一次函数概念图像及性质
一次函数图像与性质
示 意 图
（1）k决定直线y=kx+b从左向右是什么趋势
（倾斜程度ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，b决定它与y轴交点在哪个半轴，
k、b合起来决定直线y=kx+b经过哪几个象限；
注意看图识性，见数想形．
三、待定系数法求一次函数解析式
一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）中有两个待
定系数k，b，需要两个独立条件确定两个关于k，b的
5.直线l1：y=kx+b与直线l2：y=bx+k在同一坐标系中的 大致位置是（ ）．
7.已知一次函数y=kx+b的图象过点P(1,1)，
与x轴交于点A，与y轴交于点B，且OA=3OB，
求一次函数的解析式．
8.如果一次函数当自变量的取值范围是-1<x<3时，
函数值的取值范围是-2<y<6，
求此函数的解析式．
一次函数的图像和性质
一、一次函数的定义
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，
叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 说明：当b＝0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是
形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数 一种特殊的一次函数.
一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，
四、分段函数
对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况
（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，
因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要
注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.
说明：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变
量变化范围.
在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.
一次函数的图象及性质
在某个点处，函数的导数为0，并且在该点左侧导数小 于0，右侧导数大于0，那么这个点就是极小值点。
一次函数的凹凸性
凹函数
如果在某个区间内，函数的二阶导数大于 0，那么这个函数在这个区间内是凹函数 。
VS
凸函数
如果在某个区间内，函数的二阶导数小于 0，那么这个函数在这个区间内是凸函数 。
04
一次函数与数列的关系
数列是一次函数图象上多个点的集合，表示在多个自变 量下函数的值的变化规律。通过对数列的研究，我们可 以找到一次函数图象上对应的多个点。
一次函数与数列的关系还表现在解决实际问题中，如等 差数列和等比数列的问题，通过建立一次函数模型可以 解决实际问题的最优解。
06
一次函数的扩展知识
一次函数与方程的关系还表现在求解未知数 的运算过程中，通过对方程的求解可以得到
一次函数的解析式。
一次函数与不等式的关系
不等式可以看作一次函数图象上某一段的横坐标，表 示在这一段上函数的值大于或小于零。通过对不等式 的求解，我们可以找到一次函数图象上对应的区间。
一次函数与不等式的关系还表现在解决实际问题中， 如时间、速度、价格等问题，通过建立一次函数不等 式模型可以解决实际问题的最优解。
为截距。
当自变量取值为`x`时，函数值 计算公式为`y = kx + b`。
绘制点
根据计算出的函数值和自变量的取值，绘制散点图。
对于每个自变量值，计算其对应的函数值，并在坐标系中绘制一个点。
连接点
使用线段或曲线连接散点图中的点。
对于一次函数，通常使用直线连接点，因为一次函数的图像是一条直线。
03
一次函数的应用
一次函数在代数中的应用
求解方程
第01讲 一次函数的概念、图像与性质(考点与练习)(原卷版)
第01讲 一次函数的概念、图像与性质一、一次函数的概念1、概念：一般地，解析式形如y kx b =+（k 、b 是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数。
定义域：一切实数。
2、一次函数与正比例函数的关系：正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。
3、常值函数一般的，我们把函数()y c c =为常数叫做常值函数。
二、一次函数的图像与性质1、 一次函数的图像：一般地，一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的图像是一条直线．一次函数y kx b =+的图像也称为直线y kx b =+，这时，我们把一次函数的解析式y kx b =+称为这一直线的表达式．画一次函数y kx b =+的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线． 2、 一次函数的截距：一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距，一般地，直线y kx b =+（0k ≠）与y 轴的交点坐标是(0)b ，，直线y kx b =+（0k ≠）的截距是b ．3、 一次函数图像的平移：一般地，一次函数y kx b =+（0b ≠）的图像可由正比例函数y kx =的图像平移得到．当0b >时，向上平移b 个单位；当0b <时，向下平移b 个单位．（函数平移口诀简记为：“上加下减，左加右减”） 4、 直线位置关系：如果12b b ≠，那么直线1y kx b =+与直线2y kx b =+平行．反过来，如果直线11y k x b =+与直线22y k x b =+平行，那么12k k =，12b b ≠．5、一次函数的增减性：一般地，一次函数y kx b =+（,k b 为常数，0k ≠）具有以下性质：当0k >时，函数值y 随自变量x 的值增大而增大，图像为上升； 当0k <时，函数值y 随自变量x 的值增大而减小，图像为下降． 6、一次函数图像的位置情况：直线y kx b =+（0k ≠，0b ≠）过(0,)b 且与直线y kx =平行，由直线y kx =在平面直角坐标系内的位置情况可知：（要用图像的平移推导可得） 当0k >，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、三象限； 当0k >，且0b <时，直线y kx b =+经过一、三、四象限； 当0k <，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、四象限； 当0k <，且0b <时，直线y kx b =+经过二、三、四象限．考点一：一次函数识别【例题1】（2021·上海普陀·八年级期中）下列四个函数中，一次函数是（ ） A ．y ＝x 2﹣2xB ．y ＝x ﹣2C ．11y x=+D ．y x +1【变式训练1】（2021·上海奉贤·八年级期中）下列函数中是一次函数的是（ ） A ．y ＝2x B ．2y x=C ．y ＝x 2D ．y ＝kx +b （k ，b 为常数）考点二：根据一次函数的定义求参数【例题2】（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）当k ______时，y kx x =+是一次函数．【变式训练1】（2021·上海普陀·八年级期中）若函数y=(m-2)x+5是一次函数，则m 满足的条件是____________．【变式训练2】（2021·上海民办华二宝山实验学校八年级阶段练习）已知关于x 函数224(5)1m y m x m -=-++，若它是一次函数，则m =______.考点三：求一次函数的自变量与值域【例题3】（2021·上海杨浦·八年级期末）如果点A(3,)a 在一次函数31yx 的图像上，则a =__________．【变式训练1】（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）已知一次函数24y x =+的图象经过点(),8A m ，那么m 的值等于______． 考点四：列一次函数的解析式并求值【例题4】（2021·上海市松江区新桥中学八年级期中）汽车油箱中现有汽油60升，若每小时耗油10升，则油箱中剩余油量y （升）与燃烧的时间x （小时）之间的函数关系式是______．