=|y|,|y|=|z|, |x|=|z|.3)҂ đ҂ Ԯ .4)҂ . x∈Z,x−x=0 , x R x,R҂ .5) Ġ ğA=IAI; ӫ ğ A=P BQčp,Q ĎđB=P−1AQ−1;Ԯ ğ A=P1BQ1,B=P2CQ2, A= P1P2CQ2Q1, A R C.č đ Ď.6)҂ . A=0,B , P=0,Q, A=P BQ=0, ҂թ P,Q, B=P AQ.҂ ӫ .7) .č ս Ď.2. R A , ӫ Ԯ .R . :“ a,b∈A,Ֆa R b b R a. ՖԮ12a R a. R , .” ?҂ . A a đ թ a∈A, b∈A,a R b҂Ӯ , a .3. R A , A R1,R2 љx R1y, x=y,x R y y R x Ӯ ;x R2y, x0,x1,···,x nx0=x,x n=y, x0R1x1,x1R1x2,···,x n−1R1x n.1) R2 ;2) R , R2=R, x R2y iffx R y.3) A=Z,n .R :x R y, x−y=n.R1 R2.1)R1 đ ӫ .Ֆ R2 đ ӫ .R2R2 Ԯ . R2 .2) x R y, x R1y,x R2y, x R2y, x0,x1,···,x n x=x0,x n=y x0R1x1,x1R1x2,···,x n−1R1x n, R đ R1 x0R x1,x1R x2,···,x n−1R x n.Ֆ x0R x n x R y, R2=R.3)x R1y⇐⇒x−y=0,m,−m.x R2y⇐⇒x≡y(mod m).4. ∗ đ ?1) Z đa∗b=a−b;2) Q đa∗b=ab+1;3) Q đa∗b=ab/2;4) N đa∗b=2ab;5) N đa∗b=a b.1)҂ đ҂ .2)a)∵b∗a=ba+1=a∗b,∀a,b∈Q∴ .b)(a∗b)∗c=(ab+1)∗c=(ab+1)c+1,a∗(b∗c)=a∗(bc+1)=a(bc+1)+1, a=c đ(a∗b)∗c=a∗(b∗c),∴҂ .3)a)b∗a=ba/2=a∗b,∀a,b∈Q∴ Ġb)(a∗b)∗c=ab/2∗c=abc/4,a∗(b∗c)=a∗bc/2=abc/4,∀a,b,c∈Q, .4)a)b∗a=2ba=a∗b,∀a,b∈N Ġb)(a∗b)∗c= 2ab∗c=22ab c,a∗(b∗c)=a∗2bc=22bc a, a=1,b=c=2, (a∗b)∗c= 28,a∗(b∗c)=216, (a∗b)∗c=a∗(b∗c), ҂ .5)҂ .5. m∈Z,m=0. Z :a b, a≡b(mod m).Z Վ Z m( Z/m Z).31)Z m Ġ2) Z ԛ Z3 Ӱ Ġ3) Z ԛ Z6 Ӱ .đ ӰđZ m m đ љ 0,1,2,···,m−2,m−1, Z3 đ0,1,2,0+0=0,0+1=1,0+2=2,1+1=2,1+2=0,2+2=1,0×0=0,0×1=0,0×2=0,1×1=1,1×2=2,2×2=2.Z m Ӱ .Z6 Ӱ .č Ď1.2 ϶1. ∗ . đ ϶ đ϶ đ ҂ Ĥ1)Z,a∗b=abĠ2)Z,a∗b=a−bĠ3)R+={x∈R|x>0},a∗b=abĠ4)Q−{0,1},a∗b=abĠ5)[0,1],a∗b=δ1a b+δ1b a−δ1aδ1b. δ1a=0, a=1δ1a=1, a=1,δ1b .6)Z,a∗b=a+b−ab.1) đ Վ Ӯ .2) đ Վ ҂ Ӯ϶ . Վ ҂.3) đ Վ Ӯ .4)҂ .∵2,0.5∈Q,2∗0.5=1∈Q,∴ ҂ Ġ5) .∵a∗b=0,a=1,b=1;a∗b=1,a=1=b;a∗b=a,a=1,b=1;a∗b=b,a=1,b=1.∴ о đ (a∗b)∗c=a∗(b∗c),∴҂ đ∴ ҂ .6) .∵Z ∗ о đ(a∗b)∗c=(a+b−ab)∗c=a+b−ab+c−c(a+b−ab)=a+b+c−ca−bc+abc,a∗(b∗c)=a∗(b+c−bc)=a+b+c−bc−a(b+c−bc)=a+b+c−ab−bc−ac+abc.∴ .∀c∈Z,0∗c=0+c−0c=c,∴0 , ,0, c ,∀d∈Z,d∗1=d+1−d1=1=0,∴1 , Z ϶2. Z×Z Ӱ(x1,x2)(y1,y2)=(x1y1+2x2y2,x1y2+x2y1). :41)Z×Z ՎӰ ϶ .2) (x1,x2)=(0,0) đ (x1,x2)(y1,y2)=(x1,x2)(z1,z2)(y1,y2)=(z1,z2).1) đՎ .((x1,x2)(y1,y2))(z1,z2)=(x1y1+2x2y2,x1y2+x2y1)(z1,z2)=(x1y1z1+ 2(x2y2z1+y2z2x1+z2x2y1),x1y1z2+y1z1x2+z1x1y2+2x2y2z2)= (x1,x2)((y1,y2(z1,z2).x1,x2)(y1,y2)=(y1,y2)(x1,x2).(1,0)(x1,x2)=(x1,x2)=(x1,x2)(1,0).(1,0) Վ ϶ .Z×Z ՎӰ ϶ .2)∵(x1,x2)(y1,y2)=(x1,x2)(z1,z2),∴x1(y1−z1)+2x2(y2−z2)=0,x1(y2−z2)+x2(y1−z1)=0,∵(x1,x2)=(0,0),∴y1−z1=0,y2−z2=0.∴(y1,y2)=(z1,z2).3. S={x|x∈R,x=−1} o∗p a∗b=a+b+ab.S ∗ .ѩ ӱ2∗x∗3=7 .(a)∵a=−1 b=1 ,a∗b=−1,∴S ∗ о ;(b)(a∗b)∗c=(a+b+ab)∗c=a+b+ab+c+ac+bc+abca∗(b∗c)=a∗(b+c+bc)=a+b+c+ab+ac+bc+abc ;(c)∀c∈S,0∗c=c,0 ;(d)∀d∈S,−dd+1=−1 d .S ∗ .2∗x∗3=(2+x+2x)∗3=12x+11=7,∴x=−134. ϶ G đax=ay=⇒x=y;xa=ya=⇒x=yđ G .Վ ϶ Ӯ Ĥğ ϶ G ∀a,b∈G, ӱxa=b,ax=b đG .ğxa=a đ e a, e a a=a, c∈G,ax=c5đ d , ad =c , e a c =e a (ad )=ad =c,∴G թ Ġ∀f ∈G,xf =e a đx f . đG .∀a ∈G,∵ax =ay ⇔x =y , |G | aG =G ,Ֆ ∀a,b ∈G,ax =b đ xa =b .Ֆ .Վ ϶ ҂Ӯ đ {N ,+}.5. ϶ G o p č G G ğa −→a Ďđ a (ab )=(ba )a ,∀a,b ∈G .Վ϶ с .∀a,b,c ∈G,a ac =c =b bc , a a =a acc =b bc =b b. e =a a , e G đa a .∴G .6. ϶ G e đ ∀a ∈G đ č a ∈G aa=e Ď. G Ĥ҂ . ğG = 1100 , 1−100 , −1−100 , −1100 G ϶ . 1100 , 1100 1100 đ 1−100 1100 đ −1−100 −1−100 đ −1100 −1−100 7. P (X ) X č X Ď.1) P (X ) ӫҵ (A B =(A −B )∪(B −A ),∀A,B ∈P (X )) Ӯ Ġ 2.2) P (X ) .1) о .(A B ) C =A (B C ), ∅, A −1=A ,A A =∅, 2.2)|P (X )|=2|X |.8. G 2. G Abel .6∀a,b ∈G ,a 2=b 2=e,(ab )(ab )=e =a 2 bab =a,∴b (bab )=ba b 2=e ab =ba ,∴G Abel .9. S 5 στ,σ−1τσ,σ2,σ3. σ= 1234523154 ,τ= 1234534152. στ= 1234515243 ,σ−1τσ= 1234553214 σ2= 1234531245 ,σ3= 1234512354 10. ԛS 3 і.X ={a,b,c },S 3={τ1,τ2,τ3,τ4,τ5,τ6},τ1= a b c a b c ,τ2= ab c ac b ,τ3= a b c b a c ,τ4= a b c b c a ,τ5= a b c c a b ,τ6= ab c c b a, і :·τ1τ2τ3τ4τ5τ6τ1τ1τ2τ3τ4τ5τ6τ2τ2τ1τ5τ6τ3τ4τ3τ3τ4τ1τ2τ6τ5τ4τ4τ3τ6τ5τ1τ2τ5τ5τ6τ2τ1τ4τ3τ6τ6τ5τ4τ3τ2τ111.N э Ӯ ϶ M (N ) f ğf (n )=n +1,∀n ∈Nf đ .g k (n )=n −1,n ≥2;g k (1)=k,k ∈N , ∀k,g k f đ h f đ fh (1)=h (1)+1,∵h (1)≥1,∴fh (1)≥2, fh (1)=1 .Ֆ .12. M ϶ đm ∈M . M Ӱ o ∗pğa ∗b =amb .1)M ∗ ϶ .2) đM ∗ ϶ Ĥ1) о .(a ∗b )∗c =ambmc =a ∗(b ∗c ), M ∗ ϶ .2)m .71.31. H G . {H a } G đ R 1 a R 1b , ba −1∈H .R 1 .e =aa −1∈H ⇒aR 1a,∀a ∈G , aR 1b , ab −1∈H , ba −1=(a −1b )−1∈H , bR 1a , aR 1b,bR 1c ab −1,bc −1∈H , ac −1=(ab −1)(bc −1)∈H , aR 1c .R 1 .aR 1b ⇔ba −1∈H ⇔b ∈aH b aH .Ֆ {aH } G .2. H Z . с m H =m Z .m =min {|n ||n ∈H,n =0}, mz 0+r ∈H,0≤r <m,r ∈N,∵mz 0∈H , r ∈H , m r =0,Ֆ H =m Z .3. ԛS 3 ҆ .ѩ ԛ . X ={a,b,c },S 3={τ1,τ2,τ3,τ4,τ5,τ6},τ1= a b c a b c ,τ2= a b c a c b ,τ3= a b c b a c ,τ4= a b c b c a ,τ5= a b c c a b ,τ6= a b cc b aH 1={τ1},H 2={τ1,τ2},H 3={τ1,τ3},H 4={τ1,τ6},H 5={τ1,τ4,τ5},H 6={τ1,τ2,τ3,τ4,τ5,τ6}∴H 1,H 2,H 3,H 4,H 5,H 6 S 3 ҆ đ H 1,H 5,H 6 .4. H G đ [G :H ]=2. H G .∵[G :H ]=2,∴,∃a ∈G, a −1∈H , G =eH ∪aH eH =aH ∀h,g ∈H, ghg −1∈H ∀h ∈H,g ∈aH,∃h 1∈H , g =ah 1,ghg −1=ah 1hh −11a−1∵ghg −1∈G . ghg −1∈H , с ghg −1∈aH ,Ֆ ∃h 2∈H , ghg −1=ah 2 ah 1hh −11a −1=ah 2đ h 1hh −11=h 2⇒h −12h 1hh −11=a ⇒a ∈H.∵H G ,∴a −1∈H a −1∈H ∴ghg −1∈H , ∀h ∈H,g ∈G,ghg −1Ӯ .∴H G .5. H 1,H 2 G . |H 1H 2|=[H 1:1][H 2:1]/[H 1∩H 2:1].8 aH2,a∈H1, {aH2} H1H2 .1) aH2=bH2,a,b∈H1, ab−1∈H2,Ֆ ab−1∈H1∩H2,b∈a(H1∩H2).2)∀b∈a(H1∩H2), aH2=bH2,∴|H1H2|=[H1:1][H2:1]/[H1∩H2:1]6. G Abel đn∈N. {g∈G|g n=1} G .H={g∈G|g n=1},∀g1,g2∈H,(g1g−12)n=g n1(g n2)−1=e,∴H<G7. G҂ Ӯ ѩ.H1<G,H2<G,H1=G,H2=G,H1∪H2=G, a∈H1,b∈H2, a∈H2,b∈H1, ab∈H1,ab∈H2,Ֆ ab∈G, Ć8. H,K G đ H∩K={1}. hk=kh,∀h∈H,k∈K.