初中数学竞赛专题培训(22)：面积问题与面积方法 (1)

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数学竞赛专题讲座---面积问题与面积方法

面积问题与面积方法
姓名：
例1△ABC中三边长分别为a,b,c,对应边上的高分别为h a=4,h b=5,hc=3．求a∶b∶c．
例2如图1－51,ABCD的面积为64平方厘米(cm2),E,F分别为AB,AD的中点,求△CEF的面积．
例4用面积方法证实：三角形两边中点连线平行于第三边．
例5如图1－54．在△ABC中,E是AB的中点,D是AC上的一点,且AD∶DC=2∶3,BD与CE交于F, S△ABC=40,求S AEFD．
例6如图1-55所示．E,F分别是ABCD的边AD,AB上的点,且BE=DF,BE与DF交于O．求证：C点到BE的距离等于它到DF的距离．
练习：
1．如图1－56所示．在△ABC中,EF∥BC,且AE∶EB=m,求证：AF∶FC=m．
2．如图 1－57所示．在梯形 ABCD中, AB∥CD．假设△DCE的面积是△DCB 的面积的四分之一,问：△DCE的面积是△ABD的面积的几分之几？
3．如图1－58所示．P为△ABC内一点,AP,BP,CP分别与对边交于D,E,F,把△ABC分成六个小三角形,其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC的面积．
4．如图1－59所示．P为△ABC内任意一点,三边a,b,c的高分别为h a,h b,h c,且P到a,b,c的距离分别为t a,t b,t c．
5．如图1－60所示．在梯形ABCD中,两腰BA,CD的延长线相交于O,OE∥DB,OF ∥AC且分别交直线BC于E,F．求证：BE=CF．
6．如图1－61所示．P是△ABC的AC边的中点,PQ⊥AC交AB延长线于Q,BR ⊥AC于R．
求证：。

初中数学竞赛专题：面积问题与面积方法(1)