【变式训练1】（2020·上海浦东新·八年级期末）汽车以60千米/时的平均速度，由A 地驶往相距420千米的上海，汽车距上海的路程s （千米）与行驶时间t （时）的函数关系式是_____．考点五：一次函数平移【例题5】（2021·上海市松江区新桥中学八年级期中）将直线112y x =--向上平移4个单位所得的直线表达式为______．【变式训练1】（2021·上海杨浦·八年级期中）将一次函数y ＝2x ﹣3的图象向上平移___个单位后，图象过原点．【变式训练2】（2021·上海浦东新·八年级期末）如果将函数31y x =-的图象向上平移3个单位，那么所得图象的函数解析式是________． 考点六：一次函数与坐标轴交点【例题6】（2021·上海普陀·八年级期末）将平面直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标轴三角形．如图中的一次函数图像与,x y 轴分别交于点,,A B 那么ABO 为此一次函数的坐标轴三角形．一次函数142y x =-+的坐标轴三角形的面积是_____．【变式训练1】（2021·上海杨浦·八年级期中）一次函数y ＝﹣2x ﹣3的截距是_____． 【变式训练2】（2021·上海·八年级期中）直线36y x =-与坐标轴所围成的三角形的面积是_____．【变式训练3】（2021·上海奉贤·八年级期末）直线21y x =-与x 轴交点坐标为_____________．考点七：根据一次函数解析式判断其经过象限【例题7】（2021·上海·上外附中八年级期末）一次函数y ＝2（x +1）﹣1不经过第（ ）象限 A ．一B ．二C ．三D ．四【变式训练1】（2021·上海徐汇·八年级期末）一次函数21y x =-+的图象经过哪几个象限（ ）A ．一、二、三象限B ．一、二、四象限C ．一、三、四象限D ．二、三、四象限 【变式训练2】（2021·上海崇明·八年级期末）一次函数53y x =-+的图象不经过（ ）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式训练3】（2021·上海金山·八年级期末）在直角坐标系中，一次函数y ＝12x ﹣1的图像不经过第____象限．考点八：已知函数经过的象限求参数范围【例题8】（2019·上海市西延安中学八年级期中）在同一真角坐标平面中表示两个一次函数y 1=kx +b ，y 2=−bx +k ，正确的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【变式训练1】（2020·上海市奉贤区弘文学校八年级期末）正比例函数()0y mx m =≠的图像在第二、四象限内，则点（--1m m ，）在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式训练2】（2020·上海金山·八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k 和b 的取值范围是（ ）A ．k ＞0，b ＞0B ．k ＞0，b ＜0C ．k ＜0，b ＞0D ．k ＜0，b ＜0【变式训练3】（2019·上海市闵行区七宝第二中学八年级期中）如果关于x 的一次函数(3)y m x m =-+的图像不经过第三象限，那么m 的取值范围________.【变式训练4】（2021·上海静安·八年级期末）已知一次函数y ＝（k ﹣1）x ＋1的图像经过第一、二、三象限，那么常数k 的取值范围是____．【变式训练5】（2021·上海·上外附中八年级期末）一次函数y ＝（2m ﹣1）x +m ﹣7的图像不经过第二象限，则m 的取值范围是 ___．【变式训练6】（2017·上海嘉定·八年级期中）若正比例函数25m m y mx +-=的图像经过第二、四象限，则m =____________【变式训练7】（2018·上海普陀·八年级期末）如果关于x 的一次函数y ＝mx +(4m ﹣2)的图象经过第一、三、四象限，那么m 的取值范围是_____． 考点九：已知两条直线位置关系求参数【例题9】直线2(13)(22)y k x k =-+-与已知直线21y x =-+平行，且不经过第三象限，求k 的值．1.已知一次函数21544m y x +=-与233my x =-+的图像在第四象限内交于一点，求整数m 的值．2.已知两个一次函数144b y x =--和212y x a a=+；（1）a、b为何值时，两函数的图像重合?（2）a、b满足什么关系时，两函数的图像相互平行?（3）a、b取何值时，两函数图像交于x轴上同一点，并求这一点的坐标．3.（1）一次函数3y x b=+的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为48，求b的值；（2）一次函数y kx b=+的图像与两坐标围成的三角形的面积是105，求一次函数的解析式．4.1）求直线14222y x y x=-=+和与y轴所围成的三角形的面积；（2）求直线24y x=-与直线31y x=-+与x轴所围成的三角形的面积．5.如图，已知由x轴、一次函数4(0)y kx k=+<的图像及分别过点C（1，0）、D（4，0）两点作平行于y轴的两条直线所围成的图形ABDC的面积为7，试求这个一次函数的解析式．6.在式子()y kx b k b =+，为常数中，3119x y -≤≤≤≤当时，，kb 求的值．7.已知一次函数1121y x k =+-中y 随x 的增大而增大，它的图像与两坐标轴构成的直角三 角形的面积不超过32，反比例函数23k y x-=的图像在第二、四象限，求满足以上条件的k 的 整数值．8.如图，已知函数1y x=+的图象与y轴交于点A，一次函数y kx b=+的图象经过点B（0，1-），并且与x轴以及1y x=+的图象分别交于点C、D；（1）若点D的横坐标为1，求四边形AOCD的面积（即图中阴影部分的面积）；（2）在第（1）小题的条件下，在y轴上是否存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形；如果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由；（3）若一次函数y kx b=+的图象与函数1y x=+的图象的交点D始终在第一象限，则系数k 的取值范围是________（请直接写出结果）题组A 基础过关练一、单选题1.下列关于x的函数中，是一次函数的是（）222211.3(1) (3)A y xB y xC y xD y x xx x=-=+=-=+-2.正比例函数y=(1－2m)x的图象经过点（x1，y1）和点（x2，y2）当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m<0 B．m>0 C．m＜12D．m＞123．（2018·上海金山·八年级期中）一次函数51y x=-的图像经过的象限是（）A．一、二、三B．一、三、四C．二、三、四D．一、二、四分层提分4．（2018·上海金山·八年级期中）一次函数图像如图所示，当2y >时，x 的取值范围是（ ）A ．0x >B ．0x <C ．2x >D ．2x <5．（2020·上海浦东新·八年级期末）直线y ＝2x ﹣1在y 轴上的截距是（ ） A ．1 B ．﹣1C ．2D ．﹣2二、填空题6．（2019·上海普陀·八年级期中）如果将直线22y x =-向上平移3个单位，那么所得直线的表达式是___________．7．（2019·上海普陀·八年级期末）已知直线(2)3y k x =-+与直线32y x =-平行，那么k =_______．题组B 能力提升练1.一次函数(2)3y k x k =-+-的图像能否可以不经过第三象限?为什么?2.已知直线26x y k -=-+和341x y k +=+，若它们的交点第四象限，那么k 的取值范围是______________．3.如图，据函数y kx b =+的图像，填空：（1） 当1x =-时，y =____________；（2） 图像与坐标轴的交点坐标是_________________； （3） 当24x -≤≤时，y 的取值范围是______________．4.根据下列条件求解相应函数解析式： （1）直线经过点(45)，且与y=2x +3轴无交点； （2）直线的截距为3(123)．5.已知函数1y x =+与3y x =-+，求： （1）两个函数图象交点P 的坐标．（2）这两条直线与x 轴围成的三角形面积．6.