第六章数列测试题

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数列测试题及答案

数列测试题及答案一、选择题1. 已知数列\( a_n \)的通项公式为\( a_n = 3n - 1 \)，那么第10项的值为：A. 29B. 28C. 27D. 26答案：A2. 若数列\( b_n \)的前n项和为\( S_n \)，且\( S_n = n^2 \)，求数列\( b_n \)的第3项：A. 5B. 6C. 7D. 8答案：B二、填空题1. 给定等差数列\( c_n \)，首项\( c_1 = 5 \)，公差\( d = 3 \)，其第5项为________。

答案：202. 若数列\( d_n \)是等比数列，且\( d_1 = 2 \)，公比\( q = 4 \)，求第4项：________。

答案：64三、解答题1. 已知数列\( e_n \)的前n项和为\( S_n \)，若\( S_3 = 21 \)，\( S_5 = 45 \)，求\( e_4 + e_5 \)。

解：由题意得\( e_4 + e_5 = S_5 - S_3 = 45 - 21 = 24 \)。

2. 某等差数列的前5项和为50，且第3项为15，求该数列的首项和公差。

解：设该等差数列的首项为\( a \)，公差为\( d \)，则有：\[ 5a + 10d = 50 \]\[ a + 2d = 15 \]解得：\( a = 5 \)，\( d = 5 \)。

四、证明题1. 证明等差数列中，任意两项的等差中项等于它们的算术平均数。

证明：设等差数列\( f_n \)的首项为\( f_1 \)，公差为\( d \)，任取两项\( f_m \)和\( f_n \)（\( m < n \)），则它们的等差中项为\( f_{\frac{m+n}{2}} \)。

根据等差数列的性质，有：\[ f_{\frac{m+n}{2}} = f_1 + \left(\frac{m+n}{2} -1\right)d \]而算术平均数为：\[ \frac{f_m + f_n}{2} = \frac{f_1 + (m-1)d + f_1 + (n-1)d}{2} = f_1 + \frac{(m+n-2)d}{2} \]由于\( \frac{m+n}{2} - 1 = \frac{m+n-2}{2} \)，所以两者相等，证明了等差中项等于算术平均数。

第六章时间序列作业试题及答案 (2)

第六章动态数列一、判断题二、1.若将某地区社会商品库存额按时间先后顺序排列，此种动态数列属于时期数列。

（）三、2.定基发展速度反映了现象在一定时期内发展的总速度，环比发展速度反映了现象比前一期的增长程度。

（）四、3.平均增长速度不是根据各期环比增长速度直接求得的，而是根据平均发展速度计算的。

（）五、4.用水平法计算的平均发展速度只取决于最初发展水平和最末发展水平，与中间各期发展水平无关。

（）六、5.平均发展速度是环比发展速度的平均数，也是一种序时平均数。

（）1、×2、×3、√4、√5、√。

七、单项选择题八、1.根据时期数列计算序时平均数应采用（）。

九、 A.几何平均法 B.加权算术平均法 C.简单算术平均法 D.首末折半法十、2.下列数列中哪一个属于动态数列（）。

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF十一、 A.学生按学习成绩分组形成的数列 B.工业企业按地区分组形成的数列十二、 C.职工按工资水平高低排列形成的数列 D.出口额按时间先后顺序排列形成的数列十三、 3.已知某企业1月、2月、3月、4月的平均职工人数分别为190人、195人、193人和201人。

则该企业一季度的平均职工人数的计算方法为（）。

十四、十五、AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF4.说明现象在较长时期内发展的总速度的指标是（）。

A、环比发展速度 B.平均发展速度 C.定基发展速度 D.环比增长速度5.已知各期环比增长速度为2%、5%、8%和7%，则相应的定基增长速度的计算方法为（）。

A.（102%×105%×108%×107%）-100%B.102%×105%×108%×107%C.2%×5%×8%×7%D.（2%×5%×8%×7%）-100%6.定基增长速度与环比增长速度的关系是（）。

中职数学(基础模块)下册第六章数列单元考试卷(含答案)

中职数学(基础模块)下册第六章数列单元考试卷(含答案)中职数学（基础模块）下册第六章数列单元考试卷含答案一、选择题1.数列{an}的通项公式an=（-1）^3*(n+1)*9，因此a2=9，选B。

2.选A，因为2，6，10，14，18是公差为4的等差数列。

3.已知a1=-3，d=2，所以a5=-3+4*2=5，选B。

4.已知a5=9，d=2，所以a(n)=a5+(n-5)*d=9+(n-5)*2=2n-1，选D。

5.已知a1=-3，d=3，所以S8=(a1+a8)*4/2=（-3+a1+7d）*4/2=（-3+21）*4/2=36，选A。

6.已知a4+a7=16，又a4=a1+3d，a7=a1+6d，所以a1+9d=16，又S10=(a1+a10)*10/2=（a1+a1+9d）*10/2=5(a1+9d)=5*16=80，选B。

7.已知a1=2，q=-3，所以a3=a1*q^2=-18，选A。

8.已知a1=-8，a4=1，所以q=(a4/a1)^(1/3)=2，选A。

9.已知a1=2，q=-3，所以S5=(a1*(1-q^5))/(1-q)=（2*(1-(-3)^5))/(1-(-3))=122，选B。

10.已知2，a，8成等差数列，所以a=5，选C。

11.已知，a，8成等比数列，所以a=-2，选D。

12.“a+c=2b”是“a，b，c组成等差数列”的必要不充分条件，选B。

二、填空题13.公差d=5，an=-1+(n-1)*5=5n-6.14.通项公式an=n+1.15.设a2=x，所以a6=x^3，代入等比数列的通项公式an=a1*q^(n-1)，得到a1*x^5=16，即a1=16/x^5.16.公差d=3.三、解答题17.（1）已知a1=-5，d=6，所以an=-5+(n-1)*6=6n-11.2）S5=(a1+a5)*5/2=(-5+19)*5/2=35.18.设三个数为a-d，a，a+d，根据题意得到以下两个方程：a-d+a+a+d=12，解得a=4；a-d)*a*(a+d)=28，代入a=4，解得d=2；因此三个数为2，4，6.19.题目：已知成等比数列的三个数和为13，积为27，求这三个数。

