分数裂差(A级).学生版
五年级奥数计算综合整数裂项与分数裂和A级学生版
考试要求（1） 能熟练运算常规裂和型题目；（2） 复杂整数裂项运算；（3） 分子隐蔽的裂和型运算。
一知识结构一、 复杂整数裂项型运算复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。
其巧解方法 是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差 与因数个数加1的乘积。
整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。
所有积之和，裂项来求作。
后延减前伸，差数除以N°N 取什么值，两数相乘积。
公差要乘以，因个加上一。
需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加 正。
对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。
此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。
“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同 时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
QOo JL JLS 整数裂项与分数裂和 :口 （1） a + b a b 11 -- = --- 1 -- = —I- a x b a x b a x b b a （2） a 2 + b 2 a 2 b 2 a b --- = ---- 1 - = + --a xb a x b a x b b a重难点（1）复杂整数裂项的特点及灵活运用（2）分子隐蔽的裂和型运算。
【例1】计算：1x 3 + 2 x 4 + 3 x 5 + 4 义6 + L + 99 x101【巩固】计算：3x5 + 5x7 + 7x9+L + 97x99 + 99x101【例2】计算10 x16x 22 +16x 22x 28 + L + 70 x 76x 82 + 76 x 82x 88MSDC模块化分级讲义体系五年级奥数.计算综合.整数裂项与分数裂和（A级）.学生版Page 2 of 8【巩固】3x3x3 + 4x4x4+L + 79x79x79【例4】计算：1x1x1 + 2 x 2 x 2 + 3 x 3 x 3 + L + 99 x 99x 99 +100x100x 100(1 + 2 )+(1 + 2 + 3)+(1 + 2 + 3 + 4 )+L +(1 + 2 + 3+L【例5】1 ++100)【巩固】3 + (3 + 6)+(3 + 6 + 9)+L +(3 + 6+L + 300)MSDC模块化分级讲义体系五年级奥数.计算综合.整数裂项与分数裂和（A级）.学生版Page 3 of 8分数裂和5+6 6+7 7+8 8+9 9+10_ + 一 +5x6 6x7 7x8 8x9 9x10【巩固】计算: 【例6】填空: 9 20 15 561- 5 7 —+ — 6 12 9 11 -- + ---- - 20 30 13 15 17 19. +-- — --- + ..... 42 56 72 903- 21 - 4 + 1 - O 1 【例7】1 2 3 7 9 11 17 25—+ — + — + — + — + --- + — + 3 5 7 12 20 28 30 42(35 49 63 77 91 105 1 —+ —+ ― I 6 12 20 30 42 56 )12 + 22 22 + 32 182 + 192 192 + 202+ + .. + + 1X 2 2 X 3 18 X 19 19 x 20 【例8】计算: 1 3 2 5 7 9 10 11 + - + - + - + - + — + — + — 3 4 5 7 8 20 21 24 19 + 一 35 【巩固】 【例9】 1 1 1 1 1 20 —+ - + — + — + — + — + 2 3 30 31 41 51 10-- + 26 ----- + 120 38 27 ----- 1 ---- 123 124 【巩固】 【例10】1、 1 x 4 + 4 x 7 + 7 x 10+L + 49 x 52= 12 12 + 22 12 + 22 + 32 【巩固】13 — 17万+ 13 + 23 + 12 + 22 + 32 + 42 ----------- + _ 1 2 + 22 +_ + 26213 + 23 +... + 263 2、 计算: 5 7 911 13 15 -+ + 十 一 6 12 20 30 42 56 17 19 H -- 72 903、 1 1 7 9 8 17 5 一+ 一 + 一 + 一 + 一 + 一 + 一 4 5 12 20 15 30 1232 -1)家庭作业1、1x 1 + 2 x 2 + 3 x 3+L + 50 x 502、 2 x 4 x 6 + 4 x 6 x 8 + L + 96 x 98 x 1004、 12 + 22 22 + 32 T 20042 + 20052 20052 + 20062 ------- + --------+ L + ---------------- + ---------------- 1x 2 2x 3 2004 x 2005 2005 x 20065、1 2 3 8 94、(1-3x (2-3)x (3 — /X L x (8 — -)x (9 —m) 1 + 2 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 + 4 T 1 + 2 + 3+L + 50 ---- x -------- x ------------- x L x -------------------- 22 +3 2 + 3 +4 2 + 3+L + 503、 1 2 3 7 9 11 21 31 - + - + — + ― + — + 一 + 一+一3 5 7 12 20 28 40 56 教学反馈 5、。
五年级下册数学扩展专题练习-计算综合.整数裂项与分数裂和(A级).学生版-全国通用(无答案)
（1） 能熟练运算常规裂和型题目；（2） 复杂整数裂项运算；（3） 分子隐蔽的裂和型运算。
一、 复杂整数裂项型运算复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。
其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。
整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。
所有积之和，裂项来求作。
后延减前伸，差数除以N 。
N 取什么值，两数相乘积。
公差要乘以，因个加上一。
需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。
对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。
此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。
二、 “裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
考试要求知识结构整数裂项与分数裂和（1） 复杂整数裂项的特点及灵活运用（2） 分子隐蔽的裂和型运算。