把一次函数的图像向上平移323y x =-，求平移前的函数图像与函数23y x =--题组C 培优拔尖练1.直线31y =+和x 轴、y 轴分别相交于点A 、点B ，以线段AB 为边在第一象限内作等边三角形ABC ，如果在第一象限内有一点P （12m ，）且△ABP 的面积与△ABC 的面积相等，求m 的值．2.函数12y y y =+且12y x m =+，2131y x m =+-． （1）若12y y 与图像的交点的纵坐标为4，求y 关于x 的函数解析式；（2）若（1）中函数y 的图像与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，若将此函数绕A 点顺时针旋转90°后交y 轴于C 点，求直线AC 的解析式．3.如图所示，直线323y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，D 是y 轴上的一点，若将DAB ∆沿直线DA 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处，求直线CD 的解析式．4.直线31y =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt ABC ∆，且90BAC ∠=，如果在第二象限内有一点P （a ，12），且ABP ∆的面积与Rt ABC∆的面积相等，求a 的值．。
一次函数的图像和性质
课题 一次函数的图像与性质1、一次函数的图像的画法（1）画函数图像的三步：列表－描点－连线. （2）一次函数的图象是一条直线。
一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）的图象是一条直线。
一次函数y=kx+b 也称为直线y=kx+b ，这时，我们把一次函数的解析式y=kx+b 称为这一直线的表达式。
（3）因为一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）的图象是一条直线，根据“两点确定一条直线”的基本性质，画一次函数的图象时只需描出图象上的两个点，再作过这两点的直线即可。
2、一次函数的图像的性质（1）一次函数与x 轴交点的纵坐标为0，与y 轴交点的横坐标为0.（2）一次函数111(y k x b k =+、110b k ≠为常数，）与222(y k x b k =+、220b k ≠为常数，）的图像平行时，则12k k =。
反之，当12k k =时，两直线平行，且当12k k =，12b b =时，两直线重合。
（3）当一次函数111(y k x b k =+、110b k ≠为常数，）与222(y k x b k =+、220b k ≠为常数，）的图像的截距相同且不平行时，则12b b =，12k k ≠。
（4）一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）当k>0时函数值随着x 的增大而增大、减小而减小，即该函数为增函数；当k<0时函数值随着x 的增大而减小、减小而增大。
即该函数为减函数。
3、一次函数图像的平移一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）的图象向上平移h 个单位后的函数解析式为y=kx+b+h;向下平移h 个单位后的函数解析式为y=kx+b-h 。
4、一次函数图像经过的象限示意图k 、b 的符号直线y=kx+b 经过的象限增减性一．基础练习：1.一次函数y=3x-6的图像是，它与x轴的交点坐标是，它与y轴的交点坐标是2.将直线y=x向下平移4个单位，得到直线3.将直线y=-3x-5向上平移4个单位，得到直线4.若直线y=3x-5与直线y=kx-4相互平行，则k=5.若直线y=-2x-5与直线y=6x+b相交于y轴上同一点，则b=6. 请你在不同的平面直角坐标系中画出下列函数的图像（1）y=2x+6 （2）1722 y x=+（3）4833y x=--（4）1344y x=--7,做一做：画出函数y=-2x+2 的图像，结合图象回答下列问题：（ 1 ）这个函数中，随着x 的增大，y 将增大还是减小？（ 2 ）当x 取何值时，y=0 ？当y 取何值时，x=0 ？（ 3 ）当x 取何值时，y>0 ？（ 4 ）函数的图像不经过哪个象限？8、完成下列各题：（1）下列函数中，y的值随着x的增大而减小的是（）A.y=2x-7B.y=0.5x+2C.y=(2-1)x+3D.y=-0.3x+1（2）函数y=4x-3中，y的值随着x值的增大而____（3）函数y=(2m-1)x+2的函数值随x的增大而减小，则m的值为______ （4）一次函数y=2x+4的图像上有两点A(3,a)，B(4,b)，请判断a与b的大小（5）y=x+5与y=2x-5的增减性（y 随着x 的增加而增加，还是随着x 的增加而减小）是否一样？（6）y=-2x+5与y=-2x-5的增减性是否一样？（7）A(a,6)和B(b,-2)在函数y=2x-5的图像上，请你判断a ，b 的大小关系 9、已知一次函数2(2)28y k x k =--+，分别根据下列条件求k 的值或k 的取值范围： （1）它的图像经过原点（2）它的图像经过点（0,－2）（3）它的图像与y 轴的交点在x 轴上方 （4）y 随着x 的增大而减小（5）这条直线经过一、二、三象限10、要使一次函数y=-3x+4的函数值大于4，求自变量x 的取值范围。
一次函数图象与性质
一次函数可以用于找到最佳拟 合线，以更好地描述数据的趋 势。
线性回归
一次函数可以用于进行线性回 归分析，以预测未来的数据趋 势。
结论和要点
• 一次函数是数学中最基本的函数之一，具有稳定的线性关系。 • 斜率和截距是一次函数图象的重要特征。 • 平移和缩放操作可以改变一次函数图象的位置和形状。 • 一次函数在实际问题中有广泛的应用，可以帮助解决各种实际情况。
一次函数图象的平移和缩放
通过平移和缩放操作，可以改变一次函数的图象及其性质。
1
平移
平移操作可以改变一次函数图象的位置，例如向左或向右平移。
2
缩放
缩放操作可以改变一Байду номын сангаас函数图象的形状和大小，例如拉伸或收缩。
3
组合操作
平移和缩放操作可以组合使用，以实现更灵活的一次函数图象变换。
一次函数图象的应用
一次函数的图象和性质在实际问题中有许多应用，例如经济学、物理学和工程学等领域。
一次函数图象与性质
一次函数是数学中最基本的函数之一，它具有许多重要的性质和应用。本次 演示将介绍一次函数的定义、图象特点以及与实际问题的关系。
一次函数的定义和表达式
一次函数是指一个自变量的整数次数都是1的函数。通常以y = ax + b的形式表示，其中a和b是常 数。
1 自变量
一次函数的自变量通常表示为x，它可以是任意实数。
经济学
一次函数可以描述供需关 系、市场价格等经济现象。
物理学
一次函数可以描述速度、 位移等物理量与时间的关 系。
工程学
一次函数可以描述电路、 力学系统等工程问题。
一次函数与实际问题的关系
一次函数是解决实际问题的重要工具，它可以帮助我们理解和解决各种实际情况。
一次函数的概念,图像与性质
北辰教育学科老师辅导讲义学员姓名：金宇洋年级：初二辅导科目：数学学科教师：陆军授课日期 3.22 授课时段12：50-14：50授课主题一次函数的概念，图像与性质教学内容知识梳理：第一节知识点1：一次函数的概念：一般地，函数解析式为)0(≠+=k b k b kx y 都为常数，且、叫做一次函数。
当0=b 时，一次函数b kx y +=就成为)0(≠=k k kx y 为常数，叫做正比例函数，常数k 叫做比例系数。
常值函数：函数y=c(c 为常数)定义域：即为x 的取值范围，通常情况下定义域为R 。
(注意在应用题中，通常因为实际情况定义域有范围）第二节知识点2：一次函数的图像：定义域为R ，为一条直线。
定义域不为R ，可能是射线或者线段。
截距：一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在轴上的截距。
为解析式中的b 。
（截距可以为负，距离只能为正）两条一次函数图像的位置关系：设分别为y 1=k 1+b 1,y 2=k 2+b 2当1.k1=k2,b1=b2,两直线重合2.k1=k2,b1≠b2，两直线平行3.k1≠k2,b1=b2两直线交与y 轴同一点4.k1≠k2,b1≠b2两直线相交5.k1+k2=0,b1+b2=0，两直线关于x 轴对称6.k1+k2=0,b1+b2=2b 1=2b 2=2b 2两直线关于y 对称一次函数的平移：原一次函数为y=kx+b,平移后的函数解析式为，：左加右减（针对x)，上加下减（针对b)如何理解，可以通过一个点的平移。
