2020-2021年高一数学《向量共线定理》教案1
苏教版高中数学必修四《向量共线定理》教案1
2.2.4 向量共线定理教学目标：1．理解两个向量共线的含义，并能运用它们证明简单的几何问题；2．培养学生在学习向量共线定理的过程中能够相互合作,在不断探求新知识中，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.教学重点：共线向量定理的应用.教学难点：共线向量定理的应用.教学过程：一、问题情境问题1 上一节中蚂蚁自西向东3秒钟的位移对应的向量为3a ，记b ＝3a ，b 与a 共线吗？aO A（给出线性表示：如果b λ=a (a ≠0)，则称向量b 可以用非零向量a 线性表示）二、学生活动问题2 对于向量a 和b ，如果有一个实数λ，使得b λ=a ，那么a 与b 共线吗？ （可以引导学生从λ的不同取值来探讨）（若有向量a 和b ，实数λ，使b λ=a ，则由实数与向量积的定义知：a 与b 为共线向量）问题3 如果向量a 和b 共线，是否存在一个实数λ，使b λ=a ？（若a ≠0，a 与b 共线且|b |:|a |μ=，则当a 与b 同向时b μ=a ；当a 与b 反向时b =-μa ，从而向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b λ=a .）三、构建教学1．整理归纳向量共线定理．B D A CE 如果有一个实数λ，使b λ=a (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b λ= a.2．对定理的理解与证明问题4 为什么要求a 是非零的？b 可以为0吗？若a ＝0，则a , b 总共线，而b ≠0时，则不存在实数λ，使b λ=a 成立；而b = a ＝0时，不管λ取什么值，b λ=a 总成立，λ不唯一.问题5：结合问题2，3的探求，能不能完善定理证明（可以让学生大胆尝试证明，对证明的程序和方法老师要及时给予指导）？四、教学运用1. 例题.例1 如图，E D ,分别为ABC ∆的边AB和AC 中点，求证：→--BC 与→--DE 共线，并将→--DE 用→--BC 线性表示.例2 判断下列各题中的向量是否共线：（1）a =4e 1-25e 2，b =e 1-110e 2；（2）a = e 1＋e 2，b =2 e 1-2 e 2，且1e ，2e 共线．例3 如图2-2-11，ABC ∆中，C 为直线AB 上一点，−→−AC λ=)1(-≠−→−λCB 求证：λλ++=−→−−→−−→−1OB OA OC . 例题提高：上例所证的结论λλ++=−→−−→−−→−1OB OA OC 表明：起点为O ，终点为直线AB 上一点C 的向量−→−OC 可以用,−→−OA −→−OB 表示，那么两个不共线的向量,−→−OA −→−OB 可以表示平面内任一向量吗？ 2．练习．（1）已知向量a =2e 1-2e 2，b =-3（e 2-e 1），求证：a 与b 是共线向量．（2）已知4MP =e 12+e 2 ,2PQ =e 1＋e 2，求证：M ，P ，Q 三点共线．（3）如图，在△ABC 中，12CD AE DA EB ==，记,BC a CA b ==，求证： 13DE （b －a ）． 五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容:1．两个向量共线的含义；2．两个向量共线（平行）的充要条件；3．能判断两个向量共线. ABDC E。
高中数学共线教案
高中数学共线教案1. 知识目标：了解共线的定义，掌握共线的性质，能够应用共线的性质解决相关问题。
2. 能力目标：培养学生观察能力和逻辑推理能力，提高学生的数学思维能力。
3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
教学重点：1. 共线的定义和性质。
2. 判断点是否共线的方法。
3. 应用共线性质解决相关问题。
教学难点：1. 在复杂图形中判断点是否共线。
2. 应用共线性质解决实际问题。
教学过程：一、导入（5分钟）教师通过展示一个简单的图形，引导学生讨论图中的点是否共线，并引入共线的定义。
二、讲解共线的定义和性质（15分钟）1. 教师介绍共线的定义，并给出几个简单的实例进行说明。
2. 介绍共线的性质，如同一直线上的三点必共线，两直线相交于一点则其中任意一点与另一直线上任意一点必共线等。
三、练习和强化（20分钟）1. 学生个人或小组练习判断给定的点是否共线。
2. 学生根据给定的问题应用共线性质进行解答练习。
