复合函数定义域三种形式解法
关于复合函数定义域的求解方法
关于复合函数定义域的求解方法复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数，其定义为：f(g(x))，其中g(x)是内层函数，f(x)是外层函数。
定义域是指函数能够接受的数值范围。
换而言之，对于给定的函数，定义域是使其有意义的输入值的集合。
要确定复合函数的定义域，需要考虑两个方面：内层函数和外层函数。
首先，我们需要确定内层函数的定义域，然后根据内层函数的结果来确定外层函数的定义域。
内层函数的定义域确定方法如下：1.若内层函数是一个常数函数，定义域为实数集合，即：(-∞,∞)。
2.若内层函数是一个多项式函数，其定义域为所有实数集合，即：(-∞,∞)。
3.若内层函数是一个分式函数，需要注意分母不能为零。
因此，需要将分母不等于零的解集作为内层函数的定义域。
4.若内层函数是一个平方根函数，需要考虑平方根中的值不能为负数，因此需要将平方根中的表达式大于等于零的解集作为内层函数的定义域。
确定内层函数的定义域后，我们需要将内层函数的结果作为外层函数的输入来确定外层函数的定义域。
具体方法如下：1.若外层函数是一个常数函数，定义域与内层函数的定义域相同。
2.若外层函数是一个多项式函数，其定义域与内层函数的定义域相同。
3.若外层函数是一个分式函数，需要将分母不等于零的解集作为外层函数的定义域。
4.若外层函数是一个平方根函数，需要将平方根中的表达式大于等于零的解集作为外层函数的定义域。
需要注意的是，在求解复合函数的定义域时，需要保证两个函数都有定义，并且内层函数的结果必须属于外层函数的定义域。
举个例子来说明复合函数的定义域的求解方法：考虑函数f(x)=√(3-2x)+1和g(x)=x^2-4x+3，我们需要确定复合函数f(g(x))的定义域。
首先，我们需要确定g(x)=x^2-4x+3的定义域。
由于这是一个多项式函数，其定义域为所有实数集合，即：(-∞,∞)。
接下来，我们将g(x)的结果带入f(x)中来确定复合函数f(g(x))的定义域。
复合函数定义域的常见求法
复合函数定义域的常见求法一、复合函数的概念假如y 是u 的函数，而u 是x 的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y 关于x 的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。
注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，依照复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。
另外，在研究有关复合函数的咨询题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否那么如此的复合函数不存在。
例：f ( x + 1 ) = (x + 1)2 能够拆成y = f ( u ) = u 2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即能够看成f ( u ) = u 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。
二、求复合函数的定义域：〔1〕假设f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,那么f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x 的范畴，即为f [g ( x )]的定义域。
例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。
答案： [-1/2 ，0 ]例2、f ( x )的定义域为〔0，1〕，求f ( x 2)的定义域。
答案： [-1 ，1]〔2〕假设f [ g ( x ) ]的定义域为〔m , n 〕那么由m < x < n 确定出g ( x )的范畴即为f ( x )的定义域。
例3、函数f ( 2x + 1 )的定义域为〔0，1〕，求f ( x ) 的定义域。
答案： [ 1 ，3]〔3〕由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。
求复合函数定义域的题型与思路
求复合函数定义域的题型与思路有关复合函数问题是近几年高考试题的重点题型之一，也是难点之一，其中求复合函数的定义域问题一直困扰着同学们。
本文对此类问题中的三种题型的求解思路作一剖析，旨在帮助大家轻松解题。
一. 已知f(x)的定义域，求f g(x) 的定义域思路：设函数f(x)的定义域为D，即x D，所以f的作用范围为D，又f对g(x)作用，作用范围不变，所以g(x) D，解得x E，E为f g(x) 的定义域。
例1. 设函数f(u)的定义域为（0，1），则函数f(lnx)的定义域为_____________。
解析：函数f(u)的定义域为（0，1）即u (0，1)，所以f的作用范围为（0，1）又f对lnx作用，作用范围不变所以0 lnx 1 解得x (1，e)故函数f(lnx)的定义域为（1，e）例2. 若函数f(x)1x 1，则函数f f(x) 的定义域为______________。
1x 1解析：先求f的作用范围，由f(x) ，知x 1即f的作用范围为x R|x 1 ，又f对f(x)作用所以f(x) R且f(x) 1 即fx 1f(x) 中x应满足f(x) 1x 1即11x 1解得x 1且x 2故函数f f(x) 的定义域为x R|x 1且x 2二. 已知f g(x) 的定义域，求f(x)的定义域思路：设f g(x) 的定义域为D，即x D，由此得g(x) E，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以x E，E为f(x)的定义域。
