第五章二次曲线一般理论
《解析几何》教学大纲
《解析几何》教学大纲课程编码：1512100803课程名称：解析几何学时/学分：48/3先修课程：适用专业：信息与计算科学开课教研室：代数与几何教研室一、课程性质与任务1．课程性质：本课程是信息与计算科学专业的一门重要的专业基础课。
2．课程任务：通过学习，使学生初步掌握解析几何的基本思想、基本理论和研究方法，积累必要的数学知识，培养学生抽象思维能力、建立数学模型的能力、推理和演算能力，提高学生利用解析几何知识分析问题和解决问题的能力。
二、课程教学基本要求要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论及其推导过程。
通过课程教学及习题训练等教学环节，使学生做到概念清晰、推理严密。
本课程的教学，一方面要注意培养学生从几何直观方面分析和洞察问题的能力，另一方面要使学生注意掌握必要的代数方法和计算技巧，能准确地进行计算。
成绩考核形式：期终成绩（闭卷考试）（70%）＋平时成绩（平时测验、作业、课堂提问、课堂讨论等）（30％）。
成绩评定采用百分制，60分为及格。
三、课程教学内容第一章 向量与坐标1．教学基本要求使学生掌握向量及其运算的概念，空间坐标系的建立。
2．要求学生掌握的基本概念、理论、技能通过本章学习，使学生理解建立空间坐标系的基本思想，会利用向量法解决一些几何问题。
掌握向量的各种运算及其运算规律。
3．教学重点和难点本章教学重点是向量的线性关系与向量的分解、两向量的数量积、两向量的向量积、三向量的混合积；教学难点是坐标系的建立，利用向量解决几何问题的基本方法。
4．教学内容第一节 向量的概念1．向量的定义2．自由向量的定义3．共线向量的定义4．共面向量的定义第二节 向量的加法1．向量加法的定义2．向量加法的运算规律3．向量减法的定义4．向量加法和减法的互换第三节 数量乘向量1．数乘的定义2．数乘的运算规律第四节 向量的线性关系与向量的分解 1．向量的线性分解定理2．向量线性相关、相性无关的定义3．向量线性相关的判定定理4．向量线性相关与两向量共线、三向量共面的关系第五节 标架与坐标1．标架的定义2．坐标的定义3．用坐标进行向量的运算4．用坐标判定两向量共线、三向量共面5．线段的定比分点坐标第六节 向量在轴上的射影1．向量在轴上的射影的定义2．向量在轴上的射影的计算公式第七节 两向量的数量积1．两向量的数量积的定义2．两向量的数量积的运算规律3．用数量积为零来判断两向量垂直4．直角坐标系下用向量的坐标来表示数量积5．两点间的距离6．向量的方向余弦7．两向量的交角第八节 两向量的向量积1．两向量的向量积的定义2．两向量的向量积的运算规律3．用向量积来判断两向量共线4．用向量积的模来计算平行四边形的面积5．直角坐标系下用向量的坐标来表示向量积第九节 三向量的混合积1．三向量的混合积的定义2．利用三向量的混合积计算平行六面体的体积3．三向量的混合积的运算规律4．利用混合积为零来判断三向量共面5．直角坐标系下用向量的坐标来表示三向量的混合积★第十节 三向量的双重向量积1．三向量的双重向量积的定义2．三向量的双重向量积的运算公式第二章 轨迹与方程1．教学基本要求使学生掌握空间曲面方程与曲线方程的基本概念，能通过曲面或曲线上点的性质，建立曲面或曲线的方程。
完整版二次曲线的一般理论
第五章二次曲线的一般理论§ 5.1 二次曲线与直线的相关位置1. 求直线x-y-1=0与二次曲线2x2 xy y2 x 2y 1 0的交点.解：将y=x-1代入曲线方程,得2 22x x x 1 x 1 x 2 x 1 1 0,即0 0故直线在二次曲线上•2. 试决定k的值,使得(1) 直线x y 5 0与二次曲线x23x y k 0交于两不同实点；⑵直线x 1 kt与二次曲线x23y24xy y 0交于一点；y k t⑶直线x ky 1 0与二次曲线y22xy (k 1)y 1 0交于两个相互重合的实点x 1 t⑷已知直线与二次曲线2x2 4xy ky2 x 2y 0有两个共轭虚点，求ky 1 t的值解：(1). 将y=x+5代入二次曲线方程,得2x 2x k 5 02Q 2 4 k 5 04k 16 0k 4时，直线与二次曲线有两个不同的实交点•1 2 0(2).二次曲线的矩阵为 2 3 1/20 1/2 0且v X，丫k,1 •, X o, y o 1,kk 1,3时,原直线与二次曲线交于一个实点k 49时，直线与二次曲线有两个共轭虚交点。
24§ 5.2 二次曲线的渐进方向、中心、渐进线1. 求下列二次曲线的渐进方向，并指出曲线是属于何种类型的.1 x2 2xy y 2 3x y 0; 222 3x 4xy 2y 6x 2y 5 0;3 2xy 4x 2y 30.11 解:(1) Q X,Y X2 2XY Y 2 0时，X : Y1:1，同时 I ?0,11曲线有一个实渐进方向，是抛物型的k,1 k 2 4k 3 0,则 k 1 1,k 2 3,1)当 k . 1 时,F , X o y o X F 2 X o ，y o Y 0, 2).当 k 23时，F1X 0, y 0 X F 2X 0, y 0 Y1513 0,2(3). 二次曲线的矩阵为(1 11 (1 k)/20 k)/2 1解之, v X,Yk,1 , X o ,y o1 0,即―4k 1 1,k 25,2k0,即 k 2 6k 50,1)当 1时, X,Y k,1 2k 0, 2)当5时, 1,5 时, X,Y直线与二次曲线有二重合实交点.k,12k 0,(4).二次曲线的系数矩阵为22 1/21/ 2 1 01:( 1)取(X 0,y0)(“)，令V0,即[2(1k)(1)]2 (k 2)(3 k) 0 解得k24，且此时(1,1) 24( 1) k28282 Q X,Y 3X 2 4XY 2Y 2 0时,X :Y且i 23 2 2 o, 22曲线有两个共轭的虚渐进方向，是椭圆型的.