四、拓展和应用（10分钟）1. 学生讨论如何利用共线性质解决实际问题，如应用于解析几何、空间几何等领域。
2. 学生通过小组合作解决共线性质相关问题。
五、总结与展望（5分钟）教师对本节课的重点内容进行总结，并对下节课的内容做出展望，引导学生主动学习。
教学反思：在本节课中，通过引入共线的定义和性质，学生能够初步了解共线的特点和应用方法，但在实际问题的解决中仍存在一定困难。
在以后的教学中，需要加强实际问题的训练，培养学生的应用能力，确保他们能够熟练运用共线性质解决各种问题。
高一数学课程教案平面向量的共线与垂直关系的判定与应用
高一数学课程教案平面向量的共线与垂直关系的判定与应用高一数学课程教案：平面向量的共线与垂直关系的判定与应用引言：在高中数学中，平面向量是一个重要的概念。
了解平面向量的性质与关系，对于学生理解数学知识的整体框架具有重要作用。
本教案将重点介绍平面向量的共线与垂直关系的判定与应用，以帮助学生更好地理解与应用相关知识。
一、平面向量共线与垂直关系的判定1. 共线关系的判定共线向量指的是方向相同或相反的向量，即它们的起点与终点在同一直线上。
判定共线向量，可以通过以下两种方法进行：- 方法一：向量共线的定义根据向量共线的定义，若向量A，A共线，则存在非零实数A，使得A=AA。
换言之，A与A的坐标分量之比相等。
因此，我们可以通过计算向量坐标分量之比来判断向量的共线关系。
- 方法二：向量共线的判定定理向量共线的判定定理指出，若向量A，A不共线，则向量A与向量A，A共线当且仅当存在实数A，使得A=AA+A。
通过判断向量A与向量A，A之间是否满足这个关系，我们可以判断共线关系。
2. 垂直关系的判定垂直向量指的是两个向量的夹角为90°的向量。
判定垂直向量，可以通过以下两种方法进行：- 方法一：向量垂直的定义根据向量垂直的定义，向量A与向量A垂直，当且仅当A·A=0，即两个向量的数量积为零。
因此，可以通过计算向量的数量积来判断两个向量的垂直关系。
- 方法二：向量垂直的判定定理向量垂直的判定定理指出，向量A与向量A垂直，当且仅当有A1，A2∈A，使得A=A1A+A2A。
通过判断向量A是否满足这个关系，我们可以判断垂直关系。
二、平面向量共线与垂直关系的应用1. 平行四边形的性质平行四边形是具有两组相对平行边的四边形。
在平行四边形中，如果一对对角线的交点与其中一条对角线的中点重合，那么这两条对角线所代表的向量是共线向量。
通过共线向量的性质，我们可以解决平行四边形相关的证明与计算问题。
2. 角平分线的性质角平分线是将一个角等分为两个相等的角的线段。
向量共线条件的坐标表示教案
向量共线条件的坐标表示教案一、教学目标1. 让学生理解向量共线的概念。
2. 让学生掌握向量共线的坐标表示方法。
3. 培养学生运用向量共线条件解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 向量共线的定义2. 向量共线的坐标表示方法3. 向量共线条件的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：向量共线的概念，向量共线的坐标表示方法。
2. 教学难点：向量共线条件的应用。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解向量共线的概念和坐标表示方法。
2. 采用案例分析法，让学生通过具体例子掌握向量共线条件的应用。
3. 采用互动提问法，激发学生的思考，提高课堂参与度。
五、教学过程1. 导入：简要介绍向量共线的概念，引导学生思考如何用坐标表示向量共线。
2. 新课讲解：a) 讲解向量共线的定义，让学生理解什么是向量共线。
b) 引入向量共线的坐标表示方法，引导学生掌握如何用坐标判断向量共线。
3. 案例分析：a) 给出具体例子，让学生运用向量共线条件解决问题。
b) 分析例子，引导学生总结向量共线条件的应用。
4. 课堂练习：a) 布置练习题，让学生巩固向量共线条件的坐标表示方法。
b) 引导学生互相讨论，共同解决问题。
5. 总结与拓展：a) 总结本节课的主要内容和知识点。
b) 提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。
6. 课后作业：布置相关作业，让学生进一步巩固向量共线条件的坐标表示方法。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问，了解学生对向量共线条件的理解和掌握程度。
