高中数学复习：对数的概念及运算练习及答案

高中数学复习：对数的概念及运算练习及答案
题组1 对数的概念
1.在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A.a >5或a <2 B.2<a <3或3<a <5 C.2<a <5
D.3<a <4
2.使对数log (21)a a -+有意义的a 的取值范围为( ) A.1
2
a >
且1a ≠ B.102
a <<
C.0a >且1a ≠
D.12
a <
3.使对数()log 21a a -+有意义的a 的取值范围为（ ）
A.()1,11,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
B.10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
C.()()0,11,+∞
D.1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
对数式与指数式的互化
4.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ） A.0
1e =与ln10=
B.13
1
8
2
-
=
与811log 23=-
C.3log 92=与1
293= D.7log 71=与177=
5.若1
log 2
m n =，则下列各式正确的是（ ） A.12
n m =
B.2m n =
C.2n m =
D.2n m =
6.将指数式bc a N =转化为对数式，其中正确的是（ ） A.log c
a b N = B.log ab c N =
C.log c a b N =
D.log b
a c N =
7.若log x
z =，则（ ）
A.7
z
y x =
B.7z
y x =
C.7z
y x =
D.7x
y z
=
8.若实数a ，b 满足3412a b ==，则11
a b
+=（ ） A.
12
B.
15
C.16
D.1
9.将下列指数式改为对数式： （1）2
1
3
9
-=
，对数式为_____________；
（2）1
28=___________； （3）3
481x -=，对数式为_____________； （4）9x e =，对数式为_____________.
10.根据指数式与对数式的相互转化，由lg1002=得到的指数式为___________
11.已知()12
409
a a =
>，则2
3log a = __________ . 12.设,,x y z R +
∈，满足236x y z ==，则11
2x z y
+-的最小值为__________. 13.将下列对数式改写成指数式：
（1）2
log 646=； （2）31
log 481
=-； （3）
l g0.0013=-； （4）12
log 42=-.
对数的运算 14.设25a b m ==，且11
2a b
+=，则m =（ ）
B.10
C.20
D.100
15.设0.3log 0.6m =，21
log 0.62
n =，则（ ） A.m n m n mn ->+> B.m n mn m n ->>+
C.m n m n mn +>->
D.mn m n m n >->+
16.若235log log log 1x y z ==<-，则（ ） A.235x y z <<
B.532z y x <<
C.325y x z <<
D.523z x y <<
17.已知0a >，0b >，8ab =，则22log log a b ⋅的最大值为（ ）
A.
32
B.
94
C.4
D.8
18.如果方程2
lg (lg 2lg 3)lg lg 2lg 30x x +++=的两根为1x 、2x ，则12x x 的值为（ ） A.lg 2lg3 B.lg 2lg3+
C.
16
D.6-
19.化简计算：
（1）0
16
0.253
61.5
87-⎛⎫
⨯-+ ⎪⎝⎭
（2）lg5lg 20lg 2lg50lg 25⋅-⋅-.
20.下列结论正确的是____________ ①1
()2(0,1)x f x a
a a -=+>≠的图像经过定点(1,3)；
②已知28
log 3,43
y
x ==
，则2x y +的值为3； ③若3
()6f x x ax =+-，且(2)6f -=，则(2)18f =；
④11
()(
)122
x f x x =--为偶函数； ⑤已知集合{}{}1,1,|1A B x mx =-==；且B A ⊆，则m 的值为1或-1.
21.1
051lg 2lg 2222-⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭
______. 22.已知4log 9a =，2log 5b =，则22a b +=_________. 23.已知1a b >>，若10
log log 3
a b b a +=，b a a b =，则+a b = .
24.已知a ＝2020
log b ＝2019log c ＝20191
2020，则__.（比较大小）
25.若幂函数()()
2
57m
f x m m x =-+在R 上为增函数,1log
2
log
2lg 5lg 4m
m
m
++=____________
.
答案
1.在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A.a >5或a <2 B.2<a <3或3<a <5 C.2<a <5 D.3<a <4
【答案】B
【解析】由对数的定义知505202213a a a a a a -><⎧⎧⎪⎪
->⇒>⎨⎨⎪⎪-≠≠⎩⎩
所以2<a <3或3<a <5.选B.
2.使对数log (21)a a -+有意义的a 的取值范围为( ) A.1
2
a >
且1a ≠ B.102
a <<
C.0a >且1a ≠
D.12
a <
【答案】B
【解析】要使对数有意义，则21001a a a -+>⎧⎪
>⎨⎪≠⎩
，
解得102
a <<， 故选：B.
3.使对数()log 21a a -+有意义的a 的取值范围为（ ）
A.()1,11,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
B.10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
C.()()0,11,+∞
D.1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
【答案】B
【解析】使对数()log 21a a -+有意义的a 需满足01210a a a >⎧⎪
≠⎨⎪-+>⎩
,
解得102
a <<. 故选B.