初中数学竞赛专题:面积问题与面积方法（1）15.1.1★如图,（b ）、（c ）、（d ）、（e ）中直线AP 与直线BC 交于点D ,则:（a ）中有ABDACDS BD CD S =△△；（b ）、（c ）、（d ）、（e ）中有ABPACPS BD CD S =△△. (a)CD BADP A CBP D CB A PD BAPCDBA(e)(d)(c)(b)解析只要作相应的高,并运用比例即可.15.1.2★若ABC △中有一点P ,延长AP 、BP 、CP ,分别交对边于点D 、E 、F ,则1PD PE PFDA EB FC++=. CDBPEFA解析如图,易证BPC ABC S PD DA S =△△,APC ABC S PE EB S =△△,APBABCS PF FC S =△△,三式相加即得结论.15.1.3★求证:若点A 、B 、C 、D 是一直线上依次的任意四个不同点,点P 是直线外一点,则有sin sin sin sin APC BPD AC BDBPC APD BC AD∠⋅∠⋅=∠⋅∠⋅. 解析如图,PDC B Asin sin APC BPC S AC PA PC APCBC S PB PC BPC⋅⋅∠==⋅⋅∠△△ sin sin PA APCPB BPC∠=∠,sin sin PBD APD S BD BP BPDAD S AP APD∠==∠△△, 两式相乘,即得结论.评注这个定理叫交比定理,在这里作为例子是为了强调交比（即上述比值）是一个重要的不变量,交比为2时,四点称为调和点列,此时AB CD BC AD ⋅=⋅,这种情形在几何中十分常见.15.1.4★★如图,设BD p CD =,CE q AE =,AFr BF=,试用p 、q 、r 表示PQR ABC S S △△. BDRPCEQFA解析用面积比或梅氏定理得出,1(1)DQ QA r p =+,于是1AQC ACD ABC AQ rS S S AD r pr==++△△△以及ABRS △与BPC S △的表达式,最后算得2(1)(1)(1)(1)PQR ABCS pqr S r pr p pq q qr -=++++++△△. 15.1.5★★ 已知E 为ABC △的角平分线AD 上任一点,AB 、AC 延长线上分别有点M 、N ,CM BE ∥,BN CE ∥,求证:BM CN =.解析如图,连结ME 、NE .E 至AB 、AC 距离相等,即sin sin BE ABE CE ACE ⋅∠=⋅∠,由CM BE ∥,BN CE ∥,有BME BEC ECN S S S ==△△△,故1sin 2BM BE ABE ⋅⋅∠=1sin 2CN CE ACE ⋅⋅∠,于是BM CN =. NMDCBEA15.1.6★★在ABCD 的两边AD 和CD 上各取一点F 和E ,使得AE CF =,AE 与CF 交于P ,求证:BP 是APC ∠的平分线. 解析如图,易知12ABE ABCDBCF S SS ==△△,又AE CF =,故B 至AE 的距离与B 至CF 距离相等,于是BP 平分APC ∠.CBEPD FA15.1.7★★已知ABC △的边BC 、CA 、AB 上分别有点D 、E 、F ,且AD 、BE 、CF 共点,求证:14DEF ABC S S △△≤. 解析如图,设1BF k AF =,2AE k EC =,3CDk BD=,则由塞瓦定理知1231k k k =. CD B EFA又知原式等价于证明34AFE BFD EDC ABC S S S S ++△△△△≥,而212(1)(1)AFE ABC S k AF AES AB AC k k =⋅=++△△,同理,113(1)(1)BFD ABC S k S k k =++△△,323(1)(1)EDC ABC S k S k k =++△△,于是问题变为证明 1231223311233(1)(1)(1)4k k k k k k k k k k k k ++++++++≥,去分母、考虑1231k k k =并移项整理得上式等价于1231231116k k k k k k +++++≥.这显然成立,取等号仅当1231k k k ===,此时D 、E 、F 为各边中点. 15.1.8★在凸四边形ABCD 中,17AB =,7BC =,22DA =,90ABC ∠=︒,135BCD ∠=︒,求四边形ABCD 的面积.解析如图,22AC ,故本题只有一解（否则D ∠可能为钝角）.今延长AB 、DC 交于E ,则BCE △为等腰直角三角形,24AE =.又作AF ED ⊥,则AF EF ==.135°ECB FDA4923914422AEF BCE ABCF S S S =-=-=△△四边形.又14DF ,故AFD S =△于是2392ABCF S =+四边形15.1.9★★锐角ABC △中,60BAC ∠=︒,向外作正ABD △与正ACE △,设CD 与AB 交于点F ,BE 与AC 交于点G ,CD 又与BE 交于点P ,求证:BPC AFPG S S =△四边形.GP BFDAE解析结论转化为AFC BGC S S =△△,两边同时除以ABC S △,转化成线段之比,即求证AF CGAB AC=,上式又等价为AF CGBF AG=. 这是成立的,因为左式AC CEBD AB===右式,此处用到了AB CE ∥与AC BD ∥.15.1.10★在等腰ABC △中,12AB AC ==,E 、F 分别在两腰AB 、AC 上,8AE AF ==,BF 与CE 相交于点D ,四边形AEDF 的面积为8,求ABC △的面积. 解析如图,连结EF ,设DEF S x =△.易知EF BC ∥,82123EF ED DFBC CD BD====, 于是32BED FDC S S x ==△△,94BDC S x =△,254EBCF S x =梯形, CBDFEA455AEF EBCF S S x ==△梯形,又8AEF S x =-△,故43x =, 255154ABC S x x =+=△. 15.1.11★设AD 、BE 、CF 为锐角ABC △的三条高,若EF 平分ABC △的三条高,若EF 平分ABC △的面积,求证:2222DE EF FD BC ++=.解析如图,由条件知12AEF ABC S S =△△,由于AFE △∽ACB △,cos AF AEA AC AB==, ECDBFA故21cos 2A =,45A ∠=︒.又由相似知45FDB A EDC ∠=∠=∠=︒,故90FDE ∠=︒,22222DE EF FD EF ++=.又AEF △∽ABC △,得EF AE BC AB ==,于是222EF BC =,结论证毕. 15.1.12★★★设I 是ABC △内心,I 在AB 、BC 、CA 上的身影分别是L 、M 、N ,MI 延长后,交LN 于T ,AT 延长后与BC 交于Q ,求证:BQ CQ =.解析如图,连结TB 、TC ,本题等价于证明ATB ATC S S =△△.IBQ MCNLT A而1sin 2ATB S AB LT ALN =⋅⋅∠△,1sin 2ATC S AC NT ANL =⋅⋅∠△,由AL AN =知ALN ANL ∠=∠,于是只需证明AB LT AC NT ⋅=⋅. 由sin sin sin sin LIT NIT S LT LI TIL B ACNT S NI TIN C AB⋅∠====⋅∠△△, 结论得证.15.1.13★★★已知:锐角三角形ABC ,向外作正方形ABDE 、ACFG ,BF 、CD 交于J ,求证:AJ BC ⊥. 解析1 如图（1）,作AH BC ⊥,我们证明AH 、BF 、CD 共点.(1)C H BJ S T FGA DE由于AD =,AF =,45DAC A BAF ∠=︒+∠=∠,故DAC BAF S S =△△,而DBC S =△11sin(90)cos 22BD BC B AB BC B ⋅⋅+︒=⋅⋅,1cos 2BCF S AC BC C =⋅⋅△. 设CD 、AB 交于S ,BF 、AC 交于T .于是cos cos 1cos cos DAC BAF S AS BH CT AC C AB BSB HC AT S AB B AC C⋅⋅==△△, 故结论成立.解析2 如图（2）,设AH 是高,在HA 延长线上分别找点K 、K ',使BK CD ⊥,CK BF '⊥.易知DBC△≌BAK △,AK BC =,同理AK BC '=.KBC △的三条高在KA 、CD 、BF 直线上.因此KA 、CD 、BF 三线共点.(2)KK'EDAGF S J BH C15.1.14★★★求证:存在一个面积为1的四边形ABCD ,使形内任何一点P ,PAB S △、PBC S △、PCD S △、PDA S △至少有一个是无理数.解析如图,作梯形ABCD ,AD BC ∥,AD a ==2BC a =-,AD 与BC 的距离为1.则1ABCD S =梯形.CFB P DEA设P 是内部任一点,则PAD S △与BPC S △中至少有一个是无理数. 否则,若APD S △与BPC S △均为有理数,设分别为12m 、12n ,则12m m a a+=-,整理得一个关于a 的二次方程,系数可以是整数.,矛盾. 因此APD S △与BPC S △中至少有一个是无理数. 15.1.15★★设ABCD 中,90ABC θ∠=︒≤,点P 为其内部任一点,求证:22222cot ABCDPB PD PA PC S θ+--=⋅.解析此题用坐标法能使解题思路看起来更加清晰.x如图,设P （x ,y ）、B （0,0）、C （m ,0）、A （s ,t ）,则D （m s +,t ）,于是2222PB PD PA PC +--22222222()()()()()x y x m s y t x s y t x m y =++--+-------- 222()m s m s =+--22cos ms BC AB θ==⋅⋅⋅2cot ABCDSθ=⋅.15.1.16★★四边形ABCD 的两条对角线垂直且交于点O ,OM 、ON 分别与AB 、AD 垂直,延长MO 、NO ,分别与CD 、BC 交于点P 、Q ,求证:PQ BD ∥.CPQON AMDB解析显然可将待证式改为BQ DPCQ CP=. 由于sin sin BOQ COQ S BQ BO BOQCQ S CO COQ⋅∠==⋅∠△△ sin sin BO DONCO NOA⋅∠=⋅∠sin sin BO OAD BO DOCO ADO AO CO⋅∠⋅==⋅∠⋅. 同理,DPCP也是此式. 于是结论成立.15.1.17★★已知凸五边形ABCDE 满足AB BC =,CD DE =,150ABC ∠=︒,30CDE ∠=︒,2BD =,求五边形ABCDE 的面积.解析如图,作点C 关于BD 的对称点K ,于是AB KB =,ED KD =,分别作ABK ∠和KDE ∠的角平分线,设交于点M ,则MB 、MD 分别垂直平分AK 、EK ,则点M 是AKE △的外心.DEMKA B C又由于1752MBD ABC ∠=∠=︒,1152MDB CDE ∠=∠=︒,因此 90BMD ∠=︒.又由于AK MD ∥,EK BM ∥,因此AK KE ⊥,点M 为Rt AKE △斜边AE 的中点. 由ABM △≌KBM △,MKD △≌MED △,以及BCD △≌BKD △得2BMD ABCDE S S =△五边形.为求BMD S △,只需注意15MDB ∠=︒,2BD =,因此作点B 关于MD 的对称点B '（图中未画出）,有BMD △≌B MD '△,于是2BMD BDB ABCDE S S S '==△△五边形122sin302=⨯⨯⨯︒ 1=.15.1.18★★凸四边形ABCD 中,E 、F 分别在AB 、BC 上,DE 、DF 将AC 三等分,且14ADE CDF ABCD S S S ==△△五边形,求证:AB CD =.解析如图,连结BD 、BP 、BQ .F B EP AO Q CD由ADE CDF S S =△△,APD CQD S S =△△（这是因为AP QC =）知:APE CQF S S =△△.由于AP CQ =,故AC EF ∥.因此AE CFEB FB=,亦即ADE DCF DEB DFB S S S S =△△△△.由ADE DCF S S =△△知, DEB DFB S S =△△.而14ADE DCF ABCD S S S ==△△,故ADE DCF DEB DFB S S S S ===△△△△,因而E 、F 为AB 、BC 中点.由此可得QF 、PE 分别为CPB △、AQB △的中位线,即QF PB ∥,PE QB ∥.因此四边形DQBP 为平行四边形,所以OP OQ =,OD OB =,而AP CQ =,故OA OC =,由此得四边形ABCD 为平行四边形,故AB CD =.15.1.19★★★I 为ABC △的内心,1B 、1C 分别为AB 、AC 的中点.AB 与1C I 延长线交于2B ,AC 延长线与1B I 延长线交于2C （如图）,22AB C ABC S S =△△,求A ∠.C C 1C 2B 1B 2IAB解析设AC b =,AB c =,2AB c '=,2AC b '=,BC a =,内切圆半径为r . 由22sin sin 22ABC AB C bc b c A S S A ''===△△得 bc b c ''=.而1212()22B C A ABC AB AC b rS S a b c AB AC b '⋅=⋅=⋅++⋅△△.又1212212224B C A AIB AIC rr r r S S S AC AB b c '=+=⋅+⋅=⋅+⋅△△△.所以()22c b b a b c b''+=++⋅, 即()bc a b c b '=-+⋅.同理,对12AC B △用同样的方法可得:()bc a b c c '=+-⋅.两式相乘,利用bc b c ''=得:2222bc a b c bc =--+,即 222222cos a b c bc b c bc A =+-=+-.所以1cos 2A =,60A =︒. 15.1.20★★已知CE 、BD 为直角三角形ABC （90A ∠=︒）的角平分线,交于F ,求BCDE BCFS S 四边形△.解析设AB c =,AC b =,BC a =.由内角平分线性质,有AE b EB a =,故AE bc a b=+, FBEA DCbc AE a b =+,acBE c AE a b=-=+, 于是122()CBE abcS BE b a b =⋅⋅=+△. 而CF a a b FE BE c+==,故 CF a bCE a b c +=++, 2()BCF BCE a b abcS S a b c a b c +=⋅=++++△△. 同前面类似的算法可得:bcAD a c=+,故 1122BCDE bc bcS bc a c a b =-⋅⋅++四边形 ()2()()abc a b c a b a c ++=++.利用222a b c =+,2()()()BCDE BCFS a b c S a b a c ++=++四边形△ 2222222a b c ab bc caa ab ac bc +++++=+++ 2222222a ab ac bc a ab ac bc+++==+++.15.1.21★★点P 为正三角形ABC 内一点,PA a =,PB b =,PC c =,试用a 、b 、c 表示ABC S △. 解析分别把APC △、APB △、CPB △绕点A 、B 、C 顺时针旋转60︒,得A '、B '、C '三点,则APA '△、BPB '△、CPC '△是边长分别为a 、b 、c 的正三角形,而A BP '△、PB C '△与AC P '△是边长各为a 、b 、c 的全等三角形,最终得222)ABC S a b c =+++△此处1()2p a b c =++. CC'PB'BA'A15.1.22★在凸四边形ABCD 中有一点P ,满足ADP BPC ABP DPC S S S S ⋅=⋅△△△△,求证:点P 在该四边形的对角线上.解析显然P 在对角线上时,上述结论成立.今用反证法,若点P 不在对角线上时,如图,不妨设AC 与BD 交于点O ,又不妨设点P 位于BOC △的内部.此时,BO 与AP 有一交点,记为E .PCBEO DA由题设得BPC APB DPC APD S S BES S DE==△△△△, 于是由面积比知点E 、P 、C 共线.这样一来,点A 、C 均在EP 直线上,点P 就在AC 上,与假设矛盾.15.1.23★★自ABC △的顶点引两条射线交边BC 于X 、Y ,使BAX CAY ∠=∠,求证:22BX BY AB CX CY AC⋅=⋅.又,反之如何？解析如图,由BAX CAY ∠=∠,得CYXBF E AABX ACY S BX AB AXCY S AC AY⋅==⋅△△. 又BAY XAC ∠=∠,故ABY ACX S BY AB AYCX S AC AX⋅==⋅△△. 两式相乘,即得22BX BY AB CX CY AC ⋅=⋅. 反之,若22BX BY AB CX CY AC ⋅=⋅,作AXY △外接圆,分别交AB 、AC 于E 、F .