2. 练习题解答：检查学生对向量共线条件坐标表示方法的掌握情况。
3. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的巩固程度。
七、教学反思1. 反思教学方法：根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。
2. 反思教学内容：根据学生的掌握程度，调整教学内容，确保学生扎实掌握向量共线条件。
八、教学拓展1. 向量共线与线性方程组：引导学生探讨向量共线与线性方程组之间的关系。
2. 向量共线在几何中的应用：讲解向量共线在几何领域中的应用，如线段平分、角度平分等。
向量共线关系教案
向量共线关系教案教案标题：向量共线关系教案一、教学目标：1. 理解向量共线的概念，并能够判断两个向量是否共线。
2. 掌握判断向量共线的方法和技巧。
3. 能够应用向量共线的概念解决实际问题。
二、教学内容：1. 向量共线的定义和判断方法。
2. 向量共线的性质和特点。
3. 向量共线的应用。
三、教学过程：第一步：导入新知1. 引入向量的概念，复习向量的表示方法和运算规则。
2. 引出向量共线的概念，通过示例向学生展示共线向量的特点。
第二步：向量共线的判断方法1. 教师介绍向量共线的几种判断方法，包括向量的数乘关系、向量的坐标关系和向量的夹角关系。
2. 通过具体的例题，引导学生掌握判断向量共线的方法和技巧。
第三步：向量共线的性质和特点1. 教师讲解共线向量的性质和特点，包括共线向量的模长比例关系、方向相同或相反等。
2. 引导学生通过实例理解和应用共线向量的性质。
第四步：向量共线的应用1. 教师引导学生通过向量共线的概念解决实际问题，如力的平衡问题、平面几何问题等。
2. 学生进行个别或小组练习，巩固向量共线的应用能力。
四、教学资源：1. 教科书或课件：包含向量共线相关知识的教材或课件。
2. 示例和练习题：提供向量共线判断的示例和相关练习题。
五、教学评估：1. 教师通过课堂练习、小组讨论等方式，检查学生对向量共线的理解和应用能力。
2. 布置作业，要求学生解决一些实际问题，检验他们对向量共线的掌握程度。
六、教学延伸：1. 引导学生深入研究向量共线的相关知识，拓展应用领域。
2. 引导学生进行实际问题的建模和解决，培养他们的创新思维和问题解决能力。
七、教学反思：1. 教师根据学生的学习情况和反馈，及时调整教学策略，确保教学效果。
2. 教师对教案进行反思和总结，为今后的教学提供参考和改进。
优秀高中数学向量教案
优秀高中数学向量教案
课时安排：2个课时
课堂内容：
第一课时：
1.引入向量的概念，介绍向量的定义和表示方法。
让学生了解向量的性质和运算规则。
2.教授向量的加法和减法。
通过示范和练习，让学生掌握向量加减法的方法。
3.讨论向量的数量积和向量的夹角。
引导学生理解向量的数量积和夹角的概念，并通过实例演练加深理解。
第二课时：
1.复习向量的加减法，数量积和夹角概念。
2.讲解向量的应用，如解决平面几何问题，力的合成与分解等。
3.进行一些综合练习，让学生熟练运用向量知识解题。
作业布置：完成课堂练习，巩固所学内容。
课堂评价：通过课堂练习和课后作业，检查学生对向量的理解和掌握情况。
补充材料：提供相关的练习题和习题解析，帮助学生巩固向量知识。
教学目标：使学生掌握向量的概念、运算方法和相关的应用，提高学生的数学解题能力和思维能力。
高一年级数学 平面向量共线定理教学设计
E
解： AE AD DE 3AB 3 BC
A B
3AB BC
D
3 AC
问: A 、 C 、 E 三
∴ AC与 AE 共线． 点是否共线？
AC与AE共线，且有公共点A，
A、C、E三点共线.
变式２：
e 已知两个非零向量
和
1
e2不共线，如果
AB
2e1
3e2 ,
BC 6e1 23e2, CD 4e1 8e2. 求证：A, B, D
【分析】对λ进行讨论
当λ＞０时， b与 a方向相同； 当λ＜０时， b与 a方向相反； 当λ＝０时， b＝ 0.
所以，向量 b 与 a 共线.
追问：若 b 与 a(a 0)共线，则b 方向有
几种情况？
问题2：如果向量b 与 a(a 0)共线，那么是否存
在一个实数λ，使 b a？ 实数λ是否唯一？
试一试:
1.判断下列各小题中的向量a与b是否共线:
(1)a 2e,b 6e; rr
解r：Qrb 3a, a与b共线.
(2)a e1 3e2, b 2e1 6e2 rr
解r：Qrb 2a, a与b共线.
变式１： 如图，已知AD=3AB，DE=3BC，
试判断AC与AE是否共线. C
B
1 + =_１___.
