高考数学大一轮复习 8.1空间几何体及其表面积、体积 理 苏教版

题型一 空间几何体的结构特征
解例析1 给①出不下正列确命，题根：据棱柱的定义，棱柱的 ①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； 各②个若侧三面棱都锥是的平三行条四侧边棱形两，两但垂不直一，定则全其等三；个侧面也两两垂直；
②③正若确有，两若个三过棱相锥对的侧三棱条的侧截棱面两都两垂垂直直于，底面，则该四棱柱为
解析 ①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线； ②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余 各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；
图1
③不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形 成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个 同底圆锥组成的几何体；
图2
④错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形， 各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等. 答案 0个
其原图是一个底为 1，高为 6的三角形，
所以原三角形的面积为
6 2.
题型一 空间几何体的结构特征 例1 给出下列命题： ①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直； ③若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为 直四棱柱； ④存在每个面都是直角三角形的四面体； ⑤棱台的侧棱延长后交于一点. 其中正确命题的序号是________.
2.柱、锥、台和球的表面积和体积
名称 几何体
表面积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下
球
S＝ 4πR2
体积
V＝ Sh
V＝13 Sh
V＝13(S 上＋S 下＋
S上S下)h
V＝
4 3
πR3
3.空间几何体的直观图 画空间几何体的直观图常用 斜二测 画法，基本步骤： (1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O， 画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交 于点O′，且使∠x′O′y′＝ 45°(或135°) . (2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别平 行于 x′轴、y′轴 .
则直三四个棱侧柱面；构成的三个平面的二面角都是直二面角； ③④正存确在，每个因面为都两是个直过角相三对角侧形棱的的四截面面体的；交线平行于侧棱， ⑤棱台的侧棱延长后交于一点. 又其垂中直正于确底命面题；的序号是________.
题型一 空间几何体的结构特征 例1 给出下列命题： ①②④棱 若正柱三确的棱，侧锥如棱的图都三，相条正等侧方棱，体两侧A面两C1都垂中是直的全，三等则棱的其锥平三C1行个－四侧AB边面C，形也；两两垂直； ③四若个有面两都个是过直相角对三侧角棱形的；截面都垂直于底面，则该四棱柱为
(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分 别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中， ∠A＝45°.( × ) (4)圆柱的侧面展开图是矩形.( √ ) (5)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计 √ 算.( )
题号
1 2 3 4
答案
④
2π 500π
3 6 2
解析
由斜二测画法，知直观图是边长为1的正三角形，
跟踪训练1 给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线 是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体 都是圆锥； ④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是________.
解析
答案
思维升华
由斜二测画法规则可知，
平行于y轴的线段长度减 半，直角坐标系变成了
题型二 几何体的直观图
解析
例2 (1)关于斜二测画法所得直
观图的说法正确的序号为______.
①直角三角形的直观图仍是直角
三角形；
②梯形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是菱形；
④平行四边形的直观图仍是平行
四边形.
答案
思维升华
题型二 几何体的直观图
例2 (1)关于斜二测画法所得直 观图的说法正确的序号为______. ①直角三角形的直观图仍是直角 三角形； ②梯形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是菱形； ④平行四边形的直观图仍是平行 四边形.
直⑤四正棱确柱，；由棱台的概念可知. ④存在每个面都是直角三角形的四面体； ⑤答棱案台的②侧③棱④延⑤长后交于一点. 其中正确命题的序号是________.
思维升华 (1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定 义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何 模型，在几何模型中进行判断； (2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱 锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决 或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析.
数学 苏（理）
第八章 立体几何
§8.1 空间几何体及其表面积、体
➢ 基础知识·自主学习 ➢ 题型分类·深度剖析 ➢ 思想方法·感悟提高 ➢ 练出高分
1.空间几何体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都 平行且相等，上、下底面是全等的 多边形.
多 (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶
面 点的三角形.
体 (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、 下底面是 相似 多边形.
(1)圆柱可以由 矩形绕其任一边所在直线旋转得到. (2)圆锥可以由直角三角形绕其 直角边 所在直线旋转 旋 得到. 转 (3)圆台可以由直角梯形绕 直角腰所在直线或等腰梯 体 形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由 平行于底面的平面截圆锥得到. (4)球可以由半圆或圆绕 直径所在直线旋转得到.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度保持不变， 平行于y轴的线段，长度变为 原来的一半. (4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中 对应的z′轴也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于 z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度 不变 .
思考辨析 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体 是棱柱×.( ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体 是棱锥.( × )