第五章二次曲线一般理论

第五章 二次曲线的一般理论 主要问题：（1）几何性质 （2）化简 （3）分类

5.1 二次曲线与直线的相关位置（x y y x y xy x 240256102222==+--+-与） 一、预备知识

1、在平面上由)1(0222),(33231322212211=+++++=a y a x a y a xy a x a y x F 所表示的曲线，叫做二次曲线（系数都为常数）

2、关于虚点⎩⎨⎧+==b kx y y x F 0),( ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+-=+-+=+)222,222(2)222,222(12

2i i y x i i y x

平面上建立笛卡尔坐标系后，一对有序常数),(y x 表示平面上一个点，如果y x ,中至少有一个是虚数，我们仍认为),(y x 表示平面上一个点。 （一对共轭虚点的中点是实点）

3、记号

33231322212211222),(a y a x a y a xy a x a y x F +++++=

'131211121),(x F a y a x a y x F =++= '232212221

),(y F a y a x a y x F =++=

3323133),(a y a x a y x F ++= 222122112),(y a xy a x a y x ++=φ

容易验证：),(),(),(),(321y x F y x yF y x xF y x F ++=

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=3323

13

232212

131211a a a a a a a a a A 二次曲线)(I 的矩阵 ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=*22121211

a a

a a A ),(y x φ的矩阵 A I a a a a I a a I ==

+=322

12

1211222111,,

33

2323

22

33131311

1a a a a a a a a k +=

例：写出下列二次曲线的矩阵321,,F F F A 及

04762)3(2)2(1)1(22222

22=-+-+-==+y x y xy x x y b

y a x

二、相关位置

二次曲线0),(=y x F 与过点 且具有方向Y X :的直线⎩

⎨⎧+=+=Yt y y Xt x x 00联立，

0),(]),(),([2),(000020012=+++⇒y x F t Y y x F X y x F t Y X φ

1、),(),(]),(),([,0),(002002001y x F Y X Y y x F X y x F Y X φφ-+=∆≠ 010>∆ 方程有两个不等实根⇒21,t t 有两个不同的实交点 020=∆ 方程有两个相等实根⇒21,t t 有两个相互重合的实交点 030<∆ 方程有两个共轭虚根⇒交于两个共轭的虚点

2、0),(=Y X φ

0),(),(10020010≠+Y y x F X y x F ，有唯一实根⇒有唯一实交点 ⇒≠=+0),(0),(),(2000020010y x F Y y x F X y x F 而没有交点

⇒==+0),(0),(),(3000020010y x F Y y x F X y x F 且直线全部在二次曲线上 eg1、试确定的值k 使直线05=+-y x 与二次曲线032=++-k y x x 交于两个

不同实点，043122=--+⎩⎨⎧+=+=y xy y x t k y kt

x 与二次曲线交于一点

注：平面直线方程：

Y

y y X x x 0

0-=- b kx y +=

⎩⎨⎧+=+=Yt y y Xt

x x 00

5.2、二次曲线的渐近方向、中心、渐近线

一、渐近方向

1、定义：满足Y X Y X :0),(的方向=φ叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非

渐近方向

)1(02),(22212211=++=Y a XY a X a Y X φ 渐近方向Y X :总有确定的点 2、按渐近方向分类 若11

2

122212211110)(2)(

)1(,0a I a Y X a Y X a Y X a a -±-=

⇒=++≠改写成 若22

2

1222

0a I a X Y a -±-=

⇒≠ 若,02211==a a 则一定有1

0:1012或=⇒

≠Y X a 此时00

02

1212

122<-==

a a a I

故02>I 二次曲线的渐近方向是一对共轭的虚方向 02=I 二次曲线有一个渐近的实方向 02

显然：二次曲线的渐近方向最多有两个，而非渐近方向有无穷个

按渐近方向可分为三种类型

（1） 02>I 椭圆形曲线 122=+y x （2） 02=I 抛物线曲线 2x y = （3） 02

二、二次曲线的中心与渐近线 定义：如果点c 是二次曲线通过它的所有弦的中点，称点c 是二次曲线的中心

),(00y x c 是二次曲线的中心⎩⎨⎧==⇒0),(0),(0

02001y x F y x F

推论：)0,0(是二次曲线的中心⇒曲线方程不含y x 与的一次项 证：将直线方程代入，得：

0),(]),(),([2),(000020012=+++y x F t Y y x F X y x F t Y X φ

由于),(000y x M 是两交点的中心021=+⇒t t 0),(),(002001=+⇒Y y x F X y x F