复数的乘法和除法教案
7.2复数的四则运算教案
7.2复数的四则运算教案《复数的四则运算》教案：教学目标：1. 知识与技能：掌握复数的加法运算及意义。
2. 过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义。
3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念。
教学重点：1. 复数的代数形式的加、减运算及其几何意义。
2. 加、减运算的几何意义。
教学难点：1. 加、减运算的几何意义。
教学过程：1. 复习准备：与学生一起复习复数的定义及其表示方法。
2. 新课导入：通过问题导入，如“两个复数的和如何计算？”、“复数的加减法与实数的加减法有什么相同和不同？”等，引出复数的四则运算。
3. 新课讲解：（1）复数的加法运算：将两个复数相加，得到一个新的复数。
加法可以看作是向量的和，可以用几何方法解释。
讲解时可以结合图形进行解释，让学生理解加法运算的几何意义。
（2）复数的减法运算：将两个复数相减，得到一个新的复数。
减法可以看作是向量的差，可以用几何方法解释。
讲解时可以结合图形进行解释，让学生理解减法运算的几何意义。
（3）复数的乘法运算：将两个复数相乘，得到一个新的复数。
乘法可以看作是向量的叉积，可以用几何方法解释。
讲解时可以结合图形进行解释，让学生理解乘法运算的几何意义。
（4）复数的除法运算：将两个复数相除，得到一个新的复数。
除法可以看作是向量的点积，可以用几何方法解释。
讲解时可以结合图形进行解释，让学生理解除法运算的几何意义。
4. 课堂练习：让学生进行一些简单的复数四则运算练习，并让他们解释运算结果的几何意义。
5. 小结：与学生一起回顾复数的四则运算及其几何意义，强调各部分内容的重要性及注意事项。
6. 作业布置：布置一些相关的练习题，让学生进一步巩固所学知识。
教学反思：在教学过程中，要注意结合图形的解释，让学生更好地理解复数的四则运算及其几何意义。
同时，要关注学生的理解情况，及时调整教学策略，确保学生掌握相关内容。
复数乘法除法的教案
复数乘法除法的教案教案标题：复数乘法除法的教案一、教学目标：1. 理解复数的乘法和除法的概念；2. 掌握复数乘法和除法的计算方法；3. 能够应用复数乘法和除法解决实际问题。
二、教学准备：1. 教师准备：教师需要准备白板、黑板、彩色粉笔、复数乘法和除法的示例题目；2. 学生准备：学生需要准备笔和纸。
三、教学过程：步骤一：导入1. 教师可以通过一个简短的复习，回顾复数的概念和基本运算规则。
步骤二：引入复数乘法1. 教师通过示例，向学生解释复数乘法的概念和规则。
2. 教师可以使用白板或黑板上的示例，让学生一起完成复数乘法的计算过程。
3. 教师可以提供一些练习题，让学生在纸上进行计算，并进行批改。
步骤三：引入复数除法1. 教师通过示例，向学生解释复数除法的概念和规则。
2. 教师可以使用白板或黑板上的示例，让学生一起完成复数除法的计算过程。
3. 教师可以提供一些练习题，让学生在纸上进行计算，并进行批改。
步骤四：综合练习1. 教师提供一些综合性的练习题，包括复数乘法和除法的计算。
2. 学生独立完成练习，并互相交换答案进行批改。
3. 教师可以挑选几道题进行讲解和讨论，解答学生的疑惑。
步骤五：拓展应用1. 教师提供一些实际问题，要求学生运用复数乘法和除法解决。
2. 学生独立思考并解答问题，教师可以进行讨论和引导。
四、教学评价：1. 教师可以通过观察学生的课堂表现、练习题的完成情况和回答问题的准确性来评价学生的学习情况。
2. 教师可以提供一些小测验或考试，检验学生对复数乘法和除法的掌握程度。
五、教学延伸：1. 学生可以通过自主学习和练习，进一步巩固和拓展对复数乘法和除法的理解和应用。
2. 学生可以尝试解决更复杂的实际问题，提高解决问题的能力。
六、教学反思：本教案通过引入复数乘法和除法的概念，结合示例和练习，帮助学生理解和掌握这两种运算方法。
同时，通过实际问题的应用，培养学生解决问题的能力。
教师在教学过程中要注意引导学生思考和讨论，激发学生的学习兴趣和积极性。
复数的乘除运算教案
复数的乘除运算教案一、知识目标1.理解复数的乘法和除法的定义与规则。
2.掌握复数的乘法和除法的计算方法。
3.能够灵活应用复数的乘法和除法解决实际问题。
二、教学重难点1.掌握复数的乘法和除法的基本知识。
2.能够在解决实际问题中使用复数的乘法和除法。
三、教学过程1.复习通过复数的定义和基本运算的讲解，复习复数的加减法、共轭和模的概念和计算方法。
2.乘法(1)定义：设两个复数分别为z1=a+bi，z2=c+di，乘积为z=z1×z2=(a+bi)×(c+di)。
按照运算法则展开并进行化简，即可得到z=(ac-bd)+(bc+ad)i，这就是复数的乘法公式。
(2)计算：教师给出若干道复数乘法的例题，让学生自主练习，并在黑板上讲解解题方法和答案。
(3)注意点：在乘法中，共轭复数的乘积等于它们的模平方，即：|z1z2|=|z1|×|z2|。
3.除法(1)定义：设两个复数分别为z1=a+bi，z2=c+di，商为z=z1÷z2=(a+bi)÷(c+di)。
将分子分母同时乘以共轭数的商，即可得到z=[(a+bi)×(c-di)]÷[(c+di)×(c-di)]。
按照运算法则展开并进行化简，即可得到z=[(ac+bd)/(c²+d²)]+[(bc-ad)/(c²+d²)]i，这就是复数的除法公式。
(2)计算：教师给出若干道复数除法的例题，让学生自主练习，并在黑板上讲解解题方法和答案。
(3)注意点：在除法中，一个任意的非零复数的倒数是它的共轭数与模平方的商，即：1/z= z*÷|z|²。
四、实例讲解教师根据实际问题，构造一些需要使用复数乘、除法进行计算的题目，让学生实际运用所学知识计算，并提高自己的解决实际问题的能力。
五、总结反思教师对所学知识进行归纳和总结，并让学生进行合作讨论，分享自己的学习体会和感悟，以达到知识的深化和加深。
复数乘除法教案范文
复数乘除法教案范文教案：复数的乘除法教学目标：1.学生通过本节课的学习，能够掌握复数的乘除法的基本概念和运算方法；2.学生能够应用所学的知识解决实际问题。
教学重点：1.复数的乘法的概念和运算方法；2.复数的除法的概念和运算方法。
教学难点：1.复数的乘法的应用；2.复数的除法的应用。
教学准备：1.复数的乘法和除法的定义；2.复数的运算规则和性质；3.相应的习题和作业。
教学流程：步骤一：复习复习复数的基本概念和基本运算，包括复数的定义、实部与虚部、共轭复数等内容。
步骤二：复数的乘法1. 复数的乘法：设复数z1=a+bi，z2=c+di，其中a、b、c、d为实数，那么z1×z2=(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
2.举例说明：计算(3+2i)×(1-4i)。
步骤三：复数的除法1. 复数的除法：设复数z1=a+bi，z2=c+di，其中a、b、c、d为实数且z2≠0，那么z1÷z2=(a+bi)÷(c+di)。
a. 首先，将复数的除法转化为乘法：z1÷z2=(a+bi)÷(c+di)=(a+bi)×(c-di)÷(c+di)；b.其次，利用分子有理化的方法将复数的除法转化为分数除法。
2.举例说明：计算(5+6i)÷(3-4i)。
步骤四：实际应用1.将复数乘除法运用于实际问题的解决中，如计算电路中的复阻抗、计算电流相位等问题。
步骤五：小结总结复数的乘法和除法的基本概念和运算方法。
教学延伸：1.提供更多的实例让学生进行练习；2.引导学生应用复数乘除法解决其他实际问题。
教学评价：1.学生是否能够正确理解并应用复数的乘法和除法；2.学生是否能够解决实际问题并给出合理的答案。
教学反思：通过本节课的学习，学生能够理解和掌握复数的乘法和除法的概念和运算方法。
对于一些学生来说，这可能是一个相对较难的内容，需要进行多次的练习和巩固。
复数的乘、除运算(教学设计)
复数的乘除运算教学设计教学目标1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算，培养数学运算的核心素养；2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律，提升数学运算的核心素养。