4.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）
A.0
1e =与ln10=
B.13
1
8
2
-
=
与811log 23=-
C.3log 92=与1
293= D.7log 71=与177=
【答案】C
【解析】01ln10e =⇔=，故A 正确；
1
3
1
8
2
-
=
⇔811log 23=-，故B 正确；
2
3log 9239=⇒=，1
2
91
93log 32
=⇒=，故C 不正确； 17log 7177=⇔=，故D 正确.
故选：C . 5.若1
log 2
m n =，则下列各式正确的是（ ） A.12
n m =
B.2m n =
C.2n m =
D.2n m =
【答案】B
【解析】由log a b c =得c a b =，从而由1
log 2
m n =可知12m n =，即2m n =. 故选:B.
6.将指数式bc a N =转化为对数式，其中正确的是（ ） A.log c
a b N = B.log ab c N =
C.log c a b N =
D.log b
a c N =
【答案】C 【解析】()
b
bc c a a N ==，则log c a b N =，()b c
bc a a N ==，则log b a c N =.
故选：C.
7.若log x
z =，则（ ）
A.7
z
y x = B.7z
y x =
C.7z
y x =
D.7x
y z
=
【答案】B
【解析】由指数与对数的转化,可得
log x z =
则z x =
即7z
y x = 故选:B
8.若实数a ，b 满足3412a b ==，则11
a b
+=（ ） A.
12
B.
15
C.16
D.1
【答案】D
【解析】因为3412a b ==，所以34log 12,log 12a b ==，
121212341111log 3log 4log 1211212
a b log log +=+=+==. 故选D.
9.将下列指数式改为对数式： （1）2
1
3
9
-=
，对数式为_____________； （2
）1
28=___________； （3）34
81
x -=，对数式为_____________；
（4）9x e =，对数式为_____________.
【答案】3
1log 29=-
81
log 2
= 813log 4=-x ln9=x
【解析】(1) 利用互化公式可得，2
139-=31log 29
⇔=-.
(2)
利用互化公式可得，128
=81
log 2
⇔=
(3) 利用互化公式可得，3481x -=813
log 4
x ⇔=-
(4) 利用互化公式可得，9x e =ln9x ⇔=. 故答案为: 3
1log 29=-
；81log 2
=；813
log 4=-x ；ln9=x .
10.根据指数式与对数式的相互转化，由lg1002=得到的指数式为___________ 【答案】210100=
【解析】由指数式与对数式的相互转化关系：log (0,1)x
a a N x N a a =⇔=≠＞，
可得lg1002=得到的指数式为：210100=， 故答案为：210100=. 11.已知()12
409
a a =>，则2
3log a = __________ . 【答案】4
【解析】21
2
4293a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴4
23a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，∴
23log 4a =.
故答案为：4.
12.设,,x y z R +
∈，满足236x y z ==，则11
2x z y
+
-的最小值为__________.
【答案】【解析】,,x y z R +
∈，令1236x y z t ==>=， 则236log ,log ,log ,x t y t z t ===
11
log 3,log 6t t y z
==，
211
22log log 2t x t z y
+-=+≥
当且仅当2
x =
时等号成立.
故答案为:13.将下列对数式改写成指数式：
（1）2
log 646=； （2）31
log 481
=-； （3）
l g0.0013=-； （4）
12
log 42=-.
【答案】（1）6264=；（2）4
1381-=；（3）3100.001-=；（4）2
142-⎛⎫= ⎪⎝⎭
. 【解析】（1）62
log 646264=⇔=. （2）4311
log 438181
-=-⇔=. （3）3
l g0.0013100.001-=-⇔=.
（4）2
12
1log 4242-⎛⎫
=-⇔= ⎪⎝⎭.
14.设25a b m ==，且11
2a b
+=，则m =（ ） A.10 B.10
C.20
D.100
【答案】A
【解析】因为25a b m ==， 所以25log ,log a m b m ==， 所以
11
log 2log 5log 102m m m a b
+=+==， 210m ∴=，
又
0m >，
∴10
m =.
故选：A
15.设0.3log 0.6m =，21
log 0.62
n =，则（ ） A.m n m n mn ->+> B.m n mn m n ->>+
C.m n m n mn +>->
D.mn m n m n >->+
【答案】A
【解析】0.30.3log 0.6log 10m =>=,2211
log 0.6log 1022
n =
<=,则0mn < ()()20m n m n n --+=->,m n m n ∴->+
0.60.60.60.611
log 0.3log 4log 1.2log 0.61m n
+=+=<= m n mn ∴+>
故选:A.
16.若235log log log 1x y z ==<-，则（ ） A.235x y z << B.532z y x <<
C.325y x z <<
D.523z x y <<
【答案】B 【解析】
235log log log 1x y z ==<-
∴设235log log log k x y z ===，则1k <-，
则2,3,5k k k
x y z === 则1
1122
,33,55k k k x y z +++===
设函数()1
k f t t
+=，
1,10k k <-∴+<
()f t ∴在()0,t ∈+∞单调递减 ()()()532f f f <<
即111532k k k +++<<，因此532z y x << 故选B 项.
