2018届高三上学期期末联考数学(理)试题有答案
广州市铁一中学、广州大学附属中学、广州外国语学校2018-2019三校联考高三第一次理科数学试题(解析版)
广州市铁一中学、广大附中、广外2018－2019三校联考高三第一次理科数学（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据的定义域求出集合；解不等式得到集合，再由交集的运算即可求出结果. 【详解】因为的定义域为，所以；又解不等式得，即，所以.故选A【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可求解，属于基础题型.2.已知复数满足，则A. B. 3 C. 4 D. 5【答案】D【解析】【分析】先由复数的四则运算求出，再由复数模的运算即可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故选D【点睛】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模的运算，熟记公式即可求解，属于基础题型.3.已知双曲线的渐近线方程为，且过点，则该双曲线的标准方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程，先设出双曲线方程，再将点代入即可求出结果.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以可设双曲线的方程为，又双曲线过点，所以，即，所以双曲线的方程为.故选A【点睛】本题主要考查双曲线，由双曲线的渐近线方程求出双曲线方程，只需熟记双曲线性质即可求解，属于基础题型.4.已知满足约束条件，则最大值为A. 6B. 4C. 3D. 1【答案】B【解析】【分析】先由约束条件作出可行域，再将目标函数化为，结合可行域即可求出结果.【详解】由约束条件作出可行域如下：又可化为，所以的最大值，即是直线在轴截距的最大值，由可行域易知，直线过点时，截距最大，即最大值为.故选B【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需先作出可行域，再由目标函数的几何意义即可求解，属于基础题型.5.展开式中x2的系数为A. 15B. 20C. 30D. 35【答案】C【解析】因为(1＋x)6的通项为x r，所以1＋(1＋x)6展开式中含x2的项为1·x2和x4.因为＋＝2＝30，所以1＋(1＋x)6展开式中x2的系数为30.故选C.6.已知函数是上的奇函数，且的图象关于对称，当时，，则的值为A. B. C. 0 D. 1【答案】C【解析】【分析】先根据函数的图象关于对称且是上的奇函数，可求出函数的最小正周期，再由时，，即可求出结果.【详解】根据题意，函数的图象关于对称，则，又由函数是上的奇函数，则，则有，变形可得，即函数是周期为4的周期函数，则，又由函数是上的奇函数，则，故.故选C【点睛】本题主要考查函数的基本性质，周期性、奇偶性、对称性等，熟记相关性质即可求解，属于常考题型.7.下列程序框图中，输出的A的值是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析框图的作用，逐步执行框图，即可求出结果.【详解】执行程序框图如下：初始值，则，进入循环，，进入循环，，进入循环，，进入循环，，进入循环，，进入循环，，进入循环，，进入循环，，结束循环，输出.【点睛】本题主要考查程序框图，分析框图作用，逐步列举即可取出结果.8.已知点是圆内的一点，直线是以为中点的弦所在的直线，直线的方程为，那么（）A. 且与圆相交B. 且与圆相切C. 且与圆相离D. 且与圆相离【答案】C【解析】试题分析：以点M为中点的弦所在的直线的斜率是，直线m∥l，点M（a，b）是圆内一点，所以，圆心到，距离是，故相离考点：直线与圆的位置关系9.九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图中如图所示，已知该几何体的体积为，则图中A. 1B.C. 2D.【答案】B【解析】【分析】由三视图可得：该几何体为一个四棱锥和一个三棱柱组合而成，作出其直观图，分别利用体积公式即可求出结果.【详解】由三视图可得：该几何体为一个四棱锥和一个三棱柱组合而成，作出其直观图如下：所以该几何体的体积为：，解得.故选B【点睛】本题主要考查几何体的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于基础题型.10.已知函数的最大值为2，且满足，则A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】【分析】先由函数的最大值为2求出，再由得是函数的一条对称轴，进而可求出结果.【详解】因为函数的最大值为2，所以，所以，所以，又因为，所以是函数的一条对称轴，所以，所以，又因为，所以或.故选D【点睛】本题主要考查正弦型复合函数的图像和性质，熟记相关性质即可求解，属于常考题型. 11.已知点是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离记为，若，则的最小值为（）A. 3B.C.D. 4【答案】A【解析】解析：设，则抛物线的定义及梯形中位线的性质可得，所以由题设可得，因为，即，所以，应选答案A。
2017-2018年山东省济宁市高三上学期数学期末试卷(理科)与解析