教学重难点1.重点：掌握复数的乘法和除法运算；2.难点：复数的除法运算教学过程（一）新知导入1.创设情境，生成问题两个实数的积、商是一个实数，那么两个复数的积、商是怎样的？怎样规定两个复数的乘除运算，才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定相容？2.探索交流，解决问题【问题1】设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)类比两个多项式相乘，应如何规定两个复数相乘？[提示]z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.(实部相乘减去虚部相乘的差为实部，实部与另一复数虚部相乘的和为虚部）【问题2】复数的乘法满足交换律和结合律吗？[提示]满足．【问题3】设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z z的共轭复数等于什么？z z是一个怎样的数？[提示]z＝a－b i，z z＝a2＋b2是一个实数．（二）复数的乘除运算1.复数的乘法运算复数的乘法可以应用实数运算中的乘法公式，如平方差公式、完全平方公式等(1)复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.(2)复数乘法的运算律对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有交换律z 1·z 2＝z 2·z 1结合律(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3（3）例题讲解【例1】计算（3−4i）【例2】计算（1−2i）（3+4i）(−2+i)解：（3−4i）（3+4i）解：（1−2i）（3+4i）(−2+i)=3×3+3×4i −4×3i −4i×4i;=(11−2i)(−2+i);=−20+15i.=25.【变式】计算（12−5i）（12+5i）=22512+=213（三）、复数的除法运算猜想：实数的除法是乘法的逆运算，那么该如何定义复数的除法呢？试试自己猜测，复数的除法法则：(1+2i)÷(3+4i)=(1+2i)×4i +31=4i +32i 1+=4i)-4i)(3+(34i)-2i)(3+(1=22434i)-2i)(3+(1=+注：分母是虚数，怎样变成实数呢？类比“分母有理化”，分子分母同时乘以分母的共轭复数。
复数的乘除运算教案
复数的乘除运算教案复数乘除运算教案一、教学目标1. 理解复数的乘除运算的概念和规律；2. 能够进行复数的乘除运算；3. 通过实际问题的解决，培养学生的应用能力。
二、教学重点1. 复数的乘法规则；2. 复数的除法规则。
三、教学难点1. 对复数的乘除运算规则的理解和灵活运用。
四、教学准备1. 复数的定义和性质；2. 复数的乘法和除法运算规则。
五、教学过程Step 1 知识导入复习复数的概念和性质，并引导学生回顾复数的加减运算规则。
Step 2 复数的乘法规则1. 引导学生思考：如何计算两个复数的乘积？2. 让学生观察一些简单的乘法例子，并总结乘法的规律，例如：(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2。
3. 根据上述规律，引导学生完成一些乘法运算练习。
Step 3 复数的除法规则1. 引导学生思考：如何计算一个复数除以另一个复数？2. 让学生观察一些简单的除法例子，并总结除法的规律，例如：(a + bi)/(c + di) = (a + bi)(c - di)/(c^2 + d^2)。
3. 根据上述规律，引导学生完成一些除法运算练习。
Step 4 综合运用通过实际问题的解决，让学生灵活应用复数的乘除运算规则。
例如：问题：如果有一个复数z，满足z乘以4等于(-8 + 16i)，求z的值。
解决思路：设z = a + bi，将已知条件代入乘法规则，得到方程(a + bi) * 4 = (-8 + 16i)，然后解方程，求得z的值。
六、教学拓展引导学生思考复数的乘法和除法规则在实际生活中的应用，例如在电路分析、信号处理等领域。
七、作业布置完成教师布置的练习题，巩固所学的乘除运算规则。
八、课堂小结复习复数的乘除运算规则，并提醒学生练习和巩固所学知识。
以上是关于复数的乘除运算教案的参考内容，通过引导学生总结计算规律和应用实例，帮助学生理解复数的乘除运算规则，并通过实际问题的解决来培养学生的应用能力。
高中数学_3.2.2 复数的乘法和除法教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计复数的乘法和除法一、教学目标：1、理解复数的乘法与除法法则推导过程2、掌握复数的乘法与除法法则，并用运用法则进行运算二、教学重点：复数的乘法与除法法则教学难点：复数的除法运算及综合运算三、知识回顾：（此部分主要以提问学生为主）院 1、复数的定义、共轭复数2、两个复数相等条件3、复数的加法和减法运算四、讲授新课（此部分由教师讲解，学生自主，小组讨论为主）1、复数的乘法法则2、复数的除法法则五、典型例题（教师讲解第一小题，变式及剩余题目学生自主完成）例1、计算（1）(1+2i)(1-2i) (2)(3+4i)(3-4i)(3)i3 ,i4 ,i5 ,i6 (4)(i-2)(4-3i)（教师讲解第一小题，变式及剩余题目学生自主完成）例2、计算（1）)1()32(ii-÷+ (2)ii-+231(3)ii+-31(4)iiii-++22)11(（由学生自主完成）即时巩固学情分析：学生在前几节已经学习了复数的定义和一些有知概念，并能够进行复数的加法和减法运算。
本节课引导学生推导一下复数的乘法和除法的运算法则，学生应当相对轻松的就掌握起来了，通过例题和巩固练习，学生就能熟练地进行运算了。
效果分析：本节课通过对复数的乘法和除法的运算法则的学习，学生相对轻松的就掌握起来了，通过例题和巩固练习，学生就能熟练地进行运算了，学生对这部分的题目也比较有信心了。
教材分析：这部分内容是在选修内容里，但在高考题目中经常出现，在选择题的第一或第二题的位置，属于必须得分的题目。
内容较高中数学的其它部分容易，在六课时左右就能讲授完成，学生也较容易掌握。
观评记录：高二数学组全体教师听评了这节课，认为能够从学生角度出发，以学生为主体，采取启发式教学，推导法则和总结规律实质。
是一节对学生来说比较实用的一节课。
缺点是课堂气氛稍有点沉，应在调动学生积极性上再多下功夫。
评测练习：课后反思：本节课从教的角度来说比较简单,但从学生角度来看并不不那么容易，要不死记公式，运用法则的实质去运算，再比如说，分式能不能象实数运算那样去通分然后再作除法，还是先作除法再通分，这些学生都还拿不准，还有在一些混合运算中，怎么算运算量小，需要在以后的课程中以补充，完善。
高中数学复数乘除教案
高中数学复数乘除教案一、教学目标：1. 理解复数的乘法和除法的定义和运算法则。
2. 熟练掌握复数的乘法和除法的计算方法。
3. 能够解决相关的实际问题。
二、教学重难点：1. 复数的乘法和除法的运算法则。
2. 复数的乘除混合运算的解题方法。
三、教学准备：1. 准备复数的乘法和除法的相关习题。
2. 准备板书和教学课件。
3. 备有学生讲解和解题的素材。
四、教学过程：1. 复数的乘法：首先复习一下复数的定义和加减法运算法则，然后介绍复数的乘法规则。
学生可以通过展示实例进行练习，以加强理解。
2. 复数的除法：介绍复数的除法规则，并结合实例进行展示和练习。
教师应重点解释复数的除法运算过程和步骤。
3. 复数乘除混合运算：学生通过实例进行习题练习，巩固复数的乘法和除法运算法则。
教师可以提供一些实际问题，让学生应用所学的知识解决问题。
4. 课堂练习：通过课堂练习，学生对复数的乘法和除法进行巩固和提高。
教师可以提供一定量的练习题，让学生熟练掌握相关知识。
五、作业布置：布置相关的练习题，让学生进行巩固和复习。
同时，鼓励学生多进行实际问题的应用练习，加深对复数乘除的理解和掌握。
六、课堂小结：通过本节课的学习，学生应该理解复数的乘法和除法的定义和运算法则，能够熟练进行相关的计算和解题。
同时，掌握并运用复数乘除混合运算的方法，解决实际问题。