则BE BA BX BY ⋅=⋅,CF CA CX CY ⋅=⋅,代入得BE ABCF AC=,得EF BC ∥,但X 、Y 、F 、E 共圆,故四边形EXYF 为等腰梯形,圆周角EAX ∠和FAY ∠所对弧相等,由于其和小于180BAC ∠<︒,故EAX FAY ∠=∠.15.1.24★★★已知正三角形ABC 内一点P ,到BC 、CA 、AB 的射影分别是D 、E 、F ,求证:AF BD CE BF AE CD ++=++；AFP △、BPD △和CPE △和面积和等于ABC △的一半.解析如图,易知22PA PB AF BF AB --=,22PB PC BD CD BC--=,22PC PA CE AE CA--=, 三式相加即得结论AF BD CE BF AE CD ++=++.又过P 作MN BC ∥,QR AB ∥,ST AC ∥.M 、T 在AB 上,Q 、S 在BC 上,N 、R 在AC 上.易知TPM △、PQS △和PNR △均为正三角形,四边形ATPR 、MPQB 、SCNP 均为平行四边形,记1APR APT S S S ==△△,2TPF MPF S S S ==△,3PMB PQB S S S ==△△,4PQD PSD S S S ==△△,5PSC PCN S S S ==△△,6PNE PRE S S S ==△△,则123456AFP BPD CPE S S S S S S S S S ++=+++++△△△12ABC S =△. 15.1.25★★已知:凸五边形ABCDE 中,AE BD ∥,CE AB ∥,P 、Q 分别是BE 、CD 中点,R 在BE 上,AR PQ ∥,求证:BCR DER S S =△△.解析如图,设BC 中点为S ,连结PS 、QS .则PS AB ∥,SQ AE ∥,SPQ BAR ∠=∠,SQP RAE ∠=∠.DQCO S ERP B A设BD 、CE 交于O ,则AB OE =,AE BO =,sin sin sin sin BR AE BAR OE SPQ OE SQRE AE EAR OB SQP OB SP∠∠===⋅=∠∠ BDE BCE S OE BD OB CE S ⋅=⋅△△,故BCE BDE BR S RE S ⋅=⋅△△,BCR BCE BDE DER BR RES S S S BE BE===△△△△.15.1.26★凸四边形ABCD 中,对角线相交于E ,M 、N 分别为AB 、CD 的中点,连结MN ,交AC 于G ,交BD 于F ,K 、S 分别为AD 、BC 中点,KS 分别与AC 、BD 交于P 、Q ,求证:EGQ EPF S S =△△.解析如图（图中点P 、Q 未画出）,连结MK 、NK ,则12MK BD ==∥,12NK AC ==∥,故EFG △∽MKN △,且EF BD EG AC =,同理EQ BDEP AC=,于是在EGQ △与EPF △中,FEP ∠与GEQ ∠互补,EF EP EG EQ ⋅=⋅,于是EGQ EPF S S =△△.S15.1.27★★ 已知P 为ABC △内一点,PAB PBC PCA α∠=∠=∠=,求证:222cot 4ABCa b c S α++=△. 解析如图,由余弦定理222222cos 4cot ABP PB PA c PA c PA c S α=+-⋅⋅=+-⋅△,同理2224cot BPC PC PB a S α=+-⋅△,2224cot APC PA PC b S α=+-⋅△,三式相加,得αααPCBA22204cot ()ABP BPC APC a b c S S S α=++-⋅⋅++△△△,此即222cot 4ABCa b c S α++=△ 15.1.28★ABC △中,AH 是高,45BAC ∠=︒,2BH =,3CH =,求ABC S △.解析设AH h =.分两种情况讨论,一种B 、C 在H 两侧,另一种B 、C 在H 同侧.B 、C 在H 两侧时,5BC =,于是由面积,sin455AB AC h ⋅⋅︒=,即5h ,得4237360h h -+=,得1h =或6.1h =时,45BAC BAH ∠>∠>︒,不合要求；故6h =,156152ABC S =⨯⨯=△.B 、C 在H 同侧时,1BC =,同样由面积公式,sin45AB AC h ⋅⋅︒=,即h =,得4211360h h ++=,无解. 15.1.29★★★设矩形ABCD 的边BC 、CD 上分别有点E 、F ,满足AEF △是正三角形,求证:ECF ABE AFD S S S =+△△△.解析如图,设AEF △边长为a .EFC θ∠=.PF D QCERAB取Q ,使2QAF FAD ∠=∠,2QAE EAB ∠=∠,AQ a =,连结AQ 、EQ 、FQ ,AQ 与EF 交于R ,延长EC 至P,EC CP=,连结FP,则211sin sin 244EFC S EF FP EFP a θ=⋅⋅∠=△.又易知1111sin 2224ABE AFD AEQ AFQ AEQF S S S S S AQ EF ARE +=+==⋅⋅∠=△△△△四边形21sin 4a ARE ∠.于是只要证明sin sin2ARE θ∠=即可. 事实上,602(90)12021202()120ARE QAF FAD AFC θ∠=∠+︒=∠+︒-︒=∠-︒=+60︒-︒2θ=.于是结论成立.15.1.30★★★已知正三角形ABC 边长为1,Q 在BC 上,4BQ CQ =,P 在AQ 上,120BPC ∠=︒,求AP 的长.解析如图,作PD 、PE 、PF 分别与BC 、CA 、AB 垂直,设PE x =,由ABPACPS S =△△ 4BQCQ=,得4PF x =. CQ D R BP EFA又由条件,知60ABP PBC PCB ∠=︒-∠=∠,同理,ACP PBC ∠=∠,故sin sin sin sin PF ABP BCP PDPD CBP ACP PE∠∠===∠∠, 于是2PD x =.由1(24)2ABC ABP BCP CAP S S S S x x x ==++=++△△△△,得x =,又AR =,AR BC ⊥,故25117AP PQ x AQ AQ AR =-=-=. 由于1AB AC ==,45BQ =,15CQ =,故2242112525AQ AB BQ CQ =-⋅=-=,于是577AP AQ ==.（见题9.2.3.）15.1.31★用正弦定理证明三角形面积公式2212sin sin sin (sin 2sin 2sin 2)42abc S R A B C R A B C R ===++△. 这里a 、b 、c 为ABC △的三边长,R 为ABC △的外接圆半径.解析 11sin 2224c abcS ab C ab R R==⋅=△. 又2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =,代入得22sin sin sin S R A B C =△.又找到ABC △外心O ,则ABC OAB OBC OCA S S S S =++△△△△21(sin 2sin 2sin 2)2R A B C =++. 评注最后的结果中,OAB S △、OBC S △、OCA S △可能取负值,但不影响结论. 15.1.32★★★已知ABCD ,M 、N 分别在AD 、AB 上,1MDC S S =△,2AMN S S =△,CBN S △3S =,试用1S 、2S 、3S 表示CMN S △.解析如图（a ）作PMQ CD ⊥,P 、Q 在直线AB 、CD 上,设ABCDSS =,又设PM h =,MQ h '=,AN a =,BN b =,则22S ah =,32()S b h h '=+,12()S a b h '=+,B(a)MD QCN A P因此22S h a =,3222S S h b a'=-,于是有 321()SS a b S ba ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,展开得33221ab S S S S S b a+--=.记a x b=,则233212()0S x S S S x S +---=,解得3x =.所以3123()()2(1)S a b h h S x S S S '=++=+=++因为123S S S S >++,故根号前应取“+”号,于是解析2 如图（b ）,延长CM 、BA 交于K ,连结AC ,设12ABC ACD ABCDS S S S ===△△,则3ACN S S S =-△,于是有213AMN ACM ACN ACD S S S S S KM AM S S S KC AD S S-=====-△△△△.解出S ,以下同解析1.(b)BCN DM A K15.1.33★已知ABC △面积为1,D 、E 分别在边BC 上,且5BCBD CE ==,F 、M 在边AB 上,FD ME AC ∥∥,N 、G 在边AC 上,EG DN AB ∥∥,若ME 、ND 交于P ,求PFG S △. 解析如图,由于45AF CD AB BC ==,45AG AC =,故FG BC ∥,且45FG BC =. SC EKDBGF PNM A又作PK BC ⊥,交FG 于S ,则PS 为PFG △的高. 设A 至BC 距离为h ,则由PDE △∽ABC △,知35PK DE h BC ==.又15CG CA =,故5h SK =,于是25PS h =.所以11428822552525PFG ABC S FG PS BC h S =⋅=⋅⋅⋅==△△. 15.1.34★已知ABC △的三边长分别为a 、b 、c ,面积为S ；A B C '''△的三边长分别为a '、b '、c ',面积为S ',且a a '>,b b '>,c c '>,则S 与S '的大小关系一定是（） A.S S '> B.S S '< C.S S '=D.不确定解析构造ABC △与A B C '''△如下: （1）作ABC △∽A B C '''△,显然21S a S a ⎛⎫=> ⎪''⎝⎭, 即S S '>.（2）设a b =20c =,10a b c '''===,则1c h =,10S =,10010S '=>,即有S S '<.（3）设a b =20c =,a b ''==10c '=,则10S =,2c h '=,10S '=,即有S S '=. 因此,S 与S '的大小关系不能确定.应选（D ）.15.1.35★★用长为1、4、4、5的线段为边作梯形,求这个梯形的面积.解析（1）当梯形的上底为1,下底为5时,两腰长均为4,得等腰梯形（如图（a ）所示）.CE BDA(b)(a)C F E B DA作AE BC ⊥交BC 于E ,DF BC ⊥交BC 于F ,易知1EF =,且2BE FC ==.由勾股定理可得AE ==所以1()2ABCD S AD BC AE =+⋅梯形1(15)2=+⋅（2）当梯形的上底为1,下底为4时,两腰分别为5和4,得直角梯形（如图（b ）所示）. 过A 作AE DC ∥交BC 于E ,易知1CE =,4AE DC ==,从而3BE =.根据勾股定理的逆定理可知,90AEB ∠=︒.所以1(14)4102ABCD S =+⋅=梯形.（3）若用长为1的线段作梯形的腰,则无法完成符合条件的梯形.15.1.36★★在直角三角形ABC 中,60B ∠=︒,90C ∠=︒,1AB =,分别以AB 、BC 、CA 为边长向外作等边三角形ABR △、BCP △、CAQ △,连结QR 交AB 于点T ,求PRT △的面积.T AQCPB R解析由题设得12BC =,AC =90QAT ∠=︒,150QCP ∠=︒,P 、B 、R 三点共线.因为1122AQT S AT AQ AT AC =⋅=⋅=△,而ART ARB S AT S AB =△△,所以ART S AT =△.即AQT ART S S =△△,从而QT RT =.于是12PRT PQR S S =△△1()2ABC ABR BCP CAQ CPQ AQR S S S S S S =++++-△△△△△△12==15.1.37★设点E 、F 、G 、H 分别在面积为1的四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上,且AE BF CG DHk EB FC GD HA====（k 是正数）,求四边形EFGH 的面积. 解析如图,连续AC 、BD .易知H AEFC GDDHG ACD S DH DGS DA DC⋅=⋅△△ 2111(1)k kk k k =⋅=+++. 因此2(1)DHG DAC kS S k =+△△. 同理2(1)BEF BAC kS S k =+△△. 所以2()(1)DHG BEF DAC BAC kS S S S k +=++△△△ 22(1)(1)ABCDk kS k k ==++四边形. 同理可证 2(1)AEH CFG kS S k +=+△△.所以EFGH S 四边形()AEH BEF CFG DHG ABCD S S S S S =-+++△△△△四边形222211(1)(1)k k k k +=-=++. 15.1.38★如图,在ABC △中,DE AB FG ∥∥,且FG 到DE 、AB 的距离之比为1:2.若ABC △的面积为32,CDE △的面积为2,求CFG △的面积S .BA GFE D C解析由DE AB FG ∥∥知,CDE △∽CAB △∽CFG △,所以14CDCA==. 又由题设知12FD FA =,所以 13FD AD =, 11313344FD AD AC AC ==⨯=,故 FD DC =,于是21124CDE CFG S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△,8CFG S =△. 15.1.39★★★凸四边形ABCD 中,点N 在边CD 上BN 与AC 交于点M ,若AM CNAC CD=,且1ABC S =△,3ABD S =△,4BCD S =△,求证:点M 、N 分别为AC 与CD 的中点.解析如图,由于BCD ABC S S >△△,延长CB 、DA 交于Q .PB MS CNDRAQ设ABQ S x =△,则34ABQ QBD ABCBCD S S QB x x S BC S +====△△△△,故1x =,CB BQ =. 又作MR CD ∥,R 在AD 上,连结RN 、RC ,RC 与MN 交于S ,则CN AM ARCD AC AD==,故AC RN ∥,四边形MRNC 为平行四边形,S 为RC 的中点.于是BS 为CQR △的中位线,故MN 为ACD △之中位线,故M 、N 分别为AC 、CD 的中点. 15.1.40★★已知,90ABC ∠=︒,D 在AC 上,且AB BD ADBC BD CD+=+,求证:2ABC BD S =△. 解析如图,设AD a =,CD b =,C θ∠=,则由条件知AB CD BD CD AD BC ⋅+⋅=⋅θBCb DaAAD BD +⋅,此即()()cos ()sin b a BD a a b b a b θθ-=⋅+-+,于是2222()()(cos sin )b a BD a b a b θθ-=+- 22222()(cos sin 2cos sin )a b a b ab θθθθ=++-,注意cos a θ即D 至AB 距离,sin b θ即D 至BC 距离,故有22222cos sin a b BD θθ+=,代入上式,有2222[()()]2()cos sin a b a b BD ab a b θθ+--=+,即2211()cos sin 22ABC BD a b AB BC S θθ=+⋅=⋅=△.15.1.41★★点K 、M 分别是凸四边形ABCD 的边AB 、CD 的中点,点L 、N 分别在BC 、AD 上使四边形KLMN 为平行四边形,证明:2ABCDABCD S S =四边形.解析如图,2KLMNKML SS =△.NN'A K BLL'CMD当AD BC ∥时,MK 为中位线,于是22KML h S MK =⋅△,h 为AD 至BC 距离,此正是12ABCD S 四边形,于是2KLMNABCD S S =四边形.若AD 与BC 不平行,设AD 、BC 中点分别为N '、L ',四边形N KL M ''亦为平行四边形,NL 、N L ''的中点都是KM 之中点,若N 与N '不重合,则L 与L '也不重合（否则LN 、LN '的中点不是同一点）,因此N L ''与NL 相互平分,NN LL ''∥,即AD BC ∥,与AD 、BC 不平行矛盾.所以L 、N 是BC 、AD 的中点,此时易证2KLMNABCD S S =四边形.15.1.42★★已知ABCD 中,E 、F 分别在BC 、CD 上,P 、Q 、R 分别为AE 、EF 、AF 的中点,求证:BP 、CQ 、DR 三线共点.解析如图,设BP 、DR 延长后交于O ,如能证明OC 平分EF ,则BP 、CQ 、DR 即共点.CEBPQF O R DA易知12AOD BOC ABCDAOB COD S S SS S +==+△△△△,又BOE AOB S S =△,AOD DOF S S =△△, 于是,1122BOC ABCDBOE AOD ABCDAOB DOF FOC S SS S SS S S =--=--=△△△△△△,故结论成立.。

