20172018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题理(C卷01)江苏版

2017-2018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题 理（C 卷01）江苏
版
一、填空题 1．设函数()()21x
f x e
x ax a =--+，其中1a <，若仅存在两个的整数12,x x 使得()()120,0f x f x <<，
则实数a 的取值范围是______． 【答案】253,32e e ⎡⎫
⎪⎢
⎣
⎭ 【解析】分析：设g （x ）=e x
（2x ﹣1），y=ax ﹣a ，则存在两个整数x 1，x 2，使得g （x ）在直线y=ax ﹣a 的下方，由此利用导数性质能求出a 的取值范围．
使得g （x ）在直线y=ax ﹣a 的下方， ∵g′（x ）=e x
（2x+1）， ∴当x ＜﹣
1
2
时，g′（x ）＜0， ∴当x=﹣12时，[g （x ）]min =g （﹣1
2
）=﹣21
2e -．
当x=0时，g （0）=﹣1，g （1）=e ＞0，
直线y=ax ﹣a 恒过（1，0），斜率为a ，故﹣a ＞g （0）=﹣1， 且g （﹣1）=﹣3e ﹣1
＜﹣a ﹣a ，解得a ＜32e ．g （﹣2）≥﹣2a ﹣a ，解得a ≥25
3e
， ∴a 的取值范围是[
253e ， 3
2e
）．
故答案为： 2
53,32e e ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
点睛：：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 2．已知a 为常数，函数()22
1f x a x x =
---的最小值为2
3
-
，则a 的所有值为____． 【答案】144
，
令()0f x '=2
2
1a x x =
--，则21
a x a =
+. ∵函数()f x 的最小值为23
- ∴0a >
∴()0f x '>，得()()2
110a a a x ⎡⎤--+>⎣⎦.
①当01a <<时，函数()f x 的定义域为,a a ⎡-⎣，由()0f x '>得1
a
a x a <+ 1a x a a <≤+，由()0f x '<得11a a x a a -<<++()f x 在,1a a a ⎡⎢+⎣， ,1a
a a +上为增函数，在,11a a a a ⎛
++⎝上为减函数.
∵()
1a
f a a
-=
-， 11
a a
f a a ⎛⎫= ⎪ ⎪+-⎝⎭
， ∴()min 2113a a f x f a a ⎛
⎫===-
⎪
⎪+-⎝⎭
，则1
4a = ②当1a >时，函数()f x 的定义域为[]
1,1-，由()0f x '>得11
a a
x a a -<<++， ()0f x '<得 11
a
x a -≤<-
+或11a x a <≤+，函数()f x 在,11a a a a ⎛⎫
- ⎪ ⎪++⎝⎭
上为增函数，在1,1a a ⎡⎫
--⎪⎢⎪+⎣
⎭， ,11a
a ⎛⎤ ⎥ +⎝⎦
为减函数. ∵11a a
f a a ⎛⎫-=- ⎪
⎪+-⎝⎭， ()11f a =- ∴()min
2
13a a f x f a ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪+⎝⎭
，则4a =. 综上所述， 1
4
a =或4a =. 故答案为4，
14
. 3．设函数()33,,
{ 2,.
x x x a f x x x a -≤=->
（1）若0a =，则()f x 的最大值__________．
（2）若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】 2 (),1-∞
4．已知函数f(x)＝x|x2－3|．若存在实数m，m∈(0，5]，使得当x∈[0，m] 时，f(x)的取值范围是[0，am]，则实数a的取值范围是______．
【答案】[1，3)
【解析】f(x)＝x|x2－3|
()
()
2
2
3,3
{
3,3
x x x
x x
-≥
=
-<
，作出函数图像如图所示：
当m∈(2，5]时，此时f(x)的取值范围是()
0,f m
⎡⎤
⎣⎦.
所以()
f m am
=，即()
23
m m am
-=，得(]
231,2
a m
=-∈.
综上：实数a的取值范围是[1，3).
故答案为：[1，3).