以上为高中数学复数乘除教案范本，希望能对您的教学工作有所帮助。
祝教学顺利！。
7.2.2 复数的乘、除运算 教学案
7.2 复数的四则运算7.2.2 复数的乘、除运算教学目标：1.掌握复数乘法和除法运算；2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律；3.理解且会求复数范围内的方程根.教学重点：复数代数形式的乘法和除法运算.教学难点：求复数范围内的方程根.教学过程：一、导入新课，板书课题前面学习了复数的加法、减法运算，根据多项式的乘法、除法运算法则猜测复数的乘法、除法满足何种运算法则？【板书：复数的乘、除运算】二、出示目标，明确任务1.掌握复数乘法和除法运算；2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律；3.理解且会求复数范围内的方程根.三、学生自学，独立思考学生看书，教师巡视，督促学生认真看书下面，阅读课本P77-P79页内容，思考如下问题（4min）：1.找出阅读内容中的知识点。
2.找出阅读内容中的重点。
3.找出阅读内容中的困惑点，疑难点。
四、自学指导，紧扣教材自学指导（8min）阅读课本P77-P79页内容，思考并完成如下问题：1.复数的乘法法则是什么？与多项式相乘的区别是什么？2.复数的乘法满足运算律有哪些？你能否证明一下？3.按照五步法认真阅读例3、例4，说明运用了哪些乘法运算律？运用乘法公式对例4进行计算，比对过程和结果有什么不同。
4.按照五步法认真阅读例4（1），你能得到关于共轭复数的一个什么性质？5.类比复数加减运算的关系，探究除法的运算法则（复数的除法实质上是分母实数化，即把分子和分母同乘以一个什么数？）；6.按照五步法认真阅读例5，熟练掌握复数除法的运算法则；7.根据五步法阅读例6，利用求解一元二次方程的根的方法，求复数范围内的方程根.五、自学展示，精讲点拨1.口头回答自学指导问题（答案见PPT）2.书面检测：课本80页练习题1、2、3、4精讲点拨：1．复数乘、除的运算已知z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2.复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有4.共轭复数的性质：若z1，z2是共轭复数，则z1，z2是一个实数。
《复数的乘除运算》教学设计【高中数学人教A版必修2(新课标)】
《复数的乘除运算》教学设计【高中数学人教A版必修2（新课标）】教学目标：1. 理解复数的乘法运算规则，并能够正确应用复数的乘法进行计算。
2. 理解复数的除法运算规则，并能够正确应用复数的除法进行计算。
3. 掌握复数的乘除运算在平面直角坐标系中的几何意义。
教学重点：1. 复数的乘法运算规则的理解和应用。
2. 复数的除法运算规则的理解和应用。
3. 复数乘除运算的几何意义的理解和应用。
教学难点：1. 复数的乘除运算规则的掌握和运用。
2. 复数乘除运算的几何意义的理解和应用。
教学准备：1. 教师准备：教材、课件、黑板、彩色笔。
2. 学生准备：教材、笔、纸。
教学过程：Step 1 热身导入（5分钟）通过回顾上节课所学的复数基本概念和运算规则，复习复数的基础知识。
Step 2 学习复数的乘法运算规则（20分钟）1. 教师以示例方式介绍复数的乘法运算规则，并解释规则的原理。
2. 教师讲解几种特殊情况的复数乘法运算规则，并通过示例进行演示。
3. 学生跟随教师进行课堂练习，巩固复数的乘法运算规则。
Step 3 学习复数的除法运算规则（20分钟）1. 教师以示例方式介绍复数的除法运算规则，并解释规则的原理。
2. 教师讲解几种特殊情况的复数除法运算规则，并通过示例进行演示。
3. 学生跟随教师进行课堂练习，巩固复数的除法运算规则。
Step 4 复数乘除运算的几何意义（15分钟）1. 教师引导学生思考复数乘法和除法运算在平面直角坐标系中的几何意义。
2. 教师演示并讲解复数乘法运算和除法运算的几何意义，并通过实例进行说明。
3. 学生完成几个与几何意义相关的练习题，巩固对复数乘除运算几何意义的理解。
Step 5 拓展应用（10分钟）1. 学生进行一些综合性的习题练习，巩固复数的乘除运算。
2. 学生通过解决实际问题，应用复数的乘除运算进行计算。
Step 6 总结反思（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，并与学生一起回顾乘除运算的关键知识点。
复数的乘法除法教学设计
复数是数学中的一个重要概念，它包括了实数和虚数部分。
复数乘法和除法是复数的基本运算，对于学习复数的学生来说，理解和掌握这两种运算是非常重要的。
因此，本文将针对复数的乘法和除法进行教学设计，旨在帮助学生更好地理解和应用这两种运算。
教学目标：1. 理解复数的乘法和除法的定义；2. 掌握复数乘法和除法的计算规则；3. 能够运用复数乘法和除法解决实际问题。
教学内容：1. 复数的乘法：(1) 复数的定义和表示方法；(2) 复数乘法的计算规则；(3) 复数乘法的性质和特殊情况。
2. 复数的除法：(1) 复数的定义和表示方法；(2) 复数除法的计算规则；(3) 复数除法的性质和特殊情况。
教学步骤：第一步：引入复数的概念和表示方法（10分钟）教师可以通过简单的例子和实际生活中的应用来引导学生了解复数的概念，并介绍复数的表示方法，如a+bi的形式。
同时，教师要强调虚数单位i的意义和性质。
第二步：复数的乘法（30分钟）1. 讲解复数乘法的计算规则，即使用分配律和虚数单位i的性质，将复数的乘法转化为实数的乘法。
2. 通过几个简单的例子来演示如何进行复数的乘法计算，同时让学生参与其中，帮助学生理解乘法的过程和规则。
3. 引导学生发现乘积的特征：当两个复数都为实数时，乘积也是实数；当一个复数为纯虚数时，乘积为负的实数。
第三步：复数的除法（30分钟）1. 讲解复数除法的计算规则，即通过乘以共轭复数进行除法操作。
2. 借助几个实际问题来演示如何进行复数的除法计算，鼓励学生参与讨论和解答问题，帮助他们理解除法的过程和规则。
3. 引导学生发现除法的特征：当两个复数都为实数时，商依然是实数；当一个复数为纯虚数时，商为负的纯虚数。
第四步：综合应用与拓展（40分钟）1. 提供一些拓展的习题，让学生运用复数乘法和除法解决实际问题。
2. 引导学生思考和讨论：在什么情况下使用复数乘法和除法更方便和有效？复数乘法和除法在哪些领域有重要的应用？3. 结合实际应用场景，让学生发现复数乘法和除法在电路、信号处理等领域的应用，增强对复数运算的兴趣和认识。
复数代数形式的乘除运算教案
复数代数形式的乘除运算教案教学目标：1 知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算2 过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题3 情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法则的运用。
