金属塑性成形原理第六章主应力法解析
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金属塑性成形原理
6
◇应力分量下标的规定： △两个下标相同是正应力分量，如σxx △两个下标不同表示切应力分量，如τxy △ 第一个下标表示作用的平面，第二个下标表示
作用的方向
写成矩阵形式：
7
◇应力分量的符号规定： △正面：外法线指向坐标轴正向的微分面叫 做正面，反之称为负面。 △正号（＋）：正面上，指向坐标轴正向；
34
△对数应变: 塑性变形过程中，在应 变主轴方向保持不变的情况下应变增 量的总和
△对数应变能真实地反映变形的积累 过程，所以也称真实应变，简称为真 应变。
35
36
(2) 对数应变为可叠加应变，而相对应 变为不可叠加应变。
(3) 对数应变为可比应变，相对应变为 不可比应变。拉伸和压缩数值悬殊大， 不具有可比性。
为八面体平面。 八面体平面上的应力称为八面体应力。
23
图3-15 八面体平面和八面体
24
◇等效应力
3
取八面体切应力绝对值的 2 倍所得之 参量称为等效应力，也称广义应力或应 力强度。
25
◇等效应力的特点：
σ1，σ2＝σ3＝0
1) 等效应力是一个不变量； 2) 等效应力在数值上等于单向均匀拉伸(或压
负面上，指向坐标轴负向； △负号（－）：正面上，指向坐标轴负向；
负面上，指向坐标轴正向； 按此规定，正应力分量以拉为正。以压为负。 与材料力学中关于切应力分量正负号的规定不同。
8
ห้องสมุดไป่ตู้
材料力学中采用左螺旋定则判断切应力的方向 ，以后应力莫尔圆中会采用
左螺旋定则： 左手包住单元体，四个指 头指向切应力方向，大拇 指的方向代表正负。
20
若σ1 >σ2 >σ3 ，则最大切应力为：
◇应力分量下标的规定： △两个下标相同是正应力分量，如σxx △两个下标不同表示切应力分量，如τxy △ 第一个下标表示作用的平面，第二个下标表示
作用的方向
写成矩阵形式：
7
◇应力分量的符号规定： △正面：外法线指向坐标轴正向的微分面叫 做正面，反之称为负面。 △正号（＋）：正面上，指向坐标轴正向；
34
△对数应变: 塑性变形过程中，在应 变主轴方向保持不变的情况下应变增 量的总和
△对数应变能真实地反映变形的积累 过程，所以也称真实应变，简称为真 应变。
35
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(2) 对数应变为可叠加应变，而相对应 变为不可叠加应变。
(3) 对数应变为可比应变，相对应变为 不可比应变。拉伸和压缩数值悬殊大， 不具有可比性。
为八面体平面。 八面体平面上的应力称为八面体应力。
23
图3-15 八面体平面和八面体
24
◇等效应力
3
取八面体切应力绝对值的 2 倍所得之 参量称为等效应力，也称广义应力或应 力强度。
25
◇等效应力的特点：
σ1，σ2＝σ3＝0
1) 等效应力是一个不变量； 2) 等效应力在数值上等于单向均匀拉伸(或压
负面上，指向坐标轴负向； △负号（－）：正面上，指向坐标轴负向；
负面上，指向坐标轴正向； 按此规定，正应力分量以拉为正。以压为负。 与材料力学中关于切应力分量正负号的规定不同。
8
ห้องสมุดไป่ตู้
材料力学中采用左螺旋定则判断切应力的方向 ，以后应力莫尔圆中会采用
左螺旋定则： 左手包住单元体，四个指 头指向切应力方向，大拇 指的方向代表正负。
20
若σ1 >σ2 >σ3 ，则最大切应力为：
塑性成形原理-应力分析
方位而改变。 切应力达到极值的平面称为主切应力平面，其上作用的切 应力称为主切应力。 主切应力中绝对值最大的一个，也就是一点所有方向切面 上切应力的最大值，叫做最大切应力,以τmax表示。
2 2 2 n Sn n
2 2 2 2 2 Sn 12l 2 2 m 3 n
1 l 2 m 3 n
时满足转换关系的分量所组成的集合为张量。
P P l l kr ij ki rj
物理量P，它关于xi（1，2，3）的空间坐标系存在九个分量Pij（i=1，2，
3）。将 xi空间坐标系的坐标轴绕原点 O旋转一个角度，得到新的空间坐
标系xk（k=1'，2'，3'），物理量在新坐标系中的九个分量Pkr与Pij关系。
3 J1 2 J 2 J 3 0
1 0 0 ij 0 0 2 0 0 3
J1,J2,J3为应力张量不变量，解方程得三个根，即为主应力。
1, 2 , 3
解方程组即得主方向l,m,n
( x )l yxm zx n 0 xyl ( y )m zy n 0 xzl yz m ( z )n 0
主应力的极值性质 假设 则
应力椭球面
主轴坐标系中点的应力状态的几何表达。
S1 1l S 2 2 m S n 3 3
l
1
2
S1
,m
2
2
S2
,n
3
2
S3
l 2 m2 n2 1
S1 1 S2 2 S3 3 1
【材料成型原理——锻压】第六章 应力应变关系
一般的单值关系，而是与加载历史或应变路线 有关。
7
对于后两个特点，举加以说明。 最简单的例子就是单向拉伸。在弹性范围内，应变只取决于当
时的应力。反之亦然，例如σc总是对应εc，不管σc是由σa加载而 得还是由σd卸载而的。
在塑性范围内，如果是理想塑性材料（见上图虚线），则同一 σs可以对应任意应变；如果是硬化材料，则由σs加载σe，对应的 应变为εe，如果从σf卸载到σe, 对应的应变为εf’，所以不是单 值关系。
(3)塑性变形时体积不变，即
d x d y d z d1 d 2 d 3 0
d ij d ij (4)应力主轴和应变增量的主轴重合；
(5)应变增量和应力偏张量成正比，即
d ij ij d
d 式中
为瞬时的非负比例系数．它在变形过程是变
化的，但在卸载时 d 0 ，上式是密席斯方程的关键性的
G为剪切模量
E v为泊松比
2G G 如将它推广到一般应力状态的各向同性材料，就叫做广义虎克定律
E
2(1
)
x
1 E
x
( y
z)
yz
1
2G
yz
y
1 E
y
( x
z)
zx
1 2G
zx
z
1 E
z
( x
y)
xy
1 2G
xy
3
将正应变相加
x
y
z
1 2
E
( x
y
z)
m
1 2
E
m
应力球张量使物体产生弹性的体积改变
•
21
s
因此，d对于理想刚塑性材料，应变增量和应力分量之间i还j 不完全是单值关系。d ij
7
对于后两个特点，举加以说明。 最简单的例子就是单向拉伸。在弹性范围内，应变只取决于当
时的应力。反之亦然，例如σc总是对应εc，不管σc是由σa加载而 得还是由σd卸载而的。
在塑性范围内，如果是理想塑性材料（见上图虚线），则同一 σs可以对应任意应变；如果是硬化材料，则由σs加载σe，对应的 应变为εe，如果从σf卸载到σe, 对应的应变为εf’，所以不是单 值关系。
(3)塑性变形时体积不变，即
d x d y d z d1 d 2 d 3 0
d ij d ij (4)应力主轴和应变增量的主轴重合；
(5)应变增量和应力偏张量成正比，即
d ij ij d
d 式中
为瞬时的非负比例系数．它在变形过程是变
化的，但在卸载时 d 0 ，上式是密席斯方程的关键性的
G为剪切模量
E v为泊松比
2G G 如将它推广到一般应力状态的各向同性材料，就叫做广义虎克定律
E
2(1
)
x
1 E
x
( y
z)
yz
1
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yz
y
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y
( x
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zx
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z
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y)
xy
1 2G
xy
3
将正应变相加
x
y
z
1 2
E
( x
y
z)
m
1 2
E
m
应力球张量使物体产生弹性的体积改变
•
21
s
因此，d对于理想刚塑性材料，应变增量和应力分量之间i还j 不完全是单值关系。d ij
s主应力法讲解
本构方程，4个 几何方程，2个
可解否
方程，16个 未知数，16个 理论上可解，实际不
可解。
方程，9个 未知数，9个 理论上可解，特殊情
况可解。
部分情况可解.
