大学课程大一数学线性代数上册28.二次型的规范形与实二次型的正定性课件
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二次型的标准型与规范型.ppt
定理 4.4 任一二次型 f ( x1 , x2 , …, xn ) 都可以通过可逆线性替换化为规范形，且规
范形是唯一的. 推论1 任一实对称矩阵A都与对角矩阵
Ep
合同,其中 1 和－1的个数
Er p
O
共有r个,r
为二次型的秩.
推论 2 两个实对称矩阵合同的充分必要条件
是它们具有相同的正惯指数和秩.
()
A．江南制造总局的汽车
B．洋人发明的火车
C．轮船招商局的轮船
D．福州船政局的军舰
[解析] 由材料信息“19世纪七十年代，由江苏沿江居民 到上海”可判断最有可能是轮船招商局的轮船。
[答案] C
[题组冲关]
1．中国近代史上首次打破列强垄断局面的交通行业是 ( )
A．公路运输
B．铁路运输
C．轮船运输
解析：从图片中可以了解到各国举的灯笼是火车形状， 20世纪初的这一幅漫画正反映了帝国主义掠夺中国铁路 权益。B项说法错误，C项不能反映漫画的主题，D项时 间上不一致。 答案：A
[典题例析] [例2] (2010·福建高考)上海是近代中国茶叶的一个外销
中心。1884年，福建茶叶市场出现了茶叶收购价格与上海
[合作探究·提认知] 电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。 提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展； 政府及各阶层人士的提倡与推动。
范形是唯一的. 推论1 任一实对称矩阵A都与对角矩阵
Ep
合同,其中 1 和－1的个数
Er p
O
共有r个,r
为二次型的秩.
推论 2 两个实对称矩阵合同的充分必要条件
是它们具有相同的正惯指数和秩.
()
A．江南制造总局的汽车
B．洋人发明的火车
C．轮船招商局的轮船
D．福州船政局的军舰
[解析] 由材料信息“19世纪七十年代，由江苏沿江居民 到上海”可判断最有可能是轮船招商局的轮船。
[答案] C
[题组冲关]
1．中国近代史上首次打破列强垄断局面的交通行业是 ( )
A．公路运输
B．铁路运输
C．轮船运输
解析：从图片中可以了解到各国举的灯笼是火车形状， 20世纪初的这一幅漫画正反映了帝国主义掠夺中国铁路 权益。B项说法错误，C项不能反映漫画的主题，D项时 间上不一致。 答案：A
[典题例析] [例2] (2010·福建高考)上海是近代中国茶叶的一个外销
中心。1884年，福建茶叶市场出现了茶叶收购价格与上海
[合作探究·提认知] 电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。 提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展； 政府及各阶层人士的提倡与推动。
《线性代数教学PPT》二次型的正定型
P2
5 2
2 26 0,
6
P3 | A | 80 0,
f 负定.
数
即 (-1)k Pk > 0 (k = 1, 2, 3) = =
基本要求
线
(1)理解二次型的概念,掌握二次型的矩阵表示, 性 了解二次型的秩、合同矩阵与合同变换、惯
性定理等概念.
代
(2)掌握用正交变换化二次型为标准形的方法,
线
若f (x) xT Ax正定,即x Rn , x 0, 恒有xT Ax 0,
性
于是y Rn , y 0,有Cy 0(否则Cy 0,则C 1Cy 0,
即y 0,这与y 0矛盾),因此y Rn , y 0,有
代
yT (CT AC) y (Cy)T A(Cy) 0
线
解
A t 4 0
需
1 0 2
性
P1 1 0,
P2
1
t
t 4 t 2 0,
4
P3 | A | 4 2t 2 0,
代
4 2t2 0
4
t2
0
数
=
2t 2
所以，当 2 t 2 时f 为正定次型
所以,二次型yT (CT AC) y正定.同理可证,当
数
yT (CT AC) y正定时, 有xT Ax正定.
命题1亦表明A与CT AC有相同的正定性.即合同的
=
矩阵有相同的正定性.
=
例 设A, B 都是n 阶正定矩阵. 证明：kA + lB
也是正定矩阵 (k > 0, l > 0).
