高等数学微积分第六章第1节
自考高等数学(一)第六章 多元函数微积分
第六章多元函数微积分6.1 空间解析几何基础知识一、空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系。
即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。
空间直角坐标系共有八个卦限空间的点有序数组（x,y,z）特殊点的表示：坐标轴上的点P,Q,R；坐标面上的点A，B，C；0（0，0，0）空间两点间距离公式：特殊地：若两点分别为M（x,y,z），0（0，0，0）。
二、空间中常见图形的方程1、球面已知球心M0（x0,y0,z0），半径为R，则对于球面上任意点M（x，y，z），有，称为球面方程。
特别地，以原点为球心，半径为R的球面方程是。
2、平面到两点等距离的点的轨迹就是这两点组成线段的垂直平分面。
例1、已知A（1，2，3），B（2，-1，4），求线段AB的垂直平分面的方程。
【答疑编号11060101】解：设M（x,y,z）是所求平面上任一点，根据题意有|MA|=|MB|，化简得所求方程2x-6y+2z-7=0。
x，y，z的一次方程表示的图形是一个平面。
3、柱面定义平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
柱面举例4、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面。
（1）椭球面椭球面与三个坐标面的交线：（2）x2+y2=2pz的图形是一个旋转抛物面。
6.2 多元函数的基本概念一、准备知识1、邻域设P0（x0,y0）是xoy平面上的一个点，δ是某一正数，与点P0（x0,y0）距离小于δ的点P（x,y）的全体，称为点p0的δ邻域，记为U（P0, δ）,。
2、区域平面上的点集称为开集，如果对任意一点，都有的一个邻域。
设D是开集。
如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通的。
连通的开集称为区域或开区域。
开区域连同它的边界一起称为闭区域。
3、n维空间设n为取定的一个自然数，我们称n元数组的全体为n维空间，而每个n元数组称为n维空间中的一个点，数x i称为该点的第i个坐标说明：n维空间的记号为R n；n维空间中两点间距离公式：设两点为特殊地当n=1，2，3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离。
高等数学上册第六章课件.ppt
4
AdA ( y 4 12 y 2 ) d y
2
18
(8 , 4)
x
第二节 定积分在几何中的应用
例
求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解
2π
dAA
ydx 0 a (1 cos t ) a (1 cos t ) d t
a
2
4a
X -型绕x轴旋转所围成的立体的体积：
y 2 ( x)
b
b
Vx π ( x)dx π ( x)dx
a
b
2
2
a
2
1
2
2
y 1 ( x)
π [2 ( x) 1 ( x)]dx
a
a
bx
Y-型绕y轴旋转所围成的立体的体积：
d
Vy π [ g g ]dy
2
5 3 1 π
32π a sin u du 32π a 5π 2 a3
0
6 4 2 2
3
2
6
3
第二节 定积分在几何中的应用
y
x x2 ( y )
2a
绕 y 轴旋转而成的体积为
π
π a 2 (t sin t ) 2 a sin t d t
2π
o
πa
πa
4 2 2
2
所围图形的
(利用对称性)
d
o
2a x
第二节 定积分在几何中的应用
心形线(外摆线的一种)
2
2
2
x y ax a x y
2
即 r a(1 cos )
高等数学微积分第六章 第1节
集A的内点全体称为A的内部，记作IntA。集A的外 点全体称为A的外部，记作OutA,集A的边界点全体称 为A的边界，记作A。
A A A称为A的闭包。若 0, B(a,） A ，
则称a是A的聚点。这时a的任意a邻域都含有A的无数个 点，A的聚点可能是A的点也可能不是A的点，但是A的 边界点。
体所成的集合 B(a,r) x Rn x a r
( x1, x2 ,
n
, xn ) ( x j a j )2 r 2 , x j R, j 1, 2,
, n
j 1
称为以a为中心，半径为r的球，又称B(a,r )为a的r 邻域。
A2 {( x, y) x2 y2 1}—单位圆外部 R2的开集 A3 {( x, y) x2 y2 1} A2c 是R2的闭集—闭单位圆 A4 {( x, y) 1 x2 y2 2}既非开集，也非闭集。(图6-3)
