常见算法问题- 第一讲集合及其运算
集合的运算与运算法则
集合的运算与运算法则在数学中，集合是最基本的概念之一。
集合是由一些确定的元素所组成的。
对于一个集合而言，可以对它进行不同的运算。
那么集合的运算有哪些呢？它们又有哪些运算法则呢？本文将为大家详细讲解。
一、集合的基本运算1. 并集运算并集运算指的是将两个或多个集合的元素合并成一个新的集合。
例如：集合A={1,2}，集合B={2,3,4}，则集合A和B的并集为{1,2,3,4}。
2. 交集运算交集运算是指将两个或多个集合中公共元素取出来组成一个新的集合。
例如：集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则集合A和B的交集为{2,3}。
3. 差集运算差集运算是指将一个集合中属于另一个集合的元素从该集合中去除。
例如：集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则集合A和B的差集为{1}。
4. 补集运算补集运算指的是在一个全集中，去掉一个集合后得到的剩余部分。
假设有集合A={1,2,3}，全集U={1,2,3,4,5}，则集合A的补集为{4,5}。
五个符号来表示集合的基本运算：并集运算：A ∪ B交集运算：A ∩ B差集运算：A - B补集运算：A’集合相等：A=B二、集合的运算法则1. 并集运算的法则①结合律：对于任意的集合A、B和C来说，（A∪B）∪C=A∪（B∪C）。
②交换律：对于任意的集合A和B来说，A∪B=B∪A。
③分配律：对于任意的集合A、B和C来说，A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）。
④恒等律：对于任意的集合A来说，A∪Φ=A。
2. 交集运算的法则①结合律：对于任意的集合A、B和C来说，（A∩B）∩C=A∩（B∩C）。
②交换律：对于任意的集合A和B来说，A∩B=B∩A。
③分配律：对于任意的集合A、B和C来说，A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）。
④恒等律：对于任意的集合A来说，A∩U=A。
3. 差集运算的法则①差集运算的定义：对于任意的集合A和B来说，A-B={x|x∈A 且 x∉B}。
集合的基本概念与运算方法
集合的基本概念与运算方法在数学中，集合是由一组独立的元素组成的。
理解集合的基本概念和运算方法对于解决各种数学问题至关重要。
本文将介绍集合的基本概念以及常用的运算方法。
一、集合的基本概念1. 集合的定义：集合通常用大写字母表示，集合内的元素用逗号分隔，并放在大括号中。
例如，集合A可以表示为：A = {1, 2, 3, 4}。
2. 元素：一个集合由若干个元素组成，元素是集合的基本单位。
例如，集合A中的元素1、2、3、4便是集合A的元素。
3. 子集：若一个集合A的所有元素都属于另一个集合B，则称集合A为集合B的子集。
用符号表示为A ⊆ B。
例如，集合A = {1, 2}是集合B = {1, 2, 3}的子集。
4. 相等集合：若两个集合A和B拥有相同的元素，则称集合A和集合B相等。
用符号表示为A = B。
二、集合的运算方法1. 并集：若A和B为两个集合，他们的并集就是包含两个集合中所有元素的集合。
用符号表示为A ∪ B。
例如，集合A = {1, 2}和集合B = {2, 3}的并集为A ∪ B = {1, 2, 3}。
2. 交集：若A和B为两个集合，他们的交集就是属于A且属于B的所有元素的集合。
用符号表示为A ∩ B。
例如，集合A = {1, 2}和集合B = {2, 3}的交集为A ∩ B = {2}。
3. 补集：设U为全集，若A为一个集合，则相对于全集U，A的补集为U中不属于A的所有元素组成的集合。
用符号表示为A'。
例如，集合A = {1, 2, 3, 4}相对于全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}的补集为A' = {5, 6}。
4. 差集：若A和B为两个集合，他们的差集就是属于A但不属于B的所有元素的集合。
用符号表示为A - B。
例如，集合A = {1, 2, 3, 4}和集合B = {2, 3}的差集为A - B = {1, 4}。
5. 互斥集：若两个集合A和B的交集为空集，则称它们为互斥集。
1.3 集合的基本运算
解析： = < 2或 > 8 , = 2 ≤ ≤ 6 −
若 ∩ = ∅，则有
① = ∅，即6 − < 2，即 > 4；
6− ≥2
② ≠ ∅，即
，解得−2 ≤ ≤ 4
6− ≤8
2
综上所述， ≥ −2
在实数范围内的解集： ， − ， ， −
在不同的范围研究同一个问题，可能有不同的结果。我们通常把研究问题前给定的范围所
对应的集合称为全集。
一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就
称这个集合为全集，通常记作U
补集
对于一个集合A，由全集U中的不属于A的所有元素组成的集合称
为集合A 相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作
（2）已知集合运算，求参数，根据集合的运算结果，并借助数轴，建立关于
参数的不等式（组）求解，注意端点值的取舍.