例3. 已知f(3 2x)的定义域为x 1，2 ，则函数f(x)的定义域为_________。
解析：f(3 2x)的定义域为1，2 ，即x 1，2 由此得3 2x 1，5 所以f的作用范围为1，5又f对x作用，作用范围不变，所以x 1，5 即函数f(x)的定义域为1，5例4. 已知f(x 4) lg2__22，则函数f(x)的定义域为______________。
几种复合函数定义域的求法
几种复合函数定义域的求法配凑法是指先将关于变量x的表达式凑成整体的g(x)，再将g(x)替换为x，得到f(x)。
例如，对于2f(x-2)=x+2，可以将x-2凑成整体，得到2f(g(x))=x+2，其中g(x)=x-2，然后将g(x)替换为x，得到2f(x)=x+2，最终得到f(x)=(x+2)/2.换元法是指先设g(x)=t，解出x（用t表示x），然后将x （关于t的式子）代入f[g(x)]中消去x，得到f(t)，最后将t替换为x得到f(x)。
这种代换遵循同一函数的原则。
例如，对于f(x+1)=2x，可以设g(x)=x+1，得到f(g(x))=2(x-1)，然后将g(x)替换为x，得到f(x+1)=2x，最终得到f(x)=2(x-1)。
复合函数的定义是：若y=f(u)，且u=g(x)，且g(x)的值域与f(u)的定义域有交集，则y=f[g(x)]是x的复合函数。
即将一个函数中的自变量替换成另一个函数得到的新函数。
例如，对于f(x)=3x+5和g(x)=x+1，复合函数f(g(x))即将f(x)中的x替换成g(x)，得到f(g(x))=3(x+1)+5=3x+8.函数f(x)和函数f(x+5)的定义域不相同，因为定义域是求x的取值范围，而x和x+5所属的范围相同，导致它们定义域的范围不同。
复合函数的定义域是复合函数y=f[g(x)]中x的取值范围。
x称为直接变量，u称为中间变量，u的取值范围即为g(x)的值域。
f(g(x))与g(f(x))表示不同的复合函数。
设函数f(x)=2x+3，g(x)=3x-5，求f(g(x))和g(f(x))的复合函数的定义域。
对于f(g(x))，先求出g(x)的值域，即-5<x<inf，然后将其代入f(x)中得到f(g(x))=6x-7，因此f(g(x))的定义域为-5/6<x<inf。
对于g(f(x))，先求出f(x)的值域，即-inf<y<inf，然后将其代入g(x)中得到g(f(x))=6x+4，因此g(f(x))的定义域为-inf<x<inf。
几种复合函数定义域的求法
配凑法就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换成x 而得)(x f 。
f(x －1x )＝x 2＋1x 2,函数f(x)的解析式换元法就是先设t x g =)(，从中解出x （即用t 表示x ），再把x （关于t 的式子）直接代入)]([x g f 中消去x 得到)(t f ，最后把)(t f 中的t 直接换成x 即得)(x f ，这种代换遵循了同一函数的原则。
f(x ＋1)＝x 2＋x,函数f(x)的解析式：复合函数的定义域复合函数的定义一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是 求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。
）说明： ⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f复合函数的定义域求法.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
复合函数定义域三种形式解法
复合函数定义域三种形式解法复合函数是由两个或多个函数组成的一个新函数。
在定义复合函数的时候，需要确定合成函数的定义域以保证合成函数的存在和可行性。
一、基本定义域的合成考虑两个函数f和g，其中g的定义域包含f的值域，即对于任意x属于f的定义域，存在一个数y，使得f(x)=y且y属于g的定义域。
例如，考虑f(x) = x^2和g(x) = sin(x)，其中f的定义域为实数集R，g的定义域为[-1,1]。
显然，f的值域为非负实数集R+，并且R+在g的定义域[-1,1]内。
因此，f和g的合成函数h(x) = g(f(x))的定义域为实数集R。
二、交集的合成当两个函数的定义域没有包含关系时，可以考虑它们的交集作为合成函数的定义域。
也就是说，要找到两个函数的共同定义域，才能进行合成。
例如，考虑f(x)=√(4-x^2)和g(x)=1/x，其中f的定义域为[-2,2]，g的定义域为(-∞,0)U(0,+∞)。
显然f和g的共同定义域为(0,2]U[-2,0]，即f和g的交集为[-2,2]。
因此，f和g的合成函数h(x)=g(f(x))的定义域为[-2,2]。
三、条件限制的合成有时候，函数之间的合成有些条件限制。
在这种情况下，复合函数的定义域需要根据这些条件来确定。
例如，考虑f(x)=x+2和g(x)=√x，其中f的定义域为实数集R，g的定义域为非负实数集[0,+∞)。
但是，根据g的定义域的条件，对于g(f(x))来说，只有f(x)>=0时，g(f(x))才有定义。
因此，f(x)>=0，即x>=-2、所以，复合函数g(f(x))的定义域为[-2,+∞)。
综上所述，复合函数的定义域有三种形式的解法：基本定义域的合成、交集的合成和条件限制的合成。