O
1+ 1+
结论2uu：ur 若Au、uurB 、uuCur三点共线,则
OC OA OB 其中 1;
反之也成立．
试一试
2. 如图，已知O、B、C是平面上的三点，A是线段
A BC中点，则 OC （ ） C
A. 2OA OB B. OA 2OB
A
向量共线定理教案
向量共线定理教案摘要：本文以三角形向量共线定理为主要内容，通过较为详细的介绍，介绍了三角形的向量共线定理的含义及其推导过程，以及推广到多重三角形的情况下的证明定理，以及这些定理的应用。
一、定义三角形的向量共线定理认为，若在一个三角形中，两个向量相加等于另一个向量，那么这三个向量一定共线。
二、数学推导设三角形ABC的三条边分别为a，b，c，根据向量共线定理，若AB+BC=AC，则AB，BC，AC共线。
将AB分解为两个向量AB1+ AB2，将BC分解为BC1+BC2，有： AB1+AB2+BC1+BC2= AC同时，AB1=BC1，AB2=BC2，有：AB1+AB2= BC1+BC2因此，可以得出结论：AB1，AB2，BC1，BC2共线，故AB，BC，AC共线。
三、推广到多重三角形情况有时可以将多边形分解成一些三角形，若每个三角形满足向量共线定理，则这些三角形之间的边也满足向量共线定理。
设有一个多重三角形ABC，它可以分解成三个三角形，ABC，ABD，BCD，若满足向量共线定理，则有：AB+BD=BC，AB+DC=AC，BC+CD=AD因此，AB，BD，BC共线；AB，DC，AC共线；BC，CD，AD共线。
四、定理的应用三角形的向量共线定理可以应用在数学中的各个方面。
例如：（1）几何中的直线判定：若在几何图形中，有三个点满足向量共线定理，则这三个点共线。
（2）数学分析中的判断函数是否极小：若数学函数的一阶导数与二阶导数满足向量共线定理，则该函数在当前点处极小。
（3）矩阵求解：若在矩阵中，存在三个矩阵满足向量共线定理，则可以应用这一定理进行求解。
五、总结本文以三角形向量共线定理为主要内容，通过较为详细的介绍，介绍了三角形的向量共线定理的含义及其推导过程，以及推广到多重三角形的情况下的证明定理，以及这些定理的应用。
它可以用于几何中的直线判定，数学分析中的判断函数是否极小，矩阵求解等等。
向量共线的条件讲课教案
第一章：向量共线的概念引入1.1 课程背景：在之前的课程中，我们已经学习了向量的基本概念，包括向量的定义、向量的运算等。
本节课我们将学习向量共线的概念，并了解向量共线的条件。
1.2 教学目标：1. 理解向量共线的概念；2. 掌握向量共线的条件；3. 能够运用向量共线的条件解决实际问题。
1.3 教学内容：1. 向量共线的概念引入；2. 向量共线的条件讲解；3. 向量共线条件的应用实例。
第二章：向量共线的条件2.1 课程背景：在第一节课中，我们已经了解了向量共线的概念。
本节课我们将学习向量共线的条件，并能够运用这些条件判断两个向量是否共线。
2.2 教学目标：1. 掌握向量共线的条件；2. 能够判断两个向量是否共线；3. 能够运用向量共线的条件解决实际问题。
2.3 教学内容：2. 判断两个向量是否共线的实例；3. 向量共线条件的应用实例。
第三章：向量共线定理3.1 课程背景：在第二节课中，我们已经学习了向量共线的条件。
本节课我们将学习向量共线定理，并能够运用向量共线定理解决实际问题。
3.2 教学目标：1. 掌握向量共线定理；2. 能够运用向量共线定理解决实际问题；3. 能够运用向量共线定理进行证明。
3.3 教学内容：1. 向量共线定理的讲解；2. 向量共线定理的应用实例；3. 向量共线定理的证明。
第四章：向量共线的坐标表示4.1 课程背景：在第三节课中，我们已经学习了向量共线定理。
本节课我们将学习向量共线的坐标表示，并能够运用坐标表示判断两个向量是否共线。
4.2 教学目标：1. 掌握向量共线的坐标表示；2. 能够运用坐标表示判断两个向量是否共线；3. 能够运用坐标表示解决实际问题。
4.3 教学内容：1. 向量共线的坐标表示讲解；2. 判断两个向量是否共线的坐标表示实例；3. 向量共线的坐标表示应用实例。
第五章：向量共线条件的应用5.1 课程背景：在第四节课中，我们已经学习了向量共线的坐标表示。
本节课我们将学习向量共线条件的应用，并能够运用这些条件解决实际问题。
向量共线的条件讲课教案
向量共线的条件讲课教案第一章：向量共线的概念引入1.1 教学目标：(1) 了解向量共线的定义及其数学表达。
(2) 理解向量共线的直观含义及其在几何中的应用。
1.2 教学内容：(1) 向量共线的定义：如果两个非零向量a 和b，存在一个实数λ，使得a = λb，这两个向量叫做共线向量。
(2) 向量共线的数学表达：a // b 或者a 和b 共线。
(3) 向量共线的直观含义：在几何中，如果两个向量共线，它们表示的直线是平行的或者重合的。
1.3 教学方法：(1) 通过几何图形引导学生直观地理解向量共线的概念。
(2) 通过实例让学生理解向量共线的数学表达。
1.4 教学活动：(1) 利用投影仪展示几何图形，引导学生直观地理解向量共线的概念。
(2) 利用具体例子，让学生理解向量共线的数学表达。
(3) 学生进行小组讨论，分享自己对向量共线的理解和例子。
(4) 教师进行讲解和解答学生的疑问。
第二章：向量共线的判定条件2.1 教学目标：(1) 学会使用向量共线的判定条件判断两个向量是否共线。
(2) 理解向量共线的判定条件的数学推导过程。
2.2 教学内容：(1) 向量共线的判定条件：如果两个向量a 和b 都为零向量或者不为零向量，并且它们的坐标成比例，这两个向量共线。
(2) 向量共线的判定条件的数学推导过程：通过向量的线性组合和坐标表示，推导出向量共线的判定条件。
2.3 教学方法：(1) 通过数学推导引导学生理解向量共线的判定条件。
(2) 通过实例让学生学会使用向量共线的判定条件判断两个向量是否共线。
2.4 教学活动：(1) 教师引导学生进行数学推导，理解向量共线的判定条件。
(2) 利用具体例子，让学生学会使用向量共线的判定条件判断两个向量是否共线。
(3) 学生进行小组讨论，分享自己对向量共线的判定条件的理解和例子。
(4) 教师进行讲解和解答学生的疑问。
第三章：向量共线的应用3.1 教学目标：(1) 学会使用向量共线解决实际问题。
高中数学 212 相等向量与共线向量 教案