17.已知0a >，0b >，8ab =，则22log log a b ⋅的最大值为（ ） A.
32
B.
94
C.4
D.8
【答案】B
【解析】0a >，0b >，8ab =， 则22log log a b 222(log 8log )log b b =- 22(3log )log b b =-
2223log (log )b b =- 2
2939
log 424b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
.当且仅当322b =时，函数取得最大值94
. 故选：B.
18.如果方程2
lg (lg 2lg 3)lg lg 2lg 30x x +++=的两根为1x 、2x ，则12x x 的值为（ ）
A.lg 2lg3
B.lg 2lg3+
C.
16
D.6-
【答案】C
【解析】由题意1lg x 、2lg x 是关于t 的方程2
lg 6lg 2lg 30t t +⋅+=的两根， ∴()12121lg lg lg lg 6lg 6x x x x =+=-=，∴1216
x x =， 故选：C. 19.化简计算：
（1）0
16
0.253
61.5
87-⎛⎫
⨯-+ ⎪⎝⎭
（2）lg5lg 20lg 2lg50lg 25⋅-⋅-. 【答案】（1）110；（2）-1 【解析】（1）原式1
1313
3
23
44
32222323-
⎛⎫
⎛⎫=+⨯+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
113
3
22210833⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
110=
（2）原式()
()2
2
lg5lg 25lg 2lg 510lg5=⨯⨯-⋅⨯-
()()lg52lg2lg5lg2lg512lg5=⨯+-⋅+-
()2
2lg 2lg5lg5lg 2lg5lg 22lg5=⋅+-⋅-- ()()2lg 2lg5lg5lg 2lg5lg5=⋅+-+-
()lg5lg2lg51lg5=⋅+--
lg51lg51=--=-
20.下列结论正确的是____________ ①1
()2(0,1)x f x a
a a -=+>≠的图像经过定点(1,3)；
②已知28
log 3,43
y
x ==
，则2x y +的值为3； ③若3
()6f x x ax =+-，且(2)6f -=，则(2)18f =；
④11()()122
x f x x =--为偶函数； ⑤已知集合{}{}1,1,|1A B x mx =-==；且B A ⊆，则m 的值为1或-1.
【答案】①②④
【解析】①当1x =时，f （1）02123a =+=+=，则函数的图象经过定点(1,3)；故①正确，
②已知2log 3x =，843y
=，则2823y =，282log 3
y =， 则2222882log 3log log (3)log 8333x y +=+=⨯==；故②正确， ③若3()6f x x ax =+-，且(2)6f -=，则32266a ---=，即10a =-，
则f （2）32210618=-⨯-=-，故③错误；
④函数的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，1112()()?1222(12)
x
x x f x x x +=-=--， 则122112()?··()2(12)2(21)2(12)
x x x
x x x f x x x x f x --+++-=-=-==---， 即()f x 为偶函数，故④正确，
⑤已知集合{1A =-，1}，{|1}B x mx ==，且B A ⊆，当0m =时，B =∅，也满足条件，故⑤错误， 故正确的是①②④，
故答案为：①②④ 21.1
051lg 2lg 2222-⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭
______. 【答案】0 【解析】1
025155lg 2lg 22lg lg 221lg(4)102222-⎛⎫+-+=+-+=⨯-= ⎪⎝⎭
. 故答案为：0.
22.已知4log 9a =，2log 5b =，则22a b +=_________.
【答案】45.
【解析】根据对数的运算性质，可得422log 9log 3,log 5a b ===，
则22log 3log 5223,225a b ====，
所以()2222223545a b a b +=⋅=⨯=.
23.已知1a b >>，若10log log 3a b b a +=
，b a a b =，则+a b = .
【答案】【解析】因为1a b >>，所以log 1b a >，又10log log 3a b b a +=， 110log log 3b b a a +=，整理得2103(log )10log 3,3b b a a -+= 解得log 3b a =或1log 3
b a =（舍去） 因此3a b =，因为b a a b =，所以33b b b b =，
33,1,b b b b a =>∴==
a b +=
24.已知a ＝2020
log b ＝2019log c ＝201912020，则__.（比较大小） 【答案】c ＞b ＞a
【解析】因为c ＝201912020＞1，a ＝2020log 202011log 201922<，
b ＝2019log 20191log 20202∈（
12
，1），∴c ＞b ＞a ， 故答案为：c ＞b ＞a 25.若幂函数()()
257m f x m m x =-+在R 上为增函数,则1log
2log 2lg 5lg 4m m m
++=____________ . 【答案】4
【解析】()()
257m f x m m x =-+在R 上为增函数， 25710
m m m ⎧-+=∴⎨>⎩，解得3m =，
1log
2log 2lg 5lg 4m m m
∴++
31log 23log lg 25lg 43=++ 3
231log 3lg1002=++ 312422=++=，故答案为4.。