具体的解法需要根据函数的定义域和值域来确定，以确保复合函数的存在和可行性。
复合函数求定义域的几种题型
复合函数求定义域的几种题型解：由题意知：解：由题意知：解：由题意知：练习：解：由题意知：202≤≤x }2321{)12(:≤≤-x x x f 的定义域是故():(),[()]f x f g x 题型一已知的定义域求的定义域1.()[0,2],(21)f x f x -例若的定义域是求的定义域2120≤-≤x 2321≤≤∴x []2:()0,2,()f x f x 练习若的定义域是求的定义域22≤≤-∴x ()]2,2[:2-的定义域是故x f ():,()f g x f x ⎡⎤⎣⎦题型(二)已知的定义域求的定义域():21(1,5],()f x f x --例2已知的定义域求的定义域51≤<-x 9123≤-<-∴x ](9,3)(-∴的定义域为x f ](的定义域求的定义域已知)52(,5,1)12(x f x f ---51≤<-x 9123≤-<-∴x 9523≤-<-∴x 157<≤-∴x ())1,57[52--∴的定义域是x f题型三： 已知函数的定义域，求含参数的取值范围解：(1)当K=0时, 3≠0成立练习: 若函数 的定义域是R ，求实数a 的取值范围。
解：∵定义域是R ，当 时，显然适合题意，当 时，综上知：实数a 的取值范围为布置作业：的定义域是一切实数3472+++=kx kx kx y 时当知综上430,)2(),1(<≤k 27:,43kx k y kx kx +=++例3当为何值时函数的定义域是一切实数恒成立对分母可知的定义域为一切实数由R x kx kx kx kx kx y ∈≠+++++=034,34722430:,0:0)2(<<<∆≠k K 解得时当12+-=ax ax y 恒成立，012≥+-∴ax ax 0=a 0≠a ⎩⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>4001402a a a a 04a ≤≤1.()[2,2]f x y f-=已知函数的定义域是，求的定义域()2. 21[0,2],(13)f x f x +-已知函数的定义域是求的定义域。
复合函数定义域三种形式解法
先介绍几个名词汇：（能明白最佳，如果感觉那些名词汇有面晕，您不妨跳过）之阳早格格创做【定义域】：便是初中咱们所教的，函数y=f(x)的自变量x的与值范畴；【值域】：函数y=f(x)的果变量y的与值范畴；【隐函数】：雅称罕睹函数，函数剖析式是精确的，比圆：y=f(x)=2x2+3x-5；【隐函数】：雅称抽象函数，函数剖析式是没有精确的，便用y=f(x)表示，简直f(x)是什么真质是隐躲的；【复合函数】：如果道y=f(x)是一个简朴的抽象函数，那么把自变量x用一个函数g(x)去代替，便称y=f(g(x))为复合的抽象函数，习惯上称y=f(t)是中函数，t=g(x)为内函数.道解之前指示很闭键的一句：通常是函数的定义域，永近是指自变量x的与值范畴.【题型一】已知抽象函数y=f(x)的定义域[m,n]，怎么样供复合抽象函数y=f(g(x))的定义域？思路分解：本题型是已知y=f(x)的自变量x的范畴，供y=f(g(x))的自变量x的范畴，其中的闭键是，后者的g(x)相称于前者的x.办理战术：供没有等式m≤g(x)≤n的解集，即为y=f(g(x))的定义域【例题1】已知函数y=f(x)的定义域[0,3]，供函数y=f(3+2x)的定义域.解：令t=3+2x，∵y=f(x)的定义域[0,3]，∴y=f(t)的定义域也为[0,3]，即t=3+2x∈[0,3]，闭于抽象复合函数定义域的供法证明：内函数g(x)=3+2x，通过令t=3+2x干了一个换元，此处换元没有克没有及写为令x=3+2x.本果是y=f(x)中的x与y=f(3+2x)的x虽然少得一般，然而是意思分歧，如果令x=3+2x，则等号二边的x便是一模一般了，x只可为-3了.【题型二】已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，怎么样供抽象函数y=f(x)的的定义域？思路分解：本题型是已知y=f(g(x))的自变量x的范畴，供y=f(x)的自变量x的范畴，其中的闭键是，前者的g(x)相称于后者的x.办理战术：供内函数t=g(x)正在区间[m,n]的值域（t的与值范畴），即为y=f(x)的定义域【例题2】已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，供函数y=f(x)的定义域.解：∵y=f(2x-1)的定义域[0,3]，∴0≤x≤3，令t=2x-1，∴t=2x-1∈[-1,5]故，函数y=f(t)的定义域为t∈[-1,5]，故，函数y=f(x)的定义域为x∈[-1,5]证明：函数y=f(x)与y=f(t)是共一个函数，与单个自变量是x仍旧t无闭.其余，题型二是题型一的顺背题目.【题型三】已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，怎么样供复合抽象函数y=f(h(x))定义域的定义域？思路分解：本题型是已知y=f(g(x))的自变量x的范畴，供y=f(h(x))的自变量x的范畴，其中的闭键是，前者的g(x)相称于后者的h(x)，故先供出“桥梁”函数y=f(x)的定义域.办理战术：用题型二的要领根据y=f(g(x))定义域供y=f(x)的定义域，用题型一的要领根据y=f(x)的定义域供y=f(h(x))的定义域【例题3】已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，供函数y=f(3+x)的定义域.解：∵y=f(2x-1)的定义域[0,3]，∴0≤x≤3，令t=2x-1，∴t=2x-1∈[-1,5]故，函数y=f(t)的定义域为t∈[-1,5]，故，函数y=f(x)的定义域为x∈[-1,5]令t=3+x，则t=3+x∈[-1,5]闭于抽象复合函数定义域的供法故，函数y=f(3+x)定义域为[-4,2]证明：题型三本去是题型一与题型二的概括而已，会了前二个题型，第三个题型自然便会了.。