2.1.2 相等向量与共线向量教学目标：掌握相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：理解并掌握相等向量、共线向量的概念，教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.教学思路：一、情景设置：(一)、复习1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？(二)、新课学习1、有一组向量，它们的方向相同、大小相同，这组向量有什么关系？2、任一组平行向量都可以移到同一直线上吗？这组向量有什么关系？三、探究学习1、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关. 2、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.四、理解和巩固：例1．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB 、OC相等的向量.变式一：与向量OA长度相等的向量有多少个？（11个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（FEDOCB,,）例2判断：（1）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（2）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（3）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）（4）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）例3下列命题正确的是（）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.课堂练习：1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同.2．书本77页练习4题三、小结：描述向量的两个指标：模和方向.2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、共线向量与平行向量关系、相等向量。
向量共线的条件讲课教案
一．复习提问： 复习提问： 前面我们学习了向量的概念以及数乘向量， 前面我们学习了向量的概念以及数乘向量， 首先我们来回 顾一下所学知识。 顾一下所学知识。 共线向量、零向量？ 1 、共线向量、零向量？ 两个向量平行与几何中两直线平行有何区别? 2 、两个向量平行与几何中两直线平行有何区别? 数乘向量的几何意义 几何意义？ 3 、数乘向量的几何意义？ 总结：向量的共线和平行是同一个含义 它与直线的平行 它与直线的平行、 总结：向量的共线和平行是同一个含义,它与直线的平行、重 合不同,两个向量的基线是同一条直线或两条平行直线时 两个向量的基线是同一条直线或两条平行直线时,向量 合不同 两个向量的基线是同一条直线或两条平行直线时 向量 都称为共线(或平行 向量。 或平行)向量 都称为共线 或平行 向量。 二．定理形成： 定理形成： 观察教材中图 25,2－26， 观察教材中图 2－25,2－26，并思考以下问题 问题一： 是否是共线向量？反之， 问题一： 如果 a = λ b ， 那么 a 与 b 是否是共线向量？反之， 如果 a / / b 且 b ≠ 0 ，那么是否存在实数 λ ，使得 a = λ b ？ 由向量平行的定义和数乘向量可知。 由向量平行的定义和数乘向量可知。 平行向量基本定理: a=λb,则 a∥b;反之 反之, 平行向量基本定理:如果 a=λb,则 a∥b;反之,如果 a∥b, b≠0,则一定存在唯一一个实数 λ,使 且 b≠0,则一定存在唯一一个实数 λ,使 a=λb . 应用举例： 三、应用举例： 的中位线, 例 1 如图 2－28,M,N 是△ABC 的中位线, 1 求证:MN= 求证:MN= BC 且 MN∥BC 2
学生思考后回 答 . 教师完善 定 理。
学生思考,回 答 , 师生共同完 成 , 并归纳解题 方法
共线向量定理教案
2．2．4向量共线定理教学目标：1、掌握两向量共线条件判定两向量是否平行2、学会用共线向量的条件处理一些几何问题教学重点：向量共线的条件教学难点：向量共线与几何共线的区别教材分析：在学生掌握向量数乘概念的基础上，重点研究向量数乘的几何意义即共线向量。
向量共线的条件是由实数与向量的积推出的。
要让学生理解两个向量共线的充要条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行教学方法：教学过程：一、情景创设：(一)复习向量数乘(二)引例：P66 例2二、数学建构：向量共线定理：（向量共线的充要条件）向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b a λ=．三、数学应用：例1 判断下列各题中的向量是否共线：（1）21245a e e =-，12110b e e =-； （2）12a e e =+，1222b e e =-，且1e ，2e 共线．解：（1）当0a =时，则0b =，显然b 与a 共线．当0a ≠时， 12121121(4)10454b e e e e a =-=-=，∴b 与a 共线． （3）当1e ，2e 中至少有一个为零向量时，显然b 与a 共线．当1e ，2e 均不为零向量时，设12e e λ=∴2(1)a e λ=+，2(22)b e λ=-若1λ=-时，，0a =，显然b 与a 共线．若1λ≠-时，221b a λλ-=+， ∴b 与a 共线．例2 。
如图，已知3AD AB =，3DE BC =．试判断AC 与AE 是否共线． 解：∵333()3AE AD DE AB BC AB BC AC =+=+=+=∴AC 与AE 共线．例3．(1)P68 ex 2(2) 设12,e e 是两个不共线的向量，已知122AB e ke =+，123CB e e =+，122CD e e =-， 若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．解：()()1212122)34BD CD CB e e e e e e =-=--+=-∵A ，B ，D 三点共线，∴AB 与BD 共线，即存在实数λ，使得AB BD λ=，即是12122(4)e ke e e λ+=-. 由向量相等的条件，得24k λλ=⎧⎨=-⎩，∴8k =-． A B C D E例4、P67 (1)例4(2)P69 10四、课堂练习：导学：P29 1、2五、小结：理解两向量共线（平行）的充要条件，并会判断两个向量是否共线．。
