应用高斯定理求场强
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结论 i 40 rai rbi
L
a•
q1 q2
qi qn1
qn
电场力作功只与始末位置有关，与路径无关，所以静电力
是保守力，静电场是保守力场。
二.静电场的环路定理
b
在静电场中，沿 闭合路径移 动q0，电场力作功 L1
Aab F dl q0E dl b a
L2
a( b
L1
)
q0
E
(r1
r2 )
3 0
1
2
讨论： 求相互作用力？
m r M
引力场场强？
总结
高斯定理计算电场的方法 静电场的高斯定理适用于一切静电场； 高斯定理并不能求出所有静电场的分布。
高斯定理求解电场分布
场强 E 能否提出积分号
E dS
1
0
q内
带电体电荷分布的对称性 建立的高斯面是否合适
电荷 均匀 分布
一.静电力作功的特点
b
• 单个点电荷产生的电场中
rb
b
A F dl a(L)
O
q
r
dl
q0
E
b
a(L) q0E dl
ra
a L dr
b
a(L) q0E dl cos
A
b a(L)
1
4 0
q q0 r3
r dr
qq0
40
rb ra
1 r2
dr
qq0 ( 1 1 )
40 ra rb
侧
侧
根据高斯定理 E 2π rl l / 0 E 2π 0r
dS
E
l
E r
例6 电荷体密度
半径为: R1 , R2 求 重叠区域的电场
r1
r2
解
E1
4 3
r13
4 0r12
r10
3 0
r1
E2
4 3
r23 ( 4 0r22
)
r20
3 0
r2
o o
E E1 E2
3 0
Sd 0
E外
d 2 0
板内：e 2ES
E内
x 0
S 2x 0
S d
E
O
x
例5 “无限长” 均匀带电直线，电荷线密度为+
求 电场强度分布
解 电场分布具有轴对称性 , 以高为l
r
的同轴圆柱面为高斯面，电通量
e
E dS
S
n
E dS E dS E dS
侧
上底
下底
EdS E dS E 2π rl
R3 r2
• 球内 ( r < R )
q内
4π 3
r3
E r 3 0
若 ＝ (r) ? 如 (r)＝A/r
r+
++r+
+ +
R+++
E
EΒιβλιοθήκη Baidu
1 r2
R
O
r
电场分布曲线
电通量仍为
e
E dS 4πr 2E
r
对于电量的计算
dV 4πr2dr
dq (r)dV 4πr2(r)dr 4πArdr
第二讲 应用高斯定理求场强分布
静电场高斯定理
e
E dS
1
S
0
q内
e
1
E dS
S
0
dV
V
真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，等
于该曲面所包围的电荷电量的代数和乘以 1 0
(1) 意义 反映静电场的性质 —— 有源场
(2) 通量的一般意义: (3) 注意
d SA dS
q(r)
r
dq
r 4πArdr 2πAr2
0
0
高斯面内的电量
q
q(r) 2πAr2
q(
R)
2πAR2
rR rR
• 球外( r > R )
E
AR2
2 0
1 r2
• 球内 ( r < R ) E A
2 0
例3 “无限大”均匀带电平面，电荷面密度为
求 电场强度分布
解 电场强度垂直带电平面, 选取 垂直带电面的圆柱形高斯面
A
v
:体积流量
应用高斯定理求场强
例1 均匀带电球面，电量Q，半径R 。
E dS EdS
n 求 电场强度分布
解 E 沿球面法线方向。取过P点的
E
+
+
+P
R rr
同心球面为高斯面，电通量为
O
E dS
EdS
E dS
E4π r 2
+
+
+
由高斯定理
E4π r 2
q内
0
• 球外 ( r > R )
解 电荷元线密度
d dl d
πR π
dl
d
y
dEx
R
根据高斯定理
x
dE d 2π 0R
dEy dE
dEx dEsin dEy dEcos
整个带电面 电场强度
分量
Ex
dEx
π 0
2π
20
R
sin d
π
2 R
0
Ey dEy dE cos 0
§8.4 静电场的环路定理 电势能 电势
e E dS
E dS E dS E dS
侧
左底
右底
Ex
0 EdS EdS
左底
右底
x O
0 2ES