5．斜率为
1
3
直线l经过椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左顶点A，且与椭圆交于另一个点B，若在y轴上存在点C使得ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为________．
【答案】
63
【解析】设经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点(),0A a -且斜率为1
3的直线方程为3x y a =+，联立
2222223{ 0x y a b x a y a b =-+-=，得()
2222
960a b y ab y +-=，解得22
269ab y a b =+，则232222296,99ab a ab B a b a b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
， AB 的中点为322
2223,99a ab M a b a b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， AB 的中垂线方程为2322223399ab a y x a b a b ⎛⎫
-=-+ ⎪++⎝⎭，令0x =，得2322330,9C ab a x a b ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，则322233,9a ab CA a a b ⎛⎫
-=- ⎪+⎝⎭， 23232222966,99ab a ab a CB a b a b ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭
，则0CA CB ⋅=，即233223
222222
933660999ab a a ab ab a a a b a b a b
----⨯+⨯=+++，化简，得223a b =，则222c b =，即该椭圆的离心率为2633
c e a =
==. 6．已知函数()23f x x x a =-在[]0,2x ∈的值域为[]
0,4m ，则实数m 的最小值为_____． 【答案】
1
2
（2）当0a >时，函数()g t 在[]0,a 单调递增，在[],3a a 上单调递减，在[
)3,a +∞上单调递增，且 ()()344g a g a a ==， ()()300g a g ==，
①若4a ≥时，则()g t 在[]
0,2单调递增，则()()2
2444316g a m =-=，即3
242
m a =->； ②若44a a ≤<，即14a ≤<时， ()()3
2
max 416g t g a a m ===，即2a a m =
≥ 1
2
；
③若44a
>，即01
a
<<时，()()()32
max
444316
g t g a m
==-=，即
31
2
22
m a
=-≥；
综上所述，
1
2
m≥，即实数m的最小值为
1
2
.
7．已知函数()3
1
24
3
f x x ax
=-+在[]
1,2上单调递增，则a的取值范围为______．
【答案】3
1
2,
2
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性；已知函数在某区间上单调递增求有关参数，往往有两种思路：（1）先求出该函数的单调递增区间，再利用所给区间和单调递增区间的关系进行求解；
（2）将函数()
f x在某区间上单调递增转化为()0
f x
'≥（但不恒为0）在该区间上恒成立.
8．已知椭圆Γ：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左、右焦点分别为
12
,
F F，点,A B在椭圆Γ上，
112
AF F F
⋅=且22
AF F B
λ
=，则当[]
2,3
λ∈时，椭圆的离心率的取值范围为______．
【答案】
53
,
53
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
【解析】因为
112
AF F F
⋅=，所以可设()()
2
,,,0,,
b
A c F c
B x y
a
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
，由
22
AF F B
λ
=，得
()
2
2,,
b
c x c y
a
λ
⎛⎫
-=-
⎪
⎝⎭
，即
2
2
1,
b
B c
a
λλ
⎛⎫
⎛⎫
+-
⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
，因为
2
2
1,
b
B c
a
λλ
⎛⎫
⎛⎫
+-
⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
在椭圆
22
22
1
x y
a b
+=上，所以
2
22
2
22
2
1
1
b
c
a
a b
λ
λ
⎛⎫
⎛⎫-
+ ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
+=，即()22222
2c b a
λλ
++=，即()22222
2c b a
λλ
++=，即
()()2
2
2
2
431c a λλλ++=-，即22
11414333
c a λλλλλλ--===-++++在区间[]2,3上为增函数，所以53,53c a ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，即椭圆的离心率的取值范围为53,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
点睛：本题考查椭圆的几何性质、平面向量的共线和垂直的判定；在研究椭圆中过焦点的弦时，要注意与对称轴
垂直的情形，即椭圆和双曲线的通径，如过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点(),0F c -与对称轴垂直的弦称
为椭圆的通径，长度为2
2b a
，记住结论可减少运算量.