一、整数裂项【例 1】 计算：1324354699101⨯+⨯+⨯+⨯++⨯【巩固】计算：355779979999101⨯+⨯+⨯++⨯+⨯【例 2】 计算101622162228707682768288⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯【例 3】 计算1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100例题精讲重难点【巩固】333444797979⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯【例 4】 计算：111222333999999100100100⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯【例 5】 ()()()()1121231234123100+++++++++++++++【巩固】()()()33636936300++++++++++二、 分数裂和【例 6】 填空： ()+=2165， ()+=31127， ()+=41209()+=513011，()+=614213， ()+=715615【巩固】计算：90197217561542133011209127651+-+-+-+-【例 7】 5667788991056677889910+++++-+-+⨯⨯⨯⨯⨯【巩固】 36579111357612203042++++++【例 8】计算：132579101119 3457820212435 ++++++++=【巩固】12379111725 3571220283042 +++++++【例 9】111112010263827 2330314151119120123124 +++++++++【巩固】3549637791105311 6122030425688⎡⎤⎛⎫-+-+--÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【例 10】22222222 122318191920 122318191920 ++++ ++⋯⋯++⨯⨯⨯⨯【巩固】333222333322223332223322322621262143214321321321212111+⋯+++⋯++-⋯+++++++-+++++++-1、 14477104952⨯+⨯+⨯++⨯=_________2、 计算：57911131517191612203042567290-+-+-+-+3、 11798175451220153012++++++课堂检测4、 222222221223200420052005200612232004200520052006++++++++⨯⨯⨯⨯5、 2221111112131991⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭1、 1122335050⨯+⨯+⨯++⨯2、 2464689698100⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯3、123791121313571220284056+++++++家庭作业4、 12389(1)(2)(3)(8)(9)234910-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-5、121231234123502232342350++++++++++⨯⨯⨯⨯++++++教学反馈。
1-2-2-1分数裂项.学生版
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 知识点拨教学目标分数裂项计算1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
五年级奥数.计算综合.整数裂项与分数裂和(A级).学生版
（1） 能熟练运算常规裂和型题目；（2） 复杂整数裂项运算；（3） 分子隐蔽的裂和型运算。
一、 复杂整数裂项型运算复杂整数裂项特点:从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。
其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数,再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。
整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。
所有积之和，裂项来求作.后延减前伸，差数除以N.N 取什么值，两数相乘积。
公差要乘以，因个加上一。
需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数,减负要加正。
对于小学生,这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。
此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。
二、 “裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ (2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比:裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
考试要求知识结构整数裂项与分数裂和（1） 复杂整数裂项的特点及灵活运用（2） 分子隐蔽的裂和型运算。
一、整数裂项【例 1】 计算：1324354699101⨯+⨯+⨯+⨯++⨯【巩固】计算：355779979999101⨯+⨯+⨯++⨯+⨯【例 2】 计算101622162228707682768288⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯【例 3】 计算1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100例题精讲重难点【巩固】333444797979⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯【例 4】 计算：111222333999999100100100⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯【例 5】 ()()()()1121231234123100+++++++++++++++【巩固】()()()33636936300++++++++++二、分数裂和【例 6】 填空: ()+=2165, ()+=31127， ()+=41209()+=513011，()+=614213, ()+=715615【巩固】计算：90197217561542133011209127651+-+-+-+-【例 7】 5667788991056677889910+++++-+-+⨯⨯⨯⨯⨯【巩固】 36579111357612203042++++++【例 8】计算:132579101119 3457820212435 ++++++++=【巩固】12379111725 3571220283042 +++++++【例 9】111112010263827 2330314151119120123124 +++++++++【巩固】3549637791105311 6122030425688⎡⎤⎛⎫-+-+--÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【例 10】22222222 122318191920 122318191920 ++++ ++⋯⋯++⨯⨯⨯⨯【巩固】333222333322223332223322322621262143214321321321212111+⋯+++⋯++-⋯+++++++-+++++++-1、 14477104952⨯+⨯+⨯++⨯=_________2、 计算：57911131517191612203042567290-+-+-+-+3、 11798175451220153012++++++ 课堂检测4、 222222221223200420052005200612232004200520052006++++++++⨯⨯⨯⨯5、 2221111112131991⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭1、 1122335050⨯+⨯+⨯++⨯2、 2464689698100⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯家庭作业3、12379112131 3571220284056 +++++++4、12389 (1)(2)(3)(8)(9)234910 -⨯-⨯-⨯⨯-⨯-5、12123123412350 2232342350 ++++++++++⨯⨯⨯⨯++++++学生对本次课的评价○特别满意○满意○一般家长意见及建议家长签字：教学反馈。
【小学奥数题库系统】1-2-2-1 分数裂项.学生版
【巩固】
3 6 5 7 9 11 13 + + + + + + 5 7 6 12 20 30 42
1 3 2 5 7 9 10 11 19 【巩固】计算： + + + + + + + + = 3 4 5 7 8 20 21 24 35
1 2 3 7 9 11 17 25 【巩固】 + + + + + + + 3 5 7 12 20 28 30 42
．
【例 8】
1 1 1 + + + 1× 2 × 3 2 × 3 × 4 7×8×9
【巩固】 计算：
1 1 1 + + + 1× 2 × 3 2 × 3 × 4 98 × 99 × 100
【巩固】 计算：
1 1 1 1 + + + + 1× 3 × 5 2 × 4 × 6 3 × 5 × 7 20 × 22 × 24
【例 14】
1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 3 − 1 5 − 1 7 − 1 9 − 1 11 − 1 13 − 1
2
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1-2-2-1.分数裂项.题库
学生版
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【巩固】 计算： (1 −
1 1 1 1 1 1 ) × (1 − 2 ) × (1 − 2 ) × (1 − 2 ) × × (1 − 2 ) × (1 − 2 ) = 22 3 4 5 48 49
【例 2】
1 1 1 1 + + + + 1 1+ 2 1+ 2 + 3 1 + 2 + + 100
(完整版)五年级奥数.计算综合.整数裂项与分数裂和(A级).学生版
（1） 能熟练运算常规裂和型题目；（2） 复杂整数裂项运算；（3） 分子隐蔽的裂和型运算。
一、 复杂整数裂项型运算复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。
其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。
整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。
所有积之和，裂项来求作。
后延减前伸，差数除以N 。
N 取什么值，两数相乘积。
公差要乘以，因个加上一。
需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。
对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。
此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。
二、 “裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
考试要求知识结构整数裂项与分数裂和（1） 复杂整数裂项的特点及灵活运用（2） 分子隐蔽的裂和型运算。
一、整数裂项【例 1】 计算：1324354699101⨯+⨯+⨯+⨯++⨯L【巩固】计算：355779979999101⨯+⨯+⨯++⨯+⨯L【例 2】 计算101622162228707682768288⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯L【例 3】 计算1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100例题精讲重难点【巩固】333444797979⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯L【例 4】 计算：111222333999999100100100⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯L【例 5】 ()()()()1121231234123100+++++++++++++++L L【巩固】()()()33636936300++++++++++L L二、分数裂和【例 6】 填空： ()+=2165， ()+=31127， ()+=41209()+=513011，()+=614213， ()+=715615【巩固】计算：90197217561542133011209127651+-+-+-+-【例 7】 5667788991056677889910+++++-+-+⨯⨯⨯⨯⨯【巩固】 36579111357612203042++++++【例 8】计算：132579101119 3457820212435 ++++++++=【巩固】12379111725 3571220283042 +++++++【例 9】111112010263827 2330314151119120123124 +++++++++【巩固】3549637791105311 6122030425688⎡⎤⎛⎫-+-+--÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【例 10】22222222 122318191920 122318191920 ++++ ++⋯⋯++⨯⨯⨯⨯【巩固】333222333322223332223322322621262143214321321321212111+⋯+++⋯++-⋯+++++++-+++++++-1、 14477104952⨯+⨯+⨯++⨯L =_________2、 计算：57911131517191612203042567290-+-+-+-+3、 11798175451220153012++++++ 课堂检测4、 222222221223200420052005200612232004200520052006++++++++⨯⨯⨯⨯L5、 2221111112131991⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭L1、 1122335050⨯+⨯+⨯++⨯L2、 2464689698100⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯L家庭作业3、12379112131 3571220284056 +++++++4、12389 (1)(2)(3)(8)(9)234910 -⨯-⨯-⨯⨯-⨯-L5、12123123412350 2232342350 ++++++++++⨯⨯⨯⨯++++++LLL学生对本次课的评价○特别满意○满意○一般家长意见及建议家长签字：教学反馈。