∵(kh)−1hk=h−1k−1hk,h−1k−1h∈K,∀h∈H,k∈K, (kh)−1hk∈K,∵k−1hk∈H,∴h−1k−1hk∈H,∵H∩K={1},∴(kh)−1hk=1,∴kh=hk.9. H G . G/H Abel ԉgkg−1k−1∈H,∀g,k∈G.G/H Abel ⇐⇒gHkH=kHgH⇐⇒gkH=kgH⇐⇒gk(kg)−1=gkg−1k−1∈H10. H,K . H×K={(h,k)|h∈H,k∈K} Ӱ(h1,k1)(h2,k2)=(h1h2,k1k2). ğ1)H×K čӫ H K Ď.2)H1={(h,1 )|h∈H,1 K } K1={(1,k)|k∈H,1 H} H×K .3)H1∩K1={(1,1 )};H×K=H1K1.čH×Kӫ H1 K1.Ď1) e h H đe k K đ (e h,e k)∈H×K∴H×K đ∀(h1,k1),(h2,k2)∈H×K,(h1,k1)(h2,k2)=(h1h2,k1k2)∈H×K,∴H×K Ӱ о Ġ∀(h1,k1),(h2,k2),(h3,k3)∈H×K,((h1,k1)(h2,k2))(h3,k3)= (h1h2,k1k2)(h3,k3)=(h1h2h3,k1k2k3)=(h1,k1)((h2,k2)(h3,k3))= (h1,k1)((h2,k2)(h3,k3))∴H×K Ӱ∀(h,k)∈H×K,(e h,e k)(h,k)=(h,k),∴(e h,e k) Ġ9∀(h,k)∈H×K,(h−1,k−1)(h,k)=(e h,e k),∴(h−1,k−1)∈H×K∴H×K .2)∵(e h,1 )∈H1,∴H1 H×K .∀(h1,1 )∈H1,(h2,1 )∈H1,(h1,1 )(h2,1 )−1=(h1,1 )(h−12,1 )=(h1h−12,1 )∈H1,∴H1 H×K ;∀(h1,1 )∈H1,(h,k)∈H×K(h,k)(h1,1 )(h,k)−1=(hh1h−1,kk−1)=(hh1h−1,1 )∈H1,∴H1 H×K ĠK1 H×K .3) (h,k)∈H1 (h,k)∈K1, k=1 ,h=1,∴H1∩K1={(1,1 )}(h,k)∈H×K, (h,k)=(h,1 )(1,k)∈H1K1,∴H×K⊆H1K1(h1,1 )∈H1,(1,k1)∈K1đ (h1,1 )(1,k1)∈H1K1, (h1,1 )(1,k1)=(h1,k1),∴H1K1⊆H×K∴H×K=H1K1.11. ϶ M aӫ đ ∃a−1∈M aa−1=a−1a=1.ğ1) a∈Mđ ∃b,c∈M ba=ac=1 a đ a−1=b=cĠč ӫa−1 a .Ď2) Ġ3) a đ b=a−1 ԉ aba=a,ab2a=1Ġ4)M G ԉ G∀g1,g2∈G g1g2∈GĠ5)M Ӯ .1)b=bac=c, a đ a−1=b=c.2) b1,b2 a đ b1=b1ab2=b2.3)“⇒” .“⇐”:ab=abaa−1=aa−1=1,ba=a−1aba=a−1a=1,∴b=a−1.4)“⇐” .“⇒” о đ đ թ .∀g∈G,с g−1∈G,Ֆ 1=gg−1∈G5) g1,g2 đ (g1g2)(g−12g−11)=1, g1g2 đ ՎӮ .1.41. Z×Z Ӱ ğ(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d);10 (a,b)(c,d)=(ac,bd),∀(a,b),(c,d)∈Z×Z.ğZ×Z .(a)Z×Z Abel .(b)((a,b)(c,d))(e,f)=(ac,bd)(e,f)=(ace,bd f)=(a,b)(ce,d f)=(a,b)((c,d)(e,f));(a,b)(c,d)=(ac,bd)=(ca,db)=(c,d)(a,b).∀(a,b),(c,d),(e,f)∈Z×Z. Z×Z Ӱ϶ .(c)(a,b)((c,d)+(e,f))=(a,b)(c+e,d+f)=(ac,bd)+(ae,bf)=(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f);((c,d)+(e,f))(a,b)=(c,d)(a,b)+(e,f)(a,b) ՎZ×ZӰ .Z×Z .∵(1,1)(a,b)=(a,b)=(a,b)(1,1),∴ Ӱ ϶ .∵(0,1)=0,(0,1)=0,(0,1)(1,0)=(0,0)=0ՎZ×Z .2. C (−∞,+∞) đ C Ӱ(f+g)(x)=f(x)+g(x);(fg)(x)=f(g(x)),∀f,g∈C,x∈(−∞,+∞).C Ӱ Ӯ Ĥf(x)=x,g(x)=x2,h(x)=x2, h(f+g)(x)=(x+ x2)2,hf(x)+hg(x)=x2+x4, Վ҂ Ӯ .3. R Ӱ .1)R Ġ2)R Ӱ ϶ Ġ3) Ӱ .R .∀a,b∈R,(a+1)(b+1)=a(b+1)+b+1=ab+a+b+1,(a+1)(b+1)=(a+1)b+a+1=ab+b+a+1,∴a+b=b+a, R.4. R đ . R .R đ ∀a∈R,a=0,ab=ac⇔b=c, aR=R,Ra=R,∴ax=b,xa=b,b∈R R đ R Ӱ Ӯ đ R .11 5. Q Z Q/Z .∀a,b∈Q/Z, a,b 0, ab=0, a=0,b=0, a=q1 p1,b=q2p2, ab=q1p1q2p2=q1p1p1q2p1p2=q1p1p1q2p1p2=p1q1p1q2p1p2=0. ՎӮ .6. R e e2=eđ ӫe .R eđ R đ e R .∵e(ea−a)=ea−ea=0 R đ ea=aae=a∴R đ e R .7. R 1lč 1l a=a,∀a∈R). Rđ 1l=1.(ae−a+e)b=b⇒ae−a+e=e⇒ae=a8. R .u∈R,u đ v∈R uv=1.ğ1)u ҂ Ġ2)u҂ Ġ3)u .1⇒2: u đ w wu=uw=1, wuv=v, wuv=w(uv)=w,∴v=w, u đ 1 .u҂ .2⇒3: u҂ đ vu=1, vu−1=0u(vu−1)=(uv)u−u=u−u=0∴u .3⇒1:∵u∴∃w=0, uw=0,∴w=vv−w=0, u(v−w)=uv−uw=1∴v−w u đ v−w=v∴u ҂ .9. թ ҂ đ Վ.u v1, v n+1=v1−v n u+1, v n u đ w wu=0, w=w(uv1)=wuv1=0, v1u=1, v1u−1=0, Վ v n+1=v1,n 1, v n+1= v m+1(m<n), ԛv n=v m,Ֆ đ n= m đ v n=v m, Վ Ӯ .10. R đa,b∈R. 1−ab 1−ba .1−ab đc đ d=1+bca, (1−ba)d=12(1−ba )(1+bca )=1−ba +(1−ba )bca =1−ba +b (1−ab )ca =1−ba +ab =1,d (1−ab )=(1+bca )(1−ba )=1−ba +bca (1−ba )=1−ba +bc (1−ab )a =1−ba +ba =1,∴1−ba . 1−ba đ 1−ab .11. R đa,b ab −1 .1)a −b −1,(a −b −1)−1−a −1 Ġ2) Ӯ ğ((a −b −1)−1−a −1)−1=aba −a1)a −b −1=abb −1−b −1=(ab −1)b −1,∵b,ab −1 đ a −b −1 đ (a −b −1)−1=b (ab −1)−1.2)(a −b −1)−1−a −1=b (ab −1)−1−a −1=a −1(ab (ab −1)−1−1)=a −1(ab −(ab −1))(ab −1)−1=a −1(ab −1)−1,∴((a −b −1)−1−a −1)−1=(ab −1)a =aba −a.12. Z m n =n +m Z ԉ Ĥѩ Z m .(n,m )=1,∃u,v ∈Z , nu +mv =1⇒nu =1,Ֆ n đ (n,m )=k =1, n m k =0Ֆ n .∴n ⇔(n,m )=1, ϕ(m ),ϕ đn ⇔(n,m )=1, m −ϕ(m ).13. m 1,m 2∈Z . m 1,m 2 č m 1 m 2 Ӯ Ď.m 1,m 2 ={um 1+vM 2|u,v ∈Z }, m 1,m 2 = d ,d =(m 1,m 2).14. đ R R/I (I R ) .Z đ6Z Z đZ /6Z =Z 6,Z 6 23=0.15. R .a ∈R . ∃m ∈N a m =0, ӫa .R R . R 1={a |∃m ∈N ,a m =0},∀a,b ∈R 1,∃m,n ∈N , a m =0,b n =0, (a −b )m +n = m +n k =0a k (−b )m +n −k =0,(ab )m =a m b m =0.∀r ∈R,(ar )m =a m r m =0.∴R 1 R .16. K .R =K n ×n . C i ={a ∈R |col j (a )=0,j =i };R i ={a ∈R |row j (a )=0,j =i },1≤n .1)C i R č A R A ⊆C i đ A ={0} A =C i ĎĠ2)R i R Ġ3)R .1)∀α,β∈C i ,col j (α−β)=0,j =i ;col j (αβ)=0,j =i ;∀c ∈13K,col j(cα)=0,j=i.∴C i R .A R đ A⊆C i,A={0}, α∈A,҂ αj0l =0,l=i,j0=i,∴E jl∈C i,E jl=α−1j0l E jjα∈A,∴A=C i,∴C i R.2) R i R .3) R R đ ∃α∈R ,α=0,҂ αi0j0=0, E ij=α−1i0j0E iiαE j0j∈R ,∴R =R. R .1.51. A Abel đ đ End Aі Ač A A Ď . End A Ӱ đ(σ+τ)(α)=σ(α)+τ(α),∀σ,τ∈End A,α∈A.End A čӫ A Ď.đ о đ đ č 0Ď Ġ Ӱ đ о đ đ č idĎĠ Ӱ đ .2. S3 ӫ đAut S3=Int S3 S3.∵C(S3)=id,∴S3∼=Int S3, S3=<{(1,2),(1,3),(2,3)}>, Ϝ2 эӮ2 đ∴|Aut S3|≤3!=6,∵Int S3 Aut S3,|Int S3|=6,∴|Aut S3|=6,∴Aut S3=Int S3.3. a,b đ R эT(a,b):T(a,b)(x)=ax+b,∀x∈R.ğ1)a=0 đT(a,b) Ġ2)G={T(a,b)|a=0} Ġ3)H={T(1,b)|b∈R} G ĠčT(1,b)ӫ b.Ď4)G/H R∗čR∗ Ӱ .Ď1) x=y, T(a,b)(x)=ax+b=ay+b=T(a,b)(y),∴T(a,b).T(a,b)(x)=Y(a,b)(y), ax+b=ay+b, a=0 x=y,∴T(a,b) ֆ14.∀x ∈R ,∃x =x −b a ∈R ,T (a,b )(x )=ax +b =x,∴T (a,b ) .∴a =0 đT (a,b ) .2)∀T (a 1,b 1),T (a 2,b 2)∈G,T (a 1,b 1)T (a 2,b 2)=T (a 1,b 1)(a 2x +b 2)=a 1(a 2x +b 2)+b 1=T (a 1a 2,b 1b 2)(x ), a 1a 2=0,∴T (a 1a 2,b 1b 2)∈G ∴G о Ġ∀(T (a 1,b 1)T (a 2,b 2))T (a 3,b 3)=T (a 1,b 1)(T (a 2,b 2)T (a 3,b 3))∴G Ġ∀T (a,b )∈G,T (1,0)T (a,b )=T (a,b )∴T (1,0) G Ġ∀T (a,b )∈G,T (1a ,−b a )T (a,b )=T (1,0)∴T (1a ,−b a) T (a,b ) ∴G .3) H G đ∀T (1,a ),T (1,b )∈H,T (1,a )T −1(1,b )=T (1,a )T (1,−b )=T (1,a −b )∈H ∴H <G,∀T (1,b )∈H,T (a,c )∈G,T (a,c )T (1,b )T −1(a,c )=T (a,ab +c )T (1a ,−c a)=T (1,ab )∈H ∴H G.4) ϕ:G −→R ∗,ϕ(T (a,b ))=a,∀a ∈R ∗,∃T (a,b )∈G, ϕ(T (a,b ))=a,∴ϕ .