线性代数 第五章二次型PPT课件
an1
f xAx
a12
a1n x1
a22
a2n
x2
an1
ann xn
aij a ji
二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
设 二 次 型 f 3 x 1 2 6 x 1 x 2 8 x 1 x 3 5 x 2 2 x 2 x 3 x 3 2 求 f的 矩 阵 A ,当 x 1 = 3 , x 2 = 1 , x 3 = - 2时 ， 求 f的 值 。
1 2 1
得特征值
1 10
2 15
可求得的单位特征向量顺次为
0.6
e1
0.8
0 .8
e2
0 .6
P
0.6 0.8
0.8
0.6
经 正 交 变 换 xPy,
f 10y1 215y2 2
1 2 4
A
2
4
2
,
4 2 1
x1
x
x2
x3
试用正交变换化二次型
e2
2 2
( 1 ,0, 2
1 ) 2
e3
3 3
( 2,2 2, 2) 63 6
2
3
1 2
2
6
作正交变换
Pe1
e2
e3
1
3
2
3
0
2
2
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) P (y 1 ,y 2 ,y 3 )
设B为n阶方阵, 求证f xBx的矩阵是A 1 (B B)
显然A是对称矩阵，xRn xAx1(xBx2xBx) 2
xBx(xBx) xBx xAx1(xBxxBx)xBx
f xAx
a12
a1n x1
a22
a2n
x2
an1
ann xn
aij a ji
二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
设 二 次 型 f 3 x 1 2 6 x 1 x 2 8 x 1 x 3 5 x 2 2 x 2 x 3 x 3 2 求 f的 矩 阵 A ,当 x 1 = 3 , x 2 = 1 , x 3 = - 2时 ， 求 f的 值 。
1 2 1
得特征值
1 10
2 15
可求得的单位特征向量顺次为
0.6
e1
0.8
0 .8
e2
0 .6
P
0.6 0.8
0.8
0.6
经 正 交 变 换 xPy,
f 10y1 215y2 2
1 2 4
A
2
4
2
,
4 2 1
x1
x
x2
x3
试用正交变换化二次型
e2
2 2
( 1 ,0, 2
1 ) 2
e3
3 3
( 2,2 2, 2) 63 6
2
3
1 2
2
6
作正交变换
Pe1
e2
e3
1
3
2
3
0
2
2
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) P (y 1 ,y 2 ,y 3 )
设B为n阶方阵, 求证f xBx的矩阵是A 1 (B B)
显然A是对称矩阵，xRn xAx1(xBx2xBx) 2
xBx(xBx) xBx xAx1(xBxxBx)xBx
线性代数—二次型的标准形和规范形PPT课件
问题，等价于该二次型的矩阵 A 合同于一个对角矩阵的问
题。
下面介绍二次型化为标准形的方法。
2
第2页/共33页
1、用拉格朗日配方法化二次型为标准形
拉格朗日配方法的基本步骤： 1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有
x 的乘积项集中，然后配方，再对其余i 的变量同 x样进i 行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
第12页/共33页
1
2
2
1 2 , 2 1 , 3 0 ,
2
0
1
正交化，
3
2 0 1
4 5
2 1 0
1 5
2 4 5
,
再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵
1 3 2 5 2 45
P 2 3 1 5 4 45
2 3
(x1 x2 x3)2 (x2 2x3)2 ,
4
第4页/共33页
f (x1 x2 x3)2 (x2 2x3)2 ,
令
y1 y2
x1 x2 x2 2x3
x3
x1 x2
y1 y2 y2 2 y3
y3
y3 x3
x3 y3
x1 1 1 1 y1 x2 0 1 1
1 1
1
A 1 3
1
1
11 11 1 3
1
1
1
1 13 01 1
0 0
0 10
1 1 11 11
0
1 0 10
,
1
1 1 11
,
1
2
1,
E
A
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 11
0 0 0
题。
下面介绍二次型化为标准形的方法。
2
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1、用拉格朗日配方法化二次型为标准形
拉格朗日配方法的基本步骤： 1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有
x 的乘积项集中，然后配方，再对其余i 的变量同 x样进i 行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
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1
2
2
1 2 , 2 1 , 3 0 ,
2
0
1
正交化，
3
2 0 1
4 5
2 1 0
1 5
2 4 5
,
再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵
1 3 2 5 2 45
P 2 3 1 5 4 45
2 3
(x1 x2 x3)2 (x2 2x3)2 ,
4
第4页/共33页
f (x1 x2 x3)2 (x2 2x3)2 ,
令
y1 y2
x1 x2 x2 2x3
x3
x1 x2
y1 y2 y2 2 y3
y3
y3 x3
x3 y3
x1 1 1 1 y1 x2 0 1 1
1 1
1
A 1 3
1
1
11 11 1 3
1
1
1
1 13 01 1
0 0
0 10
1 1 11 11
0
1 0 10
,
1
1 1 11
,
1
2
1,
E
A
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 11
0 0 0
线性代数 正定二次型 ppt课件
, a110,
a11 a21
a12 0, a22
0;
an1 ann
对称矩阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶
顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正,即
a11 a1r
1r
0, r1,2, ,n.
ar1 a判别二次型
f x 1 , x 2 , x 3 5 x 1 2 x 2 2 5 x 3 2 4 x 1 x 2 8 x 1 x 3 4 x 2 x 3
2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法： (1)定义法； (2)顺次主子式判别法； (3)特征值判别法.