2017-2018学年山东省济宁市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x|x2﹣3x≤0}，B={x|y=lg（2﹣x）}，则A∩B=（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|1≤x＜3}C．{x|2＜x≤3}D．{x|0＜x≤2}2．（5分）已知，，且，则m=（）A．﹣3B．﹣1C．1D．33．（5分）已知函数g（x）=log a（x﹣3）+2（a＞0，a≠1）的图象经过定点M，若幂函数f（x）=xα的图象过点M，则α的值等于（）A．﹣1B．C．2D．34．（5分）命题p：若a＜b，则∀c∈R，ac2＜bc2；命题q：∃x0＞0，使得lnx0=1﹣x0，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（¬q）C．（¬p）∧q D．（¬p）∧（¬q）5．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第二天走的路程里数为（）A．76B．96C．146D．1886．（5分）已知实数x，y满足条件，则的最大值为（）A．B．﹣1C．1D．7．（5分）已知，，则=（）A．B．C．D．8．（5分）已知a＞0，b＞0，并且，，成等差数列，则a+9b的最小值为（）A．16B．9C．5D．49．（5分）函数y=﹣2cos2x+cosx+1，x∈[﹣，]的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）“a=﹣1”是函数为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴的交点为E，线段EF被双曲线C2：的顶点三等分，且两曲线C1，C2的交点连线过曲线C1的焦点F，曲线C2的焦距为2，则曲线C2的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，e2）上有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与抛物线C所围成的图形的面积等于．14．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为．15．（5分）某多面体的三视图，如图所示，则该几何体的外接球的表面积为．16．（5分）设函数，则方程f n （x）=0的根为．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若b+c=5，，求a的值．18．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且3S n=1﹣a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1=2，E，F分别是CC1，BC的中点．（1）若D是AA1的中点，求证：BD∥平面AEF；（2）若M是线段AE上的任意一点，求直线B1M与平面AEF所成角正弦的最大值．20．（12分）如图，点是圆内的一个定点，点P 是圆A上的任意一点，线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P 在圆A上运动时，点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）点E（2，0），F（0，1），直线QE与y轴交于点M，直线QF与x轴交于点N，求|EN|•|FM|的值．21．（12分）设函数f（x）=x+lnx﹣．（1）讨论函数f（x）的单词性；（2）当a=1时，记g（x）=xf（x），是否存在整数t，使得关于x的不等式t≥g （x）有解？若存在，请求出t的最小值；若不存在，请说明理由．22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρcos2θ=2sinθ．（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，点M为AB的中点，点P的极坐标为，求|PM|的值．23．（10分）设函数f（x）=|x﹣a|+2x．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）≤0的解集；（2）若x≥﹣1时，恒有f（x）≥0成立，求a的取值范围．2017-2018学年山东省济宁市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x|x2﹣3x≤0}，B={x|y=lg（2﹣x）}，则A∩B=（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|1≤x＜3}C．{x|2＜x≤3}D．{x|0＜x≤2}【解答】解：A={x|x2﹣3x≤0}={x|0≤x≤3}，B={x|y=lg（2﹣x）}═{x|2﹣x＞0}={x|x＜2}，则A∩B={x|0≤x＜2}，故选：A．2．（5分）已知，，且，则m=（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【解答】解：∵，，∴﹣=（m+2，1），∵，∴=，即m+2=﹣1，得m=﹣3，故选：A．3．（5分）已知函数g（x）=log a（x﹣3）+2（a＞0，a≠1）的图象经过定点M，若幂函数f（x）=xα的图象过点M，则α的值等于（）A．﹣1B．C．2D．3【解答】解：∵y=log a（x﹣3）+2（a＞0，a≠1）的图象过定点M，∴M（4，2），∵点M（4，2）也在幂函数f（x）=xα的图象上，∴f（4）=4α=2，解得α=，故选：B．4．（5分）命题p：若a＜b，则∀c∈R，ac2＜bc2；命题q：∃x0＞0，使得lnx0=1﹣x0，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（¬q）C．（¬p）∧q D．（¬p）∧（¬q）【解答】解：当c=0时，ac2＜bc2不成立，则命题p为假命题，当x=1时，ln1=1﹣1=0，则命题q为真命题，则（¬p）∧q为真命题，其余为假命题，故选：C．5．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第二天走的路程里数为（）A．76B．96C．146D．188【解答】解：根据题意，记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=的等比数列，由S6=378，得S6==378，解可得a1=192，则a2=a1×q=192×=96；即此人第二天走的路程里数为96；故选：B．6．（5分）已知实数x，y满足条件，则的最大值为（）A．B．﹣1C．1D．