•••曲线有两个渐进方向，是双曲型的•2. 判断下列二次曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线1 1解：(1) QI 21 0 ,故为中心曲线；1 21 2 1 2 Q A24 1711 1有I 21 2 0,且 9113]2a 1324a 12a 22a 23曲线为无心曲线；an a 12 a 13 1 ,且有 一一 一 3,-312a 22 a 23•••曲线为线心曲线. 3. 求下列二次曲线的中心 2 21 5x 2xy 3y 2x 3y 6 0;2 22 2x 5xy 2y 6x 3y 5 0;3 9x 2 30xy 25y 2 8x 15y 0;2 24 4x 4xy y 4x 2y 0.X;Y 0:1 或 1:0,且 *〈0,5x y 1解1由解得x13 2 2 1 x 2xy 2y 22 2 x 4xy 4y223 9x 6xy y4x 6y 3 0; 2x 2y 1 0;6x 2y 0.••中心为3 (, 13 )28 282x5 y 3 0 2 由 2解得x 1, y 2 5 2y 3 x2 2--中心为1,2 J3an ai 2 3 a134 Q ———a i2 a225 ^23 15 '2曲线没有中心.曲线为线心曲线，中心直线方程为2x-y+仁0.y y 。
(完整版)人教版高中物理必修二第五章曲线运动教材分析课件(共51张PPT)
第1节 曲线运动
曲线运动的概念；曲线运动的方向；曲线运动的条件 演示实验
27
曲线运动速度的方向
打磨金属
掷链球
水滴飞溅 28
曲线运动的条件
29
30
31
小船过河
A
B
v船
v合
θ
v水
A
v合 v船
v船
v合
θ
θ
v水
θ
v船 v水
1.船头指向正对岸 2.船头偏向上游且v船＞v水 3.若v船＜v水,
渡河时间最短 当cosθ=v水/v船 时，
正 确 认 识 圆 周 运 动 的 Δv 至 此
已经有了相当基础，这里又作 了进一步强化
把对Δv方向的分析分为五步
骤，减小台阶，降低坡度
21
1.分别作出质点在A、B两点的速度矢量（长度一样）。
2.将vA的起点移到B，并保持vA的长度和方向不变。 3. 以vA的箭头端为起点， vB的箭头端为终点作矢量Δv。 4. Δv/Δt 是质点由A到B的平均加速度，Δv 的方向就是加速度
当船头与上游成(900
tmin=d/v船
航程最短Smin=d
航程为S=d/cosθ 渡河时间为 t=d/v船sinθ
－θ),
sinθ=v船/v水时 最短航程为 smin=d/sinθ
32
拉绳问题的分解
vA ?
θ
vA＝v合 cosθ
v⊥ 垂直于绳方向的转动
v合 v∥
沿绳方向的运动
注意：1) v合即为船实际运动的速度 2)沿绳的方向上各点的速度大小相等
正 确 认 识 圆 周 运 动 的 Δv 至 此
已经有了相当基础，这里又作 了进一步强化
二次曲线的存在条件
＋ ａ 戈 ， ａ ｙ ＋ ａ ＋ ａ ） ＋ ”＝ ２１ ２ ＋ ２ ； ２ 】２ ２２， 口 ０ ， ２ ２ ２ ３ ３２ ： ２１ ３！ ａ Ｙ ＋ ｎ ＋ ａ ） ＋ ”＝ （ ） ＋ ａ ｘ Ｉ ２ ； ２ １３ ２ ２， 。 ０ Ｉ ｙ ＋ ２： ２ ３ ３３ ： ２ｌ ４ ＋ ２ ２ １４ ２ ２，＋正 ０ ＋ 。 ｙ ａ ｙ ＋ ｎ ＋ ａ ， ｒ ４ ２ ２ ３ ３ ４ ”＝ 口ｌ ｌ ； ２】 ５ ＋ ２ ２ ｌ５ ２ ２，＋ ”＝ ＋ ａ ｙ ａ Ｙ ＋ ａ ＋ ａ ， 口 ０ ２ ５ ２￣ ３ ３５
直 线 ， 一 部 分 是 过 第 五 点面 上 这 五 点 一 定 存 在 一 顺 序 ， 按 该 顺 序 则 使 依 次 连 接 各 点所 得 到 的封 闭 图 形 为 凸 五 边 形 ， 则 ， 五 点 否 这 便 不 可 能 是 一 凸 五边 形 的顶 点 ．
引 理 ２ 以 直 线 Ａ ＋Ｂ Ｙ＋Ｃ ＝０为 渐 近 线 的 二 次 曲
事 实 上 ， 了 上 述 情 形 外 ， 可 以 得 到 唯 一 的 二 次 曲 除 总 线 ． 为 从 代 数 上 知 道 ， 果 方 程 组 （ ） 看 成 关 于 ａ 的 齐 因 如 １被 ． 。 次 线 性 方 程 组 ， 其 系 数 矩 阵 的 秩 是 ５ 那 么 就 只 有 一 组 关 若 ， 于 ａ， 线 性 无 关 的 解 ， ， 的 因此 只 有 一 条 二 次 曲 线 通 过 已 给 的
（ 转 １ ８页 ） 下 ２
数 学 学 习与 研 究
２ １ ０ ２５
赌 晦 目 帮 晦
够
≥
父 半 １ 交 流 平 ＝ ｉ 厶 －
一 一 一
酞 Ｉ
ｌ
二次曲线束理论及其应用
－
／ ７ ，５ ＋， １ —
—
７ Ｖ １ － ３ １ １ ６ ’ 一 。 ｘ ＿＿ ２ — ’ ＝ ’ ＝ 一＇ 方 程 组 的 解 是 ｘ＝ ｘ ３ ｘ＝ ｘ ４ 月 任 三 肼 且日 ｘ
－
一
—
，
，
，
，
（ ） 果 ＡＳ Ｃ， 次 曲 ｍ ｅ和 ｃ称 为 在 点 Ａ有 二 阶 切 触 ， ４如 ＢＳ 二 ，
１ ４—３ ｖ
Ｏ ｌ
２ ＋ －１ ｙ ３ｙ
４—３ ｙ Ｙ ＋２ 一３ ｙ
０
２ ｖ＋３ｙ －１ ０ Ｙ ＋２ 一３ ｙ
２ ８ ｖ —６
０ ２
８ ６ｖ —
１ ４—３ ｖ
Ｏ ０ ０ １ Ｏ Ｏ
２ｙ＋３Ｖ 一１ ４—３ ｖ
２１ １ ０￣ ９ 试 周 １ 期考 刊
二
次
曲
线
束
理
论
及
其
应
用
黄 炳 福
（ 阳县 紫 阳 中学 初 中 部 ， 西 紫 阳 紫 陕 ７５０ ） ２ ３０