3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导．
推 论 1 二 次 型 正 定 的 充 要 条 件 是 它 的 标 准 型 为
fX = y 1 2+ y 2 2+ y n 2
推论2 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的
特征值全为正．
推论3 正定二次型的矩阵行列式必大于零.
定理3 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的
各阶顺序主子式全为正，即
a11 a1n
P205 ex4 设A为正定矩阵，证明A1与An也是正定矩阵。 证明: 因为A是正定矩阵，则A是对称矩阵,且A的特征值 都是正数.则A1与An也是对称矩阵, 且它们的特征值都 是正数.由定理它们为正定矩阵。
P 205 ex 2 设 A 为对称矩阵，证明当 t充分大时， tI A 是正定矩阵。 证明：因为 A为对称矩阵， A可对角化，存在可逆 矩阵 P，使得，
奇数阶顺序主子式为负而偶数阶顺序主子式为正即判别二次型xzxy22211211大家学习辛苦了还是要坚持大家学习辛苦了还是要坚持继续保持安静继续保持安静是a的特征值gx为任一多项式则g是ga的特征值
线性代数上25规范形与正定性
正定矩阵的性质 1. 可逆线性替换不改变二次型的正定性. 2. 实对称阵 A 正定 ⇔ A 的特征值都大于0. 3. n 元实二次型正定 ⇔ 正惯性指数 p = n. 4. 实对称阵 A 正定 ⇔ A 与 I 相合. 5. 实对称阵 A 正定 ⇔ A = CTC, 其中 C 可逆. 6. 正定矩阵的行列式大于零. 反之不一定成立.
P T AP = diag ( I p , − I r − p , 0).
5
二、实二次型的正定性 正定二次型的定义 定义1 设 Q(α) = XTAX 是实二次型, 若对任何非零向量 α 都有 Q(α) > 0, 则称这个实二次型 Q(α) 为正定二次型. 正定二次型的矩阵称为正定矩阵.
2 2 2 例如 Q( x1 , x 2 ,L , x n ) = x1 + x 2 + L + x n 是正定二次型. 2 Q( x1 ,L , x n ) = x1 + L + x r2 , r < n, 不是正定二次型.
例5 设 A∈Mm,n(R), 且 A 的秩为 n, 证明 ATA 正定. 证明 由 (ATA)T = ATA 知 ATA 是 n 阶实对称阵, 以 ATA 为矩阵构造二次型 XTATAX, 因为 XTATAX = (AX)TAX ≥ 0, 且 (AX)TAX = 0 ⇔ AX = 0. 由 r(A) = n 知齐次线性方程组 AX = 0 只有零解. 从而有 AX = 0 ⇔ X = 0, 即 (AX)TAX = 0 ⇔ X = 0. 故 XTATAX 为正定二次型, ATA为正定矩阵.
(2)
(3)
形如(3)式的二次型称为复系数二次型的规范形. 显然 复系数二次型的规范形是唯一的, 其中 r 由二次型的 秩唯一确定, 因此有定理1. 定理1 任意一个复系数的二次型, 总可经过一个适当的 可逆线性替换, 化成规范形, 规范形是唯一的. 复二次型的规范形中非零项的个数 r 是一个不变量, 称为二次型的秩. ⎡ I r 0⎤ 推论 任意一个复对称矩阵相合于 ⎢ ⎥ , 其中 r 是对 ⎣ 0 0⎦ 称阵的秩.
第27讲.二次型的规范形与实二次型的正定性
2 2 2 2 X T AX Z T P T APZ z1 z2 z2 z z p p1 r 2 2 2 2 X T AX U T T T ATU u12 u2 uq uq 1 ur
(7) (8)
我们要证明 p = q. 用反证法, 不妨设 p < q. 分析: 如果能 选择 X 0, 使得 z1 =…= zp= 0, uq+1 = …= un = 0, 就可以 推出矛盾. 注意到 X = PZ = TU Z = P-1X, U = T-1X. 只 要令 z1 =…= zp= 0, uq+1 = …= un= 0, 就可以得到关于 X 的 4
2
对于一个实系数的二次型 Q() 若它的秩为 r,
那么经
过适当的可逆线性替换, 化成类似(1)那样的标准形, 区 别在于系数 di 是实数. 由于负实数的平方根不再是实数, 为了表达方便, 不妨设标准形如下:
2 2 2 2 d1 y1 d 2 y2 d p y2 d y d y p p 1 p 1 r r
8
例4 n 元实二次型 2 2 2 Q ( x1 , , xn ) x1 a1 x2 x2 a2 x3 xn an x1 当 a1, a2 an 满足什么条件时是正定的. y1 x1 a1 x2 y x a x 2 2 2 3 解 令 则 Q ( x1 , , xn ) y12 y2 2 yn 2 y1 x1 a1 x2 yn xn an x1 y x a x 2 2 2 3 n +1 是可逆的线 若 (-1) a1a2an +1 0, 则 性替换, 故 Q(X) 是正定的. yn xn an x1 x1 a1 x2 0 x a x 0 2 2 3 n +1 若 (-1) a1a2an +1 = 0, 则 有非零解, 故 xn an x1 0 9 Q(X) 此时是半正定的, 但不是正定的.