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设，即y=（）x+z，平移曲线y=（）x+z，由图象可知当曲线y=（）x+z经过点A时，此时z取得最大值，由，解得A（1，1），此时z=1﹣（）1=，故选：D．7．（5分）已知，，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴，即．∵，∴．∴==．故选：A．8．（5分）已知a＞0，b＞0，并且，，成等差数列，则a+9b的最小值为（）A．16B．9C．5D．4【解答】解：根据题意，a＞0，b＞0，且，，成等差数列，则+=2×=1；则a+9b=（a+9b）（+）=10++≥10+2=16；即则a+9b的最小值为16；故选：A．9．（5分）函数y=﹣2cos2x+cosx+1，x∈[﹣，]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：因为函数y=﹣2cos2x+cosx+1，x∈[﹣，]，所以函数为偶函数，故排除A，Dy=﹣2cos2x+cosx+1=﹣2（cosx﹣）2+，x∈[﹣，]，因为cosx≤1，所以当cosx=时，y max=，当cosx=1时，y min=0，故排除C，故选：B．10．（5分）“a=﹣1”是函数为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若函数为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，则ln（+a）+ln（+a）=0，即ln（+a）（+a）=0，则（+a）（+a）=1，即•=1，则=1即a2﹣（a+2）2x2=1﹣x2，则，得a=﹣1，则“a=﹣1”是函数为奇函数”的充要条件，故选：C．11．（5分）已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴的交点为E，线段EF被双曲线C2：的顶点三等分，且两曲线C1，C2的交点连线过曲线C1的焦点F，曲线C2的焦距为2，则曲线C2的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，由可线段EF被双曲线C2：的顶点三等分，得2a=，即p=6a∵两曲线C1，C2的交点A连线过曲线C1的焦点，∴A（3a，6a）在双曲线C2：上，∴⇒．∴曲线C2的离心率e满足：e2=，可得e=故选：D．12．（5分）设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，e2）上有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，e2）上有三个零点，∴y=f（x）与y=ax在区间（0，e2）上有三个交点；由函数y=f（x）与y=ax的图象可知，k1==；f（x）=lnx，（x＞1），f′（x）=，设切点坐标为（t，lnt），则=，解得：t=e．∴k2=．则直线y=ax的斜率a∈（，）．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与抛物线C所围成的图形的面积等于．【解答】解：方法一：抛物线C：x2=4y的焦点（0，1），直线l过抛物线C：x2=4y 的焦点且与y轴垂直，直线与抛物线的交点（﹣2，1），（2，1），直线l的方程为y=1，如图所示，可知l与C围成的图形的面积等于矩形OABF的面积与函数y=x2的图象和x轴正半轴及直线x﹣=2围成的图形的面积的差的2倍（图中阴影部分的2倍）．即l与C所围成的图形的面积S=4﹣2x2dx=4﹣2×x3=4﹣=．故答案为：．方法二：抛物线C：x2=4y的焦点（0，1），直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，直线与抛物线的交点（﹣2，1），（2，1），则l与抛物线C所围成的图形的面积等于S=2×2dy=2×2×=，∴l与C所围成的图形的面积为，故答案为：．14．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象知，A=1，=﹣=，∴T=π，即=π，解得ω=2；由五点法画图知，sin（2×+φ）=1，解得φ=﹣=，∴f（x）=sin（2x+）；将y=f（x）的图象向右平移个单位，得到的图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）．故答案为：y=sin（2x﹣）．15．（5分）某多面体的三视图，如图所示，则该几何体的外接球的表面积为．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体是正三棱柱，底面是边长为4的等边三角形，正三棱柱的高是．如图，设底面等腰三角形ABC的外心为G，则CG=，∴直三棱柱外接球的半径R=．∴该几何体的外接球的表面积为4πR2=4π×=．故答案为：．16．（5分）设函数，则方程f n （x）=0的根为﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n．【解答】解：f1（x）=1+x，f2（x）=1+x+=（x+1）（1+），f3（x）=f2（x）+=（x+1）（1+）+=（x+1）[1++]=（x+1）（1+）（1+）．…同理可得：f n（x）=（x+1）（1+）（1+）…（1+）．∴f n（x）=0解为﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n．故答案为：﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若b+c=5，，求a的值．【解答】（1）由，得，∵sinC≠0，∴，∴，∴，∵，∴，即．（2）由，∴bc=4，∵，∴．18．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且3S n=1﹣a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）当n=1时，3S1=1﹣a1，∴3a1=1﹣a1，∴，当n≥2时，因为3S n=1﹣a n①所以3S n=1﹣a n﹣1②﹣1①﹣②得3a n=a n﹣1﹣a n，∴4a n=a n﹣1，∴．