摘 要 ：本 文 介 绍 了． 次 曲 线 族 的 定 义 和 分 类 ． 举 例 ｚ － 并 说 明 了 它在 求 二 次 曲 线 的 方程 、解 二 元 二 次 方 程 组及 解 一元 四 次 方程 中的 应 用 。从 中可 以 看 出 ， 用 二 次 曲 线族 解题 ． 利 较 常 规 方 法与 高等 代数 结 式 的 方 法相 比 ， 大 大 减 少计 算量 ． 能 达 到 事半 功 倍 的 效 果 。 关 键 词 ：二 次 曲 线 族 退 化 的 二 次 曲 线 基 底
ｌ３ ｂ ａ＋ｂ ａ ｈ” ＋ ｌ ２Ｘ２ ３ ｂ Ｉ ａ ｋ３ ３ ３ ３ ｌ ＋
第五章_二次曲线的一般理论
∴它的渐近线即为中心直线。
渐近线求法：求出中心，再求出渐近方向即可得到渐 近线的参数方程。
定理5.2.2 二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有
交点，或者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线的 组成部分。
事实上，设
l
:
x
y
x0 y0
tX tY
1 ，∵
I2
1 a2b2
0
∴它有二不同实渐近方向；
对双曲线 xy 1 ，∵
I2
1 4
0
∴它也有二不同实渐近方向；
对抛物线 y2 2 px ，∵
0 I2 1
0 0
0
∴它有二相同的实渐近方向；
定义5.2.2 没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆 型的,有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的, 有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的。
y0 ) y0 )
a11 a12
x0 x0
a12 a22
y0 y0
a13 a23
0 0
(*)(5.2 1)
二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定：
FF21((
x, x,
y) y)
a11 a12
x x
a12 a22
y y
a13 a23
0 0
(5.2 2)
如果I2≠0，则(5.2－2)有唯一解，即为唯一中心坐标
§5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线
教学目标：
⑴理解二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念； ⑵掌握二次曲线的渐近方向、中心、渐近线的求法； ⑶能根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。
教学重点：
二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念及求法。
解析几何全册课件(吕林根版)精选全文完整版
（1）交换律：
（2）结合律：
（3）
上一页
下一页
返回
O
A1
A2
A3
A4
An-1
An
这种求和的方法叫做多边形法则
上一页
下一页
返回
向量减法
上一页
下一页
返回
A
B
C
上一页
返回
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.
证
上一页
下一页
返回
解
设
为直线上的点，
6、线段的定比分点坐标
上一页
下一页
返回
由题意知：
上一页
下一页
返回
定理1.5.4 已知两个非零向量
7、其它相关定理
则
共线的充要条件是
定理1.5.6 已知三个非零向量
，则
共面的充要条件是
上一页
返回
空间一点在轴上的投影(Projection)
§1.6 向量在轴上的射影
解
根据题意有
所求方程为
上一页
下一页
返回
根据题意有
化简得所求方程
解
上一页
下一页
返回
例4 方程 的图形是怎样的？
根据题意有
图形上不封顶，下封底．
解
以上方法称为截痕法.
上一页
下一页
返回
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：
线为
的连
的中点
对边
一组
设四面体
证
e
e
e
AP
e
AD
e
AC
e
解析几何(五)精品PPT课件
Ⅰ中心曲线 I2
a11 a21
a12 0 a22
Ⅱ非中心曲线 I2
a11 a21
a12 0 即 a11 a12
a22
a21 a22
ⅰ无心曲线： a11 a12 a13 a21 a22 a23
ⅱ线心曲线： a11 a12 a13 a21 a22 a23
3、二次曲线的渐进线 1、 定义（渐近线）：过中心具有渐进方向的直线叫做二次曲线的渐近线。
a22
a21 a22 a21 a22 a23
若 a11 a12 a13 无数多解，中心构成一条直线 a21 a22 a23
a11X a12Y a13 0 或 a21X a22Y a23 0 这条直线叫中心直线。
定义：有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线，没有中心的二次曲线 叫无心二次曲线，有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线，无心 二次曲线与线心二次曲线统称为中心二，
X
:Y
为渐近方向，那么
FF12
( (
X X
,Y ,Y
) )
0 且 Q(X ,Y )
0
0
渐近线⑵与二次曲线⑴的交点由方程
Q( X ,Y )t2 2[ XF1(x , y ) YF2 (x , y )]t F (x , y ) 0 的根确定。当 F ( X ,Y ) 0 ，渐