注：若未知量的个数多于独立平衡方程的个数，则为静不定问题；若未知量的个数等 于或少于独立平衡方程的个数未知量全部可由独立平衡方程求得，则为静定问题。
max min
1
ln
R0
2
R02
R2
r02
Rr0
n
S
A
1 ln
R0
R02
R2
r02
2
Rr0
拉深过程中的直径变化
4 拉深力的计算 还需考虑： 1）由压边力 Q 产生摩擦阻力增大的径向拉应力
摩 2Q Q 2 r0t r0t
2）因板坯沿凹模圆角产生的弯曲和校直增大的径向拉应力
dr r
即: dr d 由应力应变关系式可得: r
整理得到:
dr 2 f 0
dr h
设: f p
dr
dr
得2h:p 0
dr 2 f 0
dr h
式中，p为工具作用在圆柱体上的单位压力
设σz为压缩应力,有 z p
(rz)23z2rs2
由屈服准则得: rzrps
对上式微分得: dr dp
;
yz
zy
1 2
v z
w y
z
w z
;
zx
xz
1 2
w x
u z
Байду номын сангаас
本构方程
—
d dx
—
[
x
1 2
(
y
z
可解否
方程，16个 未知数，16个 理论上可解，实际不
可解。
方程，9个 未知数，9个 理论上可解，特殊情
况可解。
部分情况可解.
注：若未知量的个数多于独立平衡方程的个数，则为静不定问题；若未知量的个数等 于或少于独立平衡方程的个数未知量全部可由独立平衡方程求得，则为静定问题。
max min
1
ln
R0
2
R02
R2
r02
Rr0
n
S
A
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R0
R02
R2
r02
2
Rr0
拉深过程中的直径变化
4 拉深力的计算 还需考虑： 1）由压边力 Q 产生摩擦阻力增大的径向拉应力
摩 2Q Q 2 r0t r0t
2）因板坯沿凹模圆角产生的弯曲和校直增大的径向拉应力
dr r
即: dr d 由应力应变关系式可得: r
整理得到:
dr 2 f 0
dr h
设: f p
dr
dr
得2h:p 0
dr 2 f 0
dr h
式中，p为工具作用在圆柱体上的单位压力
设σz为压缩应力,有 z p
(rz)23z2rs2
由屈服准则得: rzrps
对上式微分得: dr dp
;
yz
zy
1 2
v z
w y
z
w z
;
zx
xz
1 2
w x
u z
Байду номын сангаас
本构方程
—
d dx
—
[
x
1 2
(
y
z
第六章金属塑性成形工艺理论基础
第六章 金属塑性成形的理论基础
目的：掌握金属塑性成形的基本原 理及影响塑性变形的因素。
要求掌握塑性成形的基本工艺、基 本变形理论；
熟悉回复与再结晶、冷变形与热变 形、纤维组织、最小阻力定律、体积 不变假设、锻造比、锻造性等概念；
了解影响塑性变形的因素。 重点：冷变形、热变形、纤维 组织利用原则、锻造性的概念。 难点：金属的回复与再结晶。
金属塑性成形（也称压力加工）： 在外力作用下，金属产生了塑性变 形，以此获得具有一定形状、尺寸 和机械性能的原材料、毛坯或零件。
外力：冲击力——锤类设备 压 力——轧机、压力机
§6-1 金属塑性成形的基本工艺 1．轧制—-钢板、型材、无缝管材。
2．挤压
应用：低碳钢、非铁金属及其合金。
3．拉拔
要求横向力学性能时： Y锻=2~2.5。 要求纵向力学性能时：Y锻适当增加。 由Y锻可得坯料的尺寸：
如：拔长时，S坯料=Y拔×S锻件
式中，S锻件为锻件的最大截面积；
L钢坯
V坯料 F钢坯
§6-4 影响塑性变形的因素
金属的可锻性：衡量材料在经受 压力加工时获得优质零件难易程 度的一个工艺性能。 可锻性好适合于压力加工成形； 可锻性差不宜于选用压力加工。
§6-3 塑性变形理论及假设
一、最小阻力定律
定义：受外力作用，金属发生
塑性变形时，如果金属颗粒在几 个方向上都可移动，那么金属颗 粒就沿着阻力最小的方向移动。
利用此定律，调整某个方向流 动阻力，改变金属在某些方向的 流动量→成形合理。
最小阻 力定律示 意图。
在镦粗中， 此定律也称 最小周边法 则。
但温度过高→过热、过烧、脱碳 和严重氧化等缺陷→锻件报废。
应严格控制锻造温度——始锻温 度和终锻温度间的温度范围（以 合金状态图为依据）。
目的：掌握金属塑性成形的基本原 理及影响塑性变形的因素。
要求掌握塑性成形的基本工艺、基 本变形理论；
熟悉回复与再结晶、冷变形与热变 形、纤维组织、最小阻力定律、体积 不变假设、锻造比、锻造性等概念；
了解影响塑性变形的因素。 重点：冷变形、热变形、纤维 组织利用原则、锻造性的概念。 难点：金属的回复与再结晶。
金属塑性成形（也称压力加工）： 在外力作用下，金属产生了塑性变 形，以此获得具有一定形状、尺寸 和机械性能的原材料、毛坯或零件。
外力：冲击力——锤类设备 压 力——轧机、压力机
§6-1 金属塑性成形的基本工艺 1．轧制—-钢板、型材、无缝管材。
2．挤压
应用：低碳钢、非铁金属及其合金。
3．拉拔
要求横向力学性能时： Y锻=2~2.5。 要求纵向力学性能时：Y锻适当增加。 由Y锻可得坯料的尺寸：
如：拔长时，S坯料=Y拔×S锻件
式中，S锻件为锻件的最大截面积；
L钢坯
V坯料 F钢坯
§6-4 影响塑性变形的因素
金属的可锻性：衡量材料在经受 压力加工时获得优质零件难易程 度的一个工艺性能。 可锻性好适合于压力加工成形； 可锻性差不宜于选用压力加工。
§6-3 塑性变形理论及假设
一、最小阻力定律
定义：受外力作用，金属发生
塑性变形时，如果金属颗粒在几 个方向上都可移动，那么金属颗 粒就沿着阻力最小的方向移动。
利用此定律，调整某个方向流 动阻力，改变金属在某些方向的 流动量→成形合理。
最小阻 力定律示 意图。
在镦粗中， 此定律也称 最小周边法 则。
但温度过高→过热、过烧、脱碳 和严重氧化等缺陷→锻件报废。
应严格控制锻造温度——始锻温 度和终锻温度间的温度范围（以 合金状态图为依据）。
6-1 主应力法及其应用_平面应变问题
挤压型的金属流动，基本上沿着平行于工模具运动的方向
金属塑性成形原理
一、平面应变镦粗型的变形力
长矩形板的镦粗， l >>宽b和高 ， l 方向应变 很小，可视为平面应变处理。求接触面上的压力 σy，单位面积变形力p。
1. 平行砧板间的平面应变镦粗(常摩擦条件)
摩擦力不变条件： K （μ为摩擦因子 ）
设长度为l（垂直于图平面的z方向）
X方向应力满足平衡方程式：
xlh ( x d x )lh 2ldx
d
x
2
h
dx
2K
h
dx
即x方向的应力增量由切向摩擦力导致
镦粗 方向
σy
σye
τ
σx
金属流动方向
τ
x
dx
b/2
平行砧板间平面应变镦粗
σx+dσx
h
金属塑性成形原理
屈服方程为： y x 2K
图6-1 连杆模锻时的金属流动平面和流动方向 a)流动平面 b）连杆模锻件 c）流动方向
金属塑性成形原理