(7) (8)
我们要证明 p = q. 用反证法, 不妨设 p < q. 分析: 如果能 选择 X 0, 使得 z1 =…= zp= 0, uq+1 = …= un = 0, 就可以 推出矛盾. 注意到 X = PZ = TU Z = P-1X, U = T-1X. 只 要令 z1 =…= zp= 0, uq+1 = …= un= 0, 就可以得到关于 X 的 4
2
对于一个实系数的二次型 Q() 若它的秩为 r,
那么经
过适当的可逆线性替换, 化成类似(1)那样的标准形, 区 别在于系数 di 是实数. 由于负实数的平方根不再是实数, 为了表达方便, 不妨设标准形如下:
2 2 2 2 d1 y1 d 2 y2 d p y2 d y d y p p 1 p 1 r r
8
例4 n 元实二次型 2 2 2 Q ( x1 , , xn ) x1 a1 x2 x2 a2 x3 xn an x1 当 a1, a2 an 满足什么条件时是正定的. y1 x1 a1 x2 y x a x 2 2 2 3 解 令 则 Q ( x1 , , xn ) y12 y2 2 yn 2 y1 x1 a1 x2 yn xn an x1 y x a x 2 2 2 3 n +1 是可逆的线 若 (-1) a1a2an +1 0, 则 性替换, 故 Q(X) 是正定的. yn xn an x1 x1 a1 x2 0 x a x 0 2 2 3 n +1 若 (-1) a1a2an +1 = 0, 则 有非零解, 故 xn an x1 0 9 Q(X) 此时是半正定的, 但不是正定的.
线性代数—二次型的标准形和规范形课件
题目3
已知二次型$f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 4x_2^2 + 4x_3^2 + 4x_1x_2 - 4x_1x_3$，求其标准形。
解答部分
答案3：略
答案2：略
答案1：略
01
03 02
THANKS
感谢您的观看
详细描述
二次型可以用矩阵表示，通过将二次型中的系数排列成一个矩阵，可以方便地 研究二次型的性质和变化。这种矩阵称为二次型的矩阵表示。通过矩阵运算， 可以方便地计算二次型的值、求导数、求解方程等。
二次型的性质
总结词
二次型具有一些重要的性质，如对称性、正定性、负定性等，这些性质决定了二次型在数学和工程领域的应用价 值。
二次型用于描述物理系统的能量关系，如弹簧振荡器、谐振腔等系统的能 量形式。
二次型在物理学中用于建立数学模型，如线性方程组、微分方程等，以解 决实际问题。
二次型在经济学中的应用
01
二次型在经济学中常用于描述成本、收益和利润等 经济量之间的关系。
02
二次型用于描述经济系统的最优化问题，如生产、 消费和投资的最优配置问题。
特征值与特征向量
总结词
特征值和特征向量是二次型的重要属性 ，它们可以通过线性变换来获得。
VS
详细描述
特征值是二次型在某个特定变换下的不变 值，而特征向量则是与该特征值对应的向 量。通过特征值和特征向量，可以进一步 了解二次型的性质和结构。例如，特征值 可以用于判断二次型的正定性、负定性或 零定性，而特征向量可以用于构建二次型 的标准形。
详细描述
二次型具有对称性，即对于任意实数$x, y$，都有$f(x, y) = f(y, x)$。此外，二次型还具有正定性、负定性等性 质，这些性质决定了二次型在数学和工程领域的应用价值。例如，在物理学中，二次型用于描述物体的运动状态 和受力情况；在经济学中，二次型用于描述成本和收益的关系等。
已知二次型$f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 4x_2^2 + 4x_3^2 + 4x_1x_2 - 4x_1x_3$，求其标准形。
解答部分
答案3：略
答案2：略
答案1：略
01
03 02
THANKS
感谢您的观看
详细描述
二次型可以用矩阵表示，通过将二次型中的系数排列成一个矩阵，可以方便地 研究二次型的性质和变化。这种矩阵称为二次型的矩阵表示。通过矩阵运算， 可以方便地计算二次型的值、求导数、求解方程等。