图6-3
(4)有界集和无界集 若Rn中的集A包含于某个球内部,或者说存在R 0,使得
当n 3时，它就是通常三维空间中由不等式 ( x1 a1)2 ( x2 a2 )2 ( x3 a3 )2 r 2 所确定的球
当n 2时，它就是二维平面以a为中心，r为半径的圆盘
( x1 a1)2 ( x2 a2 )2 r 2 当n 1时，它就是以a为中心，r为半径的区间(a r,a r)
(3)Rn的开集和闭集
设A是Rn的子集,a Rn，若存在以a为心的球B(a, )
A,则称a是A的内点；若存在B(a, )使得它与A没有交点，
即B(a, ) A ，则称a是A的外点，若a既非A的内点，
高等数学 第六章定积分
把区间[a,b] 分成 n个 y 小区间[ xi1, xi ]，长度为
y f (x)
xi xi xi1;
(2) 取近似
Ai
在每个小区间[ xi1, xi ] O a x1 xi1i xi xnb1 x
上任取一点i，以 [ xi1, xi ]为底，f (i )为高的小矩形,
面积近似代替 Ai , 有Ai f (i )xi , i 1, 2,L n
极限I, 称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的
定积分.记为
积分上限
积分和
b
n
a
f ( x)dx
I
lim
0
i 1
f (i )xi
积分下限 被 积 被
[a,b]积分区间
积 函
分积 变表
数 量达
式
注
n
(1) S f (i )xi是与[a, b]的分法及在[ xi1 , xi ]
i 1
一点 i (i xi ), 作乘积 f (i )xi (i 1,2, , n)
(3)
n
并作和 S f (i )xi
(4)
i 1
记 max{ x1, x2 , , xn },如果不论对 [a,b]
怎样的分法,也不论在小区间[ xi1 , xi ]上点 i
怎样的取法,只要当 0时,和S总趋于确定的
lim na sin xdx lim sinn a 0
n n
x
n n
证明 求证 lim 4 sin nx sinn x dx 0 n 0
证
当x
0,
4
时,
|
s in nx
sinn
x
|
sin
微积分第六章
显然, S n A, 且 A S n , 并当 n ∞ 时相差的那些小曲边三角形的面积之和将 趋于零. 换言之, 多边形将趋向于曲边三 角形, 这就是 “穷竭” 的意思, 所以
1 A lim S n . n 3
6.1 6.2 6.3 6.4
这正是当年阿基米德算得的结果．
图 6-1
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
图 6-1 · 11 ·
1 n S n 3 (k 1) 2 . n k 1
由于 12 2 2 L n 2
1 n(n 1)(2n 1), 故 6 1 1 1 1 S n 3 (n 1)n(2n 1) 1 2 . 6 n n 6n
图 6-2
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
· 17 ·
设曲边梯形的面积为 A, 为了计算 A, 还是运用 “穷竭法”, 即用多边形来逼近这个曲边梯形．
为此, 先将底边［a,b］分成 n 个小段, 设分点为
a = x0 < x1 < x2 < … < xk1 < xk < … < xn1 < xn = b,
的那种完美的境地.
——罗素（B.A.W.Rusell,1872—1970）
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
· 3·
小 知 识
罗素,英国数学家、逻辑学家、哲学家.18岁进入剑桥大学
三一学院学习,开始研究数学和哲学,1894年毕业, 1895年
以《论几何基础》一文在该学院获研究员职位. 1901年他 发现了一个悖论,对20世纪初数学基础的争论产生过重大影
1 夹逼准则, A . 3
微积分(上册)第六章
一、 定积分的概念
3. 定积分存在的充分条件
若f(x)在［a,b］上无界，则f(x)在［a,b］上一定是不 可积的.这是因为，若f(x)在［a,b］上无界，那么无论对 ［a,b］怎样分割，都至少有一个区间［xi－1,xi］，函数 f(x)在其上无界.因此，在［xi－1 ,xi］上一定可以取一点ξi， 使得f(ξi)大于任意一个正数M ∑ni=1f(ξi)Δxi可以任意的大.当λ→0时，这个和就不可能 趋向于任何极限.由此可知，f(x)在［a,b］上可积的必要 条件是f(x)在［a,b］上有界.