面积问题与面积方法

面积问题与面积方法
面积是指物体表面积积的大小，是一个重要的数学概念。

它可以用来衡量物体的大小，也
可以用来衡量物体的形状。

面积的计算是一个重要的数学问题，有许多不同的方法可以用
来计算面积。

首先，最常用的方法是直接测量法。

这种方法可以用来测量任何形状的物体的面积，只要
有一个可以测量的基准尺寸，就可以用来计算物体的面积。

例如，可以用一张纸来测量一
个正方形的面积，只要知道纸的长宽，就可以计算出正方形的面积。

其次，可以使用几何公式来计算面积。

几何公式是一种特殊的数学公式，可以用来计算特
定形状的物体的面积。

例如，可以使用三角形面积公式来计算三角形的面积，只要知道三
角形的三条边，就可以计算出三角形的面积。

最后，还可以使用数学积分来计算面积。

数学积分是一种特殊的数学方法，可以用来计算
任意形状的物体的面积。

例如，可以使用数学积分来计算圆形的面积，只要知道圆的半径，就可以计算出圆形的面积。

总之，面积是一个重要的数学概念，有许多不同的方法可以用来计算面积。

最常用的方法是直接测量法，也可以使用几何公式和数学积分来计算面积。

九年级培优专题：面积问题与面积方法

九年级面积问题与面积方法积表示有关的几何量；其次把几何量之间的关系转化为面积关系，然后通过面积变形，得到原问题的解决方法。

面积方法解题有时更具有直观性、通用性和简洁性，因此在国内外数学竞赛试题中经常出现面积问题。

1.三角形的面积公式（1）12a S ah =；（2）S =pr （p 为三角形半周长，r 为内切圆半径）；（3）4abc S R=（R 为外接圆半径）；（4）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===；（5）S =p 为半周长）（海仑公式）。

2.四边形的面积公式设四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的夹角为θ，则1sin .2ABCD S AC BD θ=3.多边形的面积（1）设P 为多边形内一点，则122312n PA A PA A A A A S S S ∆∆=++多边形1.n PA A S ∆+（2）设多边形有内切圆，半径为r ，则12n A AA S pr =多边形（p 为半周长）。

4.等积变换的基本定理共高模型；共边模型；燕尾模型；共角模型；相似比与面积比等等例1：如图五边形ABCDE 中，∠ABC =∠AED =90°，AB =CD =AE = BC ＋DE =1，求五边形A BCDE 的面积。