∀T (a 1,b 1),T (a 2,b 2)∈G,ϕ(T (a 1,b 1)T (a 2,b 2)=ϕ(T (a 1a 2,a 1b 2+b 1))=a 1a 2=ϕ(T (a 1,b 1))ϕ(T (a 2,b 2))∴ϕ .∴G/ker ϕ∼=R ∗∀T (a,b )∈ker ϕ,ϕ(T (a,b ))=1⇒a =1⇒T (a,b )∈H,∀T (1,b )∈H,ϕ(T (1,b ))=1,∴T (a,b )∈ker ϕ,∴H =ker ϕ,∴G/H ∼=R ∗4. G ={e,a,b,c } і. G đ Aut G G S 3 .čՎ ӫ Klein đ K 4і .Ďe a b ce e a b c a ae c b b bc e a c cb a e(a)Ֆ ԛG Վ оĠ(b) a,b,c , (ab )c =cc =e,a (bc )=aa =e,∴(ab )c =a (bc ) a,b,c e đ (ab )c =a (bc ), Ӯ Ġ(c)e ӰG Ч∴e G Ġ(d)aa =bb =cc =e,∴a,b,c љ .∴G . ϕ:ϕ(A )=A|X , ∀A ∈Aut G,X ={a,b,c }, Ϝ҂15 э ҂ đ A|X∈S3, A(e)=e,ϕ Aut G−→S3 đ A|X=B|X, A(e)=B(e)=e⇒A=B∴ϕ ֆ ,∴ϕ đ∀A,B∈Aut G,ϕ(AB)=AB|X=A|X B|X=ϕ(A)ϕ(B)∴ϕ đ∴Aut G∼=S3;σ:Aut G−→Aut G/Inn G,σ(A)=A Inn G, σ đ G đ Inn G={id G},∴σ .∴Aut G∼=Aut G/Inn G∼=S3.5. G .1)a→a−1 G G Ġ2) G đ ∀k∈Z,a→a k G .č G G.Ď1)∀a∈G,ϕ(a)=a−1,∵a−1∈G,∴ϕ G−→G эđϕ ,∀a∈G, ϕ(a−1)=a,∴ϕ đϕ(a)=ϕ(b)đ a−1=b−1⇒a=b∴ϕ ֆ Ġϕ .“⇐”:∀a,b∈G,ϕ(ab)=(ab)−1=b−1a−1, G Abel đ ϕ(ab)=ϕ(a)ϕ(b),∴ϕ đ∴ϕ .“⇒”:∀a,b∈G,ϕ(a−1b−1)=(b−1a−1)−1=ba,∵ϕ đ∴ϕ(a−1b−1)=ϕ(a−1)ϕ(b−1)=ab,∴ab=ba,∴G Abel .2) ϕ:ϕ(a)=a k,k∈Z, ϕ G−→G đ∀a,b∈G,G Abel đϕ(ab)=(ab)k=a k b k=ϕ(a)ϕ(b),∴ϕ G .6. a G đa(g)=g⇒g=1.1)g a(g)g−1 Ġ162) G đ G Ӯa (g )g −1 Ġ3) a 2=id G , G .1) ϕ:ϕ(g )=a (g )g −1,ϕ G −→G đ ϕ(g 1)=ϕ(g 2), a (g 1)g −11=a (g 2)g −12⇒a (g 1)−1a (g 2)=g −11g −12⇒a (g −11g 2)=g −11g 2⇒g −11g 2=1⇒g 1=g 2,∴ϕ Ġ2)∵G đG đ∴ϕс đ ϕ:G −→G.∴G Ӯa (g )g −1 Ġ3)∀g ∈G,∃g 1∈G, g =a (g 1)g −11,a (g )=a (g 1)2a (g −11)=g 1a (g −11)=g −1,∀a,b ∈G, a (a −1b −1)=a (a −1)a (b −1)=ab, a (a −1b −1)=(a −1b −1)−1=ba,∴ab =ba,∴G Abel .∀g ∈G, g =g −1, a (g )=g −1=g ⇒g =1∴∀a ∈G,a =1,a a −1 G ҂ đ1∈G,∴G .7. G đK G , H a K č H a G . H a ⊇K Ďđa (H a /K )=( aH a )/K .ğgk ∈a (H a /K )⇒gk ∈H αK (∀α)⇒∀α,∃g α∈H α gK =g αK ⇒g −1g α∈K ⇒g ∈H α(∀α)⇒g ∈ αH α⇒ a (H a /K )⊆( a H a )/K.đ ( a H a )/K ⊆ a (H a /K ).8. Z o ◦pa ◦b =a +b −ab,∀a,b ∈Z ,(Z ,◦) ϶ đ Z Ӱ ϶ .ğa ◦(b ◦c )=a ◦(b +c −bc )=a +b +c −bc −a (b +c −bc )=a +b +c −ab −bc −ca +abc,(a ◦b )◦c =(a +b −ab )◦c =a +b +c −ab −bc −ca −abc,∴a ◦(b ◦c )=(a ◦b )◦c,a ◦0=0,0◦a =0,∴(Z ,◦) ϶ đ0 .f :(Z ,·)−→(Z ,◦),f (a )=1−a , f đ f (ab )=1−ab =17 (1−a)+(1−b)−(1−a)(1−b)=f(a)+f(b)−f(a)f(b)=f(a)◦f(b),∴(Z,◦)∼=(Z,·).9. .T:End Z−→Z,T(σ)=σ(1),∀σ∈End Z,∀m∈Z,∃σ∈End Z, σ(1)=m,σ(n)=mn(n∈Z),∴T . ∀σ,τ∈End Z,σ(1)=τ(1), σ=τ,∴T ֆ đ∴T .∀σ,τ∈End Z,T(σ+τ)=σ(1)+τ(1)=T(σ)+T(τ),T(στ)=στ(1)=σ(τ(1))=σ(1)τ(1)=T(σ)T(τ),∴T End Z−→Z . 10.H 1.4.8 đ1=1001,i=√−100−√−1,j=01−10,k=√−1√−101)∀a∈H,թ (a,b,c,d)∈R(1)đ a=a+bi+cj+dk.2)H э σ:σ(a+bi+cj+dk)=a−bi−cj−dkđH .1) .2)∀α,β∈H,α=a1+b1i+c1j+d1k,β=a2=a2+b2i+c2j+d2k,σ(α+β)=σ(α)+σ(β),σ(αβ)=σ(β)σ(α),σ(α)2=α,∴σ H .11.č Ď σ R R đ ∀a,b∈R1)σ(a+b)=σ(a)+σ(b),2)σ(ab)=σ(a)σ(b) σ(ab)=σ(b)σ(a).σ . .σ҂ đ σс . σ҂ đ ∃c,d∈R,σ(cd)=σ(c)σ(d)=σ(d)σ(c)∀x∈R,σ(cx)=σ(c)σ(x),σ(xd)=σ(x)σ(d)18đσ(cx)=σ(x)σ(c)σ(c(d+x))=σ(cd+cx)=σ(c)σ(d)+σ(x)σ(c)(1.1)đσ(c(d+x))=σ(d+x)σ(c)=σ(d)σ(c)+σ(x)σ(c)(1.2) (1.2) (1.1) бσ(c)σ(d)=σ(d)σ(c).сσ(c(d+x))=σ(c)σ(d)+σ(c)σ(x)(1.3) (1.3) (1.1) бσ(x)σ(c)=σ(c)σ(x)∀x∈R,σ(cx)=σ(c)σ(x)σ(xd)=σ(x)σ(d)∀x,y∈R,σ(xy)=σ(y)σ(x)∀z∈R,σ(xz)=σ(x)σ(z)σ(zy)=σ(z)σ(y)σ((x+c)(y+d))=σ(y)σ(x)+σ(x)σ(d)+σ(c)σ(y)+σ(c)σ(d)(1.4)đσ((x+c)(y+d))=σ(y+d)σ(x+c)=σ(y)σ(x)+σ(d)σ(x)+σ(y)σ(c)+σ(d)σ(c)(1.5)∵σ(x)σ(d)=σ(d)σ(x),σ(c)σ(y)=σ(y)σ(c)∴ (1.4)đ(1.5)σ(c)σ(d)=σ(d)σ(c)19 .сσ((x+c)(y+d))=σ(x+c)σ(y+d)=σ(x)σ(y)+σ(x)σ(d)+σ(c)σ(y)+σ(c)σ(d)(1.6)(1.4),(1.6)σ(x)σ(y)=σ(y)σ(x)∴Վ σ R .12. R đ R R đR Z pčp Ď đ Z .13. R đ G(R) R .Aut R R. G(R) Ӱ Ӯ đ [G(R):Aut R]1 2.(1): о đ∀σ,η∈G(R).σ đη đ ση Ġσ đη đ ση Ġσ,η đ đ ση ..ğσid=σ=idσ.ğσσ−1=id.(2): Aut R G(R) .∀σ,η∈G(R),σAut R=ηAut R⇔η−1σ∈Aut R, σ,η đ .G(R)=Aut R, [G(R):Aut R]=1;Aut R⊂G(R), [G(R):Aut R]=2.1.61. R đM Abel . թ R End M u, u(1)=id M. R×M M (a,x)→ax=u(a)(x),a∈R,x∈M MӮ R⚷ .∀x,y∈M,a,b∈R, u(a)∈End M;(a)a(x+y)=u(a)(x+y)=u(a)(x)+u(a)(y)=ax+ay;(b)(a+b)x=u(a+b)(x)=(u(a)+u(b))(x)=u(a)(x)+u(b)(x)=ax+bx;(c)(ab)x=u(ab)(x)=(u(a)u(b))(x)=u(a)(u(b)(x))=u(a)(bx)=a(bx);(d)1x=u(1)(x)=id M(x)=x.20∴ Վ MӮ R⚷ .2. R đM R⚷ . R End M f f(1)=id M.f:R−→End M,∀a∈R,f(a)=a id M, f(1)= id M,f R End M .3. R,S đ1 ,1 љ S R đ f:S→R đf(1 )=1. M R⚷ . ğS×M M (s,x)→f(s)x,s∈S,x∈M MӮ S⚷ .∀s,s1,s2∈S,x,x1,x2∈M1):(s1+s2,x)=f(s1+s2)x=[f(s1)+f(s2)]x=f(s1)x+f(s2)x=s1x+s2x;2):(s,x1+x2)=f(s)(x1+x2)=f(s)x1+f(s)x2;3):(s1s2,x)=f(s1s2)x=f(s1)f(s2)x=(s1,(s2,x));4):(1 ,x)=f(1 )x=1x=x.∴f MӮ s− .4. R đM R⚷ đ a∈R. aM={ax|x∈M},M(a)={x|x∈M,ax=0}. aM M(a) M .1):∀x1,x2∈M,ax1,ax2∈aM, ax1−ax2=a(x1−x2)∈aM.∀x∈M,r∈R,r(ax)=a(rx)∈aM,∴aM M .2):∀x1,x2∈M(a),ax1=ax2=0, ax1−ax2=a(x1−x2)=0,∴x1−x2∈M(a).∀x∈M(a),r∈Ra(rx)=r(ax)=0,∴rx∈M(a),∴M(a) M .5. n∈N,a,b∈Z,n=ab,(a,b)=1, Z n Z⚷ . a Z n=Z n(b).Z n={0,1,2,···,n−1},∀x∈Z n(b)⇔n|bx⇔a|x(∵n= ab,(a,b)=1)⇔x∈a Z n6. R⚷ Mӫ ֆ . M ֆ ∀x∈M,x=0 M=Rx.“⇒”:∀x∈M,x=0, {0}⊂Rx⊆M,∀ax∈Rx,bx∈Rx, a,b∈R,ax−bx=(a−b)x∈Rx,∴Rx<M.čRx҂ Ď∀r∈R,ax∈Rx,r(ax)=(ra)x∈Rx,∴Rx M .∵M ֆ đ∴Rx M .∴M=Rx.“⇐”: N M đN={0}, RN⊆N,∀x∈N,x=0, Rx⊆RN.x∈M,x=0,∴ M=Rx,∴M=Rx⊆RN⊆N.Ֆ M=N,∴M .∴M ֆ .21 7. Rč Ď ֆR⚷ R .“⇐”: R đ R đ I R⇔I R .∴R đ∴R ֆ .“⇒”: R ֆ đ 6 ∀x∈R,x=0, R=Rx.∀x∈R,x=0,∃r∈R, 1=rx.∴x đ R đ∴{R∗;·}Ӯ đ R .8. M R⚷ đS M .S Rann R S={a∈R|ax=0,∀x∈S}:1)ann R S R čM R⚷ đ Ď;2) S M đ ann R S R .1)∀a,b∈ann R S, ax=bx=0,∀x∈S,Ֆ ax−bx=(a−b)x=0,∀x∈S,∴a−b∈ann R S.∀a∈ann R S,r∈R,rax=0,∀x∈S,∴ra∈ann R S. ann R S R .2)∀a∈ann R S,r∈R,x∈S,∵S M đ∴rx∈S,∴arx=a(rx)=0,∴ar∈ann R S,∴ann R S R .9. Z⚷ Z m Z ann Z Z m Z/ann Z Z m.k·n=0,∀n∈Z m,k∈Z⇔k∈m Z.