17数列无棣一中王彦英

中 a P(X 1) ， b P(X 0) ， c P(X 1．) 假设 0.5 ， 0.8．
（i）证明：{pi1 pi}(i 0,1, 2, , 7) 为等比数列； （ii）求 p4 ，并根据的值解释这种实验方案的合理性．
例 11.2020 年全国新高考Ⅰ卷(山东卷)第 18 题（与 指数交汇） 已知公比大于1的等比数列{an} 满足 a2 a4 20, a3 8 ． （2）记 bm 为{an} 在区间 (0, m](m N* ) 中的项的个数，求数 列{bm} 的前100 项和 S100 ． 解析：（2）由于 21 2, 22 4, 23 8, 24 16, 25 32, 26 64, 27 128 ，
已知公比大于1的等比数列{an}满足a2 a4 20,a3 8 ． （1）求{an}的通项公式； （2）求 a1a2 a2a3 (1)n1anan1
题型二:等差等比数列的证明
例 5.2018 年全国课标卷Ⅰ(文)第 17 题
例 6.2019 年全国课标卷Ⅰ(理)第 21 题
已知数列an 满足 a1
b8 b9 b15 3 ，即有 23 个 3 ；
b64 , b65 , , b100 对应的区间分别为：0, 64,0, 65, ,0,100 ，则
6 b64 b65 b100 6 ，即有 37 个 .
所以 S100 1 2 2 22 3 23 4 24 5 25 6 37 480 .
1
则数列{an}的通项公式为________. （3）累加法——形如 an＋1－an＝f(n)，求 an
4.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln
1＋1 n
，求
an
（4）累乘法——形如an＋1＝f(n)，求 an an
5.若 a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，求 an
（5）构造法——形如 an＋1＝Aan＋B(A≠0 且 A≠1，B≠0)，求 an 6.已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，求 an
1
n－1
解析 由 f(x)＋f(1－x)＝4，可得 f(0)＋f(1)＝4，…，f n ＋f n ＝4，所以 2an
1
n－1
＝[f(0)＋f(1)]＋ f n ＋f n ＋…＋[f(1)＋f(0)]＝4(n＋1)，即 an＝2(n＋1).
6.并项求和
例：. 数列{an}的通项公式为 an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前 100 项之和 S100 等于
（3）探索并掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，理解通项 公式与前n项和公式的关系。
（4）能在具体的问题情景中，发现数列的等差、等比关系，并解 决相应的问题。
（5）体会等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。
年份 2018 2019
试卷 文 理 文 理
2020（山东）
题号
17
4 14 14 18 9 14 21
2.(2019·广州质检)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n2－3n，则 an＝________. 3.(2020·德州模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝1，Sn＝13an＋1－1， 则数列{an}的通项公式为________. （3）累加法——形如 an＋1－an＝f(n)，求 an
19 等差、等比数列基本量求通项
数列求和
12
18 等比数列基本量求通项 求和
12
2020（海南）
题型一:基本量的计算
例 1.2018 年全国课标卷Ⅰ(理)第 4 题 记Sn 为等差数列an的前n 项和.若，a1 2 ，则a5
例 3.2019 年全国课标卷Ⅰ(理)第 9 题 记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和.已知 S4 0 ， a5 5 ，则 （）
(
)
A.200
B.－200
C.400
D.－400
题型五:数列的灵活运用 运用一：与其他知识的交汇
例10.2019年全国课标卷Ⅰ(理)第21题（与概率交汇） 为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行 动物实验．实验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验．对于两只 白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排 下一轮实验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止 实验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮实验， 若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施 以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药p0 得0 1分，甲药得分；若都治愈 或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮实验中 甲药的得分记为． （1）求的分布列； （2）若甲药、乙药在实验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终 认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p0 0 ，p8 1 ，pi api1 bpi cpi1 ，其
n＋1－
n.
4.错位相减法
适用范围：.一般地，如果数列{an}是等差数列 ，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}
的前 n 项和时，可采用错位相减法.应注意：
.（1）在写出“Sn ”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下
一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式.
（2）为判断结果是否正确，可代特殊值进行检验
时 ， 最 终 认 为 甲 药 比 乙 药 更 有 效 ” 的 概 率 ， 则 p0 0 ， p8 1 ，
pi api1 bpi cpi1 (i 1, 2, , 7) ， 其 中 a P( X 1 )， b P(X 0) ，
c P(X 1) ．假设 0.5， 0.8 ．
（i）证明： { pi1 pi}(i 0,1, 2, , 7) 为等比数列；
5.倒序相加法
特点：如果一个数列{an}的前 n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等
于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法求解
1
n－1
.(2020·河北“五个一”名校质检)若 f(x)＋f(1－x)＝4，an＝f(0)＋f n ＋…＋f n
＋f(1)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________.
与指数交汇 所以 b1 对应的区间为： 0,1 ，则 b1 0 ；
b2 , b3 对应的区间分别为：0, 2,0,3 ，则 b2 b3 1 ， 即有 2 个1； b4 , b5 , b6 , b7 对应的区间分别为：0, 4,0,5,0, 6, 0, 7 ，则 b4 b5 b6 b7 2 ，即有 22 个 2 ； b8 , b9 , , b15 对应的区间分别为：0,8,0,9, ,0,15 ，则
A． 12
B． 10
C．10
例 2.2019 年全国课标卷Ⅰ(文)第 18 题
D．12 A. an 2n 5 B. an 3n 10 C. Sn 2n2 8n
例 4.2020 年全国Ⅱ卷(海南)第 18 题
D.
Sn
1 2
n2
2n
记 Sn为等差数列{an}的前 n 项和，已知 S9=－a5． （1）若 a3=4，求{an}的通项公式；3S3 S2 S4
1 分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药
（2）判断数列bn 是否为等比数列，并说明理由； 得 1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分．甲、乙两种药的治愈率分别记为 和 ， 一轮实验中甲药的得分记为 X ． （1）求 X 的分布列；
（2）若甲药、乙药在实验开始时都赋予 4 分， pi (i 0,1, ,8) 表示“甲药的累计得分为i
是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其
和.
.裂项求和常用的三种变形
(1)n（n1＋1）＝1n－n＋1 1.
(2)（2n－1）1（2n＋1）＝12
1－1 2n－1 2n＋1
.
(3)
1
＝
n＋ n＋1
， 1 nan1
2n 1an ，设bn
an n
．
（1）求b1 ，b2 ，b3 ；
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验．实 验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲 药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮实验．当其中一种药治愈的白 鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止实验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便 描述问题，约定：对于每轮实验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得
14 18
知识点
等比数列的证明 求通项
等差数列基本量求和 由an与sn的关系求sn 等比数列基本量求某项和 等差数列基本量求通项、求和
等差数列基本量求通项、求和 等比数列基本量求某项和 等比数列证明
等差数列基本量求和 等比数列基本量计算求通项 与指数结合求和
分值 12 10 17 13
16
2020（天津）
因为数列2n 1 是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列，
数列3n 2 是以 1 首项，以 3 为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列 an 是以 1 为首项，以 6 为公差的等差数列，
所以an
的前
n
项和为
n
1
n(n 1) 2
6
3n2
2n
，
故答案为： 3n2 2n .
2.分组转化法
题型二:等差等比数列的证明
以定以义定义为为主主
题型三:利用递推公式求通项
例 7.2018 年全国课标卷Ⅰ(文)第 17 题（累乘）
已知数列an 满足 a1
1 ， nan1
2n 1 an ，设bn