例2：如图，将△ABC 的三个顶点与一个内点连结起来，所得三条连线把△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图上标明，试求ABC S ∆．例3：如图，在△ABC 中，P 为BC 边上任意一点，PE ∥BA ，PF ∥CA .若1ABC S ∆=，证明：BPF S ∆，PCE S ∆，和PEAF S 中至少有一个不小于4.9例4：如图，已知△PQR 与△P'Q'R'是两个全等的正三角形，六边形ABCDEF 的边长分别记为：AB ＝1a ，BC ＝1b ，CD ＝2a ，DE =2b ，EF ＝3a ，FA ＝3b ，求证：222222123123a a a b b b ++=++例5：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，并且AB >AC ，在斜边BC 上取一点D ，使BD =AB ，过D 作直线平分△ABC 的面积，且与AB 的交点为E ，求证：BE 、DE 都等于BC 的一半。

面积方法在初中数学竞赛中的应用

面积方法在初中数学竞赛中的应用
在初中数学竞赛中，求面积是一个比较重要的题型，也是一个要掌握的重要数学知识点。

求面积的目的在于了解形状多面体的内部信息，因此在某些场合可能会对初中生的竞赛课
程有重大影响。

下面来看看求面积在初中数学竞赛中的应用。

首先，在初中数学竞赛中，求面积主要包括求圆形，椭圆形，三角形，四边形和其他形状
面积的知识，学生根据给出的边长和其他角度信息，利用面积的相关公式进行求解。

如果
用给出的变量代入四边形的面积公式，从而获得面积。

此外，初中生在求解面积时，有些复杂三角形求面积时，可以利用勾股定理转换后求出其
三个直角边，然后利用海伦公式求面积，还可以应用比例关系和分类讨论求出某形状面积。

同时，在求解复杂形状面积时可以利用分类讨论技巧，重新把复杂几何图形分成多个简单
的几何图形，分别求出每个的面积，然后根据设定的关系将每个小图形的面积加起来就可
以得出复杂图形的总面积。

最后，还可以利用比例关系转换法求解面积，先按照一定比例将某形状多面体放大或缩小
形成容易求面积的简单多边形，然后求出简单多边形的面积，再将面积根据给定的比例放
大或缩小的方式得到原始图形的面积。

通过以上介绍，可以看出求面积在初中数学竞赛中的应用十分重要，要想得到好的成绩，
初中生不仅要掌握相应的面积计算公式，还要灵活运用比例关系和分类讨论等方法，为初
中数学竞赛打下良好基础。

八年级数学竞赛例题专题讲解：面积法

八年级数学竞赛例题专题讲解：面积法阅读与思考平面几何学的产生源于人们测量土地面积的需要，面积关联着几何图形的重要元素边与角．所谓面积法是指借助面积有关的知识来解决一些直接或间接与面积问题有关的数学问题的一种方法．有许多数学问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积联系着几何图形的重要元素，所以借助于有关面积的知识求解，常常简捷明快．用面积法解题的基本思路是：对某一平面图形面积，采用不同方法或从不同角度去计算，就可得到一个含边或角的关系式，化简这个面积关系式就可得到求解或求证的结果．下列情况可以考虑用面积法：（1）涉及三角形的高、垂线等问题；（2）涉及角平分线的问题．例题与求解【例1】如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的边长为______________．(全国初中数学联赛试题) 解题思路：从寻求三条垂线段与等边三角形的高的关系入手．等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高，那么等边三角形呢？等腰梯形呢？【例2】如图，△AOB中，∠O＝，OA＝OB，正方形CDEF的顶点C在DA上，点D在OB上，点F在AB上，如果正方形CDEF的面积是△AOB的面积的，则OC：OD等于( )A．3：1 B．2：1C．3：2 D．5：3解题思路：由面积关系，可能想到边、角之间的关系，这时通过设元，即可把几何问题代数化来解决．【例3】如图，在□ABCD中，E为AD上一点，F为AB上一点，且BE＝DF，BE与DF交于G，求证：∠BGC＝∠DGC.（长春市竞赛试题）解题思路：要证∠BGC＝∠DGC，即证CG为∠BGD的平分线，不妨用面积法寻找证题的突破口．【例4】如图，设P为△ABC内任意一点，直线AP，BP，CP交BC，CA，AB于点D、E、F.求证：（1）；（2）.（南京市竞赛试题）解题思路：过P点作平行线，产生比例线段.【例5】如图，在△ABC中，E，F，P分别在BC，CA，AB上，已知AE，BF，CP相交于一点D，且，求的值.解题思路：利用上例的结论，通过代数恒等变形求值.（黄冈市竞赛试题）【例6】如图，设点E，F，G，H分别在面积为1的四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，且（是正数），求四边形EFGH的面积．（河北省竞赛试题）解题思路：连对角线，把四边形分割成三角形，将线段的比转化为三角形的面积比．线段比与面积比的相互转化，是解面积问题的常用技巧．转化的基本知识有：(1) 等高三角形面积比，等于它们的底之比；(2) 等底三角形面积比，等于它们的高之比；(3) 相似三角形面积比，等于它们相似比的平方．能力训练1．如图，正方形ABCD的边长为4cm，E是AD的中点，BM⊥EC，垂足为M，则BM＝______.（福建省中考试题）2．如图，矩形ABCD中，P为AB上一点，AP＝2BP，CE⊥DP于E，AD＝，AB＝，则CE＝__________.（南宁市中考试题）第1题图第2题图第3题图3．如图，已知八边形ABCDEFGH中四个正方形的面积分别为25，48，121，114，PR＝13，则该八边形的面积为____________.（江苏省竞赛试题） 4. 在△ABC中，三边长为，，，表示边上的高的长，，的意义类似，则(＋＋)的值为____________. （上海市竞赛试题）5．如图，△ABC的边AB＝2，AC＝3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ分别表示以AB，BC，CA为边的正方形，则图中三个阴影部分的面积之和的最大值是__________.（全国竞赛试题） 6．如图，过等边△ABC内一点P向三边作垂线，PQ＝6，PR＝8，PS＝10，则△ABC的面积是 ( )．A. B.C.D.（湖北省黄冈市竞赛试题）第5题图第6题图第7题图7．如图，点D是△ABC的边BC上一点，若∠CAD＝∠DAB＝，AC＝3，AB＝6，则AD的长是( )．A．2 B. C.3 D.8．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，AN，BN，DM，CM划分四边形所成的7个区域的面积分别为，，，，，，，那么恒成立的关系式是( )．A.+=B.+=C.+= D．+=9．已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别为，，，△ABC的高为．若点P在一边BC上（如图1），此时，可得结论：＋＋＝.请直接用上述信息解决下列问题：当点P在△ABC内（如图2）、点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立．请给予证明；若不成立，，，与之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明．（黑龙江省中考试题）10.如图，已知D，E，F分别是锐角△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD、BE、CF相交于P点，AP＝BP＝CP＝6，设PD＝，PE＝，PF＝，若，求的值．（“希望杯”邀请赛试题）11.如图，在凸五边形ABCDE中，已知AB∥CE，BC∥AD，BE∥CD，DE∥AC，求证：AE∥BD.（加拿大数学奥林匹克试题）12.如图，在锐角△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA边上的三等分点. P，Q，R分别是△ADF，△BDE，△CEF的三条中线的交点.(1) 求△DEF与△ABC的面积比；(2) 求△PDF与△ADF的面积比；(3) 求多边形PDQERF与△ABC的面积比.13．如图，依次延长四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，使，若，求的值．（上海市竞赛试题）14.如图，一直线截△ABC的边AB，AC及BC的延长线分别交于F，E，D三点，求证：．（梅涅劳斯定理）15．如图，在△ABC中，已知，求的值.（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）。