或者新函数与旧函数x 的关系来理解。
一次函数图像与一元一次不等式的关系：一次函数y=kx+b 的值大于或小于0时，就能得到一元一次不等式。
不等式的解集对应的便是函数图像位于x 轴上方或者下方时x 的范围（有时解不等式可以通过函数图像数形结合）*拓展知识点：关于一次函数解析式的几种设法斜率概念：用来评价直线倾斜程度的一个量，大小为一次函数中的k ，求值公式，已知（x1,y1),(x2,y2)在直线上，则直线斜率k=1212x x y y --,图像上为直线与x 轴所成角的tan 值 已知斜率k 和截距b ：斜截式，设直线为y=kx+b已知斜率k 和一点坐标(y o ,x 0)：点斜式，设直线为y-y 0=k(x-x 0)已知两点坐标（y1,x1)(y2,x2):两点式，设直线为121211x x y y x x y y --=--已知x 轴上截距为a,y 轴截距为b.：截距式，设直线为1=+by a x 必要时根据题目条件灵活设解析式，一般设斜截式。
初中数学一次函数的图象和性质
一次函数的图象和性质一、知识要点：1、一次函数：若两个变量x,y存在关系为y=kx+b (k≠0, k,b为常数)的形式，则称y是x的函数。
注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。
2、图象：一次函数的图象是一条直线（1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（- ，0）。
（2）正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过（0，0）和（1，k）的一条直线；一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过（- ，0）和（0，b）的一条直线。
（3）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。
3、一次函数图象的性质：（1）图象在平面直角坐标系中的位置:（2）增减性：k>0时，y随x增大而增大；k<0时，y随x增大而减小。
4、求一次函数解析式的方法求函数解析式的方法主要有三种：一是由已知函数推导，如例题1；二是由实际问题列出两个未知数的方程，再转化为函数解析式，如例题4的第一问。
三是用待定系数法求函数解析式，如例2的第二小题、例7。
其步骤是：①根据题给条件写出含有待定系数的解析式；②将x、y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程，得到待定系数的具体数值；④将求出的待定系数代入要求的函数解析式中。
二、例题举例：例1、已知变量y与y1的关系为y=2y1,变量y1与x的关系为y1=3x+2，求变量y与x的函数关系。
分析：已知两组函数关系，其中共同的变量是y1,所以通过y1可以找到y与x 的关系。
解：∵y=2y1y1=3x+2,∴y=2(3x+2)=6x+4,即变量y与x的关系为：y=6x+4。
例2、解答下列题目（1）（甘肃省中考题）已知直线与y轴交于点A，那么点A的坐标是（）。
（A）（0，–3）（B）（C）（D）（0，3）（2）(杭州市中考题)已知正比例函数，当x=–3时，y=6．那么该正比例函数应为（）。
一次函数的图像与性质
一次函数的图像与性质一次函数，也被称为线性函数，是指一个变量与另一个变量之间的关系可以表示为 y = ax + b 的函数形式，其中 a 和 b 是常数。
本文将探讨一次函数的图像及其相关性质。
I. 一次函数的图像一次函数的图像是一条直线，在直角坐标系中表示为一条斜率为a、截距为 b 的直线。
斜率 a 决定了直线的倾斜方向和角度。
若 a > 0，则直线向右上方倾斜；若 a < 0，则直线向右下方倾斜；若 a = 0，则直线为水平直线。
截距 b 则表示了直线与 y 轴的交点。
II. 一次函数的性质1. 斜率一次函数的斜率 a 表示了直线的倾斜程度。
斜率的绝对值越大，则直线越陡峭；斜率为正值时表示直线上升，为负值时表示直线下降；斜率为零时表示直线水平。
通过斜率，我们可以判断一次函数的增减性。
2. 截距截距 b 表示了一次函数与 y 轴的交点，即当 x = 0 时，函数的取值。
截距的正负决定了直线在 y 轴上的位置，正值表示与 y 轴正向交点在上方，负值则在下方。
截距的大小也影响了直线与坐标轴的交点。
3. 零点一次函数的零点是指函数取值为零的点，也就是使得y = 0 的x 值。
通过求解一次函数的零点，我们可以求得函数与 x 轴的交点。
4. 增减性一次函数的增减性由斜率来决定。
当斜率a > 0 时，函数单调递增；当斜率 a < 0 时，函数单调递减；当斜率 a = 0 时，函数为常数函数，不具有增减性。
5. 定义域与值域一次函数的定义域为所有实数，因为 x 可以取任意实数值；值域则由斜率和截距来决定。
当斜率 a > 0 时，值域为 (-∞, +∞)；当斜率 a < 0 时，值域为(+∞, -∞)；当斜率 a = 0 时，值域只有截距 b。
6. 图像平移一次函数的图像可以通过改变斜率或截距来进行平移变换。
增加或减小截距 b 可以使得图像上下平移，增加或减小斜率 a 则使得图像左右平移。
一次函数概念、图象与性质
描点法步骤：首先确定两个点， 然后通过这两点绘制直线。通常 选择函数与坐标轴的交点作为描
点。
一次函数与x轴交点为(-b/k, 0)， 与y轴交点为(0, b)，其中k为斜
率，b为截距。
斜率对图象影响
斜率k决定了直线的倾斜程度。当k>0时，直线向右上方倾斜；当k<0时，直线向右 下方倾斜。
|k|的大小决定了直线的倾斜角。|k|越大，倾斜角越大，直线越陡峭；|k|越小，倾斜 角越小，直线越平缓。
边际收益分析
利用一次函数描述收益与 销量之间的关系，分析边 际收益。
边际利润决策
根据边际成本和边际收益， 确定最优产量和价格策略。
物理学中运动规律描述
匀速直线运动
通过一次函数表示位移与时间的 关系，描述匀速直线运动规律。
匀变速直线运动
利用一次函数表示速度与时间的关 系，分析匀变速直线运动过程。
自由落体运动
线性关系判断
判断方法
通过观察数据点是否大致分布在一条直线上来判断两个变量之间是否存在线性 关系。
线性关系特点
若两个变量之间存在线性关系，则它们的变化趋势是一致的，即当一个变量增 加时，另一个变量也相应地增加或减少。
02 一次函数图象绘制
直角坐标系中通过在直角坐标系中描点法绘
截距和斜率共同决定了直线的 位置和方向。不同的截距和斜 率组合可以得到不同的直线方 程和图象。
03 一次函数性质分析
单调性
一次函数在其定义域内具有单调性。具体来说，当一次函数的斜率k>0时，函数 在整个定义域内单调递增；当k<0时，函数在整个定义域内单调递减。
一次函数的单调性可以通过其图象直观地反映出来。在平面直角坐标系中，当 k>0时，函数的图象是一条从左下方到右上方的直线，表示函数值随x的增大而 增大；当k<0时，函数的图象是一条从左上方到右下方的直线，表示函数值随x 的增大而减小。
(完整版)一次函数的图像与性质
一次函数的性质和图像目录一、函数的定义（一）、一次函数的定义函数。
（二）、正比例函数的定义二、函数的性质（一）、一次函数的性质（二）、正比例函数的性质三、函数的图像（一）、一次函数和正比例函数图像在坐标上的位置（二）、一次函数的图像1、一次函数图像的形状2、一次函数图像的画法（三）、正比例函数的图像1、正比例函数图像的形状2、正比例函数图像的画法3、举例说明正比例函数图像的画法四、k、b两个字母对图像位置的影响K、b两个字母的具体分工是：（一次项系数）k决定图象的倾斜度。
（常数项）b决定图象与y轴交点位置。
五、解析式的确定（一）一个点坐标决定正比，两个点坐标决定一次（二）用待定系数法确定解析式六、两条函数直线的四种位置关系两直线平行，k1= k2，b1≠b2两直线重合，k1= k2，b1=b2两直线相交，k1≠k2两直线垂直，k1×k2=－1（一）两条函数直线的平行（二）两条函数直线的相交（三）两条函数直线的垂直一次函数、反比例函数中自变量x前面的字母k称为比例系数这一节我们要学习正比例函数和一次函数。
一次函数的解析式是y=kx+b，如果当这个式子中的b=0时，式子就变成了正比例函数y=kx。
因此，正比例函数是一次函数当b=0时的特殊情况。
正是因为正比例函数实际上就是一次函数，所以把正比例函数和一次函数结合在一起来学习。
在正比例函数y=kx和反比例函数y=k/x中，由于函数y与自变量x之间有比例关系，就要在自变量x前面用字母系数k表示它们之间的比例关系，因而字母k就取名为比例系数。
确定了比例系数k就可以直接确定正比例函数或反比例函数的解析式。