所以数列{a n}是首项为，公比为的等比数列．∴；（2），=，∴，=．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1=2，E，F分别是CC1，BC的中点．（1）若D是AA1的中点，求证：BD∥平面AEF；（2）若M是线段AE上的任意一点，求直线B1M与平面AEF所成角正弦的最大值．【解答】（1）证明：连接DC1，BC1，∵D，E分别是AA1，CC1的中点，∵AD=C1E，AD∥C1E，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AE∥DC，∵E，F分别是CC1，BC的中点，∴EF∥BC1，∴平面AEF∥平面BDC1，又BD⊂平面BDC1，∴BD∥平面AEF．（2）解：以A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：可知：A（0，0，0），B1（2，0，2），E（0，2，1），F（1，1，0），∴，，=（﹣2，0，﹣2），设平面AEF的法向量为，由，得，令z=2，得x=1，y=﹣1，即，设，则=+=+λ=（﹣2，0，﹣2）+λ（0，2，1）=（﹣2，2λ，λ﹣2）．设直线B1M与平面AEF所成角为θ，则=∴当时，．20．（12分）如图，点是圆内的一个定点，点P 是圆A上的任意一点，线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆A上运动时，点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）点E（2，0），F（0，1），直线QE与y轴交于点M，直线QF与x轴交于点N，求|EN|•|FM|的值．【解答】解：（1）因为点Q在BP的垂直平分线上，所以|QB|=|QP|，∴|QA|+|QB|=|QA|+|QP|=4，从而点Q的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，这时，a=2，，∴b=1，所以曲线C的方程为．（2）由题设知，直线的斜率存在．设直线QE的方程为y=k（x﹣2），Q（x1，y1），E（x2，y2），由，得（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0，因为，x2=2，所以，所以，因为点F，N，Q共线，k FN=k FQ，所以，即，又直线QE与y轴的交点纵坐标为y M=﹣2k，所以，|FM|=|1﹣y M|=|1+2k|，所以|EN|•|FM|=4．21．（12分）设函数f（x）=x+lnx﹣．（1）讨论函数f（x）的单词性；（2）当a=1时，记g（x）=xf（x），是否存在整数t，使得关于x的不等式t≥g （x）有解？若存在，请求出t的最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）f′（x）=当a＜0时，x∈（0，﹣a）时，f'（x）＜0；x∈（﹣a，+∞）时，f'（x）＞0；当0≤a≤1时，x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0；当a＞1时，x∈（0，a﹣1）时，f'（x）＜0；x∈（a﹣1，+∞）时，f'（x）＞0；综上，当a＜0时，函数f（x）的单调减区间是（0，﹣a）；单调增区间是（﹣a，+∞）；当0≤a≤1时，函数f（x）的单调增区间是（0，+∞）；无单调减区间；当a＞1时，函数f（x）的单调减区间是（0，a﹣1）；单调增区间是（a﹣1，+∞）．（2）当a=1时，g（x）=xf（x）=x2+xlnx，g'（x）=2x+lnx+1，可知函数g'（x）单调递增，，，所以存在唯一，使得g'（x0）=0，即g'（x0）=2x0+lnx0+1=0，当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0；x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞0；所以，记函数，φ（x0）在上递减．所以，即．由，且t为整数，得t≥0．所以存在整数t满足题意，且t的最小值为0．22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρcos2θ=2sinθ．（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，点M为AB的中点，点P的极坐标为，求|PM|的值．【解答】解：（1）由，得y=3x+1，由曲线C的极坐标方程ρcos2θ=2sinθ，得ρ2cos2θ=2ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2=2y．（2）由，得x2﹣6x﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1+x2=6，AB的中点是，所以M （3，10）， 点P 的极坐标为，所以点P 的直角坐标为． 则：|PM |=．23．（10分）设函数f （x ）=|x ﹣a |+2x ．（1）当a=﹣1时，求不等式f （x ）≤0的解集；（2）若x ≥﹣1时，恒有f （x ）≥0成立，求a 的取值范围．【解答】解：（1）因为|x +1|+2x ≤0， 所以或，即或x ＜﹣1，则不等式f （x ）≤0的解集是 ．（2）因为为增函数，当a ≤﹣1时，3×（﹣1）﹣a ≥0，从而a ≤﹣3， 当a ≥﹣1时，﹣1+a ≥0，从而a ≥1， 综上，a ≤﹣3，或a ≥1．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =定义域R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。
2018届高三五月联考数学试卷理科(附答案)