(1)若在［a,b］上f(x)≥0，则定积分∫baf(x)dx在几何 上表示由曲线y=f(x)、直线x=a,x=b和x轴所围成的曲边 梯形的面积A
∫baf(x)dx=A. (2)若在［a,b］上f(x)≤0，则定积分∫baf(x)dx在几何 上表示由曲线y=f(x)、直线x=a,x=b和x轴所围成的曲边 梯形面积A的负值,
一、 定积分的概念
然而，函数f(x)在［a,b］上有界并不是可积的充分条件.
0,1］上是有界函数，但不可积.因为不论对［0,1］怎样 分割，在任意被分割的小区间［xi－1,xi］上，总能取到ξi为有理数，这 时f(ξi)=1，也总能取到ξi为无理数，这时f(ξi)=0.所以对［0,1］的任何
当λ→0时，这两个和式的极限分别为1和0，所以f(x)在［0,1］上 不可积.
m(b－a)≤∫baf(x)dx≤M(b－a).
三、 定积分的性质
由上式得m≤1b－a∫baf(x)dx≤M.这表明1b－a∫baf(x)dx 介于函数f(x)的最小值与最大值之间，由连续函数的介值定理 知，在［a,b］上至少存在一点ξ
1b－a∫baf(x)dx=f(ξ). 这就是下面给出的定积分中值定理.
大学数学高数微积分第六章线性空间第一节课堂讲义 ppt课件
14
例 2 M 是数域 P 上全体 n 级矩阵的集合，
定义
1 (A) = | A | ，A M .
这是 M 到 P 的一个映射.
例 3 M 是数域 P 上全体 n 级矩阵的集合，
定义
2 (a) = aE ，a P .
E 是 n 级单位矩阵，这是 P 到 M 的一个映射.
2020/10/28
15
第 一 节 集合 • 映射
主要内容
集合 映射
2020/10/28
1
一、集合
1. 集合的定义
集合
集合是数学中最基本的概念之一，
它不能用更简单的概念来定义，而只能对它作些解
释. 所谓集合是指由一些确定的对象(或事物)汇集 成的整体，其中每个对象叫集合的元素.
通常用大写字母 A，B，X，Y 等表示集合，用
M = { d(x) | d(x) | f (x) , d(x) | g (x) } .
3. 空集合 不包含任何元素的集合称为空集合,记为 .
例如， 一个无解的线性方程组的解集合是空集合.
把空集合也看作是集合，这一点与通常的习惯不
很一致，但是在数学上有好处，同时也不是完全没
有道理的，正如把 0 也看作是数一样.
描述法: 即用集合中全部元素所具有的特征
性质来表述集合.
其格式是
M = { a | a 具有的性质 } .
例如，适合方程 集合 M 可写成
1 x2
y2
a2 b2
的全部点的
M(x,y)|
x2 a2
y2 b2
1.
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5
又例如，两个多项式 f (x) , g (x) 的公因式的集合可 写成
6_1_3 偏导数 高等数学微积分 考研数学
1
二 者 不
f yx (0,0)
lim
x0
f y (x,
0) x
f y (0, 0)
lim
x0
x x
1
Page
14
等
定理. 若 f x y ( x, y)和 f y x ( x, y)都在点( x0 , y0 )连续, 则 f x y ( x0 , y0 ) f y x ( x0 , y0 )
z
y
f (x, y0
y)在点
M0
处的切线
M 0Tx 对 x 轴的斜率.
f y
x x0 y y0
d dy
f (x0 , y)
y
y0
o x0xy0源自y是曲线 斜率.z
x
f (x, x0
y)
在点M0 处的切线
M 0Ty
对
y
轴的
Page 6
注意：函数在某点各偏导数都存在, 但在该点不一定连续.
例如, 显然
x x0
y0 ) dx y
dx
f (x0 , y0 ) x x0
Page 3
同样可定义对 y 的偏导数
f y (x0 , y0 )
lim
y0
f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 ) y
d dy
f
(x0 , y)
y y0
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立. 例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
fxyz(x, y, z) fyzx(x, y, z) fzxy(x, y, z) fxzy(x, y, z) fyxz(x, y, z) fzyx(x, y, z)
《高等数学(上册)》 第六章
(1) 给出描述 净资 产 W（ t） 的微分 方程； (2) 求 方 程 的 解 ， 假 设 初 始 净 资 产 为 W0； 讨 论 在 W0=500,600,700 三 种 情 况 下 ， W （ t） 变 化 的 特 点 .