∴ann Z Z m= m Z,Z/ann Z Z m=Z m.10. R . ğ1) R⚷ R End L R R Ġ2) R⚷ End R R R .1.6.14 End L R∼=R r R,End R R∼=L r∼=R,(R rіR Ӱэ đL rі R Ӱэ .)11. V P đA V э đ P[λ]×V V (f(λ),x)→f(A)x,f(λ)∈P[λ],x∈V. V P[λ]⚷ . ğ1)End p[λ]V={ϕ∈End(V)|ϕA=Aϕ}, End(V) V эĠ2)ann p[λ]V={f(λ)∈P[λ]|f(A)=0}= g(λ) , g(λ) A.1) đ∀ϕ∈End p[λ]V, ϕ(x+y)=ϕ(x)+ϕ(y),∀x,y∈V.ϕ(ax)=aϕ(x),∀a∈P,x∈V.∴ϕ∈End(V).22ϕ(λx)=λϕ(x),∀x∈V,∴ϕA=Aϕ.đ∀ϕ∈End(V),ϕA=Aϕ, ϕ(x+y)=ϕ(x)+ϕ(y),∀x,y∈V,ϕ(f(λ)x)=ϕ(f(A)x)=f(A)ϕ(x)= f(λ)ϕ(x),∀f(x)∈P[λ],x∈V,∴End p[λ]V={ϕ∈End(V)|ϕA= Aϕ}.2)f(λ)∈ann p[λ]V⇔f(A)x=0,∀x∈V⇔f(A)=0⇔g(λ)|f(λ)⇔f(λ)∈ g(λ) ,∴ann p[λ]V={f(λ)∈P[λ]|f(A)=0}= g(λ) .12. V C n đ V э AC[λ]⚷ V ԉ A (λ−λ0)n,λ0∈C.1.7 Ч1. đϕ G H đ ϕ . đkerϕ.1)G=R,H=Z đϕ(x)=[x]čx ҆ đx ն ĎĠ2)G=R∗,H=R∗ Ӱ đϕ(x)=|x|;3)G=S n,H={1,−1},ϕ(σ)=sgnσ;4)G=GL(n,P),H=P∗čP Ď,ϕ(A)=det A;5)G=O(n,P),H={1,−1},ϕ(A)=det A;6)G=Z9,H=Z2,ϕ(x) xԢ 2 .1)҂ .ϕ(1.5+0.5)=ϕ(2)=2,ϕ(1.5)+ϕ(0.5)=1+0=12) .kerϕ={1,−1}3) .kerϕ=A n.4) .kerϕ={A|det A=1}.5) .kerϕ=SO(n,p).6)҂ .ϕ(4)=0,ϕ(5)=1,ϕ(4+5)=ϕ(0)=0.2. G1,G2 H đ f i G i H đi=1,2. ker f1ker f2. G1 G2 Ĥ҂ .G1=S3,f1:S3−→Z2,ker f1= (1,2,3) ,G2=Z6,f2:Z6−→Z2,ker f2= 2 ={0,2,4}Z6 đS3҂ đ ՎS3҂ Z6.3. R đC∗ Ӱ .R C∗ ϕϕ(x)=cos x+√−1sin x,∀x∈R.23ϕ đѩ ker ϕ. ∀x,y ∈R ,ϕ(x +y )=cos(x +y )+√−1sin(x +y ),ϕ(x )ϕ(y )=(cos x +√−1sin x )(cos y +√−1sin y )=cos x cos y −sin x sin y +√−1(sin x cos y +cos x sin y )=cos(x +y )+√−1sin(x +y ),∴ϕ(x +y )=ϕ(x )+ϕ(y ),∴ϕ .C ∗ 1, ϕ(x )=1 cos x +√−1sin x =1, x =2kπ,(k ∈Z )∴ker ϕ={x |x =2kπ,k ∈Z }.4. G n ӫ S n đ G Ї . G с H [G :H ]=2.H ={σ∈G |σ },∵id ∈H,∴H G .∀σ1,σ2∈H,σ1σ−12∈G đ∴σ1σ−12∈H,∴H <G. τ∈G, ∀τ1∈G,τ1 đ τ−1τ1∈H,∴τH =τ1H. id ∈G , ∀τ2∈G,τ2 đ id −1τ2∈H,∴id H =τ2H.∴[G :H ]=2.5. G,G đ H G,H G , ϕ G G đ ϕ(H )⊆H , ϕ ԛG/H G /H ϕ∗. m đѩ .G ϕ−−−→G π⏐⏐ ⏐⏐ πG/H ϕ−−−→G /Hϕ π(g )=π ϕ(g ). ϕ .∀g 1,g 2∈G,π(g 1)=π(g 2), g −11g 2∈H ,Ֆ ϕ(g −11g 2)∈H .π ϕ(g −11g 2)=1⇒π ϕ(g 1)=π ϕ(g 2),Ֆ ϕ (π(g 1))=ϕ (π(g 2)),ϕ . ğR,R đK,K љ R,R đ ϕ R R đ ϕ(K )⊆K , ϕ ԛR/K R /K ϕ . ğM,M R đN,N љ M,M đ ϕ M M đ ϕ(N )⊆N , ϕ ԛM/N M /N ϕ .246. K đK n ×n K n Ӯ đ K n ×n .1.4 16 K n ×n đ K n ×n K n ×n {0}.7. R R [x ] x 2+1 Ӯ R [x ]/ x 2+1 C . ϕ:R [x ]−→C ,ϕ(f (x ))=f (√−1),∀f (x )∈R [x ].8. R đ Z ×R Ӱ(m,a )+(n,b )=(m +n,a +b ),(m,a )(n,b )=(mn,na +mb +ab ),m,n ∈Z ,a,b ∈RZ ×R đ ш R .Z ×R đ (1,0),(0,R ) ш R .9. R Abel .R Abel End R , L R R Ӱэ đ L R ⊆End R. ∵∀a R ,b R ∈L R ,∀x ∈R,(a R −b R )x =(a −b )R x,∴a R −b R ∈L R .∵(a R b R )x =(ab )R x,∴a r b R ∈L R .∴L R End R .Cayley R ∼=L R .10. R đ R . RZ p čp Ď đ Z .11. R e с Z p čp Ď Z.č ӫR p , ӫR 0.Ďğ R ∞, p čp Ď.ğ R ∞, .∃a ∈R,a m,ma =0, ∀b ∈R,0=(ma )b =a (mb ),∵R đ∴mb =0, đ b n,nb =0, m ≥n,na =0,∴n ≥m,∴m =nm ҂ đ m =m 1m 2,m 1m 2=1,0=mab =(m 1a )(m 2b ),∵R đ∴m 1a =0 m 2b =0. . m .ğЇ e {me |m ∈Z }=R 1, f :R 1−→Z ,f (me )=m. f . đ R 0 đ f đR 1∼=Z .R p đker f =p Z ,R 1∼=Z /p Z =Z p .2512. R H,K H +K ҂ R . Q ,Z [√−1] C đ Q +Z [√−1]҂ R .13. R ⚷ R ⚷ ğ···−→M i −1f i −1−→M i f i −→M i +1···.f i −1(M i −1)=ker f i ,∀i ∈Z đ ӫՎ .f M N R ⚷ đO і Ӯ R ⚷ . đO →M і O M R ⚷ đN →O N O R ⚷ đ ğ1)f O →M f −→N Ġ2)f M f −→N −→O Ġ3)f O −→M f −→N −→O . 1)f ⇔ker f ={0}=g (0)⇔0g −→M f−→N .2)f ⇔ker g =N =f (M )⇔M f −→N −→0 .3) 1đ2 3Ӯ .14. R ⚷ M đ ӫ ֆ č ҂Ď. M R ⚷ đ ğ1)M ֆ Ġ2) f :M →N đ O →M f −→N Ġ3) g :N →M đ N g −→M −→O . M ֆ ⇔ker f ={0}č∵f Ď⇔0−→M f −→N .∴1⇔2.M ֆ ⇔g (N )=M č∵g Ď⇔N g −→M −→0.∴1⇔3. Վ .1.81. G đG đ G Ĥ҂ . Klein .2. G đa ∈G, a G . ğax =xa,∀x ∈G .26a G đ a G .∀x ∈G,x −1ax =a e , ax =x , a =e,∴x −1ax =a ax =xa .3. 1.8.3 ҂Ӯ .ğ X ={1,2,3,4},A 4 đA 4={(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),(123),(124),(132),(134),(142),(143),(234),(243)},|A 4|=12,, A 4 6 .4. p,q đ p =q , Z pq Ӯ Ĥ pq (1−1p )(1−1q ).5. p đ r ≥1. Z p r Ӯ Ĥ p r (1−1p).6. G Abel đH,K , G đ љ r,s ğ1) (r,s )=1đ G rs Ġ2)G Ї [r,s ] .H = a ,K = b , ab k , (ab )k =a k b k ,∴s |k,t |k,∴[r,s ]|k.đ(ab )[r,s ]=a [r,s ]b [r,s ]=1,∴k =[r,s ].∴ ab G [r,s ] . 2 ԛ1Ӯ .7. G n đ ҂ ҂ . ğ1)G Ġ2)G ҂ ҂ Ġ3)G .1) H <G , ∀g ∈G,g −1Hg <G. |g −1Hg |=|H |,∴g −1Hg =H,∴H G .2)∵∀H <G,H G .∴H ҂ ҂ .G/H G Ї H .G ҂ ҂ đG/H ҂ ҂ .8. G . G с .G đ ∃g ∈G,g ∞, g Z ,Z . Ć∴G đՖ a ∈G,∃b ∈G,b ∈ a ,∃c ∈G,c ∈ a ,c ∈ b ,···, Վ đG đ∴G с .。
编译原理第4章答案精编版
1构造下列正规式相应的DFA(1) 1(0⑴ * 101(2) 1(1010* | 1(010) * 1)* 0 (3) a((a|b) *|ab *a)* b (4) b((ab) * | bb) * ab 解：(1)1(0|1)*101 对应的 NFA 为I10 = &closure(MoveTo(l,0)) I 1 = &closure(MoveTo(l,1)) A[0]B[1] B[1] B[1] C[1,2] C[1,2] D[1,3] C[1,2] D[1,3] B[1] E[1,4] E[1,4]B[1]B[1]F 表由子集法将NFA 转换为DFA第四章词法分析(2)1(10101 1££|ab a) b ( | bb) ab ((3) a((a|b) (4) b((ab)2•已知 NFA=( {x,y,z},{0,1},M,{x},{z} M(y,1)= $ ,M(z,1)={y},构造相应的 解：根据题意有NFA 图如下）其中:M(x,0)={z},M(y,0)={x,y},M(z,0)={x,z},M(x,1)={x},DFAnFI 10 = &closure(MoveTo(l,0)) I 1 = &closure(MoveTo(l,1))A[x] B[z] A[x]B[z] C[x,z] D[y]C[x,z] C[x,z] E[x,y]D[y] E[x,y]E[x,y] F[x,y,z] A[x]F[x,y,z] F[x,y,z] E[x,y]F面将该DFA最小化：(1) 首先将它的状态集分成两个子集：P i={A,D,E},P 2={B,C,F}(2) 区分P2：由于F(F,1)=F(C,1)=E,F(F,0)=F 并且F(C,O)=C,所以F, C 等价。
由于F(B,O)=F(C,O)=C,F(B,1)=D,F(C,1)=E,而D, E 不等价(见下步)，从而B 与C, F 可以区分。
《抽象代数基础》习题解答
⎝ i=1 ⎠
k =1
k =1
aw 所以,对于任意的正整数 n 和 m ,等式成立. hd 考 察 A 中 任 意 n ( n ≥ 1 ) 个 元 素 a1, a2, ⋯, an : 当 n ≥ 3 时 , 要 使 记 号 k a1 ⋅ a2 ⋅ ⋯ ⋅ an 变成有意义的记号,必需在其中添加一些括号规定运算次序.现在我 . 们来阐明:在不改变元素顺序的前提下,无论怎样在其中添加括号,运算结果总是 w n w 等于∏ ai . w i=1
,
gf
⎛1
=
⎜⎜ ⎝
3
2 4
3 1
4 2
5⎞ 5⎟⎟⎠
,
f −1
⎛1 = ⎜⎜⎝3
2 1
3 2
4 5
5⎞ 4 ⎟⎟⎠
.