【高考调研】2020届高考数学总复习第六章数列配套单元测试(含解析)理新人教A版

第六章单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1．若{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝ ( )A ．－2B ．－12C.12 D ．2答案 B解析由等差中项的定义结合已知条件可知2a 4＝a 5＋a 3，∴2d ＝a 7－a 5＝－1，即d ＝－12.故选B. 2．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( )A ．9B ．1C ．2D ．3答案 D解析由等比数列性质可知a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，所以得a 7＝3，又a 29a 11＝a 7a 11a 11＝a 7，故选D.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 5＝12S 5，且a 9＝20，则S 11＝( )A ．260B ．220C ．130D ．110答案 D 解析 ∵S 5＝a 1＋a 52×5，又∵12S 5＝a 1＋a 5，∴a 1＋a 5＝0.∴a 3＝0，∴S 11＝a 1＋a 112×11＝a 3＋a 92×11＝0＋202×11＝110，故选D.4．各项均不为零的等差数列{a n }中，若a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则S 2 009等于 A ．0 B ．2 C ．2 009 D ．4 018答案 D解析各项均不为零的等差数列{a n }，由于a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则a 2n －2a n＝0，a n ＝2，S 2 009＝4 018，故选D.5．数列{a n }是等比数列且a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5的值等于 A ．5 B ．10 C ．15 D ．20答案 A解析由于a 2a 4＝a 23，a 4a 6＝a 25，所以a 2·a 4＋2a 3·a 5＋a 4·a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25.所以a 3＋a 5＝±5.又a n >0，所以a 3＋a 5＝5.所以选A.6．首项为1，公差不为0的等差数列{a n }中，a 3，a 4，a 6是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的第四项是( )A ．8B ．－8C ．－6D ．不确定答案 B解析 a 24＝a 3·a 6⇒(1＋3d )2＝(1＋2d )·(1＋5d ) ⇒d (d ＋1)＝0⇒d ＝－1，∴a 3＝－1，a 4＝－2，∴q ＝2. ∴a 6＝a 4·q ＝－4，第四项为a 6·q ＝－8.7．设函数f (x )满足f (n ＋1)＝2f n ＋n 2(n ∈N *)，且f (1)＝2，则f (20)＝( )A ．95B ．97C ．105D ．192答案 B解析 f (n ＋1)＝f (n )＋n 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 20＝f 19＋192，f 19＝f 18＋182，……f 2＝f 1＋12.累加，得f (20)＝f (1)＋(12＋22＋…＋192)＝f (1)＋19×204＝97.8．若a x －1，a y，a－x ＋1(a >0，且a ≠1)成等比数列，则点(x ，y )在平面直角坐标系内的轨迹位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 ∵成等比，∴(a y )2＝ax －1·a－x ＋1.即2y ＝x －1－x ＋1，x －1>0，∴x >1.x －1<x ＋1，∴y <0，∴位于第四象限．9．已知等比数列{a n }的公比q <0，其前n 项的和为S n ，则a 9S 8与a 8S 9的大小关系是 A ．a 9S 8>a 8S 9 B ．a 9S 8<a 8S 9 C ．a 9S 8≥a 8S 9 D ．a 9S 8≤a 8S 9答案 A解析 a 9S 8－a 8S 9＝a 9a 11－q 81－q －a 8a 11－q 91－q ＝a 8a 1q －q 9－1＋q 91－q＝－a 1a 8＝－a 21q 7，因为a 21>0，q <0，所以－a 21q 7>0，即a 9S 8>a 8S 9，故选A.10．在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S 2 011＝－2 011，a 1 007＝3，则S 2 012的值为 A ．1 006 B ．－2 012 C ．2 012 D ．－1 006答案 C解析方法一设等差数列的首项为a 1，公差为d ，根据题意可得， ⎩⎪⎨⎪⎧S 2 011＝2 011a 1＋2 011× 2 011－12d ＝－2 011，a 1 007＝a 1＋1 006d ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋1 005d ＝－1，a 1＋1 006d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4 021，d ＝4.所以，S 2 012＝2 012a 1＋2 012× 2 012－12d＝2 012×(－4 021)＋2 012×2 011×2 ＝2 012×(4 022－4 021)＝2012. 方法二由S 2 011＝2 011a 1＋a 2 0112＝2 011a 1 006＝－2 011，解得a 1 006＝－1，则S 2 012＝2 012a 1＋a 2 0122＝2 012a 1 006＋a 1 0072＝2 012×－1＋32＝2 012.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)11．若m ，n ，m ＋n 成等差数列，m ，n ，m ·n 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2n＝1的离心率为________．答案22解析由题意知2n ＝m ＋m ＋n ，∴n ＝2m .又n 2＝m ·m ·n ，∴n ＝m 2，∴m 2＝2m . ∴m ＝2，∴n ＝4，∴a 2＝4，b 2＝2，c 2＝2. ∴e ＝c a ＝22. 12．数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a 100b 100＝________.答案199299解析a 100b 100＝a 1＋a 1992b 1＋b 1992＝S 199T 199＝199299. 13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于________．答案 2 解析 ∵S 3＝a 1＋a 3×32＝6，而a 3＝4，∴a 1＝0.∴d ＝a 3－a 12＝2.14．某人从2012年1月份开始，每月存入银行100元，月利率是3‰(不计复利)，到2012年12月底取出的本利和应是________元．答案 1 223.4解析应为1 200＋0.3×12＋0.3×11＋…＋0.3＝1 200＋0.3×12×132＝1 223.4(元)．15．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n＋2>19的最大正整数n 的值为________．答案 4解析设等比数列{a n }的公比为q ，其中q >0，依题意得a 23＝a 2·a 4＝4.又a 3>0，因此a 3＝a 1q 2＝2，a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝12，由此解得q ＝12，a 1＝8，a n ＝8×(12)n －1＝24－n ，a n ·a n ＋1·a n＋2＝29－3n.由于2－3＝18>19，因此要使29－3n >19，只要9－3n ≥－3，即n ≤4，于是满足a n ·a n ＋1·a n＋2>19的最大正整数n 的值为4. 16．等比数列{a n }的首项为a 1＝1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q 等于________．答案－12解析因为S 10S 5＝3132，所以S 10－S 5S 5＝31－3232＝－132，即q 5＝(－12)5，所以q ＝－12. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)数列{a n }中，a 1＝1，a n ，a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两个根，求数列{b n }的前n 项和S n .答案 S n ＝nn ＋1解析 ∵a n ，a n ＋1是x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两根，∴a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，a n ·a n ＋1＝1b n.∴a n ＋1＋a n ＋2＝2n ＋3. ∴a n ＋2－a n ＝2. ∴a 3－a 1＝2，a 5－a 3＝2，……a 2n －1－a 2n －3＝2.∴a 2n －1－a 1＝2(n －1)．∴a 2n －1＝2n －1，∴当n 为奇数时，a n ＝n . 同理可得当n 为偶数时a n ＝n . ∴a n ＝n . ∴b n ＝1a n ·a n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1. ∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 18．(本小题满分12分)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54}是等比数列．答案 (1)b n ＝54·2n －1＝5·2n －3(2)略解析 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)数列{b n }的前n 项和S n ＝541－2n1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.因此{S n ＋54}是以52为首项，公比为2的等比数列．19．(本小题满分12分)已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列，求：(1)p ，q 的值；(2)数列{x n }的前n 项的和S n 的公式．解析 (1)由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，又x 4＝24p ＋4q ，x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4，得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ，解得p ＝1，q ＝1. (2)S n ＝(2＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n )＝2n ＋1－2＋n n ＋12.20．(本小题满分12分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2(1a 1＋1a 2)，a 3＋a 4＋a 5＝64(1a 3＋1a 4＋1a 5)．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1a n)2，求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)设{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q n －1.由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 1q ，a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝64⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1q 2＋1a 1q 3＋1a 1q 4，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q ＝2，a 21q 6＝64.又a 1>0，故q ＝2，a 1＝1. 所以a n ＝2n －1.(2)由(1)知，b n ＝⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 2＝a 2n ＋1a 2n ＋2＝4n －1＋14n －1＋2.因此，T n ＝(1＋4＋…＋4n －1)＋(1＋14＋…＋14n －1)＋2n ＝1－4n1－4＋1－14n 1－14＋2n ＝13(4n －41－n)＋2n ＋1.21．(本小题满分12分)某企业2010年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不进行技术改造，预测从2011年起每年比上一年纯利润减少20万元，2011年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年(2011年为第一年)的利润为500(1＋12n )万元(n 为正整数)．(1)设从2011年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元(须扣除技术改造资金)，求A n ，B n 的表达式；(2)依上述预测，从2011年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？思路 (1)A n 是一个等差数列的前n 项和，B n 是一个常数数列和一个等比数列的组合的前n 项和，根据数列的求和公式，就可以求出A n ，B n 的表达式．(2)建模B n >A n ，解这个关于n 的不等式．解析 (1)依题意知，A n 是一个以480为首项，－20为公差的等差数列的前n 项和，所以A n ＝480n ＋n n －12×(－20)＝490n －10n 2，B n ＝500(1＋12)＋500(1＋122)＋…＋500(1＋12n )－600＝500n ＋500(12＋122＋…＋12n )－600＝500n ＋500×12[1－12n]1－12－600＝500n －5002n －100.(2)依题意得，B n >A n ，即500n －5002n －100>490n －10n 2，可化简得502n <n 2＋n －10.∴可设f (n )＝502n ，g (n )＝n 2＋n －10.又∵n ∈N *，∴可知f (n )是减函数，g (n )是增函数．又f (3)＝508>g (3)＝2，f (4)＝5016<g (4)＝10.则当n ＝4时不等式成立，即4年．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋n ＝2a n (n ∈N *)． (1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n .求满足不等式T n －22n －1>2 010的n的最小值．解析 (1)因为S n ＋n ＝2a n ，所以S n －1＝2a n －1－(n －1)(n ≥2，n ∈N *)．两式相减，得a n＝2a n －1＋1.所以a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2，n ∈N *)，所以数列{a n ＋1}为等比数列．因为S n ＋n ＝2a n ，令n ＝1得a 1＝1.a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2n ，所以a n ＝2n －1.(2)因为b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，所以b n ＝(2n ＋1)·2n. 所以T n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n，① 2T n ＝3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n＋(2n ＋1)·2n ＋1，②①－②，得－T n ＝3×2＋2(22＋23＋ (2))－(2n ＋1)·2n ＋1＝6＋2×22－2n ＋11－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2＋2n ＋2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2－(2n －1)·2n ＋1.所以T n ＝2＋(2n －1)·2n ＋1.若T n －22n －1>2 010，则2＋2n －1·2n ＋12n －1>2 010，即2n ＋1>2 010.由于210＝1 024,211＝2 048，所以n ＋1≥11，即n ≥10.所以满足不等式T n －22n －1>2 010的n 的最小值是10.1．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，数列{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有 A ．a 3＋a 9≤b 4＋b 10 B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10 C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小关系不确定答案 B解析记等比数列{a n }的公比为q ，由数列{b n }为等差数列可知b 4＋b 10＝2b 7.又数列{a n }是各项均为正数的等比数列，∴a 3＋a 9＝a 3(1＋q 6)＝a 6(1＋q6q3)＝b 7(1＋q6q3)，又1＋q6q3＝1q3＋q 3≥2，当且仅当q ＝1时，等号成立，∴a 3＋a 9≥b 4＋b 10.故选B.2．已知a n ＝32n －11(n ∈N ＋)，数列{a n }的前n 项和为S n ，则使S n >0的n 的最小值是A ．5B ．6C ．10D ．11答案 D解析令f (x )＝32x －11知f (x )关于(112，0)对称，∴a 1＋a 10＝a 2＋a 9＝a 3＋a 8＝a 5＋a 6＝0，且a 6>a 7>a 8>a 9>a 10>…>0. ∴S 10＝0，S 11>0，选D.3．数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 1＝1，S 2＝2，且S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0(n ∈N *且n ≥2)，则此数列为( )A ．等差数列B ．等比数列C ．从第二项起为等差数列D ．从第二项起为等比数列答案 D解析 S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0， ∴S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1，∴a n ＋1＝2a n . 又a 1＝1，a 2＝1，∴从第二项起为等比数列．4．已知数列{a n }满足a 1＝23，且对任意的正整数m ，n ，都有a m ＋n ＝a m ＋a n ，则a nn 等于A.12 B.23 C.32 D ．2答案 B解析令m ＝1，得a n ＋1＝a 1＋a n ，即a n ＋1－a n ＝a 1＝23，可知数列{a n }是首项为a 1＝23，公差为d ＝23的等差数列，于是a n ＝23＋(n －1)·23＝23n ，即a n n ＝23.故选B.5．设a 1，a 2，…，a 50是以－1,0,1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝9且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50当中取零的项共有A ．11个B ．12个C ．15个D ．25个答案 A解析 (a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝a 21＋a 22＋…＋a 250＋2(a 1＋a 2＋…＋a 50)＋50＝107，∴a 21＋a 22＋…＋a 250＝39，∴a 1，a 2，…，a 50中取零的项应为50－39＝11个，故选A.6．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有 ( )A ．a 1＋a 101>0B ．a 2＋a 100<0C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝51答案 C解析由题意，得a 1＋a 2＋…＋a 101＝a 1＋a 1012×101＝0.所以a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝a 3＋a 99＝0.7．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n的两个零点，则b 10＝________.答案 64解析 a n ＋a n ＋1＝b n ，a n ·a n ＋1＝2n， ∴a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1.∴a n ＋2＝2a n .又∵a 1＝1，a 1·a 2＝2，∴a 2＝2. ∴a 2n ＝2n，a 2n －1＝2n －1(n ∈N *)．∴b 10＝a 10＋a 11＝64.8．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10>0并且S 11＝0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 构成的集合为________．答案 {5,6}解析等差数列中由S 10>0，S 11＝0，得S 10＝10a 1＋a 102>0⇒a 1＋a 10>0⇒a 5＋a 6>0，S 11＝11a 1＋a 112＝0⇒a 1＋a 11＝2a 6＝0，故可知，等差数列{a n }是递减数列且a 6＝0，所以S 5＝S 6≥S n ，即k ＝5或6.∴集合为{5,6}．9．(2013·衡水调研)已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，函数f (x )＝12px2－(p ＋q )x ＋q ln x (其中p 、q 均为常数，且p >q >0)，当x ＝a 1时，函数f (x )取得极小值，点(a n,2S n )(n ∈N *)均在函数y ＝2px 2－q x＋f ′(x )＋q 的图像上．