9．已知函数()sin f x x =，若存在12,,
,n x x x 满足1206n x x x π≤<<<≤，且
()()()()1223f x f x f x f x -+-+
()()112n n f x f x -+-=（2m ≥， *N m ∈）
，则m 的最小值为__________． 【答案】8
【方法点睛】本题主要考查正弦函数的图象与性质及数形结合思想，属于难题.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质． 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数()ln (0)f x x x =>图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交x 轴
于点E ，过点P 作l 的垂线交x 轴于点F ，设线段EF 的中点T 的横坐标为t ，则t 的最大值是________． 【答案】
112e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
()2211ln 112ln 11ln 1022m t m m m m -⎛⎫⎛⎫=
--+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
' m e ∴=
当0m e <≤时112t e e ⎛⎫
≤
+ ⎪⎝⎭
当m e >时112t e e ⎛⎫<
+ ⎪
⎝⎭
，所以t 的最大值是112e e ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭ 点睛：求函数最值的五种常用方法 方法 步骤
单调性法 先确定函数的单调性，再由单调性求最值
图象法 先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值
基本不等式法 先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值 导数法 先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值 换元法 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值
11．根据浙江省新高考方案，每位考生除语、数、外3门必考科目外，有3门选考科目，并且每门选考科目都有2次考试机会，每年有两次考试时间，某考生为了取得最好成绩，将3门选考科目共6次考试机会安排在高二与
高三的4次考试中，且每次至多考2门，则该考生共有___ 种不同的考试安排方法．
【答案】114
【解析】分析：先确定分配方案为2211或2220，再确定排列数.
详解：分配方案为2211时，排列数为,
分配方案为2220时，排列数为,因此安排方法为
点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——“间接法”；（5）“在”与“不在”问题——“分类法”.
12．已知直线，分别与直线和曲线交于点M,N两点，则线段MN长度的最小值是______．【答案】
点睛：本题主要考查导数的几何意义以及转化与划归思想，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.
13．已知为常数，函数，若关于的方程有且只有四个不同的解，则实数的取值所构成的集合为______．
【答案】
【解析】分析：关于的方程有且只有四个不同的解等价于等价于直线与有四个不同的交点，画出，画出与的图象，利用数形结合可得结果.
详解：
关于的方程有且只有四个不同的解，等价于直线与有四个不同的交点，直线过定点，斜率为，当直线与相切时，由，令可得斜率；当直线相切时，，由可得斜率；同理，当直线相切时，斜率，画出与的图象，如图，由图知，或时，与有四个交点，此时关于的方程有且只有四个不同的解，故答案为.
点睛：本题主要考查导数的几何意义、函数的图象与性质以及函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
14．学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有_________种．
【答案】
【解析】分析：分三种情况讨论，分别求出甲乙都入选、甲不入选，乙入选、甲乙都不入选,，相应的情况不同的组队形式的种数，然后求和即可得出结论.
点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率. 二、解答题 15．已知()
21
20121n x a a x a x ++=+++ (21)
21n n a x
+++， *
n N ∈．记()0
21n
n n k
k T k a
-==
+∑．
（1）求2T 的值；
（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n N ∈， n T 都能被42n +整除． 【答案】(1)30；(2)证明见解析.
【解析】试题分析：由二项式定理，得21C
i
i n a +=（
i 0，1，2，…，2n +1），（1）根据()0
21n
n n k k T k a -==+∑，
得221035T a a a =++，即可得解；（2）先根据组合数的性质可得出()()12121C 21C n k n k
n n n k n ++++++=+，再将
()0
21n
n n k k T k a -==+∑化简得()21221C n n n T n -=+，即可证明.
试题解析：由二项式定理，得21C i
i n a +=（i
0，1，2，…，2n +1）．
（1）210
221055535C 3C 5C 30T a a a =++=++=；
（2）∵()()()()()()()()()()121
221!212!1C
121C 1!!!!
