实数的概念及开平方

第一讲实数的概念与数的开方
知识梳理
一实数的概念
1．无理数
定义:无限不循环的小数叫做无理数。

分类:可分为正无理数和负无理数。

说明:无理数应同时满足三个条件:(1)是小数;(2)是无限小数;(3)不循环.
常见三种表现形式：（1）带根号但开方开不尽的数，如35,2等，但9就不是无理
数； （2）特定意义的数,如π类，
2,3
ππ
，2π等都是无理数；
（3）有规律但不循环的小数，如0.101001000100001…等数，数字排列有规律，但是，它们都是不循环的无限小数。

无理数和有理数的区别:任何一个有理数都可以写成
b
a
的形式,其中a,b 都是整数，且b ≠0，而无理数不能写成这种形式。

有限小数和无限循环小数与
b
a
的形式可以互化，因而它们都是有理数。

2.实数的定义
有理数和无理数统称为实数 3.实数的分类
根据实数的定义分类：
实数⎪⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪
⎪
⎪
⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎩⎪
⎨⎧⎭⎬⎫
无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数自然数零正整数整数有理数
根据实数的符号分类：
实数⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨
⎧负无理数负分数
负整数负有理数负实数既不是正数也不是负数零正无理数正分数
正整数
正有理数正实数)(
4．实数与数轴上点的对应
数轴：规定了原点，正方向，单位长度的直线。

对应关系：实数与数轴上的点一一对应。

说明：（1）直线是可以向两方无限延伸的，故不存在最大实数，也不存在最小实数；
（2）线成点，在一条直线上不同的两个点之间还有无数个点，所以两个不同整
数或无理数之间有无数个实数。

（3）数和点的对应可看作是最简单的数形结合。

5．绝对值，相反数，倒数
绝对值：一个实数的绝对值就是指数轴上表示这个实数的点到原点的距离，距离是非负
的，因而绝对值是非负数。

即0≥a 具体表示为：
说明：（1）两个正数中，绝对值大的数则大，两个负数中绝对值大的数反而小； （2）绝对值是非负的，但它可能等于-a （当a<0时），带负号不一定是负数。

⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>=.0,,
0,0,
0,a a a a a a 当时当时当
相反数：如果两实数a,b满足a+b=0，那么a与b互为相反数，反之亦然。

互为相反数的两个数绝对值相等 .
倒数：如果两个实数a和b满足a.b=1，那么a与b互为倒数，零没有倒数。

注意：相反数是它本身的数是0；倒数是它本身的数是±1；绝对值是它本身的数是非负数。

二数的开方
1开平方
（1）平方根
定义:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根(或二次方根),即如果,x2=a那么x就叫做a的平方根.
注意:(1)一个实数的平方都是非负的,所以a≥0,即被开方数≥0.
(2)a的平方根记作±a,其中根指数2是省略的，a表示a的正的平方
表示a的负的平方根。

根又叫做算术平方根,a
(3)一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0有一个平方根,是它本身;负
数没有平方根.
（4）9的平方根和9的平方根是不一样的
（2）平方根与算术平方根的区别
（2）开平方及其与平方的关系
求一个数的平方根的运算,叫做开平方;平方与开平方互为逆运算。

注意:当a≥0时, a 的平方是a2
a的平方根是±a
a的算术平方根是a
2
a的平方根是±a
看清题目问的是什么。

2开立方
立方根
定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也叫做三次方根，
记作3a，读作三次根号a，其中a叫做被开方数，3叫做根指数。

注意：（1）任何实数都有唯一确定的立方根；
（2）正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；0的立方根是0。

（2）开立方与立方的关系
求一个数的立方根的运算,叫做开立方;立方与开立方互为逆运算。

3 立方根与平方根的区别和联系
区别：（1）开平方时根指数2可以省略不写，但对于开立方，根指数3是不能省的。

（2）一个正数的平方根有两个，但立方根却只有一个；负数没有平方根，却有立方根，任何实数都有一唯一的一个立方根。

相同：0的平方根和立方根都是0本身。

4 n次方根
定义：如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，这个数就叫做a的n次方根，当n为奇数时，这个数为a的奇次方根；当n为偶数时，这个数为a的偶次
方根。