2．假设在接触面上有正应力和切应力(摩擦力)，切面上的正应力假定为 主应力，且为均匀分布（即与一坐标无关）。
3. 在对该基元体或基元板块列塑性条件时，假定各坐标面上作用的正应 力即为主应力，而不考虑面上切应力（包括摩擦切应力）对材料塑性条 件的影响。
d y d x
所以：
y
d
y
d x
2K
h
dx
2K
h
x
C
代入边界条件求解C，即当x=b/2时，σy = 2K，所以：
工件外端为自由表面： xe 0 ye 2K
主应力法又称切块法，是一种近似解析法，通过对物体应力状态作一些简 化假设，建立以主应力表示的简化平衡微分方程和塑性条件，并联立求解。
金属塑性成形原理
一、平面应变镦粗型的变形力
长矩形板的镦粗， l >>宽b和高 ， l 方向应变 很小，可视为平面应变处理。求接触面上的压力 σy，单位面积变形力p。
1. 平行砧板间的平面应变镦粗(常摩擦条件)
摩擦力不变条件： K （μ为摩擦因子 ）
设长度为l（垂直于图平面的z方向）
X方向应力满足平衡方程式：
xlh ( x d x )lh 2ldx
d
x
2
h
dx
2K
h
dx
即x方向的应力增量由切向摩擦力导致
镦粗 方向
σy
σye
τ
σx
金属流动方向
τ
x
dx
b/2
平行砧板间平面应变镦粗
σx+dσx
h
金属塑性成形原理
屈服方程为： y x 2K
图6-1 连杆模锻时的金属流动平面和流动方向 a)流动平面 b）连杆模锻件 c）流动方向
金属塑性成形原理
2．假设在接触面上有正应力和切应力(摩擦力)，切面上的正应力假定为 主应力，且为均匀分布（即与一坐标无关）。
3. 在对该基元体或基元板块列塑性条件时，假定各坐标面上作用的正应 力即为主应力，而不考虑面上切应力（包括摩擦切应力）对材料塑性条 件的影响。
d y d x
所以：
y
d
y
d x
2K
h
dx
2K
h
x
C
代入边界条件求解C，即当x=b/2时，σy = 2K，所以：
工件外端为自由表面： xe 0 ye 2K
主应力法又称切块法，是一种近似解析法，通过对物体应力状态作一些简 化假设，建立以主应力表示的简化平衡微分方程和塑性条件，并联立求解。
工程塑性理论主应力法06
x y x p 2k
将上式微分，可得dσx= -dp，
dp 2mk 0 dx h
（5） 积分并确定积分常数
p 2mk x C h
根据应力边界条件定积分常数。 当x=b/2时，σx=-q，由屈服准则式 可知：
p xb 2k q x p 2k 2
l
h
p
P
y
f
mk f
x
x+dx
0x
x
dx
P
b
f
图 8-5 长矩形板镦粗问题及作用在单元体上的应力分量
（1）切取单元体
P y
f
h
0x b
x
x+dx
x
dx
P f
图 8-5 长矩形板镦粗问题及作用在单元体上的应力分量
（2）列出单元体的静力平衡方程 沿x方向列出单元体的静力平衡方 程，即
s
2 R
C se h
2 (Rr)
p se h
变形力为:
P
R
2rpdr
0
R
2 (Rr)
se h 2rdr
0
s h 2 2 2
2 R e h
1
2
h
R
平均压力为:Biblioteka P pR 2
sh2 2R2 2
2
图 8-5 长矩形板镦粗问题及作用在单元体上的应力分量
（2）列出单元体的静力平衡方程 沿x方向列出单元体的静力平衡方 程，即
Fx x d x lh xlh 2 f ldx 0
d x 2 f 0
dx h
（3）代入摩擦条件 假设接触表面上的摩擦切应力服 从库仑摩擦定律，即
将上式微分，可得dσx= -dp，
dp 2mk 0 dx h
（5） 积分并确定积分常数
p 2mk x C h
根据应力边界条件定积分常数。 当x=b/2时，σx=-q，由屈服准则式 可知：
p xb 2k q x p 2k 2
l
h
p
P
y
f
mk f
x
x+dx
0x
x
dx
P
b
f
图 8-5 长矩形板镦粗问题及作用在单元体上的应力分量
（1）切取单元体
P y
f
h
0x b
x
x+dx
x
dx
P f
图 8-5 长矩形板镦粗问题及作用在单元体上的应力分量
（2）列出单元体的静力平衡方程 沿x方向列出单元体的静力平衡方 程，即
s
2 R
C se h
2 (Rr)
p se h
变形力为:
P
R
2rpdr
0
R
2 (Rr)
se h 2rdr
0
s h 2 2 2
2 R e h
1
2
h
R
平均压力为:Biblioteka P pR 2
sh2 2R2 2
2
图 8-5 长矩形板镦粗问题及作用在单元体上的应力分量
（2）列出单元体的静力平衡方程 沿x方向列出单元体的静力平衡方 程，即
Fx x d x lh xlh 2 f ldx 0
d x 2 f 0
dx h
（3）代入摩擦条件 假设接触表面上的摩擦切应力服 从库仑摩擦定律，即
第6章+主应力法及其应用(2)
根据几何关系可写出
h hb (tan tan ) x
倾斜砧板间平面应变基元扳块受力分析
华侨大学模具技术研究中心
一、平面应变镦粗型的变形力
将这些关系式代入前式，并略去二阶微量，整理后得
x (tan tan )dx [hb (tan tan )]d x 2dx y (tan tan )dx (tan2 tan2 )dx 0
2 0 ， xe Y 3
，
we K2 y ln( ) K1 wb yK1
华侨大学模具技术研究中心
二、平面应变挤压型的变形力
x y 的分布曲线如图所示。
华侨大学模具技术研究中心
三、轴对称镦粗型的变形力
下面讨论混合摩擦条件下，平锤均匀镦粗圆柱体时变形 力计算。圆柱体镦粗时，如果锻件的性能和接触表面状态没 有方向性，则内部的应力应变状态对称于圆柱体轴线（z轴）， 即在同一水平截面上，各点的应力应变状态与坐标无关，仅 与r坐标有关。因此是一个典型的圆柱体坐标轴对称镦粗问题。
y x 2K
于是
C 2mk W 2K h 2
ye 2K
⑤因此接触面上正应力分布规律
2mk y ( x xe ) ye h
单位面积的平均变形力p为：
m W y 2 K [1 ( x)] h 2
P 1 p F xe
xe
0
y dx
mW ) 4 h
mk xe ye h
p 2 K (1
华侨大学模具技术研究中心
一、平面应变镦粗型的变形力
倾 斜 砧 板 间 的 平 面 应 变 镦 粗
收敛式流动 0， 0
h hb (tan tan ) x
倾斜砧板间平面应变基元扳块受力分析
华侨大学模具技术研究中心
一、平面应变镦粗型的变形力
将这些关系式代入前式，并略去二阶微量，整理后得
x (tan tan )dx [hb (tan tan )]d x 2dx y (tan tan )dx (tan2 tan2 )dx 0
2 0 ， xe Y 3
，
we K2 y ln( ) K1 wb yK1
华侨大学模具技术研究中心
二、平面应变挤压型的变形力
x y 的分布曲线如图所示。
华侨大学模具技术研究中心
三、轴对称镦粗型的变形力