“痛点”拓展——复合函数的定义域问题
ʏ徐勇痛点 是当下比较热的互联网术语,一般指市场不能充分满足的,而客户迫切需要满足的需求㊂在数学解题过程中,我们也会经常碰到类似的 痛点 ,明明觉得思路清晰,解答正确,而最终还是出现偏差㊂下面就复合函数的定义域这一 痛点 加以剖析㊂一㊁表层 痛点 复合函数的定义域问题求复合函数的定义域就是求它的自变量x的取值范围,这是复合函数中的表层痛点所在㊂要注意函数y=f(x)中的x与y= f[g(x)]中的g(x)的取值范围是相同的㊂1.已知f(x)的定义域确定f[g(x)]的定义域例1已知y=f(x)=2x-x2,求函数y=f(x)的定义域㊂分析:根据y=f(x)的解析式确定对应的定义域,再求函数y=f(x)的定义域㊂解:由y=f(x)=2x-x2,可得2x-x2ȡ0,解得0ɤxɤ2,即y=f(x)的定义域为[0,2]㊂函数y=f(x)中的x与函数y= f(x)中的x取值范围相同,所以0ɤxɤ2,解得0ɤxɤ4,即函数y=f(x)的定义域为[0,4]㊂评析:由已知函数的定义域,求复合函数的定义域,只要把所求复合函数式中括号内的式子看成已知函数式中的x,再解不等式,即得复合函数的定义域㊂2.已知f[g(x)]的定义域确定f(x)的定义域例2已知函数y=f(x2-1)的定义域为[-3,3],则函数y=f(x)的定义域为㊂分析:根据自变量x的取值范围确定x2-1的取值范围,即为函数y=f(x)的定义域㊂解:由于y=f(x2-1)的定义域为[-3, 3],所以xɪ[-3,3],可得x2-1ɪ[-1, 2],即y=f(x)的定义域为[-1,2]㊂评析:函数f[g(x)]的定义域即为x的取值范围,再结合整体思维的应用,可得函数y=f(x)的定义域㊂3.运算类的复合型函数的定义域例3若函数y=f(x)的定义域是[1,2023],则函数g(x)=f(x+1)x-1的定义域是()㊂A.[0,2022]B.[0,1)ɣ(1,2022]C.(1,2023]D.[-1,1)ɣ(1,2022]分析:由函数y=f(x)的定义域确定f(x+1)的定义域,再结合运算形式加以综合分析与处理㊂解:令t=x+1㊂由已知函数的定义域为[1,2023],可得1ɤtɤ2023㊂要使函数f(x+1)有意义,需满足1ɤx+1ɤ2023,解得0ɤxɤ2022,所以函数f(x+1)的定义域为[0,2022]㊂要使函数g(x)有意义,需满足0ɤxɤ2022,x-1ʂ0,解得0ɤx<1或1<xɤ2022,所以函数g(x)的定义域为[0,1)ɣ(1,2022]㊂应选B㊂评析:运算类的复合型函数的定义域,涉及加㊁减㊁乘㊁除等综合运算的应用,可先确定对应函数的定义域,再求相应的交集㊂二㊁中层 痛点 复合函数的基本性质问题复合函数的基本性质包括复合函数的值51知识结构与拓展高一数学2023年10月Copyright©博看网. All Rights Reserved.域,复合函数的单调性㊁奇偶性㊁周期性等,其前提条件是离不开复合函数的定义域,这是求解过程中的 痛点 所在,要引起同学们的重视㊂1.复合函数的值域问题例4 求函数y =2-x 2+2x +3的值域㊂分析:先利用内外层函数之间的关系,结合内层函数的解析式确定对应的值域,再通过 由内到外 来求解相应的值域㊂若盲目根据外层函数的解析式特征直接确定相应的值域,则必然导致 痛点 的产生㊂解:设y =2u ,u =t ,t =-x 2+2x +3㊂因为二次函数t =-x 2+2x +3=-(x-1)2+4,所以t ɤ4,所以函数u =t 的值域为[0,2],所以y =2u的值域为[1,4],即函数y =2-x 2+2x +3的值域为[1,4]㊂评析:按照 由内到外 的顺序来研究复合函数的内层函数值域A 与外层函数定义域B 之间的关系,要保证内层函数值域A 是外层函数定义域B 的子集,再结合条件加以分析与处理㊂2.复合函数的单调性问题例5 已知f (x )=2x +5,求函数f (x )的单调增区间㊂分析:先明确复合函数的构成,再考虑复合后函数的相应性质的变化与应用㊂解:函数f (x )=2x +5是由函数y =t 与函数t =2x +5复合而成㊂外层函数y =t 是定义域上的单调递增函数㊂内层函数t =2x +5是增函数,由2x +5ȡ0,解得x ȡ-52㊂故函数f (x )的单调增区间为-52,+ɕ㊂评析:复合函数的单调性遵循 同增异减 的法则,即内㊁外层函数单调性相同时复合函数的单调性为增函数,内㊁外层函数单调性相反时复合函数的单调性为减函数㊂三㊁内层 痛点 复合函数的综合应用问题复合函数的综合应用问题,离不开复合函数的定义域㊂解答这类问题,可利用函数的基本性质㊁定义域与值域,结合函数的图像进行分析与处理㊂1.复合函数的最值问题例6 已知函数f (x )=2+x (1ɤx ɤ9),求函数g (x )=f 2(x )+f (x 2)的最值㊂分析:求函数g (x )的最值,要确定两个复合函数的定义域,在确定的定义域范围内,根据函数的表达式进行分析与求解㊂解:函数g (x )=f 2(x )+f (x 2)为复合函数,由1ɤx ɤ9,1ɤx 2ɤ9,解得1ɤx ɤ3,所以函数g (x )的定义域为[1,3]㊂因为g (x )=f 2(x )+f (x 2)=(2+x )2+(2+x 2)=2x +4x +6=2(x +1)2+4,x ɪ[1,3],所以当x =1时,g (x )m i n =12;当x =3时,g (x )m a x =12+43㊂评析:求复合函数的最值,必须在优先考虑定义域的前提下,进行分析与求解㊂2.