高中数学第2章平面向量2.2向量的共线定理导学案苏教版必修
向量的共线定理【学习目标】1.理解向量共线定理, 了解其证明方法.2.会用向量共线定理判定向量共线, 解决有关向量共线问题.【重难点】重点: 向量共线定理及其应用； 难点: 向量共线定理的理解及证明【预习案】看书P70-P71弄懂下列概念，完成第4题1、如图, D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 的中点. (1) 和DE 的关系如何? 答： ；(2)能否将DE 用BC 线性表示? 答： ； (3)你能总结出向量共线的一个条件吗? 答：（共线定理内容） ；3、向量共线定理及其证明：注: (1)定理中包含两层意思 (2)注意条件≠的限制.4、已知向量a r 、b r 满足31(32)525a b a b a b +--=+r r r r r r , 试确定向量a r 和b r 满足的关系是 ；【探究案】 探究一：判断两个向量共线1．设1e , 2e 是两个不共线向量, 判断下列各题中的向量, 是否共线?(1)a =51e , b =－71e ; (2)a =12e u r , b =32e .变式：=51e , 0b =r ，则向量, 是否共线? ；A2. 设1e , 2e 是两个不共线向量, 向量=211e －312e ,向量=31e －22e ，判断向量, 是否共线?探究二：向量的共线定理应用 1.设1e , 2e 是两个不共线向量, 四边形ABCD 满足AB u u u r =211e －312e ,向量DC u u u r =31e －22e ，判断四边形ABCD 的形状.2.设1e , 2e 是平面内的一组基底, 如果2123e e -=, 214e e +=, 2198e e -=, 求证: A 、B 、D 三点共线.变式：设1e , 2e 是平面内的一组基底, 如果123AB e e λ=-u u u r u r u u r , 214e e BC +=,2198e e -=, 若 A 、B 、D 三点共线，则λ= ；。
高一数学必修第二册 2019(A版)_《向量共线定理》教学设计二
《向量共线定理》教学设计二一. 复习导入1.复习：（1）向量加法的三角形法则，向量的减法.（2）向量数乘的运算律2.导入：一般来说，数与向量相乘后除了具有大小关系，在位置上也具有某种关系，它们具有哪种关系呢？下面我们一起来研究一下.二. 自主探究问题1：已知非零向量a ，作出向量c =2a,c =−2a问题2：已知非零向量b ，作出向量d =3b,d =−3b提出问题，找两个学生到黑板进行演示，其他学生在草稿纸上作图设计意图：通过作图提高学生的数形结合能力，提升学生的直观想象核心素养 完成作图后，教师提问.师：作出的图形与原来的图形在位置上有什么关系？生：共线问题3：由问题1、问题2，若 b =λa(a ≠0), 则 a,b 的位置关系如何？生：共线问题4：如果两个向量共线，则这两个向量具有哪几种情况？学生思考，讨论，回答：方向相同，或方向相反，或其中者为零向量.问题5：根据向量的数乘运算, λa 与 a(λ≠0,a ≠0)的方向有何关系？生：相同或相反.问题6：向量a 与 λa(λ 为常数 ,a ≠0)共线吗？生：共线.由以上问题，学生总结共线向量定理，教师点拨.共线向量定理：向量a(a ≠0) 与 b 共线的充要条件是：当且仅当有唯一一个实数λ，使b =λa.三、例题解析例1 如图，已知任意两个非零向量a,b, 试作 OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +2b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +3b . 猜想A ，B ，C 三点之间的位置关系，并证明你的猜想.想一想1：三点之间有哪些位置关系？想一想2：初中时怎么判断三点的位置关系？想一想3：用向量如何判断三点的位置关系？分析：判断三点之间的位置关系，主要是看这三点是否共线，为此只要看其中一点是否在另两点所确定的直线上在本题中，应用向量知识判断A ，B ，C 三点是否共线，可以通过判断向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否共线 , 即是否存在 λ ,使 AC⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ 成立. 解：分别作向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 过点A ，C 作直线AC （如图所示）观察发现，不论向量a ，b 怎样变化，点B 始终在直线AC 上，猜想A ，B ，C 三点共线.事实上，因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +2b −(a +b)=b AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +3b −(a +b)=2b所以 AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 因此，A ，B ，C 三点共线.例2 已知a,b 是两个不共线的向量，向量b −ta,12a −32b , 共线，求实数t 的值. 想一想：若两个向量不共线，需要满足什么条件？解：由a,b 不共线，易知向量12a −32b 为非零向量.由向量 b −ta,12a −32b , 共线，可知存在实数λ，使得b −ta =λ(12a −32b), 即 (t +12λ)a =(32λ+1)b由 a,b 不共线,必有 t +12λ=32λ+1=0. 否则，不妨设 t +12λ≠0, 则 a =32λ+1t+12λb. 由两个向量共线的充要条件知 ,a,b 共线,与已知矛盾. 由 {t +12λ=032λ+1=0 解得 t =13 . 因此,当向量 b −ta,12a −32b 共线时 ,t =13. 归纳总结：本题充分运用了向量共线定理，即 a(a ≠0),b 共线⇔ 存在唯一一个实数λ, 使 b =λa （正用与逆用）.四.课后作业同学们想一想:本节课你有些什么收获呢?留给你印象最深的是什么?作为课堂的延伸,你课后还想做些什么探究?设计意图:新课程理念尊重学生的差异,鼓励学生的个性发展﹐所以﹐对于课堂小结，可设置一些开放性的问题,期望通过这些问题使学生体验学习数学的快乐﹐增强学习数学的信心.五.作业布置教材第16页练习第1，3题.板书设计教学研讨本节设计上采用问题探讨——问题解决——得出所学内容的学习方式这种设计可以培养学生自主学习能力，让学生对新课内容更易吸收，在每一个例题解答之前都设计了想一想，想一想的设计可以帮助学生更好地理解问题，解决问题.若时间允许，多做一些练习，加深对向量共线定理的理解.。