7.设 a = (i1 i2 ⋯ ik ) ,求 a−1 . 解 我们有 a = (ik ik−1 ⋯ i1) . 8.设 f 是任意一个置换,证明: f ⋅ (i1 i2 ⋯ ik ) ⋅ f −1 = ( f (i1) f (i2 ) ⋯ f (ik )) .
网 事实上,当 n = 1 或 n = 2 时,无需加括号,我们的结论自然成立.当 n = 3 时,由
于“ ⋅ ”适合结合律,我们的结论成立.假设当 n ≤ r ( r ≥ 1 )时我们的结论成立.考察
案 n = r +1 的 情 形 : 不 妨 设 最 后 一 次 运 算 是 a ⋅b , 其 中 a 为 a1, a2, ⋯, an 中 前
所以 Z 关于该乘法构成一个群.
4.写出 S3 的乘法表.
解 S3 = {(1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}, S3 的乘法表如下:
抽象代数考核练习题答案
抽象代数考核练习题答案抽象代数考核练习>> 在线答题结果单选一、单选1、设映射f：A→B和g：B→C，如果gf是双射，那么g是（）。
（分数：2 分）A. A、单射B. B、满射C. C、双射D. D映射标准答案是：C。
您的答案是：C2、设M是数域F上的全体100阶方阵的集合，规定～如下：A～B 等价于A的秩=B的秩（A，B 属于M），那么M的所有不同的等价类为（）。
（分数：2 分）A. A、100个B. B、101个C. C、102个D. D 103个标准答案是：B。
您的答案是：B3、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是（）。
（分数：2 分）A. A、｛1，－1，i , －i｝B. B、｛1，－1｝C. C、｛1，－1，i｝D. D｛1｝标准答案是：C。
您的答案是：C4、设G是一个100阶的交换群，H是 G的子群， H 的阶=10，则 G/H中10阶元的个数为（）。
（分数：2 分）A. A、9B. B、4C. C、1D. D 5标准答案是：B。
您的答案是：B5、6阶非交换群的所有子群的个数是（）。
（分数：2 分）A. A、2B. B、3C. C、6D. D 4标准答案是：C。
您的答案是：C6、在模100的剩余环中，零因子的个数是（）（分数：2 分）A. A、58B. B、59C. C、60D. D 57标准答案是：D。
您的答案是：D7、在6次对称群S6中，=（16）（23）（456）的阶为（）。
（分数：2 分）A. A、6B. B、12C. C、4D. D 8标准答案是：B。
您的答案是：B8、设N是G的不变子群，f:G--G/N,g--gN, 那么kerf=（）。
（分数：2 分）A. A、G/NB. B、GC. C、ND. D 空集标准答案是：C。
您的答案是：C9、在模60的剩余类加群（Z60，+）中，<[12]>∩<[18]>=（）。
（分数：2 分）A. A、<[6]>B. B、<[36]>C. C、<[-24]>D. D、<[6]>标准答案是：B。
代数结构非作业部分的课后习题答案
第四章 代数结构P86：8、（1）a*b=a*a 2=a 2*a=b*a ；同理可证b*c=c*b 和c*d=d*c ；a*c=a*b 2=a*a 4=a*(a*a*a*a) =(a*a)*(a*a)*a=b 2*a=c*a 同理可证b*d ；a*d=a*c 2=a*b 4=a*a 8=(a*a)* (a*a)*(a*a)* (a*a)*a=b 4*a=c 2*a=d*a综三所证，对任意x,y ∈A ，都有x*y=y*x 成立，故*是可交换运算。
10、(Z ＋,×)，其中Z +为正整数集，×为普通乘法运算，幺元为1。
×运算在Z +上封闭，×运算可结合、可交换。
除幺元1外，代数系统(Z ＋,×)中每个元素都没有逆元。
11、证明：由于⊗k 可交换，故只需证明：任选a,b,c ∈N k ，都有：)(c b a k k ⊕⊗=)()(c a b a k k k ⊗⊕⊗和 a c b k k ⊗⊕)(=)()(a c a b k k k ⊗⊕⊗成立)(c b a k k ⊕⊗= ]])[([])[(kk cb kc b a k k cb kc b a +-+⨯-+-+⨯= ]][)([])[)(k cb a kc b a k k c b ak c b a +-+⨯-+-+⨯ = ][])([][)(k c b ak k c b a k k c b ak c b a +++⨯-+-+⨯ (因为][k cb a +为整数) = ])([)(k c b a k c b a +⨯-+⨯)()(c a b a k k k ⊗⊕⊗= ]])[(])[([])[(])[(kk ack ac k ab k ab k k ac k ac k ab k ab -+---+- = ])][]([)([])[][()(kack ab k ac ab k k ab k k ac k ac ab +-+-+-+= ])[]([])([])[][()(k ac k ab k k ac ab k k ab k k ac k ac ab +++-+-+ (因为][][kac k ab 和是整数)= ])([)(k ac ab k ac ab +-+ = ])([)(kc b a k c b a +-+ = )(c b a k k ⊕⊗又由k ⊗是可交换运算可知:a cb k k ⊗⊕)( = )(c b a k k ⊕⊗ = )()(c a b a k k k ⊗⊕⊗=)()(a c a b k k k ⊗⊕⊗故k ⊗对k ⊕可分配.P87：14、(A,*)到(A,○*)的同构映射f 为： f(e)=e ，f(b)=c, f(a)=a, f(c)=b ；或者 f(e)=e ，f(b)=c, f(a)=b, f(c)=a ；15. (N 5, ⊕5)的所有自同构映射为f 1、f 2、f 3和f 4，其中 f 1(k)=k, k ∈N 5；f 2(0)=0，f 2(1)=4，f 2(2)=3，f 2(3)=2，f 2(4)=4； f 3(0)=0，f 3(1)=3，f 3(2)=1，f 3(3)=4，f 3(4)=2； f 4(0)=0，f 4(1)=2，f 4(2)=4，f 4(3)=1，f 4(4)=3；16、(N 5, ⊗5)的所有自同构映射为f 1和f 2，其中 f 1(k)=k, k ∈N 5；f 2(0)=0，f 2(1)=1，f 2(2)=3，f 2(3)=2，f 2(4)=4；17、由f 的定义可知：f(a)=(a (mod3))＝3[]3a a -，故f(a ⊕6b) = f(6[]6a ba b ++-) =6[]66[]3[]63a ba b a ba b ++-++-- = 6[]66[]3[]63a ba b a ba b ++-++--= 6[]3[2[]]636a b a b a ba b ++++--- = 3[]3a ba b ++- f(a)⊕3f(b) = (3[]3a a -)⊕3(3[]3bb -)= (3[])(3[])33(3[])(3[])3[]333a b a b a b a b -+--+-- =()()3([][])3[([][])]33333a b a b a ba b ++-+--+ = ()()3([][])3[([][])]33333a b a b a ba b ++-+--+ = 3[]3a ba b ++- = f(a ⊕6b)19、不妨设θ为（A,*）的零元，假设f(θ)=θ’，下面证明θ’是代数系统(B,⊗)的零元。
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Chapter44.1 Ӯ1. G 4. G 4 Klein K4 .đ Ϝ4 S4 . .(i)G 4 đ G 4 .(ii)G 4 đ ∀a∈G,a2=e.Ֆ ∀a,b∈G,(ab)2= e,, ab=(ab)−1=b−1a−1=ba, G Abel đ G∼=K4.2. G 6. G 6 S3 .G с 3 đ Ԣ 2 đ сAbel đ a=b∈G, a=e,b=e, a,b 4 đ .G с 2 đ Ԣ 3 đ |G| đ .G 2 a, 3 b.1):a,b đ ab 6 đՖ G= ab 6 .2):a,b҂ đ G 6 . G k 3 đj 2 đ2k+j+1=6, (k,j)=(2,1) (1,3). k=2, G3 {x,x−1,y,y−1}. xy҂ 3 đ xy2 đ yx đ xy=yx, x,y 9 đ. (k,j)=(1,3). թ G S6 ֆ ϕ,҂ ϕ(b)= (1,2,3), ϕ(a)=σ. G 3 đ σ(1,2,3)σ−1= (σ(1),σ(2),σ(3)), {σ(1),σ(2),σ(3)}={1,2,3}. σ (1,2,3)҂ đ ҂ σ(1)=1,σ(2)=2,σ(3)=3,҂ σ(1)=1,σ(2)=3,σ(3)=2.α=456σ(4)σ(5)σ(6)σ=(2,3)α, σ2=e, α2=e.σ,(1,2,3) ={(1,2,3),(1,3,2),e,(2,3)α,(1,2)α,(3,1)α} S36465G ∼=S 3.3. G r =st đH G t .H ={g s |g ∈G }={h ∈G |h=e }.G = g 0 , {g s |g ∈G }={g s 0,g 2s 0,···,g ts 0},{h ∈G |h t =e }={g s 0,g 2s 0,···,g ts 0}, {g s 0,g 2s 0,···,g ts 0} G t đ G t . G ={g s |g ∈G }={h ∈G |h t =e }4. G đa,b ∈G.ӫ[a,b ]=aba −1b −1 a,b .{aba −1b −1|a,b ∈G } Ӯ G (1)ӫ G. :1) α∈Aut G , α(G (1))=G (1);2) H G. G/H Abel ԉ H ⊇G (1). 1)α(G (1))=α( {aba −1b −1|a,b ∈G } )= {σ(a )σ(b )σ(a )−1σ(b )−1|a,b ∈G } =G (1).2)G/H Abel ⇔(G/H )(1)={e }⇔G (1)⊆H .5. S G Ӯ đ ϕ,ψ G H đ ϕ(x )=ψ(x ),∀x ∈S. ϕ=ψ. ∀a ∈G , G = S , a =y 1y 2···y n , y i ∈S y −1i ∈S . ϕ(x )=ψ(x ),∀x ∈S , ϕ(x −1)=ψ(x −1),∀x ∈S ,Ֆ ϕ(y i )=ψ(y i ),∀1≤i ≤n , ϕ(a )=ψ(a ), ϕ=ψ.6. H G đ H =G . G = G −H . H =G ∃a ∈G , GH , aH ∩H =∅, aH ⊇H , G −H ⊃H ∪(G −H )=G , G = G −H .7. G đ G с 2 . G k m čm >1Ďđ m kϕ(m ) đ ϕ . m đ ϕ(m ) đ Ԣ . |G | đ с đՖ թ 2 .8. α∈S 3 ҂ . α= 1234567836548271α= 1234567836548271=(1358)(26).669. S n= {(12),(23),···,(n−1n)} .. n=2 đ Ӯ . n=k Ӯ .n=k+1 đ{(12),···,(k−1k)} =S k(1k)(k k+1)(1k)=(1k+1){(12),···,(k−1k),(k k+1)} = {(12),···,(1k),(1k+1)} =S k+1{(12),···,(n−1n)} =S nn=k+1 Ӯ .Ֆ n∈N Ӯ .10. (i1i2···i r)−1=(i r i r−1···i1).