课型:新知课教具准备：多媒体教学过程：复习提问：已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）加法法则：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.减法法则：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减)(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)讲解新课：一．复数的乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.探究:复数的乘法是否满足交换律、结合律?乘法对加法满足分配律吗?二.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.∴z1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可证：z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3 -b1b2b3)i，∴(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3 )i=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i ∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i.复数的乘法与多项式的乘法是类似的我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算,类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.例2计算：（1）(3+4i) (3-4i) ；（2）（1+ i)2.解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i）2=9-(-16)=25;(2) （1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i.练习课后第2题三.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数z 的共轭复数为z 。
复数的四则运算 教案
复数的四则运算教案教案标题：复数的四则运算教案目标：1. 理解复数的定义和基本概念；2. 掌握复数的加减乘除运算规则；3. 能够在实际问题中应用复数进行计算。
教学重点：1. 复数的定义和基本概念；2. 复数的加减乘除运算规则。
教学难点：1. 复数的乘除运算规则；2. 在实际问题中应用复数进行计算。
教学准备：1. 复数的定义和基本概念的教学材料；2. 复数的加减乘除运算规则的教学材料；3. 实际问题的案例材料。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入复数的概念，与学生一起回顾实数的定义和基本概念；2. 提问：是否有一种数可以表示平面上的点？请举例说明。
二、概念讲解（10分钟）1. 讲解复数的定义和基本概念，包括实部和虚部的概念；2. 通过示意图和实例，帮助学生理解复数的几何意义。
三、加减运算规则（15分钟）1. 讲解复数的加减运算规则，包括实部和虚部的分别相加减；2. 通过示例演算，帮助学生掌握复数的加减运算方法。
四、乘法运算规则（15分钟）1. 讲解复数的乘法运算规则，包括实部和虚部的相乘和相加减；2. 通过示例演算，帮助学生掌握复数的乘法运算方法。
五、除法运算规则（15分钟）1. 讲解复数的除法运算规则，包括有理化和分子分母的相乘除；2. 通过示例演算，帮助学生掌握复数的除法运算方法。
六、实际问题应用（15分钟）1. 给出一些实际问题的案例，要求学生运用复数进行计算；2. 引导学生分析问题，提供解决思路，并进行解答。
七、总结与拓展（5分钟）1. 总结复数的四则运算规则；2. 提出一些拓展问题，鼓励学生进一步思考和探索。
教学反思：本教案通过概念讲解、示例演算和实际问题应用等环节，全面引导学生掌握复数的四则运算规则，并能够在实际问题中灵活应用。
同时，教学过程中注重培养学生的逻辑思维和问题解决能力，提高学生的数学素养。
高三数学教案：复数的乘法与除法
高三数学教案：复数的乘法与除法一、复数的乘法复数的乘法有以下两种形式：1. 两个复数相乘，直接将实部相乘，虚部相乘，再将结果相加。
设 z1=a1+bi，z2=a2+ci，则它们的乘积为：z1×z2=(a1+bi)×(a2+ci)=(a1a2-bc) + (a1c+b2i)2. 复数与实数相乘，将复数的实部与虚部分别乘以该实数。
二、复数的除法复数的除法有以下两种形式：1. 将两个复数的实部和虚部分别乘以被除数的共轭复数，并将结果相加。
设 z1=a1+bi，z2=a2+bi，则 z1÷z2= (a1+bi) ÷ (a2+bi) =[(a1a2+b1b2) + (a2b1-a1b2)i] ÷ (a2^2+b2^2)2. 将复数的实部和虚部分别除以被除数的共轭复数的模的平方。
教学步骤：1. 复习复数的基本概念和表示方法，包括实部、虚部和共轭复数的概念。
2. 介绍复数的乘法规则，通过例题讲解和练习巩固。
3. 引导学生通过观察乘法规则的特点，总结复数相乘的基本性质。
4. 介绍复数的除法规则，通过例题讲解和练习巩固。
5. 引导学生通过观察除法规则的特点，总结复数相除的基本性质。
6. 练习复数的乘法与除法，包括计算复数的乘幂数和课堂练习。
教学重点：1. 理解复数的乘法和除法的运算规则。
2. 掌握复数乘法的计算方法和复数相除的计算方法。
3. 熟悉复数乘法和除法的基本性质。
教学延伸：可以引导学生通过解决实际问题来应用复数的乘法和除法，例如电路分析、振动问题等。
通过解决实际问题，提高学生对复数乘法和除法的应用能力和解决问题的能力。
复数乘除法教案范文
复数乘除法教案范文主题：复数乘除法教学一、教学目标：1.理解复数的基本概念和表示方法。
2.掌握复数的乘法和除法的计算方法。
3.能够运用所学的知识解决实际问题。
二、教学内容：1.复数的概念和表示方法。
a.复数是由实数和虚数组成的数，虚数用i表示。
b. 复数的一般表示形式：a + bi，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位。
c.实数a可以看作是虚部为零的复数，即a=a+0i。
2.复数的乘法。
a.两个复数相乘，实部相乘后减去虚部相乘后的结果。
b. 乘法公式：(a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i。
c.示例：(3+2i)×(-1+4i)=(3×-1-2×4)+(3×4+2×-1)i=-11+10i。
3.复数的除法。
a.两个复数相除，实部和虚部分别相除。
b. 除法公式：(a + bi) ÷ (c + di) = [(ac + bd) + (bc - ad)i] ÷ (c^2 + d^2)。
c.示例：(5+2i)÷(3-i)=[(5×3+2×-(-1))+(2×3-5×-1)i]÷(3^2+(-1)^2)=(17+11i)÷10=1.7+1.1i。
三、教学过程：1.导入新知识。
a.引导学生回顾实数和虚数的定义，并提问：你们知道复数是什么吗？它有什么特点？b.学生回答后，教师进行解释，引入复数的概念和表示方法。
以一个实数和一个虚数相加为例，解释复数的定义和形式。
2.复习实数和虚数的运算规律。
a.提醒学生回顾实数和虚数的运算规律，如实数加减法的交换律、结合律等。
b.引导学生思考虚数的平方是负数的概念，并提问：你们知道虚数单位i的平方是多少吗？3.复数的乘法。
a.介绍复数的乘法公式，并用具体的示例进行演示和讲解。
高中数学复数的运算教案
高中数学复数的运算教案目标：学生能够熟练地进行复数的加减乘除运算。
一、复数的概念复数的形式1. 复数是由实部和虚部组成的，一般表示为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位。
二、复数的加减法1. 实部和虚部分别相加减得到最终结果。
例如：(3+2i) + (5+4i) = 8+6i；(3+2i) - (5+4i) = -2-2i。
三、复数的乘法1. 使用分配律进行计算，记得i² = -1。
例如：(3+2i) * (5+4i) = 3*5 + 3*4i + 2i*5 + 2i*4i = 15 + 12i + 10i + 8i² = 15 + 22i - 8 = 7+22i。
四、复数的除法1. 先将除法转换为乘法，分母乘以分子的共轭，并化简。
例如：(3+2i) / (5+4i) = (3+2i) * (5-4i) / (5² + 4²) = (15-8i+10i+12) / 41 = 27/41 + 2/41i。
练习题1. 计算以下复数的结果：a. (1+2i) + (3-4i)b. (2+5i) - (4-3i)c. (3+4i) * (2-3i)d. (4+2i) / (1+3i)扩展练习1. 设复数z = a+bi，求z+z*的结果。
2. 设复数z = a+bi，求z²的结果。
课堂小结通过本节课的学习，我们掌握了复数的加减乘除运算方法，并进行了相关练习。