复合函数的参数问题例7 已知函数f (x )=l o g 12(x 2-a x +3a )在区间[2,+ɕ)上是减函数,求实数a 的取值范围㊂分析:根据复合函数的 同增异减 法则,确定复合函数的单调性是解题的关键㊂解:因为函数l o g 12(x 2-a x +3a )在区间[2,+ɕ)上是减函数,所以u (x )=x 2-a x +3a 在[2,+ɕ)上是增函数且在[2,+ɕ)上恒大于0㊂由函数u (x )=x 2-a x +3a 的对称轴为x =a2ɤ2且u (2)=4-2a +3a >0,解得-4<a ɤ4㊂故实数a 的取值范围为(-4,4]㊂评析:求复合函数的综合应用问题,为避免因忽略内层函数或外层函数的定义域而造成的 痛点 ,可以从复合函数自身的结构出发,采取 由内到外 或 由外到内 的方法,逐层分析复合函数的相关定义域㊂作者单位:江苏省兴化中学(责任编辑 郭正华)61 知识结构与拓展 高一数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
复合函数定义域三种形式解法
复合函数定义域三种形式解法复合函数的定义域是指使得复合函数有意义的所有可能的输入值的集合。
若已知两个函数f(x)和g(x)，要求它们的复合函数f(g(x))的定义域，可以采用以下三种形式的解法。
解法一：通过视觉法确定定义域这种方法适用于简单的函数组合，可以通过观察得到定义域的范围。
例如，如果已知f(x)=√x，g(x)=2x，则f(g(x))=f(2x)=√(2x)。
根据平方根函数的定义域为非负实数，可以确定复合函数的定义域为所有使得2x≥0的实数，即x≥0。
因此，定义域为[0,+∞)。
解法二：通过函数图像确定定义域这种方法适用于已知函数的图像，并且函数图像比较简单的情况。
例如，如果已知f(x)=1/x，g(x)=x+2，则f(g(x))=f(x+2)=1/(x+2)。
根据1/x函数的图像，可以确定其定义域为除了x=0之外的所有实数。
将所有使得x+2≠0的实数作为复合函数的输入，即x≠-2、因此，定义域为R-{-2}，其中R表示实数集合。
解法三：通过函数定义式确定定义域这种方法适用于通过分析函数定义式来确定定义域的复杂情况。
例如，如果已知f(x)=√(4-x)和g(x)=(x-1)/(x-5)，则f(g(x))=√(4-g(x))=√(4-(x-1)/(x-5))。
为了使得复合函数有意义，需要满足两个条件：1）分母不能为0；2）被开方的表达式必须大于等于0。
首先，对于分母不能为0的条件，需要排除使得x-5=0的值，即x≠5、然后，考虑被开方的表达式必须大于等于0的条件，即4-(x-1)/(x-5)≥0。
通过解不等式可以确定这个条件的范围。
将分式转化为通分形式，得到(4(x-5)-(x-1))/(x-5)≥0。
化简不等式，得到(3x-9)/(x-5)≥0。
根据不等式的性质，需要分析函数在各个区间上的正负性来确定不等式的解集。
当x<5时，分子分母同号，即(3x-9)/(x-5)>0，解为(-∞,5)；当x>5时，分子分母异号，即(3x-9)/(x-5)<0，解为(5,+∞)；当x=5时，分子为0，则这个点需要额外讨论。
复合函数定义域解析式的求法
复合函数的定义域和函数解析式的求法一、复合函数的定义域1、复合函数的定义一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如:2()35,()1f x xg x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+2、复合函数的定义域求法例1. 已知()f x 的定义域为](3,5-，求函数(32)f x -的定义域； 解：由题意得 35x -<≤3325x ∴-<-≤137x -<≤ 1733x ∴-<≤所以函数(32)f x -的定义域为17,33⎛⎤-⎥⎝⎦.练1.已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。
解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即⎩⎨⎧≤≤->-<⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+⇔≤+<13023202320222x x x x x x x x x ，或即23-<≤-x 或10≤<x故)2(2x x f +的定义域为[)(]1,02,3 --例2. 若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域 解:由题意得23x ∴-≤≤639x ∴-≤≤242311x ∴-≤+≤ 所以函数()f x 的定义域为：[]4,11-例3. 已知)1(+x f 的定义域为)32[，-，求()2-x f 的定义域。