但是，在一次函数y=kx+b和二次函数y=ax2+bx+c中，我们从观察解析式就可以看出，函数y与自变量x之间没有相直接对应的比例关系，因此这两种函数自变量x前面的k，就不能叫比例系数，只能叫常数。
若欲确定一次函数或二次函数的解析式时，题意仅已知常数k还不行，还需要其他常数如b、c等常数的协助。
一次函数的图像及性质
一次函数的图象及性质1、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。
⑴ 次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 2、正比例函数和一次函数图像及性质3、一次函数y=kx ＋b 的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：即横坐标或纵坐标为0的点.4、直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系 （1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠（3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k5、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程； （3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.例1：已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示，求函数表达式．例2、直线与x 轴交于点A （-4，0），与y 轴交于点B ，若点B 到x 轴的距离为2，求直线的解析式。
例1:已知一次函数)1()14(+-+=m x m y 。
（1）m 为何值时，y 随x 的增大而减小？（2）m 为何值时，此直线与y 轴交点在x 轴下方？ （3）m 为何值时，此直线不经过第三象限？（4）若1=m ，求这个一次函数与两个坐标轴的交点。
一次函数概念、图象与性质
一次函数
y=kx+b
k 确定直线的方向（斜率）
b 确定直线与y轴的交点位置（截距）
直线y k x b与y轴相交于点（0，b), 、 我们把b叫做直线y k x b在y轴上的截距， 简称截距
已知一次函数 y=(1-2m)x+m+1 , 求满足下列条 件的m的值：
2. 已知直线y=-3x+5,求一次函数的解析式，使这 个函数的图象平行已知直线，且经过点（2，-4）.
已知一次函数与y=2x-3无交点，且截距为-9，
则此函数解析式为________.
3已知一次函数的图象在 y 轴上的截距是－3，且经过点（4，1）
（1）求函数的解析式； （2）求函数图象与坐标轴围成的三角形的面积。
3) 求函数图象与坐标轴的交点A,B坐标．
例２、已知一次函数y=kx+b(k≠0)在x=1时，y=5，且
它的图象与x轴交点的横坐标是６，求这个一次函数的 解析式。 解：一次函数当x=1时，y=5。且它的图象与x轴交点
是（６，０）。由题意得
k b 5 6k b 0
k 1 解得 b 6
正比例函数 y=kx ( k≠0 ) 直线 一三 象限
y随x的增大而增大
反比例函数
k y = x ( k是常数,的增大而减小 (各自象限）
K>0
K<0
二四 象限
y随x的增大而减小
二四 象限
y随x的增大而增大
(各自象限）
一次函数概念
形如y=kx+b(其中k、b是常数，且k≠0）的函数叫 做一次函数。一次函数的定义域是一切实数
解：（1）设一次函数解析式为 y kx 3 依题意， 4k 3 1
一次函数图像和性质
一次函数：增减性和奇偶性
增减性
一次函数的增减性取决于斜率的符号。如果斜率为 正，函数是增加的。如果斜率为负，函数是减少的。
奇偶性
除了常函数外，所有一次函数都是奇函数或偶函数。 当$f(-x) = -f(x)$时，函数是奇函数。当$f(-x) = f(x)$时， 函数是偶函数。
一次函数：应用举例和实际意义
我们可以用$f(x)$或者$y$来替代函数的表示。例如， $f(x) = 3x + 4$可以写成$y = 3x + 4$。
一次函数：图像和性质
图像
一次函数的图像是一条直线。斜率决定了它的倾斜方向和斜率的大小。
斜率和变化率
斜率是直线的倾斜程度。变化率是函数值的变化幅度与对应自变量变化量的比值。
截距和交点
• 在几何学中，一次函数也常用来理解投影和 相似等概念。
1
收入和成本
一次函数可以用来表示公司的收入和成
速度和距离
2
本，从而帮助决策者制定有效的经营战 略。
一次函数也可以用来描述物体的速度和
行程、距离等信息，帮助我们更好地理
解运动规律。们也可以用一次函数来 理解投影和相似等概念。
小结
定义
一次函数是最高项次为1的多 项式函数。
性质
一次函数的图像是一条直线， 具有斜率、截距、增减性和 奇偶性等性质。
应用
一次函数广泛应用于商业、 科学、工程和数学等领域。
总结
一次函数：基础概念
1. 一次函数是最高项次为1的多项式函数。 2. 一次函数的图像是一条直线，具有斜率、截
距、增减性和奇偶性等性质。
一次函数：实际应用
• 一次函数可以用来描述收入和成本，速度和 距离等问题。
一次函数的概念、图象和性质
次函数的概念、图象和性质一次函数的概念一、知识要点1.一次函数的定义：形如y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。
注意：(1)判断一个以x为自变量的函数(以后称关于x的函数)是不是一次函数？从其解析式的形式上看，就是它能否化成关于x的一次二项式即kx+b的形式。
其中一次项系数k必须是不为零的常数，常数项b可以为任何常数。
若k=0，它不是一次函数。
(2)要确定一个一次函数，可利用待定系数法，设y=kx+b为所求，只要依据已知条件求出k、b的值即可。
2.一次函数与正比例函数的关系在一次函数y=kx+b中，当b=0时，即y=kx(其中常数k≠0)是正比例函数。
这时又称y 与x成正比例，且比例系数为k。
y=kx+b(k、b是常数，k≠0)b≠0时，它是一般的一次函数b=0时，它是正比例函数二、例题选讲例1.已知关于变量s、t的关系式为3s+2t=5，(1)若t为自变量，则函数s=____，它是关于t的____次函数；(2)若s为自变量，则函数t=___，它是关于s的___函数；(3)s-1与t-1的关系是_____，它的比例系数是____。
提示：3s+2t=5，◇3(s-1)=-2(t-1)，◇例2.若函数是关于x的一次函数，求k。
并求出这个一次函数。
解：∵函数是关于x的一次函数，当k=1时，函数为y=2x+2∴y=2x+2为所求。
一次函数的图象一、知识要点1.正比例函数y=kx的图象(1)对于正比例函数y=kx，因为当x=0时，y=0;当x≠0时，y/x=k，所以正比例函数y=kx的图象是一条经过原点和(1,k)点的直线，又称为直线y=kx。
例如：正比例函数它的图象是经过原点和点的一条直线。
(2)当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，它的倾斜角是锐角；当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，它的倾斜角是钝角。
k>0：0<k<10°<α<45°K≥145°≤α<90°k<0k<-190°<α<135°-1≤K<0135°≤α<180°2.一次函数y=kx+b的图象(1)一次函数y=kx+b的图象是过(0,b)点且与直线y=kx平行的一条直线。
一次函数的概念、图像与性质