注意：（1）正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；正数的奇次方根有一个且只有一个，是正数，负数的奇次方根有一个且只有一个，是负数；零的n次方根仍
是零。

（2）n为偶数时性质类似平方根，n为奇数时性质类似立方根。

三例题精讲
例1 1.414, ，..63.0,5,211,25-,0.020020002…,0.20302, 327,2
π
中哪些是有理数，
哪些是无理数？
选题意图：本题主要考察无理数的概念，同时复习有理数的概念。

解析：判断一个数是无理数还是无理数必须按定义来分，无限不循环小数是无理数，知道它的常见表现形式，抓住它的本质，无限小数，带根号的不一定是无理数，；有理数包括整数和分数，但有分数线的也不一定是分数。

答案：有理数包括整数和分数，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数，327,25 都是开方开得尽得数，
所以1.414,0.20302,25,.
.63.0,2
1
1-,327 都是有理数；
ππ
是有特定意义的是有规律但不循环小数是开方开不尽的数，，2
...02002002.0,,5，所以它
们都是无理数。

针对训练
在3
2,,722,
125,523π-，0.1213141516…中，无理数是______________.
例2 下列命题中正确的个数有( )
实数不是无理数就是有理数（2）不带根号的数一定是有理数（3）无理数数可以分为正 无理数和负无理数（4）有理数可以分为正有理数和负有理数（5）无理数一定是无限不循环 小数
A 2
B 3
C 4
D 5 出题意图：考查实数，有理数，无理数的分类
解析：实数分为有理数和无理数，故（1）对；π不带根号，但其为无理数，故（2）错；按符号分（3）对，（4）不对，0是有理数，0既不是正数也不是负数；据定义（5）对。

故
选B 。

答案：B 针对训练
下列语句错误的是（ ）
（A ）正整数，0，负整数统称为整数（B ）整数与分数统称为有理数 （C ）开方开不尽的数和π统称为无理数（D ）有理数，无理数统称为实数
例3求下列各式的值
（1）1.69的平方根 (2)
144
121 (3)0016.0± (4)9的算术平方根 选题意图：考查平方根，算术平方根的概念及常见数的平方。

解析：（1）最好记住1～20各整数的平方，这样才能熟练求出一些特殊数的平方根
（2）看清题问的是什么，算术平方根还是平方根，a 的还是a 的
（3）对于正的平方根,被开数扩大100倍,平方根就扩大10倍,反之缩小100,平方根就 缩小10倍.
答案：解：（1）因为(±1.3)2
=1.69,所以1.69的平方根是±1.3。

(2)因为122=144，112
=121，所以
144121=12
11
(3)因为（0.04）2
=0.0016,所以0016.0±=±004
(4)39=,3的算术平方根是3，所以9的算术平方根是3。

针对训练
求（1）256的平方根（2）0001.0的算术平方根
例4 若3+-y x 与2003-+y x 互为相反数，求
y
x y
x -+2的值。

选题意图：该题既考查了相反数与绝对值的性质，又通过非负数相加和为零，每一项都为零这一结论增强了学生思维能力。

解析：由互为相反数可知其和为0，又因为两数都大于等于0，所以只有同时都为零，才能使其和为0。

解：∵3+-y x 与2003-+y x 互为相反数
∴3+-y x +2003-+y x =0
又∵02003,03≥-+≥+-y x y x
∴⎩
⎨⎧=-+=+-0200303y x y x
∴x=1000,y=1003
∴
10022-=-+y
x y
x 答案：-1002
针对训练
已知0)5(32=-++y x ，求2
)(y x -的平方根。