安徽省宿州市2018届高三五月联考数学试卷(理)一选择题：1.已知集合{})90sin(,0cos 0-= A ，{}02=+=x x x B ，则B A ⋂为（ ） {}1,0.-A {}1,1.-B {}1.-C {}0.D 2.i 为虚数单位，则复数=+-)1()1(2i i （ ）i A 22.+- i B 22.-- i C 22.+ i D 22.-3.设γβα、、为三个不同的平面，给出下列条件：①b a 、为异面直线，βαβα//,//,,a b b a ≠≠⊂⊂ ②α内有三个不共线的点到β的距离相等 ③γβγα⊥⊥, ④γβγα//,//，则其中能使βα//成立的条件为：（ ）A ①④B ②③C ①③D ②④4.如图是2018年北京奥运会上男子跳台跳水比赛中， 12位评委为某个运动员打出的分数的茎叶统计图， 去掉一个最高分和一个最低分之后，所剰数据的 平均数和标准差分别为（ ）16,84.A 4,84.B 16,85.C 4,85.D5．已知变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥,0,2,1y x y x 则2x+y 的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．66.已知21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 系数为( )5.A 10.B 20.C 40.D7.设134:≤-x p ；0)1()12(:2≤+++-a a x a x q .若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件， 则实数a 的取值范围是（ ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0.B (]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃∞-,210,.C ()⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃∞-,210,.D8.△ABC 中，AB=AC ，BC=2,则=⋅（ ）2.-A 2.B 1.-C .D 不确定9.当20π<<x 时，函数xxx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（ ）2.A 32.B 34.C 4.D10.若正四面体SABC 的面ABC 内有一动点P 到平面SAB 、平面SBC 、平面SCA 的距离依次成等差数列，则点P 的轨迹是（ ）.A 一条线段 .B 一个点 .C 一段圆弧 .D 抛物线的一段11.已知点P 是抛物线x y 42=上一点，设点P 到此抛物线准线的距离为1d ，到直线0102=++y x 的距离为2d ，则21d d +的最小值为（ ）5.A 4.B 5511.C 511.D12.在数列{}n a 中，对任意*∈N n ，都有k a a a a nn n n =--+++112（k 为常数），则称{}n a 为“等差比数列”，下面对“等差比数列”的判断：①k 不可能为零；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为)1,0,0(≠≠+⋅=b a c b a a n n 的数列一定是等差比数列，其中正确的判断为（ ） .A ① ② .B ② ③ .C ③ ④ .D ① ④二填空题：13.()202x x e dx -=⎰ .14. 执行右边的程序框图，若4p =，则输出的S =15.设M 、N 分别是曲线0sin 2=+θρ和224sin(=+πθρ上的动点，则M 、N 的最小距离是______16.设定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=)1(2)1(44)(x x x x f ，若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有三个不同的实数解321,,x x x ，则=++232221x x x ____三解答题：17.在锐角ABC ∆中，C B A ,,的对边分别为c b a ,,且A c B b C a cos ,cos ,cos 成等差数列， （1）求B 的值（2）求)cos(sin 22C A A -+的范围18. （12分）一个多面体的直观图如图所示（其中N M ,分别为BC AF ,的中点） （1）求证：//MN 平面CDEF （2）求多面体CDEF A -的体积19.已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为31，某植物研究所分2个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次实验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次实验是失败的。
临江市高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案
临江市高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 下面的结构图，总经理的直接下属是（ ）A ．总工程师和专家办公室B ．开发部C ．总工程师、专家办公室和开发部D ．总工程师、专家办公室和所有七个部2． 已知f （x ），g （x ）都是R 上的奇函数，f （x ）＞0的解集为（a 2，b ），g （x ）＞0的解集为（，），且a 2＜，则f （x ）g （x ）＞0的解集为（ ）A．（﹣，﹣a 2）∪（a 2，） B．（﹣，a 2）∪（﹣a 2，） C．（﹣，﹣a 2）∪（a 2，b ）D ．（﹣b ，﹣a 2）∪（a 2，）3． 设函数()()21,141x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的自变量的取值范围为（ ）A ．(][],20,10-∞-B ．(][],20,1-∞-C ．(][],21,10-∞-D ．[][]2,01,10-4． 线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是（ ）A ．