(3)公路隧道横断面形式的优化设计

道横断面积不变 , 即
∫f ( x) dx = a
(1)
S
式中 : f ( x) 为 通 过 点 A、E、I 的 曲 线 S
(ABCEGHI) 要满足两个边界条件 。边界条件一 :
其外范围为由直线 AI、过点 E 且平行于 AI 的直线
和分别过 B 、H 点且垂直于 AI 的直线构成的矩形 ;
边界条件二 : 其内范围为由点 ACDFGIA 围成的多
本文将从实用的角度 , 用穷举法求出欧拉方程式
(4) 的渐近解 。
在常用曲线[3]中 , 下列曲线
椭圆曲线
xa22
+
y2 b2
=1
(6)
帕斯卡螺线 ( x2 + y2 - ay2) 2 = b2 ( x2 + y2)
(7)
பைடு நூலகம்
卡西尼卵形线 ( x2 + y2) 2 - 2 c2 ( x2 - y2) =
边形 。A 、I 为曲线 S (ABCEGHI) 的起终点 。这就
是要求在满足约束条件式 (1) 和两个边界条件下 ,
求最短曲线 S (ABCEGHI) , 即求式
∫ 1 + ( f′( x) ) 2 dx = s
(2)
S
的极小值 。由变分法原理 , 得
U = ∫ [ 1 + ( f′( x) ) 2 +λf ( x) ] dx (3) S
浙江交通职业技术学院学报 , 第 2 卷第 2 期 , 2001 年 6 月 Journal of Zhejiang Vocational and Technical Institute of Transportation Vol. 2 NO. 2 , June 2001
公路隧道横断面形式的优化设计
图三 三圆拟合断面
如图三所示 , 在椭圆曲线的几何作图方法中 , 利用长轴和短轴的关系 , 先确定点 J 、K 和 R1 、 R2 。然后以 O1 为圆心 、R1 为半径 , 画弧 J EK; 以 O2 为圆心 、R2 为半径 , 画弧 ABJ (或 KHI) 。这里 要保证点 C、G在圆弧 ABJ 和 KHI 以内 。这就是工 程施工中椭圆的常用放样方法 , 详见文献[1] 。
横断面积不变的条件下 , 就是要求曲线 ABCEGHI
最短时的 R1 、R2 、O1 、O2 尺寸和位置 。当然这样
求得的曲线 , 用数学的语言讲曲线 ABCEGHI 在点
C、G处是不连续的 , 直观地讲在点 C、G 处存在
拐角 , 在一定的程度上影响美观 。下面用数学的角
度 , 来寻找连续曲线 ABCEGHI。如图一 , 假设隧
周一勤 诸葛温君 郑建州
(温州市高速公路工程建设总指挥部 温州 325000)
吴连勋
(温州交通工程设计院 温州 325000)
(杭州畅顺交通工程监理钟咨国询有强限公司 杭州 310006)
摘 要 隧道工程在我国公路中占有的比重越来越大 , 其优化设计成为当前的一个 重要科技攻关课题 。本文用变分法原理进行分析讨论 , 认为椭圆曲线是隧道横断面 的一种优化形式 , 并推荐在公路工程中使用 。 关键词 公路隧道 横断面 椭圆曲线 圆曲线 优化设计 中图分类号 U452. 2 文献标识码 A 文章编号 1671 - 234X (2001) 02 - 0001 - 04
0 前言