竞赛讲座 07面积问题和面积方法

竞赛讲座07--面积问题和面积方法基础知识1．面积公式由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式．它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用．设△ABC ，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，a h 为a 的高，R 、r 分别为△ABC 外接圆、内切圆的半径，)(21c b a p ++=．则△ABC 的面积有如下公式：（1）a ABC ah S 21=∆；（2）A bc S ABC sin 21=∆ （3）))()((c p b p a p p S ABC ---=∆ （4）pr c b a r S ABC =++=∆)(21 （5）Rabc S ABC 4=∆ （6）C B A R S ABC sin sin sin 22=∆（7）)sin(2sin sin 2C B C B a S ABC +=∆ （8）)(21a c b r S a ABC -+=∆ （9）)2sin 2sin 2(sin 212C B A R S ABC ++=∆ 2．面积定理（1）一个图形的面积等于它的各部分面积这和；（2）两个全等形的面积相等；（3）等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积相等；（4）等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高（或底）的比；（5）两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方；（6）共边比例定理：若△PAB 和△QAB 的公共边AB 所在直线与直线PQ 交于M ，则QM PM S S QAB PAB ::=∆∆；（7）共角比例定理：在△ABC 和△C B A '''中，若A A '∠=∠或︒='∠+∠180A A ，则CA B A AC AB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆． 3．张角定理：如图，由P 点出发的三条射线PC PB PA ,,，设α=∠APC ，β=∠CPB ，︒<+=∠180βαAPB ，则C B A ,,三点共线的充要条件是：PCPA PB )sin(sin sin βαβα+=+．例题分析例1．梯形ABCD 的对角线BD AC ,相交于O ，且m S AOB =∆，n S COD =∆，求ABCD S 例2．在凸五边形ABCDE 中，设1=====∆∆∆∆∆EAB DEA CDE BCD ABC S S S S S ，求此五边形的面积．例3．G 是△ABC 内一点，连结CG BG AG ,,并延长与AB CA BC ,,分别交于F E D ,,，△AGF 、△BGF 、△BGD 的面积分别为40，30，35，求△ABC 的面积．例4．R Q P ,,分别是△ABC 的边BC AB ,和CA 上的点，且1====RC QR PQ BP ，求△ABC 的面积的最大值．例5．过△ABC 内一点引三边的平行线DE ∥BC ，FG ∥CA ，HI ∥AB ，点I H G F E D ,,,,,都在△ABC 的边上，1S 表示六边形DGHEFI 的面积，2S 表示 △ABC 的面积．求证：2132S S ≥．例6．在直角△ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，过△ABD 的内心与△ACD 的内心的直线分别交边AB 和AC 于K 和L ，△ABC 和△AKL 的面积分别记为S 和T ．求证：T S 2≥．例7．锐角三角形ABC 中，角A 等分线与三角形的外接圆交于一点1A ，点1B 、1C 与此类似，直线1AA 与B 、C 两角的外角平分线将于一点0A ，点0B 、0C 与此类似．求证：（1）三角形000C B A 的面积是六边形111CB BA AC 的面积的二倍；（2）三角形000C B A 的面积至少是三角形ABC 的四倍．例8．在△ABC 中，R Q P ,,将其周长三等分，且Q P ,在边AB 上，求证：92>∆∆ABC PQRS S ．例9．在锐角△ABC 的边BC 边上有两点E 、F ，满足CAF BAE ∠=∠，作AB FM ⊥，AC FM ⊥（N M ,是垂足），延长AE 交△ABC 的外接圆于点D ，证明四边形AMDN 与△ABC 的面积相等．三．面积的等积变换等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一，它的特点是利用间面积相等而进行相互转换证（解）题．例10．凸六边形ABCDEF 内接于⊙O ，且13+===DC BC AB ，1===FA EF DE ，求此六边形的面积．例11．已知ABC ∆的三边c b a >>，现在AC 上取AB B A ='，在BA 延长线上截取BC C B ='，在CB 上截取CA A C ='，求证：C B A ABC S S '''∆∆>．例12．C B A '''∆在ABC ∆内，且ABC ∆∽C B A '''∆，求征：ABC AB C CA B BC A S S S S ∆'∆'∆'∆=++ 例13．在ABC ∆的三边AB CA BC ,,上分别取点F E D ,,，使EA CE DC BD 3,3==，FB AF 3=，连CF BE AD ,,相交得三角形PQR ，已知三角形ABC 的面积为13，求三角形PQR 的面积．例14．E 为圆内接四边形ABCD 的AB 边的中点，AD EF ⊥于F ，BC EH ⊥于H ，CD EG ⊥于G ，求证：EF 平分FH ．例15．已知边长为,,,c b a 的ABC ∆，过其内心I 任作一直线分别交AC AB ,于N M ,点，求证：bc a IN MI +≤．例16．正△PQR ≅正△R Q P '''，1a AB =，1b BC =，2a CD =，2b DE =， 3a EF =，3b FA =．求证：232221232221b b b a a a ++=++．例17．在正ABC ∆内任取一点O ，设O 点关于三边AB CA BC ,,的对称点分别为C B A ''',,，则C C B B A A ''',,相交于一点P ．例18．已知CE AC ,是正六边形ABCDEF 的两条对角线，点N M ,分别内分ACCE ，且使k CECN AC AM ==，如果N M B ,,三点共线，试求k 的值．例19．设在凸四边形ABCD 中，直线CD 以AB 为直径的圆相切，求证：当且仅当BC ∥AD 时，直线AB 与以CD 为直径的圆相切．训练题1．设A B C ∆的面积为102cm ，F E D ,,分别是CA BC AB ,,边上的点，且,3,2cm DB cm AD ==若DBEF ABE S S =∆，求ABE ∆的面积．2．过ABC ∆内一点作三条平行于三边的直线，这三条直线将ABC ∆分成六部份，其中，三部份为三角形，其面积为321,,S S S ，求三角形ABC ∆的面积．3．在ABC ∆的三边CA BC AB ,,上分别取不与端点重合的三点L K M ,,，求证：AML ∆，CLK BKM ∆∆,中至少有一个的面积不大于ABC ∆的面积的41． 4．锐角ABC ∆的顶角A 的平分线交BC 边于L ，又交三角形的外接圆于N ，过L 作AB 和AC 边的垂线LK 和LM ,垂足是M K ,，求证：四边形AKNM 的面积等于ABC ∆的面积． 5．在等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上取一点D ，使BC DC 31=，作AD BE ⊥交AC 于E ，求证：EC AE =．6．三条直线n m l ,,互相平行，n l ,在m 的两侧，且m l ,间的距离为2，n m ,间的距离为1，若正ABC ∆的三个顶点分别在n m l ,,上，求正ABC ∆的边长．7．已知321P P P ∆及其内任一点P ，直线P P i 分别交对边于i Q （3,2,1=i ），证明：在332211,,PQ P P PQ P P PQ P P 这三个值中，至少有一个不大于2，并且至少有一个不小于2． 8．点D 和E 分别在ABC ∆的边AB 和BC 上，点K 和M 将线段DE 分为三等分，直线BK 和BM 分别与边AC 相交于点T 和P ，证明：AC TP 31≤． 9．已知P 是ABC ∆内一点，延长CP BP AP ,,分别交对边于C B A ''',,，其中x AP =，w C P B P A P z CP y BP ='='='==,,，且3,23==++w z y x ，求xyz 之值．10．过点P 作四条射线与直线l l ',分别交于D C B A ,,,和D C B A '''',,,，求证：C BD A D C B A BC AD CD AB ''⋅''''⋅''=⋅⋅． 11．四边形ABCD 的两对对边的延长线分别交L K ,，过L K ,作直线与对角线BD AC ,的延长线分别F G ,，求证：KGLG KF LF =． 12．G 为ABC ∆的重心，过G 作直线交AC AB ,于F E ,，求证：GF EG 2≤．。

面积与面积方法

面积与面积方法近年来，随着科学技术的不断进步，计算面积已是一项重要的科学技术，各类计算机方法也应运而生，为了更好地解决面积计算问题。

下面，我们就一起来聊聊面积和面积计算方法吧。

一、面积的含义面积是两个或多个平面构成物体所占有的空间量，它是由两个或多个平面构成物体表面积的总和组成，如平面图形椭圆、正方形、三角形等，它们都可以用不同的面积计算方法来测量。

二、面积的计算方法1、边长法：计算平面图形的面积，可以根据其边长乘积来计算面积，如三角形的面积可以用公式面积=（a*b）/2来计算；2、勾股定理法：勾股定理可以测量三角形的面积，它的公式是：面积=（a + b - c）/23、梯形面积法：梯形面积可以用以下公式计算：面积=（s1+s2）/2*h；4、转角定理法：转角定理可以用以下公式计算：面积=（a*b*sinC）/2；5、双曲线面积法：可以用以下公式计算双曲线面积：面积=（π*a*b）/2；6、圆形面积法：圆形面积用公式计算：面积=π*r；7、矩形面积法：矩形面积用公式计算：面积=a*b；三、面积的应用1、在建筑学中，面积的计算可以帮助设计师更好地设计建筑，更好地满足空间与功能的要求；2、在地面测量中，采用面积计算可以更准确地计算出地面上物体的面积；3、在天文学中，采用面积计算可以观察星空，更准确地计算天体的位置；4、在医学领域中，面积的计算也用于测量细胞的大小，准确地计算出某种细胞的面积；5、在物理学领域，面积的计算帮助分析物质与能量的关系；6、还有更多，以上只是少数概述。