(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)记b n ＝4S n n ＋3·q n，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)由题易得f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝px －(p ＋q )＋q x ＝px 2－p ＋q x ＋q x ＝x －1px －qx.令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝qp. ∵p >q >0，∴0<q p<1.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：(0，q p ) q p(q p，1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值1(2)依题意，y ＝2px 2－q x＋f ′(x )＋q ＝2px 2＋px －p ， 2S n ＝2p ·a 2n ＋p ·a n －p (n ∈N *)．∴2a 1＝2p ·a 21＋pa 1－p . 由a 1＝1，得p ＝1. ∴2S n ＝2a 2n ＋a n －1.①∴当n ≥2时，2S n －1＝2a 2n －1＋a n －1－1. ②①－②得2a n ＝2(a 2n －a 2n －1)＋a n －a n －1. ∴2(a 2n －a 2n －1)－(a n ＋a n －1)＝0. ∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－12)＝0.由于a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝12(n ≥2)．∴{a n }是以a 1＝1为首项，12为公差的等差数列．∴a n ＝1＋(n －1)×12＝n ＋12.(3)S n ＝n ＋n n －12·12＝n 2＋3n 4，∴b n ＝4S n n ＋3·q n ＝nq n .∴T n ＝q ＋2q 2＋3q 3＋…＋(n －1)qn －1＋nq n.③已知p >q >0，而由(2)知p ＝1，则q ≠1. ∴qT n ＝q 2＋2q 3＋3q 4＋…＋(n －1)q n ＋nqn ＋1.④由③－④，得(1－q )T n ＝q ＋q 2＋q 3＋…＋q n －1＋q n－nq n ＋1＝q 1－q n 1－q－nq n ＋1.∴T n ＝q 1－q n 1－q 2－nq n ＋11－q. 10．将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：a 1a 2 a 3 a 4a 5 a 6 a 7 a 8 a 9…已知表中的第一列数a 1，a 2，a 5，…构成一个等差数列，记为{b n }，且b 2＝4，b 5＝12.表中每一行正中间一个数a 1，a 3，a 7，…构成数列{c n }，其前n 项和为S n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a 13＝1.①求S n ；②记M ＝{n |(n ＋1)c n ≥λ，n ∈N *}，若集合M 的元素个数为3，求实数λ的取值范围．解析 (1)设数列{b n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋d ＝4，b 1＋4d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，d ＝2，所以b n ＝2n .(2)①设每一行组成的等比数列的公比为q .由于前n 行共有1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2个数，且 32<13<42，所以a 10＝b 4＝8.所以a 13＝a 10q 3＝8q 3，又a 13＝1，解得q ＝12.由已知可得c n ＝b n qn －1，因此c n ＝2n ·(12)n －1＝n2n －2.所以S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝12－1＋220＋321＋…＋n2n －2. 12S n ＝120＋221＋…＋n －12n －2＋n2n －1. 因此12S n ＝12－1＋120＋121＋…＋12n －2－n 2n －1＝4－12n －2－n 2n －1＝4－n ＋22n －1.解得S n ＝8－n ＋22n －2.②由①知，c n ＝n2n －2，不等式(n ＋1)c n ≥λ，可化为n n ＋12n －2≥λ.设f (n )＝n n ＋12n －2，因为f (n ＋1)－f (n )＝n ＋12－n2n －1，所以当n ≥3时，f (n ＋1)<f (n )．计算得f (1)＝4，f (2)＝f (3)＝6，f (4)＝5，f (5)＝154.因为集合M 的元素个数为3，所以λ的取值范围是(4,5]． 11．已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＝λa n －1＋λ－2(n ≥2)．(1)当λ为何值时，数列{a n }可以构成公差不为零的等差数列，并求其通项公式； (2)若λ＝3，令b n ＝a n ＋12，求数列{b n }的前n 项和S n .解析 (1)a 2＝λa 1＋λ－2＝2λ－2，a 3＝λa 2＋λ－2＝2λ2－2λ＋λ－2＝2λ2－λ－2.∵a 1＋a 3＝2a 2，∴1＋2λ2－λ－2＝2(2λ－2)，得2λ2－5λ＋3＝0，解得λ＝1或λ＝32.当λ＝32时，a 2＝2×32－2＝1，a 1＝a 2，故λ＝32不合题意舍去；当λ＝1时，代入a n ＝λa n －1＋λ－2可得a n －a n －1＝－1. ∴数列{a n }构成首项为a 1＝1，d ＝－1的等差数列． ∴a n ＝2－n .(2)当λ＝3时，a n ＝3a n －1＋1，即a n ＋12＝3(a n －1＋12)，即b n ＝3b n －1.∴数列{b n }构成首项为b 1＝32，公比为3的等比数列．∴b n ＝32×3n －1＝3n2.∴S n ＝321－3n1－3＝34(3n－1)． 12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＋a 2＝2S 3，等比数列{b n }满足b 1＝a 2，b 2＝a 4.(1)求证：{b n }中的每一项均为{a n }中的项；(2)若a 1＝12，数列{c n }满足：b n ＋1·c n ＝(－1)n(1＋2log 2b n )，求数列{c n }的前n 项和T n .解析 (1)证明：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 4＋a 2＝2S 3得4a 1＋6d ＋a 1＋d ＝6a 1＋6d ，∴a 1＝d .则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1.∴b 1＝2a 1，b 2＝4a 1，等比数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2. 则b n ＝2a 1·2n －1＝2na 1.∵2n∈N *，∴{b n }中的每一项均为{a n }中的项． (2)解析：∵a 1＝12，∴b n ＝2n×12＝2n －1.由b n ＋1·c n ＝(－1)n(1＋2log 2b n )，得2n·c n ＝(－1)n[1＋2(n －1)]＝(－1)n(2n －1)． ∴c n ＝－1n2n －12n＝(2n －1)(－12)n.T n ＝(－12)＋3(－12)2＋5(－12)3＋…＋(2n －1)(－12)n ，－2T n ＝1＋3(－12)＋5(－12)2＋…＋(2n －1)(－12)n －1.两式相减，得－3T n ＝1＋2(－12)＋2(－12)2＋…＋2(－12)n －1－(2n －1)(－12)n＝1－2＋2·[1＋(－12)＋(－12)2＋…＋(－12)n －1]－(2n －1)(－12)n＝－1＋2·1－－12n1－－12－(2n －1)(－12)n＝－1＋43－43(－12)n －(2n －1)(－12)n＝13－6n ＋13(－12)n ，∴T n ＝6n ＋19(－12)n －19. 13．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－a n －2n －2＝0，(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n ＋1＋1a n ＋2＋1a n ＋3＋…＋1a 2n，若对任意的正整数n ，当m ∈[－1,1]时，不等式t 2－2mt ＋16>b n 恒成立，求实数t 的取值范围．解析 (1)由题意得a n －a n －1＝2n (n ≥2)，累差叠加，得a n ＝n (n ＋1)(n ≥2)．又a 1＝2，所以a n ＝n (n ＋1)，(n ∈N *)． (2)b n ＝1n ＋1n ＋2＋1n ＋2n ＋3＋…＋12n2n ＋1＝1n ＋1－12n ＋1＝nn ＋12n ＋1＝n2n 2＋3n ＋1，b n ＝12n ＋1n＋3，b n 的最大值为b 1＝16，所以t 2－2mt ＋16>16恒成立，m ∈[－1,1]．构造g (m )＝－2tm ＋t 2，即g (m )>0恒成立m ∈[－1,1]．当t ＝0，不成立；当t ≠0，g (m )是一次函数，⎩⎪⎨⎪⎧g －1>0，g1>0，解得t ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．14．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26.{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .答案 (1)a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2) (2)T n ＝n4n ＋1解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2. 由于a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n a 1＋a n2，所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2)．(2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 2n －1＝4n (n ＋1)．因此b n ＝14nn ＋1＝14(1n －1n ＋1)．故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝14(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1) ＝14(1－1n ＋1)＝n4n ＋1. 所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n4n ＋1. 15．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和S n ，若S 4≥10，S 5≤15，求a 4的最大值．解析方法一 a 5＝S 5－S 4≤5，S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝5a 3≤15，a 3≤3，则a 4＝a 3＋a 52≤4，a 4的最大值为4.方法二 ∵⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝4a 1＋6d ≥10，S 5＝5a 1＋10d ≤15⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2a 1－3d ≤－5，a 1＋2d ≤3⇒d ≤1.又∵S 5＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝5a 3≤15，∴a 3≤3. ∴a 4≤4.故a 4的最大值为4.方法三本题也可利用线性规划知识求解．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ≥10，5a 1＋10d ≤15⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3.a 4＝a 1＋3d .画出可行域⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3，求目标函数a 4＝a 1＋3d 的最大值，即当直线a 4＝a 1＋3d 过可行域内(1,1)点时截距最大，此时a 4＝4.16．(2012·天津)已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n ＝a n b 1＋a n －1b 2＋…＋a 1b n ，n ∈N *，证明：T n ＋12＝－2a n ＋10b n (n ∈N *)．解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d .由条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2＋3d ＋2q 3＝27，8＋6d －2q 3＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝2.所以a n ＝3n －1，b n ＝2n，n ∈N *. (2)方法一由(1)得T n ＝2a n ＋22a n －1＋23a n －2＋…＋2n a 1，① 2T n ＝22a n ＋23a n －1＋…＋2n a 2＋2n －1a 1.②由②－①，得T n ＝－2(3n －1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n ＋2n ＋2＝121－2n －11－2＋2n ＋2－6n ＋2＝10×2n－6n －10.而－2a n ＋10b n －12＝－2(3n －1)＋10×2n －12＝10×2n－6n －10，故T n ＋12＝－2a n ＋10b n ，n ∈N *.方法二 (1)当n ＝1时，T 1＋12＝a 1b 1＋12＝16，－2a 1＋10b 1＝16，故等式成立； (2)假设当n ＝k 时等式成立，即T n ＋12＝－2a k ＋10b k ，则当n ＝k ＋1时，有T k ＋1＝a k ＋1b 1＋a k b 2＋a k －1b 3＋…＋a 1b k ＋1＝a k ＋1b 1＋q (a k b 1＋a k －1b 2＋…＋a 1b k ) ＝a k ＋1b 1＋qT k＝a k ＋1b 1＋q (－2a k ＋10b k －12) ＝2a k ＋1－4(a k ＋1－3)＋10b k ＋1－24 ＝－2a k ＋1＋10b k ＋1－12. 即T k ＋1＋12＝－2a k ＋1＋10b k ＋1. 因此n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)和(2)，可知对任意n ∈N *，T n ＋12＝－2a n ＋10b n 成立．17．(2012·陕西)设{a n }是公比不为1的等比数列，其前n 项和为S n ，且a 5，a 3，a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的公比；(2)证明：对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．解析 (1)设数列{a n }的公比为q (q ≠0，q ≠1)，由a 5，a 3，a 4成等差数列，得2a 3＝a 5＋a 4. 即2a 1q 2＝a 1q 4＋a 1q 3.由a 1≠0，q ≠0，得q 2＋q －2＝0，解得q 1＝－2，q 2＝1(舍去)，所以q ＝－2.(2)方法一对任意k ∈N ＋，S k ＋2＋S k ＋1－2S k ＝(S k ＋2－S k )＋(S k ＋1－S k )＝a k ＋1＋a k ＋2＋a k ＋1 ＝2a k ＋1＋a k ＋1·(－2) ＝0，所以，对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．方法二对任意k ∈N ＋，2S k ＝2a 11－q k1－q，S k ＋2＋S k ＋1＝a 11－q k ＋21－q ＋a 11－q k ＋11－q＝a 12－q k ＋2－q k ＋11－q，2S k －(S k ＋2＋S k ＋1)＝2a 11－q k1－q－a 12－q k ＋2－q k ＋11－q＝a 11－q[2(1－q k)－(2－qk ＋2－q k ＋1)]＝a 1q k 1－q(q 2＋q －2)＝0，因此，对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．18．(2012·广东)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列．(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.解析 (1)∵a 1，a 2＋5，a 3成等差数列， ∴2(a 2＋5)＝a 1＋a 3.又∵2a 1＝2S 1＝a 2－22＋1,2(a 1＋a 2)＝2S 2＝a 3－23＋1， ∴a 2＝2a 1＋3，a 3＝6a 1＋13.因此4a 1＋16＝7a 1＋13，从而a 1＝1.(2)由题设条件知，n ≥2时，2S n －1＝a n －2n＋1， 2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1.∴2a n ＝a n ＋1－a n －2n，于是a n ＋1＝3a n ＋2n (n ≥2)．而由(1)知，a 2＝2a 1＋3＝5＝3a 1＋2，因此对一切正整数n ，有a n ＋1＝3a n ＋2n. 所以a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n)．又∵a 1＋21＝3，∴{a n ＋2n}是以3为首项，3为公比的等比数列．故a n ＋2n＝3n，即a n ＝3n－2n. (3)∵a n ＝3n－2n＝3·3n －1－2n ＝3n －1＋2(3n －1－2n －1)≥3n －1，∴1a n ≤13n －1. ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋132＋…＋13n －1＝1－13n1－13<32. 19．(2012·湖北)已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1a 1＋d a 1＋2d ＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列的通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7.故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列；当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7)＝5＋n －2[2＋3n －7]2＝32n 2－112n ＋10.当n ＝2时，满足此式．综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n >1.20．(2012·江西)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝kc n－k (其中c ，k 为常数)，且a 2＝4，a 6＝8a 3.(1)求a n ；(2)求数列{na n }的前n 项和T n .解析 (1)由S n ＝kc n －k ，得a n ＝S n －S n －1＝kc n －kcn －1(n ≥2)．由a 2＝4，a 6＝8a 3，得kc (c －1)＝4，kc 5(c －1)＝8kc 2(c －1)．解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，k ＝2，所以a 1＝S 1＝2，a n ＝kc n －kcn －1＝2n (n ≥2)，于是a n ＝2n.(2)T n ＝∑i ＝1nia i ＝∑i ＝1ni ·2i，即T n ＝2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n ，T n ＝2T n －T n ＝－2－22－23－24－…－2n ＋n ·2n ＋1＝－2n ＋1＋2＋n ·2n ＋1＝(n －1)2n ＋1＋2.21．(2012·安徽)数列{x n }满足x 1＝0，x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c (n ∈N *)． (1)证明：{x n }是递减数列的充分必要条件是c <0； (2)求c 的取值范围，使{x n }是递增数列．解析 (1)先证充分性，若c <0，由于x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c ≤x n ＋c <x n ，故{x n }是递减数列；再证必要性，若{x n }是递减数列，则由x 2<x 1，可得c <0. (2)(ⅰ)假设{x n }是递增数列．由x 1＝0，得x 2＝c ，x 3＝－c 2＋2c . 由x 1<x 2<x 3，得0<c <1. 由x n <x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c 知，对任意n ≥1都有x n <c ，①注意到c －x n ＋1＝x 2n －x n －c ＋c ＝(1－c －x n )(c －x n )，②由①式和②式可得1－c －x n >0，即x n <1－c . 由②式和x n ≥0还可得，对任意n ≥1都有c －x n ＋1≤(1－c )(c －x n )．③21 反复运用③式，得c －x n ≤(1－c )n －1(c －x 1)<(1－c )n －1.x n <1－c 和c －x n <(1－c )n －1两式相加，知 2c －1<(1－c )n －1对任意n ≥1成立．根据指数函数y ＝(1－c )n 的性质，得2c －1≤0，c ≤14.故0<c ≤14. (ⅱ)若0<c ≤14，要证数列{x n }为递增数列，即 x n ＋1－x n ＝－x 2n ＋c >0，即证x n <c 对任意n ≥1成立．下面用数学归纳法证明：当0<c ≤14时，x n <c 对任意n ≥1成立． (1)当n ＝1时，x 1＝0<c ≤12，结论成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时结论成立，即x k <c .因为函数f (x )＝－x 2＋x ＋c 在区间(－∞，12]内单调递增，所以x k ＋1＝f (x k )<f (c )＝c ，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立．故x n <c 对任意n ≥1成立．因此，x n ＋1＝x n －x 2n ＋c >x n ，即{x n }是递增数列．由(ⅰ)(ⅱ)知，使得数列{x n }单调递增的c 的范围是(0，14]．。