小结
（1）本节课我们学习了什么？
（2）思考：从自然语言、符号语言和图形语言和不同的角度说
一说什么是集合A、B的并集、交集、补集 .
（3）集合A、B的并集、交集、补集哪些性质？集合的基本运算
共同特征：集合C是
由所有属于集合A 或属于
集合B的元素组成的.
（2）A={x｜x是有理数}， B={x｜x是无理数}，
C={x｜x是实数}.
类似集合A+集合B=集合C
1.并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集
.
自然语言
记作：A∪B ，读作：“A并B”。即
A∪B={x | x ∈A ，或x ∈B}
第01讲 集合的概念与运算(解析版)
第 1 讲：集合的概念与运算一、课程标准1、通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．2、.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．了解全集与空集的含义．3、.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．4、.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．二、基础知识回顾1、元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉。
2、集合间的基本关系(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A。
(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A B或B A。
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B。
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
3、集合的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．4、集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A。
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A。
A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A。
（4）∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)。
5、相关结论：(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个。
(2)不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作∅.三、自主热身、归纳总结1、已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3，4,5}，则A∩B＝()A．{3}B．{5}C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}【答案】C【解析】因为A∩B＝{1,3,5,7}∩{2,3,4,5}＝{3,5}，故选C.2、已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}【答案】D【解析】∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，在数轴上表示如图.∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}.3、已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0<x≤4}，则A∪B＝()A．[－1,4] B．(0,3]C．(－1,0]∪(1,4] D．[－1,0]∪(1,4]【答案】A【解析】A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤4}．4、已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝________.【答案】{1，3}【解析】由A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1，3，5}，因此A∩B＝{1，3}.5、已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________.【答案】(－∞，1]【解析】∵1∉{x |x 2－2x ＋a >0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1.6、（多选题）已知全集U R =，集合A ，B 满足A B ，则下列选项正确的有( ) A ．A B B = B ．A B B = C ．()U A B =∅ D ．()U A B =∅【答案】B 、D【解析】A B ，A B A ∴=，A B B =，()U C A B =≠∅，()U A C B =∅，7、（多选题）已知集合[2A =，5)，(,)B a =+∞．若A B ⊆，则实数a 的值可能是( )A ．3-B ．1C ．2D ．5 【答案】、A 、B【解答】解：A B ⊆，2a ∴<，四、例题选讲、变式突破考点一 集合的基本概念例1、已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪⎪ x ＋1x －2≤0，则集合A 的子集的个数为( ) A ． 