因此二次曲线的渐进方向最多有两个，而非渐进方向有无数个。
⑶二次曲线按渐进方向分类 定义：没有实渐进方向的二次曲线叫做椭圆型的，有一个实渐进方向的二次 曲线叫做抛物型的，有两个实渐进方向的二次曲线叫做双曲型的。 因此二次曲线⑴按其渐进方向可以分为三种类型：即
ⅰ椭圆型曲线： I2 0
ⅱ抛物型曲线： I2 0
2、
二次曲线的基本概念与性质
二次曲线的基本概念与性质二次曲线作为数学中的重要概念之一，具有广泛的应用和深入的理论研究。
它在几何学、物理学、经济学等学科中发挥着重要作用。
本文将介绍二次曲线的基本概念和性质，以帮助读者更好地理解和应用二次曲线。
一、二次曲线的定义二次曲线是由二次方程所表示的曲线，其一般形式可以写成：Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F是实数，且至少有一个系数不为零。
二、二次曲线的分类根据二次曲线的方程，我们可以将其分类为三种常见形式：椭圆、双曲线和抛物线。
1. 椭圆：椭圆是由平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹所形成的曲线。
椭圆的方程可以写成标准形式：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h, k)是椭圆的中心坐标，a和b 分别是椭圆的长半轴和短半轴。
2. 双曲线：双曲线是由平面上到两个定点的距离之差等于常数的点的轨迹所形成的曲线。
双曲线的方程可以写成标准形式：(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h, k)是双曲线的中心坐标，a和b 分别是双曲线的长半轴和短半轴。
3. 抛物线：抛物线是由平面上到定点的距离等于定直线的距离所形成的曲线。
抛物线的方程可以写成标准形式：y = a(x-h)^2 + k，其中(h, k)是抛物线的顶点坐标，a是抛物线的参数。
三、二次曲线的性质1. 对称性：椭圆、双曲线和抛物线都具有对称性。
椭圆具有关于x轴和y轴的对称性，双曲线具有关于坐标轴和原点的对称性，抛物线具有关于y轴的对称性。
2. 焦点和准线：椭圆和双曲线都有焦点和准线。
焦点是离心率所确定的两个定点之一，准线是离心率的长度倍的直线。
焦点和准线在二次曲线的性质中起着重要作用。
3. 弦和切线：二次曲线可以通过弦和切线来研究。
弦是连接曲线上两点的线段，切线是曲线上某点的斜率与曲线相切的直线。
4. 集中度和离心率：二次曲线的集中度和离心率是描述曲线形状的重要参数。
高等几何(第五章)
第五章 二次曲线的射影理论
➢ 这一章将用射影的观点研究二次曲线。 ➢ 首先介绍二次曲线的射影定义； ➢ 然后研究二次曲线的射影性质； ➢ 最后给出二次曲线的射影分类。
§1 二次曲线的射影定义
1.1 二次曲线的射影定义
➢我们既可以用点几何的观点讨论二次曲线 又可以用线几何的观点来讨论，但是我们主 要用点几何的观点讨论问题。
,
q3）
p1 p2
p3
已知点Q(q1,q2,q3)在直线p上：（q1,
q2
p3
, q3）
p1 p2
0.
p3
配极原则：若点Q在直线p上，则点Q的极线通过直线p 的极点。
A
O
K
P 在两个不同中心的射影对应
B’ S
A’ K’
M
O’
线束O(P)、O’ (P) 所构成的二
B 阶曲线上任取两点A、B，由这
两点向二阶曲线投射直线，得 到两个线束A(M)、B(M).
✓ 须证明A(M) 与B(M) 射影对应，已知 O(M) 与O’ (M)
射影对应： O(A, B, P, M )O'( A, B, P, M )
➢直观上，二阶曲线的切线的集合为二级曲 线，二级曲线切点的集合为二阶曲线，且这 二阶曲线、二级曲线表示同一条二次曲线。
➢定理1.3 一条非退化的二阶曲线的切线的 集合是一条非退化的二级曲线；反之，一条 非退化的二级曲线的切点的集合是一条非退 化的二阶曲线。
设S≡∑aijxixj=(x1x2x3)A(x1x2x3)T是一条非退化的二阶曲 线，[u1,u2,u3]是该二阶曲线的任意一条切线，现在寻找 u1,u2,u3满足的方程。
➢定义3.2 定点P关于一条二阶曲线的 调和共轭点的轨迹是一条直线，这条直 线叫做点P关于此二阶曲线的极线，点P 叫这条直线关于此二阶曲线的极点。
第五章二次曲线的一般理论
教学目标：
⑴理解二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念； ⑵掌握二次曲线的渐近方向、中心、渐近线的求法； ⑶能根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。
教学重点：
二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念及求法。
教学难点：
根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。
§5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线
Y
所以抛物线 y2 2 px的直径平行于它的渐近方向 1: 0.
例 3 求二次曲线
F (x, y) x2 2xy y2 2x 2 y 3 0
的共轭于非渐近方向 X :Y 的直径.
解 F1(x, y) x y 1, F2(x, y) x y 1, 直径方程为
X (x y 1) Y(x y 1) 0, 即 (X Y )(x y 1) 0.
(5.3-1)
显然，直径通过曲线的中心 (0,0)
例 2 求抛物线 y2 2 px 的直径.