2x
y x1 2
的解就是一个初值问题.
定义 7 微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线．
6.1 微分方程的基本概念
例 3 验证函数
x C1 cos kx C2 sin kx
(6)
是微分方程
d2x dt 2
k
2
x
0
，
(k 0)
(7)
的通解.
6.1 微分方程的基本概念
证 求出所给函数(6)的一阶及二阶导数：
dx dt
C1k
sin
kt
C2k
cos
kt
d2x dt 2
k 2(C1
cos kt
C2
sin
kt)
(8)
把(6)及(8)代入方程(7)，得
k 2(C1 cos kt C2 sin kt) k 2(C1 cos kt C2 sin kt) ，而(7)为二阶微 分方程，所以函数(6)是方程(7)的通解.
6.2 可分离变量的微分方程
定义 1 如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dyf(x)dx (或写成 y (x) (y))
的形式，即能把微分方程写成一端只含 y 的函数和 dy，另一端只含 x 的函数和 dx，那么原方程就称为可分离变量的微分方程
高等数学微积分课件6.1.1 点集
D 的边界是圆周
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既不开，也不闭的集合
半开半闭区间
A {x | a x b} (a, b]
a
(a, b] 的边界点是 a 和 b
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b
既不开，也不闭的集合
内开外闭的圆环
D {( x, y ) | a x y b }
例子
A {( x, y ) | 0 x y a }
2 2 2
有界开区域：有界、开、连通
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B {( x, y ) | a x y b }
2 2 2 2
有界闭区域：有界、闭、连通
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邻域（neighborhood） 回忆： R 中的邻域：
U ( x0 , ) {x | x x0 }
{x | x0 x x0 } ( x0 , x0 )
x
x0 x 0 上一页 | 首页 | x 下一页 0
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内点（interior point) 点 M 0 是点集 V 的一个内点，如果存在
使
0
U (M 0 , ) V
M0
V 的内点属于V
V
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外点（exterior point) 点 M 0 是点集 V 的一个外点，如果存在
大一高数课件第六章
证明题
1. 证明罗尔定理；2. 证明拉格朗日中值定理 。
答案及解析
答案：$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
极限题答案及解析
计算题答案及解析
01
03 02
答案及解析
• 解析：根据极限的性质，当$x \to 0$时， $\sin x \approx x$，所以$\lim{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$。
参与讨论
积极参与课堂讨论，与同学分享学 习心得和解题经验。
04
02
第六章基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某一点的变化趋势的数学工具。对于函数$f(x)$，若在$x to a$的过程中，$f(x)$的值无限接近 于一个确定的常数$L$，则称$L$为函数$f(x)$在$x to a$时的极限。
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导数的性质
导数具有线性性质、可加性、可乘性、链式法则等性质。这些性质帮助我们更好地理解导数的概念， 并能够进行相关的计算和证明。
积分的定义与性质
积分的定义
积分是计算函数与坐标轴所夹图形的面积的数学工具。对于函数$f(x)$，若函数与坐标 轴所夹图形的面积为$A$，则称$A$为函数$f(x)$在区间[a,b]上的定积分。
积分的性质
积分具有线性性质、可加性、可乘性、积分中值定理等性质。这些性质帮助我们更好地 理解积分的概念，并能够进行相关的计算和证明。
03
第六章定理与公式
极限定理
极限定理
极限定理是微积分学中的基本定理之 一，它描述了函数在某点的极限行为 。根据极限定理，如果一个函数在某 点的极限存在，则该函数在该点附近 的行为可以用其极限值来描述。