第六章必刷大题12 数列的综合问题

因为Tn＝a1a2·…·an(n∈N*)，所以T1＝a1，当n∈N*，n≥2时，
因为a1＝1，所以an＝qn－1，
( n 1) n
所以Tn＝a1a2·…·an＝q0＋1＋2＋…＋(n－1)＝q 2 ，
因为n－21n∈N*，
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所以令n－21n＝k，则 Tn＝ak＋1，所以数列{an}是“前n项之积封闭数列”，所以充分性成立. 必要性：当a1＝q≠1时，an＝a1qn－1＝qn， (n1)n
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即证 1>n＋2 1＋n＋2 2，易知n＋2 1＋n＋2 2是一个递减数列，故当 n＝3 时，其最大值为24＋25＝190<1，得证.
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5.(2023·邯郸统考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn＋ 1(n∈N*). (1)求{an}的通项公式；
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因为 Sn＝n＋n 2an＋1，所以(n＋2)Sn＝nan＋1，因为an＋1＝Sn＋1－Sn，所以(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn，所以nS＋n＋11＝2·Snn(n∈N*).
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即bn＋1＝2bn，又b1＝S1＝2，所以数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列. 所以bn＝2n.
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12Tn＝222＋233＋244＋…＋2nn＋n2＋n＋11，两式相减，可得12Tn＝221＋212＋213＋…＋21n－n2＋n＋11 ＝1＋2121－－221n1＋1－n2＋n＋11 ＝32－n2＋n＋31 ，∴Tn＝3－n＋2n 3.
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4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝7，S3＝5a1. (1)求{an}的通项公式；

中职数学第六章数列小测试卷(2018级)+参考答案

2019-2020学年第一学期2018级中职数学第六章《数列》测试卷（时间：90分钟，总分：100分）班级：姓名：座号：成绩：二、填空题：（3′×5=15′）1.在等差数列{}n a 中，已知35a =，则5S = ；2.数列{}n a 的通项公式为5n n a =，则1a = ；3.等比数列{}n a 中，首项11,a =公比2q =，则该数列的前三项和3S 等于；4.等比数列{}n a 中，若478a a =，则29a a = ；5. 设n S 为数列{n a }的前n 项和，且n S n 2，则数列{n a }的通项公式为 .三、解答题：（40′，每题8′）1.已知成等比数列的三个数的积为27，且这三个数的和为13，求这三个数.2.已知等差数列{}n a 中，182,30a a ==，求d 和8S .3. 已知数列{}n a 中，111,2()n n a a a n N *+=-=∈ （1）求2a ，3a ；（2）求数列{}n a 的通项公式.4.等比数列{}n a 中，516a =，且前三项的积为8，求数列{}n a 的通项公式n a 及其前4项和4S .5.已知数列{}n a 满足 114,50n n a a a +=-=，求（1）数列{}n a 的通项公式n a ；（2）当n 为何值时，n S 取最大值？一、选择题：（3′×15=45′） 1.下列数列是等差数列的是（）A. 2,6,10,14,18B. 1,4,9,16,25C. 2,4,8,16,32D.11111,2345，，，2．已知三个数2,4,x 成等比数列，则x 等于（）A. 8B. 10C. 12D.16 3．等差数列1,3,5,7,9的一个通项公式是（）A 2n a n =B 21n a n =-C 22n a n =-D 23n a n =- 4．数列{}n a 的通项公式为2n n a = ，则3a 等于（）A. 1B. 2C. 4D.8 5．等差数列{}n a 中，若132,6,a a ==则该数列前3项和3S 等于（） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 6．已知等差数列11,2a d ==，求3a =（）A. 3B. 5C. 7D. 9 7.已知等比数列{n a }为248,,,，那么公比q（）A. 2B. 4C. 8D. 16 8.已知数列{n a }的通项公式为n a n =-21，那么10a =（）A. 10B. 50C. 88D. 99 9．在等差数列{n a }中，已知336S ，则2a （）A. 6B. 9C. 10D. 12 10．已知数列的通项公式为na n 32，那么该数列是（）A. 等差数列B. 等比数列C. 既是等差数列，又是等比数列D. 既不是等差数列，又不是等比数列11．等差数列1，2, 5，…的一个通项公式为（） A. na n34 B. na n 32 C .na n 22 D. na n 2112.在等差数列{n a }中，a 12，a 720，那么S 7（）A. 50B. 66C. 77D. 80 13.在等差数列{n a }中，a 11，d5，那么S 10（）A. 100B. 200C. 235D. 285 14.等比数列99,-33,11，…的公比为（）A. 3B.-3C. 13D. 13-15.等比数列10,1，110，…的一个通项公式为（） A. n n a -=10 B. n n a -+=110 C. n n a --=110 D. n n a -+=210本章相关公式一些数列的通项公式 1，2，3，4，5， n a n = 2，4，6，8，10， 2n a n = 1，3，5，7，9， 21n a n =- 2，4，8，16，32，2n n a = 1，4，9，16，25， 2n a n = 1，8，27，64，125，3n a n =等差数列1n n a a d +=+ 1(1)n a a n d =+- ()n m a a n m d =+- 2132a a a =+ 5192a a a =+1()2n n n a a S +=1(1)2n n n S na d -=+ 等比数列1n n a a q += 11n n a a q -= n m n m a a q -=2213a a a =⋅ 2519a a a =⋅1(1)(1)1n n a q S q q -=≠- 1(1)1n n a a q S q q -=≠-1(1)n S na q ==参考答案：二、填空题：（3′×5=15′） 1. 25； 2. 5； 3. 7； 4. 8； 5. 21n a n =-.三、解答题：（40′，每题8′） 1. 1,3,9或9，3，1. 2. =4d ，8128S =.3. （1）233,5a a ==；（2）21n a n =-.4. 12n n a -=，4=15S .5. （1）544n a n =-；（2）当13n =为何值时，n S 取最大值338.。

数列的测试题

数列的测试题
1. 基础题：给定数列的前几项，找出数列的通项公式。

- 题目：数列的前5项为 2, 4, 8, 16, 32，求该数列的通项公式。

2. 中等题：使用等差数列和等比数列的性质解决问题。

- 题目：已知等差数列的第3项为10，第5项为18，求该数列的
首项和公差。

3. 提高题：数列的求和问题。

- 题目：给定等差数列的首项为3，公差为2，求前10项的和。

4. 应用题：将数列问题与实际问题结合起来。

- 题目：某公司每年的利润增长率为5%，如果第一年的利润为100
万元，求5年后的总利润。

5. 综合题：涉及到数列的极限问题。

- 题目：给定数列 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...，求该数列的极限。

6. 探索题：发现数列的规律并证明。

- 题目：观察数列 1, 11, 21, 1211, 111221，找出数列的规律并
证明。

7. 计算题：使用数列的性质进行复杂的计算。

- 题目：已知等比数列的首项为2，公比为3，求前6项的和。

8. 证明题：证明数列的性质或定理。

- 题目：证明等差数列中任意两项的等差中项等于这两项的算术平
均数。

9. 开放题：设计一个数列问题并解决。

- 题目：设计一个数列，使得它的前n项和为n^2，求该数列的通项公式。

10. 创新题：使用数列解决非传统问题。

- 题目：在数学竞赛中，每位参赛者需要解决一系列问题。

如果解决一个问题可以获得5分，未解决则扣2分。

如果参赛者想要获得至少20分，他至少需要解决多少个问题？。

数列测试题及答案解析

数列测试题及答案解析一、选择题1. 已知数列{an}满足a1=2，an+1 = 2an，判断数列{an}是否为等比数列。

A. 是B. 不是C. 无法判断答案：A2. 若数列{bn}是等差数列，且b3=5，b5=9，求b7。

A. 11B. 13C. 无法确定答案：B二、填空题1. 给定数列{cn}，其中c1=1，cn+1 = cn + n，求c5的值。

答案：152. 已知等差数列{dn}的首项d1=3，公差d=2，求d20的值。

答案：43三、解答题1. 求等比数列{en}的前n项和Sn，若e1=1，公比q=3。

解：根据等比数列前n项和公式Sn = e1 * (1 - q^n) / (1 - q)，代入e1=1和q=3，得到Sn = (1 - 3^n) / (1 - 3)。