随着现代化建设的快速发展 , 我国公路交通事 业的建设规模越来越大 。由于中国有三分之二的国 土为山地或重丘 , 所以公路隧道作为公路工程的一 个重要组成构造物也得到了迅猛的发展 。据不完全 统计 , 截止 1999 年底 , 中国公路 隧道 总 数 为 1217 座 , 总 长 度 为 4061747 公里 。在隧道岩承设计理 论和新奥法施工方法等方面 , 使公 路隧道的设计和施工进入了一个新 的阶段 。但由于公路隧道工程地质 复杂 、施工工序繁多 、开挖衬砌断 面大 , 在科学的设计理论指导下 , 提倡优化设计 , 最大限度地满足安 全 、适用 、经济 、美观的要求 , 是 一个值得探讨的问题 。许多学者对 此作了专门的论述[1] , 并建议把这 一问题列入今后一段时间内公路隧
(a) 在 ABC 段 , 三圆复合断面 B 点在椭圆曲 线外侧 , 三圆拟合曲线的 A 点在椭圆曲线外侧 ;
(b) 在 CE 段 , 三圆复合断面在椭圆曲线内 侧;
(c) 在 J E 段 , 三圆拟合曲线在椭圆曲线外侧 。 此外 , 从表 1 可以看出 , 在这三种曲线中 : (d) 三圆复合断面和三圆拟合曲线的两半径比 分别为 1 : 01654 和 1 : 01723 , 从几何特性来看 , 三圆拟合曲线要优于三圆复合断面 ; (e) 椭圆曲线的弧长度最短 、截面积最小 , 且 为连续光滑的曲线 , 为最优曲线 。 在实际作图时 , 三圆拟合曲线是唯一确定的一 条拟合曲线 , 而三圆复合曲线不是唯一确定的一条 拟合曲线 , 可以有任意条三圆复合曲线 , 这就是文 献 [ 1 ] 的求解方法 。求三圆复合曲线的一般作法 是根据它与曲线的相对位置 (a) 、(b) 求得 , 且两 半径大小要尽量接近 。 312 力学特性简单分析 从表 1 可以看出 , 三圆复合曲线 、三圆拟合曲 线与椭圆曲线比较 , 其坐标相对偏差均小于 3 % , 故这三种曲线的受力特性相差不大 。 313 初步分析 (a) 上述三种曲线均能作为隧道横断面优化设 计断面 , 其中 : 椭圆曲线断面是唯一且连续的 , 三 圆拟合曲线是椭圆曲线的近似拟合 , 故这两种曲线 均为优化设计曲线 , 可直接求得 ; 三圆复合曲线不 是唯一和连续的 , 需要多次试算或用其他方法求出 优化解 。 (b) 由于椭圆曲线断面是唯一且连续的 , 保证 了断面的光滑 、美观和受力连续变化 , 因此椭圆曲 线断面是公路隧道首选的断面形式 。习惯上不把椭 圆曲线断面作为公路隧道的断面形式 , 主要原因可 能是 : 一是过去用圆规制图 , 无法画出椭圆曲线 ; 二是圆曲线在受力计算上简单 。随着计算机辅助设 计和计算机计算技术的广泛应用 , 过去的弊反而变 成了今日的利 。因为 , 用 AutoCAD 画一次椭圆比 画三次圆弧要快捷 ; 在用计算机软件计算结构内力 时 , 采用连续的椭圆曲线函数比用间断的三圆拟合 曲线函数要简明快速 。例如 , 笔者应用 Mathcad710 能方便地进行椭圆函数的初等 、高等运算和数值计 算 , 实际上比运算间断的三圆拟合曲线函数要方便
附注 : 本文曾在浙江省公路学会 2000 年年会 上交流 , 略有增删 。
参考文献
〔1〕吴金木. 公路隧道衬砌最优设计探讨 〔J〕. 中国公路学报. 1996 (2) . 〔2〕蒋树屏. 我国公路隧道工程技术的现状及展望 〔D〕. 中国公路学会. 1999 年学术交流论文集. 〔3〕数学手册编写组. 数学手册 〔M〕. 北京 : 人民教育出版社 , 1979.