解
F(x, y) 2 px y2 0,
F1(x, y) p, F2(x, y) y. 所以共轭于非渐近方向 X :Y 的直径为
Xp Yy 0,
即 y X p, XF1(x, y) YF2(x, y) 0, (5.3-1)
为渐近线，其中 ( x0 ,
y0
)
为
中心， X : Y 为渐近方向。
∴ ( X ,Y ) 0 且 F1(x0 , y0 ) X F2 (x0 , y0 )Y 0 ， ∴若 F ( x0 , y0 ) 0 ， 则l与曲线不相交，
若 F ( x0 , y0 ) 0 ，则 l 整个在曲线上。
§5.3 二次曲线的直径
(ka22 X a22Y ) : (ka12 X a12Y ) a22 : a12
二次曲线的理论及其应用文献综述
二次曲线的理论及其应用文献综述文献综述二次曲线的理论及其应用一、前言部分在中学,我们就二次曲线的性质进行了简单的介绍,它在中学的教学里有很重要的地位,是中学平面解析几何中不可或缺的一部分,在本文中的一些定理的证明都利用到了二次曲线的基本性质。
可以这样说,二次曲线的其它性质都是建立正在他的基本性质之上。
所以我将对它进行一下总结,建立表格如下: 椭圆双曲线抛物线标准方程范围或对称性关于x轴或y轴对称关于原点中心对称关于x轴或y轴对称关于原点中心对称关于x轴顶点离心率渐近线无无准线焦点过曲线上点的切线方程二次曲线的定义:在欧式平面上,由一般二元二次方程(其中,,)表示的曲线,称为二次曲线,此方程称为二次曲线的方程。
定义 1.1:到两个定点的距离之和等于定长(定长大于两个定点间的距离)的动点的轨迹叫做椭圆。
它的方程为。
定义 1.2:到两个定点的距离的差的绝对值等于定长(定值小于两个定点间的距离)的动点的轨迹叫做双曲线。
它的方程为。
定义 1.3:到一个定点和一条直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。
它的方程为文献综述介绍了二次曲线的定义,给出了二次曲线的分类,介绍了一些二次曲线的化简方法,以及对二次曲线的一些性质与特征的进一步讨论。
本文的目的是在原有知识体系的基础上加以整理和归纳,概括出二次曲线的性质与几何特征,并辅以典型的例题来论证方法的可行性,进而介绍了二次曲线方程的应用,使我们所学知识加以巩固和提高,起到“温故”而“知新”的作用。
二、主题部分公元前350年,古希腊梅纳克莫斯发现三种圆锥曲线,即现在所说的椭圆,双曲线,抛物线,并用开始编写几何学的历史。
古希腊的塞马力达斯开始解简单方程组。
半个世纪后,古希腊另一位数学家阿波罗尼斯又著《圆锥曲线论》.阿波罗尼斯的8卷《圆锥曲线论》以其几乎将圆锥曲线的全部性质网罗殆尽而永垂史册.可以这样说,在解析几何之前的所有研究圆锥曲线的著作中,没有一本达到像《圆锥曲线论》那样的对圆锥曲线研究得如此详尽的程度.但是,像古希腊所有的几何学一样,阿波罗尼斯的几何是一种静态的几何.它既不把曲线看作是一种动点的轨迹,更没有给它以一般的表示方法.这种局限性在16世纪前,并没有引起注意,因为实践没有向几何学提出可能引起麻烦的课题.16世纪以后的情况就不同了.哥白尼(Copernicus,1473-1543)提出日心说,伽利略(Galileo,1564-1642)由物体运动的研究,得出惯性定律和自由落体定律,这些都向几何学提出了用运动的观点来认识和处理圆锥曲线及其他几何曲线的课题.地球绕太阳运转的轨道是椭圆、物体斜抛运动的轨道是抛物线,这些远不是靠建立在用平面截圆锥而得到的椭圆和抛物线的概念所能把握的.几何学要能反映这类运动的轨道的性质,就必须从观点到方法来一个变革,创立起一种建立在运动观点上的几何学.17世纪解析几何的诞生创造了为二次曲线的研究创建了条件.作为点运动轨迹的二次曲线,在引进坐标的基础上显示出更明显的特征,它是二次方程的图形,即它又被命名为二次曲线。
二次曲线的一般理论
例如，方程
x2 ? 4 xy ? 4 y2 ? 12 x ? y ? 1 ? 0
代表的图形虽然简单，但方程很复杂，若作适当 坐标变换，就能化为标准方程
x2 ? 5y
它表示一条抛物线。
如何适当选择坐标系呢？ 建立椭圆、双曲线、抛物线的标准方程时，有 对称中心的，就把坐标原点放在对称中心（例如椭 圆和双曲线），没有中心的（例如抛物线），就把 原点放在顶点，而把一个坐标轴放在对称轴上。
F ( x, y) ? a11 x 2 ? 2a12 xy ? a 22 y2 ? 2a13 x ? 2a 23 y ? a 33
F1 ( x, y) ? a11 x ? a12 y ? a13 F 2 ( x, y) ? a12 x ? a 22 y ? a 23
F 3 ( x, y) ? a13 x ? a 23 y ? a 33
? ? ? ? F1( x0 , y0 ) ?X ? F2 ( x0 , y0 ) ?Y 2 ? ? ( X,Y)?F ( x0 , y0 )
1? ? ? 0. 方程 (4)有两个不等的实根 t1与t2，代入 (2)得直线 (2)与二次曲线 (1)的两个不同的实交点 .
2? ? ? 0. 方程(4)有两个相等的实根 t1与t2，直线 (2)与二次曲线 (1)有两个相互重合的实交 点.
? F ( x0 , y0 ) ? 0
（4）
对（3）或（ 4）可分以下几种情况来讨论：
? ? ? ( X ,Y ) ?t 2 ? 2 F1( x0 , y0 ) ?X ? F 2 ( x0 , y0 ) ?Y t （4）
? F ( x0 , y0 ) ? 0
1. ? ( X,Y) ? 0. 此时(4)是关于t的二次方程,
《解析几何》课程教学大纲
《解析几何》课程教学大纲一、课程的性质、目的与任务通过本课程的教学，使学生掌握平面曲线、空间直线、平面、柱面、锥面、旋转曲面、二次曲面等的基本性质。
提高用代数方法解决几何问题的能力，为今后学习其它课程打下必要的基础，并能在较高理论水平的基础上处理中学数学的有关教学内容，以及生产、生活中的有关实际问题。
本课程是大学专科小学教育专业数学类必修的一门重要的专业课课程，通过本课程的教学，使学生系统掌握空间解析几何的基本知识和基本理论，正确地理解和使用向量；在掌握几何图形性质的同时，提高运用代数方法解决几何问题的能力和空间想象能力，能在较高理论水平的基础上处理中小学教学的有关问题。
二、课程教学内容和基础要求要求学生重点掌握空间解析几何的基本思想和基本方法；培养空间想象能力，逻辑思维能力以及运用现代各种数学方法处理几何问题的能力，运用几何结构，深入理解现行中学数学教材中的有关问题，并且具有应用几何知识解决实际问题的能力。
通过本课程的学习，为学好后续专业课程打下良好的基础。
第一章矢量与坐标教学目的：通过本章的教学,使学生掌握矢量的概念，矢量运算的定义、规律及几何意义，利用矢量的运算作为工具研究平面与空间的几何图形教学要求:理解矢量及与之有关诸概念,并能在具体问题中区分那些是矢量,那些是数量，掌握矢量的运算（矢量加（减）法）数与矢量乘法，两矢量的数性积，矢性积，混合积，二重矢性积等的定义与性质，注意与数的运算规律的异同之处，理解坐标系的建立，区分仿射坐标系与空间直角坐标系的区别，掌握在直角坐标系下，用坐标进行矢量的运算方法，会用矢量法进行有关的几何证明问题。
教学内容：§1.1矢量的概念§1.2矢量的加法§1.3数量乘矢量§1.4矢量的线性关系与矢量的分解§1.5标架与坐标§1.6矢量在轴上的射影§1.7两矢量的数性积§1.8两失量的矢性积§1.9三矢量的混合积§1.10三矢量的双重矢性积教学提示：由浅入深，采用启发式教学，并通过对比加深学生印象。
解析几何：二次曲线的一般理论
:Y
a11 XX a12 XY X Y a22YY 0
上式表明，两个方向 X : Y 与 X : Y 是对称的， 因此，对中心曲线来说，非渐近方向 为非渐近方向 X : Y ， 而 X : Y 的共轭方向就是 X : Y ．
X : Y 的共轭方向
为了方便起见，特引进一些记号：
F ( x, y) a11 x 2a12 xy a22 y 2a13 x 2a23 y a33
2 2
F2 ( x, y) a12 x a22 y a23
2
F1 ( x, y) a11 x a12 y a13
F3 ( x, y) a13 x a23 y a33
F ( x 0 , y 0 ) 0. ( 4 ) 是 矛 盾 方 程 , 直 线( 2)与 二 次 曲 线 (1)无 交 点 .