向量共线定理教学设计
环节五 向量共线定理【引入新课】问题1：学习了向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？答案：共线．追问１：对于向量a ，b 及实数λ，如果=λb a ，向量a ，b 是否共线？反过来，如果向量b 与非零向量a 共线，是否一定有=λb a 成立？答案：当向量a =0时，a 与任一向量b 共线；当a ≠0，对于向量b ，如果存在一个实数λ，使=λb a 那么由实数与向量乘积的定义知，a 与b 共线．反之，已知向量a与b 共线, a ≠0，且向量b 的长度是向量a 的长度的λ倍，即|b |=λ|a |，则当a 与b 同方向时，=λb a ；当a 与b 反方向时，有=λ-b a ．向量a (≠0a )与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使=λb a ．这就是向量共线定理．设计意图：让学生通过探讨共线向量与向量数乘运算的关系，得出共线向量定理．【例题演练】例１ 如图，已知任意两个非零向量a ，b ，试作+OA =a b ，+2OB =a b ，+3OC =a b ．猜想A ，B ，C 三点之间的位置关系，并证明你的猜想．追问２：我们知道两平面向量共线的充要条件，那么该怎样证明三点之间的位置关系呢？答案：判断三点之间的位置关系，主要是看三点是否共线，为此只要看其中一点是否在另外两点所确定的直线上，利用向量知识判断A ，B ，C 三点是否共线，可以通过判断向量AC ，AB 是否共线，即是否存在实数λ，使AC AB λ=成立．解：分别作向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB⃗⃗⃗⃗⃗ 、OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，过点A 、C 作直线AC ，观察发现，不论向量怎样变化，点B 始终在直线AC 上，猜想A 、B 、C 三点共线．证明；因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +2b −(a +b )=bAC⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +3b −(a +b )=2b 所以AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因此A 、B 、C 三点共线．例２ 证明：在平面中，三点A ，B ，C 共线的充要条件是：OC xOA yOB =+（Ｏ为平面上任意一点），其中1x y +=．证明：充分条件：若A ，B ，C 三点共线且Ｏ在直线外，∵A ，B ，C 三点共线，∴AC t AB =，又∵AC OC OA =-，AB OB OA =-，∴()OC OA t OB OA -=-，整理可得()1OC t OA tOB =-+，∴1,x t y t =-=，即1x y +=． 必要条件：∵1x y +=，∴1y x =-，又∵OC xOA yOB =+，∴()()1OC xOA x OB x OA OB OA xBA OA =+-=-+=+， ∴OC OA xBA -=，即AC xBA =，∴A ，B ，C 三点共线．总结：利用三点共线的充要条件，可以快速有效的解决三点共线问题．【巩固练习】 练１：如图，在ABC 中，23AN NC =，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+，则实数t 的值为（ ）Ａ．23 Ｂ．25 Ｃ．16 Ｄ．34分析：我们的目标是求13AP t AB AC =+中的t 的值，且 ,,B P N 三点共线，所以我们联想到三点共线的充要条件．解：∵23AN NC =，∴52AC AN =， 又∵13AP t AB AC =+，∴56AP t AB AN =+， 又∵,,B P N 三点共线，根据三点共线充要条件，可得516t +=，即16t =， 故答案为Ｃ．例３ 已知a ，b 是两个不共线的向量，向量t -b a ，1322-a b 共线，求实数t 的值． 解：由a ，b 不共线，易知1322-a b 为非零向量， 由向量t -b a ，1322-a b 共线，可知存在实数λ，使得1322t λ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭b a a b ， 即13122t λλ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b ． 由a ，b 不共线，必有131022t λλ+=+=，否则，不妨设102t λ+≠， 则31212t λλ+=+a b ，由两个向量共线的充要条件知a ，b 共线，与已知矛盾． 由1023102t λλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得13t =，因此，当向量t -b a ，1322-a b 共线时，13t =． 【归纳总结】1．证明或判断三点共线的方法：(1)一般来说，要判定A ，B ，C 三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (或BC⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ 等)即可． (2)利用结论：若A ，B ，C 三点共线，O 为直线外一点⇔存在实数x 、y ，使OA⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋y OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 且x ＋y ＝1．2．利用向量共线求参数的方法：判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得 a ＝λb (b ≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，解方程从而求得λ的值．。