例5 已知x,y 是实数，且2
221
33x x x y +-+-=
，
求y x 3-的值。

选题意图：考查被开方数必须大于0的性质.
解析：要求x-3y 的值，必须知道x,y 的值，一个等式求两正个未知数的值，不可能,肯定还有隐含条件。

看到含有字母的二次根式，就要想被开方数≥0，确定字母的取值范围，由此不难得出 x 2
=3.
解：∵2
x -3≥0,3-2
x ≥0
∴2
x =3,x =±3
∴ 3
1=
y ∴y x 3-=±13-
答案：±13- 针对训练：
若42
442
2+--+-=
x x x y ，求 y x +2的立方根
例6已知x 是满足不等式2x x 381+-≥的非负整数,y 是5-11的小数部分,求
(4xy )11+的4次方根。

选题意图：考查绝对值，无理数的性质，如何确定无理数的整数和小数部分，及n 次方根。

解析：要求结论必须知道x,y ；由不等式确定x 值；确定无理数的小数部分一般先确定其整数部分，确定整数部分把无理数平方看其介于哪两个相邻整数之间。

解：∵2x x 381+-≥ ∴18-≤x 又∵2223)8(2≤≤ ∴382≤≤ ∴2181≤-≤
又∵x 是非负整数
∴x=0，或1, 又∵224113≤≤
∴5-11的整数部分是1
∴y 是411-
∴xy=0或411-
∴(4xy )11+的4次方根是0或54±
答案：0，54±
针对训练 若x 为正整数，x -14为整数，试问式子x -14是否存在最大值，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由。

四 优化作业
基础训练题（A ）
1．数3.14，2，π，0.323232…，71，9，21+中，无理数的个数为（
）．
（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个
2．下列说法中正确的是（ ）．
（A ）4是8的算术平方根 （B ）16的平方根是4
（C ）6是6的平方根 （D ）a -没有平方根
3．若()227.0-=x ，则=x （ ）．
（A ）-0.7 （B ）±0.7 （C ）0.7 （D ）0.49
4．36的平方根是（ ）．
（A ）6 （B ）±6 （C ）6 （D ）6±
5．一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是（ ）．
（A ） 1 （B ） 0 （C ） -1 （D ）1，-1或0
6．3a 的值是（ ）．
（A ） 是正数 （B ） 是负数 （C ） 是零 （D ） 以上都可能
7．下列说法中，正确的是（ ）．
（Ａ）27的立方根是3，记作27=3 （B ）-25的算术平方根是5
（C ）a 的三次立方根是3a ± （D ）正数a 的算术平方根是a
8 下列各式中错误的是（ ）．
（A ）6.036.0±=± （B ）6.036.0=
（C ）2.144.1-=- （D ）2.144.1±=
9．9的算术平方根是__________，81的平方根是___________．
10．若x x -+有意义，则=+1x ___________．
11．当x _______时，根式121
-x 有意义．
12．请你观察、思考下列计算过程：
因为121112=，所以11121=，同样，因为123211112=，所以11112321=…由此猜想76543211234567898=_________________．
13．求下列各数的平方根：
（1）
425 （2）()24- （3）()()82-⋅-．
14．计算：
（1）256； （2）44.1-； （3）25
16±
； （4）01.0；
（5）2
32⎪⎭⎫ ⎝
⎛±； （6）410-±．
15．解方程：
（1）942=x ； （2）()112=+x ； （3）()049
121352=--x ．
16．将半径为12cm 的铁球融化，重新铸造出27个半径相同的小铁球，如不计损耗，小铁球半径是多少cm ？（提示：球的体积公式为33
4R v π=
）
提高训练题（B ）
1.平方根等于本身的数是________；算术平方根等于本身的数是______；立方根等于本
身的数是___________．
2．如果==32,36a a 那么__________．
3．如果0≤a ≤1，化简|a |＋|a －1|＝__________．
4．当x ＝______时，12+x ＝0，当x ______时，式子2+x ＋2--x 有意义．
5．如果（x －6）2＋|y ＋2|＋1+z ＝0，那么（x ＋1）2＋（y －2）2＋（z －3）2的四次方根是______．
6．满足－2＜x ＜10的整数x 是______________________．
7．正方体的体积是216 cm 3，则它的表面积是_______cm 2
． 8．a ，b 为实数，则代数式（a －b ）2＋ab ＋|a |的值…………………………（ ）
（A ）大于0 （B ）大于或等于0 （C ）小于0 （D ）等于0
9．一个正数的正的平方根是m ，那么比这个正数大1的数的平方根是………（ ）
（A ）m 2＋1 B .±1+m （C ）12+m （D ）±12+m
10．n 1－n 1-＝2成立的条件是…………………………………………………（ ）
（A ）n 是偶数 （B ）n 是大于1的自然数 （C ）n 是大于1奇数 （D ）n 是整数
11．已知A ＝342--+b a a 是a ＋2的算术平方根，B ＝9232-+-b a b 是2－b 的立方根．
求3A －2B 的立方根．
12．已知y ＝12-x ＋x 21-＋x －2．求y x +10的值．
综合迁移题（C ）
1．若a a a =-+-20152014，则=-2
2014a ______________ 2．已知c b a ，，为△ABC 的三边，则化简=--++-2
)(c b a c b a _____________．
3.已知a,b 为实数,且01)1(1=---+b b a ,求20142015b a +的值
优化作业答案:
针对训练
1. 无理数有5，...1213141516.0,32,2π
2. C
3.
（1）±16（2）0.1 4. 0)5(,032≥-≥+y x ，它们的和为0，所以⎩⎨⎧=-=+0
503y x ，所以x=-3,y=5
2)(y x -=64,故其平方根为±8
5. ∵04,0422≥-≥-x x
∴x =±2
又∵x -2≠0
∴x =-2,y =4
∴y x +2
=8，它的立方根是2 6. 解答：∵14-x ≥0
∴x 是不大于的正整数 又∵x -14是整数，14-x 是0～14间的完全平方数，它们是0，1，4，9，当14-x 取最大值9时，相应x -14的值也最大，即当x=14-9=5时，相应的x -14=9=3最大。