7 B ． 8 C ． 15 D ．16【答案】B【解析】由x ＋1x －2≤0，可得(x ＋1)(x －2)≤0，且x ≠2，解得－1≤x <2.又x ∈Z ，可得x ＝－1,0,1，∴A ＝{－1,0,1}．∴集合A 的子集的个数为23＝8.【变式1】若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A.92B.98C.0D.0或98【答案】D 【解析】若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的取值为0或98.【变式2】设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2 【答案】选C【解析】因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则b a ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a＝2.故选C.【变式3】已知P ＝{x |2<x <k ，x ∈N }，若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为________．【答案】(5,6]【解析】因为P 中恰有3个元素，所以P ＝{3,4,5}，故k 的取值范围为5<k ≤6.方法总结：1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义。
数据结构集合运算
数据结构集合运算第一点：集合的基本概念及运算集合是数学中的一种基本概念，它是由一些确定的、互不相同的对象构成的整体。
我们通常用大括号{}或者集合的符号表示集合，例如A = {1, 2, 3}。
集合中的元素是无序的，也就是说，集合中的元素顺序是不重要的。
集合的运算主要包括并集、交集、差集和补集等。
下面我们来一一介绍这些运算。
1.1 并集并集是指两个集合中所有元素的总和，用符号∪表示。
如果集合A = {1, 2, 3}和集合B = {3, 4, 5}，那么它们的并集A ∪ B就是{1, 2, 3, 4, 5}。
并集的性质包括：•交换律：A ∪ B = B ∪ A•结合律：(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)1.2 交集交集是指两个集合中共有的元素，用符号∩表示。
如果集合A = {1, 2, 3}和集合B = {3, 4, 5}，那么它们的交集A ∩ B就是{3}。
交集的性质包括：•交换律：A ∩ B = B ∩ A•结合律：(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)•空集性质：A ∩ ∅ = ∅，∅∩ A = ∅1.3 差集差集是指一个集合中不属于另一个集合的元素，用符号-表示。
如果集合A = {1, 2, 3}和集合B = {3, 4, 5}，那么它们的差集A - B就是{1, 2}。
差集的性质包括：•交换律：A - B = B - A•结合律：(A - B) - C = A - (B - C)补集是指在全集之外不属于某个集合的元素，用符号∁表示。
如果集合A = {1, 2, 3}，全集是U = {1, 2, 3, 4, 5}，那么集合A的补集∁A就是{4, 5}。
补集的性质包括：•交换律：∁A = ∁∁A•结合律：(∁A) ∪ (∁B) = ∁(A ∩ B)，(∁A) ∩ (∁B) = ∁(A ∪ B)第二点：集合运算的应用集合运算在数学中有着广泛的应用，尤其在组合数学、图论、概率论等领域中，集合运算是非常重要的工具。
第一节 集合运算 课件(共69张PPT)
链/接/教/材
1．[必修1·P11·A组T1改编]若集合P＝{x∈N|x≤ 2 021}，a＝2 2，则( D )
A．a∈P
B．{a}∈P
C．{a}⊆P
D．a∉P
2．[必修1·P12·A组T6改编]已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0<x≤4}，则A
∪B＝( A )
A．[－1,4]
A．2
B．3
C．4
D．6
[解析] 本题考查集合的表示方法，集合的交集运算，集合中元素的个数．依 题意A∩B的元素是直线x＋y＝8上满足x，y∈N*且y≥x的点，即点(1,7)，(2,6)， (3,5)，(4,4)．故选C.
C．0，12
D．(－∞，0]∪12，＋∞
(2)解析：因为A＝{y|y＝ x2－1}＝[0，＋∞)，B＝{x|y＝lg(x－2x2)}＝0，12，所 以A∩B＝0，12，所以∁R(A∩B)＝(－∞，0]∪12，＋∞.
题型研究•重点突破
题型 集合的含义与表示 角度Ⅰ.用描述法表示集合
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 1．已知集合A＝{x－6 5∈Zx∈N*，则集合A用列举法表示为 _{_－__2_，__－__3_，__－__6_,_6_,3_,_2_,1_}__．
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
4．[2021湖南长沙长郡中学适应性考试]已知集合A＝{x∈Z|x≥a}，集合B＝{x∈
Z|2x≤4}．若A∩B只有4个子集，则实数a的取值范围是( D )
A．(－2，－1]
B．[－2，－1]
C．[0,1]
D．(0,1]
[解析] 本题考查根据集合的子集个数求参数的取值．集合A＝{x∈Z|x≥a}，集 合B＝{x∈Z|2x≤4}＝{x∈Z|x≤2}，故A∩B＝{x∈Z|a≤x≤2}．因为A∩B只有4个子 集，所以A∩B中元素只能有2个，即A∩B＝{1,2}，所以0<a≤1，故选D.