n k n k
n n n n n n k n k n n k n k n k n k ++++++⋅++=++⋅==+++-+-
∴()()()121
210
02121C
21C n
n
n
n k n k
n n k
n n k k k T k a
k k -++-++====
+=+=+∑∑∑
()()()()11121
21
210
2121C
21C
21C n
n
n
n k
n k n k
n n n k k k n k n n k n +++++++++===⎡⎤=++-+=++-+⎣⎦∑∑∑
()()()()
()()1221221220
11221C
21C 2212C 21221C 22n
n
n k
n k n n
n n n
n n n k k n n n n n +++++===+-+=+⋅⋅+-+⋅⋅=+∑∑．
∴()()()
()1221212121C 21C C 221C n n n n
n n n n n T n n n ----=+=++=+．
∵*
21C n n N -∈
∴n T 能被42n +整除．
16．设函数()()2
12ln f x m x x mx =--+，其中m 是实数．
(l ）若()12f = ，求函数()f x 的单调区间；
(2）当()210f '=时，若(),P s t 为函数()y f x =图像上一点，且直线OP 与()y f x =相切于点P ，其中O 为坐标原点，求S 的值；
(3) 设定义在I 上的函数()y g x =在点()00,M x y 处的切线方程为():l y h x =，若
()()()()00·
0g x h x x x x x ⎡⎤--<≠⎣⎦在定义域I 内恒成立，则称函数()y g x =具有某种性质T ，简称“T 函数”．当3
4
m =时，试问函数()y f x =是否为“T 函数”？若是，请求出此时切点M 的横坐标；若不是，清说明理由．
【答案】（1）增区间为
341,4-++∞（），减区间为341
0,4
-+（）；（2）1s =；（3）是“T 函数”， 2 . 【解析】试题分析：（1）求出()'f x ，分别令()'0f x >和()'0f x <可以得到函数的增区间和减区间．（2）由
题设，曲线在P 2
43s s -+=222ln 3s s s s -+2ln 10s s +-=，根据函数
2ln 1y s s =+-为增函数以及21ln110+-=得到1s =．（3）函数在()00,M x y 处的切线方程为：
()200000013213
2ln 2444y x x x x x x x ⎛⎫=-+---+- ⎪⎝
⎭，
构造函数()()()200000013213
2ln 2
444F x f x x x x x x x x ⎛⎫=--
+--+-+ ⎪⎝⎭
其导数为()()0
14
'
2
F x x x x
x x
⎛⎫
=---
⎪
⎝⎭
分别讨论
02
x
<<和
2
x>时()
'F x的符号以及进一步讨论()
F x 的单调性可知()
y f x
=在()
0,2和()
2,+∞上不是“T函数”，故
2
x=，经检验符合．
（2）由()
'210
f=，得3
m=，()2
22ln3
f x x x x
∴=-+．()2
'43(0)
f x x x
x
∴=-+>，所以切线的斜
2
43
k s
s
=-+OM
2
22ln3
s s s
k
s
-+
=
2
43
s
s
-+=
2
22ln3
s s s
s
-+
2ln10
s s
+-=，设2ln1
y s s
=+-，
1
'20
y s
s
∴=+>，所以，函数2ln1
y s s
=+-在(0,＋∞)上为递增函数，且1
s=是方程的一个解，即是唯一解，所以，．
（3）当
1
4
m=-时，由函数在其图象上一点处的切线方程为
()2
00000
13213
2ln
2444
y x x x x x x
x
⎛⎫
=-+---+-
⎪
⎝⎭
，
令()()2
00000
13213
2ln
2444
h x x x x x x x
x
⎛⎫
=-+---+-
⎪
⎝⎭
设()()()
F x f x h x
=-，则()00
F x=．
且()()()0
132132
'''
2424
F x f x h x x x
x x
⎛⎫
⎛⎫
=-=-+---+-
⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
()
14
2
x x x
x x
⎛⎫
=---
⎪
⎝⎭
当
02
x
<<时，
4
x
x
>，则在
4
,x
x
⎛⎫
⎪
⎝⎭
上有()
'0
F x>，故在
4
,x
x
⎛⎫
⎪
⎝⎭
上()
F x单调递增，故当
4
,
x x
x
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
有()()00
F x F x
>=，所以在
4
,x
x
⎛⎫
⎪
⎝⎭
有()()00
F x x x
->；
当02x =时， ()
()2
2'02x F x x
-=-
≤，所以函数()F x 在()0,+∞上单调递减．
所以， 2x > 时， ()()20F x F <= ， ()()20F x x -<；
02x <<时， ()()20F x F >=， ()()20F x x -<．因此，切点为点()()2,2f ，其横坐标为2．
点睛：曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率．对于满足某些特殊性质的切线，我们同样是设出切点的横坐标后，把问题归结横坐标应该满足的性质，（3）中横坐标0x 取值不容易求得，我们是先讨论了002x <<和02x >时()f x 不是“T ”从而得到02x =．
17．已知椭圆C 经过点31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，且与椭圆:E 2212x y +=有相同的焦点． (1)求椭圆C 的标准方程；
(2）若动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =交于点Q ，问：以线段PQ 为直径的圆是否经过一定点M ？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）22
143
x y +=；（2）存在点()1,0M . 【解析】试题分析：（1）先求出椭圆E 的焦点为()1,0±，则由题设有22229
141,{ 1,
a b a b +=-=，从中解出22,a b 可得椭圆C 的标准方程为22
143x y +
=．(2)因为动直线l 与椭圆相切，故联立直线方程和椭圆方程后利用判别式为零得到2234m k =+43,k P m m ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
又()4,4Q k m +，设(),M s t ，则0MP MQ ⋅=对任意的,k m 恒成立，但
()()
22
43
1443
k
MP MQ s m k t s s t
m m
⎛⎫
⋅=--+++-++
⎪
⎝⎭
，因此
22
10,
{0,
430
s
t
s s t
-=
=
-++=
，从而
1,
{
0.