2. 已知等差数列{fn}的前n项和为Tn，若f1=2，d=3，求T10。

解：根据等差数列前n项和公式Tn = n/2 * (2a1 + (n - 1)d)，代入f1=2和d=3，得到T10 = 10/2 * (2*2 + (10 - 1)*3) = 5 * (4 + 27) = 5 * 31 = 155。

四、证明题1. 证明数列{gn}，其中gn = n^2，是一个单调递增数列。

证明：设n≥2，我们需要证明对于任意的n，有gn ≥ gn-1。

即证明n^2 ≥ (n-1)^2。

展开得n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1 > 0，所以数列{gn}是单调递增的。

2. 证明等差数列{hn}的任意两项hn和hm（m > n）之和等于它们中间项的两倍。

证明：设等差数列{hn}的首项为h1，公差为d。

根据等差数列的定义，hn = h1 + (n - 1)d，hm = h1 + (m - 1)d。

将两项相加得hn + hm = 2h1 + (m + n - 2)d。

由于m > n，所以m + n - 2 = m - 1 + n - 1，即hn + hm = h1 + (m - 1)d + h1 + (n - 1)d = 2h1 + (m + n - 2)d = 2h((m + n - 1)/2)，这正是它们中间项的两倍。

第六章数列单元测试题(一)

第六章数列
单元测试题（一）
徐奎银 2019年9月20日
班级姓名分数.
一、选择题（共30分，每小题3分。每小题选项中只有一个正确的答案，请将正确的答案序号填在题后的括号里）
1.已知数列的通项公式为，则公差d为（）
A.2 B.3 C.4 D.5
2.数列的前n项和 =（）
A. B. C. D.
3.等差数列{ }中， =9，则 =( )
17.等比数列{ }的前n项和为，，则公比q的值为.
18.已知数列{ }是等比数列，若，则的值为.
19.数列的一个通项公式是.
20.等差数列{ }中，d=2, ,则 =.
三、计算题（共24分，每小题6分）
21.已知公式.
22.已知在一个等比数列{ }中，， ,求其第四项及前五项的和
A.45 B. 81 C. 64 D. 95
4.若数列{ }满足： =19，，则数列{ }前n项和数值最大时，n的值为（）
A.6 B. 7 C. 8 D. 9
5.在⊿ABC中，三个内角A,B,C成等差数列,则B的值为（）
A. B. C. D.
6.等差数列{ }的通项公式，则 =（）
A.-60 B. -59 C. -58 D. -57
23.有四个数，前三个数成等差数列，公差为10，后三个数成等比数列，公比为3，求这四个数.
24.等比数列{ }中，公比q=2, ,
求 .
四综合题（共16分，每小题8分）
25.数列{ }中，已知，，求证：是等差数列
26.等差数列{ }中，，，且成等比数列，求
7.若2与16分别是等比数列的第3项和第6项，则其第8项是（）
A.32 B. 16 C. 64 D. 128

数学练习(新教材人教A版强基版)第六章数列63等比数列

1．(2023·岳阳模拟)已知等比数列{a n }满足a 5－a 3＝8，a 6－a 4＝24，则a 3等于( )A ．1B ．－1C ．3D ．－32．已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于( )A ．40B ．60C ．32D ．503．已知等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝1，a 6a 7a 8＝64，则a 4a 5a 6等于( )A ．±8B ．－8C ．8D ．164．(2022·日照模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1 016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{a n }，则log 2(a 3·a 5)的值为( )A ．16B ．12C ．10D ．85．(多选)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列说法正确的是( )A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列 6．已知数列{a n }是等比数列，若a 2＝1，a 5＝18，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N *)的最小值为( )A.83B ．1C ．2D ．3 7．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，且a n >0，S 1＋a 1＝2，S 3＋a 3＝22，则公比q ＝________，S 5＋a 5＝________.8．已知数列{a n }为等比数列，若数列{3n －a n }也是等比数列，则数列{a n }的通项公式可以为 __________.(写出一个即可)9．等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n为{a n}的前n项和，若S m＝63，求m.10．S n为等比数列{a n}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.(1)求a n及S n；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n＋λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．11．(多选)在数列{a n}中，n∈N*，若a n＋2－a n＋1a n＋1－a n＝k(k为常数)，则称{a n}为“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是()A．k不可能为0B．等差数列一定是“等差比数列”C．等比数列一定是“等差比数列”D．“等差比数列”中可以有无数项为012．记S n为等比数列{a n}的前n项和，已知a1＝8，a4＝－1，则数列{S n}()A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项13．设{a n}是公比为q的等比数列，|q|>1，令b n＝a n＋1(n＝1,2，…)，若数列{b n}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.14．记S n为数列{a n}的前n项和，S n＝1－a n，记T n＝a1a3＋a3a5＋…＋a2n－1a2n＋1，则a n＝________，T n＝________.15．将正整数按照如图所示方式排列：试问2 024是表中第________行的第________个数．16．(2023·泰安模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a n >0,4S 1＋S 2＝S 3.(1)求数列{a n }的公比q ；(2)对于∀n ∈N *，不等式a n －a 1S n ＋n 2＋172≥6n ＋t 恒成立，求实数t 的最大值．。

中职数学第6章《数列》单元检测试题及答案【基础模块下册】

2020届中职数学第六章《数列》单元检测（满分100分，时间：90分钟）一、选择题(每题3分,共30分)1．数列{}n a 的通项公式11[1(1)]2n n a +=+-,则这个数列前4项依次是( ) A.1,0,1,0 B.0,1,0,1 C.11,0,,022 D.110,,0,222．已知数列{}n a 的首项为1,以后各项由公式)2(21≥+=-n a a n n 给出,则这个数列的一个通项公式是( )．A.23-=n a n B. 12-=n a n C. 2+=n a n D. 34-=n a n3．数列m,m,m ，....,m 一定（）数列A.是等差但不是等比B.是等比但不是等差C.既是等差又是等比D.是等差但不一定是等比 4．lga,lgb,lgc 成等差数列，则( )A.2a c b +=B.lg lg 2a cb += C.b = D.b =5．在等比数列{}n a 中,1a =5,1=q ,则6S =( )．A.5 B.0 C.不存在 D. 306．已知在等差数列{}n a 中,35,3171==a a ,则公差d=( )．A. 0 B. −2 C.2 D.4 7．在等差数列{}n a 中，31140a a +=，则45678910a a a a a a a -+++-+=( )A.48B.60C. 72D.848．已知三个数 -80,G,-45成等比数列,则G=( )A. 60B.-60C.3600D. ±609.两个数的等差中项是3，等比中项是±，则这两个数为( ) A. 2，4 B.3，12 C.6，3 D. 6，210.数列{}n a 成等差数列的充要条件是( )A. 1n n a a +-=常数B. 10n n a a --=C.1n n a a +-=常数D.1n n a a +-=0二.填空题(每空4分,共32分)11.数列2,-4,6,-8,10,…,的通项公式=n a12.等差数列3,8,13,…中，8a = ．13.数列前4项为 -1,21,13-,41,…,则=n a _________ 14.已知等差数列59{}3n a a S ==中，则 .15.数列{}n a 是等比数列,31,3,a q ==则=5a .16.一个数列的通项公式是 ),1(-=n n a n 则56是这个数列的第项.17. 已知三个数13,,13-+A 成等差数列,则A = 。

职高数学第六章数列习题及答案

练习填空题：(1) 依据必定的序次排成的一列数叫做．数列中的每一个数叫做数列的．(2)只有有限项的数列叫做，有无穷多项的数列叫做．（ 3）设数列 { a n } 为“ -5,-3,-1,1,3, 5，”，指出此中a3、 a6各是什么数？答案：（ 1）数列项（2）有穷数列无量数列（3）-1 5练习1.填空题：（ 1）一个数列的第n 项 a n，假如可以用对于项数n i的一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的.（ 2）已知数列的通项公式为a n n(n 2) ，则a3=(3) 已知数列通项公式为a n n(n 2) ，则a4+a6=2. 选择题：（ 1）数列 1,4,9,16,25. 。

的第 7 项是（）A.49B.94C.54D.63(2) 以下通项公式中不是数列3,5,9. 。

的通项公式是（）A.a n =2n+1B.a n=n2-n+3C .a n=2n+1 D. a n 2 n3 5n 2 25n 73 3答案：1. （1）通项公式（2）3 （3） 322. （1） A （2） C练习1.填空题：假如一个数列从第 2 项开始，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么，这个数列叫做．这个常数叫做等差数列的，一般用字母表示．2. 已知等差数列的首项为8，公差为 3，试写出这个数列的第 2 项到第 5 项3.写出等差数列 2,4,6,8, 的第 10 项 .答案： 1. 等差数列公差 d2. 11 14 17 203 201.求等差数列 -3,1,5 的通项公式与第 15 项．2. 在等差数列a n 中， a5 11, a11 5 ，求 a1与公差d .3. 在等差数列a n 中， a3 7, a5 a2 6, 求 a6答案：1 a n4n 7 a15 532a1 =15 d=-13a6=13练习1.等差数列a n的前 n 项和公式或2.已知数列— 13，— 9，— 5， ..的前 n 项和为 50 ，则 n=3. 等差数列a n 中， a1 a20 30,则 S204. 等差数列a n 中， a3 9, a9 3,求 S15 答案：1. S n n a1 a nS nn n 1 2na1 d22.103.3004.60练习1. 工人生产某种部件，假如从某一个月开始生产了200 个部件，此后每个月比上一个月多生产 100 个，那么经过多少个月后，该厂共生产3500 个部件？2. 一个屋顶的某一个斜面成等腰梯形，最上边一层铺了20 块瓦片，往下每一层多铺 2块瓦片，斜面上铺了10 层瓦片，问共铺了多少块瓦片？答案：1．7个月2.290 块1、假如一个数列从第 2 项开始，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做．这个常数叫做这个等比数列的，一般用字母来表示．2、在等比数列a n中， a23, q 2 ，试写出a4、a6.3、写出等比数列 2 ，— 6 ， 18，— 54的第５项与第 6 项．答案：1、等比数列公比q2、 a4 =— 12a6 = — 483、 a5=162a6= — 486练习1、等比数列的通项公式2、等比数列a n中，a2=10 ,a5=80,求a n=3、已知等比数列32,16,8,4，，求通项公式a a n 及 6答案：1、a n a 1 q n 1 .2、a n 5 2n 11 n 63、a n , a6 12练习1、等比数列a n 的前 n 项和公式或2、等比数列a n2 5 5 中， a =10 ,a =80,求 S =3、若 x , 2x+2 , 3x+3 是一个等比数列的连续三项，则x 的值为答案：1、S n a1(1 q n )(q) ．S na1anq(q) ．1 q 1 1 q 12、 S5=1553、 x= — 4。

