完善教学设计,提高课堂效率

完善教学设计，提高课堂效率

——任意角三角函数概念教学反思

杭州市余杭高级中学 吴寅静

10月18日课题组第七次会议上，观摩了陶维林和白涛两位老师的《任意角三角函数》的概念教学课，使我对任意角三角函数概念的教学有了更深刻的理解。10月28日我到福建三明市上了一堂任意角三角函数的公开课，这一实践使我对这一节教学内容有了更深的认识。

借班上课的困难主要来源于教师对学生不了解，即使像陶老师、白老师这样的专家型教师也出现了没有实现教学设计的目标的状况。为了避免这种情况再次发生，我在陶老师和白老师的教学设计基础上，重新进行教学设计，努力压缩概念的生成时间，减少习题容量，争取一节课达到预设目标。

但在实际教学中，即便是减少了教学容量，降低了教学要求，预设的教学目标和任务还是没有达成，这不由得使我思考其深层原因。为了更好地说明问题，我把整堂课的大致过程呈现如下。

一、教学过程

1．回顾锐角三角函数的定义

师：在初中，我们已学过锐角三角函数，锐角三角函数的正弦是如何定义的？ 生：是对边比邻边的比值。

师：哪个对边比邻边？

生：直角三角形中的对边比邻边。

师：对。我们可以在锐角的终边上取一点P ，作与始边垂直的直线，交始边于M ，形成Rt △OMP ，那么OM

MP OP OM OP MP ===αααtan ,cos ,sin 。 师：对于一个确定的锐角，上述比值是确定的。对于不同的锐角，是否可以用上述方法确定相应的比值？

生齐答：可以。

利用几何画板进行角的终边变化，学生可以发现当锐角发生变化时，这三个三角函数值也在改变。

师：锐角三角函数的自变量是什么？函数值是什么？自变量变化范围是多少？ 生：自变量是角，函数值是比值，自变量范围为

90~0。

师：能用弧度来表示吗？ 生：），（2

0π

。 2．任意角三角函数定义的生成

师：角的范围已推广到了任意角，你认为任意角的三角函数该怎样定义比较合理呢？ 学生没有反应，有些学生在看书，希望能从书本中找到答案。

师：能不能继续在直角三角形中定义任意角三角函数？

生：能，也可以是比值。

师：那么如果角是钝角呢？

学生沉默。

师：现在角的范围扩大了，你们认为该把角放在哪里研究比较好？

生：直角坐标系中，因为在直角坐标系中角的范围可以扩大到任意角。

师：很好，那么在直角坐标系中，当角是锐角时，沿用直角三角形的比值定义可不可以？ 生：可以。

师：那么角是其他象限角时再用这个长度的比值进行定义可不可以？

生一齐答：可以。

沉默一阵后，有学生说：“好象不可以”。

师：为什么不可以？

生：好象角的三角函数值应该有正负。

师：很好，那么如何解决这个问题呢？

学生沉默。

师：长度没有正负之分，那么在直角坐标系中，什么是有正负之分的呢？

个别学生答：坐标。

师：很好，那么我们可不可以用坐标来表示任意角的正弦、余弦、正切值呢？

生：要加绝对值。

师：为什么要加绝对值。

生：因为有正负问题。

师：那么坐标本身就具有正负性，用坐标的正负来体现三角函数的正负性是否可以？ 部分学生回答“可以”，部分学生持怀疑态度。

师：大家有没有办法把所得到的定义式变得简洁些？

生：把分母的长度变成1。

师：我们把角的终边上的点选在终边与单位圆的交点P （x ，y ），那么这3个三角函数值如何表示？ 学生齐答：x

y x y ===αααtan ,cos ,sin 。 师：现在如果要你求某个角的三角函数值，你会怎么求？如求πsin 的值？

绝大部分学生不知如何解决这个问题。

师：我们首先先求出角π的终边与单位圆的交点的坐标，然后再利用定义求出πsin 。结果为0。 师：那么2

3sin π的值呢？ 有些学生找到了解题思路，回答“值为-1”，还有部分学生还是没有感觉。

上到这里，课堂已进行了25分钟左右。（整堂课40分钟）

3．任意角三角函数概念的理解

师：现在我们把三角函数的概念已从锐角拓广到了任意角，那么根据任意角三角函数的定义，x

y x y ===αααtan ,cos ,sin 的定义域分别是什么？ 生：x y ==ααc o s ,s i n 的定义域都是R ，x

y =αtan 的定义域为⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈)(2,Z k k R ππααα。 师：你能根据三角函数定义说出三种三角函数值在各象限的符号情况吗？

学生完成课本P13的填空，基本能顺利回答这两个问题。

4．对任意角三角函数概念的进一步理解和巩固

练习1：根据定义，请你求下列角的三角函数值。

（1）2cos

π；（2）)611sin(,613sin ,6sin πππ-。 生：2cos π

的值为1。

在其他学生纠错后，该生也发现自己把角的终边位置搞错了。 生：6116136ππ

π-，，的终边是同一条射线，因此它们的值都是2

1。 师：很好，同学们能从练习（2）中得到什么规律？

生；终边相同的角的正弦值相等。即απααπαcos )2cos(,sin )2sin(=+=+k k ， )(tan )2tan(Z k k ∈=+απα。

师：你能用文字语言对这组公式进行表述吗？

有些学生表述不清楚，有些学生看书回答。

师：你认为这一组公式的作用是什么？

学生沉默。

师：它的作用在于我们可以把任意角的三角函数值问题转变为求0~2π的三角函数值问题。 例1．确定下列三角函数值的符号，然后再求出它们的值：

（1）49sin π； （2））（ 45cos -； （3）)6

11tan(π-； （4）π3tan 。 学生在做这个例题时，40分钟教学时间已经超出了。

师：过去我们就学过了锐角三角函数，今天又学习了任意角的三角函数，它们的差别在哪里呢？

生1：三角函数的定义式改变了。

生2：定义域范围变大了。

二、听课后教师们的反应

教师1：如果这样上课，一个模块36课时是远远不够的。

教师2：吴老师平时就是这样上课的吗？进度来得及吗？

教师3：我们的学生程度是比较差的，要让所有的学生都理解数学的概念是不现实的。这样的教学对于好生效果可能会好一些，接受能力差一些的学生没有练习怎么行？ 教师4：只有概念的教学，没有足量的练习，学生如何做练习，如何参加高考？

教师5：没有高考的约束，我也认为数学课应该这样上，但是现在这样的约束条件下，我不会这样上的。

从教师的反应可以看出，这样的教学效率教师是无法接受的。这堂课犹如一粒小小的石子，在福建三明市的高一数学教师中掀起了一波小小的涟漪后再无声息。但是于我却没有平息，为什么数学概念教学会产生这样的结果？难道仅仅是课堂教学问题吗？

三、反思

回顾整堂课，教学重心是任意角三角函数的定义，为了让学生生成这个定义，我在课堂上花了大量的时间和精力（占到整堂课二分之一左右的时间），但学生并没有完全理解这个定义，后续练习的准确率也不高。

课改如果不能提高教学效率，很难得到教师的认同。当教学重心放在概念的生成过程时，课堂练习时间必然减少，解题技能的训练也就必然减少。如何平衡好这两者的关系呢？笔者通过参与课题活动以及自己的实践，得到如下粗浅的认识。