解 由)1(+x f 的定义域为)32[，-得32<≤-x ，故411<+≤-x即得()x f 定义域为)41[，-，从而得到421<-≤-x ，所以61<≤x故得函数()2-x f 的定义域为[)6,1 例4. 已知函数()x f 定义域为是],[b a ，且>+b a ,求函数()()()m x f m x f x h -++=()0>m 的定义域解: ⎩⎨⎧+≤≤+-≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-≤≤+≤mb x m a mb x m a b m x a bm x a ，m a m a m +<-∴>,0mb m b +<-，又mb ma +<-要使函数()x h 的定义域为非空集合，必须且只需mb m a -≤+，即20a b m-≤<，这时函数()x h 的定义域为],[m b m a -+ 3、总结解题模板1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
三种类型复合函数定义域的求法
三种类型复合函数定义域的求法在数学中，函数是一种映射关系，它将一个或多个元素从一个集合映射到另一个集合。
复合函数是由两个或多个函数组成的函数。
当我们考虑复合函数的定义时，我们需要考虑两个问题：各个函数的定义域，以及这些函数的组合会产生什么变化。
在本文中，我们将讨论三种类型的复合函数定义域的求法。
类型一：两个函数定义域的交集当我们考虑复合函数的定义域时，最常见的情况是两个函数的定义域求交集。
对于给定的两个函数f(x)和g(x)，我们需要找到一个定义域，使得两个函数在这个定义域内都有定义。
假设f(x)的定义域为A，g(x)的定义域为B，那么复合函数h(x)的定义域为A∩B。
也就是说，只有当x属于A且x属于B时，h(x)才有定义。
例如，假设f(x)=√x，g(x)=x+1，求复合函数h(x)=f(g(x))的定义域。
首先，f(x)=√x在实数范围内有定义，也就是A=[0,∞)。
其次，g(x)=x+1在整个实数范围内有定义，也就是B=(-∞,∞)。
然后，我们求出这两个定义域的交集。
A∩B=[0,∞)∩(-∞,∞)=[0,∞)因此，复合函数h(x)=f(g(x))的定义域为[0,∞)。
类型二：两个函数定义域的并集除了求两个函数定义域的交集之外，我们也经常需要求两个函数定义域的并集。
这种情况通常出现在我们需要考虑复合函数的反函数时。
假设f(x)的定义域为A，g(x)的定义域为B，那么复合函数h(x)的定义域为A∪B。
也就是说，只要x属于A或x属于B，h(x)就有定义。
例如，假设f(x) = √x，g(x) = ln(x)，求复合函数h(x) = f(g(x))的定义域。
首先，f(x) = √x在实数范围内有定义，也就是 A = [0,∞)。
其次，g(x) = ln(x)在(0,∞)范围内有定义，也就是B = (0,∞)。
然后，我们求出这两个定义域的并集。
A∪B=[0,∞)∪(0,∞)=(0,∞)因此，复合函数h(x)=f(g(x))的定义域为(0,∞)。
有关复合函数单调性的定义和解题方法
有关复合函数单调性的定义和解题方法一、复合函数的定义设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、函数的单调区间1.一次函数y=kx+b(k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.2.反比例函数y=x k (k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0).解 当a ＞1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b2，+∞)是它的单调增区间；当a ＜1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b2，+∞)是它的单调减区间；4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.三、复合函数单调性相关定理引理1 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x 1)＜g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＜u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］， 故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x 1)＞g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＞u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］，故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。
专题1： 复合函数定义域的求法
( 2)当 K ≠ 0时 : ∆ < 0, 解得 : 0 < k <
综上 (1), ( 2)知, 当0 ≤ k <
y=
3 时 4
3 4
kx + 7 的定义域是一切实数 2 kx + 4 kx + 3
练习: 若函数
y=
ax − ax + 1
2
的定义域是R 的定义域是R，
( )
[−
2,
2]
题型(二):已知f g ( x ) 的定义域, 求f ( x)的定义域
例2 :已知 f ( 2 x − 1)的定义域 ( − 1, 5], 求 f ( x )的定义域
解： 由题意知:
−1 < x ≤ 5
∴ −3 < 2 x − 1 ≤ 9
∴ f ( x )的定义域为
题型三： 已知函数的定ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ域，求含参数的取值范围
kx + 7 例3 : 当k为何值时,函数y = 2 的定义域是一切实数 kx + 4kx + 3
解:
由y = kx + 7 的定义域为一切实数 2 kx + 4 kx + 3 , 可知