第一讲集合的概念及其运算
第一讲 集合的概念及其运算集合论是德国数学家康托尔在19世纪末创立的，集合语言是现代数学的基本语言，是表达数学知识、进行数学交流的重要工具。
同时集合是高中数学的基本知识，为历年高考必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.一、 考纲解读1.考试内容：（1）集合的含义与表示；（2）集合间的基本关系；（3）集合的基本运算。
2.考试要求：（1）了解集合的含义、元素与集合的属于关系，全集与空集的含义；（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。
能用韦恩（V enn ）图表达集合的关系及运算；（3）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个集合的并集与交集。
理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定集合子集的补集。
二、知识网络三、知识讲解：1.集合的有关概念（1）某些指定的对象集在一起就构成一个集合，简称集。
其中的每一个对象叫集合的元素，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三个特征。
确定性：集合的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是或者不是某个集合的元素。
互异性：集合中任意两个元素都是不同的，也就是同一个元素在一个集合中不能重复出现。
无序性：集合与组成它的元素顺序无关。
如集合}{c b a ,,与}{b a c ,,是同一个集合。
（2）元素与集合的关系：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a A ∈；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a A ∉。
任一元素a 与集合A 的关系是a A ∈与a A ∉二者必居其一。
（3）集合的分类：根据集合中元素的个数可将集合分为有限集、无限集和空集。
不含任何元素的集合叫做空集，用符号Φ表示。
空集的性质：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
集合的认识与运算
集合的认识与运算在数学领域中，集合是一个非常基础且重要的概念。
通过对集合的认识与运算，我们能够更好地理解和解决各种问题。
本文将从集合的定义开始，逐步介绍集合的特性、运算法则以及集合间的关系，以使读者对集合有一个全面的了解。
一、集合的定义集合是指具有某种特定属性的事物的总体。
在数学中，我们用大写字母表示集合，用大括号将其中的元素列出，并用逗号隔开。
例如，集合A可以表示为A={a,b,c}，其中a、b、c是A的元素。
集合中的元素可以是任何事物，可以是数字、字母、符号、图形等等。
一个元素可以属于多个集合，也可以不属于任何集合。
当一个元素x属于集合A时，我们记作x∈A；当一个元素y不属于集合A时，我们记作y∉A。
二、集合的特性1. 互异性：集合中的元素都是互不相同的，即同一个集合中不会出现重复的元素。
2. 无序性：集合中的元素没有顺序之分，元素之间彼此独立。
3. 元素的个数：一个集合中的元素可以是有限个，也可以是无限个。
三、集合的运算法则1. 并集定义：对于给定的两个集合A和B，它们的并集是一个集合，其中包含了A和B中的所有元素，记作A∪B。
运算法则：A∪B={x|x∈A或者x∈B}2. 交集定义：对于给定的两个集合A和B，它们的交集是一个集合，其中包含了A和B共有的元素，记作A∩B。
运算法则：A∩B={x|x∈A且x∈B}3. 差集定义：对于给定的两个集合A和B，它们的差集是一个集合，其中包含了属于A但不属于B的元素，记作A-B。
运算法则：A-B={x|x∈A且x∉B}4. 补集定义：对于给定的集合A和全集U，A相对于U的补集是一个集合，其中包含了所有属于U但不属于A的元素，记作A'。
运算法则：A'={x|x∈U且x∉A}四、集合间的关系1. 包含关系定义：若集合A的所有元素都属于集合B，即A中的每一个元素都在B中出现，那么我们称B包含A，记作A⊆B。
注意：当且仅当A包含B且B包含A时，我们称A与B相等，记作A=B。
01第一讲：集合的概念与运算
第一讲：集合的概念与运算一、知识梳理：1． 集合的含义与表示：（1） 一般地，我们把研究对象统称为__________，把一些元素组成的总体叫做____________（简称______）.（2） 集合中元素的三个性质：____________,__________,___________. （3）集合中元素与集合的关系分为____________和____________两种，分别用__________和_________表示. （4） 几种常用集合的表示法：数集 自然数集正整数集整数集有理数集 实数集 表示（5） 集合的三种表示法：___________,____________,_______________. 2． 集合间的基本关系：（1）B ⊆的含义是：__________________________________________. （2）若集合B A ⊆且A B ⊆，我们就说____________________________. （3）若集合B A ⊆且B A ≠，则称__________________记着___________. 即若B A ⊆，但存在B x ∈0，且A x ∉0。