学科教师辅导讲义课 题 一次函数概念、图像及性质 教学内容一、【知识梳理】一次函数知识详解知识点1 一次函数和正比例函数的概念若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=21x 等都是一次函数，y=21x ，y=-x 都是正比例函数.【说明】 （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，b ≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.（3）当b=0，k ≠0时，y=b 仍是一次函数. （4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.探究交流有人说：“正比例函数是一次函数，一次函数也是正比例函数，它们没什么区别．”点拨 这种说法不完全正确．正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数，只有当b=0时，一次函数才能成为正比例函数．知识点2 确定一次函数的关系式根据实际问题中的条件正确地列出一次函数及正比例函数的表达式，实质是先列出一个方程，再用含x 的代数式表示y ．知识点3 函数的图象把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．知识点4 一次函数的图象由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ． 由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-kb，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可.知识点5 一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质（1）k的正负决定直线的倾斜方向；①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；①如图11－18（l）所示，当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；②如图11－18（2）所示，当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；③如图11－18（3）所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；④如图11－18（4）所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．知识点6 正比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．知识点7 点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（x0，y0）必在函数的图象上．例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．知识点8 确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．知识点9 待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数．知识点10 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤 （1）设函数表达式为y=kx+b ；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）； （3）求出k 与b 的值，得到函数表达式．例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式． 解：设一次函数的关系式为y ＝kx+b （k ≠0）， 由题意可知，⎩⎨⎧+-=-+=,3,21b k b k 解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.35,34b k ∴此函数的关系式为y=3534-x ． 【说明】 本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设（根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b ，其中k ，b 是未知的常量，且k ≠0）；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解这个方程（或方程组），求出待定系数k ，b ）；第三步，求（把求得的k ，b 的值代回到“设”的关系式y=kx+b 中）；第四步，写（写出函数关系式）.知识点11 一次函数与一次方程（组）、不等式的关系 解一次方程（组）与不等式问题 一 次 函 数 问 题从“数”的角度 从“形”的角度解一元一次方程 kx ＋b=0 当一次函数y=kx ＋b 的函数值（y值）等于0时求自变量x 的值当直线y=kx ＋b 上点的纵坐标为0时，求这个点的横坐标是什么？（即求直线与x 轴的交点坐标）解一元一次方程 kx ＋b=c 当一次函数y=kx ＋b 的函数值（y 值）等于c 时求自变量x 的值 当直线y=kx ＋b 上点的纵坐标为c 时，求这个点的横坐标是什么？解一元一次不等式kx ＋b ﹥0（或﹤0）当一次函数y=kx ＋b 的函数值（y 值）大于0（或小于0）时求自变量x 的值 当直线y=kx ＋b 上的点的纵坐标大于0（或小于0）时，求这些点的横坐标在什么范围？（即求直线与x 轴的交点坐标的上方（或下方）的部分直线的横坐标的范围）解一元一次不等式kx ＋b ﹥m （或﹤m ）当一次函数y=kx ＋b 的函数值（y 值）大于m （或小于m ）时求自变量x 的值 当直线y=kx ＋b 上的点的纵坐标大于m（或小于m ）时，求这些点的横坐标在什么范围？解一元一次不等式 kx ＋b ﹥mx ＋n 当一次函数y=kx ＋b 的值大于mx＋n 的值时，对应的自变量x 的范围是多少？在相同横坐标的情况下,当直线y=kx ＋b 上的点的纵坐标大于直线y=mx ＋n 上的点的纵坐标时，求这些点的横坐标在什么范围？解二元一次方程组⎩⎨⎧+=+=n mx y b kx y 当一次函数y=kx ＋b 与y=mx ＋n的值相等时，对应的自变量x 的值是多少？这个函数值是多少？ 当直线y=kx ＋b 与直线y=mx ＋n 相交时求交点坐标思想方法小结 ： （1）函数方法． 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．（2）数形结合法．数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．知识规律小结 （1）常数k ，b 对直线y=kx+b(k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b=0时，直线经过原点；当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交．②当k ，b 异号时，即-kb＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b=0时，即-kb=0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即-kb﹤0时，直线与x 轴负半轴相交．③当b ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b=0时，图象经过第一、三象限；当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b=0时，图象经过第二、四象限；当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限．（2）直线y=kx+b （k ≠0）与直线y=kx(k ≠0)的位置关系． 直线y=kx+b(k ≠0)平行于直线y=kx(k ≠0)当b ＞0时，把直线y=kx 向上平移b 个单位，可得直线y=kx+b ； 当b ﹤O 时，把直线y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b ． （3）直线b 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2⇔y 1与y 2相交；②⎩⎨⎧=≠2121b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）； ③⎩⎨⎧≠=2121,b b k k ⇔y 1与y 2平行；④⎩⎨⎧==2121,b b k k ⇔y 1与y 2重合二、【典型例题】例1 已知y-3与x 成正比例，且x=2时，y=7.（1）写出y 与x 之间的函数关系式； （2）当x=4时，求y 的值； （3）当y=4时，求x 的值．已知y 与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y 关于x 的函数关系式是 . 【注意】 y 与x+1成正比例，表示y=k(x+1)，不要误认为y=kx+1.例2 若正比例函数y=（1-2m ）x 的图象经过点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），当x 1﹤x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ ）A ．