3 F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y F ( x0 , y0 ) 0. 此时(4)是恒等式 , 直线(2)全部在二次曲线 (1)上.
1. ( X , Y ) 0. 此 时(4)是 关 于 t的 二 次 方 程 , F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y ( X , Y ) F ( x0 , y0 )
2
1 0. 方程(4)有两个不等的实根 t1与t 2，代入 (2)得直线 (2)与二次曲线 (1)的两个不同的实交点 .
二次曲线的渐近线讨论
1)椭圆型曲线：I 2 >0 没有实渐近方向从而没 有实渐近线， （或称有一对共轭相交虚渐近线） 2) 双曲型曲线： I 2 <0 有一对实渐近线 3)抛物型曲线：I 2 ＝0 I 3 ≠ 0曲线没有中心， 从而没有渐近线 I 2 ＝0, I 3 = 0曲线为线心，渐近线 就是中心直线．
二次曲线的一般理论课件
焦准距
焦半径
二次曲线上的任意一点到焦点的距离 称为焦半径，它等于该点到准线的距 离。
二次曲线上的焦点到准线的距离称为 焦准距，它是常数。
04 二次曲线的切线
二次曲线的切线定义
切线定义
切线是与二次曲线在某一点相切 的直线，该点称为切点。
切线的几何意义
切线是唯一一条与二次曲线在切 点处既相切又垂直的直线。
详细描述
二次曲线的一般方程为Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0，其 中A、B、C、D、E、F为常数，且A、C不同时为0。这个方 程描述了一个平面上的二次曲线，其中x和y是平面上的坐标， A、B、C、D、E、F是常数。
二次曲线的性质
总结词
二次曲线具有一些重要的性质，如对称性、中心性、离心率等。
详细描述
二次曲线具有对称性，即曲线关于x轴、y轴或原点对称。此外，二次曲线还有 一个中心，即曲线的离心率指向一个固定点（称为焦点）。离心率决定了曲线 的形状和大小。
二次曲线的分类
总结词
根据不同的分类标准，二次曲线可以分为不同的类型。
详细描述
根据形状和开口方向，二次曲线可以分为椭圆型、双曲线型和抛物线型。根据焦 点个数，二次曲线可以分为单焦点和双焦点二次曲线。此外，根据对称性，二次 曲线还可以分为中心对称和非中心对称二次曲线。
二次曲线的一般方程的推导
总结词
二次曲线的一般方程的推导基于多项式和代数的基本原理，通过将二次曲面进行参数化，可以得到一 般方程。
详细描述
推导二次曲线的一般方程通常采用参数化的方法，将二次曲面表示为参数t的函数 (x(t), y(t), z(t))，然 后通过代入和整理得到一般方程。这个过程需要一定的代数和微积分知识。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五章 二次曲线的一般理论 主要问题：（1）几何性质 （2）化简 （3）分类5.1 二次曲线与直线的相关位置（x y y x y xy x 240256102222==+--+-与） 一、预备知识1、在平面上由)1(0222),(33231322212211=+++++=a y a x a y a xy a x a y x F 所表示的曲线，叫做二次曲线（系数都为常数）2、关于虚点⎩⎨⎧+==b kx y y x F 0),( ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-+=+)222,222(2)222,222(122i i y x i i y x平面上建立笛卡尔坐标系后，一对有序常数),(y x 表示平面上一个点，如果y x ,中至少有一个是虚数，我们仍认为),(y x 表示平面上一个点。
（一对共轭虚点的中点是实点）3、记号33231322212211222),(a y a x a y a xy a x a y x F +++++='131211121),(x F a y a x a y x F =++= '232212221),(y F a y a x a y x F =++=3323133),(a y a x a y x F ++= 222122112),(y a xy a x a y x ++=φ容易验证：),(),(),(),(321y x F y x yF y x xF y x F ++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=332313232212131211a a a a a a a a a A 二次曲线)(I 的矩阵 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=*22121211a aa a A ),(y x φ的矩阵 A I a a a a I a a I ==+=322121211222111,,33232322331313111a a a a a a a a k +=例：写出下列二次曲线的矩阵321,,F F F A 及04762)3(2)2(1)1(2222222=-+-+-==+y x y xy x x y by a x二、相关位置二次曲线0),(=y x F 与过点 且具有方向Y X :的直线⎩⎨⎧+=+=Yt y y Xt x x 00联立，0),(]),(),([2),(000020012=+++⇒y x F t Y y x F X y x F t Y X φ1、),(),(]),(),([,0),(002002001y x F Y X Y y x F X y x F Y X φφ-+=∆≠ 010>∆ 方程有两个不等实根⇒21,t t 有两个不同的实交点 020=∆ 方程有两个相等实根⇒21,t t 有两个相互重合的实交点 030<∆ 方程有两个共轭虚根⇒交于两个共轭的虚点2、0),(=Y X φ0),(),(10020010≠+Y y x F X y x F ，有唯一实根⇒有唯一实交点 ⇒≠=+0),(0),(),(2000020010y x F Y y x F X y x F 而没有交点⇒==+0),(0),(),(3000020010y x F Y y x F X y x F 且直线全部在二次曲线上 eg1、试确定的值k 使直线05=+-y x 与二次曲线032=++-k y x x 交于两个不同实点，043122=--+⎩⎨⎧+=+=y xy y x t k y ktx 与二次曲线交于一点注：平面直线方程：Yy y X x x 00-=- b kx y +=⎩⎨⎧+=+=Yt y y Xtx x 005.2、二次曲线的渐近方向、中心、渐近线一、渐近方向1、定义：满足Y X Y X :0),(的方向=φ叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向)1(02),(22212211=++=Y a XY a X a Y X φ 渐近方向Y X :总有确定的点 2、按渐近方向分类 若112122212211110)(2)()1(,0a I a Y X a Y X a Y X a a -±-=⇒=++≠改写成 若22212220a I a X Y a -±-=⇒≠ 若,02211==a a 则一定有10:1012或=⇒≠Y X a 此时00021212122<-==a