高等数学第6章第1节拉格朗日中值定理和函数的单调性
第六章 微分中值定理及其应用§1.拉格朗日中值定理和函数的单调性引言为了了解中值定理的背景，我们可作以下叙述：弧 AB 上有一点P ，该处的切线平行与弦AB ．如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”，故如建立坐标系，则弧 AB 的函数是y=f(x)，x ∈[a,b]的图像，点P 的横坐标为x ξ=．如点P 处有切线，则f(x)在点x ξ=处可导，且切线的斜率为()f ξ'；另一方面，弦AB 所在的直线斜率为()()f b f a b a--，曲线y=f(x)上点P 的切线平行于弦AB ⇔()()()f b f a f b a ξ-'=-． 撇开上述几何背景，单单观察上述数量关系，可以发现：左边仅涉及函数的导数，右边仅涉及函数在端点的函数值．这样这个公式就把函数及其导数联系起来．在二者之间架起了一座桥梁，这座“桥”就是导数在研究函数方面应用的理论基础．鉴于(,)a b ξ∈，故把类似公式称为“中值公式”；把类似的定理称为中值定理．剩下的问题是：中值定理何时成立呢？观察如下事实，可以发现：如果y=f(x)在[a,b]上不连续或不可导（无切线），是不一定有上述结论的．换言之，如保证类似点P 存在，曲线弧 AB 至少是连续的，而且处处有切线．反映到函数y=f(x)上，即要求y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导．一、 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理1、罗尔中值定理定理6．1：若f 满足如下条件：（1）f ∈[a ，b]；（2）f 在(a ，b )内可导；（3）f (a)=f (b)，则存在ξ∈(a ，b )，使得()0f ξ'=．（分析）由条件（1）知f 在[a ，b]上有最大值和最小值，再由条件（2）及（3），应用费马定理便可得到结论．证明：因为f 在［a,b ］上连续，所以有最大值与最小值，分别用M 与m 表示，现分两种情况讨论： (i)若M = m , 则 f 在［a,b ］上必为常数，从而结论显然成立．(ii)若m ＜ M ，则因 f (a)=f (b)，使得最大值M 与最小值m 至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是f 的极值点，由条件(2) f 在点ξ处可导，故由费马定理推知)(ξf '=0.Rolle 中值定理几何意义：在每一点都可导的连续曲线，如果曲线两端点高度相同，则至少存在一水平切线（在具有水平弦的可微曲线上有水平曲线）．注：定理中的条件都是充分但非必要，即定理中三个条件缺一不可．1）不可导，不一定存在；2）不连续，不一定存在；3）f(a)≠f(b)，不一定存在．“不一定存在”意味着一般情况如下：Rolle 定理不再成立．但仍可能有()0f ξ'=的情形发生． 例上在]1,1[,)(-=x x f ，],1,0[,2)(在x x f =⎩⎨⎧=<≤=1010)(x x x x f 在[0,1] 例1：设f 为R 上的可导函数，证明：若方程()0f x '=没有实根，则方程f(x)=0至多只有一个实根． 例2；已知10021n c c c n +++=+ ，证明：2012()0n n p x c c x c x c x =++++= 至少有一正实根． 2、Lagrange 中值定理定理6．2：若函数 ƒ满足如下条件：（1）ƒ在闭区间[b a ,]上连续；（2）ƒ在开区间(b a ,)内可导；则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得()()()f b f a f b aξ-'=-． （分析）罗尔定理是拉格朗日中值定理ƒ（a ）=ƒ(b)时的特殊情况，应用罗尔定理证明此定理要构造辅助函数 )(x F ，使得)(x F 满足罗尔定理的条件（1）-(3) 且a b a f b f x f x F ---'=')()()()(， 从而推得],[),()()()()((x)b a x a x ab a f b f a f x f F ∈-----=．证明：作辅助函数 ),()()()()((x)a x ab a f b f a f x f F -----= 显然，F （a ）=F(b)（=0），且F 在[a ，b]上满足罗尔定理的另两个条件，故存在点ξ∈(a ，b)，使得0)()()()(=---'='a b a f b f f F ξξ 即 a b a f b f f --=')()()(ξ注1°罗尔定理是拉格朗日中值定理)()(b f a f =时的特例．