m ﹤OB ．m ＞0C ．m ﹤21 D ．m ＞21例3 已知直线y=2x+1．（1）求已知直线与y 轴交点M 的坐标；（2）若直线y=kx+b 与已知直线关于y 轴对称，求k ，b 的值．例4 已知y+2与x 成正比例，且x=-2时，y=0． （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）画出函数的图象；（3）观察图象，当x 取何值时，y ≥0？（4）若点（m ，6）在该函数的图象上，求m 的值； （5）设点P 在y 轴负半轴上，（2）中的图象与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，且S △ABP =4，求P 点的坐标．例5 已知一次函数y=（3-k ）x-2k 2+18.（1）k 为何值时，它的图象经过原点？（2）k 为何值时，它的图象经过点（0，-2）? （3）k 为何值时，它的图象与y 轴的交点在x 轴的上方？（4）k 为何值时，它的图象平行于直线y=-x ？（5）k 为何值时，y 随x 的增大而减小？例6 已知直线y=kx+b 经过点（25，0），且与坐标轴围成的三角形的面积为425，求此直线的解析式.例7 （2004·沈阳）某市的A 县和B 县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨，该市的C 县和D 县分别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A 县和B 县．已知C ，D 两县运化肥到A ，B 两县的运费（元／吨）如下表所示．（1）设C 县运到A 县的化肥为x 吨，求总运费W （元）与x （吨）的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案．例8 图11－30表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y （千米）随时间x （分）变化的图象（全程），根据图象回答下列问题．（1）当比赛开始多少分时，两人第一次相遇？ （2）这次比赛全程是多少千米？（3）当比赛开始多少分时，两人第二次相遇？例9 如图11－31所示，已知直线y=x+3的图象与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，把△AOB 的面积分为2：1的两部分，求直线l 的解析式．三、【巩固练习】1.下列一次函数中，y 随着x 增大而减小而的是 （ ）（A ）x y 3= （B ）23-=x y （C ）x y 23+= （D ）23--=x y2.若把直线y=2x －3向上平移3个单位长度，得到直线( ) A ．y=2x B.y=2x －6 C. y=5x －3 D.y=－x －33.直线y=2x+2与x 轴的交点坐标是（ ）A ．（0，2）B ．（2，0） C.（-1，0） D.（0，-1）4. 如图，直线与y 轴的交点是（0，－3）,则当x<0时， A. y<0 B. y<－3 C. y>0 D. y>－35. 已知一次函数y =（m +2）x +（1－m ），若y 随x 的增大而减小，且此函数图象与y 轴的交点在x 轴的上方，则m 的取值范围是（ ） A. m >－2B. m <1C. m <－2D. m <1且m ≠-26. 在数学25+-=x y 中，K ＝ ，b=7.已知正比例函数y ＝（m －1）25m x-的图象在第二、四象限，则m 的值为_________,8.已知函数32)2(3--+=mx m y 是一次函数，则m ＝ ；此图象经过第 象限。
第11节 一次函数的图象和性质
，与 y 轴的截距为﹣ ，
由于该直线不通过第一象限，所以得到：
即
，
由①得到 a 与 b 同号；由②得到 b 与 c 同号．所以 a，b，c 同号． 故选 D
4.设 b＞a，将一次函数 y=bx+a 与 y=ax+b 的图象画在同一平面直角坐标系内，则 有一组 a，b 的取值，使得下列 4 个图中的一个为正确的是（ ）
典例分析：
例 3：（1）直线 y=kx+b 通过第一、三、四象限，则有（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
解：若直线 y=kx+b 通过第一、三、四象限， 则必有 k＞0，b＜0， 故选：B．
（2）若 ac＜0，bc＜0，则直线 ax+by+c=0 的图形只能是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：由题意知，函数的解析式即 y=﹣ x﹣ ，∵ac＜0，bc＜0，∴a•b＞0，
∴﹣ ＜0，﹣ ＞0，故直线的斜率小于 0，在 y 轴上的截距大于 0，
故选 C．
练习：
1．若 a+b=0，则直线 y=ax+b 的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
解：根据题意，得；
当 x=1 时，y=a+b=0，
(4)直线 y＝kx＋b(k≠0)与 x 轴的交点为(－kb，0)，与 y 轴的交点为(0，b)．
典例分析：
例 1：已知函数 y=（2m﹣1）x+1﹣3m，当 m 为何值时．
（1）这个函数为正比例函数； （2）这个函数为一次函数； 解：∵函数 y=（2m﹣1）x+1﹣3m， （3）函数值 y 随 x 的增大而减小（；1）当 1﹣3m=0，即 m= 时，这个函数为正比例函数； （4）这个函数图象与直线 y=x+（1 的2）交当点2m在﹣1x≠轴0，上即．m 时，这个函数为一次函数；
一次函数的概念_图像和性质复习
一次函数的概念，图像和性质一次函数的概念 一般地，解析式形如y=kx+b(k,b 是常数，且0≠k )的函数叫做一次函数。
一次函数的定义域是一切实数。
当b=0时，y=kx （0≠k ）是正比例函数。
一般地，我们把函数y=c （c 为常数）叫做常值函数。
Y=-1,π=y ,2)(=x f 都是常值函数。
二、一次函数的图像1.正比例函数y=kx (k ≠0,k 是常数)的图像是经过O （0，0）和M （1，k ）两点的一条直线（如图13-17）.（1）当k ＞0时，图像经过原点和第一、三像限；（2）k ＜0时，图像经过原点和第二、四像限.2.一次函数y=kx+b (k 是常数，k ≠0)的图像是经过A （0,b ）和B （-kb，0）两点的一条直线，当kb ≠0时，图像（即直线）的位置分4种不同情况：（1）k ＞0,b ＞0时，直线经过第一、二、三像限，如图13-18A （2）k ＞0,b ＜0时，直线经过第一、三、四像限，如图13-18B （3）k ＜0,b ＞0时，直线经过第一、二、四像限，如图13-18C （4）k ＜0,b ＜0时，直线经过第二、三、四像限，如图13-18D3.一次函数的图像的两个特征（1）对于直线y=kx+b(k ≠0),当x=0时,y=b 即直线与y 轴的交点为A （0,b ）,因此b 叫直线在y 轴上的截距.（截距有正负）（2）直线y=kx+b(k ≠0)与两直角标系中两坐标轴的交点分别为A （0，b ）和B （-kb ，0）.4.一次函数的图像与直线方程（1）一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是一条直线，因此y=kx+b(k≠0)也叫直线方程.但直线方程不一定都是一次函数.（2）与坐标轴平行的直线的方程.①与x轴平行的直线方程形如：y=a（a是常数）.a＞0时，直线在x轴上方；a=0时，直线与x轴重合；a＜0时，直线在x轴下方.（如图13-19）②与y轴平行的直线方程形如x=b（b是常数），b＞0时，直线在y轴右方，b=0时，直线与y轴重合；b＜0时，直线在y轴左方，(如图13-20).三、两条直线的关系1.与坐标轴不平行的两条直线 l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b, 若l1与l2相交，则k 1≠k2，其交点是联立这两条直线的方程，求得的公共解; 若l1与l2平行，则k1= k2.四、一次函数的增减性1.增减性如果函数当自变量在某一取范围内具有函数值随自变量的增加（或减少）而增加（或减少）的性质，称为该函数当自变量在这一取值范围内具有增减性，或称具有单调性.2.一次函数的增减性一次函数y=kx+b在x取全体实数时都具有如下性质：（1）k＞0时，y随x的增加而增加；（2）k＜0时，y随x的增加而减小.3.用待定系数法求一次函数的解析式若已知一次函数的图像（即直线）经过两个已在点A（x1，y1）和B(x2，y2)求这个一次函数的解析式，其方法和步骤是：（1）设一次函数的解析式：y=kx+b(k≠0)（2）将A、B两点的坐标代入所设函数的解析式，得两个方程：y1=kx1+b①y2=kx2+b②（3）联立①②解方程组，从而求出k、b值.这一先设系数k、b，从而通过解方程求系数的方法以称为待定系数法.一次函数的图像和性质练习题题组一：1.正比例函数(0)y kx k =≠一定经过 点，经过(1)， ，一次函数(0)y kx b k =+≠经过(0)， 点，(0) ，点． 2.直线26y x =-+与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 。