（4）不含任何元素的集合叫做________，记为_______，并规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
3．集合的基本运算：（1）B A ⋃的含义是__________________________________________. （2）B A ⋂的含义是_______ _____________________________. （3）如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为__________________，通常记作________________.（4）对于一个集合A ，由全集U 中___________________的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作________________. 即________________________________=C U 。
集合与集合的运算
集合与集合的运算集合是数学中非常重要的一个概念，在各个学科领域都有广泛的应用。
而集合的运算是对集合之间的关系进行操作，可以得到新的集合。
本文将介绍集合的基本概念及常见的集合运算。
1. 集合的基本概念集合是由一些确定的元素构成的整体，元素可以是个体、对象或其他数学对象。
用大写字母表示集合，元素用小写字母表示。
例如，集合A可以表示为：A = {a, b, c, d, e}，其中a、b、c、d、e为集合A的元素。
2. 集合间的关系2.1 包含关系若集合A中的每个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，记作A ⊆ B。
若A ⊆ B且B ⊆ A，则称A和B相等，记作A = B。
2.2 交集两个集合A和B的交集，表示为A ∩ B，是指同时属于集合A和集合B的元素所构成的集合。
2.3 并集两个集合A和B的并集，表示为A ∪ B，是指集合A与集合B 中所有元素的集合。
3. 集合的运算3.1 交集运算交集运算将两个集合的共有元素筛选出来，得到一个新的集合，用数学符号表示为：A ∩ B。
例如，对于集合A = {1, 2, 3}和集合B = {2, 3, 4}，它们的交集为A ∩ B = {2, 3}。
3.2 并集运算并集运算将两个集合的所有元素合并在一起，得到一个新的集合，用数学符号表示为：A ∪ B。
例如，对于集合A = {1, 2, 3}和集合B = {2, 3, 4}，它们的并集为A ∪ B = {1, 2, 3, 4}。
3.3 差集运算差集运算是指将一个集合中不属于另一个集合的元素筛选出来，得到一个新的集合，用数学符号表示为：A - B。
例如，对于集合A = {1, 2, 3, 4}和集合B = {2, 3}，它们的差集为A - B = {1, 4}。
3.4 补集运算补集运算是指在某个全集中，将集合A不包含的元素筛选出来，得到一个新的集合，用数学符号表示为：A'。
例如，在全集U = {1, 2, 3, 4}中，集合A = {2, 3}的补集为A' = {1, 4}。
第1讲集合的概念及运算
（2）设I为全集，S1,S2,S3是I的三个非空 子集，且S1∪S2∪S3=I,则下面论断正确 的是( C )
A. IS1∩(S2∪S3) B.S1 ( IS2∩ IS3) C IS1∩ IS2 ∩ IS3= D.S1 ( IS2∪ IS3)
分析
集合的运算→优先化简→数形结合， 按交、并、补、子集概念依次进行.
A B(或B A).
A A; A; 若A B,B C, 则A C;
有n个元素的集合 的子集的个数是
⑥ 2n .
定义
性质与说明
如果A是B的子集，且B中 空集是任何非空集合的
至少有一个元素不属于A， 真子集；
那么集合A是集合B的真子
真 子
集，记为A B(或B A).
集
若A B,B C,则A C;
补集等于两个集合的补集的并集，可 利用这个知识点直接解决本题.
(2)元素与集合的关系有两种：
① 属于“∈” ,
②
.
(3)集合中元素的性质： ③ 确定性、互异性、无序性 .
(4)集合的表示法： ④ 列举法、描述法、图示法、区；间法
(5)集合的分类：按元素个数可分为 ⑤ 空集、有限集、无限集； .
(6)两个集合A与B之间的关系：
定义
性质与说明
子集
如果集合A的任何一 个元素都是集合B的 元素，那么集合A叫 集合B的子集，记为
第1讲
集合的概念及运算
理解集合、子集、真子集、交集、 并集、补集的概念，了解全集、空集、 属于、包含、相等关系的意义，掌握有 关的术语和符号，能使用韦恩图表达集 合的关系及运算.
