抛物线知识点全面总结及经典例题

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l
· N M ·F
过F做直线FK垂直于直线l，垂足为K。以直线KF为x
轴，线段KF的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直
角坐标系xOy。
y
设︱KF︱= p
则F（
p 2
，0），l：x = -
p 2
设动点M的坐标为（x，y），
由定义可知，
l
· N M ·x
Ko F
(xp)2y2 xp
2
2
化简得 y2 = 2px（p＞0）
赵州桥
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复习回顾：
我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何 特征都：可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条
定直线距离的比是常数e的点的轨迹.
(其中定点不在定直线上)
(1)当0<e<1时,是椭圆; (2) 当e＞1时，是双曲线;
l M
·F
l M
F·
l
·M
·F
0＜e ＜1
e＞1
e=1
那么,当e=1时，它又是精品什课件么曲线 ？
电脑演示
点M 随着K 运动的过程中, 始终有 | MF || MK |,即点 M 到定点F的距离与它到 定 直 线 l的 距 离 相 等.
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定义:
平面内与一个定点F和一条定直线l(l l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫
做抛物线。
N
定点F叫做抛物线的焦点。
一般地，我们把顶点在原点、焦点F 在坐标
轴上的抛物线的方程叫做抛物线的标准方程.
但是，一条抛物线，由于它在坐标平面内的位
置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还
有其它形式.
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填表：抛物线标准方程的四种不同形式
图形
y
oF x ly
l
Fo
x
y
F
o
x
l
y
ol
F
x
标准方程
y2=2px (p>0)
y2=－2px (p>0)
的焦点, 以Fx为始边,FM为终边的角xFM60o,求
FM .
y
M
4
OF
x
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例3.点M与点F(4,0)的距离比它到直线 l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.
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二 次 函 数 y a x 2a 0 的 图 像 为 什 么 是 抛 物 线 ?
指 出 它 的 焦 点 坐 标 ,准 线 方 程 .
当y=0时,x=0, 因此 抛物线的顶点就是 坐标原点（0，0）。
y P(x,y)
oF ( p ,0) x
2
注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有
两个顶点不同。
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4、离心率
抛物线上的点 与焦点的距离和它到准 线的距离 之比，叫做 抛物线的离心率，由抛 物线的定义，可知e=1。
线方程； (3)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2)，求它的标准方程
． 解：（1）因为焦点在x轴的正半轴上，p=3，所以焦点坐
标是 ( 3
2
,0
)
，准线方程是 x
3 2
.
（2）因为抛物线的标准方程 x 2 1 y，焦点在y轴的正
半轴上，p 是y 1
1 12
，所以焦点坐标是 (
0
6 ,1 24
x2=2py (p>0)
x2=－2py (p>0)
焦点坐标
(
P 2
,0)
(－
P 2
, 0)
(0,
P 2
)
(0,
－
P 2
)
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准线方程
x =－
P 2
x=
P 2
y =－
P 2
y=
P 2
３、例题讲解：
例1 (1)已知抛物线的标准方程是 y 2 6 x ，求它的焦 点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的方程是 y 6 x 2，求它的焦点坐标和准
定直线l 叫做抛物线的准线。
M· ·F
即: 若︳︳M MNF︳︳1,则点M的轨迹是抛物线
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1.平面上到定点 A(1,1) 和到定直线 l : x 2 y 3
距离相等的点的轨迹为( A )
(A)直线 (B)抛物线 (C)双曲线 (D)椭圆
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求标准方程
想 一 想
如何建立直角 坐标系？
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2.4.2 抛物线的简单几何性质
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一、抛物线的几何性质
y P(x,y)
1、范围
由抛物线y2 =2px（p>0）
而 2pxy2 0
oF ( p ,0) x
2
p0
x0
所以抛物线的范围为 x 0
抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱
也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限
延伸。
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2、对称性
( x , y ) 关于x轴 ( x , y ) 对称 由于点( x , y ) 也满
足y2 = 2px ，故抛物线 y2 = 2px
(p>0)关于x轴对称.
y P(x,y)
o
F
(
p
,0
)
x
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2
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３、顶点
定义：抛物线和它的对称轴的交点称为抛物线
的顶点。
由y2 = 2px （p>0）
)
.
，准线方程是
24
（3）因为焦点在y轴的负半轴上，并且 p 2 ，p=4,所以
所求抛物线的标准方程是 x精2品课件8 y． 2
练习1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y2 20x; (2)y 2x2; (3)2y25x0; (4)x216y0.
(5,0),x5 (0, 1), y 1
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方程 y2 = 2px（p＞0）叫做
抛物线的标准方程。
其 中 焦 点 F 2 p ,0 ,准 线 方 程 为 x 2 p ,开 口 向 右
其中 p 为正常数，它的几何意义是:
焦点到准线的距
离
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对“标准”的理解y2 = 2px（p＞0）
· l
N
M
·F
y
· N
M
· K o F x
2.4.1 抛物线及其标准方程
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知识回顾
我们在哪些地方见过或研究过抛物线？ 1、初中时我们学过二次函数，它的图象是抛物线； 2、物理中研究的平抛运动和斜抛运动的轨迹
是抛物线或抛物线的一部分，如投篮时篮球的运动轨 迹；
3、实际生活中如探照灯的轴截面、桥梁的拱形、 喷泉的纵截面都是抛物线。
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例2 (1)抛物线 y2 2 px上一点M到焦点的距离是 a ( a p ) ,则点M到准线的距离是____a____,
点M的2 横坐标是_a__2p__.
(2)抛物线 y 2 12 x 上与焦点的距离等于9的点的
坐标是__(6_,__6__2_) ___；
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练习3
如图,M点是抛物线 y 2 4 x 上一点,F是抛物线
8
8
(5 , 0), x 5
8
8
(0,4),y4
练习2 根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1)焦点是F(0,-2)x；2 8 y
(2)准线方程是 y 1 ；.x 2 4 y (3)焦点到准线的距离是2.
y 2 4 x ,y 2 4 x ,x 2 4 y ,x 2 4 y
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本题小结: ①求抛物线的焦点时一定要先把抛 物线化为标准形式； ②先定位，后定量。