复合函数定义域三种形式解法

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复合函数定义域三种形式

解法

Last updated on the afternoon of January 3, 2021

先介绍几个名词:(能理解最好,如果感觉这些名词有点晕,你可以跳过)【定义域】:就是初中我们所学的,函数y=f(x)的自变量x的取值范围;【值域】:函数y=f(x)的因变量y的取值范围;

【显函数】:俗称常见函数,函数解析式是明确的,例如:y=f(x)=2x2+3x-5;【隐函数】:俗称抽象函数,函数解析式是不明确的,就用y=f(x)表示,具体f(x)是什么内容是隐藏的;

【复合函数】:如果说y=f(x)是一个简单的抽象函数,那么把自变量x用一个函数g(x)来代替,就称y=f(g(x))为复合的抽象函数,习惯上称y=f(t)是外函数,t=g(x)为内函数。

讲解之前提醒很关键的一句:凡是函数的定义域,永远是指自变量x的取值范围。

【题型一】已知抽象函数y=f(x)的定义域[m,n],如何求复合抽象函数y=f(g(x))的定义域?

思路分析:本题型是已知y=f(x)的自变量x的范围,求y=f(g(x))的自变量x的范围,其中的关键是,后者的g(x)相当于前者的x。

解决策略:求不等式m≤g(x)≤n的解集,即为y=f(g(x))的定义域

【例题1】已知函数y=f(x)的定义域[0,3],求函数y=f(3+2x)的定义域.

解:令t=3+2x,∵y=f(x)的定义域[0,3],∴y=f(t)的定义域也为[0,3],即t=3+2x ∈[0,3],

关于抽象复合函数定义域的求法

说明:内函数g(x)=3+2x,通过令t=3+2x做了一个换元,此处换元不能写为令x=3+2x。原因是y=f(x)中的x与

y=f(3+2x)的x虽然长得一样,但是意义不同,如果令x=3+2x,则等号两边的x就是一模一样了,x只能为-3了。

【题型二】已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n],如何求抽象函数y=f(x)的的定义域?

思路分析:本题型是已知y=f(g(x))的自变量x的范围,求y=f(x)的自变量x的范围,其中的关键是,前者的

g(x)相当于后者的x。

解决策略:求内函数t=g(x)在区间[m,n]的值域(t的取值范围),即为y=f(x)的定义域

【例题2】已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3],求函数y=f(x)的定义域.

解:∵y=f(2x-1)的定义域[0,3],∴0≤x≤3,令t=2x-1,∴t=2x-1∈[-1,5]

故,函数y=f(t)的定义域为t∈[-1,5],

故,函数y=f(x)的定义域为x∈[-1,5]

说明:函数y=f(x)与y=f(t)是同一个函数,与单个自变量是x还是t无关。另外,题型二是题型一的逆向题目。

【题型三】已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n],如何求复合抽象函数

y=f(h(x))定义域的定义域?

思路分析:本题型是已知y=f(g(x))的自变量x的范围,求y=f(h(x))的自变量x 的范围,其中的关键是,前者的g(x)相当于后者的h(x),故先求出“桥梁”函数y=f(x)的定义域。

解决策略:用题型二的方法根据y=f(g(x))定义域求y=f(x)的定义域,用题型一的方法根据y=f(x)的定义域求y=f(h(x))的定义域

【例题3】已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3],求函数y=f(3+x)的定义域.

解:∵y=f(2x-1)的定义域[0,3],∴0≤x≤3,令t=2x-1,∴t=2x-1∈[-1,5]

故,函数y=f(t)的定义域为t∈[-1,5],

故,函数y=f(x)的定义域为x∈[-1,5]

令t=3+x,则t=3+x∈[-1,5]

关于抽象复合函数定义域的求法

故,函数y=f(3+x)定义域为[-4,2]

说明:题型三其实是题型一与题型二的综合而已,会了前两个题型,第三个题型自然就会了。

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