命题逻辑习题及其参考答案

1．某地发生一起刑事案件，经过公安人员的努力侦破，作案嫌疑人锁定在Ａ、B、Ｃ三人中，并且摸清了以下情况：

①只有０１号案件成功告破，才能确认Ａ、Ｂ、Ｃ三人都是作案人。

②目前，０１号案件还是一起悬案。

③如果Ａ不是作案人，那么Ａ的供词是真的，但Ａ说自己与Ｂ都不是作案人。

④如果Ｂ不是作案人，那么Ｂ的供词也是真的，但Ｂ说自己与Ｃ是好朋友。

⑤现已查明Ｃ根本不认识Ｂ。

根据上述线索，问：Ａ、Ｂ、Ｃ三人中谁是作案人？

解：令p：０１号案件成功告破；q、r、s分别表示A、B、C作案；t：B与Ｃ是

好朋友。据题意有：

1. {1} ┐p→┐（q∧r∧s）P

2. {2} ┐p P

3. {3} ┐q→（┐q∧┐r）P

4. {4} ┐r→t P

5. {5} ┐t P

6. {4.5} r T4.5否定后件

7. {1.2} ┐（q∧r∧s）T1.2肯定前件

8. {1.2} ┐q∨┐r∨┐s T7德摩根

9. {1.2.3} q T3.6否定后件

10. {1.2.3.4.5} q∧r P6.9组合式

答：AB作案，至于C尚待侦查。

2．综合分析题（要求写出推导过程）：某班有学生61人，下面有三句话：

①该班有些学生会使用计算机。

②该班有些学生不会使用计算机。

③该班班长不会使用计算机。

已知上述三句话中，只有一句话是真的，试问：哪一句话是真话？该班有多少学生会使用计算机？

解：①②分别为I命题和O命题，二者是下反对关系，必有一真，或许都真；但据题设只有一句真话，可知③为假，真实情况是班长会使用计算机。既然这样第一句话“该班有些学生会使用计算机”就是真的，而第二句话就是假的。O命题假，根据矛盾关系可知，A命题即“该班所有学生都会使用计算机”就真，所以，全班61个学生都会计算机。

3．下面有三句话：

①如果甲是篮球队员，则乙就是足球队员。

②如果乙是足球队员，则甲就是篮球队员。

③甲不是篮球队员。

已知上述三句话中只有一句话是真话，问：甲是不是篮球队员？乙是不是足球队员？哪一句话是真话？

（要求写出推导过程）

解：令p表示“甲是篮球队员”，q表示“乙是足球队员”，再令③即“┐p”真，据题设有：

①{1} ┐（p→q）P

②{2} ┐（q→p）P

③{3} ┐p P

④{1} p∧┐q T①等值关系

⑤{1} p T④合取分解

⑥{1.3} p∧┐p T③⑤合取组合

⑦{1} p T归谬③⑥

⑧{2} q∧┐p T②等值关系

⑨{2} ┐p T⑧合取分解

⑩{1.2} p∧┐p T⑦⑨合取组合

⑾{1} （q→p）归谬②⑩

可见：第二句话为真，一三两句为假。甲为篮球队员为真，但并非“甲为篮球队员，乙就是足球队员”，但“如果乙是足球队员，则甲是篮球队员”。

4．已知下列三个命题中只有一个命题为假, 问:哪一句话是假话？该班51名学生中有多少人是团员？(要求写出推导过程)

(1) 该班所有的学生是团员。

(2) 该班所有的学生不是团员。

(3) 该班班长不是团员。

解：(1)(2)为上反对关系，必有一假，据题设，(3)即“该班班长不是团员”就为真，由此可知(1)为假(矛盾关系)；据题设，(1)假，(2)真，实际情况是该班51人都非团员。

5．证明：如果同时肯定下列三个命题，则违反了矛盾律要求

（1）PES

（2）MOP →SIP

（3）SIM

证明：

(4) SEP T(1)换位

(5) 并非SIP T(4)矛盾对当关系

(6) 并非MOP T(2)(5)否定后件

(7) MAP T(6)矛盾对当关系

(8) SIP T(3)(7)直言三段论

(9) SIP且并非SIP T(5)(8)合取组合

(10) 并非((1)∧(2)∧(3)) 归谬

6．已知

①非（Ａ→Ｂ）←（Ｃ∧非Ｄ）

②Ａ→Ｃ

③Ｃ→Ｂ

求证：Ａ→Ｄ

证明：

④A→Ｂ T②③假言三段论

⑤并非(Ｃ∧非Ｄ） T①④否定前件

⑥非C∨D T⑤德摩根

⑦C→ＤT⑤蕴涵否析

⑧Ａ→ＤT②⑦假言三段论

7．已知：

①A→（B∨C）

②非B→A

③非（D→B）

④非D ←非E

求证：E∧C

证明：

⑤B∨A T②蕴涵否析

⑥D∧非B T③蕴涵否定等值关系

⑦非B T⑥组合分解

⑧D T同上

⑨E T④⑧否定前件

⑩A T⑤⑦否定肯定

⑾B∨C T①⑩肯定前件

⑿C T⑦⑾否定肯定

⒀E∧C T⑨⑿合取组合

12．用选言法证明：小前提为O命题的有效三段论必定是第二格三段论。

证明：先构成小前提为O命题的选言支，其大小前提的组合情况有下面几种：1）AO，2）EO，3）IO，4）OO。而其中3）和4）都是两个特称的前提，根据规则6，推不出；2）为两个否定，据规则3也推不出。这样就只有1）AO组合能满足要求。这个组合有两次周延的机会，由于有O命题作为前提，结论是否定的，则大前提在结论中是周延的，因而（据规则2）要求大项在结论中周延；而大项要在A命题中周延，大项必须是全称命题的主项，因而，大前提为PAM。再者，中项必须周延一次（规则1），所以，小前提中的小项就不可能周延了，它一定是O命题的主项，即小前提是SOM。综上该有效三段论就为第二格，如下所示：

PAM 图a

SOM

SOP

13．用反证法证明：有效的第四格三段论的大小前提都不能是O命题。

先作出第四格的图式如下：

P——M 图b

M——S

S——P

证明：1）令大前提为POM。这样结论就是否定的，因而，结论中P周延，然前提中它并不周延，违背了三段论规则2，所以，大前提不能是O命题；2）再令小前提为MOS，同理，大项（否定命题的谓项）结论中周延，要求大词前提中周延，大项也该在前提中周延，这样大前提就该是PAM或者PEM。而小前提为否定的，则大前提不能为PEM，因为两个否定的命题推不出（规则3），这样大前提就只能是PAM，则大前提中的中项（肯定的谓项）不周延，必须在小前提中周延，这样小前提就因该是全称命题，与假定矛盾。所以小前提不能是O命题。

14．证明：若有效的第四格三段论的小项在结论中周延，则该三段论必为AEE。

证明：第四格如图b所示，小项在结论中周延，则要求它在前提中周延，那么根据S在前提中谓项的位置，它只可能在小前提为否定命题的时候才能满足；但，这样就只能得出否定的结论，而否定的结论中大项就是周延的，因而，大前提中大项也应周延，大前提中主项上的大项P要得以周延，只可能是全称命题PAM或PEM才有机会；PEM淘汰，因为小前