分母 kx 2 + 4 kx + 3 ≠ 0 对 x ∈ R 恒成立
布置作业： 1.已知函数f ( x)的定义域是[−2,2]，求y = f
( x )的定义域
2.已知 函数 f ( 2x + 1)的定义域是[0, 2], 求f (1 − 3x)的定义域
江西省示范高中——鄱阳一中 鄱阳一中 江西省示范高中 2011级数学课件 2011级数学课件
复合函数(讲义)
复合函数(讲义)1.复合函数定义如果函数y=f(u)，u=g(x)，那么函数y=f(g(x))就被称为复合函数，其中f(u)是外层函数，g(x)是内层函数，u是中间变量。
2.复合函数定义域的求法①如果y=f(x)的定义域为[a,b]，那么复合函数y=f(g(x))的定义域即为不等式a≤g(x)≤b的解集；②如果y=f(g(x))的定义域为[a,b]，那么函数y=f(x)的定义域即为x∈[a,b]时g(x)的取值范围。
注：同一对应法则f下的范围相同，即f(u)、f(g(x))、f(h(x))三个函数中，u，g(x)，f(x)的范围相同。
3.复合函数的单调性口诀：同增异减。
已知函数y=f(g(x))，则求其单调区间的一般步骤如下：1）确定定义域；2）将复合函数y=f(g(x))分解成：y=f(u)，u=g(x)；3）分别确定这两个函数的单调区间。
4.复合函数的奇偶性口诀：有偶则偶，全奇为奇。
即：f(x)。
偶函数。
偶函数。
奇函数。
奇函数g(x)。
偶函数。
奇函数。
偶函数。
奇函数f(g(x))。
偶函数。
偶函数。
偶函数。
奇函数精讲精练】1.1）f(g(x))=2(3x-5)+3=6x-7，g(f(x))=3(2x+3)-5=6x+4 2）f(x+1)=(x+1)²+1= x²+2x+22.1）f(x²)，则x²≥0，即定义域为[0,+∞)f(x-2)，则x-2≥0，即定义域为[2,+∞)2）f(x+1)，则x+1∈[-2,1]，即定义域为[-3,0]f(2)，则2∈[-2,1]，即定义域为[-3,0]3）f(2x)，则2x∈[-1,+∞)，即定义域为[-1/2,+∞)f(log₂x)，则log₂x∈[-1,+∞)，即定义域为[1/2,+∞) 4）f(x)=log₃x，则定义域为(0,+∞)3.1）y=log₁⁄₂(x²+6x+13)，x²+6x+13>0，即x∈(-∞,-3]∪(-3,-2]∪(-2,+∞)，值域为(-∞,+∞)2）y=(f(x²)+f(2-x))/(2-x²)，x²≤2，即x∈[-√2,√2]，(2-x)²>0，即2-x≠0，即x≠2，值域为(-∞,a]∪[b,+∞)，其中a=f(2-√2)+f(√2-2)，b=f(2+√2)+f(-√2-2)3）y=log₂(4x²-1)，4x²-1>0，即x∈(-∞,-1/2)∪(1/2,+∞)，值域为(-∞,+∞)4.已知y=ax²/(x²+1)-11x²/(x²+4)，化简得y=-3x²(x²+1)/(x²+4)(x²+1)，x²+4>0，即x∈(-∞,-2)∪(-2,+∞)，x²+1>0，即x∈(-∞,+∞)，因此定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞)，值域为(-∞,0]1.函数f(x)=3x^2-18x+24在x∈[1,8]时有最小值8，则函数的最小值为8，求a的值。
复合函数定义域的常见求法 [new] [原创]
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复合函数定义域的常见求法 [new] [原创]
定义域是指函数所有可以取值的集合，若给定函数是复合函数，也就是函数的表达式
包含多个函数，那么求这个复合函数的定义域有以下几种常见的求法：
1. 确定最底层函数的定义域：在复合函数中，一般最底层的函数是基础函数，其他
函数均通过对它的运算或变形得出。
因此，首先要分析函数的表达式，明确最底层的函数，然后求出它的定义域，也就是最终的定义域。
2. 排除无效域：在求最终定义域时，要排除后面由函数运算或变形所产生的无效域。
只有当这些域在最终定义域中时，才能算作有效域。
3. 根据运算规律求出定义域：在求复合函数定义域过程中，要熟知运算规律，如正
反乘除、开方、求幂等，这将有助于准确推求出函数的定义域。
4. 根据函数性质求出定义域：有的复合函数会有一些特殊的性质，如绝对值函数、
三角函数等，这些性质可以帮助我们快速求出函数的定义域。
5. 数值试探的求法：有的复合函数定义域比较复杂，可以用数值试探的方法来求出
定义域，其原理是利用反证法对定义域挨个进行试探。
在求复合函数定义域时，应注意条件限制，结合以上常见求法，灵活运用即可求出准
确的定义域。
高中数学：求复合函数的定义域问题
高中数学：求复合函数的定义域问题函数的定义域是函数的灵魂，是研究函数及应用函数解决问题的基础，处理函数问题必须树立“定义域优先”的数学意识，因此求函数的定义域是最关键的问题。
但对于求复合函数的定义域，大部分同学感到很棘手，下面着重谈谈复合函数定义域的求法。
一、已知的定义域，求的定义域思路：设函数的定义域为D，即，所以的作用范围为D，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，E为的定义域。
例1、设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_____________。
解析：函数的定义域为（0，1）即，所以的作用范围为（0，1）又f对lnx作用，作用范围不变所以解得故函数的定义域为（1，e）例2、若函数，则函数的定义域为______________。