下面讨论混合摩擦条件下，平锤均匀镦粗圆柱体时变形 力计算。圆柱体镦粗时，如果锻件的性能和接触表面状态没 有方向性，则内部的应力应变状态对称于圆柱体轴线（z轴）， 即在同一水平截面上，各点的应力应变状态与坐标无关，仅 与r坐标有关。因此是一个典型的圆柱体坐标轴对称镦粗问题。
y x 2K
于是
C 2mk W 2K h 2
ye 2K
⑤因此接触面上正应力分布规律
2mk y ( x xe ) ye h
单位面积的平均变形力p为：
m W y 2 K [1 ( x)] h 2
P 1 p F xe
xe
0
y dx
mW ) 4 h
mk xe ye h
p 2 K (1
华侨大学模具技术研究中心
一、平面应变镦粗型的变形力
倾 斜 砧 板 间 的 平 面 应 变 镦 粗
收敛式流动 0， 0
主应力法全解析
h 2 md p Y (1 ) 6h
第五篇 主应力法在塑性成形中的应用
一、在体积成形中的应用
对于复杂的成形问题，通过“分解”和“拼合”，可得到 个问题的解，通过与计算机技术的结合，能够节省人工 计算的繁琐。 1.复杂形状断面平面应变镦粗（模锻）变形力分析
σy
x
2.中部挤出凸台的平面应变镦粗变形力分析
金属流动方向
2mK d x dx h
x
τ xe
2、根据屈服方程及成形镦粗成 形条件，σx<σy
σy
y x 2K; d y d x
{其中τ＝mK（m为摩擦因子 ，K＝Y/√3）}
σye x
3、上两式联立求解，得：
2mK y xC h
4、利用应力边界体条件求积分常数C： 当x＝xe时σy＝σye
21k22yymbxhh????21k4mbph??二轴对称镦粗型的变形力二轴对称镦粗型的变形力金属流动方向镦粗方向ddrhrzzerdrrdrrdrrez高度为高度为h直径为应力应力z和和单位变形力单位变形力p直径为d的圆柱体自由镦粗时接触面上的的圆柱体自由镦粗时接触面上的压压1216zmdyrhmdpyh??????第五篇第五篇主应力法在塑性成形中的应用主应力法在塑性成形中的应用一在体积成形中的应用一在体积成形中的应用对于复杂的成形问题通过对于复杂的成形问题通过分解个问题的解通过与计算机技术的结合能够节省人工个问题的解通过与计算机技术的结合能够节省人工计算的繁琐
2mK C ye xe h 2mK y ( xe x) ye h
5、单位面积的平均变形能力（单位流动压力/变形抗 力）p
P 1 p F xe
xe
0
mKxe y dx ye h
第五篇 主应力法在塑性成形中的应用
一、在体积成形中的应用
对于复杂的成形问题，通过“分解”和“拼合”，可得到 个问题的解，通过与计算机技术的结合，能够节省人工 计算的繁琐。 1.复杂形状断面平面应变镦粗（模锻）变形力分析
σy
x
2.中部挤出凸台的平面应变镦粗变形力分析
金属流动方向
2mK d x dx h
x
τ xe
2、根据屈服方程及成形镦粗成 形条件，σx<σy
σy
y x 2K; d y d x
{其中τ＝mK（m为摩擦因子 ，K＝Y/√3）}
σye x
3、上两式联立求解，得：
2mK y xC h
4、利用应力边界体条件求积分常数C： 当x＝xe时σy＝σye
21k22yymbxhh????21k4mbph??二轴对称镦粗型的变形力二轴对称镦粗型的变形力金属流动方向镦粗方向ddrhrzzerdrrdrrdrrez高度为高度为h直径为应力应力z和和单位变形力单位变形力p直径为d的圆柱体自由镦粗时接触面上的的圆柱体自由镦粗时接触面上的压压1216zmdyrhmdpyh??????第五篇第五篇主应力法在塑性成形中的应用主应力法在塑性成形中的应用一在体积成形中的应用一在体积成形中的应用对于复杂的成形问题通过对于复杂的成形问题通过分解个问题的解通过与计算机技术的结合能够节省人工个问题的解通过与计算机技术的结合能够节省人工计算的繁琐
2mK C ye xe h 2mK y ( xe x) ye h
5、单位面积的平均变形能力（单位流动压力/变形抗 力）p
P 1 p F xe
xe
0
mKxe y dx ye h
塑性力学问题及主应力解法
（3）在应用米塞斯屈服准则时，忽略切应力和摩擦力的影响， 将米塞斯屈服准则二次方程简化为线性方程。即在主应力法中 所采用的屈服准则为：
对于平面应变问题，习惯用剪切屈服强度k表示，即
σ������ − σ������ =±2������ 对于轴对称问题，习惯用屈服应力σ������ 表示，即 σ������ − σ������ =± σ������ （4）接触表面上的摩擦力分布采用简单的模型，例如库伦摩
的主要研究内容，也是分析塑性力学问题时依据的物理关系。
屈服条件是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶段的根 据。对于理想塑性模型，在经过塑性变形后，屈服条件不变。 但如果材料具有强化性质，则屈服条件将随塑性变形的发展而 改变，改变后的屈服条件称为后继屈服条件或加载条件。
对于处于单向拉伸（或压缩）的物体，当应力达到屈 服极限时，材料开始进入塑性状态，对于处于复杂应力状 态的物体，由弹性状态过渡到塑性状态的临界条件称为屈
4.3 主应力法
金属塑性成形中经常采用的一种简化方法，对于平面应 变问题将屈服条件简化为
σ x −σ y = 2k
分析中还假设应力在一个方向的分布是均匀的。计算中
所用的数学形式比较简单。这种简化方法有时不仅能求
出各种工艺过程中的应力，而且还可求出应力分布规律， 以及某些因素的影响。
4.4 主应力法基本原理
行归纳并提出合理的假设和简化模型，确定应力超过弹性极 限后材料的本构关系，从而建立塑性力学的基本方程。解出 这些方程，便可得到不同塑性状态下物体内的应力和应变。
二、塑性力学中的基本假设
（1）连续性假设：变形体内均由连续性介质组成，即整个变形
体内不存在任何空隙。 （2）均匀性假设：变形体内各质点的组织、化学成分、物理性 能都是相同的。 （3）各向同性假设：变形体内各质点在各个方向上的物理性能、
《金属塑性成形原理及工艺》课程讲义
一、金属的晶体结构
1．晶格和晶胞
固体物质中的原子排列有两种情况，一种是原子呈周期性有规则的排列，这种物质被称 为晶体，另一种是原子呈不规则排列，被称为非晶体。金属一般是晶体。在晶体中，原子排 列的规律不同，其性能也不同。所以研究金属的晶体结构，首先必须从金属原子的实际排列 情况着手。
实际中，晶体的原子堆积在一起，肉眼难以分辨其规律性。为了清楚的表明原子在空间 的排列规律性，人们对晶体结构进行了抽象简化。即将构成晶体的实际质点（包括原子、离 子或者分子）忽略，将他们抽象为纯粹的几何点，称之为阵点或结点。这些阵点可以是原子 （或者分子）的中心，也可以是原子群（或者分子群）的中心点。用许多平行的直线将这些 阵点连接起来，就构成了一个三维的空间格架，这种用以描述晶体中原子（离子或者分子） 排列规律的空间格架称为空间点阵，简称为点阵或晶格。