(i1···i r)(i r i r−1···i1)=e11. ∀σ∈S n,σ(i1i2···i r)σ−1=(σ(i1)σ(i2)···σ(i r)).j=1,2,···,r−1,(σ(i1i2···i r)σ−1)(σ(i j))=σ(i1i2···i r)(i j)=σ(i j+1),j=r,(σ(i1i2···i r)σ−1)(σ(i r))=σ(i1i2···i r)(i r)=σ(i1),j=r+1,···,n,(σ(i1i2···i r)σ−1)(σ(i j))=σ(i1i2···i r)(i j)=σ(i j),∴σ(i1i2···i r)σ−1=(σ(i1)σ(i2)···σ(i r)).12. G 2k, k k>1. G с 2 .Cayley ğG L G|G|=2k թ 2 a∈G, ∀x∈G,L a(x)2=x,L a k đ k đՖ L a đ L G թ2 đ G .6713. σ r ⚷ . ğ1)σk Ԋ Ĥ2) σk đσk Ӊ Ĥ1) ӫ đσk ⇔σk Ӊ 1 r ⇔σk 1 r ⇔(k,r )=1 r .2) (k,r )=1 ,σk Ӊ r ; (k,r )=r đσk Ӊ 1.14. σ r ⚷ đ k |r. σk k Ӊ r/k ҂.n =r/k, n ∈N ., σ=(α1α2···αr )= α1α2···αr −1αrα2α3···αr α1σk = α1α2···αr −k αr −k +1···αr αk +1αk +2···αr α1···αkğσk =(α1αk +1α2k +1···α(n −1)k +1(=r −k +1))(α2αk +2α2k +2···α(n −1)k +2(=r −k +2)···(αk α2k ···αnk (=r )), ҂ đ Ӊ n , r/k ,∴σk k Ӊ r/k ҂ .4.21. A 1A 2A 3A 4 ш љ s 1,s 2,s 3,s 4. ш љ M 1,M 2,M 3,M 4. ш m 1,m2. d 1,d 2. O .č ĎG A 1A 2A 3A 4҂э ЌӉэ . ӈ GX ={A i ,M i ,s i ,m i ,d i ,O }. X .A 1A 2A 3A 4҂э ЌӉэ э č Ďđѩ A 1A 2A 3A 4҂эč ҂эđ ѓ эĎđ ӈ X ∀g ∈G,g R 2 ЌӉэ đg X P э э g (P ).∴X ğ{A 1,A 2,A 3,A 4}∪{M 1,M 2,M 3,M 4}∪{s 1,s 2,s 3,s 4}∪{m 1,m 2}∪{d 1,d 2}∪{O }.G 8 đ a =0−110č O π/2Ďđb ={ m 1 } Ӯđa 4đb 2.682. G X đY X đF Y ={g ∈G |g (Y )=Y }X Z đ ∃g ∈G Z =g (Y )đ ӫZ Y G .1)F Y G Ġ2)F g (Y )=ad g (F Y );3) G đ X Y [G :F Y ] . 1)∀g 1,g 2∈F Y , g 1g −12(Y )=g 1(Y )=Y , g 1g −12∈F Y , F Y G .2)∀g 1∈F Y đ gg 1g −1(g (Y ))=g (Y ), F g (Y )⊇ad g (F Y ). F Y =F g −1(g (Y ))⊇ad g −1(f G (Y )), F g (Y )⊆ad g (F Y ),Ֆ F g (Y )=ad g (F Y ).3) T ={g (Y )|g ∈G }. G T ğ∀Z ∈T,g (Z )={g (z )|z ∈Z }. Y F Y ,g T đ |G |<∞, X Y |T |=[G :F Y ].3. G H n . H Ї G N [G :N ]|n !.G G/H đ ԛG S n η,ker η= x ∈G/HF x , F eH =H , N =ker η. N ⊂H , NG ,[G :N ]|n !.4. p G đ H G [G :H ]=p . H G .p G đ G K,[G :K ] ҂ p , թ G N , N <H , [G :H ]|p !, [G :N ]=p , H =N , H G .5. G č ӫ ĎđH G đ[G :H ]=m . G ҂ m . H G .d =min {o (g )|o (g ) g đg ∈G , g =e }, d đ d ≥m . m =1, H G. m >1, g ∈G g ∈H , s =min {t |gt ∈H }, [G :H ]≥s , (s,o (g ))>1, s ≥d ! m ≥d ,Ֆ m đ 3 H G .6. G đ ğ1) G ={e } đG G ϴ .2) C (G )={e } đG G ϴ . 1) Oe ={e } ğG G ϴ ⇔G ={e }.2) .69 7. ԛS3,S4 .S3 3 đ љ (1),(12),(123) սіđC(1)= {(1)},C(12)={(12),(13),(23)},C(123)={(123),(132)}.8. S3 nn=n1+n2+···+n q,n1≥n2≥···n q≥1 .σ∈S n,σ(i1,···,i r)σ−1=(σ(i1),···,σ(i r))σ,η∈S n,σ η σ,η Ӯ҂ . S n n ğ σ∈S n,σ=σ1σ2···σk,σ1,σ2,···,σk k ҂ . |σi|і σi Ӊ đk|σi|=ni=1|σ1|≥|σ2|≥···≥|σk|. σ սі n ğn=|σ1|+|σ2|+···+|σk|..9. H G . ğ1)H G Ġ2)C h⊆H, h∈H;3)C q∩H=∅,g∈H..10. H G đ ğ1) ∀g∈G,H1=gHg−1 G čӫ H Ď.2) G N G(H)={g∈G|gHg−1=H} G HN G(H).čN G(H)ӫ H G đ ӫ H .Ď3)G H [G:N G(H)].4)H G⇐⇒N a(H)=G.1)∵ad g∈Int G,∴ HэӮG=ad gG gHg−1.2) X={gHg−1|g∈G}, G X ğg(K)=gKg−1,∀K∈X.70N G (H )=F H , H N G (H ) .3)2 đ G H|X |=[G :N G (H )].4)H G ⇔|X |=1⇔[G :N G (H )]=1⇔G =N G (H ).11. H G č H =G Ď. G = g ∈G gHg −1. 3 | g ∈G gHg −1|≤[G :N G (H )](|H |−1)+1≤[G :H ]|H |+1−[G :H ]=|G |+1−[G :H ]<|G |, G = g ∈GgHg −1.12. H G .GC G (H )={g ∈G |gh =hg,∀h ∈H }ӫ H G , ӫ H . :1)C G (H )=h ∈HC G (h );2)C G (H ) N G (H ). .13. H,K G .∀k ∈K ,ӫkHk −1 H K- . H ҂K - [K :K ∩N G (H )]. 10 2 K đ F H =K ∩N G (H ), H ҂ K − [K :K ∩N G (H )].14. θ G , θ(C (G ))=C (G ). .15. Aut G G ,C (G )={e }(e G ). C (Aut G )={id G }. θ∈C (Aut G ), ∀g ∈G,af gθad g −1=θ.Ֆ ∀h ∈G,ad gθad g −1(h )=θ(h ), (gθ(g −1))θ(h )(gθ(g −1))−1=θ(h ), θ(g )=g , θ=id G ,ՖC (Aut G )={id G }.16. a G . I ={g ∈G |α(g )=g −1}. :1) |I |>34|G |, G Abel ;2) |I |=34|G |, G Ї 2 Abel .71 17. G X , ∀x1,x2,y1,y2∈X,x1=x2,y1=y2,∃g∈G y1=g(x1),y2=g(x2). ӫG X .Π(X)={X1,X2,···,X k,···}X , g(π(X))={g(X1),g(X2),···,g(X k),···}, g(π(X))=π(X) ԉ π(X)={X} π(X)={{x}|x∈X}..ԉ .с . i |X i|>1,҂ x1,x2∈X i, ∀y=x1,x2, G X đ g, g(x1)=x1,g(x2)=y, g(π(X))=π(X), y∈x i,Ֆ X i=X, π(X)={X}.∀i,|X i|=1, π(X)={{x}|x∈X}.18. n≥2 ,S n {1,2,···,n} .S n .19.n ,A n {1,2,···,n} ?n=2,3 đA n {1,2,···,n} .n=2 3 đA n {1,2,···,n} ҂ .n=1 đ .n≥4 đ ∀x1,x2,y1,y2∈{1,2,···,n},x1=x2,y1=y2,թ σ∈S n y1=σ(x1),y2=σ(x2), x3,x4 x1,x2,x3,x4 ҂đ σ1=(σ(x3),σ(x4))σ, σ1,σ2 с A n, σ(x1)=y1,σ(x2)=y2, A n {1,2,···,n} .4.3Sylow1. p . p2 . ,p2 .C(G)={e}, p2 .1)G p2 đ G p2 .2)G p2 đ Ԣ đ p . a=e,b∈ a , G= a ⊗ b ∼=Z p⊕Z p. đp2 .2. p ,G=<a,b,c>.a,b,ca p=b p=c p=e,ab=ba,ac=ca,bc=cbe G . :G p3 , Ԣp.72 3. p ,F p l−1 , F G.:“ p G , H G , [G:H]=p, H G”.Ч p G ,F<G, [G:H]=|G|/|F|=p l/p l−1=p. ՎF G.4. ԛS4 Sylow3− .|S4|=24=3×23,∴S4 Sylow3− 3 , k . k≡1(mod3) k|8,Ֆ k 1 4.(123)∈S4, (123) 3 ,∴ (123) ={(1),(123),(132)} Sylow3− .(14)∈S4, Sylow (14) (123) (14)−1= {(1),(234),(243)} Sylow3− .,(24) (123) (24)−1={(1),(134),(143)},(34) (123) (34)−1= {(1),(124),(142)} Sylow3− .∴k=4.S4 Sylow3− :p1={(1),(123),(132)},p2={(1),(234),(243)},p3={(1),(134),(143)},p4={(1),(124),(142)} ( : ԛ4 3 (123),(124),(134),(234) .)5. 56 148 ҂ ֆ .G 56đ K G Sylow7− đ K≡1(mod7) K|8, K=1 8. K=1, G ֆĠ K=8, 7 8×(7−1)=48 đ G 8 đ G թ 8 Sylow2− đ 8 Ӯ Sylow2− đ 56 ֆ. |G|=148=22×37, Sylow37 đ 148 ֆ. 6. G 353. G 125 .Sylow G 125 Sylow5− đ 125 .7. G p l m,p , p>m(m=1). G҂ ֆ .Sylow p− .8. p,q ,p<q,p (q−1). pq .Sylow đpđq đՖ .9. 