解析：先求f的作用范围，由，知即f的作用范围为，又f对f(x)作用所以即中x应满足即解得故函数的定义域为二、已知的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D，即，由此得，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以为的定义域。
例3、已知的定义域为，则函数的定义域为_________。
解析：的定义域为，即由此得所以f的作用范围为又f对x作用，作用范围不变，所以即函数的定义域为例4、已知，则函数的定义域为______________。
解析：先求f的作用范围，由，知解得f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以即的定义域为三、已知的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D，即，由此得，的作用范围为E，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，F为的定义域。
例5、若函数的定义域为，则的定义域为______________。
解析：的定义域为，即，由此得的作用范围为又f对作用，所以解得即的定义域为函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。
可以利用这种理念求此类定义域问题。
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复合函数定义域三种形式
解法
Last updated on the afternoon of January 3, 2021
先介绍几个名词：（能理解最好，如果感觉这些名词有点晕，你可以跳过）【定义域】：就是初中我们所学的，函数y=f(x)的自变量x的取值范围；【值域】：函数y=f(x)的因变量y的取值范围；
【显函数】：俗称常见函数，函数解析式是明确的，例如：y=f(x)=2x2+3x-5；【隐函数】：俗称抽象函数，函数解析式是不明确的，就用y=f(x)表示，具体f(x)是什么内容是隐藏的；
【复合函数】：如果说y=f(x)是一个简单的抽象函数，那么把自变量x用一个函数g(x)来代替，就称y=f(g(x))为复合的抽象函数，习惯上称y=f(t)是外函数，t=g(x)为内函数。
讲解之前提醒很关键的一句：凡是函数的定义域，永远是指自变量x的取值范围。
【题型一】已知抽象函数y=f(x)的定义域[m,n]，如何求复合抽象函数y=f(g(x))的定义域？
思路分析：本题型是已知y=f(x)的自变量x的范围，求y=f(g(x))的自变量x的范围，其中的关键是，后者的g(x)相当于前者的x。
解决策略：求不等式m≤g(x)≤n的解集，即为y=f(g(x))的定义域
【例题1】已知函数y=f(x)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+2x)的定义域.
解：令t=3+2x，∵y=f(x)的定义域[0,3]，∴y=f(t)的定义域也为[0,3]，即t=3+2x ∈[0,3]，
关于抽象复合函数定义域的求法
说明：内函数g(x)=3+2x，通过令t=3+2x做了一个换元，此处换元不能写为令x=3+2x。
原因是y=f(x)中的x与
y=f(3+2x)的x虽然长得一样，但是意义不同，如果令x=3+2x，则等号两边的x就是一模一样了，x只能为-3了。
【题型二】已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求抽象函数y=f(x)的的定义域？
思路分析：本题型是已知y=f(g(x))的自变量x的范围，求y=f(x)的自变量x的范围，其中的关键是，前者的
g(x)相当于后者的x。
解决策略：求内函数t=g(x)在区间[m,n]的值域（t的取值范围），即为y=f(x)的定义域
【例题2】已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(x)的定义域.
解：∵y=f(2x-1)的定义域[0,3]，∴0≤x≤3，令t=2x-1，∴t=2x-1∈[-1,5]
故，函数y=f(t)的定义域为t∈[-1,5]，
故，函数y=f(x)的定义域为x∈[-1,5]
说明：函数y=f(x)与y=f(t)是同一个函数，与单个自变量是x还是t无关。
另外，题型二是题型一的逆向题目。
【题型三】已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求复合抽象函数
y=f(h(x))定义域的定义域？
思路分析：本题型是已知y=f(g(x))的自变量x的范围，求y=f(h(x))的自变量x 的范围，其中的关键是，前者的g(x)相当于后者的h(x)，故先求出“桥梁”函数y=f(x)的定义域。
解决策略：用题型二的方法根据y=f(g(x))定义域求y=f(x)的定义域，用题型一的方法根据y=f(x)的定义域求y=f(h(x))的定义域
【例题3】已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+x)的定义域.
解：∵y=f(2x-1)的定义域[0,3]，∴0≤x≤3，令t=2x-1，∴t=2x-1∈[-1,5]
故，函数y=f(t)的定义域为t∈[-1,5]，
故，函数y=f(x)的定义域为x∈[-1,5]
令t=3+x，则t=3+x∈[-1,5]
关于抽象复合函数定义域的求法
故，函数y=f(3+x)定义域为[-4,2]
说明：题型三其实是题型一与题型二的综合而已，会了前两个题型，第三个题型自然就会了。