高等数学微积分第六章第1节

当 n 3 时 ， 它 就 是 通 常 三 维 空 间 中 由 不 等 式
2 2 2 2 ( x a ) ( xa ) ( x a ) r 所 确 定 的 球 1 1 2 2 3 3
当时 n 2， 它 就 是 二 维 平 面 以 a 为 中 心 ， r 为 半 径 的 圆 盘


可规定加法及数的乘法 如下： n n 设 x ( x , x , , x ) R , y ( y , y , , y ) R ， R 1 2 n 1 2 n
定 义x y ( x y ,x y , ,x y ) ； 1 1 2 2 n n
x ( x , x , , x ) 1 2 n
a
A
(c)边界点
(a)内点
(b)外点
集 A 的 内 点 全 体 称 为 A 的 内 部 ， 记 作 I n t A 。 集 A 的 外 为 A 的 边 界 ， 记 作 A 。 A A A 称 为 A 的 闭 包 。 若 0 ,B ( a , ） A ，
则 称 a 是 A 的 聚 点 。 这 时 a 的 任 意 a 邻 域 都 含 有 A 的 无 数 个 点 ， A 的 聚 点 可 能 是 A 的 点 也 可 能 不 是 A 的 点 ， 但 是 A 的 边 界 点 。
2 2 例 1 A (, x y ) x y 1 , y 0 ， 它 是 上
点 全 体 称 为 A 的 外 部 ， 记 作 O u t AA , 集 的 边 界 点 全 体 称


半 单 位 圆 ， 包 括 直 径 [ 1 ,] 1
2 2 2 2
OutA ( x ,y )x y 1 ( x ,y )x y 1 且 y 0
IntA ( x ,y )x y 1 ,y 0
2 2
图6 － 2
2 2 A ( x , y ) x y 1 且 y 0 ( x , y ) y 0 , 1 x 1


若 集 合 A 的 每 一 点 均 是 A 的 内 点 ， 则 称 A 为 开 集 ， 若 A 的 余 集 Ac是 开 集 ， 则 说 A 是 闭 集 。
2 2 c 2 2 2 2 A {( x , y ) 1 x y 2}既 非开 集 ， 也 非 闭 集 。 (图6-3) 4
图6-3
(4)有界集和无界集 n 若 R 中 的 集包 A 含 于 某 个 球 内 部 ,或 者 说 存 在 R 0 ,使 得
当 x A 时 便 有 x R ,则 称是 A 有 界 集 . 否 则 称是 A 无 界 集 . 设是 A 有 界 集 ,A 中 任 意 两 点 距 离 的 最 大 值 称 为 A 的 直 径 , 记 为 d i a m A ,即 d i a m A M a x xy .
第一节 多元函数和向量函数的 极限与连续
• • • • n维向量空间的区域 多元函数和向量函数 多元函数和向量函数的极限 多元函数和向量函数的连续
一、 n维向量空间的区域 (1)Rn的度量 记 R 为 实 数 全 体 所 成 的 集 合 。 对 于 n 个 实 数 有 序 组 n R x ( x , x , , x ) x R , j 1 , 2 , ， n , 的 全 体 1 2 n j
则构 R 成 一 个 线 性 向 量 空 间 。
又 若 规 定 它 的 内 积 为 xy ,Байду номын сангаас xy j j
j 1 n
n
则 它 构 成 一 个 内 积 空 间 。 这 时
22 2 xx , x x x ＋ xx 称 为 的 长 度 或 度 量 ， 12 n
2 n xy ( x y ) 称 为 R 中 的 点 x 与 y 的 距 离 。 j j j 1
A , 则 称 a 是 A 的 内 点 ； 若 存 在 B ( a , ) 使 得 它 与 A 没 有 交 点 ， 又 非 A 的 外 点 ， 则 称 a 是 A 的 边 界 点 。 a a A A
即 B ( a , ) A ， 则 称 a 是 A 的 外 点 ， 若 a 既 非 A 的 内 点 ，
n
n ( 2 )R 的 邻 域 n n 设 a ( a , a , , a ) R , R 中 到 a 的 距 离 等 于 r 的 点 的 全 1 2 n
n 体 所 成 的 集 合 Bar (,) x R x a r


n 2 2 (x ,x , ,x ) (x a r ,x Rj , 12 , , ,n 1 2 n j j) j j 1 称 为 以 a 为 中 心 ， 半 径 为 r 的 球 ， 又 称 B ( a , r ) 为 a 的 r 邻 域 。
2 2 2 例 2 A B ( 0 , 1 ) {( x , y ) x y 1 } 是 R 的 开 集 1 2 2 2 A {( x , y ) x y 1 } — 单 位 圆 外 部 R 的 开 集 2
A } A 是 R的 闭 集 — 闭 单 位 圆 3 {( x, y) x y 1
x A y A
(5)曲线与曲线段
在R3曲线方程可借助参数方程 x x(t ), y y(t ), z z(t ) 来表示,若 t ,则可得到一段曲线 曲线段, 类似地, 对于Rn用 xj xj (t ) ( j 1, 2, , n), t 来描述曲线段,有时也简称曲线若 . xj (t )均是t在 [, ] 的连
2 2 2 ( x a ) ( x a ) r 1 1 2 2
当时 n 1， 它 就 是 以 a 为 中 心 ， r 为 半 径 的 区 间 ( ar , ar )
(3)Rn的开集和闭集 n n 设 A 是 R 的 子 集 , a R ， 若 存 在 以 a 为 心 的 球 B ( a , )