二次型的性质
总结词
二次型具有一些重要的性质，如对称性、正定性、负定性等，这些性质决定了二次型在数学和工程领域的应用价 值。
二次型用于描述物理系统的能量关系，如弹簧振荡器、谐振腔等系统的能 量形式。
二次型在物理学中用于建立数学模型，如线性方程组、微分方程等，以解 决实际问题。
二次型在经济学中的应用
01
二次型在经济学中常用于描述成本、收益和利润等 经济量之间的关系。
02
二次型用于描述经济系统的最优化问题，如生产、 消费和投资的最优配置问题。
特征值与特征向量
总结词
特征值和特征向量是二次型的重要属性 ，它们可以通过线性变换来获得。
VS
详细描述
特征值是二次型在某个特定变换下的不变 值，而特征向量则是与该特征值对应的向 量。通过特征值和特征向量，可以进一步 了解二次型的性质和结构。例如，特征值 可以用于判断二次型的正定性、负定性或 零定性，而特征向量可以用于构建二次型 的标准形。
详细描述
二次型具有对称性，即对于任意实数$x, y$，都有$f(x, y) = f(y, x)$。此外，二次型还具有正定性、负定性等性 质，这些性质决定了二次型在数学和工程领域的应用价值。例如，在物理学中，二次型用于描述物体的运动状态 和受力情况；在经济学中，二次型用于描述成本和收益的关系等。
线性代数 正定二次型ppt课件
2. 若A, B均为n阶正定矩阵,则A B也是 正定矩阵.
性质： （Байду номын сангаас） 设λ０ 是Ａ的特征值， ｇ（ｘ）为任一多项式， 则ｇ（λ０） 是ｇ（Ａ）的特征值。（用定义证）
（２） 若Ａ可逆，则Ａ的的特征值均非零。
且若λ０ 是Ａ的特征值，则
１ λ０
为Ａ－１ 的特征值。
3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导．
定理2之证明 设可逆变换x Cy使 n f x f Cy ki yi2.
充分性
i 1
设 k i 0 i 1,,n. 任给 x 0,
则 y C -1 x 0, 故
是否正定.
解 用特征值判别法.
二次型的矩阵为
2 A 0
0 2 4 0 ,
2 0 5
令 I A 0 1 1, 2 4, 3 6.
即知 A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
例3 判别二次型
f 5 x2 6 y2 4 z2 4xy 4xz
f
x
n
ki
y
2 i
0.
必要性
i 1
假设有 ks 0, 则当y es (单位坐标向量)时,
f Ces ks 0.
显然 Ces 0, 这与 f 为正定相矛盾.
故 ki 0i 1,,n.
P
1
P
n
n t
所以A的特征值为1 t，2 t，n t，当t充分大时，
它们全大于零，所以tI A是正定矩阵。
四、小结
性质： （Байду номын сангаас） 设λ０ 是Ａ的特征值， ｇ（ｘ）为任一多项式， 则ｇ（λ０） 是ｇ（Ａ）的特征值。（用定义证）
（２） 若Ａ可逆，则Ａ的的特征值均非零。
且若λ０ 是Ａ的特征值，则
１ λ０
为Ａ－１ 的特征值。
3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导．
定理2之证明 设可逆变换x Cy使 n f x f Cy ki yi2.
充分性
i 1
设 k i 0 i 1,,n. 任给 x 0,
则 y C -1 x 0, 故
是否正定.
解 用特征值判别法.
二次型的矩阵为
2 A 0
0 2 4 0 ,
2 0 5
令 I A 0 1 1, 2 4, 3 6.
即知 A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
例3 判别二次型
f 5 x2 6 y2 4 z2 4xy 4xz
f
x
n
ki
y
2 i
0.
必要性
i 1
假设有 ks 0, 则当y es (单位坐标向量)时,
f Ces ks 0.
显然 Ces 0, 这与 f 为正定相矛盾.
故 ki 0i 1,,n.