知识要点
1.集合的有关概念
(1)一般的，某些指定的对象集中在一起 就构成了一个集合，集合中的每个对 象叫这个集合的元素.
集合及其运算
集合及其运算在数学中，集合是由一些特定元素组成的对象的集合。
集合的概念在数学理论的发展中起着重要的作用，它不仅被广泛应用于各个领域的数学研究中，也在计算机科学、逻辑学等其他学科中得到了应用。
本文将介绍集合的基本概念、性质以及常见的集合运算。
1. 集合的定义和表示方式集合可以用一对大括号 { } 表示，括号内列举出集合的元素。
例如，集合 A = {1, 2, 3, 4} 就包含了元素 1、2、3 和 4。
另一种表示方式是描述性的，例如集合 B 可以表示为“B = {x | x 是偶数}”，表示 B 中的元素是满足条件“是偶数”的数。
集合元素的顺序和重复性对于集合的定义没有影响。
2. 基本运算(1) 并集：若 A 和 B 是两个集合，它们的并集（denoted by A ∪ B）是由 A 和 B 中所有元素组成的集合。
例如，若 A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则 A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}。
(2) 交集：若 A 和 B 是两个集合，它们的交集（denoted by A ∩ B）是由同时属于 A 和 B 的元素组成的集合。
例如，若 A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A ∩ B = {3}。
(3) 差集：若 A 和 B 是两个集合，它们的差集（denoted by A - B）是由属于 A 但不属于 B 的元素组成的集合。
例如，若 A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则 A - B = {1, 2}。
(4) 互斥：若 A 和 B 是两个集合，它们互斥表示 A 和 B 没有公共的元素，即A ∩ B = ∅，其中∅表示空集。
3. 运算的基本性质(1) 交换律：对于任意的两个集合 A 和 B，A ∪ B = B ∪ A，A ∩B = B ∩ A。
(2) 结合律：对于任意的三个集合 A、B 和 C，(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)，(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)。
集合及其运算
02
分析过程：首先求出全集 $U$ 和集 合 $B$ 的元素，然后根据差集和补集 的定义列出方程求解 $q$。
03
解答过程：由全集 $U = { x | x leq 10, x in mathbb{N} }$ 可得 $U = { 0, 1, 2, ldots, 10 }$，由集合 $B = { x | x^2 - 5x + q = 0, q in mathbb{N} }$ 可得 $B = { x | (x p)(x - r) = 0, p + r = 5, pr = q, p, r in mathbb{N} }$。因为 $A cap (complement_{U}B) = { 1, 4, 7 }$， 所以 ${ 2, 5 } subseteq B$，进而得 到方程组 $left{ begin{array}{l} p + r = 5 pr = q p, r in { 2, 5 } end{array} right.$，解得 ${ p, r } = { 2, 3 }$，$q = pr = 6$。
性质
差集运算不满足交换律，但满足结合律 ，即(A-B)-C=A-(B∪C)。
02
03
举例
若A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A-B={1} 。
补集运算
定义
设S是一个集合，A是S的一个 子集（即 A⊆S），由S中所有 不属于A的元素组成的集合， 叫做子集 A 在 S 中的补集（
或余集），记作 CsA。在补 集运算中，通常默认全集S为
解答过程
由 $A = { x | x^2 - 5x + 6 = 0 }$ 可得 $A = { 2, 3 }$，由 $B = { x | x^2 - ax + a - 1 = 0 }$ 可得 $B = { a - 1, 1 }$。因为 $A cup B = { 2, 3, 4 }$，所以 $a - 1 = 答
集合的基本运算及相关题型
集合的基本运算及相关题型作为数学的基础概念之一，集合在中学数学中起着重要的作用。