晶体地缺陷通常分为三大类： （1）点缺陷 晶体中的点缺陷主要包括空位、间隙原子、杂质或溶质原子，以及由它们组合而成的复 杂缺陷。 在晶体中，处于平衡位置的原子不是固定不动的，而是以各自的平衡位置为中心不停的 作热振动。随着温度的升高，热振动的振幅和频率都会增加。由于晶体内原子的相互作用， 他们将彼此相互影响、相互制约，从而使热振动能量产生起伏。当某些原子振动的能量高到 足以克服周围原子的束缚时，它们便有可能挣脱原来的平衡位置，迁移到一个新的位置，形 成一个离位原子，同时在原来的平衡位置上留下点阵空位缺陷。 离位原子的迁移位置一般有三种： 1） 离位原子迁移到晶体表面或者晶界上的正常阵点位置，使晶体内部留下空位 2） 离位原子挤入点阵的间隙位置，在晶体中同时形成数目相等的空位和间隙原子； 3） 离位原子迁移到其他空位中，使空位移动，这种情况下，空位的数目不会增加。 空位和间隙原子的形成与温度有很大的关系，随着温度的升高，空位和间隙原子的数目 增加，因此，点缺陷又称为热缺陷。 空位和间隙原子的迁移运动，构成金属晶体中原子的扩散，这直接影响到金属的性能和 在金属中发生的某些物理化学过程。例如金属的热处理、化学处理、蠕变和高温变形都和原 子的扩散有关。
1．晶格和晶胞
固体物质中的原子排列有两种情况，一种是原子呈周期性有规则的排列，这种物质被称 为晶体，另一种是原子呈不规则排列，被称为非晶体。金属一般是晶体。在晶体中，原子排 列的规律不同，其性能也不同。所以研究金属的晶体结构，首先必须从金属原子的实际排列 情况着手。
实际中，晶体的原子堆积在一起，肉眼难以分辨其规律性。为了清楚的表明原子在空间 的排列规律性，人们对晶体结构进行了抽象简化。即将构成晶体的实际质点（包括原子、离 子或者分子）忽略，将他们抽象为纯粹的几何点，称之为阵点或结点。这些阵点可以是原子 （或者分子）的中心，也可以是原子群（或者分子群）的中心点。用许多平行的直线将这些 阵点连接起来，就构成了一个三维的空间格架，这种用以描述晶体中原子（离子或者分子） 排列规律的空间格架称为空间点阵，简称为点阵或晶格。
晶体地缺陷通常分为三大类： （1）点缺陷 晶体中的点缺陷主要包括空位、间隙原子、杂质或溶质原子，以及由它们组合而成的复 杂缺陷。 在晶体中，处于平衡位置的原子不是固定不动的，而是以各自的平衡位置为中心不停的 作热振动。随着温度的升高，热振动的振幅和频率都会增加。由于晶体内原子的相互作用， 他们将彼此相互影响、相互制约，从而使热振动能量产生起伏。当某些原子振动的能量高到 足以克服周围原子的束缚时，它们便有可能挣脱原来的平衡位置，迁移到一个新的位置，形 成一个离位原子，同时在原来的平衡位置上留下点阵空位缺陷。 离位原子的迁移位置一般有三种： 1） 离位原子迁移到晶体表面或者晶界上的正常阵点位置，使晶体内部留下空位 2） 离位原子挤入点阵的间隙位置，在晶体中同时形成数目相等的空位和间隙原子； 3） 离位原子迁移到其他空位中，使空位移动，这种情况下，空位的数目不会增加。 空位和间隙原子的形成与温度有很大的关系，随着温度的升高，空位和间隙原子的数目 增加，因此，点缺陷又称为热缺陷。 空位和间隙原子的迁移运动，构成金属晶体中原子的扩散，这直接影响到金属的性能和 在金属中发生的某些物理化学过程。例如金属的热处理、化学处理、蠕变和高温变形都和原 子的扩散有关。
金属塑性变形应力分析解读
m{(2-3)-2[(1-3)l2+(2-3)m2]}=0
（1）l=m=0, n=1,-1，一对主平面， =0。 （2） σ1 = σ2=σ3 ，球应力状态， =0。 1 （3） σ1 ≠ σ2=σ3 ，l= ，圆柱应力状态，与 σ1轴成45°角的所有平面都是主切 2 应力平面，比如单向拉伸。 （4） σ1≠σ2 ≠ σ3 ， a）l ≠ 0, m ≠ 0，必有σ1 = σ2， 上式无解 b）l = 0, m ≠ 0，斜微分面垂直1主平面， l = 0, m =n= 1
上式推导中，坐标系是任意选取的，说明求的三个主应力大小与坐标系无关，说明 对于一个确定的应力状态，主应力只有一组值，即单值性。即J1, J2, J3 应该是单值 的。
结论：尽管应力张量的各分量随坐标变化，但有他们组成的函数值不变， 称为应力张量不变量。
2.应力张量不变量
将J1、J2、J3称为应力张量第一、第二、第三不变量。
4.应力球张量和应力偏张量
一个物体受力后要发生变形：体积改变和形状改变。 单位体积的改变为：
1 2v 1 2 3 E
m平均应力，静水应力
V泊松比 E弹性模量
m = ( 1+2 + 3)/3= ( x +y + z)/3=J1/3
物体的体积的改变与平均应力有关。 可将三个正应力分量写成
σ1 ≠ σ2=σ3 =0
圆柱应力
单向应力状态，与σ1轴垂直的方向为主方向
σ1 = σ2=σ3 球应力，每一个面都是主平面，所有方向 都是主方向，无切应力，椭球面变为球面。
主应力图 受力物体内一点的应力状态，可用作用在单元体上的主 应力来描述，只用主应力的个数及符号来描述一点应力状态 的简图。一般，主应力图只表示出主应力的格式及正、负号， 并不表明所作用应力的大小。
3-1-2 应力分析_主应力与主切应力
J1 x y z 15
J2
( x y
yz
z
x
)
2 xy
2 yz
2 zx
60
J3
x
y z
2 xy
yz zx
( x
2 yz
2
y zx
z
2 xy
)
54
金属塑性成形原理
将J1、J2和J3代入应力状态特征方程（式3-15） 主应力：
3 15 2 60 54 0 ( 9)( 2 6 6) 0
σ1 = σ2 = σ3 球应力状态。所有方向都没有剪应力，所以都是主方向
而且所有方向的应力都相等。
σ1
σ1
σ1
σ1
σ2 σ3
σ2 σ3
σ2
σ3
σ2
主应力表示的各种应力状态
金属塑性成形原理
主应力图：
一点的应力状态可用作用在单元体上的主应力来描述，只用主应力 的个数及符号来描述一点的应力状态的简图称为主应力图。
2 6
3 ,m3
2 6
3 ,n3
1 3
金属塑性成形原理
二、应力张量不变量
利用应力张量的三个不变量J1、J2、J3 ，可以辨别应力状态是否相同
J11 x y z a b
J
1 2
( x y
y z
z x
)
2 xy
2 yz
2 zx
ab
J
1 3
x
y z
2
xy
yz zx
( x
2 yz
金属塑性成形原理
3-1-2：应力分析 ——主应力与主切应力
内容提纲
一、主应力 二、应力张量不变量 三、应力椭球面 四、主切应力和最大切应力
金属塑性成形解析方法
二、塑性成形问题的简化
根据塑性变形的增量理论可知：
yz zy zx xz 0
z 1 2xy m1 2maxmin
由上式可知，σz永远为空间主应力，并且是一个不变量。最
大切应力为
max k12(maxmin)
当主应力顺序 1 2 3 已知时，由以上两式可得
1 m k
2 m
3 m k
采用圆柱坐标系分析此类问题。假设z为对称轴，在轴对 称应力状态下，由于其对称性，旋转体的每个子午面(通过z 轴的平面)始终保持平面，并且各子午面之间的夹角保持不变， 所以沿θ坐标方向上的位移分量为零，即：