O1 为圆心 、R1 为半径 , 画弧 CEG; 以 O2 为圆心 、 R2 为半径 , 画弧 ABC (或 GHI) 。这就是隧道横断 面设计时经常采用的方法 , 称之为三圆复合断面 。
第 2 期 周一勤 诸葛温君 郑建州等 : 公路隧道横断面形式的优化设计
3
212 工程施工中常用的拟合形式
3 三种横断面形式的比较
下面用实例 [ 1 ] 将三种横断面形式从曲线坐 标 、曲线长度 、断面积 、结构计算 、工程设计和施 工便利等方面进行比较 。 311 几何数据比较
公路隧道断面尺寸如图一 , 据文献 [ 1 ] 三优 化三圆复合断面设计结果为 : R1 = 51780m , R2 = 31783m , O1 、O2 的 坐 标 分 别 为 ( 0 , - 11024 ) 、 (11767 , 0) 。三圆拟合形式 ( 二) 数据为 : R1 = 61011m , R2 = 41344m , , O1 、O2 的坐标分别为 (0 , - 11255) 、 (11097 , 0) 。三种曲线几何数据比较见 表 1。
2
浙江交通职业技术学院学报
复合断面 , 衬砌横断面的规划设计在满足使用要求
的净空尺寸和荷载条件的前提下 , 要达到经济和美
观的目的 , 这就是优化设计的基本目标 。如图一所
示的隧道横断面 , 弧 ABC、CEG 和 GHI 组成隧道
的横断面 , 优化设计的目的就是要选取 R1 、R2 、
O1 、O2 尺寸和位置 。用数学的角度来看 , 在隧道
其欧拉方程为
d x
〔99yF′〕 -
9F 9y
=
0
dy = 0
(4)
dx x = 0
式中 :
F = 1 + ( f′( x) ) 2 +λf ( x)
(5)
在式 (4) 中的第一式 : (a) 、若同时不满足约
束条件式
( 1) 、两 个 边 界 条 件 和 ,
dy dx
= 0 x=0 ,
三圆复合 2 断面 - 51000 - 51504 11875 31190 41756 191941 601591
三圆拟合 3 断面 - 51015 - 51441 11907 31271 41756 191929 601780
从表 1 可以看出 , 若以椭圆曲线为标准 , 两 种三圆复合 、拟合断面曲线的相对位置关系为 :
4
浙江交通职业技术学院学报
得多 。 (c) 在施工放样方面 , 用坐标法放样椭圆曲线
与三圆曲线是一样方便的 。
4 结语
式。 (b) 长期以来 , 工程界一直习惯以三圆弧作为
公路隧道的横断面形式 , 而实际上它有时并不一定 是一种最佳的断面形式 , 因此有必要对这种断面形 式作讨论 。
(a) 椭圆曲线是公路隧道横断面的一种优化曲 线 , 具有函数连续 、光滑美观 、受力合理 、设计计 算便利等优点 , 可作为公路隧道的一种横断面形
道工程十大科技攻关课题[2]之一 。本文根据我国公 路隧道的特点 , 对公路隧道横断面形式提出优化设 计意见 。
1 公路隧道横断面的优化形式
目前 , 我国公路隧道的横断面形式一般为多圆
图一 三圆复合断面
收稿日期 : 2001 - 04 - 24 作者简介 : 周一勤 (1956 - ) , 男 , 高级工程师
且仅通过 A 、E、I 三个控制点 , 则所求曲线是一
条过三点 A 、E、I 的折线 (这就是著名的短程线
问题) ; (b) 、不满足两个边界条件 , 则所求的曲线
是一个圆 (这就是著名的等周问题) , 且不一定同
时通过 A 、E、I 三个控制点 。经分析 , 在数学上
要严格地解欧拉方程式 (4) 是非常困难的 。因此
The Optimize Design for the Transect of Highway Tunneling
Zhou Yiqin Zhuge Wengjun Zheng Jianzhou
表 1 公路隧道优化断面几何数据比较表
序 项 目
A
号
x (m )
B x (m )
J 垂直 C 截 面 E y (m ) y (m ) y (m )
弧长度 截面积 (m) (m2)
椭圆曲线 1 断面 - 51000 - 51441 11875 31265 41756 191922 601510
a4 - c4
(8)
x= 圆外旋轮线
y=
( a + b) ( a + b)
cos t -
bcos
a
+ b
bt
sin t -
bsin
a
+ b
bt
(9) 等满足方程式 (4) 、约束条件式 (1) 和两个 边界条件 。经分析和初步计算 , 常用的椭圆曲线为 最佳的渐近解 , 且函数形式简单 。即以 AC 或 IG 距离的中点为 x 轴 , 过 E 点且垂直 x 轴为 y 轴 , 式 (6) 就是标准的椭圆曲线方程 , 图二就是椭圆的标 准方程曲线 。实际上 , 对于横断面上的任意三点 , 椭圆曲线对于 y 轴对称 , 可设椭圆曲线方程为
图二 椭圆优化断面
x2 a2
+
(
y
- y0) 2 b2
=1
(10)
式中 : y0 为 A 点的纵坐标 , 故由横断面上的
任意三点 (一般为 A 、C、E 三点) , 即可确定椭圆
曲线方程式 (10) 。
2 椭圆曲线的拟合形式
211 工程设计中常用的拟合形式 如图一所示 , 这就是常用的三圆心断面 。以