AB ⊂αB ．AB ⊄αC ．由线段AB 的长短而定D ．以上都不对5． 已知x ∈R ，命题“若x 2＞0，则x ＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36． 点A是椭圆上一点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，I 是△AF 1F 2的内心．若，则该椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．7． 已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若+，则x 、y 的值分别为（ ）A ．x=1，y=1B ．x=1，y=C ．x=，y=D ．x=，y=18． 设集合,,则( )A BCD9． 已知向量(1,2)a =，(1,0)b =，(3,4)c =，若λ为实数，()//a b c λ+，则λ=（ ） A ．14 B ．12C ．1D ．210．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m ），且∥，则=（ ）A ．（﹣5，﹣10）B ．（﹣4，﹣8）C ．（﹣3，﹣6）D ．（﹣2，﹣4）11．下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m 表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m 的可能取值集合为（ ）A ．B ．C ．D ．12．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ） A ．B ．y=x 2C ．y=﹣x|x|D ．y=x ﹣2二、填空题13．已知M N 、为抛物线24y x =上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为_________.14．已知函数f （x ）=，则关于函数F （x ）=f （f （x ））的零点个数，正确的结论是 ．（写出你认为正确的所有结论的序号）①k=0时，F （x ）恰有一个零点．②k ＜0时，F （x ）恰有2个零点． ③k ＞0时，F （x ）恰有3个零点．④k ＞0时，F （x ）恰有4个零点．15．某公司租赁甲、乙两种设备生产A B ，两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费用为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为__________元. 16．集合A={x|﹣1＜x ＜3}，B={x|x ＜1}，则A ∩B= ．17．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定(),A Bk k A B ABϕ-=（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给 出以下命题：①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),A B ϕ ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；④设曲线xy e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞.其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）18．当a ＞0，a ≠1时，函数f （x ）=log a （x ﹣1）+1的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ﹣y+n=0上，则4m +2n 的最小值是 ．三、解答题19．（本小题满分12分）设p ：实数满足不等式39a ≤，：函数()()32331932a f x x x x -=++无极值点. （1）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数的取值范围；（2）已知“p q ∧”为真命题，并记为，且：2112022a m a m m ⎛⎫⎛⎫-+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若是t ⌝的必要不充分条件，求正整数m 的值．20．．（1）求证：（2），若．21．已知，且．（1）求sin α，cos α的值；（2）若，求sin β的值．22．（本题满分15分）如图，已知长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，M 为DC 的中点，将ADM ∆沿AM 折起，使得平面⊥ADM 平面ABCM ．（1）求证：BM AD ⊥；（2）若)10(<<=λλDB DE ，当二面角D AM E --大小为3π时，求λ的值．【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．23．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为菱形，Q P E 、、分别是棱AB SC AD 、、的中点，且⊥SE 平面ABCD .（1）求证：//PQ 平面SAD ； （2）求证：平面⊥SAC 平面SEQ .24．由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数．（1）若x=5，其中能被5整除的共有多少个？（2）若x=9，其中能被3整除的共有多少个？（3）若x=0，其中的偶数共有多少个？（4）若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x．临江市高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：按照结构图的表示一目了然，就是总工程师、专家办公室和开发部．读结构图的顺序是按照从上到下，从左到右的顺序．