第六章数列测试题及答案

第六章数列测试题一、选择题：（每小题5分，共40分）1、数列1，3，6，10，… 的通项公式是----------------------------------------------------------（C ）A ）n 2-n+1B ）2)1(-n nC ）2)1(+n n D ）以上都不对 2、已知数列2，5，22 ，11，…，则25是这个数列的---------------------（B ）A ）第6项B ）第7项C ）第8项D ）第9项3、等差数列{a n }中，a 1=1，a 4=7，则a 19为--------------------------------------------------------（C ）A ）19B ）21C ）37D ）414、等差数列{a n }中，a 1=3，a 100=36，则a 3+ a 98等于---------------------------------------------（C ）A ）36B ）38C ）39D ）425、设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n =n 2-2n ，则S 10为----------------------------------------（B ）A ）90B ）80C ）70D ）756、在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3=----------------------------------------------（A ）A ）4B ）23C ）916 D ）3 7、若x ，2x+2，3x+3是一个等比数列的前3项，则第4项是-------------------------------（C ）A ）227B ）135C ）227- D ）-27 8、某企业向银行贷款10万元，贷款利率为5%，按复利计息，三年后，该企业已欠银行（C ）A ）10(1+5%)万元B ）10(1+5%)2万元C ）10(1+5%)3万元D ）10(1+5%)4万元二、填空题：（每小题5分，共30分）9、数列{a n }的通项公式是a n =12-n ，它的前三项为__1__，__3__，_7__。

2025年高考数学一轮复习课件第六章数列-单元检测

= + 1，所以
2+11 ×10
1 + 22 + 33 + ⋯ + 1010 = 2 + 3 + 4 + ⋯ + 11 =
= 65，故C正确.
2
2
3
4

+1
当 ≥ 2时，1 2 ⋯ −1 − 1 = × × × ⋯ ×
×
− 1 = 1，故D正确.
1
2
3
−1

C.−
7
√
< < −3
1
2
3
4
5
6
7
16
8
17
9
18
10
19
11
，12 中最大的是6
12
13
14
15
解：对于A,C,因为12 =
12 1 +12
2
= 6(6 + 7 ) > 0，且13 =
13 1 +13
2
= 137 < 0，
24 + 7 > 0,
24
所以7 < 0，6 + 7 > 0.又3 = 12，所以ቊ
1 < 2 < ⋯ < 5 < 6 ,且6 > 7 > ⋯ > 12 ，即D正确.
故选BCD.
1
2
3
4
5
6
7
16
8
17
9
18
10
19
11
12
13
14
15
11.设数列{ }满足1 = 2,+1 = 2

第六章习题

第六章习题图论基础6.1下列各组数中，那些能构成无向图的度数列？那些能构成无向简单图的度数列？（1）1，1，1，2.3(2)2,2,2,2,2(3)1,2,3,4,5(4)1,3,3,36.2设有向简单图D的度数为2，2，3，3，入度列0，0，2，3，试求D的除度列。

6.3设是4阶有向简单图，度数列为3，3，3，3.它的入度列9或出度列）能为1，1，1，1吗？6.4设( )为一正整数序列，互不相同，问此序列能构成n阶无向图的度数列吗？为什么？6.5下面无向图中有几个顶点？（1）16条边，每个顶点都是2度顶点.（2）21条边，3个4度顶点，其余的都是3度顶点.（3）24条边，各顶点的度数是相同的.6.6 35条边，每个顶点的度数至少为3的图最多有几个顶点?6.7设n阶无向简单图中，（G）=n-1，问（G）应为多少？6.8一个n（n２）阶无向简单图Ｇ中，ｎ为奇数，已知Ｇ中有ｒ各奇度顶点，问Ｇ的补图中有几个奇度顶点？6.9设Ｄ是ｎ阶有向简单图，是Ｄ的子图，已知的边数＝ｎ（ｎ－１），问Ｄ的边数ｍ为多少？6.10画出－－－的所有非同构的子图，其中有几个是子图？生成子图中有几个是连通图？6.11设Ｇ为ｎ阶简单图（无向图或有向图），－－为Ｇ的补图，若Ｇ－－－－，则称Ｇ为自补图，――的生成子图中有几个非同构的自补图？6.12．设无向图G有10条边，3度与4度顶点各2个，其余顶点的度数均小于3，问G中至少有几个顶点？在最少顶点的情况下，写出G的度数列、Δ(G)、δ(G).6.13．设n阶图G中有m条边，证明：δ(G)≤2m/n≤Δ(G).6.14．设无向图中有6条边，3度与5度顶点各一个，其余的都是2度顶点，问该图有几个顶点？6.15．证明空间中不可能存在有奇数个面且每个面都有奇数条棱的多面体。

6.16．阶2-正则图有几种非同构的情况？6.17．设n阶无向图为3-正则图，且边数m与n满足2n-3=m，问这样的无向图有几种非同构的情况？6.18画出３阶有完全图所有非同构的子图，问其中有几个是生成子图？生成子图中有几个是自补图？6.19设－－－－均为４阶无向简单图，他们均由两条边，他们能彼此均非同构吗？为什莫？6.20已知ｎ阶无向图Ｇ中有ｍ条边，各顶点的度数均为３，又已知２ｎ－３＝ｍ，问在同构的意义下，Ｇ是唯一的吗？又若Ｇ为简单时，是否唯一？6.22在－－的边上涂上红色或蓝色，证明对于任意一种随意的涂法，总存在红色――或蓝色――？6.23试寻找３个４阶有向简单图－－－，使得－－强连通图；－－为单向连通图，但不是强连通图；而－－是弱连通图，但不是单向连通图，当然，更不是强连通图．6.24设---和----分别为无向连通图G的点割集.G—----的连通图分支个数k一定为几？G-----l连通分支数也是定数吗？6.25有向图D如图7.19所示.求D中长度为4的通路总数，并指出其中有多少条是回路？又有几条是----到---的通路？6.26．现有3个4阶4条边的无向简单图G1,G2,G3,证明它们中至少有两个是同构的。