255 .255=3×5×17, Sylow ğSylow17− đSylow5− 1 51 đSylow3− 1 85 .73 Sylow17− P17= a , Sylow3− P3= b ,Sylow5− P5= c . P17 đ P5×P17 G đ P5×P17 đ ađc . P5×P17 8564 đ Sylow5− ҂ đ 51 đՖ 54×51204 đՖ 64Đ204<255, . Sylow5− .P3×P5,P3×P17 đՖ ađbđc đ G= abc 255 .10. H G ,p |G| , p [G:H]. HЇG Sylow p− .P [G:H] HЇ G Sylow p− đ P1, H G, gP g−1⊆H,∀g∈G,Ֆ HЇ G Sylow p− .11. G p l m,p ,(p,m)=1, m<2p. G Sylowp− p l−1 .G Sylow p− P, [G:P]=m, P GN [G:N]|m!, [G:P][P:N]|m!, [P:N] pՑ đ p||m!, [P:N]=1 p,Ֆ G Sylow p− p l−1 .12. p G , P G Sylow p− .N G(N G(P))=N G(P).13 ԛ.13. P G Sylow p− . G H⊇N G(P). N G(H)=H.H k Sylow p− đ P,P2,P3,···,P k. g∈N G(H), gHg−1=H, gP g−1⊆H, gP g−1=P j,h∈H hP h−1=P j,Ֆ (h−1g)P(h−1g)−1=P, h−1g∈N G(P)⊆H, g∈H,N G(H)=H.14. G Abel p− , [G:C(G)]≥p2.G Abel p− đ g∈G, g∈C G(G).g C(G) Abel đ [G: g C(G)]≥p, [ g C(G):C(G)]≥pՖ[G:C(G)]≥p2.15. P G Sylow p− đN G . N∩P,P N/N љ N G/N Sylow p− .H N Sylow p− đ g∈G gHg−1⊆P. N G, gHg−1⊆N,Ֆ gHg−1⊆N∩P. |H|= |N∩P|, |N∩P|=|H|,Ֆ N∩P N Sylow p− .74 p l1|||N|,p l|||G|, p l−l1|||G/N|. Ч P N/N∼= P/P∩N, p l−l1|||P N/N|, P N/N P G/N Sylow p− .ԛp l−l1|||P N/N|, p l−l1|||P/P∩N|, p l1||P∩N|, P∩N N Sylow p− .4.4 ֆ1. G e đ ğ(a)GG=G0⊃G1⊃G2⊃···⊃G n−1⊃G n={e}a.G i G i−1,1≤i≤n;b. G i−1/G i ֆ .(b) G đ G i−1/G i .1) n=pα11pα22···pαk k,p i đ l(n)=α1+···+αk.(G i/G k)/(G i+1/G k)∼=G i/G i+1, l(|G|) .2) G đ G i−1/G i Abel đ G i−1/G i ֆ đG i−1/G i .2. G Abel đ G 2 .n=|G|,n=2l0p l11···p l k k,2,p1,···,p k ҂ . թ G H, ğ2l0−1|||H|. P i G Sylow p i− đ1≤i≤k. G1=HP1···P k, [G:G1]=2.3. (123) A3 C(123).A3=<(123)>, Abel đ C(123)={(123)}.4. (123) A4 C(123).đ(123) S4 đ {(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243)}, Ađ C(123)⊆A.ՑđA α C(123)⇔∃σ∈A4, σ(123)σ−1=α, (σ(1)σ(2)σ(3))=α.đ(123)∈C(123).(124)=(σ(1)σ(2)σ(3))⇒σ=(34)∈A4,∴(124)∈C(123).(142)=(σ(1)σ(2)σ(3))⇒σ=(243)∈A4,∴(142)∈C(123).ԛ(143),(132),(234)∈C(123),(134),(243)∈C(123)∴C(123)={(123),(142),(234),(243)}755. n≥3,r,s {1,2,···,n} đA n=<{(r s t),t=r,s}>.đ n≥3 đA n 3− Ӯđ A n⊇< {(r s t),t=r,s}>.A n⊆<{(r s t),t=r,s}> .∀α∈A n,α і đ α=α1α2···αl.αi 2 ,i=1,2,···,l.ğ(1)(i j)(i j)=id=(r s t0)3,t0=r,s.∴(i j)(i j)∈<{(r s t),t=r,s}>.(2)(i j)(i k)=(i j)(i r)(i r)(i k)=(i r j)(i k r)=(r i)(r j)(r k)(r i)=(r i)(r s)(r j)(r k)(r s)(r s)(r i)=(r s i)(r j s)(r s k)(r i s)= (r s i)(r s j)2(r s k)(r s i)2, i,j,k=r,s,(i j)(i k)∈<{(r s t),t= r,s}>.(r j)(r k)=(r j)(r s)(r s)(r k)=(r s j)(r s k)2, j,k=s.(i r)(i k)=(i k r)=(r k)(r i)=(r k)(r s)(r s)(r i)=(r s k)(r s i)2,k=s.(i r)(i s)=(i s r)=(r s)(r i)(r s i)2, (s j)(s k),(i s)(i k)∈< {(r s t),t=r,s}>.đ ∀i,j,k,(i j)(i k)∈<{(r s t),t=r,s}>.(3)(i k)(j l)=(i k)(i j)(j i)(j l), ∀i,k,j,l,(i k)(j l)∈< {(r s t),t=r,s}>.đ αi∈<{(r s t),t=r,s}>,∴α∈<{(r s t),t=r,s}>.Ֆ A n⊆<{(r s t),t=r,s}>.6. G Abel ֆ đ |G|≥60.G n đ n<60, ҂ Abel . 2 3 5 7>60 n 3 ҂ .1Ďn đ n=p l. G҂ Abel đ l>1,C(G)= G, C(G) G, G ֆ.2)n 2 ҂ đ n=p a q b,p<q,p,q .A)p≥3, 60>n>3a+b, a+b≤3. a=1 đ Sylow q− đ ֆ. a=2 đn=32∗5,Sylow5− đG ֆ.B)p=2. q>7, p a<60/11<q, Sylow q− .G76ֆ. q ≥7, q =3,5,7. đ a =1 đSylow q − đG ֆ. a ≥2 đn ğ22×3,22×32,22×5,22×7,23×3,23×5,23×7. n =22×5 22×7 đSylow q − đ G ֆ. n =22×3 đ 3 ь G ֆ. n =22×32 23×3 đ Sylow 3− 4 1 . 4 đ X ={P 1,P 2,P 3,P 4} G Sylow 3− đ G X đ ԛG S 1×1 σ, G/Ker σ S 4 . n =22×32, |G/Ker σ|≤|S 4|=24, Ker σ={e }. G X đ Ker σ=G, Ker σ G . G ֆ. n =23×3, Ker σ={e }, G ֆĠ Ker σ={e },Ֆ G ∼=S 4, A 4 G G ֆ. n =23×5 đ Sylow 5− đ G ֆ. n =23×7 đ G ֆ. đ |G | 2 ҂ đG ֆ.3)n 3 ҂ . n/2×3×5≤1,n <3×5×7, n =2qr,2,q,r ҂ . 2||n , G с H [G :H ]=2,Ֆ G ֆ.ğ |G |<60, đ G ҂ ֆ . G Abel ֆ đ |G |≥60.7. G 60 ֆ đ G A 5 .H G đX ={gHg −1|g ∈G }, G X . G ֆ đ . n =[G :N G (H )]=|X |, G S n đ n ≥5,[G :H ]≥5. n =5, G S n đ G ∼=A 5. G Sylow 2− đ n 2 3đ5đ15 đ đn 2≥5: n 2=5, G ∼=A 5, n 2=15, 5 6×(5−1)=24 ğс 2 Sylow 2− ҂ {e }, 2 A. C G (A )Ї Sylow 2− đ 4|C G (A ),|C G (A )|>4, |G :C G (A )|≥5,Ֆ |C G (A )|=12,[G :C G (A )]=5. G ֆ đ N G (C G (A ))=C G (A ), [G :N G (C G (A ))]=5 G ∼=A 5. G ∼=A 5.8. G =SL(3,Z 2), Z 2 1 3 . G 168 ֆ .Z 2 1 đ SL(3,Z 2)=GL(3,Z 2). |GL (n,Z p )|=n −1 i =1(p n −p i ), |G |=(23−1)(23−2)(23−22)=168=23×3×7. Z 2 Ց ҂ն 3 ҂ ğx,x −1,x 2+x +1,x 3+x +1,x 3+x 2+1. Z 2 n77đSL(3,Z 2) 6 ѓ ğ⎛⎝100010001⎞⎠⎛⎝110010001⎞⎠⎛⎝110011001⎞⎠⎛⎝001101010⎞⎠⎛⎝001100011⎞⎠⎛⎝100001011⎞⎠ љ A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6, љ ğ(x −1),(x −1)2,(x −1)3,x 3+x +1,x 3+x 2+1,(x −1)(x 2+x +1). G A 1,A 2,···,A 6 սі 6 .A i A 1,A 2,···,A 6 љ ğ1đ2đ4đ7đ7đ3.235 8 {P (1×i,j )|1≤i,j ≤3,i =j } =G . 2 2 đ 2 3 . H G, H =G đ H 2 . đс 2 đ |H ||3×7. |C (A 2)|=8,|C (A 3)|=4,|C (A 6)|=3. 2 168/8Ģ21 ,4 42 đ3 56 đՖ 7 168−21−42−56−1=48 . Sylow p − ğ H 3 đ 56 3 Ġ H 7 đ 48 . |H |≤21, |H |=1. G ֆ .9. G G e đ C (G )={e }. :C (Aut G )={id }.2.15 .10. G Abel ֆ đA =Aut G. A . Aut A =Int A.4.51. p,q đ p <q . A p đ B q đG A B . ğ(a)G A B Ч Ġ(b) q p ҂ 1đ Վ đG pq Ġ(c) q ≡1(mod p ), թ A B G .Վ G Abel .1) N G, N ∼=B. G Sylow p − P đ P ∩N ={e }, P N =G. G A B Ч .2) q ≡1(mod p ), Sylow p − đ P , P G, P N =G. Վ đG pq .3)782. A đB љ m,n đ A B Ĥč đ ӫ .Ď3. A C (A )={1}, Aut A =Int A , ӫA . B A .C (A )={1}, C G (A )∩A ={e }, ∀g ∈G,ad g ∈Aut A ; Aut A =Int A, a ∈A, ad g =ad a, a −1g ∈C G (A ). G =C G (A )A. C G (A ) đ C G (A ) G , .4. N 1,N 2,···,N k G đ G N 1,N 2,···,N k ԉ ğ(a)G =N 1N 2···N k ;(b)N i G,1≤i ≤k ;(c)( j =iN j )∩N i ={1},1≤i ≤k . ԉ ğ 1đ2 Ӯ ∀g ∈G,g =n 1n 2···g k ,n i ∈N i і . m i ∈N i , g =n 1n 2···g k =m 1m 2···m k .(∗) m −11n 1=m 2m 3···m k n −1k n −1k −1···n −12=(m 2···m k )(n 2···n k )−1.∵N i G,1≤i ≤k,∴N 2N 3···N k G, m 2···m k ∈N 2N 3···N k ,n 2···n k ∈N 2N 3···N k , (n 2···n k )−1∈N 2···N k ,∴(m 2···m k )(n 2···n k )−1∈N 2···N k , m −11n 1∈N 1,∴m −11n 1∈N 1∩( j =1N j )={1}.Ֆ n 1=m 1. (∗) n 1,m 1, đ Ց n 2=m 2,n 3=m 3,···,n k =m k ∴g і đՖ ԉ .