根据高斯定理 e S / 0 E / 20
例4 无限大带电板电荷体密度为 ，厚度为d
求 电场场强分布
解 取关于平板对称的圆柱
x
面为高斯面
板外：
d
e
2ES
(与路径无关)
• 任意带电体系产生的电场
电荷系q1, q2, …, qn 的电场中，移动q0，有
b b
Aab
F dl
a(L)
a(L) q0E dl
b •
b
n
a(L) q0 ( Ei ) dl
i1
n b
a(L) q0Ei dl i1
qiq0 ( 1 1 )
讨论
(1) 环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路定理检验
一个电场是不是静电场。
b c d a
E dl a E dl b E dl c E dl d E dl
b
d
a
b
a E1dl c E2dl
d
cE
0
不是静电场
(2) 环路定理要求电力线不能闭合。
(3) 静电场是有源、无旋场，可引进电势能。
E
E 0
E
1 r2
q内 Q
E
Q
4π 0r 2
R
O
r
• 球内 ( r < R )
q内 0 E 0
例2 均匀带电球体，半径为R，电荷体密度为
求 电场强度分布
解
E 沿球面法线方向。 取同心球面
为高斯面，电通量为
E dS
E 4π
r2
q内
0
• 球外( r > R )
q内
4π 3
R3
E
3 0
球面、球体 无限大平面、平板 无限长圆柱面、圆柱体
球面 圆柱面 圆柱面
用高斯定理求电场强度的步骤： (1) 分析电荷对称性； (2) 根据对称性取高斯面；
高斯面必须是闭合曲面 高斯面必须通过所求的点 高斯面的选取使通过该面的电通量易于计算
(3) 根据高斯定理求电场强度。
例7 均匀带电无限长半圆柱面，电荷线密度 。求轴线上的场强。
dl
b( b
L2
)
q0
E
dl
a
a(L1) q0E dl a(L2 ) q0E dl 0
E dl 0 积分形式的环路定理 L
• 微分形式的环路定理
微分形式
LE dl s( E) dS 0 E 0 环路定理
E的旋度
rotE
E
Ei
E
j
Ek
x y z
静电场是 无旋场
L
a•
q1 q2
qi qn1
qn
电场力作功只与始末位置有关，与路径无关，所以静电力
是保守力，静电场是保守力场。
二.静电场的环路定理
b
在静电场中，沿 闭合路径移 动q0，电场力作功 L1
Aab F dl q0E dl b a
L2
a( b
L1
)
q0
E
(r1
r2 )
3 0
1
2
讨论： 求相互作用力？
m r M
引力场场强？
总结
高斯定理计算电场的方法 静电场的高斯定理适用于一切静电场； 高斯定理并不能求出所有静电场的分布。
高斯定理求解电场分布
场强 E 能否提出积分号
E dS
1
0
q内
带电体电荷分布的对称性 建立的高斯面是否合适
电荷 均匀 分布
一.静电力作功的特点
b
• 单个点电荷产生的电场中
rb
b
A F dl a(L)
O
q
r
dl
q0
E
b
a(L) q0E dl
ra
a L dr
b
a(L) q0E dl cos
A
b a(L)
1
4 0
q q0 r3
r dr
qq0
40
rb ra
1 r2
dr
qq0 ( 1 1 )
40 ra rb
侧
侧
根据高斯定理 E 2π rl l / 0 E 2π 0r
dS
E
l
E r
例6 电荷体密度
半径为: R1 , R2 求 重叠区域的电场
r1
r2
解
E1
4 3
r13
4 0r12
r10
3 0
r1
E2
4 3
r23 ( 4 0r22
)
r20
3 0
r2
o o
E E1 E2
3 0
Sd 0
E外
d 2 0
板内：e 2ES
E内
x 0
S 2x 0
S d
E
O
x
例5 “无限长” 均匀带电直线，电荷线密度为+
求 电场强度分布
解 电场分布具有轴对称性 , 以高为l
r
的同轴圆柱面为高斯面，电通量
e
E dS
S
n
E dS E dS E dS
侧
上底
下底
EdS E dS E 2π rl
R3 r2
• 球内 ( r < R )
q内
4π 3
r3
E r 3 0
若 ＝ (r) ? 如 (r)＝A/r
r+
++r+
+ +
R+++
E
EΒιβλιοθήκη Baidu
1 r2
R
O
r
电场分布曲线
电通量仍为