故选C．【点评】本题是一个已知结构图，通过解读各部分从而得到系统具有的功能，在解读时，要从大的部分读起，一般而言，是从左到右，从上到下的过程解读．2．【答案】A【解析】解：∵f（x），g（x）都是R上的奇函数，f（x）＞0的解集为（a2，b），g（x）＞0的解集为（，），且a2＜，∴f（x）＜0的解集为（﹣b，﹣a2），g（x）＜0的解集为（﹣，﹣），则不等式f（x）g（x）＞0等价为或，即a2＜x＜或﹣＜x＜﹣a2，故不等式的解集为（﹣，﹣a2）∪（a2，），故选：A．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的对称性的性质求出f（x）＜0和g（x）＜0的解集是解决本题的关键．3．【答案】A【解析】考点：分段函数的应用.【方法点晴】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中涉及到不等式的求解，集合的交集和集合的并集运算，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据分段函数的分段条件，列出相应的不等式，通过求解每个不等式的解集，利用集合的运算是解答的关键. 4．【答案】A【解析】解：∵线段AB在平面α内，∴直线AB上所有的点都在平面α内，∴直线AB与平面α的位置关系：直线在平面α内，用符号表示为：AB⊂α故选A．【点评】本题考查了空间中直线与直线的位置关系及公理一，主要根据定义进行判断，考查了空间想象能力．公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上．5．【答案】C【解析】解：命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题是“若x＞0，则x2＞0”，是真命题；否命题是“若x2≤0，则x≤0”，是真命题；逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题；综上，以上3个命题中真命题的个数是2．故选：C6．【答案】B【解析】解：设△AF1F2的内切圆半径为r，则S△IAF1=|AF1|r，S△IAF2=|AF2|r，S△IF1F2=|F1F2|r，∵，∴|AF1|r=2×|F1F2|r﹣|AF2|r，整理，得|AF|+|AF2|=2|F1F2|．∴a=2，1∴椭圆的离心率e===．故选：B．7．【答案】C【解析】解：如图，++（）．故选C．8． 【答案】C【解析】送分题,直接考察补集的概念,,故选C 。
二项式定理(1)
x 二项式定理1.【来源】浙江省 2017 届高三“超级全能生”3 月联考数学试题 在二项式(2x - 1)6的展开式中，常数项是（ C ）xA ．-240B ．240C ．-160D ．160答案及解析：2.【来源】安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题在(1+x )6(1－2x )展开式中，含 x 5 的项的系数是( D ) A. 36B. 24C. －36D. －243.【来源】新疆维吾尔自治区 2018 届高三第二次适应性（模拟）检测数学（理）试题若⎛ 2 1 ⎫n- x ⎪ 展开式中含 x 项的系数为-80，则 n 等于（ A ）⎝ ⎭A ．5B ．6 C.7 D ．84.【来源】浙江省金丽衢十二校联考 2017 届高考二模数学试题在（1+x 3）（1﹣x ）8 的展开式中，x 5 的系数是（ A ） A ．﹣28B ．﹣84C ．28D ．84答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：由（1+x 3）展开可知含有 x 3 与（1﹣x ）8 展开的 x 2 可得 x 5 的系数； 由（1+x 3）展开可知常数项与（1﹣x ）8 展开的 x 5，同样可得 x 5 的系数； ∴含 x 5 的项+=28x 5﹣56x 5=﹣28x 5；∴x 5 的系数为﹣28， 故选 A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式的系数把含有 x 5 的项找到．从而可以利用通项求解．属于中档题5.【来源】北京东城景山学校 2016-2017 学年高二下学期期中考试数学（理）试题设(3x -1)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 ，则 a + a + a + a的值为（ A ）．12341234A ．15B ．16C ．1D ．－15答案及解析： 在(3x -1)4= a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 中，令 x = 0 ，可得 a = 1 ，1234再令 x = 1可得 a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 16 ， 所以 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 15 ．n 7 7 7 故选 A ．6.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题在(x + y )n的展开式中，若第七项系数最大，则 n 的值可能等于（ D ）．A ．13，14B ．14，15C ．12，13D ．11，12，13答案及解析：(x + y )n 的展开式第七项系数为 C 6 ，且最大，可知此为展开式中间项，当展开式为奇数项时： n= 6 ， n = 12 ，2当有偶数项时 n + 1= 6 ， n = 11， 2 或 n + 1 = 7 ， n = 13 ，2故 n = 11，12 ，13 ． 选 D ．7.【来源】广东省广州市海珠区 2018 届高三综合测试（一）数学（理）试题(x + y )(2x - y )6 的展开式中 x 4 y 3 的系数为（ D ）A ．－80B ．－40C. 40D ．808.【来源】广东省潮州市 2017 届高三数学二模试卷数学（理）试题 在（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ） A ．