d u r d u r ( r ,z ) ,d u 0 ,d u z d u z ( r ,z )
特殊情况下才能解，而对一般的空间问题，数学上的精
确解极其困难。对大量实际问题，则是进行一些简化和
假设来求解。
根据简化方法的不同，求解方法有下列几种。
1． 主应力法（又称初等解析法）
2． 滑移线法
3． 上限法
4． 板料成形理论
5． 有限元法
二、塑性成形问题的简化
1 平面应变问题 对于平面应变问题，变形体内各点的位 移分量与某一坐标轴无关，并且沿该坐标轴方向上的位 移分量为零。 假定变形体内各点沿z轴坐标方向的位移为零，则有：
2 平面应力问题 对于平面应力问题，变形体内各点的应 力分量与某一坐标轴无关，并且沿该坐标轴方向上的应力 分量为零。 假定变形体内各点沿z轴坐标方向的应力为零，则有：
x xy 0
ij yx
y
0
0 0 0
应力平衡微分方程为
x x
yx y
0
y y
xy x
0
金属塑性成形中的应力分析
金属塑性成形中的应力分析一、金属塑性成形概述金属塑性成形是一种将金属材料通过外力作用，使其发生塑性变形，从而获得所需形状和尺寸的工艺过程。
这一过程广泛应用于航空、汽车、建筑等行业，是金属材料加工的重要手段。
金属塑性成形技术的发展，不仅能够提高材料的利用率，还能提升产品的性能和质量。
1.1 金属塑性成形的基本原理金属塑性成形基于金属材料在一定条件下可以发生塑性变形的特性。
当金属材料受到超过其屈服强度的外力作用时，材料内部的晶格结构会发生滑移或孪生，导致材料发生永久变形。
塑性成形的基本原理包括应力、应变和材料特性之间的关系。
1.2 金属塑性成形的分类金属塑性成形按照不同的加工方式可以分为锻造、轧制、挤压、拉伸等多种形式。
每种成形方式都有其特定的应用场景和特点，选择合适的成形工艺对于提高产品质量和生产效率至关重要。
二、金属塑性成形中的应力分析应力分析是金属塑性成形过程中的关键环节，它涉及到对材料内部应力状态的预测和控制。
准确的应力分析有助于优化成形工艺，避免材料的破坏和缺陷的产生。
2.1 应力分析的重要性应力分析对于金属塑性成形具有重要意义。
首先，它可以帮助设计者预测材料在成形过程中的应力分布，从而设计出合理的成形工艺。
其次，应力分析可以指导生产过程中的工艺参数调整，确保材料在成形过程中的应力状态处于安全范围内。
最后，应力分析还可以用于评估成形后产品的残余应力，为后续的热处理和使用提供依据。
2.2 应力分析的方法金属塑性成形中的应力分析通常采用理论分析和数值模拟相结合的方法。
理论分析基于材料力学和塑性力学的基本理论，通过解析或半解析的方法求解材料内部的应力场。
数值模拟则利用有限元分析等计算方法，对成形过程进行仿真，预测材料的应力和变形状态。
2.3 应力分析的应用应力分析在金属塑性成形中的应用非常广泛。
在锻造过程中，应力分析可以用于预测和控制锻造力，优化模具设计。
在轧制过程中，应力分析有助于确定轧制参数，如轧制速度、压下量等，以获得高质量的板材或棒材。
精选第六章金属塑性成形的工艺理论基础
模锻广泛应用于： 国防工业和机械制造业，按质量计算模锻件在飞 机上占85%，坦克占70%，汽车占80%，机车占 60%。
6. 板料冲压
板料冲压是利用装在冲床上的冲模对金属板料加 压，使之产生变形或分离，从而获得零件或毛坯的 加工方法。
板料冲压又称薄板冲压或冷冲压。
冲压工艺广泛应用于： 汽车、飞机、农业机械、 仪表电器、轻工和日用 品等工业部门。
① 使纤维分布与零件的轮廓相符合而不被切断； ②使零件所受的最大拉应力与纤维方向一致，最大切
应力与纤维方向垂直。
实例：
① 当采用棒料直接经切削加工制造螺钉时，螺钉头部与杆部 的纤维被切断，不能连贯起来，受力时产生的切应力顺着 纤维方向，故螺钉的承载能力较弱(如图示a)。
② 当采用同样棒料
经局部镦粗方法制造 螺钉时(如图示b)，纤 维不被切断且连贯性 好，纤维方向也较为 有利，故螺钉质量较 好。
拉拔时为两向受压一向受拉的状态：拉应力使金属原子间距增
大，尤其当金属的内部存在气孔、微裂纹等缺陷时，在拉应力作用下，缺 陷处易产生应力集中，使裂纹扩展，甚至达到破坏报废的程度。
图6-13 挤压时金属应力状态
图6-14 拉拔时金属应力状态
压应力的数量愈多，则其塑性愈好，变形抗力增大； 拉应力的数量愈多，则其塑性愈差，变形抗力比挤压
的变形抗力小。 故必须综合考虑塑性和变形抗力。
对塑性较低的金属，应尽量在三向压应力下变形，以免产生裂纹。 对塑性较好的金属，变形时出现拉应力是有利的，可以减少变形能
单件、小批生产，也是生产大型锻件的唯一方法。
5. 模锻
模锻是将加热好的坯料放在锻模模膛内，在锻压力 的作用下迫使坯料变形而获得 锻件的一种加工方法。
坯料变形时，金属的流动 受到模膛的限制和引导，从而 获得与模膛形状一致的锻件。
6. 板料冲压
板料冲压是利用装在冲床上的冲模对金属板料加 压，使之产生变形或分离，从而获得零件或毛坯的 加工方法。
板料冲压又称薄板冲压或冷冲压。
冲压工艺广泛应用于： 汽车、飞机、农业机械、 仪表电器、轻工和日用 品等工业部门。
① 使纤维分布与零件的轮廓相符合而不被切断； ②使零件所受的最大拉应力与纤维方向一致，最大切
应力与纤维方向垂直。
实例：
① 当采用棒料直接经切削加工制造螺钉时，螺钉头部与杆部 的纤维被切断，不能连贯起来，受力时产生的切应力顺着 纤维方向，故螺钉的承载能力较弱(如图示a)。
② 当采用同样棒料
经局部镦粗方法制造 螺钉时(如图示b)，纤 维不被切断且连贯性 好，纤维方向也较为 有利，故螺钉质量较 好。
拉拔时为两向受压一向受拉的状态：拉应力使金属原子间距增
大，尤其当金属的内部存在气孔、微裂纹等缺陷时，在拉应力作用下，缺 陷处易产生应力集中，使裂纹扩展，甚至达到破坏报废的程度。
图6-13 挤压时金属应力状态
图6-14 拉拔时金属应力状态
压应力的数量愈多，则其塑性愈好，变形抗力增大； 拉应力的数量愈多，则其塑性愈差，变形抗力比挤压
的变形抗力小。 故必须综合考虑塑性和变形抗力。
对塑性较低的金属，应尽量在三向压应力下变形，以免产生裂纹。 对塑性较好的金属，变形时出现拉应力是有利的，可以减少变形能
单件、小批生产，也是生产大型锻件的唯一方法。
5. 模锻
模锻是将加热好的坯料放在锻模模膛内，在锻压力 的作用下迫使坯料变形而获得 锻件的一种加工方法。
坯料变形时，金属的流动 受到模膛的限制和引导，从而 获得与模膛形状一致的锻件。
金属塑性成形基本工序的力学分析及主应力法
由Tresca屈服准则，有：
z s
所以： d z d
，
d d
则： d z 2 0 …………（3） d h
5、将条件
代入式（３），并积分，
s
得：
z
2 s
h
C…………（４）
6、求接触面上的正应力
由边界条件，知当 D
所以： z s 0 。 2
时，
0
，
积分常数得：C
§3、2 镦粗变形 例题1:
在水平模具间镦粗长矩形截面的钢
a 坯，宽度为 、高度为 h 、长度
为 l ，且长度远远大于宽度。
若接触面上摩擦为常摩擦，即
s（ s 为材料屈服应力）。
试用主应力法推导接触面上的单位压力 p 和成形力 P 。
解：
1、切取基元体，受力分析， 如右图所示。
x 2、列 向受力平衡方程：
从凸缘变形区切取一扇形基元体，该单元处于平衡状态， 由径向合力为0得：
rtRd
( r
d r )t(R dR)d
2tdR sin
d
2
0
……(1)
rtRd
( r
d r )t(R dR)d
2
tdR
sin
d
2
0
略去高阶微量，整理后得
d r
( r
)
dR R
（式中应力为绝对值表示）
……(2)
金属流动方向
x
τ
xe
σy dx
（显然，上式也是假设 x
在y方向均匀分布。）
σye
x
3、接触表面摩擦规律的简化
接触表面的摩擦多采用近似关系：
f n f mk(m为摩擦因子，取值在0 ~ 1） f k
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4
1、空间问题：
金
属
塑
性 方程数：
成
形 3个平衡微分方程
原 理
1个塑性条件方程
6个应力—应变关系方程
3个变形连续方程（协调方程）
第
六 共13个 ，且为高阶偏微分方程。
章 主
未知数：σx、σy、σz、τxy、τyz、τzx、εx、εy、εz、
应 力
γxy、γyz、γzx、λ13个。
法
虽然未知数和方程数相等，但实际上这十三个联立方
自由表面
ye 2K
2S 3
y
2
h
( xe
x)
ye
2
h
( xe
x)
2S 3
17
5、确定单位流动压力（即单位面积的平均变形力）
变形力
xe
P ydF 2 l y dx
F
0
平均变形力 p P P 1 F l 2xe xe
xe 0
y
dx
1 xe
xe 0
2
h
( xe
x)
ye
dx
程是无法解的，需要将问题进一步简化。
5
2、轴对称问题：
方程数：
2个微分平衡 1个塑性条件 4个应力—应变关系 2个变形连续方程。共9个
未知数：σρ、σθ、σz、τzρ、ερ、εθ、εz、γzρ、λ9个。
可见，轴对称问题比一般的空间问题简单，但只有在个别情况 下，当边界剪应力为零或只与一个坐标轴有关才有精确的解。
y x 2K
微分后得： d y d x … … … … … …(2) 15
3、联解平衡方程和塑性条件
将（2）代入（1）
d x 2 0
dx h
得
d y
2
h
dx
积分后得
y
2
h
xC
16
4、由边界条件确定积分常数C，求出应力分量σy
∵当 ∴
x xe 时
y ye
C
ye
2
h
xe
这时 x 0
块的静力平衡条件得到。
10
（3）采用近似的屈服准则
建立塑性条件时，假设非主应力为主应力，通常把接触 面上的正应力假设为主应力，即忽略了摩擦切应力的影响 。这样，就使塑性条件简化为线性方程，这就是所谓近似 屈服准则。 对于平面应变问题，塑性条件:
( x y )2 4 xy2 4K 2
可简化为σx-σy =σs=2K
属 塑 性
成 下面我们要用主应力方法来推导几种类型的变形的公式：
形 பைடு நூலகம் 理
平面应变：
镦粗
第
六
挤压
章
主
轴对称问题：
应
力 法
镦粗
挤压
13
（一）平面应变的横向流动（镦粗型）
长矩形板镦粗时的变形力和单位流动压力，因l＞＞h，xe， 故l方向变形为0，因此可视为平面问题来处理。
1、列基元体平衡微分方程
Fx 0
8
二、主应力法要点（假设）
切块法
（1）将复杂变形体简化成 平面应变问题或轴对称问题
根据实际变形区情况，将复杂问 题近似地按轴对称问题或平面问题 来处理，并选用相应的坐标系。对 于变形复杂的过程。 如模锻，可 以分成若干部分，每一部分分别按 平面问题或轴对称问题处理，最后 组合在一起，得到整个问题的解。
11
例如以上分析中，我们可以假设σx、σy为主应力σ1、 σ3 。
这时不考虑剪应力τ的影响。这就是塑性条件由原来的 非线性化。如果τ非常大时。误差结果也就较大。
将上述的平衡方程与近似
屈服准则联解，以求接触面
上的应力分布，这就是主应
力法。
由于该方法需要截取基元
块，又形象地称为切块法。
12
金 二、几种金属流动类型变形力公式的推导
这种简化的计算方法，我们称初等解析法，也称主应力法
。主要用于程上 。
7
第二节 主应力法的基本原理（切块法）
一．主应力法的实质
主应力法又称切块法，是塑性成形中求解变形力的一 种近似解法。它通过对应力状态作一些近似假设，建 立以主应力表示的简化平衡方程和塑性条件，使求解 过程大大简化。 主应力法属于一种初等解析法，仍然是利用平衡方程 与塑性条件联解采取了一些简化条件。
9
（2）假设变形体内的某一方向法向应力分布与一个坐标 轴无关。
根据某瞬时变形体的变形趋向，
截取包括接触平面在内的典型基元
块，在接触面上有正应力和切应力
（摩擦力），且假设在其他截面（
非接触面）上仅有均布的正应力即
主应力。
这样处理的结果使平衡方程缩减至
一个，而且由偏微分方程变为常微
分方程。该平衡方程可以通过基元
第六章 主应力法及其应用（切块法）
第一节 概 述
研究不同形状和性能的坯料，在不同的工模 具和不同的外力作用下发生塑性变形时的应 力、应变和流动状态，是塑性成形理论的根 本任务之一。
知道了坯料塑性变形时的应力状态，即可 计算出变形力和功能消耗。
1
变形力：在塑性加工过程中，工具通过与坯料的接 触面，对坯料施加作用力，当此作用力达到一定值时， 坯料发生塑性变形，此时，工具作用在坯料上的作用 力称为变形力。
( x d x ) h l h l 2 l dx 0
d xh 2dx 0
∴
d x 2 0 … … … …(1)
dx h 14
平衡微分方程
2、建立塑性条件 y x 这时σy、σx为正值，即绝对值 由于σx，σy都是压力，故 σ1=-σx, σ3=-σy ∴σ1-σ3=σy-σx
变形力
2
确定变形力的目的：
①可分析变形规律，确定成形极限； ②合理设计模具； ③选择锻压设备； ④制订工艺规程，变形力和变形功是不可缺少的数据. 因此，确定变形力、变形功是塑性加工过程力学分析的基本任
务之一。
3
在塑性状态下，求解物体内应力的大小与分布要比在弹 性状态下困难得多，这主要是因为塑性应力—应变关系方 程是非线性的。从理论上讲，联解平衡徽分方程和屈服准 则，需要补充必要的物理方程和几何方程，在一定的边界 条件下可以求得变形体内的应力大小及分布。进而求得变 形力。但是这种数学解析只在某些特殊的情况下才能解， 而对于一般空间问题，数学上极其困难，甚至不可能解。
1 xe
2
h
xe x
xe 0
2
h
1 2
x2
xe 0
ye
x
xe 0
1 xe
2xe 2
h
xe
h
2
ye
xe
xe
h
ye
18
分析σy沿X方向分布规律
y
2
h
( xe
x)
ye
6
3、平面问题：