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一次函数概念、图像及性质
【教学目标】
1. 了解认识一次函数定义、图像，并能根据函数解析式画出图像
2. 理解一次函数的截距概念，会根据直线的表达式指出它在y 轴上的截距
3. 理解、掌握一次函数性质，熟悉图像所经过的象限及y 随x 变化而变化的情况
4. 能运用一次函数的图像及性质解综合型问题
【教学重难点】
1. 根据一次函数的图像确定解析式
2. 掌握一次函数性质，并能灵活运用于解题
3. 能结合一次函数知识点灵活求解综合型问题
【教学内容】
★ 知识梳理
一、概念
定义：解析式形如)0( ≠+=k b kx y 的函数叫做一次函数
二、图像
一次函数的图象满足：（1）形状是一条直线；（2）始终经过（0 , b ）和（k
b -
, 0）两点 三、截距
定义：直线)0( ≠+=k b kx y 与y 轴的交点坐标是) , 0 (b ，截距是b
四、性质
1. 一次函数)0( ≠+=k b kx y ，当0>k 时，函数值y 随自变量x 的值增大而增大；当0<k 时，函数值y 随自变量x 的值增大而减小
2. 象限
（1）当0>k ，且0>b 时，直线)0( ≠+=k b kx y 经过第一、二、三象限
（2）当0>k ，且0<b 时，直线)0( ≠+=k b kx y 经过第一、三、四象限
（3）当0<k ，且0>b 时，直线)0( ≠+=k b kx y 经过第一、二、四象限
（4）当0<k ，且0<b 时，直线)0( ≠+=k b kx y 经过第二、三、四象限
一、概念
例1. 下列关于x 的函数中，是一次函数的是（ ）
（A ）1)1(32+-=x y （B ）x
x y 1+
= （C ）x y 3-= （D ）x y 5-=
例2. 下列各式中，y 与x 成正比例关系的是 ；成一次函数关系的是 （1）x y 43=
（2）x y 2
2-= （3）x y 29-= （4）x y 4= （5）52=+xy （6）765=+y x
例3. 下列说法中，不正确的是（ ）
（A ）一次函数不一定是正比例函数
（B ）不是一次函数就一定不是正比例函数
（C ）正比例函数是特殊的一次函数
（D ）不是正比例函数不一定不是一次函数
例4. 下列说法不正确的是（ ）
（A ）在32--=x y 中，y 是x 的正比例函数
（B ）在x y 21-=中，y 与x 成正比例
（C ）在1=xy 中，y 与x
1成正比例 （D ）在圆的面积公式2r S π=中，S 与2r 成正比例
例5. 已知b kx y +=，当3-=x 时，0=y ；当1=x 时，4=y ，求k 、b 的值
例6. 在同一直角坐标系内画出一次函数1+=x y 与2--=x y 的图像
例7. 下列图像中，不可能是关于x 的一次函数)5(--=m mx y 的图像的是（ ）
（A ） （B ） （C ） （D ）
例8. 已知某一函数图像如图所示，求该函数解析式
例9. 已知直线l 经过点) 8 , 2 (A 和) 2 , 3 (--B
（1）直线l 是哪个函数的图像？求出这个函数的解析式
（2）画出与直线l 关于x 轴对称的直线l '
（3）求直线l '的解析式
例10. 在同一直角坐标系内，直线21+=x k y 、
22+=x k y 和23+=x k y 的位置有什么关系？
例11. 已知直线m x y +=2与y 轴的交点到原点的距离是3，求m 的值
例12. 已知直线l 经过点) 5 , 1 (，且它在y 轴上的截距为3-，求该函数的解析式
例13. 已知一次函数的图像经过点) 3 , 1 (--A ，且与直线12+=x y 都通过y 轴上同一点，求这个一次函数的解析式
四、性质
例14. 已知函数b kx y +=的大致图像如图所示，根据图像指出k 和b 的符号（即比较k 、b 与零的大小）
例15. 下列四个函数中，y 随x 增大而减小的是（ ）
（A ）x y 2= （B ）52+-=x y （C ）x y 3-
= （D ）12-=x y
例16. 直线n mx y +=与直线12+=x y 的交点不可能在（ ）
（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限
例17. 若一次函数1)21(--=x m y 的图像经过点) , (11y x A 和点) , (22y x A ，当21x x <时，21y y >，求m 的取值范围
例18. 已知一次函数k x k y 21)12(-+-=，函数值y 随x 的值的增大而增大，这个函数的图像与y 轴的交点的位置在x 轴的上方还是下方？能否确定这个函数的图像与x 轴交点的位置？
★ 能力训练
1. 已知地面温度是24℃，如果从地面开始每升高1km ，气温下降6℃，那么气温t 与高度h （h > 0）的函数关系大致表示为下图中的（ ）
（A ） （B ） （C ） （D ）
2. 如图，若函数x y -=与x
y 4-
=的图像交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为C ，求△BOC 的面积
3. 如图，已知A 、B 两点分别在x 轴和y 轴的正半轴上，连接AB ，AB = 2AO
（1）如果点B 的坐标是) 6 , 0 (，求点A 的坐标
（2）求线段AB 对应的函数解析式，并指出这个函数的定义域
（3）求原点到线段AB 的距离OH
【课后作业】
一、填空题
1. 若函数23++=x ax y 是一次函数，则a 的取值范围是
2. 已知一次函数3+=kx y 经过点) 6 , 2 (，则k 的值为
3. 函数)13(2+=x y 的图像在y 轴上的截距为
4. 若函数7+-=x y 的函数值大于3，则自变量x 的取值范围是
5. 若点) , 1 (a -和) , 21
(b 都在直线13
2+=x y 上，则a 与b 的大小关系是 6. 若函数m x y +=3的图像不经过第二象限，则m 的取值范围是
二、选择题
7. 如果一次函数b kx y +=的图像经过第一、三、四象限，则k 、b 满足条件（ ）
（A ）0 , 0>>b k （B ）0 , 0<>b k （C ）0 , 0><b k （D ）0 , 0<<b k
8. 在一次函数b kx y +=中，若0 , 0<>b k ，则图像一定不经过（ ）
（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限
9. 在一次函数b kx y +=中，若0 , 0><b k ，则它的大致图像是（ ）
（A ） （B ） （C ） （D ）
10. 已知反比例函数x
k y =的图像如图所示，则一次函数k kx y -=的图像大致是（ ）
（A ） （B ） （C ） （D ）
11. 下列函数中，y 随x 增大而减小的是（ ）
（A ）x y 8= （B ）521+-=x y （C ）x y 2-
= （D ）521+=x y
三、简答题
12. 写出一次函数133+=
x y 的图像与x 轴、y 轴的交点坐标及截距
13. 在同一直角坐标系内画出一次函数12+=x y 与23--=x y 的图像
14. 已知b kx y +=，当1=x 时，2=y ；当5=x 时，3-=y ，求k 、b 的值
15. 已知函数m x y +-=与4-=mx y 的图像的交点在x 轴的负半轴上，求m 的值
16. 已知直线4+=kx y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，如果△AOB 的面积为6，求该直线的解析式
17. 某轮船公司规定乘客随身携带的行李若超过一定质量，需要购买行李票，已知行李票价y （元）是行李质量x （千克）的一次函数，它的图像如图所示
（1）求y 关于x 的函数解析式
（2）旅客最多可免费携带行李多少千克？。