注2°Lagrange 中值定理的几何意义：在满足拉格朗日中值定理条件的曲线)(x f y =上至少存在一点))(,(ξξf P ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB ，我们在证明中引入的辅助函数)(x F ，正是曲线 )(x f y = 与直线AB )()()()(a x ab a f b f a f y ---+= 之差，事实上，这个辅助函数的引入相当于坐标系统原点在平面内的旋转，使在新坐标系下，线段AB 平行于新х轴（F （a ）=F （b ））．注3°此定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范；同时通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现．注4°拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，它有几种常用的等价形式，可根据不同问题的特点，在不同场合灵活采用：),(),)(()()(b a a b f a f b f ∈-'=-ξξ)1,0(),)](([)()(∈--+'=-θθa b a b a f a f b f)1,0(,)()()(∈+'=-+θθh h a f a f h a f注5°拉格朗日中值定理的两个条件彼此有关，并不彼此独立，因为：f 在（a,b ）可导可以推出ƒ在（a ，b ）连续，但反之不成立．把这两个条件的“重叠”部分去掉，改成“函数)(x f 在（a ，b ）可导且)(x f 在a 右连续在b 左连续”这样，两个条件互相独立，但文字累赘且不便记忆，因此一般不这样叙述．例3 设f 在区间I 上可导，且)('x f 在I 上有界，证明f 在I 上满足Lipschitz 条件．例4 设0>h ，函数f 在],[h a h a +-上可导，证明存在)1,0(∈θ，使得)()()()(2)(''h a f h a f hh a f a f h a f θθ--+=-+-+ 例5：证明：对一切h>-1，h ≠0有公式ln(1)1h h h h<+<+ 3、拉格朗日中值定理的几个重要推论推论1 若函数f 在区间I 上可导，且()0f x '=，x I ∈，则f 为I 上的一个常量函数．几何意义：斜率处处为0的曲线一定是平行于x 轴的直线．推广：若f(x)在区间[a,b]上连续，且在（a,b ）中除有限个点外有()0f x '=，则f 在I 上是常数函数． 推论2 若函数f 和g 均在I 上可导，且()()f x g x ''=，x I ∈，则在区间I 上f(x)与g(x)只差一个常数，即存在常数C ，使得()()f x g x C =+．例6 证明：（1）在[-1,1]上恒有：arcsin arccos 2x x π+=，（2）在(,)-∞+∞上恒有：arctan arc cot 2x x π+=4、导数极限定理 推论3设函数f 在点0x 的某邻域0()U x 内连续，在0()U x 内可导，且0lim ()x x f x →'存在，则f 在点0x 可导，且00()lim ()x x f x f x →''=． 例7 求函数⎩⎨⎧>+≤+=0)1ln(0sin )(2x x x x x x f 的导数．二、函数的单调性定理6．3 设f(x)在区间I 上可导，则f(x)在I 上递增（减）()0(0)f x '⇔≥≤.注 （1）这个定理的主要用途在于用它研究函数的单调性，确定单调区间．例8 设2332)(x x x f -=，试讨论函数f 的单调区间．定理6．4 若函数f 在(a,b)内可导，则f 在(a,b)内严格递增（减）的充要条件是：（ⅰ）对一切(,)x a b ∈，有()0(0)f x '≥≤；（ⅱ）在(a,b)内的任何子区间上()0f x '≠．推论 设函数f 在区间I 上可微，若()0(0)f x '><，则f 在I 上严格递增（减）．注（2）从实现充分性的证明中发现，若21()0(0)()()f x f x f x '><⇒>21(()())f x f x <，即f 严格递增（减），从而有如下推论：注（3）上述推论是严格递增（减）的一个充分非必要条件．注（4）一个问题：f(x)在[a,b]上有定义，在(a,b)内严格递增（减），那么f(x)在[a,b]上是否一定严格递增（减）呢？答案：不一定．注： 若f(x)在(a,b)内可导，f(x)在(a,b)内严格递增（减），且y=f(x)在右端点a 右连续，则f 在[a,b]上变为严格递增（减），对左端点b 也有类似讨论．例9 证明不等式：)2,0(,2sin ππ∈>x x x 作业：P124 1， 4（1）（2）， 5， 7。
高等数学(7)多元函数微分学 - 修正版.
仅考虑二维的情况，二维点可以从平面的任何方向 趋近于定点，对应于这些不同的趋近路线，函数取值 的变化可能千差万别。而在一维情况下，函数自变量 只有两个方向趋近于定点，易于观察和验证。
下面是可以按常规算法求极限的几道例题。
【例6-6】求 lim
xy .
( x, y)(0,0) 1 xy 1
【例6-7】求 lim sin( xy) .