2024年高考数学总复习第六章《数列》测试卷及答案解析

2024年高考数学总复习第六章《数列》测试卷及答案(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 10＝100，则a 7的值为()A ．11B ．12C ．13D ．14答案C解析由S 10＝100及公差为2，得10a 1＋10×(10－1)2×2＝100，所以a 1＝1.所以a n ＝2n －1，故a 7＝13.故选C.2．若等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a2a 1等于()A.32B.23C.12D ．2答案A解析设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 7＝a 1＋6d .因为a 1，a 3，a 7成等比数列，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得a 1＝2d .所以a 2a 1＝2d ＋d 2d＝32.故选A.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＝30，S 10＝10，则S 16等于()A ．－160B ．－80C ．20D ．40答案B解析a 1＋15d ＝30，a 1＋45d ＝10，解得a 1＝10，d ＝－2，故S 16＝16a 1＋120d ＝16×10＋120×(－2)＝－80，故选B.4．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于()A ．－3B ．5C ．－31D ．33答案D解析由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－qa 1(1－q 3)1－q ＝1＋q 3＝9，∴q ＝2，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－qa 1(1－q 5)1－q＝1＋q 5＝1＋25＝33.5．(2019·湖南五市十校联考)已知数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，a 2＋a 4＋a 6＝12，a 1＋a 3＋a 5＝9，则a 1＋a 6等于()A ．6B ．7C ．8D ．9答案B解析由数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)得数列{a n }为等差数列，所以a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝12，即a 4＝4，同理a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝9，即a 3＝3，所以a 1＋a 6＝a 3＋a 4＝7.6．(2019·新乡模拟)为了参加冬季运动会的5000m 长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划：第1天跑5000m ，以后每天比前1天多跑200m ，则这个同学7天一共将跑()A ．39200mB ．39300mC ．39400mD ．39500m答案A解析依题意可知，这个同学第1天，第2天，…跑的路程依次成首项为5000，公差为200的等差数列，则这个同学7天一共将跑5000×7＋7×62×200＝39200(m)．故选A.7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于()A ．38B ．20C ．10D ．9答案C解析因为{a n }是等差数列，所以a m －1＋a m ＋1＝2a m ，由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，得2a m －a 2m ＝0，由S 2m －1＝38知a m ≠0，所以a m ＝2，又S 2m －1＝38，即(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝38，即(2m －1)×2＝38，解得m ＝10，故选C.8．(2019·青岛调研)已知各项均不相等的等比数列{a n }，若3a 2，2a 3，a 4成等差数列，设S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3a 3等于()A.139B.79C ．3D ．1答案A解析设等比数列{a n }的公比为q ，∵3a 2，2a 3，a 4成等差数列，∴2×2a 3＝3a 2＋a 4，∴4a 2q ＝3a 2＋a 2q 2，化为q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝1或3.又数列的各项均不相等，∴q ≠1，当q ＝3时，S 3a 3＝a 1(33－1)3－1a 1×9＝139.故选A.9．(2019·广东六校联考)将正奇数数列1，3，5，7，9，…依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：(1，3)，(5，7，9)，(11，13)，(15，17，19)，…，称(1，3)为第1组，(5，7，9)为第2组，依此类推，则原数列中的2019位于分组序列中的()A ．第404组B ．第405组C ．第808组D ．第809组答案A解析正奇数数列1，3，5，7，9，…的通项公式为a n ＝2n －1，则2019为第1010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2019位于分组序列中的第404组，故选A.10．(2019·新疆昌吉教育共同体月考)在数列{a n }中，a 1＝2，其前n 项和为S n .在直线y ＝2x －1上，则a 9等于()A ．1290B ．1280C ．1281D ．1821答案C解析由已知可得S n ＋1n ＋1－1＝又S11－1＝a 1－1＝1，1，公比为2的等比数列，所以Sn n －1＝2n －1，得S n ＝n (1＋2n －1)，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n ＋1)2n －2＋1，故a 9＝10×128＋1＝1281.11．(2019·长沙长郡中学调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2＋4n ，若首项为13的数列{b n }满足1b n ＋1－1b n ＝a n ，则数列{b n }的前10项和为()A.175264B.3988C.173264D.181264答案A解析由S n ＝n 2＋4n ，可得a n ＝2n ＋3，根据1b n ＋1－1b n＝a n ＝2n ＋3，结合题设条件，应用累加法可求得1b n n 2＋2n ，所以b n ＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝所以数列{b n }的前n项和为T n －13＋12－14＋…＋1n －－1n ＋1－所以T 10－111－＝175264，故选A.12．已知数列{a n }的通项a n ＝nx(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)，n ∈N *，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2018<1，则实数x 可以等于()A ．－23B ．－512C ．－1348D ．－1160答案B 解析∵a n ＝nx(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)＝1(x ＋1)(2x ＋1)…[n (x －1)＋1]－1(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)(n ≥2)，∴a 1＋a 2＋…＋a 2018＝x x ＋1＋1x ＋1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2018x ＋1)＝1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2018x ＋1)，当x ＝－23x ＋1>0，nx ＋1<0(2≤n ≤2018，n ∈N *)，此时1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2018x ＋1)>1.当x ＝－512时，x ＋1>0，x ＋2>0，nx ＋1<0(3≤n ≤2018，n ∈N *)，此时1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2018x ＋1)<1；当x ＝－1348时，x ＋1>0，x ＋2>0，x ＋3>0，nx ＋1<0(4≤n ≤2018，n ∈N *)，此时1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2018x ＋1)>1；当x ＝－1160时，x ＋1>0，x ＋2>0，x ＋3>0，x ＋4>0，x ＋5>0，nx ＋1<0(6≤n ≤2018，n ∈N *)，此时1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2018x ＋1)>1.故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和为S n ，若a 4＋a 10＝0，2S 12＝S 2＋10，则d 的值为________．答案－10解析由a 4＋a 10＝0，2S 12＝S 2＋10，1＋3d ＋a 1＋9d ＝0，a 1＋12×112d2a 1＋d ＋10，解得d ＝－10.14．(2019·沈阳东北育才中学模拟)等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若Sn T n ＝2n ＋13n ＋2，则a 3＋a 11＋a 19b 7＋b 15＝________.答案129130解析原式＝3a 112b 11＝32·2a 112b 11＝32·a 1＋a 21b 1＋b 21＝32·S 21T 21＝32·2×21＋13×21＋2＝129130.15．(2019·荆州质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝(2n －2则S 2019＝________.答案2020解析∵a n ＝(2n －2＝(1－2n )sinn π2，∴a 1，a 2，…，a n 分别为－1，0，5，0，－9，0，13，0，－17，0，21，0，…，归纳可得，每相邻四项和为4，∴S 2019＝504×4＋a 2017＋a 2018＋a 2019＝2016＋[(1－2×2017)＋0＋(2×2019－1)]＝2016＋4＝2020.16．(2019·长沙长郡中学调研)已知点列P 1(1，y 1)，P 2(2，y 2)，P 3(3，y 3)，…，P n ＋1(n ＋1，y n ＋1)在x 轴上的投影为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1，且点P n ＋1满足y 1＝1，直线P n P n ＋1的斜率1n n P P k ＋＝2n .则多边形P 1Q 1Q n ＋1P n ＋1的面积为________．答案3×2n －n －3解析根据题意可得y n ＋1－y n ＝2n ，结合y 1＝1，应用累加法，可以求得y n ＋1＝2n ＋1－1，根据题意可以将该多边形分成n 个直角梯形计算，且从左往右，第n 个梯形的面积为S n ＝y n ＋y n ＋12＝3×2n －1－1，总的面积应用分组求和法，可求得多边形的面积为S ＝3(2n －1)－n ＝3×2n －n －3.三、解答题(本大题共70分)17．(10分)已知{a n }是以a 为首项，q 为公比的等比数列，S n 为它的前n 项和．(1)当S 1，S 3，S 4成等差数列时，求q 的值；(2)当S m ，S n ，S l 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 也成等差数列．(1)解由已知，得a n ＝aq n －1，因此S 1＝a ，S 3＝a (1＋q ＋q 2)，S 4＝a (1＋q ＋q 2＋q 3)．当S 1，S 3，S 4成等差数列时，S 4－S 3＝S 3－S 1，可得aq 3＝aq ＋aq 2，化简得q 2－q －1＝0.解得q ＝1±52.(2)证明若q ＝1，则{a n }的各项均为a ，此时a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 显然成等差数列．若q ≠1，由S m ，S n ，S l 成等差数列可得S m ＋S l ＝2S n ，即a (q m －1)q －1＋a (q l －1)q －1＝2a (q n －1)q －1，整理得q m ＋q l ＝2q n .因此a m ＋k ＋a l ＋k ＝aq k －1(q m ＋q l )＝2aq n＋k －1＝2a n ＋k ，所以a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 成等差数列．18．(12分)(2019·安徽皖南八校联考)数列{a n }的前n 项和记为S n ，且4S n ＝5a n －5，数列{b n }满足b n ＝log 5a n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1b n b n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明T n <1.(1)解∵4S n ＝5a n －5，∴4a 1＝5a 1－5，∴a 1＝5.当n ≥2时，4S n －1＝5a n －1－5，∴4a n ＝5a n －5a n －1，∴a n ＝5a n －1，∴{a n }是以5为首项，5为公比的等比数列，∴a n ＝5·5n －1＝5n .∴b n ＝log 55n ＝n .(2)证明∵c n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴T n…＝1－1n ＋1<1.19．(12分)(2019·安徽皖中名校联考)已知数列{a n }满足：a n ＋1＝2a n －n ＋1，a 1＝3.(1)设数列{b n }满足：b n ＝a n －n ，求证：数列{b n }是等比数列；(2)求出数列{a n }的通项公式和前n 项和S n .(1)证明b n ＋1b n ＝a n ＋1－(n ＋1)a n －n ＝2a n －n ＋1－(n ＋1)a n －n＝2(a n －n )a n －n ＝2，又b 1＝a 1－1＝3－1＝2，∴{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列．(2)解由(1)得b n ＝2n ，∴a n ＝2n ＋n ，∴S n ＝(21＋1)＋(22＋2)＋…＋(2n ＋n )＝(21＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋3＋…＋n )＝2(1－2n )1－2＋n (n ＋1)2＝2n ＋1－2＋n (n ＋1)2.20．(12分)(2019·湖南衡阳八中月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －n (n ∈N *)．(1)证明：{a n ＋1}是等比数列；(2)若数列b n ＝log 2(a n ＋1)n 项和T n .(1)证明当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1.∵S n ＝2a n －n ，∴S n ＋1＝2a n ＋1－(n ＋1)，∴a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．(2)解由(1)得a n ＋1＝2n ，∴b n ＝log 22n ＝n ，∴1b 2n －1·b 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝∴T n －13＋13－15＋…＋12n －1－＝n 2n ＋1.21．(12分)(2019·青岛调研)已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n .(1)若对任意n ∈N *，S n ＝n 2＋n ＋12都成立，求a n ；(2)若a 1＝1，a 2＝2，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，且数列{b n }是公比为3的等比数列，求S 2n .解(1)由S n ＝n 2＋n ＋12，得S n －1＝(n －1)2＋n2，n ≥2，两式相减得a n ＝n ，n ≥2，又a 1＝S 1＝32，不满足a n ＝n ，∴a n n ＝1，n ≥2.(2)S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝b 1＋b 2＋…＋b n ，∵b 1＝a 1＋a 2＝3，{b n }是公比为3的等比数列，∴S 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3(1－3n )1－3＝32(3n－1)．22．(12分)(2019·湖南岳阳一中质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，b 1＝1，点(T n ＋1，T n )在直线x n ＋1－y n ＝12上，若存在n ∈N *，使不等式2b 1a 1＋2b 2a 2＋…＋2b na n≥m 成立，求实数m 的最大值．解(1)∵S n ＝2a n －2，①∴S n ＋1＝2a n ＋1－2，②∴②－①得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n (n ≥1)，∴a n ＋1＝2a n ，即a n ＋1a n＝2，∴{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．∴a n ＝2n .(2)由题意得，T n ＋1n ＋1－T n n ＝12，成等差数列，公差为12.首项T 11＝b11＝1，∴T n n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，T n ＝n (n ＋1)2，当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝n (n ＋1)2－n (n －1)2＝n ，当n ＝1时，b 1＝1成立，∴b n ＝n .∴2b n a n ＝2n2n ＝n 2n －1＝－1，令M n ＝2b 1a 1＋2b 2a 2＋…＋2b na n，只需(M n )max ≥m .∴M n ＝1＋2×12＋3＋…＋n －1，③12M n ＝12＋2＋3＋…＋n ，④③－④得，12M n ＝1＋12＋＋…－1－n 1－12n＝2－(n ＋，∴M n ＝4－(n ＋－1.∵M n ＋1－M n ＝4－(n ＋－4＋(n ＋－1＝n ＋12n>0.∴{M n }为递增数列，且(n ＋－1>0，∴M n <4.∴m ≤4，实数m 的最大值为4.。

第六章数列(A卷)--【中职数学】高三对口高考专项练习

如K 中等职业学校对口升学专项练习测试卷(十五) 第 6 章数列(A 卷)(本卷满分120分，考试时间为60分钟)选择题(共30小题，每小题4分，满分120分。

在每小题给出的四个选项中，选出一个符合题目要求的选项)1.下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )A ,g, … B.—1,-3, 一5,-7, …C. . ;D.1,√2,√3,…,√n2.下列选项叙述正确的是( )A. 数列1,3,5,7和数列3,5,1,7是同一数列B. 同一个数在数列中允许重复出现C. 数列的通项公式是定义域为整数集Z 的函数D. 数列的通项公式是唯一的3.数列1 ,5,,…的第8项是()B. C.口4.已知数列{a,},a₁=1,a₂=3, 且an=a-1-am-2, 则数列的第五项为( )A.0B.—3C.—12D.—65.在数列5,8,13,21,x,55 中，x 等于( )A.21B.23C.24D.346.已知数列{an} 中，a=n²-1, 则数列的第4项等于( )A.6B.9C.15D.22·57·7.数列1, √3,√5,√7,…的一个通项公式是( )A.an=√2n+1B.a,=√2n-1C.a,=√2n+3D.a,=√2n-38.已知数N+),则Ss的值是A B. C.9.数列5,55,555,5555,…的一个通项公式是( )A.an=5” 1B.am=10”—110.数列{an}中，a₁=2,an=a-1+2(n≥2), 则下列选项正确的是( )A.a₄=7B.a₂=10C.a₃=9D.as=1011.已知数列{n²—3n—15}, 则它的第5项是(A.—18B.—17C.-5D.—1012.在15和3之间插入三个数后使这五个数组成一个等差数列，则插入的三个数的和是(A.9B.18C.27D.3613.等差数列{an} 中已知a₁=2,as=5, 则a,等于 (A.4B.8C.5D.014.已知等差数列{an}中a₃=1,d=2, 那么ag 等于(A.13B.12C.11D.1015.等差数列{an} 中的前11项的和为Sn=99, 则a₆等于()A.10B.9C.8D.716.已知等差数列共有10项，其中a₁+a₃+a₅+a₇+a₉=15,a₂+a₄+a₆+ag+a₁o=35,该数列的公差等于 (A.5B.4C.3D.2·58·))))则) 学校专业姓名准考证号得分阅卷人得题()封A口28.首项为3,末项为96,公比为2的等比数列共有A.4 项B.5 项C.6 项 29.在等比数列{an}中，已知a ₃=8,则as 等于A.2B.—2C.D.2 或 — 230.数列-5,5,-5,5, …的一个通项公式是A.a,=5(-1)"+1B.a,=5(—1)"-C.an=5(-1)~+1D.an=5 (一1)"( )D.7 项( )( )片，斜面上铺了10层瓦片，那么,该斜面共铺了多少块瓦片A.200B.290C.245 23.已知等比数列{a.} 中，a+1—3an=0, 那么公比q 等于B.3C.—3D. 无法确定 24.下列数列中既是等差数列又是等比数列的是A.0,0,0,0, …B.2,2,2,2,..C.2,3,4, …D.0,2,4,8,16, …25.已知正项等比数列{a,}中，aa+2=27,a=3, 则该数列公比q 等于A.5B.±3 26.已知等比数列{a,}中，a ₁=2,q=4, A.6 B.18 27.已知在等比数列{a 。