在实际运用中要注意细节处理，避免计算错误。
接下来的课程中，我们将学习更多关于复数的知识，提高对复数的理解和运用能力。
复数的乘法和除法教案
复数的乘法和除法教案教案：复数的乘法和除法教学内容：本节课将讲解复数的乘法和除法。
复数是由实数和虚数组成的数，可以用来表示平面上的点或向量。
复数的乘法和除法是复数运算中的重要部分，通过学习这些运算，学生将能够更好地理解和应用复数的概念。
教学目标：1.能够理解复数的乘法和除法的定义；2.能够使用复数的乘法和除法进行运算；3.能够应用复数的乘法和除法解决实际问题；4.能够解释复数乘法和除法的几何意义。
教学准备：1. PowerPoint课件；2.白板、黑板、彩色粉笔/白板笔；3.复数乘法和除法的练习题。
教学过程：Step 1: 引入复数的乘法和除法（10分钟）1. 使用PowerPoint课件引入复数的乘法和除法的概念。
2.几何概念：复数的乘法和除法对应于平面上的点或向量的运算。
3.解释复数的乘法：实数与虚数的乘积等于虚数，并且实数与实数的乘积仍然是实数。
4.解释复数的除法：将除数乘以其共轭复数，然后将分子和分母都除以复数的模长。
Step 2: 复数乘法的计算方法（20分钟）1.使用示例展示复数乘法的计算方法。
2. 板书示例，例如：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
3.解释如何计算乘积的实部和虚部。
示例：计算(2+3i)(4+5i)解：(2+3i)(4+5i)=2×4+2×5i+3i×4+3i×5i=8+10i+12i+15i²=8+22i-15=-7+22i4.更多示例：让学生计算更多的复数乘法示例，以加深对计算方法的理解。
Step 3: 复数除法的计算方法（20分钟）1.使用示例展示复数除法的计算方法。
2. 板书示例，例如：(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)+(bc-ad)i] /(c²+d²)。
3.解释如何计算商的实部和虚部。
示例：计算(3+4i)/(1+2i)解：(3+4i)/(1+2i)=[(3×1+4×2)+(4×1-3×2)i]/(1²+2²)=(3+8+4i-6i)/5=(11-2i)/5=11/5-(2/5)i4.更多示例：让学生计算更多的复数除法示例，以加深对计算方法的理解。
《4.2.2复数的乘法与除法》教学设计
2．2复数的乘法与除法●三维目标1．知识与技能(1)能够运用复数代数形式的乘法与除法法则求两个复数的积与商．(2)了解复数的乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．2．过程与方法通过学习，使学生进一步理解算法与算理，提高对运算法则合理性的认识．3．情感、态度与价值观通过对复数运算的学习，培养学生严密的推理能力、准确的计算能力．●重点难点重点：能准确进行复数的乘、除运算．难点：对复数四则运算的算法与算理的理解．教学中，要引导学生进行类比，将复数的乘法与多项式的乘法进行类比，将复数的乘、除运算之间的关系与实数的乘、除运算之间的关系进行类比，将复数的除法与实数的分母有理化进行类比．在类比中，领会复数乘除法的算法与算理．●教学建议1．在教学中应向学生指明：复数的乘法，可按多项式相乘的方法进行，不必专记公式．2．学习共轭复数时，首先要求学生明确共轭复数的概念，其次必须注意共轭复数的性质，即z·z＝|z|2＝|z|2＝a2＋b2∈R.合理地运用这个结论，及时进行虚、实的转换，有时可以简化计算．3．关于复数的四则运算，应避免繁琐的计算和过分的技巧，突出基本方法和基本技能的应用，突出运算中的求简原则．4．对于i的正整数幂i m的运算，要引导学生发现i m结果的周期性．●教学流程类比引入：类比多项式的乘法定义复数的乘法⇒复数乘法所满足的运算律⇒应用示例，感悟复数乘法法则及运算律的用法⇒定义共轭复数，探究其性质⇒定义复数的除法⇒应用示例，感悟复数除法的运算方法⇒归纳总结，深化认识1．若规定复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法满足分配律，试计算(a ＋b i)(c ＋d i)，其中a ，b ，c ，d 都是实数．【提示】 (a ＋b i)(c ＋d i)＝a (c ＋d i)＋(b i)(c ＋d i)＝ac ＋ad i ＋bc i ＋bd i 2＝ac ＋ad i ＋bc i －bd ＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.2．根据复数的除法是乘法的逆运算，求a ＋b i c ＋d i ，其中a ，b ，c ，d 都是实数，且c ＋d i ≠0.【提示】 设(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i(x ，y ∈R )，则(cx －dy )＋(cy ＋dx )i ＝a ＋b i.根据复数相等的定义，⎩⎪⎨⎪⎧cx －dy ＝a ，cy ＋dx ＝b ，解得x ＝ac ＋bd c 2＋d 2，y ＝bc －ad c 2＋d 2，∴a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i. 1．复数的乘法(1)定义：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. (2)运算律对任意复数z ，z 1，z 2和正整数m ，n ，有z m ·z n ＝z m ＋n ，(z m )n ＝z mn ，(z 1z 2)n ＝z n 1z n2. 2．共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫做互为共轭复数．复数z 的共轭复数用z 来表示，即当z ＝a ＋b i 时，z ＝a －b i.3．复数的除法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)，则z1z2＝a＋b ic＋d i＝(ac＋bd)＋(bc－ad)ic2＋d2.计算：(1)(1＋i)(1－i)－(1＋i)2；(2)(1＋2i)(2＋3i)(3＋4i)．【思路探究】利用复数乘法的运算法则及运算律求解．【自主解答】(1)(1＋i)(1－i)－(1＋i)2＝1－i2－2i＝2－2i.(2)(1＋2i)(2＋3i)(3＋4i)＝(2＋3i＋4i＋6i2)(3＋4i)＝(－4＋7i)(3＋4i)＝－12－16i＋21i＋28i2＝－40＋5i.1．复数的乘法、乘方的运算法则类似于多项式的乘法和乘方运算．2．在进行乘方运算时，注意i的整数次幂的性质(i4k＋r＝i r，k，r∈Z)以及“(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i”的灵活运用，它们的作用在于简化解题过程．3．实数的乘法公式在复数集中仍然成立，应注意灵活运用它解决相关问题．(1)(2013·浙江高考)已知i是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝() A．5－5i B．7－5iC．5＋5i D．7＋5i(2)设a∈R，若(a－i)2i(i为虚数单位)为正实数，则a等于() A．2B．1 C．0D．－1【解析】(1)(2＋i)(3＋i)＝6＋5i＋i2＝5＋5i.(2)∵(a－i)2i＝[(a2－1)－2a i]i＝2a＋(a2－1)i.∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＞0，a 2－1＝0，解得a ＝1.【答案】 (1)C (2)B计算：(1)(1－i 1＋i )2 013 (2)3＋i 1－3i. 【思路探究】 计算的关键是掌握复数的除法的运算法则并注意解题技巧的应用． 【自主解答】 (1)由1－i 1＋i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＝1－2i ＋i 21－i 2＝1－2i －11－(－1)＝－2i 2＝－i ，得(1－i 1＋i)2 013＝(－i)2 013＝(－1)2 013i 2 013＝－i 4×503＋1＝－(i 4)503i ＝－i. (2)法一3＋i1－3i ＝(3＋i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )＝3＋3i ＋i ＋3i 21－3i 2＝3＋4i －31＋3＝4i 4＝i. 