第六章 多元函数微分学及其应用
假设已经搞懂了一元函数的微 分（包括极限、连续和导数概念） 理论，那么这一章的主要任务就 是弄清多元函数微分与一元函数 微分的联系与区别。
其中，从直线到平面的推广或 拓展，是最值得注意的。特别是 与极限概念相关的部分。
6.1多元函数的基本概念
1. N维空间中的点集 2. N维空间中点列的收敛 3. 多元函数的定义 4. 多元函数的极限 5. 多元函数的连续性
（iv）累次极限存在且相等，重极限也可能不存在。
例：当 (x, y) (0,0) 时，观察函数 f ( x, 其累次极限均为0，但重极限不存在。
y)
xy x2 y2
,
（v）两个相互关联的结论：
若重极限与累次极限都存在，则它们不能不相等；
反之，如累次极限存在且不相等，则重极限不能存在。
直观说明：如果两个累次极限不相等，那么从函数 的图像可以看出，在接近z轴的时候，图像一定有 断裂（或上下撕裂）的现象，重极限不可能存在。
满足李普希斯条件。证明该函数是连续的。
讨论：如果二元函数关于每个单个变量是连续函数， 是否可以认为这个函数是连续的二元函数？
xy
f
( x,
y)
x2
y2
0
( x2 y2 0); ( x2 y2＝0)．
大一高数知识点归纳第六章
大一高数知识点归纳第六章第一节：一元函数的导数与微分在高等数学的学习中，我们经常会遇到一元函数的导数与微分的概念。
一元函数的导数表示函数在某一点处的变化率，它具有以下的性质：1. 导数的定义与求导规则：对于给定的一元函数f(x)，其导数f'(x)可以通过导数的定义或者一些特定的求导规则来求得。
2. 导数的几何意义：导数可以理解为函数在某一点处的切线斜率。
当导数大于0时，函数递增；当导数小于0时，函数递减；当导数等于0时，函数取得极值。
3. 导数的运算法则：导数具有一些运算法则，如和差法则、积法则、商法则等，这些法则可以简化函数的求导过程。
除了导数，微分也是一元函数中重要的概念，它表示函数在某一点处的线性近似。
微分具有以下的性质：1. 微分的定义与性质：对于给定的一元函数f(x)，其微分df(x)可以通过微分的定义来求得。
微分可以表示函数在某一点处的增量。
2. 微分与导数的关系：微分与导数有密切的联系，两者之间可以相互转化。
导数可以通过微分来定义，而微分可以通过导数来计算。
第二节：函数的高阶导数在第六章中，我们还会学习函数的高阶导数的概念。
高阶导数表示对函数多次求导后的结果，它可以通过连续求导的方式来定义。
1. 高阶导数的定义与性质：对于给定的一元函数f(x)，其二阶导数f''(x)表示对f'(x)再次求导的结果。
类似地，还可以定义更高阶的导数。
2. 高阶导数的运算法则：高阶导数也具有一些运算法则，如求导法则、莱布尼茨公式等，这些法则可以简化高阶导数的计算过程。
3. 函数的泰勒展开：通过函数的高阶导数，我们可以利用泰勒展开来近似表示函数的值。
泰勒展开是一种将函数表示为无穷级数的方法，可以用于函数的计算和研究。
第三节：隐函数及参数方程的导数隐函数与参数方程是一元函数的重要扩展形式，它们在实际问题中经常出现。
在这一节中，我们将学习隐函数及参数方程的导数计算方法。
1. 隐函数的导数：对于给定的隐函数表达式，我们可以通过求导的方法来计算其导数。
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A
(c)边界点
(a)内点
(b)外点
集 A 的 内 点 全 体 称 为 A 的 内 部 ， 记 作 I n t A 。 集 A 的 外 为 A 的 边 界 ， 记 作 A 。 A A A 称 为 A 的 闭 包 。 若 0 ,B ( a , ） A ，
则 称 a 是 A 的 聚 点 。 这 时 a 的 任 意 a 邻 域 都 含 有 A 的 无 数 个 点 ， A 的 聚 点 可 能 是 A 的 点 也 可 能 不 是 A 的 点 ， 但 是 A 的 边 界 点 。
当 n 3 时 ， 它 就 是 通 常 三 维 空 间 中 由 不 等 式
2 2 2 2 ( x a ) ( xa ) ( x a ) r 所 确 定 的 球 1 1 2 2 3 3
当时 n 2， 它 就 是 二 维 平 面 以 a 为 中 心 ， r 为 半 径 的 圆 盘
2 2 例 1 A (, x y ) x y 1 , y 0 ， 它 是 上
点 全 体 称 为 A 的 外 部 ， 记 作 O u t AA , 集 的 边 界 点 全 体 称