掌握集合的基本运算和相关题型，对于学生的数学学习和解题能力的提升至关重要。
本文将从集合的定义开始，逐步介绍集合的基本运算和常见题型，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用集合的知识。
1. 集合的定义集合是由一些确定的对象组成的整体。
这些对象称为集合的元素。
例如，{1, 2, 3, 4}就是一个集合，其中的1、2、3、4就是该集合的元素。
集合通常用大写字母表示，元素用小写字母表示。
2. 集合的基本运算2.1 并集两个集合A和B的并集，表示为A∪B，是由所有属于A或属于B的元素组成的集合。
例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
2.2 交集两个集合A和B的交集，表示为A∩B，是由同时属于A和属于B的元素组成的集合。
例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∩B={3}。
2.3 差集两个集合A和B的差集，表示为A-B，是由属于A但不属于B的元素组成的集合。
例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A-B={1, 2}。
2.4 互补集对于给定的全集U，集合A的互补集，表示为A'或A^c，是由所有不属于A的元素组成的集合。
例如，U={1, 2, 3, 4, 5}，A={1, 2, 3}，则A'={4, 5}。
3. 相关题型3.1 集合的包含关系判断给定两个集合A和B，判断A是否包含于B，即A⊆B。
如果A的所有元素都属于B，则A⊆B。
例如，A={1, 2, 3}，B={1, 2, 3, 4}，则A⊆B。
3.2 集合的相等判断给定两个集合A和B，判断A是否等于B，即A=B。
如果A和B的所有元素都相同，则A=B。
例如，A={1, 2, 3}，B={3, 2, 1}，则A=B。
3.3 集合的运算题根据给定的集合和运算，求解集合的结果。
集合及运算
集合及运算正文:集合是数学中一个重要的概念，它是由一些确定的对象（称为元素）组成的整体。
集合可以包含数字、字母、词语、几何图形等各种元素，它们之间没有顺序关系。
我们可以使用不同的方式来表示一个集合。
一种常见的表示方法是列举法，即将集合中的元素一一列举出来。
例如，集合{1, 2, 3, 4}表示包含了整数1、2、3和4的集合。
另一种表示方法是描述法，通过给出元素的特性或条件来描述集合。
例如，集合{ x | x 是一个正整数且 x < 5}表示包含了所有小于5的正整数的集合。
集合之间可以进行不同的运算，包括并集、交集、差集和补集。
并集是指将两个或多个集合中的所有元素合并起来形成一个新的集合。
并集运算可以用符号∪表示。
例如，对于集合A={1, 2, 3}和集合B={3, 4, 5}，它们的并集可以表示为A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
交集是指找出两个或多个集合中共有的元素，形成一个新的集合。
交集运算可以用符号∩表示。
例如，对于集合A={1, 2, 3}和集合B={3, 4, 5}，它们的交集可以表示为A∩B={3}。
差集是指从一个集合中去除与另一个集合中相同的元素，得到一个新的集合。
差集运算可以用符号表示。
例如，对于集合A={1, 2, 3}和集合B={3, 4, 5}，它们的差集可以表示为AB={1, 2}，表示从A中去除了与B相同的元素。
补集是指在一个给定的全集中，除了某个集合中的元素外，其余的元素构成的集合。
补集运算可以用符号C表示，其中C'表示集合C 的补集。
例如，如果全集为U={1, 2, 3, 4, 5}，而集合A={1, 2, 3}，那么集合A的补集可以表示为A'={4, 5}。
集合及其运算在数学和计算机科学中都有广泛的应用。
它们可以用来描述和分析各种问题，如概率论、逻辑推理、数据库查询等。
掌握集合及其运算的概念和方法，对于理解和解决这些问题都非常重要。
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算法常见问题
考纲解读：了解算法的含义；理解流程图的三种基本结构：顺序、选择、循环；理解常用的基本算法语句：输入、输出、赋值、条件、循环.
1、某程序的伪代码下图所示，则程序运行后的输出结果为 ．
2．右上图的算法流程图中，当输入n=70时，则输出的n= ； 当
输入n=60时，则输出的n= 。
3．运行下面的伪代码，其输出结果为 。
4、执行右边的程序框图，若4p =， 则输出的S = ．
5、执行右边的程序框图，则输出的S=
.