法二 3＋i1－3i ＝－3i 2＋i 1－3i ＝i (1－3i )1－3i ＝i.1．在进行复数除法运算时，有以下两种方法： (1)利用除法法则进行运算；(2)把(a ＋b i)÷(c ＋d i)写成a ＋b i c ＋d i 的形式，再把分子与分母同乘以分母的共轭复数，并进行化简整理．2．对于有些复数的除法，可类比分式的化简，约去公因式，再进行除法运算，比如例2第(2)题的方法二．(1)(2013·山东高考)复数z ＝(2－i )2i (i 为虚数单位)，则|z |＝( )A ．25 B.41 C ．5D. 5(2)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D.12【解析】 (1)z ＝(2－i )2i ＝4－4i ＋i 2i ＝3－4ii ＝－4－3i ，∴|z |＝(－4)2＋(－3)2＝25＝5.(2)1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2＋i ＋2a i ＋a i 24－i 2＝2＋(1＋2a )i －a 4－(－1)＝2－a 5＋1＋2a5i ，由1＋a i2－i 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a5＝0，1＋2a5≠0，解得a ＝2.【答案】 (1)C (2)A复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i，若z 2＋a z ＜0，求纯虚数a .【思路探究】 解答本题只需根据条件设出纯虚数a ，利用z 2＋az 为实数，且小于0，列式求解即可．【自主解答】 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i＝2i ＋3－3i 2＋i＝3－i2＋i ＝(3－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝6－3i －2i ＋i 25＝5－5i5＝1－i. 设a ＝m i(m ∈R 且m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋(m2－2)i ＜0.∴⎩⎨⎧－m2＜0，m2－2＝0，∴m ＝4，∴a ＝4i.1．复数的运算顺序与实数的运算顺序相同，先进行高级运算(乘方)，再进行次级运算(乘、除)，最后进行低级运算(加、减)，如i 的幂运算，先利用i 的幂的周期性，将其次数除低，然后再进行四则运算．2．对于复数的运算，除应用四则运算法则之外，还应掌握一些运算结果，以简化运算．如：①1i ＝－i ；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i＝－i ；④a ＋b i ＝i(b －a i)．设复数z 满足|z |＝5，且(7＋i 1－i )z 是纯虚数，求z .【解】 设(7＋i1－i )z ＝b i(b ≠0)，则(3＋4i)z ＝b i.∴z ＝b i 3＋4i＝4b ＋3b i 25.∴|4b ＋3b i25|＝5，∴(4b 25)2＋(3b25)2＝5， ∴b ＝±25.当b ＝25时，z ＝4＋3i ，当b ＝－25时，z ＝－4－3i. 所以z ＝4－3i 或－4＋3i.整体代换在求复数代数式的值中的应用(12分)已知复数z ＝2＋i ，试求z 4－4z 3＋6z 2－4z －1的值．【思路点拨】 考虑用整体代换求解着眼点：①以谁为整体；②怎样将所求式用整体表示．【规范解答】 由z ＝2＋i ，得z －2＝i ， ∴z 2－4z ＋4＝－1，∴z2－4z＝－5. 6分∴z4－4z3＋6z2－4z－1＝z2(z2－4z)＋6z2－4z－1＝－5z2＋6z2－4z－1＝z2－4z－1＝－5－1＝－6. 12分本题直接代入求值，计算量较大，且易错．通过整体代换求值，可简化计算过程，提高解题的准确性．用该方法求解时，需要考虑两个问题：一是以谁为整体；二是如何将所求式用该整体表示，这需要观察和分析已知和所求式的结构特征获得．1．复数相乘类似于多项式相乘，只要在所求得的结果中把i2换成－1，并把实部与虚部分别合并即可．2．复数的除法实质上就是通过分子与分母分别乘以分母的共轭复数把分母实数化的过程．3．性质：z·z＝|z|2＝|z|2是复数运算与实数运算互相转化的重要依据，也是把复数看成整体进行运算的依据．1．复数(3i －1)i 的共轭复数是( ) A ．－3＋i B ．－3－i C ．3＋iD ．3－i【解析】 由(3i －1)i ＝3i 2－i ＝－3－i ，得(3i －1)i 的共轭复数是－3＋i. 【答案】 A2．(2013·课标全国卷Ⅱ)⎪⎪⎪⎪21＋i ＝( )A ．2 2B ．2 C. 2D ．1【解析】 由21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－2i 1－i2＝1－i ， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝|1－i|＝ 2.故选C. 【答案】 C3．已知f (z ＋2i)＝3z －2i ，则f (i)＝________.【解析】 取z ＝－i ，则f (－i ＋2i)＝3(－i)－2i ，∴f (i)＝－5i. 【答案】 －5i4．已知复数z 满足i(z ＋3)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，试求|z |. 【解】 由i(z ＋3)＝－3＋2i ，得z ＋3＝－3＋2ii ＝2＋3i ，∴z ＝－1＋3i.∴|z |＝(－1)2＋32＝10.一、选择题1．复数2＋i1－2i的共轭复数是( )A ．－35i B.35i C ．－i D ．i【解析】 ∵2＋i 1－2i ＝(2＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝i.其共轭复数为－i. 【答案】 C2．复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z z －z －1＝( ) A ．－2i B ．－i C ．i D ．2i 【解析】 z ＝1＋i ，z ＝1－i. ∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝－i. 【答案】 B3．(2013·江西高考)复数z ＝i(－2－i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】 因为z ＝i(－2－i)＝1－2i ，所以复数z 对应的点在第四象限． 【答案】 D4．已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i ，若z 1z 2为实数，则实数m 的值为( )A.83 B ．－83 C.32 D ．－32【解析】 设z 1z 2＝a (a ∈R )，则z 1＝az 2，即m ＋2i ＝3a －4a i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3a ，2＝－4a ， 解得a ＝－12，m ＝－32.【答案】 D5．若z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，则z 2＝－1的θ值可能为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2【解析】 z 2＝(cos θ＋isin θ)2＝(cos 2θ－sin 2θ)＋(2sin θcos θ)i ＝cos 2θ＋isin 2θ. 由z 2＝－1，得cos 2θ＝－1.故选D.【答案】 D 二、填空题6．已知z ＝(1－i)(2－i)，则|z |的值是________． 