四、总结从上面讲述的可以看出，面积及其计算方法是科学技术中不可缺少的一环，它主要用于测量建筑物、地面工程、天文学以及医学等领域中物体的面积。

要更好地计算面积，我们就需要了解不同的面积计算方法，掌握各种面积计算的公式，并熟练操作，以达到准确测量的目的。

面积问题与面积方法

面积问题与面积方法面积是几何学中的一个重要概念，它描述的是二维平面上的一个区域的大小。

面积问题是与面积相关的数学问题，可以通过不同的面积方法来解决。

面积是一个物体所占据的平面区域的大小。

一般来说，平面上的物体可以被划分为无数个小的矩形、三角形或其他形状的小块，这些小块的面积可以通过不同方法来计算。

以下将介绍几种常见的面积计算方法。

1.矩形面积方法：矩形是最简单的平面图形之一，其面积可以通过公式A=l×w来计算，其中A代表面积，l代表矩形的长度，w代表矩形的宽度。

根据这个公式，我们可以得出一个矩形的面积。

2.三角形面积方法：三角形是另一个常见的平面图形，其面积可以通过两个边长和夹角来计算。

如果已知三角形的底边长度b和对应的高h，可以使用公式A=0.5×b×h计算三角形的面积。

3.梯形面积方法：梯形是一个具有两个平行边的四边形，其面积可以通过两个平行边的长度和梯形的高来计算。

如果已知梯形的上底长a、下底长b和高h，可以使用公式A=0.5×(a+b)×h计算梯形的面积。

4.圆形面积方法：以上介绍了几种常见的面积方法，但实际上还有更多的面积计算方法，例如多边形的面积计算、不规则图形的面积计算等。

不同的图形有不同的面积计算方法，因此在解决面积问题时需要灵活运用不同的方法。

除了基本的面积计算方法外，还有一些面积问题需要通过一些特殊的技巧来解决。

例如，在解决复杂图形的面积问题时，可以通过将图形分割为较简单的几何图形来计算每个部分的面积，然后将这些部分的面积相加得到整个图形的面积。

这种方法被称为分割法。

另一个常见的面积问题是求解一个围成的区域的面积。

例如，给定一条曲线的方程，可以通过求解曲线与坐标轴之间的交点，然后计算每个小的矩形或三角形的面积，并将它们相加得到整个区域的面积。

面积问题在实际生活中有着广泛的应用。

例如，在建筑设计中，设计师需要计算房间的面积以确定材料的用量；在农业中，农民需要计算土地的面积以确定农作物的种植面积；在地理学中，需要计算地图上国家或城市的面积以了解其大小等。

2020初中数学竞赛初三集训面积问题与面积方法专题(含答案)

与 BE 之交点，延长 PQ 交 BC 于 R ，求 BR . RC
解析如图，由梅氏定理 AB DQ CE = 1 ，即 DQ = 10 ，又 AC EQ BD = 1 ，即 EQ = 12 .
DB CQ EA
CQ 27 CE QB DA
QB 25
5/7
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
QAP = QAB + BAP = PAC + BAP = BAC = 60 ，
结合 AQ : AP = 2 :1知， APQ = 90 ，于是 PQ = 3AP = 3 .
所以 BP2 = 25 = BQ2 + PQ2 ，从而 BQP = 90 .于是
AB2 = PQ2 + ( AP + BQ)2 = 28 + 8 3 ，故
（ 90 ），则由四边形的“余弦定理”（见题 13.1.7）：
A
a
d
θ
B O
D
b
c
C
cos = a2 + c2 − b2 − d 2 ， 2 AC BD
于是
S四边形ABCD
=
1 2
AC BD sin
=
1 (a2 4
+
c2
− b2
−
d 2 ) tan
.
一般地，有
S四边形
=
1 4
|
(a2
−
b2
A
E α
θ
D
θ
B
C
由三角形内角和，
−
+
2(2
+)
= 180 ，得
+
=
60

初中数学竞赛：面积问题与面积方法

(3)四边形ABCD中，∠A=30°，∠B=∠D=90°，AB=AD，AC=1，则四边形ABCD的面积是______．
(4)梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于O．若S△ABO=p2，S△CDO=q2，则SABCD=____．
△ABC=40．若BE，CD相交于F，则S△DEF=______．
所以
同理可得
从①，②，③中可以解得
所以
例5在一个面积为1的正方形中构造一个如图2-131所示的正方形：将单位正方形的每一条边n等分，然后将每个顶点和它相对的顶点最接近的分点连接起来．如果小正方形(图中阴影部分)的面积恰
解如图2-131，过F作BC的平行线交BG于H，则∠GHF=∠CED，∠FGH=∠DCE=90°，故
证首先，同例2类似，容易证明
说明本例的结论很重要，在处理三角形内三条线交于一点的问题时，常常可以用这一结论去解决．
例8如图2-134，已知D，E，F分别是锐角三角形ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD，BE，CF相交于点P，AP=BP=CP=6，设PD=x，PE=y，PF=z，若xy＋yz+zx=28，求xyz的值．
5．在直角三角形ABC中，∠A=90°，AD，AE分别是高和角平分线，且△ABE，△AED的面积分别为S1=30，S2=6，求△ADC的面积S．
6．设P是△ABC内一点，AD，BE，CF过点P并且交边BC，CA，AB于点D，E，F．求证：
7．已知△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，AM为BC边上的中线，与DE相交于N，求证：DN=NE．
初中数学竞赛：面积问题与面积方法
几何学的产生，源于人们测量土地面积的需要．面积不仅是几何学研究的一个重要内容，而且也是用来研究几何学的一个有力工具．

2019-初中数学竞赛专题培训第二十二讲面积问题与面积方法

几何学的产生，源于人们丈量土地面积的需要．面积不单是几何学研究的一个重要内容，并且也是用来研究几何学的一个有力工具．下边，我们把常用的一些面积公式和定理列举以下．(1)三角形的面积(i)三角形的面积公式b＋ c) 是半周长， r 是△ ABC的内切圆半径．(ii)等底等高的两个三角形面积相等．(iii)两个等底三角形的面积之比等于高之比；两个等高三角形的面积之比等于底边之比；两个三角形面积之比等于底、高乘积之比．(iv)相像三角形的面积之比等于相像比的平方．(2)梯形的面积梯形的面积等于上、下底之和与高的乘积的一半．(3)扇形面积此中 r 为半径， l 为弧长，θ为弧 l 所对的圆心角的度数，α是弧度数．1．相关图形面积的计算和证明解由于 CD⊥ AB， AC=CB，且△ ABD内接于半圆，由此可得所以，暗影部分AEFBDA的面积是例 2 已知凸四边形 ABCD的对角线 AC，BD订交于点 O，且△ ABC，△ ACD，△ ABD的面积分别为 S1=5， S2=10， S3 =6．求△ ABO的面积 ( 图 2-128) ．解第一，我们证明△ ABC与△ ACD的面积比等于 BO与 DO的比．过 B，D分别作 AC的垂线，垂足为 E， F．于是 Rt△ BEO由题设设 S△AOB=S，则所以例 3 如图 2-129 ， AD， BE，CF 交于△ ABC内的一点 P，并将△ ABC分红六个小三角形，此中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC的面积．剖析假如能把未知的两个小三角形的面积求出，那么△ ABC的面积即可得悉．依据例1，这两个面积是不难求出的．解设未知的两个小三角形的面积为x 和 y，则即又即①÷②得再由②得 x=56．所以S△ABC＝ 84＋ 70＋ 56＋ 35＋40＋ 30=315．例 4 如图 2-130 ，经过△ ABC内部一点 Q引平行于三角形三边的直线，这些直线分三角形为六个部分，已知三个平形四边形部分的面积为S1， S2， S3，求△ ABC的面积．解为方便起见，设S△ QDG=S′1， S△ QIE=S′2， S△ QFH=S′3，则所以同理可得从①，②，③中能够解得所以例 5 在一个面积为 1 的正方形中结构一个如图2-131 所示的正方形：将单位正方形的每一条边n 平分，而后将每个极点和它相对的极点最靠近的分点连结起来．假如小正方形(图中暗影部分 ) 的面积恰解如图 2-131 ，过 F 作 BC的平行线交BG于 H，则∠ GHF=∠ CED，∠ FGH=∠ DCE=90°，故n2-n-90=0 ，所以 n=10．2．利用面积解题有的平面几何问题，固然没有直接波及到面积，但是若灵巧地运用面积知识去解答，往往会声东击西，事半功倍．例 6 在△ ABC内部或界限上任取一点P，记 P 到三边 a，b，c 的距离挨次为x，y，z．求证： ax+by+cz 是一个常数．证如图 2-132 ，连结 PA， PB ， PC，把△ ABC分红三个小三角形，则S△ABC＝ S△PAB＋S△PCB＋ S△PCA所以 ax ＋ by＋cz=2S△ABC，即 ax＋ by＋ cz 为常数．说明若△ ABC为等边三角形，则此即正三角形内一点到三边的距离和为常数，此常数是正三角形的高．例 7 如图 2-133 ，设 P 是△ ABC内任一点， AD， BE，CF是过点 P 且分别交边BC， CA，AB 于 D， E， F．求证：证第一，同例 2 近似，简单证明说明本例的结论很重要，在办理三角形内三条线交于一点的问题时，经常能够用这一结论去解决．例 8 如图 2-134 ，已知 D， E， F 分别是锐角三角形ABC的三边 BC， CA，AB 上的点，且AD， BE， CF订交于点 P， AP=BP=CP=6，设 PD=x， PE=y，PF=z，若 xy ＋ yz+zx=28 ，求 xyz 的值．解由上题知去分母整理得3(xy+yz ＋ zx) ＋36(x+y ＋ z) ＋ 324=xyz+6(xy ＋ yz＋ zx)+36(x+y ＋ z) ＋ 216，2019-2020 年初中数学比赛专题培训第二十二讲面积问题与面积方法。