6、阅读下列程序: Read S ←1
For I from 1 to 5 step 2 S ←S+I Print S End for End
输出的结果是 。
7、右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是_____________
开始 S ←1 I ←3 While S ≤1000 S ←S*I I ←I+2 End while Print I 夯实基础
例1、（1）程序框图（即算法流程图）如下左所示，其输出结果a是_______
（2）某算法的程序框如上中图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是____________________________ .
（3）已知函数2
log2
22
x x
y
x x
≥
⎧
=⎨
-<
⎩
，上右图表示的是给定x的值，求其对应的函数值
y的程序框图，①处应填写；②处应填写。
（4）阅读下左面的流程图，若输入a=6,b=1，则输出的结果是
（5）如图，该程序运行后输出的结果为 .
合作探究
例2 （1）右上程序所确定的函数表达式为y=_________
(2)根据给出一个算法的伪代码，则=+-)2()3(f f Read x If Then
x 0
≤ ()x x f 4← Else
()x x f 2
← If
End ()x
f int Pr (3)以下伪代码： Read x
If x ≤-1 Then
()f x ←x +2
Else If -1<x ≤1 Then
()f x ←2x
Else ()f x ← 2x -+
End If
Print ()f x
根据以上伪代码，若函数()()g x f x m =-在R 上有且只有两个零点，则实数m 的取值范围是 ．
例3、分段函数定义为⎩⎨⎧≤->-=)
0(1)
0(122x x x y ，对于输入的x 值，输出相应的y 值，请画出程
序框图，并写出相应的用基本语句编写的程序。
程序框图： 程 序：
例4、设计一个伪代码算法，求使2
2
2
2
1232009n +++>……+成立的n 的最小正整数值，并画出其流程图。
重点是能读懂算法语言与程序框图，写出输出结果
1、如下左图所示，程序框图(算法流程图)的输出值x=
2、某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行
了抽样调查，其中n 位居民的月均用水量分别为x 1…x n (单位：吨)，根据下种图所示的程序框图，若n=2,且x 1，x 2 分别为1,2，则输出地结果s 为 .
3、下右图是求222123+++2…+100的值的程序框图，则正整
数n = ．.
4、随机抽取某产品n 件，测
得其长度分别为12,,n a a a …，则图3所示的程序框图输出的
s =______________
5、某店一个月的收入和支出总共记录
了 N 个数据1a ，2a ，。
N a ，其中收入记为正数，支出记为负数。
该店用下边的程序框图计算月总收入S 和月净盈利V ，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入_______和
___________
6、根据下面算法，则运行后输出的结果是________
实际体验
小结提升
6、设数列}{n a 满足11=a ，n a a n n =-+1，右图是求数列
}{n a 前30项和的算法流程图．
(ⅰ)把算法流程图补充完整：
①处的语句应为_____________________________， ②处的语句应为_____________________________． (ⅱ)根据流程图写出伪代码．
7、按右图所示的程序框图操作：
（1）写出输出的数所组成的数集．若将输出的数按照输出的顺序从前往后依次排列，则得到数列{}n a ，请写出数列{}n a 的通项公式；
（2）如何变更A 框内的赋值语句，使得根据这个程序框图所输出的数恰好是数列{}2n 的前7项？
（3）如何变更B 框内的赋值语句，使得根据这个程序框图所输出的数恰好是数列{}32n -的前7项？
7、根据流程图,将输出的x 值依次记为122011,,,.x x x ⋅⋅⋅
122008,,,x x x ⋅⋅⋅的通项公式； n n a nx =,用基本语句设计求*
1(,2011)n
n k k S a n N n ==
∈≤∑的程序。
.
6
、根据如图所示的流程图，将输出的a 的值依次分别记为
122011, , , , , n a a a a ，将输出的b 的值依次分别记为
122011, ,
, ,
, n b b b b ．
（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 通项公式；
（Ⅱ）依次在k a 与1k a +中插入1k b +个3，就能得到一个新数
列{}n c ，则4a 是数列{}n c 中的第几项？
（Ⅲ）设数列{}n c 的前n 项和为n S ，问是否存在这样的正整
数m ，使数列{}n c 的前m 项的和2011m S =，如果存在，求出m 的值，如果不存在，请说明理由．。