P
1
P
n
n t
所以A的特征值为1 t，2 t，n t，当t充分大时，
它们全大于零，所以tI A是正定矩阵。
四、小结
线性代数课件：第六章实二次型
线性代数课件第六章实二次型
目录 Contents
• 实二次型的定义与性质 • 实二次型的标准型 • 实二次型的正定性 • 实二次型与矩阵的关系 • 实二次型的几何意义
01
实二次型的定义与性质
定义
实二次型
对于一个实数域上的线性空间V，如果存在一个由V上的线性函数f组成的双线 性函数Q，使得对于V中的任意元素x和y，有Q(x,y)=f(x)*f(y)，则称Q为V上的 一个实二次型。
实二次型的正定性的应用
判断矩阵的正定性
通过判断矩阵对应的二次型是否正定，可以确定矩阵的正定性。
判断向量组的线性无关性
如果一个向量组在正定二次型下线性无关，则该向量组一定是线性 无关的。
优化问题
在优化问题中，正定二次型常常被用作目标函数的约束条件，以保 证优化问题的解是唯一的。
04
实二次型与矩阵的关系
实二次型的性质
实二次型的矩阵表示
实二次型可以表示为一个矩阵和向量 的乘积，其中矩阵是二次型中各项系 数的矩阵，向量是变量构成的向量。
实二次型具有对称性，即对于任意两 个变量x和y，x和y的系数相等。
实二次型的标准型转换
线性变换
通过线性变换可以将实二次型转 换为标准型。线性变换是通过一 个可逆矩阵左乘原二次型矩阵得
二次型的矩阵表示
对于任意向量x=[x1,x2,...,xn]^T，如果将f(x)表示为矩阵A与向量x的乘积形式 f(x)=Ax，那么二次型Q(x,y)可以表示为Q(x,y)=x^TAy。
性质
实对称性
实二次型总是实对称的，即对于 任意向量x和y，有Q(x,y)=Q(y,x)
。
正定性
如果对于所有的非零向量x，都有 Q(x,x)>0，则称实二次型为正定的 。
目录 Contents
• 实二次型的定义与性质 • 实二次型的标准型 • 实二次型的正定性 • 实二次型与矩阵的关系 • 实二次型的几何意义
01
实二次型的定义与性质
定义
实二次型
对于一个实数域上的线性空间V，如果存在一个由V上的线性函数f组成的双线 性函数Q，使得对于V中的任意元素x和y，有Q(x,y)=f(x)*f(y)，则称Q为V上的 一个实二次型。
实二次型的正定性的应用
判断矩阵的正定性
通过判断矩阵对应的二次型是否正定，可以确定矩阵的正定性。
判断向量组的线性无关性
如果一个向量组在正定二次型下线性无关，则该向量组一定是线性 无关的。
优化问题
在优化问题中，正定二次型常常被用作目标函数的约束条件，以保 证优化问题的解是唯一的。
04
实二次型与矩阵的关系
实二次型的性质
实二次型的矩阵表示
实二次型可以表示为一个矩阵和向量 的乘积，其中矩阵是二次型中各项系 数的矩阵，向量是变量构成的向量。
实二次型具有对称性，即对于任意两 个变量x和y，x和y的系数相等。
实二次型的标准型转换
线性变换
通过线性变换可以将实二次型转 换为标准型。线性变换是通过一 个可逆矩阵左乘原二次型矩阵得
二次型的矩阵表示
对于任意向量x=[x1,x2,...,xn]^T，如果将f(x)表示为矩阵A与向量x的乘积形式 f(x)=Ax，那么二次型Q(x,y)可以表示为Q(x,y)=x^TAy。
性质
实对称性
实二次型总是实对称的，即对于 任意向量x和y，有Q(x,y)=Q(y,x)
。
正定性
如果对于所有的非零向量x，都有 Q(x,x)>0，则称实二次型为正定的 。
线性代数课件-正定二次型 15页PPT文档
是否正定.
解
fx1,x2,x3的矩阵 52 为 12
4 2
,
4 2 5
它的顺序主子式
50,
5
2 10,
5 2
2 4 1 2 10,
2 1
4 2 5
故上述二次型是正定的.
例2 判别二次型 f 5 x 2 6 y 2 4 z 2 4 x 4 y xz
第二节 正定二次型
一、正(负)定二次型的概念
定义1 设有实二次f型 (x) xTAx,如果对任何
x 0,都有fx0显然f00,则称f为正定二
次 型,并 称对 称 矩 A是 阵正定;的 如 果对 任x何 0 都有f(x) 0,则称f为负定二次 ,并型称对称矩阵 A是负定.的
例如 fx24y21z6 2 为正定二次型
fx1 23x2 2
为负定二次型
二、正(负)定二次型的判别
定理 1 实二次f 型xT Ax为正定的充分必要条
件是 :它的标准n形 个的 系数全.为正
定理2 对称矩阵 A为正定的充分必要条件是：A
的各阶主子式为正，即
a11 a1n
, a110,
a11 a21
a12 0, a22
0;
an1 ann
正定矩阵具有以下一些简单性质
1.设 A 为正定,则 实 A T,A 对 1,A 称 均阵 为 定矩 ; 阵
2.若 A ,B 均n 阶 为正,则 定 A B 也 矩是 阵正 矩. 阵
例1 判别二次型
f x 1 , x 2 , x 3 5 x 1 2 x 2 2 5 x 3 2 4 x 1 x 2 8 x 1 x 3 4 x 2 x 3
线性代数二次型及标准形演示文稿
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 17 2 2
A 2 14 4 2 4 14
17 2 2
A E 2 14 4 182 9
2 4 14
第二十六页，共32页。
从而得特征值 1 9, 2 3 18.