【解析】 ∵z ＝2－i －2i ＋i 2＝1－3i ，∴|z |＝12＋(－3)2＝10.【答案】107．已知(a －i)2＝2i ，其中i 是虚数单位，那么实数a ＝________. 【解析】 由(a －i)2＝2i ，得(a 2－1)－2a i ＝2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，－2a ＝2，解得a ＝－1. 【答案】 －18．已知i 是虚数单位，使(1＋i)n 为实数的最小正整数n ＝________. 【解析】 (1＋i)4＝[(1＋i)2]2＝(2i)2＝22i 2＝－4，故最小正整数n ＝4. 【答案】 4 三、解答题 9．计算(1)(1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2； (2)(3－2i )2－3(1－i )2＋i ；(3)(21＋i)2 013. 【解】 (1)(1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2＝1－i 2＋1＋4i ＋4i 2＝1－(－1)＋1＋4i ＋(－4)＝－1＋4i.(2)(3－2i )2－3(1－i )2＋i ＝9－12i ＋4i 2－3＋3i 2＋i＝9－12i －4－3＋3i2＋i＝2－9i2＋i ＝(2－9i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝4－2i －18i ＋9i 25＝4－2i －18i －95＝－5－20i5＝－1－4i. (3)(21＋i )2 013＝[2(1－i )2]2 013＝(1－i )2 012(1－i )22 0132＝(－2i )1 006(1－i )22 0132＝(－4)503(1－i )22 0132＝－21 006(1－i )22 0132＝－1－i 2＝－22＋22i.10．已知x ，y ∈R ，且x 1＋i ＋y 1＋2i ＝51＋3i ，求x ，y 的值．【解】 由已知得x (1－i )2＋y (1－2i )5＝5(1－3i )10.整理得(5x ＋2y )－(5x ＋4y )i ＝5－15i.∴⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝5，5x ＋4y ＝15，解得x ＝－1，y ＝5.11．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根，根据定义，试求复数i 的平方根．【解】 设复数i 的平方根为x ＋y i(x ，y ∈R )，则(x ＋y i)2＝i ，即(x 2－y 2)＋2xy i ＝i.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝0，2xy ＝1.解得⎩⎨⎧x ＝22，y ＝22或⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝－22.∴复数i 的平方根是22＋22i 或－22－22i.(教师用书独具)已知复数z ＝1＋i1－i，求1＋z ＋z 2＋…＋z 100的值．【思路探究】 先化简z 及所要求的式子，然后代入计算． 【自主解答】 z ＝1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝1＋2i ＋i 21－i 2＝1＋2i －11－(－1)＝2i2＝i.法一 由z ＝i ，得1＋z ＋z 2＋z 3＝1＋i －1－i ＝0，∴1＋z ＋z 2＋…＋z 100＝1＋z (1＋z ＋z 2＋z 3)＋z 5(1＋z ＋z 2＋z 3)＋…＋z 97(1＋z ＋z 2＋z 3)＝1.法二 1＋z ＋z 2＋…＋z 100＝1－z 1011－z ＝1－i 1011－i ＝1－i 100·i 1－i ＝1－i 1－i＝1.1．实数数列的有关运算公式在复数范围内仍然成立． 2．求解过程中，应遵循先化简再代入求值的原则．在备选例题的条件下，求z ·z 2·z 3·…·z 100的值． 【解】 z ·z 2·z 3·…·z 100＝z 1＋2＋3＋…＋100＝z (1＋100)×1002＝z 5 050＝i 5 050＝(i 2)2 525＝(－1)2 525＝－1.复数—错误!)—复数的几何意义—错误!) —复数的四则运算—错误!)))a ，虚部是b 而不是b i ，复数的模|z |＝a 2＋b 2.复数z 的共轭复数为z ＝a －b i ，且z z ＝|z |2.求当m 为何实数时，复数z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2－2m －15)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【解】 复数z 的实部为m 2－m －6m ＋3＝(m ＋2)(m －3)m ＋3，虚部为m 2－2m －15＝(m ＋3)(m －5)．(1)要使z 是实数，必须⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋3)(m －5)＝0，m ＋3≠0，∴当m ＝5时，z 是实数．(2)要使z 为虚数，必须(m ＋3)(m －5)≠0， ∴当m ≠－3，且m ≠5时，z 为虚数． (3)要使z 为纯虚数，必须⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋2)(m －3)m ＋3＝0，(m ＋3)(m －5)≠0，∴当m ＝－2或m ＝3时，z 为纯虚数．如果复数2－b i1＋2i (b ∈R )的实部与虚部互为相反数，那么b＝( )A.2B.23 C ．－23D ．2【解析】 ∵2－b i 1＋2i ＝(2－2b )－(4＋b )i5，∴2－2b 5＋(－4＋b 5)＝0.解得b ＝－23.【答案】 C代数问题．(1)复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )一一对应，又与复平面内的向量OZ →一一对应． (2)复数加、减法的几何意义的实质是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z 1－z 2|表示复平面上两点Z 1，Z 2间的距离．已知复平面上凸四边形ABCD 的四个顶点A ，B ，C ，D 依次对应的复数为z 1，z 2，z 3，z 4，若|z 1|＝|z 2|＝|z 3|＝|z 4|＝r ≠0，且z 1－z 2＋z 3－z 4＝0，则四边形ABCD 必是( )A ．梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形【思路点拨】 |z |＝r 在复平面内表示复数z 所对应的点Z 的轨迹是以原点为圆心，r 为半径的圆，复数z 1－z 2对应向量OA →－OB →＝BA →，复数z 4－z 3对应向量OD →－OC →＝CD →，利用平面向量知识和平面几何知识都是使本题获解的关键．【规范解答】 ∵|z 1|＝|z 2|＝|z 3|＝|z 4|＝r ≠0，∴A ，B ，C ，D 四点都在以原点为圆心，以r 为半径的圆上，即四边形为圆内接四边形，又z 1－z 2＋z 3－z 4＝0，∴z 1－z 2＝z 4－z 3，根据复数的几何意义，复数z 1－z 2对应向量OA →－OB →＝BA →，复数z 4－z 3对应向量OD →－OC →＝CD →，∴BA →＝CD →，∴AB ∥CD 且|AB |＝|CD |，∴四边形ABCD 为平行四边形，而圆内接平行四边形是矩形，∴满足条件的四边形ABCD 是矩形，故选B. 【答案】 B复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 z ＝z 1z 2＝4－2i ，故其对应的点在第四象限． 【答案】 D减，而乘法类比多项式乘法，除法类比分式的分子、分母有理化，注意i 2＝－1.在运算的过程中常用来降幂的公式有：(1)i 的乘方：i 4k ＝1，i 4k ＋1＝i ，i 4k ＋2＝－1，i 4k ＋3＝－i(k ∈Z )． (2)(1±i)2＝±2i.