02函数的基本概念及其表示-学生版

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第1页共12页教学辅导教案

1．设U＝R，已知集合A＝{x|－5

(4)B∩(∪U A)；(5)(∪U A)∩(∪U B)．

1．下列图形中，不能确定y是x的函数的是()

2．求下列函数的定义域：

(1)y＝x＋12

x＋1－1－x；(2)y＝

5－x

|x|－3

.

3．已知f(x)＝1

1＋x

(x∪R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∪R)．

(1)求f(2)，g(2)的值；

(2)求f(g(2))的值；

(3)求f(x)，g(x)的值域．

8．已知函数f (x )＝1＋|x |－x

2(－2

∪用分段函数的形式表示该函数； ∪画出该函数的图象； ∪写出该函数的值域．

1．在下列从集合A 到集合B 的对应关系中，不能确定y 是x 的函数的是( ) ∪A ＝{x |x ∪Z}，B ＝{y |y ∪Z}，对应关系f ：x →y ＝x

3；

∪A ＝{x |x ＞0，x ∪R}，B ＝{y |y ∪R}，对应关系f ：x →y 2＝3x ； ∪A ＝{x |x ∪R}，B ＝{y |y ∪R}，对应关系f ：x →x 2＋y 2＝25； ∪A ＝R ，B ＝R ，对应关系f ：x →y ＝x 2；

∪A ＝{(x ，y )|x ∪R ，y ∪R}，B ＝R ，对应关系f ：(x ，y )→s ＝x ＋y ； ∪A ＝{x |－1≤x ≤1，x ∪R}，B ＝{0}，对应关系f ：x →y ＝0.

6．已知函数f (x )＝????

?

4－x 2，x ＞0，2，x ＝0，

1－2x ，x ＜0.

(1)求f (f (－2))的值； (2)求f (a 2＋1)(a ∪R)的值； (3)当－4≤x ＜3时，求f (x )的值域．

7．已知函数y ＝f (x )的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．

一、求函数的定义域应关注四点

(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：∪分式的分母不为0；∪偶次根式的被开方数非负；∪y ＝x 0要求x ≠0. (2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．

(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．

(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．

此种方法不必求出x ，可以减少运算量．“换元法”是通过引入参数t 进行式子的变形，从而得到f (x )的表达式，这是解此类型题的通法． 例：求下列函数的解析式： (1)已知f ????1＋x x ＝1＋x 2

x 2＋1

x ，求f (x )； (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )．

3．已知的式子中含有f (x )，f ????1x 或f (x )，f (－x )形式的函数，求f (x )的解析式

解决此类问题的方法为“方程组法”，即用－x 替换x ，或用1

x 替换x ，组成方程组进行求解．

例：(1)已知af (x )＋f (－x )＝bx ，其中a ≠±1，求f (x )； (2)已知f (x )－2f ????

1x ＝3x ＋2，求f (x )．

1．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( )

A ．f (x )＝|x |

B ．f (x )＝x －|x |

C ．f (x )＝x ＋1

D ．f (x )＝－x 2．下列各组中的两个函数为相等函数的是( ) A ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝

()()11-+x x B ．f (x )＝(

2x －5)2，g (x )＝2x －5

C ．f (x )＝1－x x 2＋1，g (x )＝1＋x

x 2＋1 D ．f (x )＝4

???

? ??x x ，g (t )＝????t t 2 3．下列图形中可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的图象是( )

4．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝

1x

C ．y ＝1x

D ．y ＝x 2＋1

5．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为????－25

4，－4，则m 的取值范围是( ) A ．(0,4] B ．????－254，－4 C ．????32，3 D ．????3

2，＋∞ 6．设f (x )＝2x ＋3，g (x )＝f (x －2)，则g (x )等于( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3

D ．2x ＋7

7．如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 8．观察下表：

x －3 －2 －1 1 2 3 f (x ) 4 1 －1 －3 3 5 g (x )

1

4

2

3

－2

－4

则f (g (3)－f (－1))＝( )

A ．3

B ．4

C ．－3

D ．5

9．已知x ≠0，函数f (x )满足f ????x －1x ＝x 2＋1

x 2，则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝x ＋1

x

B ．f (x )＝x 2＋2

C ．f (x )＝x 2

D ．f (x )＝???

?x －1x 2 10．已知函数f (x )满足f (ab )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝p ，f (3)＝q ，那么f (12)＝( ) A ．p ＋q B ．2p ＋q C ．p ＋2q D ．p 2＋q 11．设x ∪R ，定义符号函数sgn x ＝????

?

1，x ＞0，0，x ＝0，

－1，x ＜0，则( )

A ．|x |＝x |sgn x |

B ．|x |＝x sgn|x |

C ．|x |＝|x |sgn x

D ．|x |＝x sgn x

12．若定义运算a ∪b ＝?

???

?

b ，a ≥b ，a ，a

13．设函数f (x )＝?

????

x 2＋bx ＋c ，x ≤0，

2， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )

18．如图所示，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体积V 以x 为自变量的函数式，并指明这个函数的定义域．

19．在边长为4的正方形ABCD 的边上有一动点P ，从B 点开始，沿折线BCDA 向A 点运动(如图)，设P 点移动的距离为x ，∪ABP 的面积为y ，求函数y ＝f (x )及其定义域．

1．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________． 2．设f (x )＝1

1－x

，则f (f (x ))＝________.

3．若函数f (x )＝3

x －1

mx 2＋x ＋3的定义域为R ，则m 的取值范围为________．

4．已知函数f (x )＝x －m

x

，且此函数图象过点(5,4)，则实数m 的值为________．

5．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量(单位：kg)与其运费(单位：元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为________kg.

6．设二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，对于x ∪R 恒成立，且f (x )＝0的两个实数根的平方和为10，f (x )的图象过点(0,3)，求f (x )的解析式．

7．已知函数f (x )＝x 2＋1，x ∪R.

(1)分别计算f (1)－f (－1)，f (2)－f (－2)，f (3)－f (－3)的值； (2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．

8．已知函数f (x )＝x 2

1＋x 2

.

(1)求f (2)＋f ????12，f (3)＋f ????13的值； (2)求证：f (x )＋f ????

1x 是定值；

(3)求f (2)＋f ????12＋f (3)＋f ????13＋…＋f (2 017)＋f ????12 017的值．