s
t
=
=
也就是点()
1,0
M符合题意．
（2）联立
22
,
{
3412,
y kx m
x y
=+
+=
消去y，得()222
3484120
k x kmx m
+++-=，所以
()()
2222
644344120
k m k m
∆=-+-=，即22
34
m k
=+．
设()
,
P P
P x y，则
2
44
34
P
km k
x
k m
=-=-
+
，
2
43
P P
k
y kx m m
m m
=+=-+=，即
43
,
k
P
m m
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
．
假设存在定点(),
M s t满足题意，因为()
4,4
Q k m
+，则
43
,
k
MP s t
m m
=---
（），
()
4,4
MQ s k m t
=-+-，所以()()
43
44
k
MP MQ s s t k m t
m m
⎛⎫⎛⎫
⋅=---+-+-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
()()
22
43
14430
k
s m k t s s t
m m
⎛⎫
=--+++-++=
⎪
⎝⎭
恒成立，故
22
10,
{0,
430
s
t
s s t
-=
=
-++=
解得
1,
{
0.
s
t
=
=
所以存在点()
1,0
M符合题意．
点睛：动圆过定点，一般是找出动圆的一般式方程，它含有一个参数．而对于含多个参数的圆的一般方程，考虑其过定点时，可先设出定点的坐标，代入圆的一般方程得到一个恒等式，从而得到定点坐标满足的方程组，解这个方程组即可．
18．已知椭圆C：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左焦点为()
1
3,0
F-，且过点
313
P
⎝⎭
.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知
1
A，
2
A分别为椭圆C的左、右顶点，Q为直线1
x=上任意一点，直线
1
A Q，
2
A Q分别交椭圆C 于不同的两点M，N.求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标.
【答案】（1）
2
21
4
x
y
+=；（2）见解析.
(2)设()()()
1122
1,,,,,
Q t M x y N x y，
则直线()
1
:2
3
t
AQ y x
=+，与
2
21
4
x
y
+=联立，解得
2
22
81812
,
4949
t t
M
t t
⎛⎫
-+
⎪
++
⎝⎭
同理
2
22
824
,
4141
t t
N
t t
⎛⎫
-
⎪
++
⎝⎭
所以直线MN的斜率为
22
22
22
124
4941
81882
4941
t t
t t
t t
t t
-
++
-+-
-
++
=
2
2
43
t
t
-
+
所以直线
2
222
122818
:
494349
t t t
MN y x
t t t
⎛⎫
-+
-=--
⎪
+++
⎝⎭
()
2
2
4
43
t
x
t
=--
+
所以直线MN恒过定点，且定点坐标为()
4,0
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
19．设函数f(x)＝
1
2
ax2－1－ln x，其中a∈R．
（1）若a＝0，求过点(0，－1)且与曲线y＝f(x)相切的直线方程；
（2）若函数f(x)有两个零点x1，x2，
①求a的取值范围；
②求证：f ′(x1)＋f ′(x2)＜0．
【答案】(1) y＝－
1
e
x－1 (2) ① (0，e)．②见解析
②由x1，x2是函数f(x)的两个零点(不妨设x1＜x2)，得
2
11
2
22
1
10
2
{
1
10
2
ax lnx
ax lnx
=
=
－－
－－
，两式作差得a(x1＋x2)＝
1
2
12
2
x
ln
x
x x
-
，
代入要证得式子得2ln1
2
x
x
＋2
1
x
x
－1
2
x
x
＞0，令h(x)＝2ln x＋－x，x∈(0，1)，求导利用单调性求最值即可证得. 试题解析：
（1）当a＝0时，f(x)＝－1－ln x，f ′(x)＝－．
设切点为T(x0，－1－ln x0)，
则切线方程为：y＋1＋ln x0＝－ ( x－x0)．
因为切线过点(0，－1)，所以－1＋1＋ln x0＝－(0－x0)，解得x0＝e．
所以所求切线方程为y＝－x－1．
当0＜x＜时， f ′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x＞时， f ′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)min＝f()＝－ln－1＝－－ln．