半 单 位 圆 ， 包 括 直 径 [ 1 ,] 1
2 2 2 2
OutA ( x ,y )x y 1 ( x ,y )x y 1 且 y 0
可规定加法及数的乘法 如下： n n 设 x ( x , x , , x ) R , y ( y , y , , y ) R ， R 1 2 n 1 2 n
定 义x y ( x y ,x y , ,x y ) ； 1 1 2 2 n n
x ( x , x , , x ) 1 2 n
第一节 多元函数和向量函数的 极限与连续
• • • • n维向量空间的区域 多元函数和向量函数 多元函数和向量函数的极限 多元函数和向量函数的连续
一、 n维向量空间的区域 (1)Rn的度量 记 R 为 实 数 全 体 所 成 的 集 合 。 对 于 n 个 实 数 有 序 组 n R x ( x , x , , x ) x R , j 1 , 2 , ， n , 的 全 体 1 2 n j
2 2 2 例 2 A B ( 0 , 1 ) {( x , y ) x y 1 } 是 R 的 开 集 1 2 2 2 A {( x , y ) x y 1 } — 单 位 圆 外 部 R 的 开 集 2
A } A 是 R的 闭 集 — 闭 单 位 圆 3 {( x, y) x y 1
则构 R 成 一 个 线 性 向 量 空 间 。
又 若 规 定 它 的 内 积 为 xy , xy j j
j 1 n
n
则 它 构 成 一 个 内 积 空 间 。 这 时
22 2 xx , x x x ＋ xx 称 为 的 长 度 或 度 量 ， 12 n
2 n xy ( x y ) 称 为 R 中 的 点 x 与 y 的 距 离 。 j j j 1
2 2 2 ( x a ) ( x a ) r 1 1 2 2
当时 n 1， 它 就 是 以 a 为 中 心 ， r 为 半 径 的 区 间 ( ar , ar )
(3)Rn的开集和闭集 n n 设 A 是 R 的 子 集 , a R ， 若 存 在 以 a 为 心 的 球 B ( a , )
x A y A
(5)曲线与曲线段
在R3曲线方程可借助参数方程 x x(t ), y y(t ), z z(t ) 来表示,若 t ,则可得到一段曲线 曲线段, 类似地, 对于Rn用 xj xj (t ) ( j 1, 2, , n), t 来描述曲线段,有时也简称曲线若 . xj (t )均是t在 [, ] 的连
n
n ( 2 )R 的 邻 域 n n 设 a ( a , a , , a ) R , R 中 到 a 的 距 离 等 于 r 的 点 的 全 1 2 n
n 体 所 成 的 集 合 Bar (,) x R x a r
n 2 2 (x ,x , ,x ) (x a r ,x Rj , 12 , , ,n 1 2 n j j) j j 1 称 为 以 a 为 中 心 ， 半 径 为 r 的 球 ， 又 称 B ( a , r ) 为 a 的 r 邻 域 。
2 2 c 2 2 2 2 A {( x , y ) 1 x y 2}既 非开 集 ， 也 非 闭 集 。 (图6-3) 4
图6-3
(4)有界集和无界集 n 若 R 中 的 集包 A 含 于 某 个 球 内 部 ,或 者 说 存 在 R 0 ,使 得
当 x A 时 便 有 x R ,则 称是 A 有 界 集 . 否 则 称是 A 无 界 集 . 设是 A 有 界 集 ,A 中 任 意 两 点 距 离 的 最 大 值 称 为 A 的 直 径 , 记 为 d i a m A ,即 d i a m A M a x xy .
A , 则 称 a 是 A 的 内 点 ； 若 存 在 B ( a , ) 使 得 它 与 A 没 有 交 点 ， 又 非 A 的 外 点 ， 则 称 a 是 A 的 边 界 点 。 a a A A
即 B ( a , ) A ， 则 称 a 是 A 的 外 点 ， 若 a 既 非 A 的 内 点 ，
IntA ( x ,y )x y 1 ,y 0
2 2
图6 － 2
2 2 A ( x , y ) x y 1 且 y 0 ( x , y ) y 0 , 1 x 1
若 集 合 A 的 每 一 点 均 是 A 的 内 点 ， 则 称 A 为 开 集 ， 若 A 的 余 集 Ac是 开 集 ， 则 说 A 是 闭 集 。