a a I故02>I 二次曲线的渐近方向是一对共轭的虚方向 02=I 二次曲线有一个渐近的实方向 02<I 二次曲线有两个渐近的实方向显然：二次曲线的渐近方向最多有两个，而非渐近方向有无穷个按渐近方向可分为三种类型（1） 02>I 椭圆形曲线 122=+y x （2） 02=I 抛物线曲线 2x y = （3） 02<I 双曲型曲线 122=-y x二、二次曲线的中心与渐近线 定义：如果点c 是二次曲线通过它的所有弦的中点，称点c 是二次曲线的中心),(00y x c 是二次曲线的中心⎩⎨⎧==⇒0),(0),(002001y x F y x F推论：)0,0(是二次曲线的中心⇒曲线方程不含y x 与的一次项 证：将直线方程代入，得：0),(]),(),([2),(000020012=+++y x F t Y y x F X y x F t Y X φ由于),(000y x M 是两交点的中心021=+⇒t t 0),(),(002001=+⇒Y y x F X y x F由于Y X :为任意非渐近方向⎩⎨⎧==⇒0),(0),(002001y x F y x F⎩⎨⎧=++=++003302201213012011a y a x a a y a x a（1） 若有唯一中心方程有唯一解⇒⇒≠=0221212112a a a a I（2） 若⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++⇒==⇒≠===—中心直线—中心上所有点都是二次曲线直线有无穷解）（无中心无解）（即0210131211231322121211231322121211221212112a y a x a a a a a a a a a a a a a a a a a I二次曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≠==≠2313221212112313221212112200a a a a a a a a a a a a I I 线心曲线无心曲线非中心曲线中心曲线： 定义：通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线。
Th1、二次曲线的渐近线与其二次曲线或者没有交点，或者整条直线在二次曲线上。
判断二次曲线01224422=--++-y x y xy x 是中心曲线，无心曲线还是线心曲线0)23)(3(0266922=---⇒=+-+-y x y x y x y xy x 线心曲线0122222=++-+-y x y xy x 线心曲线 022=-y x 22222,1,1x y y x y x ==-=+5.5、二次曲线的主直径与主方向 1、主直径、主方向、轴、质点 2、二次曲线的特征方程0021222121211=+-=-I I a a a a λλλ即th1、一个方向Y X :成为二次曲线主方向的条件是⎩⎨⎧=+=+YY a X a XY a X a λλ22121211 成立，其中λ是特征方程的根证明：01若二次曲线为中心二次曲线)0(2≠I与Y X :共轭的直径为''21:,0),(),(Y X y x YF y x XF 设其方向为=+ 则)(:)(:12112212''Y a X a Y a X a Y X ++-= X Y Y X YY XX ::0''''-=⇒=+Θ012112212≠⎩⎨⎧=+=+⇒λλλ其中X Y a X a YY a X a02若非中心二次曲线)0(2=I 任何直径方向总是唯一的渐近方向)(:::1222111211a a a a Y X =-=而垂直于它的方向显然为2212121122:::a a a a Y X ==eg1、求01),(22=-+-=y xy x y x F 的主方向与主直径解：043121211,221≠=--==I I∴曲线为中心曲线，特征方程为04322=+-λλ 23,2121==⇒λλ 由211=λ 确定的主方向为1:1:11=Y X 由232=λ 确定的主方向为1:1:22-=Y Xeg2、求042),(22=-+-=x y xy x y x F 的主方向与主直径 5.6、二次曲线的化简与分类 一、平面直角坐标变换1、移轴⎩⎨⎧+=+=0''y y y x x x ),(00y x 为新坐标系的原点在旧坐标系中的坐标 2、转轴⎩⎨⎧+-=+=⎩⎨⎧+=-=ααααααααcos sin sin cos cos sin sin cos ''''''y x y y x x y x y y x x 或3、一般情形⎩⎨⎧+--+-=+-+=⎩⎨⎧++=+-=)cos sin (cos sin )sin cos (sin cos cos sin sin cos 00'00'0''0''ααααααααααααy x y x y y x y x x y y x y x y x x 或 4、 2222222'B A C y B x A x +++=2121111'B AC y B x A y +++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++±=+++±=⇒)2()1(2121111'2222222'B AC y B x A y B A C y B x A x为了使新坐标系仍是右手系，使（1）式中x 的符号与（2）式中y 的符号相同 eg1、已知两垂直的直线轴，为取与''121,022:032:x o l y x l y x l =-+=+- 取''2y o l 为轴，求坐标 二、二次曲线的化简与分类1、移轴F ，曲线方程系数的变化01 二次项系数不变02 一次项系数变为),(2),(2002001y x F y x F 与03 常数项变为),(00y x F2、转轴下，二次曲线系数的变化规律01 二次项系数要改变，但仅与原方程的二次项系数及旋转角有关 02 一次项系数一般要改变，但仅与原方程的一次项系数及旋转角有关 当原方程有一次项时，通过转轴不能完全消去一次项，当原方程没有一次项时，通过转轴也不会完全产生一次项。
03 常数项不变通过转轴使新方程的0'12=a ，只须12221122a a a ctg -=α2cos 22sin )(0)sin (cos cos sin )(12112222121122'12=+-⇒=-+-=ααααααa a a a a a a12121122a a a ctg -=⇒α 几何意义：把坐标旋转到与二次曲线的主方向平行的位置1222112212121122122212222122121122122212)(1212a a a a a a a a a a a a a tg tg ctg a a a a X Y tg -=--⋅--=-⋅--=-=∴-=-==λλλλλαααλλα 总结：通过转轴与移轴化简二次曲线方程实际上是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径重合的位置因此，二次曲线的化简，只要先求出它的主直径，以其作为新坐标轴即可 如果是中心曲线，有且只有一对相互垂直从二又相互共轭的主直径，主直径的交点恰是曲线的中心，化简后，坐标原点与 中心重合如果是无心曲线，只有一条主直径，化简后，坐标原点与曲线的中心重合 如果是线心曲线，只有一条主直径，坐标原点与曲线的任何一个中心重合 