培优练习 -面积问题与面积方法

面积问题与面积方法
二、借助于等积变形的技巧解题
方法：（1）等积定理：①全等三角形的面积相等；②等底、等高的两个三角形面积相等；③
两个等积三角形，若它们的底相等，则它们的高相等；若它们的高相等，则它们的底相等；④分割图形后各部分面积之和等于原图形的面积.
（2）等底的两个三角形面积之比等于对应高之比，等高的两个三角形面积之比等于对
应底之比.
例2：如图，四边形ABCD 与四边形BEFG 是并列放在一起的两个正方形，O 是BF 与EG 的交点.
如果正方形ABCD 的面积是92
cm ，CG ＝2cm ，则阴影△EDO 的面积是（） A 、6.252
cm B 、5.752cm C 、4.502cm D 、3.752cm
练：2、如图，若长方形APHM ，BNHP ，CQHN 的面积分别为7，4，6，则阴影部分的面积
是 .
Q
P
N M
H
D
B A。

初中数学竞赛教程及练习之面积法附答案

面积法一、内容提翼.因为面积公式是用线段的代数式表示的，所以面积与线段可以互相转换。

运用面积公式及有关面积性质定理解答儿何题是常用的方法，简称面积法。

.面积公式（略）两个三角形的面积比定理.等高（底）的两个三角形的面积比，等于它们对应的底（高）的比.有一个角相等或互补的两个三角形面积的比等于夹这个角两边的乘积的比.相似三角形面积的比等于它们的相似比的平方.有公共边的两个三角形面积的比等于它们的第三顶点连线被公共边分成的两条线段的比（内分比或外分比K a A如图△ABC和AADC有公共边AC,氽M内分BD o第三顶点连线BD被公共边AC/l\/\内分或外分于点M,//X.则』空十尸汶4。

‘△ADC MD定理④是以公共边为底，面积的比等于它们的对应高的比换成对应线段的比二、例题.求证有一个30度角的菱形，边长是两条对角线的比例中项已知：菱形ABCD中，ZDAC=30°求证：ab2=acxbd证明：作高DE,VZDAE=30°.•.de=L ad=L ab S22S菱形abcd=ACXBD./.AB2=ACXBD.求证：等边三角形内任一点到各边的距离的和是一个定值已知：AABC中，AB=BC=AC,D是形内任一点,DE±BC.DF_LAC,DG±AB,E, F.G是垂足求证：DE+DF+DG是一个定值证明：连结DA,DB.DC,设边长为a,‘△abc=S mbc+S adca+S adabC lah a=-J-a(DE+DF+DG)22.•.DE+DF+DGf...等边三角形的高h,是一个定值，...DE+DF+DG是一个定值本题可推广到任意正n边形，其定值是边心距的n倍f aAD BE CF 1已知：AABC 中，——=——=——=-AB BC CA 3求：萨虬的值'△ABCBE （本题可推广到:1—,---=—，m BC n 竺=顼CA p'△DEh mn P + "1 + 〃 + p - mn - nip - np )S A abc mnP如图RtAABC 被斜边上的高CD 和直角平分线CE 分成3个三角形，已知其中两个面积的值标在图中，求第三个三角形的面积X 。

初中数学竞赛专题选讲-面积法

初中数学竞赛专题选讲面积法一、内容提要1. 因为面积公式是用线段的代数式表示的，所以面积与线段可以互相转换。

运用面积公式及有关面积性质定理解答几何题是常用的方法，简称面积法。

2. 面积公式（略）3. 两个三角形的面积比定理① 等高（底）的两个三角形的面积比，等于它们对应的底（高）的比 ② 有一个角相等或互补的两个三角形面积的比等于夹这个角两边的乘积的比③ 相似三角形面积的比等于它们的相似比的平方④ 有公共边的两个三角形面积的比等于它们的第三顶点连线被公共边分成的两条线段的比（内分比或外分比）。

如图△ABC 和△ADC 有公共边第三顶点连线BD 被公共边AC内分或外分于点M ，则MDBM S ADC ABC ＝△△S外分定理④是以公共边为底，面积的比等于它们的对应高的比换成对应线段的比二、例题例1. 求证有一个30度角的菱形，边长是两条对角线的比例中项已知：菱形ABCD 中， ∠DAC ＝求证：AB 2＝AC ×BD证明：作高DE ，∵∠DAE ＝30∴DE ＝21AD ＝21AB S 菱形ABCD ＝AB ×DE ＝21AB 2S 菱形ABCD ＝AC ×BD ， ∴AB 2＝AC ×BDDC B C A C例2. 求证：等边三角形内任一点到各边的距离的和是一个定值已知：△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ，D 是形内任一点，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，DG ⊥AB ，E ，F ，G 是垂足求证：DE ＋DF ＋DG 是一个定值证明：连结DA ，DB ，DC ，设边长为a,S △ABC ＝S △DBC ＋S △DCA ＋S △DAB21ah a ＝21a （DE ＋DF ＋DG ） ∴DE ＋DF ＋DG ＝h a∵等边三角形的高h a 是一个定值， ∴DE ＋DF ＋DG 是一个定值本题可推广到任意正n 边形,其定值是边心距的n 倍例3. 已知：△ABC 中，31===CA CF BC BE AB AD 求：ABCDEF S △△S 的值解：∵△ADF 和△ABC 有公共角A∴ABC ADF S △△S ＝AC AB AF AD ⋅⋅＝AC AB AC 32AB 31⋅⋅＝92，同理92S ABC BED ＝△△S ， ABC CFE S S △△＝92， ∴ABC DEF S △△S ＝31 （本题可推广到：当m AB AD 1=，n BC BE 1=，=CA CF p 1时， ABCDEF S △△S ＝mnp np mp mn p n m mnp ---+++）例4. 如图Rt △ABC 被斜边上的高CD 和直角平分线CE 分成3个三角形，已知其中两个面积的值标在图中，求第三个三角形的面积x 。

初中数学重点梳理：面积问题的解决方法

面积问题与面积方法知识定位能够用正确的方法求解几何的有关面积，并且能够巧算面积，化难为易，化复杂为简单；要熟练的应用几何求几何面积的几种模式，其中主要有等积变换模型、鸟头定理（共角定理）模型、蝴蝶定理模型、相似模型、燕尾定理模型。

知识梳理1、等面积变化模型：（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如下图12::S S a b =（3）夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。

（4）正方形的面积等于对角线长度平方的一半；（5）三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；2、鸟头定理（共角定理）模型：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

（1）共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

（2）如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△1S 2S3、蝴蝶定理模型：任意四边形中的比例关系。

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

① 1243::S S S S =1324S S S S ⨯=⨯ ② ()()1243::AO OC S S S S =++ 4、相似模型：相似三角形：相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：（1）相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；（2）相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

面积问题和面积方法

面积问题和面积方法一．基本公式和定理由于平面上的凸多边形都可以分割若干个三角形，因此在面积公式中，最基本的是三角形面积公式。

1．常见三角形面积公式))()((sin 2121c p b p a p p pr C ab ah S a ABC ---====∆RabcC B A R 4sin sin sin 22==2．常见的面积定理：1．一个图形的面积等于它的各部分面积的和； 2．两个全等图形的面积相等；3．等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等；4．等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高（或底）的比；5．相似三角形的面积比等于相似比的平方；6．等角或补角的三角形面积的比，等于夹等角或补角的两边的乘积的比；等角的平行四边形面积比等于夹等角的两边乘积的比；7．若PAB ∆与DAB ∆的公共边所在直线与直线PD 交于M ，则DMPMS S DAB PAB =∆∆。

二。

面积问题例1．设G 是ABC ∆内一点，且ABC ∆，BCG ∆，CAG ∆的面积都相等。

证明：G 是ABC ∆的重心。

例2．锐角ABC ∆的顶点A 的内角平分线交BC 于L ，又交三角形的外接圆于N ，过L 分别作AB 和AC 边的垂线KL 和LM 于K 和M ，求四边形AKNM 的面积等于ABC ∆的面积。

例3．三边长为c b a ,,的ABC ∆内切圆，作三条分别平行于三角形三边的切线，从ABC ∆上截得三个新的小三角形，求这四个三角形的内切圆的面积和例4．给定半径为r 的圆上定点P 的切线l ，由此圆上的动点R 引RQ ⊥l ，交l 于Q ，试确定面积最大的PQR ∆。

例5．如图，在ABC ∆中，P 为边BC 上任意一点，PE ∥AB ，PF ∥AC ，若1=∆ABC S ，求证：PCE BPF S S ∆∆,和S AFPE 中至少有一个不小于94例6．如图，已知其中阴影所示的四个三角形AHF 、BDI 、CEG 、GHI 面积均相等。

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