故当x=5时，x -14有最大值，最大值是3.
基础题(A)
1.B ;
2.C;
3.B;
4.D;
5.B;
6.D;
7.D;
8.D;
9.3, 3±;
10. 1; 11.2
1>x ; 12.111111111; 13.(1)2
5± (2)4± (3)4±; 14.(1)16 (2)-1.2 (3)54± (4)0.1 (5)1001102±=±-; 15.(1)23±=x (2)0=x 或2-=x （3）2146=x 或7
8=x ； 16. 设小铁球的半径为r ，由题意可列方程为 333
41234r ππ=
⨯，解得r =4 答：略
提高题(B)
1. 0， 0、1， 0、1、-1；
2.216±；
3.1；
4.2
1-； 5.3±；
6.-1、0、1、2、3；
7.216；
8.B;
9.D;
10.\C;
11.由题意可得⎩
⎨⎧=-+=--3923234b a b a ，解得⎩⎨⎧==32b a ，则A=2，B=-1, ∴3A-2B=8，它的立方根为2；
12.由题意可知，012=-x ，则21=x ， ∴4=y ，
∴3910==+y x
综合迁移题(C)
1.02015≥-a
∴2015≥a
则原式可变为a a a =-+-20152014
∴220142015=-a ，即201520142
=-a
2. c c b a c b a 2=++-+-（三角形中，两边之和大于第三边）
3. ∵01≥-b
∴1≤b
又∵b b a --=+1)1(1
∴01≥-b 即1≥b
综上所述，1=b ，那么01=+a ，即1-=a
∴0111)1(2014201520142015=+-=+-=+b a。