2．求特征向量
将1 9代入A E x 0,得基础解系
说明
1. 二次型经可逆变换 x Cy后,其秩不变, 但 f
的矩阵由A变为B C T AC; 2. 要使二次型f经可逆变换 x Cy变成标准形,
就是要使
yT CT ACy k1 y12 k2 y22 kn yn2
k1
y1
( y1, y2 ,, yn)
k2
y2
,
kn yn
2．求特征向量
当1 3时,解方程( A 3E )x 0,
第二十一页，共32页。
3
(
A
3
E
)
1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1
1
1 3
1
1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1
1
1 3
1 1 1 1
1 1 1 1
0 0 0
2 2 2
2 2 2
0
0 4
0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1
(
A
E
)
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 11
0 0 0
00 00 00
0
0 0
第二十三页，共32页。
1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0
00 00 00
0 0 0
0 0 0
A 2 14 4 2 4 14
17 2 2
A E 2 14 4 182 9
2 4 14
第二十六页，共32页。
从而得特征值 1 9, 2 3 18.
2．求特征向量
将1 9代入A E x 0,得基础解系
说明
1. 二次型经可逆变换 x Cy后,其秩不变, 但 f
的矩阵由A变为B C T AC; 2. 要使二次型f经可逆变换 x Cy变成标准形,
就是要使
yT CT ACy k1 y12 k2 y22 kn yn2
k1
y1
( y1, y2 ,, yn)
k2
y2
,
kn yn
2．求特征向量
当1 3时,解方程( A 3E )x 0,
第二十一页，共32页。
3
(
A
3
E
)
1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1
1
1 3
1
1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1
1
1 3
1 1 1 1
1 1 1 1
0 0 0
2 2 2
2 2 2
0
0 4
0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1
(
A
E
)
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 11
0 0 0
00 00 00
0
0 0
第二十三页，共32页。
1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0
00 00 00
0 0 0
0 0 0
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这就是说任何一个二次型的矩阵的秩在二次型化成标准
形的过程中是一个不变量. 我们称二次型的矩阵的秩为
二次型的秩. 于是二次型的秩是个不变量.
对于一个复系数的二次型Q(), 若它的秩为 r, 那么经过
适当的可逆线性替换, 化成标准形:
d1 y12 d2 y22 L dr yr2
(1)
其中 di C,di 0, i 1, 2,L , r.
线性代数（1）
第二十八讲 清华大学数学科学系
1
第二十八讲 二次型的规范形与实二次型的正定性
一、二次型惯性定理与规范形
二次型的标准形不唯一.
同一个二次型的不同的标准形之间有什么关系?
二次型的标准形中有哪些是反映二次型的本质的不变量?
一个二次型经过可逆线性替换化做另一个二次型时, 这
两个二次型的矩阵的秩是相同的.
例1 实对称矩阵满足 A2-3A+2I = 0, 证明 A 是正定矩阵.
证明 设 是 A 的任意一个特征值, X 是 所属的特征向 量, 则 AX = X, 所以 A2X = A(X) = AX = 2X, 利用已知条件 A2-3A+2I = 0, 可知 (2-3+2)X = 0, 因为 X 为特征向量，所以 X 0, 故 2-3+2 = 0, 所以 = 2, 或 = 1. 由正定矩阵的性质2可知 A 是正定矩阵. 例2 设 A 是正定矩阵, 则存在正定阵 B 满足 B2 = A. 证明 由书上第222页定理6.14可知存在正交阵 Q 使得 A = QTDQ, 其中 D 是对角线元素为 A 的所有特征值的对 角矩阵, 由正定矩阵的性质2可知 D 的对角线上的所有 数为正数, 所以存在对角线上数均为正数的对角矩阵 F 使得 F2 = D, 所以 A = QTDQ = QTFQQTFQ = B2, 这里 B = QTFQ 为正定矩阵.