с ğ∵G N 1,N 2,···,N k đ∴1,2Ӯ . ∀g ∈G,g =n 1n 2···N k і . a ∈N 1∩( j =1N j ). n i ∈N i ,i =1,2,···,k a =n 1=n 2···n k , a =n 11·1·1····1 k −1=1·n 2n 3···n k , і n 1=n 2=···=n k =1,∴a =1 N 1∩( j =1N j )={1}. N i ∩( j =iN j )={1},1≤i ≤k. 3Ӯ .5. G =N 1N 2···N k . (j =i N j )⊆C G (N i ).79N i ∩N j ={e },N i N i N j ,N j N i N j , N i N j đՖ ( j =i N j )⊆C G (N i ).6. G =A ⊗B, N B . ğ(a)N G Ġ(b)G/N A ×(B/N ) .(a)∀g ∈G,n ∈N , G =A ⊗B ∃a ∈A,b ∈B . g =ab .∴gng −1=abnb −1a −1,∵N B,∴bnb −1∈N ⊆B. G =A ⊗B a (bnb −1)=(bnb −1)a,∴gng −1=bnb −1aa −1=bnb −1aa −1=bnb −1∈N,∴N G(b) f :A ×(B/N )−→G/N,f ((a,bN ))=abN. đ (a,b 1N )=(a,b 2N ), b −11a −1ab 2∈N , (ab 1)−1(ab 2)∈N,∴ab 1N =ab 2N,∴f . Ցđ f ((a 1,b 1N ))=f ((a 2,b 2N )), a 1b 1N =a 2b 2N,(a 1b 1)−1a 2b 2∈N,∃n 1∈N, b −11a −11a 2b 2=n 1.∵G =A ⊗B,∴b −11(a −11a 2)=(a −11a 2)b −11, (a −11a 2)(b −11b 2)=1n 1. 1∈A,n 1∈N ⊆B . G с a −11a 2=1,b −11b 2=n 1, a 1=a 2,b −11b 2∈N ∴b 1N =b 2N , (a 1,b 1N )=(a 2,b 2N ),∴f ֆ .Ցđ∀gN ∈G/N,∃a ∈A,b ∈B , g =ab , gN =abN (a,bN ),∴f .đf ((a 1,b 1N )(a 2,b 2N ))=f ((a 1a 2,b 1b 2N ))=a 1a 2b 1b 2NA B a 1a 2b 1b 2N =a 1b 1a 2b 2N =a 1b 1N ·a 2b 2N f ((a 1,b 1N )(a 2,b 2N ))=f ((a 1,b 1N ))f ((a 2,b 2N )),∴f . f A ×B/N G/N đ G/N A ×B/N .7. A,B G đ G =AB. G/(A ∩B )=A/(A ∩B )⊗B/(A ∩B ).A,B G đ A/(A ∩B ),B/(A ∩B ) G/(A ∩B ) đ (A/(A ∩B ))∩(B/(A ∩B ))=(A ∩B )/(A ∩B )={id },A/(A ∩B )×B/(A ∩B )=G/(A ∩B ), G/(A ∩B )=A/(A ∩B )⊗B/(A ∩B ).80 8. A,B G , A∩B={1}. G (G/A)×(G/B).fG−→G/A×G/Bf(g)=(gA,gB), f .(g1A,g1B)=(g2A,g2B), g1A=g2A,g1B=g2B,∴g−11g2∈A∩B,∴g−11g2=1,∴g1=g2.Ֆ f ֆ đ f(g1g2)=(g1g2A,g1g2B)=(g1A,g1B)(g2A,g2B)= f(g1)f(g2).∴f ֆ . f:G−→f(G) .∴G f(G).f(G) G/A×G/B đ Ӯ .9. A,B G , G=AB;ab=ba,∀a∈A,b∈B. թA×B G .σ:σ(a,b)=ab .10. Y X đ G,A,B љ P(X),P(Y),P(X−Y) ӫҵo ” Ӯ čҕ 1.2 7Ď. G A×B .f:G−→A×B,f(M)=(M∩Y,M−Y). f .f(M)=f(N), (M∩Y,M−Y)=(N∩Y,N−Y), M∩Y= N∩Y,M−Y=N−Y.Ֆ M=(M∩Y)∪(M−Y)=(N∩Y)∪(N−Y)=N,∴f ֆ .∀A1∈A,B1∈B, M=A1∪B1, M∈G,f(M)=(M∩Y,M−Y)=(A1,B1).∀(A1,b1)∈A×B, A1∩B1. f .∀M,N∈G,f(M N)=((M N)∩Y,(M N)−Y)=((M∩Y) (N∩Y),(M−Y) (N−y)=(M∩Y,M−Y) (N∩Y,N−Y)=f(M) f(N).f .∴f .∴G A×B.11. G đ|G|=p a11p a22···p a k k,p1,p2,···,p k ҂. Sylow p i− P i G. G=P1⊗P2⊗···⊗P k.ğ G=(si=1N i)⊗(ti=1M i), G=N1⊗···⊗N s⊗···⊗M t.81 4.61. ğn≤4 đS n Ġn≥5 đS n .Ӯ 60 ֆ Abel đ60 . n≤4 đ|S n|<60, S n .n≥5 đ A n҂ đ S n҂ .2. GL(2,Z2),GL(2,Z3) .ğ |GL(2,Z2)|=|(22−1)(22−2)|< 60,|GL(2,Z3)|=(32−1)(32−3)<60, GL(2,Z2),GL(2,Z3) .3. G pqr, p,q,r ҂ . G .pq đ G Sylow q− Sylow r− , G Ġ G ҂թ Sylow q− Sylow p− đ Sylow r− pq đSylow q− r đ r q pq(r−1)+r(q−1)≥pqr−pq+rp>pqr=|G|, . pqr .4.(a) H,K G đ HK G.(b) R Gč҂ Ď ն đH G. H⊆R, G/R .(a) đH G,K G⇒HK G. 49 1.7.3 HK/KH/H∩K.∵H đ∴ H/H∩K .Ֆ HK/K.K đ HK đ HK G .(b) R H G đ 1 HK Gđ H R, R HR,Վ R G նđ∴H⊆R.π:G−→G/R đ∴kerπ=R. πG Ї R G/R. Ϝ đK⊇R,K G, K đ K π|K(K). π|K Kπ|K(K) .∴π|K(K) . đ∵π đ∴ G/RӮ π|K(K). K⊇R, K G. π|K(K)=K/R82 . R đ K . G Ї R G/K. K G/Kđ K=R. K1 G Ї R đс K1 R, ∵G҂ đ∴K1 G.Վ R p Gն o .∴G/R .5. G . ğ(a)G Ġ(b)∀H G,∃H1 H H/H1 Abel K={1};(c)∀H G,G/H Abel K={1}.1)⇒2)⇒3) .3)⇒1):G ն Hđ G/H .3Ď G=H, G .6. H G ն . N G(H)=H.N G(H)=H, g∈N G(H), g∈H. H N G(H), g H . g H/H∼= g /( g ∩H), g H/H đՖg H đ g H⊃H, H ն . N G(H)=H.7. n đ n ԉ n=2k,k∈N.n ҂ 2 p, թ Abel H:|H|=2p.H đ H҂ . n=2pk,k Kđ G=H×K, H҂ đ G҂ đ n đ n=2k. n=2k đ G .8. G .H G ն . N G(H)=H.G đ k∈N, T k=H, H⊃T k+1. [T k,H]⊆[T k,G]=T k+1, T k⊂N G(H),H=N G(H).č G Ϯ Ď.9. G .M G ն . M G. G Sylow.∵M G ն đ∴M G đ G đ M N G(M) . N G(M)=Gđ M N G(M)83 G,Վ M G ն .∴N G(M)=G,Ֆ M G.G Sylow P, 163 12 N G(N G(P))=N G(P).(∗)N G(P)=G, N G(P) G đ G đ∴N G(P) N G(N G(P)) đ (∗) .∴N G(P)=G.Ֆ P G, G Sylow .10. G ∀H G,C(G/H)={1}.G đ Ӊ đ H=G HG đC(G/H)={1}.∀H G,H=G, C(G/H)={1}. |G|<+∞, G Ӊ đ G .4.7Jordan-H¨o lder1. ԛ ZZ⊃20Z⊃60Z⊃{0},Z⊃49Z⊃245Z⊃{0}.Z⊃20Z⊃60Z⊃{0} Z⊃49Z⊃245Z⊃{0} љ ğZ⊃4Z⊃20Z⊃60Z⊃2940Z⊃{0},Z⊃49Z⊃245Z⊃980Z⊃2940Z⊃{0}. .2. Z60 Ӯ đѩ ..3. G Ց č ĎG=G1⊃G2⊃···⊃G r={1}.G i/G i+1 S i,i=1,2,···,r−1. G S1S2···S r−1..4. Abel G Ӯ G .Ӯ Abel .845. G Ӯ G .Gթ Ց G=G1⊃G2...G r=1,G i/G i+1 Abel đ1≤i≤r−1.G Ӯ G .6. G=G1⊃G2⊃···⊃G r={1} G Ӯ đ1đN G ֆ .G1⊇G2N⊇···⊇G r−1N⊇G r N⊇G r={1}҂ G Ӯ .G i/G i+1 G i N/G i+1N ϕ:ϕ(gG i+1)=gG i+1N,∀g∈G i. G i/G i+1 ֆ đ G i N/G i+1N={1} ֆ . G1⊇G2N⊇...G r−1N⊇G r N={1}. ҂ G Ӯ .7. ϕ G H .G=G1⊃G2⊃···⊃G r={1}G Ӯ .H=H1⊇ϕ(G2)⊇···⊇ϕ(G r)={1}҂ H Ӯ .G H ϕ ԛG i/G i+1 ϕ(G i)/ϕ(G i+1) ϕ:ϕ(gG i+)=ϕ(g)ϕ(G i+1),∀g∈G i. đ G i/G i+1 ֆ đ ϕ(G i)/ϕ(G i+1){1} ֆ . H=H1⊇ϕ(G2)⊇...⊇ϕ(G r)= {1} ҂ H Ӯ .8.R- ML1⊆L2⊆···⊆L n⊆···n L n+i=L n,i=1,2,···. ӫM đ ӫM Noether .R- ML1⊇L2⊇···⊇L n···n L n+i=L n,i=1,2,···. ӫM đ ӫM Artin .R- M Ӯ M Noether Artin .85R − M Ӯ đ M Ӯ đ M с Noether Artin . R − Noether Artin đ M 1=M . M đ M 1 M 2 M 1⊇M 2đ M 1/M 2 ֆ đ Ց đ M đ թ R ğM =M 1⊇M 2⊇...⊇M r ={0}, M i /M i +1,i =1,2,...,r −1 ֆ đ M Ӯ .4.8 ϶1. S,T G đ gSg −1⊆S,∀g ∈G. ğ(a)<S > G ;(b)< g ∈G gT g −1> G Ї T .1).2) g ( g ∈G (gT g −1))g −1= g ∈G (gT g −1),∀g ∈G ,g ∈G(gT g −1) G đ Ї T .2. X ={x 1,x 2,x 3}, {x 21,x 22,x 23} Ӯ F (X ) K F (X ) . F (X )/K G 1={x 1k 1x 2k 2x 3k 3|0≤k 1,k 2,k 3≤1} đ x 1,x 2,x 3∈G 1, F (X )/K =G 1, [F (X ):K ]≤8. F (X ) Z 2⊕Z 2⊕Z 2 ϕğϕ(x 1)=(1,0,0),ϕ(x 2)=(0,1,0),ϕ(x 3)=(0,0,1).ker ϕ⊇{x 12,x 22,x 32}, ker ϕ⊇K,đ [F (X ):K ]≥8đՖ [F (X ):K ]=8.3. S 4= (12),(13),(14) ,X ={x 1,x 2,x 3}. S 4 Ӯ x 2i ,(x i x j )3,(x i x j x k )2. i,j,k ҂ .4. S 4= (12),(13),(14) ,X ={x 1,x 2,x 3}, S 4 Ӯ x 2i ,(x i x i +1)3,(x i x j )2., j >i +1.5. 3 S n ,ѩ .6. 4 S n ,ѩ .。