分数裂差.学生版
分数裂差.学生版(总10页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除1、灵活运用分数裂差计算常规型分数裂差求和 2、能通过变型进行复杂型分数裂差计算求和一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
1、对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-⨯-2、对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有：1111[]()(2)2()()(2)n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 3、对于分子不是1的情况我们有：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11)( ()11h h n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭知识结构考试要求分数裂差()()()()()21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++ ()()()()()()()()31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ ()()()()()11222h h n n k n k k n n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦ ()()()()()()()()11233223h h n n k n k n k kn n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦()()()221111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭ 二、裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
小学奥数分数裂项A基础版
分数裂项A知识点拨分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
1奥数全套-分数裂项.学生版.doc
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：知识点拨教学目标分数裂项计算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
五年级下册数学扩展专题练习-计算综合.分数裂差(A级).学生版-全国通用(无答案)
3、 对于分子不是 1 的情况我们有：k- ⎪n ( n + k ) k ⎝ n n + k ⎭分数裂差考试要求1、 灵活运用分数裂差计算常规型分数裂差求和2、 能通过变型进行复杂型分数裂差计算求和知识结构一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整 数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
1、 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即11 1 1 = ( - ) 那么有a ⨯b b - a a b 1 a ⨯ b 形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a < b ， 2、 对于分母上为 3 个或 4 个自然数乘积形式的分数，我们有：1 1 1 1 = [ - ] n ⨯ (n + k ) ⨯ (n + 2k ) 2k n ⨯ (n + k ) (n + k )(n + 2k )11 1 1 = [ - ] n ⨯ (n + k ) ⨯ (n + 2k ) ⨯ (n + 3k )3k n ⨯ (n + k ) ⨯ (n + 2k ) (n + k ) ⨯ (n + 2k ) ⨯ (n + 3k ) ⎛ 1 1 ⎫ = - ⎪ n (n + k ) ⎝ n n + k ⎭ h h ⎛ 1 1 ⎫ =n (n + k )(n + 2k ) n (n + k ) (n + k )(n + 2k )n (n + k )(n + 2k )(n + 3k ) n (n + k )(n + 2k ) (n + k )(n + 2k )(n + 3k )⎢ ( n n + k ) (n + k )(n + 2k )⎦n (n + k )(n + 2k )(n + 3k ) 3k ⎢ ( n n + k )(n + 2k ) (n + k )(n + 2k )(n + 3k )⎦ = 1 + - ⎪ - = 2k 1 1 = -3k 1 1 = - h n (n + k )(n + 2k ) = h 2k ⎡ 1 1 ⎤ ⎣- ⎥h h = ⎡ 1 1 ⎤⎣ - ⎥ (2n )2 (2n - 1)(2n + 1) 1 ⎛ 1 1 ⎫ 2 ⎝ 2n - 1 2n + 1 ⎭二、裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的，但是只要将 x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。
551 裂项综合(学生版)
学科培优 数学 “裂项综合” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 知识定位 本讲知识点属于计算大板块内内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
知识梳理一、 “裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） 11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
分数裂项A基础版
分数裂项A知识点拨分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
分数裂差.学生版
1、 灵活运用分数裂差计算常规型分数裂差求和2、 能通过变型进行复杂型分数裂差计算求和一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