e
E dS 4πr 2E
r
对于电量的计算
dV 4πr2dr
dq (r)dV 4πr2(r)dr 4πArdr
第二讲 应用高斯定理求场强分布
静电场高斯定理
e
E dS
1
S
0
q内
e
1
E dS
S
0
dV
V
真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，等
于该曲面所包围的电荷电量的代数和乘以 1 0
(1) 意义 反映静电场的性质 —— 有源场
(2) 通量的一般意义: (3) 注意
d SA dS
q(r)
r
dq
r 4πArdr 2πAr2
0
0
高斯面内的电量
q
q(r) 2πAr2
q(
R)
2πAR2
rR rR
• 球外( r > R )
E
AR2
2 0
1 r2
• 球内 ( r < R ) E A
2 0
例3 “无限大”均匀带电平面，电荷面密度为
求 电场强度分布
解 电场强度垂直带电平面, 选取 垂直带电面的圆柱形高斯面
A
v
:体积流量
应用高斯定理求场强
例1 均匀带电球面，电量Q，半径R 。
E dS EdS
n 求 电场强度分布
解 E 沿球面法线方向。取过P点的
E
+
+
+P
R rr
同心球面为高斯面，电通量为
O
E dS
EdS
E dS
E4π r 2
+
+
+
由高斯定理
E4π r 2
q内
0
• 球外 ( r > R )
解 电荷元线密度
d dl d
πR π
dl
d
y
dEx
R
根据高斯定理
x
dE d 2π 0R
dEy dE
dEx dEsin dEy dEcos
整个带电面 电场强度
分量
Ex
dEx
π 0
2π
20
R
sin d
π
2 R
0
Ey dEy dE cos 0
§8.4 静电场的环路定理 电势能 电势
e E dS
E dS E dS E dS
侧
左底
右底
Ex
0 EdS EdS
左底
右底
x O
0 2ES
根据高斯定理 e S / 0 E / 20
例4 无限大带电板电荷体密度为 ，厚度为d
求 电场场强分布
解 取关于平板对称的圆柱
x
面为高斯面
板外：
d
e
2ES
(与路径无关)
• 任意带电体系产生的电场
电荷系q1, q2, …, qn 的电场中，移动q0，有
b b
Aab
F dl
a(L)
a(L) q0E dl
b •
b
n
a(L) q0 ( Ei ) dl
i1
n b
a(L) q0Ei dl i1
qiq0 ( 1 1 )
讨论
(1) 环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路定理检验
一个电场是不是静电场。
b c d a
E dl a E dl b E dl c E dl d E dl
b
d
a
b
a E1dl c E2dl
d
cE
0
不是静电场
(2) 环路定理要求电力线不能闭合。
(3) 静电场是有源、无旋场，可引进电势能。
E
E 0
E
1 r2
q内 Q
E
Q
4π 0r 2
R
O
r
• 球内 ( r < R )
q内 0 E 0
例2 均匀带电球体，半径为R，电荷体密度为
求 电场强度分布
解
E 沿球面法线方向。 取同心球面
为高斯面，电通量为
E dS
E 4π
r2
q内
0
• 球外( r > R )
q内
4π 3
R3
E
3 0
球面、球体 无限大平面、平板 无限长圆柱面、圆柱体
球面 圆柱面 圆柱面
用高斯定理求电场强度的步骤： (1) 分析电荷对称性； (2) 根据对称性取高斯面；
高斯面必须是闭合曲面 高斯面必须通过所求的点 高斯面的选取使通过该面的电通量易于计算
(3) 根据高斯定理求电场强度。
例7 均匀带电无限长半圆柱面，电荷线密度 。求轴线上的场强。
dl
b( b
L2
)
q0
E
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a
a(L1) q0E dl a(L2 ) q0E dl 0
E dl 0 积分形式的环路定理 L
• 微分形式的环路定理
微分形式
LE dl s( E) dS 0 E 0 环路定理
E的旋度
rotE
E
Ei
E
j
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静电场是 无旋场