数学北师大版高中必修5第六章数列单元能力测试

第六章数列单元能力测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．) 1．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值为( )A ．24B ．22C ．20D ．－8 答案 A解析 a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，∴a 8＝24 2a 9－a 10＝2(a 8＋d )－(a 8＋2d )＝a 8＝242．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( )A ．9B ．1C ．2D ．3 答案 D解析由等比数列性质可知a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，所以得a 7＝3，又a 29a 11＝a 7a 11a 11＝a 7，故选D.3．夏季高山上气温从山脚起每升高100 m 降低0.7 ℃，已知山顶的气温是14.1 ℃，山脚的气温是26 ℃.那么，此山相对于山脚的高度是( )A ．1500 mB ．1600 mC ．1700 mD ．1800 m 答案 C4．设函数f (x )满足f (n ＋1)＝2f n ＋n 2(n ∈N *)，且f (1)＝2，则f (20)＝( )A ．95B ．97C ．105D ．192 答案 B解析 f (n ＋1)＝f (n )＋n2，∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧f ＝f ＋192f ＝f＋182……f ＝f＋12累加得：f (20)＝f (1)＋(12＋22＋…＋192)＝f (1)＋19×204＝97. 5．若a x －1，a y ，a －x ＋1(a >0，且a ≠1)成等比数列，则点(x ，y )在平面直角坐标系内的轨迹位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 ∵成等比，∴(a y )2＝a x －1·a －x ＋1，即2y ＝x －1－x ＋1， x －1>0，∴x >1.x －1<x ＋1，∴y <0.∴位于第四象限6．已知等比数列{a n }的公比q <0，其前n 项的和为S n ，则a 9S 8与a 8S 9的大小关系是( )A ．a 9S 8>a 8S 9B ．a 9S 8<a 8S 9C ．a 9S 8≥a 8S 9D ．a 9S 8≤a 8S 9 答案 A解析 a 9S 8－a 8S 9＝a 9a 1－q 81－q －a 8a 1－q 91－q＝a 8a 1q －q 9－1＋q 91－q ＝－a 1a 8＝－a 21q 7，因为a 21>0，q <0，所以－a 21q 7>0，即a 9S 8>a 8S 9，故选A.7．若m ，n ，m ＋n 成等差数列，m ，n ，m ·n 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2n＝1的离心率为( )A.12B.22C.32D.33 答案 B解析由题意知2n ＝m ＋m ＋n∴n ＝2m ，n 2＝m ·m ·n ，∴n ＝m 2，∴m 2＝2m∴m ＝2，∴n ＝4，∴a 2＝4，b 2＝2，c 2＝2∴e ＝c a ＝228．数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝2n3n ＋1，则a 100b 100＝( ) A ．1 B.23C.199299D.200301 答案 C解析 a 100b 100＝a 1＋a 1992b 1＋b 1992＝S 199T 199＝199299.9．首项为1，公差不为0的等差数列{a n }中，a 3，a 4，a 6是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的第四项是( )A ．8B ．－8C ．－6D ．不确定答案 B解析 a 24＝a 3·a 6⇒(1＋3d )2＝(1＋2d )·(1＋5d )⇒d (d ＋1)＝0⇒d ＝－1，∴a 3＝－1，a 4＝－2，∴q ＝2 ∴a 6＝a 4·q ＝－4，第四项为a 6·q ＝－8.10．数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 1＝1，S 2＝2，且S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0(n ∈N *且n ≥2)则此数列为( )A ．等差数列B ．等比数列C ．从第二项起为等差数列D ．从第二项起为等比数列答案 D解析 S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0∴S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1，∴a n ＋1＝2a n又a 1＝1 a 2＝1，∴从第二项起为等比数列11．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是此数列中的( ) A ．第48项 B ．第49项 C ．第50项 D ．第51项答案 C解析将数列分为第1组一个，第2组二个，…，第n组n 个，(11)，(12，21)，(13，22，31)，…，(1n ，2n －1，…，n1)，则第n 组中每个数分子分母的和为n ＋1，则56为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝5012．定义：在数列{a n }中，若满足a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，我们称{a n }为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝2，则a 2009a 2006的个位数字是( )A ．3B ．4C ．6D ．8 答案 C解析由a 1＝a 2＝1，a 3＝2，得a 3a 2－a 2a 1＝1＝d ，设a n ＋1a n＝b n ，则b n ＋1－b n ＝1，且b 1＝1.∴b n ＝n ，即a n ＋1a n＝n ，∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝1×1×2×3×…×(n －1)，∴a 2009a 2006＝2006×2007×2008，它的个位数字是6 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．等比数列{an }的首项为a 1＝1，前n 项和为Sn ，若S 10S 5＝3132，则公比q 等于________．答案－12解析 S 10S 5＝3132，所以S 10－S 5S 5＝31－3232＝－132，即q 5＝(－12)5，所以q ＝－12.14．某人从2009年1月份开始，每月存入银行100元，月利率是3‰(不计复利)，到2009年12月底取出的本利和应是________元．答案 1223.4解析应为1200＋0.3×12＋0.3×11＋…＋0.3＝1200＋0.3×12×132＝1223.4(元)．15．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝a 5，则S 11＝________. 答案 0解析 ∵a 3＋a 8＝a 5＋a 6，∴a 5＋a 6＝a 5，∴a 6＝0，∴S 11＝a 1＋a 112＝11·2a 62＝11·a 6＝0.16．数列{a n }中，a 1＝1，a n ，a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x＋1b n＝0的两个根，则数列{b n }的前n 项和S n 等于________．答案nn ＋1解析 a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，a n a n ＋1＝1b n ，b n ＝1a n a n ＋1.由a 1＝1，得a 2＝2，a 3＝3，S 1＝1b 1＝1a 1a 2＝12，S 2＝1b 1＋1b 2＝1a 1a 2＋1a 2a 3＝11×2＋12×3＝23.可得，S n ＝n n ＋1. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在等比数列{an }中，已知a 3＝112，S 3＝412，求a 1与q . 解析 ①当q ＝1时，S 3＝3a 3成立，此时a 1＝32；②当q ≠1时，由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32，a －q1－q＝92.解得a 1＝6，q ＝－12.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6，q ＝－12.18．(本小题满分12分)已知数列{a n }成等差数列，S n 表示它的前n 项和，且a 1＋a 3＋a 5＝6，S 4＝12.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)数列{a n S n }中，从第几项开始(含此项)以后各项均为正整数？解析 (1)由题意知{ 3a 1＋6d ＝a 1＋6d ＝12 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6d ＝－2∴a n ＝－2n ＋8 (n ∈N *)(2)a n S n ＝(－2n ＋8)(－n 2＋7n )∵－2n ＋8从第5项起为负数，－n 2＋7n 从第8项起为负数．∴a n ·S n 从第8项起，恒为正整数19．(本小题满分12分)(2010·山东卷)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26.{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2.由于a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n a 1＋a n2，所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2)． (2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 2n －1＝4n (n ＋1)，因此b n ＝14n n ＋＝14(1n －1n ＋1)．故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝14(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14(1－1n ＋1) ＝n n ＋，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝nn ＋.20．(本小题满分12分)已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＝λa n－1＋λ－2(n ≥2)．(1)当λ为何值时，数列{a n }可以构成公差不为零的等差数列，并求其通项公式；(2)若λ＝3，令b n ＝a n ＋12，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)a 2＝λa 1＋λ－2＝2λ－2，a 3＝λa 2＋λ－2＝2λ2－2λ＋λ－2＝2λ2－λ－2，∵a 1＋a 3＝2a 2，∴1＋2λ2－λ－2＝2(2λ－2)，得2λ2－5λ＋3＝0，解得λ＝1或λ＝32.当λ＝32时，a 2＝2×32－2＝1，a 1＝a 2，故λ＝32不合题意舍去；当λ＝1时，代入a n ＝λa n －1＋λ－2可得a n －a n －1＝－1， ∴数列{a n }构成首项为a 1＝1，d ＝－1的等差数列， ∴a n ＝2－n .(2)当λ＝3时，a n ＝3a n －1＋1，即a n ＋12＝3(a n －1＋12)，即b n ＝3b n －1，∴数列{b n }构成首项为b 1＝32，公比为3的等比数列，∴b n ＝32×3n －1＝3n2，∴S n ＝32－3n1－3＝34(3n－1)．21．(本小题满分12分)(2010·四川卷，文)已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .解析 (1)设{a n }的公差为d .由已知得{ 3a 1＋3d ＝6，a 1＋28d ＝－4.解得a 1＝3，d ＝－1.故a n ＝3－(n －1)＝4－n .(2)由(1)的解答可得，b n ＝n ·q n －1，于是 S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1.若q ≠1，将上式两边同乘以q 有qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n.两式相减得到(q －1)S n ＝nq n －1－q 1－q 2－…－q n －1.＝nq n－q n －1q －1＝nq n ＋1－n ＋q n ＋1q －1于是，S n ＝nq n ＋1－n ＋q n ＋1q －2.若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2.所以，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n n ＋2，q ＝，nqn ＋1－n ＋q n＋1q －2，q22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋n ＝2a n (n ∈N *)．(1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n .求满足不等式T n－22n－1>2010的n的最小值．解析(1)因为S n＋n＝2a n，所以S n－1＝2a n－1－(n－1)(n≥2，n∈N*)．两式相减得a n＝2a n－1＋1.所以a n＋1＝2(a n－1＋1)(n≥2，n∈N*)，所以数列{a n＋1}为等比数列．因为S n＋n＝2a n，令n＝1得a1＝1.a1＋1＝2，所以a n＋1＝2n，所以a n＝2n－1.(2)因为b n＝(2n＋1)a n＋2n＋1，所以b n＝(2n＋1)·2n.所以T n＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n ＋1)·2n，①2T n＝3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1，②①－②得：－T n＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1＝6＋2×22－2n＋11－2－(2n＋1)·2n＋1＝－2＋2n＋2－(2n＋1)·2n＋1＝－2－(2n－1)·2n＋1. 所以T n＝2＋(2n－1)·2n＋1.若T n－22n－1>2010，则2＋n－n＋12n－1>2010，即2n＋1>2010.由于210＝1024,211＝2048，所以n＋1≥11，即n≥10.所以满足不等式T n－22n－1>2010的n的最小值是10.。