1、 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-⨯-2、 对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有：1111[]()(2)2()()(2)n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 3、 对于分子不是1的情况我们有：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11)( ()11h h n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭()()()()()21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++ 考试要求知识结构分数裂差()()()()()()()()31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ ()()()()()11222h h n n k n k k n n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦ ()()()()()()()()11233223h h n n k n k n k kn n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦()()()221111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭二、裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
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1、 灵活运用分数裂差计算常规型分数裂差求和
2、 能通过变型进行复杂型分数裂差计算求和
一、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
1、 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-⨯-
2、 对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有：
1111[]()(2)2()()(2)
n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)
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21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++ 考试要求
知识结构
分数裂差
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n n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦
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221111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭ 二、裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
1、 分子不是1的分数的裂差变型；
2、 分母为多个自然数相乘的裂差变型。
一、 用裂项法求1(1)
n n +型分数求和 分析：1(1)
n n +型（n 为自然数） 因为
111n n -+＝11(1)(1)(1)
n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数），所以有裂项公式：111(1)1n n n n =-++ 【例 1】 填空：
（1）1-21= （2）=⨯211 （3） =-3121 （4）=⨯3
21 （5）=⨯60591 （6）=-601591 （7）=⨯100991 （8）=-100
1991 例题精讲
重难点
【巩固】
11111
1223344556
++++=
⨯⨯⨯⨯⨯。
【例 2】计算：
111
...... 101111125960 +++
⨯⨯⨯
【巩固】计算：
11111 198519861986198719951996199619971997 +++++⨯⨯⨯⨯
【例 3】计算：11224
26153577
++++=____。
【巩固】11111111 612203042567290
+++++++=_______。
【例 4】计算：111111111 2612203042567290
--------＝。
【巩固】计算：
11111 123420 261220420 +++++
【例 5】计算：
11111 20082009201020112012
1854108180270
++++= 。
【巩固】计算：1511192997019899 2612203097029900
+++++++=．
二、用裂项法求
1
()
n n k
+
型分数求和
分析：
1
()
n n k
+
型。
（n,k均为自然数）
因为11111
()[]
()()()
n k n
k n n k k n n k n n k n n k
+
-=-=
++++
，所以
1111
()
()
n n k k n n k
=-
++
【例 6】
1111 133******** ++++=⨯⨯⨯⨯
【巩固】计算：1111111 315356399143195 ++++++
【例 7】计算：
1111
25
1335572325
⎛⎫
⨯++++=
⎪
⨯⨯⨯⨯
⎝⎭
【巩固】计算：11111111()1288244880120168224288
+++++++⨯=
三、用裂项法求()
k n n k +型分数求和 分析：()
k n n k +型（n,k 均为自然数） 因为
11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()
k n n k +，所以()k n n k +＝11n n k -+ 【例 8】 求
2222......1335579799++++⨯⨯⨯⨯的和
【巩固】
2222109985443
++++=⨯⨯⨯⨯
【例 9】计算：
333 14477679 +++
⨯⨯⨯
【巩固】
3333 25588113235 ++++
⨯⨯⨯⨯
【例 10】4444 21771652021 ++++
【巩固】
2222
()46 31535575
++++⨯
1、计算：
1111 1223344950 ++++
⨯⨯⨯⨯
2、计算：
1111111
64 8244880120168224
⎛⎫++++++⨯ ⎪
⎝⎭
3、计算：
11111 577991111131315 ++++
⨯⨯⨯⨯⨯课堂检测
4、
3333 144776797982 ++++
⨯⨯⨯⨯
5、计算：
11111111 1357911131517 612203042567290 ++++++++
1、计算：
2、1111111 6122030425672 ++++++
家庭作业
3、 计算: =++++++++9017215614213012011216121
4、 11111104088154238++++= 。
5、 2222()50824489800
++++⨯。