若是中心曲线，选取新坐标系原点与曲线的中心重合，坐标轴与主直径重合（除圆外）若是无心曲线，选取新坐标系原点与曲线的顶点重合，坐标轴与主直径重合 eg1、化简二次曲线方程021*******=+-++-y x y xy x ，并作出它的图形⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=215551235231A ， 45,221-==I I ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=--=2222222222''''y x y y x x ， 0125212'2'=++-y x 25,210452212=-=⇒=--λλλλ 两个主方向1:1:,1:1:2211-==Y X Y X eg2、化简02222=++++y x y xy x1:1:,022==-Y X λλ0430)21()1(=++=+++++y x y x y x 即顶点089),165,163(=---y x化简二次曲线02222=++++y x y xy x解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=02112111111A 0,221==I I 曲线为非中心曲线，它的特征方程为022=-λλ 特征根为 ：2,021==λλ 非渐近方向为：1:1:=Y X曲线的主直径为：0430)21()1(=++=+++++y x y x y x 即曲线的顶点为：)1615,163(-过点)1615,163(-且与043=++y x 垂直的直线方程为089=--y x取主直径为新坐标轴的'x 轴，垂直与主直径且过点)1615,163(-的直线为'y 轴变换公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-=++=⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++--=16522221632222243289'''''y x y y x x y x y x x 代入已知方程得 0222'2'=+x y 特征方程： '2'42x y -= 化简021*******=+-++-y x y xy x解： ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=215551235231A ， 45,221-==I I曲线为中心曲线，特征方程为：25,210452212=-=⇒=--λλλλ1:1:,1:1:2211-==∴Y X Y X040=+-=+∴y x y x 与两条主直径为th1、适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成下列三个简化方程中的一个)0(0)3()0(02)2()0(0)1(2233222132213222221133222211≠=+≠=+≠=++a a y a a a x a y a a a a y a x a中心曲线：取它的一对即共轭又相互垂直的主直径作为坐标轴建立直角坐标系 022233231322212211=+++++a y a x a y a xy a x a原点是曲线中心02313==⇒a a坐标轴（主直径）的方向为：1：0与0：1012=⇒a 203P 无心曲线：选取唯一的主直径为x 轴，而过顶点且以非渐近主方向为方向的直线为y 轴主直径的共轭方向：1:0:=Y X主直径方程为：轴即为x a y a x a 0232212=++ 0,0222312≠==⇒a a a 顶点与原点重合，（0，0）满足曲线033=⇒a 又23132212121120a a a a a a I ≠==即是无心曲线，故Θ 而0,00,013112212≠=⇒≠=a a a a 线心曲线：5.7应用不变量化简二次曲线方程01 中心曲线 0,0332''222''112=++≠a y a x a I 2'22'11'21'22'11'1,I a a I I a a I ===+=的的特征根是特征方程与0212'22'11=+-∴I I a a λλ23'33'332'3I I a a I I =⇒=02 无心曲线 0,032≠=I I13'1332'131'31'22'1,I I a I a I I I a I -±=⇒=-=== 03 线心曲线 032==I I1'331'33'22'33'11'22'1'332''2200000,,0K a I a a a K I a I a y a ==+====+5.7、应用不变量化简二次曲线的方程 一、不变量与半不变量 三个不变量 332313232212131211322121211222111,,a a a a a a a a a I a a a a I a a I ==+= 0222),(33231322212211=+++++=a y a x a y a xy a x a y x F在直角变换下： 33''23''13'2'22'''12'2'11''''222),(a y a x a y a y x a x a y x F +++++= '22'12'12'112'22'11'1,a a a aI a a I =+= 一个半变量 33232322331313111a a a a a a a a K +=经过转轴不改变 th1、当二次曲线为线心曲线时，在直角坐标变换下1K 是不变量 二、应用不变量化简二次曲线的方程01 00'332''222''112=++≠a y a x a I 简化方程为中心曲线00023222123'333'332'33'22'11'3212'22'112'22'11'22'11'21'22'11'1=++=⇒====+-⇒====+=I I y x I I a I a I a a a I I I a a I a a a a I I a a I λλλλ简化方程为（特征方程）的两根是方程与 02 0,032231322121211≠=≠=I I a a a a a a 即无心曲线其简化方程为02'132''22'=+x a y a 32'1312'131'13'22'13'22'1331'22'1000000,I a I a I a a a a a I I a I =-=-=-====23'13132'13I I a I I a -±=⇒-=⇒ 简化方程为：01321=-±x I I y I 03 线心曲线 032231322121211====I I a a a a a a 即 简化方程为 0'332''22=+a y a11'331'331'33'22'33'22'33'11'22'100000I K a K a I a a a a a K I a I =⇒===+=== 简化方程为01121=+I K y I 步骤：321,,)1(I I I 求3212,,0)2(I I I I 应用若≠⎩⎨⎧=≠=1133132,0,00K I I I I I I 应用应用若 化简 04222656522=-+-+-y x y xy x 128,16,10321-===I I I化简 025610222=+--+-y x y xy x 032220322264,0,222321=+=--===x y x y I I I 或。