方程数：2个微分平衡，1个塑性条件共3个。 未知数：σx、σy、σz、τxy 3个
属于静定问题，理论上可解。但这类也总是只有在部分条件下， 即边界剪应力条件特殊时，（等于0，或只与一个坐标轴有关时） 才有精确的解。
因此，许多学者在塑性理论的基础上，引进了各种简化
假设，提出了许多求解塑性问题的近似解析方法。
1、空间问题：
金
属
塑
性 方程数：
成
形 3个平衡微分方程
原 理
1个塑性条件方程
6个应力—应变关系方程
3个变形连续方程（协调方程）
第
六 共13个 ，且为高阶偏微分方程。
章 主
未知数：σx、σy、σz、τxy、τyz、τzx、εx、εy、εz、
应 力
γxy、γyz、γzx、λ13个。
法
虽然未知数和方程数相等，但实际上这十三个联立方
自由表面
ye 2K
2S 3
y
2
h
( xe
x)
ye
2
h
( xe
x)
2S 3
17
5、确定单位流动压力（即单位面积的平均变形力）
变形力
xe
P ydF 2 l y dx
F
0
平均变形力 p P P 1 F l 2xe xe
xe 0
y
dx
1 xe
xe 0
2
h
( xe
x)
ye
dx
程是无法解的，需要将问题进一步简化。
5
2、轴对称问题：
方程数：
2个微分平衡 1个塑性条件 4个应力—应变关系 2个变形连续方程。共9个
未知数：σρ、σθ、σz、τzρ、ερ、εθ、εz、γzρ、λ9个。
可见，轴对称问题比一般的空间问题简单，但只有在个别情况 下，当边界剪应力为零或只与一个坐标轴有关才有精确的解。
y x 2K
微分后得： d y d x … … … … … …(2) 15
3、联解平衡方程和塑性条件
将（2）代入（1）
d x 2 0
dx h
得
d y
2
h
dx
积分后得
y
2
h
xC
16
4、由边界条件确定积分常数C，求出应力分量σy
∵当 ∴
x xe 时
y ye
C
ye
2
h
xe
这时 x 0
块的静力平衡条件得到。
10
（3）采用近似的屈服准则
建立塑性条件时，假设非主应力为主应力，通常把接触 面上的正应力假设为主应力，即忽略了摩擦切应力的影响 。这样，就使塑性条件简化为线性方程，这就是所谓近似 屈服准则。 对于平面应变问题，塑性条件:
( x y )2 4 xy2 4K 2
可简化为σx-σy =σs=2K
属 塑 性
成 下面我们要用主应力方法来推导几种类型的变形的公式：
形 பைடு நூலகம் 理
平面应变：
镦粗
第
六
挤压
章
主
轴对称问题：
应
力 法
镦粗
挤压
13
（一）平面应变的横向流动（镦粗型）
长矩形板镦粗时的变形力和单位流动压力，因l＞＞h，xe， 故l方向变形为0，因此可视为平面问题来处理。
1、列基元体平衡微分方程
Fx 0
8
二、主应力法要点（假设）
切块法
（1）将复杂变形体简化成 平面应变问题或轴对称问题
根据实际变形区情况，将复杂问 题近似地按轴对称问题或平面问题 来处理，并选用相应的坐标系。对 于变形复杂的过程。 如模锻，可 以分成若干部分，每一部分分别按 平面问题或轴对称问题处理，最后 组合在一起，得到整个问题的解。
11
例如以上分析中，我们可以假设σx、σy为主应力σ1、 σ3 。
这时不考虑剪应力τ的影响。这就是塑性条件由原来的 非线性化。如果τ非常大时。误差结果也就较大。
将上述的平衡方程与近似
屈服准则联解，以求接触面
上的应力分布，这就是主应
力法。
由于该方法需要截取基元
块，又形象地称为切块法。
12
金 二、几种金属流动类型变形力公式的推导
这种简化的计算方法，我们称初等解析法，也称主应力法
。主要用于程上 。
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第二节 主应力法的基本原理（切块法）
一．主应力法的实质
主应力法又称切块法，是塑性成形中求解变形力的一 种近似解法。它通过对应力状态作一些近似假设，建 立以主应力表示的简化平衡方程和塑性条件，使求解 过程大大简化。 主应力法属于一种初等解析法，仍然是利用平衡方程 与塑性条件联解采取了一些简化条件。
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（2）假设变形体内的某一方向法向应力分布与一个坐标 轴无关。
根据某瞬时变形体的变形趋向，
截取包括接触平面在内的典型基元
块，在接触面上有正应力和切应力
（摩擦力），且假设在其他截面（
非接触面）上仅有均布的正应力即
主应力。
这样处理的结果使平衡方程缩减至
一个，而且由偏微分方程变为常微
分方程。该平衡方程可以通过基元
第六章 主应力法及其应用（切块法）
第一节 概 述
研究不同形状和性能的坯料，在不同的工模 具和不同的外力作用下发生塑性变形时的应 力、应变和流动状态，是塑性成形理论的根 本任务之一。
知道了坯料塑性变形时的应力状态，即可 计算出变形力和功能消耗。
1
变形力：在塑性加工过程中，工具通过与坯料的接 触面，对坯料施加作用力，当此作用力达到一定值时， 坯料发生塑性变形，此时，工具作用在坯料上的作用 力称为变形力。
( x d x ) h l h l 2 l dx 0
d xh 2dx 0
∴
d x 2 0 … … … …(1)
dx h 14
平衡微分方程
2、建立塑性条件 y x 这时σy、σx为正值，即绝对值 由于σx，σy都是压力，故 σ1=-σx, σ3=-σy ∴σ1-σ3=σy-σx
变形力
2
确定变形力的目的：
①可分析变形规律，确定成形极限； ②合理设计模具； ③选择锻压设备； ④制订工艺规程，变形力和变形功是不可缺少的数据. 因此，确定变形力、变形功是塑性加工过程力学分析的基本任
务之一。
3
在塑性状态下，求解物体内应力的大小与分布要比在弹 性状态下困难得多，这主要是因为塑性应力—应变关系方 程是非线性的。从理论上讲，联解平衡徽分方程和屈服准 则，需要补充必要的物理方程和几何方程，在一定的边界 条件下可以求得变形体内的应力大小及分布。进而求得变 形力。但是这种数学解析只在某些特殊的情况下才能解， 而对于一般空间问题，数学上极其困难，甚至不可能解。
1 xe
2
h
xe x
xe 0
2
h
1 2
x2
xe 0
ye
x
xe 0
1 xe
2xe 2
h
xe
h
2
ye
xe
xe
h
ye
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分析σy沿X方向分布规律
y
2
h
( xe
x)
ye
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3、平面问题：
方程数：2个微分平衡，1个塑性条件共3个。 未知数：σx、σy、σz、τxy 3个
属于静定问题，理论上可解。但这类也总是只有在部分条件下， 即边界剪应力条件特殊时，（等于0，或只与一个坐标轴有关时） 才有精确的解。
因此，许多学者在塑性理论的基础上，引进了各种简化
假设，提出了许多求解塑性问题的近似解析方法。