9.3.1向量共线定理(2)学案-2020-2021学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册
氾水高级中学2020-2021学年度高一数学(下)导学活动单(7)主备人：杨启进课 题向量共线定理(2) 学习目标 1、掌握平面向量的共线定理；2、能利用向量共线定理解决问题。
教学过程 学法指导 活动一：问题诊断 如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →。
活动二：活动探究类型一 利用向量共线定理判断或证明三点共线问题例1、设a ，b 是不共线的两个非零向量，若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A ，B ，C 三点共线。
变式拓展：设a ，b 是不共线的两个非零向量，若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，求实数k 的值。
题后小结：利用向量共线求参数的方法：已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解，若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值。
类型二 用已知向量表示其他向量例2、如图所示，四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边的平行四边形，又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM →，ON →，MN →。
变式拓展：在△ABC 中，若14CM CA =，34BN BA =，设AB a =，AC b =，试用a 和b 表示向量MN 。
活动三：知识梳理1、三点共线的判断或证明(通常转化为向量共线问题)(1)A ，B ，C 三点是否共线⇔存在实数λ，使得AB →＝λAC →；(2)若A ，B ，C 三点共线 ⇔存在实数x ，y ，使得OA →＝xOB →＋yOC →且x ＋y ＝1。
2、用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法：(2)方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建 立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程。
活动四：课堂检测1、课本第18页练习第6、7题。
2、设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与n ＝e 2－2e 1共线，则( )(A )k ＝0 (B )k ＝1 (C )k ＝2 (D )k ＝12。
高一数学必修第二册 2019(A版)_《向量共线定理》教学设计一
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
问题：你还记得向量的数乘的概念及向量数乘的运算律吗？
师生共同回顾前面所学过的向量的数乘的相关内容.
学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课做好了知识上的准备.
形成概念
探究1：如果 ，那么，向量a与b是否共线？
探究2：b与非零向量a共线，那么，是否有一个实数λ，使
2.非零向量a的单位向量与a同方向且长度为1的向量，称为非零向量a的单位向量.易知，a的单位向量为
四、应用举例
例1
例2
五、归纳总结
六、课后作业
通过小结使学生加强对知识的记忆养成总结的好习惯.
课后作业
教材第16页练习第1，3题.
巩固新知，提升能力.
巩固新知，提升能力.
板书设计
第2课时向量共线定理
一、复习引入
向量的数乘的概念及向量数乘的运算律
二、形成概念
探究1
探究2
探究3
三、深化概念
1.向量共线定理
向量 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使
共线时， .
教师引导学生分析.
学生练习巩固，得出如何用向量的方法来判断三点是否共线.
教师出示问题,结合学生解答情况纠错总结.
学生练习巩固.注意几种不同情况的向量减法的作图方法.在求向量减法的结果时,要注意是用减向量的终点指向被减向量的终点,教师要强调一定不能搞错.
学生自主解答例题，教师集中讲解，使学生掌握由向量共线来求解相关参数这类题目的解题方法.
本题是应用向量知识来解决平面几何问题，对学生来说有些难度，教师须根据向量的有关运算详细讲解.
归纳总结
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2019-2020年高一数学《向量共线定理》教案1
一、教学目标：
1．理解两个向量共线的含义，并能运用它们证明简单的几何问题；
2．培养学生在学习向量共线定理的过程中能够相互合作,在不断探求新知识中，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.
二、教学重点、难点：
共线向量定理的应用.
（二）学生活动
问题2 对于向量a和b，如果有一个实数，使得ba，那么a与b共线吗？
问题3 如果向量a和b共线，是否存在一个实数，使ba？
三、构建教学
1．向量共线定理．
如果有一个实数，使ba(a0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a (a0)是共线向
B
D A
C
E 量，那么有且只有一个实数，使ba.
2．对定理的理解与证明
问题4 为什么要求a是非零的？b可以为0吗？
四、教学运用
例1 如图，分别为的边
和中点，求证：与共线，并将用线性表示.
例2 如图2－2－11，中，为直线上一点，求证：.
五、要点归纳与方法小结。