X T AX
ZT PT APZ
z12 z22
L
z
2 p
z2 p1
L
zr2
(7)
X T AX
UTT T ATU
u12 u22 L
uq2
u2 q1
L
ur2
(8)
我们要证明 p = q. 用反证法, 不妨设 p < q. 分析: 如果能
选择 X 0, 使得 z1 =…= zp= 0, uq+1 = …= un = 0, 就可以 推出矛盾. 注意到 X = PZ = TU Z = P-1X, U = T-1X. 只
的可逆线性替换, 化成规范形, 规范形是唯一的. 即: 规
范形(6)中的参数 r, p 是唯一确定的. 规范形中的 p 称为正惯性指数, r-p 为负惯性指数;
p-(r-p) = 2p-r 符号差.
证明 实二次型 Q() = XTAX 规范形的存在性可由标准型 存在性得到. 下证唯一性. 设 Q() = XTAX 经过可逆线性 替换 X = PZ 和 X = TU 分别把 Q() 化为如下规范形:
的可逆线性替换, 令
(4)
作类似(2)式
yi
1 di zi ,
i 1, 2,L , r,
yi
zi ,
i r 1,L , n,
得到
z12
z22
L
z
2 p
z2 p1
L
zr2
形如(6)式的二次型称为实二次型的规范形.
于是有如下惯性定理.
(5) (6)
4
定理2 任意一个实系数的二次型, 总可以经过一个适当
1. 可逆线性替换不改变二次型的正定性.
2. 实对称阵 A 正定 A 的特征值都大于0.
3. n 元实二次型正定 正惯性指数 p = n.
4. 实对称阵 A 正定 A 与 I 相合.
5. 实对称阵 A 正定 A = CTC, 其中 C 可逆.
6. 正定矩阵的行列式大于零. 反之不一定成立.
7
要令 z1 =…= zp= 0, uq+1 = …= un= 0, 就可以得到关于 X 的5
一个齐次方程组, 证明其有非零解就行了.
令 B 是由 P-1 的前 p 行和 T-1 的后 n-q 行组成的矩阵, 则
z1 =…= zp= 0, uq+1 = …= un= 0 即 BX = 0. 如果 p < q, 则 BX = 0 含有 p+n-q 个方程, 而 p+n-q < n. 所以 BX = 0
8
例3 设 A 是 n 阶正定矩阵, B 是 n 阶实对称矩阵, 则存 在可逆矩阵 P 使得 PTAP = I, PTBP 为对角阵. 证明 由正定矩阵的性质5可知存在可逆矩阵 C, 使得 CTAC = I, D = CTBC 仍为实对称矩阵, 由书上P.222定理 6.14可知存在正交阵 Q 使得 QTDQ = diag{1, 2,, n}, 这里 1, 2,, n 是 D 的所有特征值. 记 P = CQ, 则 P 是可逆矩阵 P, 且 PTAP = I, PTBP = diag{1, 2,, n},
有非零解 X0. 由(7)(8)可知 X0TAX0 既 0 又 > 0, 矛盾!
Ip
推论 任意实对称矩阵相合于对角阵
Ir p
,
0
或者说 AMn(R), 若 AT = A, 则存在一个可逆矩阵
PMn(R) 使得
PT AP diag(I p, Irp,0).
6
二、实二次型的正定性
正定二次型的定义
过适当的可逆线性替换, 化成类似(1)那样的标准形, 区
别在于系数 di 是实数. 由于负实数的平方根不再是实数, 为了表达方便, 不妨设标准形如下:
d1 y12 d2 y22 L
dp
y
2 p
d p1
y2 p1
L
dr yr2
其中 diR, 且 di > 0, i = 1, 2,…, n. 于是,
2
由于 di 是非零复数, 再作如下可逆线性替换把系数 di
化作1. 令
yi
1 di zi ,
i 1, 2,L , r,
(2)
yi
zi ,
i r 1,L , n,
于是式(1)化作 z12 z22 L zr2
(3)
形如(3)式的二次型称为复系数二次型的规范形. 显然
复系数二次型的规范形是唯一的, 其中 r 由二次型的
秩唯一确定, 因此有定理1.
定理1 任意一个复系数的二次型, 总可经过一个适当的
可逆线性替换, 化成规范形, 规范形是唯一的.
复二次型的规范形中非零项的个数 r 是一个不变量,
称为二次型的秩.
推论
任意一个复对称矩阵相合于
Ir 0
0 0 ,
其中
r
是对
称阵的秩.
3
对于一个实系数的二次型 Q() 若它的秩为 r, 那么经
定义1 设 Q() = XTAX 是实二次型, 若对任何非零向量
都有 Q() > 0, 则称这个实二次型 Q() 为正定二次型.
正定二次型的矩阵称为正定矩阵.
例如
Q( x1 , x2 ,
,
xn )
x12
x
2 2
xn2
是正定二次型.
Q( x1 ,
, xn )
ห้องสมุดไป่ตู้x12
x
2 r
,
r
n,
不是正定二次型.
正定矩阵的性质