(3)作复数除法运算时，有如下技巧： a ＋b i b －a i ＝(a ＋b i )i (b －a i )i ＝(a ＋b i )ia ＋b i＝i ，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化．(2012·安徽高考)复数z 满足(z －i)(2－i)＝5，则z＝( )A ．－2－2iB ．－2＋2iC ．2－2iD ．2＋2i【思路点拨】 利用复数的除法求解．【规范解答】 由已知得z －i ＝52－i ＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5(2＋i )5＝2＋i ，所以z ＝(2＋i)＋i ＝2＋2i.【答案】 D(2012·课标全国卷)复数z ＝－3＋i2＋i 的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i【解析】 ∵z ＝(－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5＋5i5＝－1＋i ，∴z ＝－1－i. 【答案】 D易于解决的问题，最终使问题得到解决的解题方法．通常是由未知转化为已知，将新知识向旧知识转化，将复杂问题转化为简单问题，抽象问题具体化．在复数中常见的是把不易解决的问题通过转化使问题简化，变得易于解决，但转化有一定的技巧性，因而在解题时要认真分析，合理转化．复数z 和ω满足：z ·ω＋2i·z －2i·ω＋1＝0.若z 和ω满足ω－z ＝2i ，求z 和ω的值．【思路点拨】 由题意可知有三个未知量z 、ω、ω，但由于知道三者之间的关系，故可将z ·ω＋2i·z －2i·ω＋1＝0转化为关于复数ω的方程来求解，先求出ω，然后再求z .【规范解答】 (1)∵ω－z ＝2i ，∴z ＝ω－2i ，将其代入z ·ω＋2i·z －2i·ω＋1＝0中， 得(ω－2i)(ω＋2i)－2i·ω＋1＝0， ∴ω· ω－4i·ω＋2i·ω＋5＝0. 设ω＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则上式可变为： (x ＋y i)(x －y i)－4i(x ＋y i)＋2i(x －y i)＋5＝0， 即x 2＋y 2＋6y ＋5－2x i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋6y ＋5＝0，2x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－5.∴ω＝－i ，z ＝－i 或ω＝－5i ，z ＝3i.在例题的条件下，求证：如果|z |＝3，那么|ω－4i|的值是一个常数，并求这个常数． 【解】 ∵z (ω＋2i)＝2i·ω－1， ∴|z ||ω＋2i|＝|2i·ω－1|.① 设ω＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 则|ω＋2i|＝|x ＋(y ＋2)i|＝x 2＋(y ＋2)2＝x 2＋y 2＋4y ＋4.|2i·ω－1|＝|－(2y ＋1)＋2x i|＝(2y ＋1)2＋4x 2＝4x 2＋4y 2＋4y ＋1.又∵|z |＝3，∴①可化为3(x 2＋y 2＋4y ＋4)＝4x 2＋4y 2＋4y ＋1. ∴x 2＋y 2－8y ＝11. ∴|ω－4i|＝|x ＋(y －4)i|＝x 2＋(y －4)2＝x 2＋y 2－8y ＋16＝3 3.∴|ω－4i|的值是一个常数，这个常数是3 3.。
高三数学教案复数的乘法与除法
高三数学教案：复数的乘法与除法（1）掌握复数乘法与除法的运算法则，并能熟练地进行乘、除法的运算；（2）能应用i和的周期性、共轭复数性质、模的性质熟练地进行解题；（3）让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法；（4）通过学习复数乘法与除法的运算法则，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。
教学建议一、知识结构二、重点、难点分析本节的重点和难点是复数乘除法运算法则及复数的有关性质．复数的代数形式相乘，与加减法一样，可以按多项式的乘法进行，但必须在所得的结果中把换成－1，并且把实部与虚部分合并．很明显，两个复数的积仍然是一个复数，即在复数集内，乘法是永远可以实施的，同时它满足并换律、结合律及乘法对加法的分配律．规定复数的除法是乘法的逆运算，它同多项式除法类似，当两个多项式相除，可以写成分式，若分母含有理式时，要进行分母有理化，而两个复数相除时，要使分母实数化，即分式的分子和分母都乘以分母的共轭复数，使分母变成实数．三、教学建议1．在学习复数的代数形式相乘时，复数的乘法法则规定按照如下法则进行．设是任意两个复数，那么它们的积：也就是说．复数的乘法与多项式乘法是类似的，注意有一点不同即必须在所得结果中把换成一1，再把实部，虚部分别合并，而不必去记公式．2．复数的乘法不仅满足交换律与结合律，实数集R中整数指数幂的运算律，在复数集C中仍然成立，即对任何，，及，有：，，；对于复数只有在整数指数幂的范围内才能成立．由于我们尚未对复数的分数指数幂进行定义，因此如果把上述法则扩展到分数指数幂内运用，就会得到荒谬的结果。
如，若由，就会得到的错误结论，对此一定要重视。
3．讲解复数的除法，可以按照教材规定它是乘法的逆运算，即求一个复数，使它满足（这里，是已知的复数）．列出上式后，由乘法法则及两个复数相等的条件得：，由此，于是得出商以后，还应当着重向学生指出：如果根据除法的定义，每次都按上述做来法逆运算的办法来求商，这将是很麻烦的．分析一下商的结构，从形式上可以得出两个复数相除的较为简捷的求商方法，就是先把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可．4．这道例题的目的之一是训练我们对于复数乘法运算、乘方运算及乘法公式的操作，要求我们做到熟练和准确。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§3.2.2 复数的乘法和除法
【学情分析】：
学生在建立了复数的概念以后,很重要的一个问题就是建立复数集里的各种运算.由于实数是复数的一部分,在建立复数运算是,应当遵循的一个原则是作为复数的实数,在复数集里运算时和在实数集里的运算应当是一致的.
在学习了复数的加减法之后，学生对复数的乘除法以及其与实数乘除法的区别的好奇心自然也呼之欲出。
.
【教学目标】：
（1）知识目标：
能进行复数代数形式的乘除运算.
（2）过程与方法目标：
从实数的乘除运算及其运算律出发，对比引出复数的的乘除法定义及其运算律，通过2
||
⋅=实现实数与虚数的转化，培养学生转化
z z z
的思想。
（3）情感与能力目标：
通过复数的乘除法的学习，体会实虚数的矛盾和统一，加深对数学的情感认识。
【教学重点】：
i的运算和分母实数化。
【教学难点】：
复数除法中的分母实数化。
【课前准备】：
powerpoint课件
=
2(a
z 02=+z =z A.22± B. 22- C. i 22- D. i 22± 解：Ｄ
2．复数10
(1)16(1)
i i +-等于（ ）
A ．1i +
B 。
1i --
C 。
1i -
D 。
1i -+ 解：Ｄ
3．i 是虚数单位，
=+i
i
1（ ） A
．i 2121+ B ．i 2121+- C ．i 2121- D ．i 2
121--
解：Ａ 4．已知220031z z z z =++++L 求的值。
解：2
2003
1z z z +++
+L ＝2004
1(1)
1z z
--，
又3200436681,()1z z z z =∴=∴==，所以原式＝0。
522
2004()1i +解：1i -。
6．已知,(0),()1a i
z a w z z i i
-=
>=+-复数的虚部减去它的实部所得的差等于3
2
，求复数w 的模 解：21(1)1,()222
a a i a a a
z w z z i i ++-++=
∴=+=+， 2213
,4,2222
a a a a a ++-=∴==±Q ，930,2,||9542a a w >∴=∴=+=Q 。