02函数的基本概念及其表示-学生版

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第1页共12页教学辅导教案
1．设U＝R，已知集合A＝{x|－5<x<5}，B＝{x|0≤x<7}，求：(1)A∩B；(2)A∪B；(3)A∪(∪U B)；
(4)B∩(∪U A)；(5)(∪U A)∩(∪U B)．
1．下列图形中，不能确定y是x的函数的是()
2．求下列函数的定义域：
(1)y＝x＋12
x＋1－1－x；(2)y＝
5－x
|x|－3
.
3．已知f(x)＝1
1＋x
(x∪R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∪R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(2))的值；
(3)求f(x)，g(x)的值域．
8．已知函数f (x )＝1＋|x |－x
2(－2<x ≤2)．
∪用分段函数的形式表示该函数； ∪画出该函数的图象； ∪写出该函数的值域．
1．在下列从集合A 到集合B 的对应关系中，不能确定y 是x 的函数的是( ) ∪A ＝{x |x ∪Z}，B ＝{y |y ∪Z}，对应关系f ：x →y ＝x
3；
∪A ＝{x |x ＞0，x ∪R}，B ＝{y |y ∪R}，对应关系f ：x →y 2＝3x ； ∪A ＝{x |x ∪R}，B ＝{y |y ∪R}，对应关系f ：x →x 2＋y 2＝25； ∪A ＝R ，B ＝R ，对应关系f ：x →y ＝x 2；
∪A ＝{(x ，y )|x ∪R ，y ∪R}，B ＝R ，对应关系f ：(x ，y )→s ＝x ＋y ； ∪A ＝{x |－1≤x ≤1，x ∪R}，B ＝{0}，对应关系f ：x →y ＝0.
6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
4－x 2，x ＞0，2，x ＝0，
1－2x ，x ＜0.
(1)求f (f (－2))的值； (2)求f (a 2＋1)(a ∪R)的值； (3)当－4≤x ＜3时，求f (x )的值域．
7．已知函数y ＝f (x )的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．
一、求函数的定义域应关注四点
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：∪分式的分母不为0；∪偶次根式的被开方数非负；∪y ＝x 0要求x ≠0. (2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．
(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
此种方法不必求出x ，可以减少运算量．“换元法”是通过引入参数t 进行式子的变形，从而得到f (x )的表达式，这是解此类型题的通法． 例：求下列函数的解析式： (1)已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝1＋x 2
x 2＋1
x ，求f (x )； (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )．
3．已知的式子中含有f (x )，f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (x )，f (－x )形式的函数，求f (x )的解析式
解决此类问题的方法为“方程组法”，即用－x 替换x ，或用1
x 替换x ，组成方程组进行求解．
例：(1)已知af (x )＋f (－x )＝bx ，其中a ≠±1，求f (x )； (2)已知f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫
1x ＝3x ＋2，求f (x )．
1．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( )
A ．f (x )＝|x |
B ．f (x )＝x －|x |
C ．f (x )＝x ＋1
D ．f (x )＝－x 2．下列各组中的两个函数为相等函数的是( ) A ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝
()()11-+x x B ．f (x )＝(
2x －5)2，g (x )＝2x －5
C ．f (x )＝1－x x 2＋1，g (x )＝1＋x
x 2＋1 D ．f (x )＝4
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛x x ，g (t )＝⎝⎛⎭⎫t t 2 3．下列图形中可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的图象是( )
4．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝
1x
C ．y ＝1x
D ．y ＝x 2＋1
5．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－25
4，－4，则m 的取值范围是( ) A ．(0,4] B ．⎣⎡⎦⎤－254，－4 C ．⎣⎡⎦⎤32，3 D ．⎣⎡⎭⎫3
2，＋∞ 6．设f (x )＝2x ＋3，g (x )＝f (x －2)，则g (x )等于( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3
D ．2x ＋7
7．如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 8．观察下表：
x －3 －2 －1 1 2 3 f (x ) 4 1 －1 －3 3 5 g (x )
1
4
2
3
－2
－4
则f (g (3)－f (－1))＝( )
A ．3
B ．4
C ．－3
D ．5
9．已知x ≠0，函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1
x 2，则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝x ＋1
x
B ．f (x )＝x 2＋2
C ．f (x )＝x 2
D ．f (x )＝⎝⎛⎭
⎫x －1x 2 10．已知函数f (x )满足f (ab )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝p ，f (3)＝q ，那么f (12)＝( ) A ．p ＋q B ．2p ＋q C ．p ＋2q D ．p 2＋q 11．设x ∪R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，x ＞0，0，x ＝0，
－1，x ＜0，则( )
A ．|x |＝x |sgn x |
B ．|x |＝x sgn|x |
C ．|x |＝|x |sgn x
D ．|x |＝x sgn x
12．若定义运算a ∪b ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
b ，a ≥b ，a ，a <b ，则函数f (x )＝x ∪(2－x )的值域为________．
13．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋bx ＋c ，x ≤0，
2， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )
18．如图所示，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体积V 以x 为自变量的函数式，并指明这个函数的定义域．
19．在边长为4的正方形ABCD 的边上有一动点P ，从B 点开始，沿折线BCDA 向A 点运动(如图)，设P 点移动的距离为x ，∪ABP 的面积为y ，求函数y ＝f (x )及其定义域．
1．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________． 2．设f (x )＝1
1－x
，则f (f (x ))＝________.
3．若函数f (x )＝3
x －1
mx 2＋x ＋3的定义域为R ，则m 的取值范围为________．
4．已知函数f (x )＝x －m
x
，且此函数图象过点(5,4)，则实数m 的值为________．
5．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量(单位：kg)与其运费(单位：元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为________kg.
6．设二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，对于x ∪R 恒成立，且f (x )＝0的两个实数根的平方和为10，f (x )的图象过点(0,3)，求f (x )的解析式．
7．已知函数f (x )＝x 2＋1，x ∪R.
(1)分别计算f (1)－f (－1)，f (2)－f (－2)，f (3)－f (－3)的值；
(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．
8．已知函数f (x )＝x 21＋x 2
. (1)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)＋f ⎝⎛⎭
⎫13的值； (2)求证：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x 是定值；
(3)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 017)＋f ⎝⎛⎭
⎫12 017的值．。