要使函数f(x)有两个零点，首先－－ln＜0，解得0＜a＜e．
当0＜a＜e时，＞＞．
因为f()＝＞0，故f()·f()＜0．
又函数f(x)在(0，)上单调递减，且其图像在(0，)上不间断，
所以函数f(x)在区间(0，)内恰有1个零点．
考察函数g(x)＝x－1－ln x，则g′(x)＝1－＝．
当x∈(0，1)时，g′(x)＜0，函数g(x)在(0，1)上单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以g(x)≥g(1)＝0，故f()＝－1－ln≥0．
因为－＝＞0，故＞．
因为f ()·f ()≤0，且f (x )在(，＋∞)上单调递增，其图像在(，＋∞)上不间断，
所以函数f (x )在区间(，] 上恰有1个零点，即在(，＋∞)上恰有1个零点．
综上所述，a 的取值范围是(0，e)．
f ′(x 1)＋f ′(x 2)＜0等价于ax 1－＋ax 2－＜0，即a (x 1＋x 2)－－＜0，
即－－＜0，即2ln ＋－＞0．
设h (x )＝2ln x ＋－x ，x ∈(0，1)．则h′(x )＝－－1＝＝－
＜0，
所以函数h (x )在(0，1)单调递减，所以h (x )＞h (1)＝0． 因为∈(0，1)，所以2ln ＋－＞0， 即f ′(x 1)＋f ′(x 2)＜0成立．
点睛：导数背景下的零点问题，需结合函数的极值符号、函数的单调性及零点存在定理去考虑．而零点满足的不等式则需要通过构建新的不等式去证明，新的不等式对应的函数是一元函数，我们可以用导数去证明这个新的不等式．
20．已知函数()2
14ln 22
f x x a x x =--
-,其中a 为正实数． (1)若函数()y f x =在1x =处的切线斜率为2，求a 的值； (2)求函数()y f x =的单调区间；
(3)若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，求证： ()()126ln f x f x a +<-．
【答案】(1)1(2) 单调减区间为()0,24a --,()
24,a +-+∞,单调减区间为
()
24,24a a -
-+-．（3）见解析
试题解析：(1)因为()214ln 22f x x a x x =--
-，所以()4a
f x x x
=--'， 则()132f a ='-=,所以a 的值为1．
(2) ()244a x x a
f x x x x
-+=--=-'，函数()y f x =的定义域为()0,+∞，
1若1640a -≤,即4a ≥,则()0f x '≤,此时()f x 的单调减区间为()0,+∞; 2若1640a ->,即04a <<,则()0f x '=的两根为24a ±-此时()f x 的单调减区间为(
)0,24a --,()
24,a +-+∞, 单调减区间为()
24,24a a --+-．
(3)由(2)知，当04a <<时，函数()y f x =有两个极值点12,x x ,且12124,x x x x a +==． 因为()()221211122211
4ln 24ln 222
f x f x x a x x x a x x +=--
-+--- ()()()
2
212121214ln 42
x x a x x x x =+--+- ()
2
116ln 4244ln 2
a a a a a a =--
--=+- 要证()()126ln f x f x a +<-,只需证ln ln 20a a a a --+>． 构造函数()ln ln 2g x x x x x =--+，则()111ln 1ln g x x x x x
+-
='=--， ()g x '在()0,4上单调递增,又()()1
110,2ln202
g g ='-
'=-,且()g x '在定义域上不间断,
百度文库 - 让每个人平等地提升自我 21 由零点存在定理，可知()0g x '=在()1,2上唯一实根0x , 且001ln x x =． 则()g x 在()00,x 上递减, ()0,4x 上递增,所以()g x 的最小值为()0g x ．
因为()00000000011ln ln 2123g x x x x x x x x x ⎛⎫=--+=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭
, 当()01,2x ∈时, 00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
,则()00g x >,所以()()00g x g x ≥>恒成立． 所以ln ln 20a a a a --+>,所以()()126ln f x f x a +<-，得证．。