71 B ．70 C ．21 D ．49答案及解析：【分析】先将问题转化为二项式（1﹣2x ）7 的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第 r+1 项，令 x 的指数分别等于 1，2 求出特定项的系数【解答】解：（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中 x 2 的系数等于（1﹣2x ）7 展开式的 x 的系数+（1﹣2x ）7 展开式的 x 2 的系数，（x+1）7 展开式的通项为 T r+1=（﹣2）r C r x r ，故展开式中 x 2 的系数是（﹣2）2C 2+（﹣2）•C 1=84﹣14=60，故选：B ．9.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第四次联考数学试题 在二项式(x 2- 1)5 的展开式中，含 x 7的项的系数是（ C ）xA ． -10B. 10C. -5D. 510.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题 已知(1 + x )n的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为( D ) A ．212B ．211C.210D ．2911.【来源】上海市浦东新区 2018 届高三上学期期中考试数学试卷展开式中的常数项为（ C ）x -A.-1320B.1320C.-220D.22012.【来源】浙江省绍兴一中2017 届高三上学期期末数学试题在（x﹣y）10 的展开式中，系数最小的项是（C ）A．第4 项B．第5 项C．第6 项D．第7 项答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式可得出系数最小的项系数一定为负，再结合组合数的性质即可判断出系数最小的项．【解答】解：展开式共有11 项，奇数项为正，偶数项为负，且第6 项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项第 6项．故选C．13.【来源】浙江省金华十校联考2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n中，若2a2+a n﹣5=0，则自然数n的值是（B）A．7 B．8 C．9 D．10答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r可得a r=（﹣1）r•，于是有2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，由此可解得自然数n 的值．【解答】解：由题意得，该二项展开式的通项公式•（﹣1）r x r，∴该项的系数，∵2a2+a n﹣5=0，∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，即+（﹣1）n﹣5•=0，∴n﹣5 为奇数，∴2==，∴2×=，∴（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）=120．∴n=8．故答案为：8．14.【来源】浙江省重点中学2019 届高三上学期期末热身联考数学试题⎛ 2 ⎫5 1⎪1展开式中，x2的系数是( B )⎝⎭A、80B、－80C、40D、－4015.【来源】山东省德州市2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题a 2 4如果x + x - 的展开式中各项系数之和为2，则展开式中x 的系数是( C ) x xA．8 B．－8 C.16 D．－1616.【来源】云南省昆明市第一中学2018 届高三第八次月考数学（理）试题x x2 ⎪ ⎛1- 1 ⎫ (1+ x )6x 3⎝ ⎭ 展开式中 x 的系数为（B ）A ．－14B ．14C. 15D ．3017.【来源】安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（K12 联盟）2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题在二项式(x - 1)n 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，则展开式中含有 x 2项的系数是（ C ）xA ．35B ．－35C ．－56D ．56答案及解析：第五项的二项式系数最大，则，通项，令，故系数.18.【来源】辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校 2016-2017 学年高二下学期期末联考数学（理）试题 在( - 2)n 的展开式中，各项的二项式系数之和为 64，则展开式中常数项为（ A ）xA ．60B ．45C ． 30D ．1519.【来源】湖北省武汉市 2018 届高三四月调研测试数学理试题 在(x + 1-1)6 的展开式中，含 x 5项的系数为（ B ）xA ．6B ．－6C ．24D ．－24答案及解析：的展开式的通项 ．的展开式的通项=． 由 6﹣r ﹣2s=5，得 r+2s=1，∵r ，s ∈N ，∴r=1，s=0． ∴的展开式中，含 x 5 项的系数为 ． 故选：B ．20.【来源】辽宁省抚顺市 2018 届高三 3 月高考模拟考试数学（理）试题在(2 -1)6 的展开式中，含 1项的系数为( C )xA. －60B. 160C. 60D. 6421.【来源】2018 年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）(x 2+ 2)5 的展开式中 x 4 的系数为( C )xA ．10B ．20C ．40D ．80答案及解析：由题可得 令 ,则所以x2× 4x9 n故选 C.22.【来源】浙江省金华市十校联考 2016-2017 学年高二下学期期末数学试卷在（x 2﹣4）5 的展开式中，含 x 6 的项的系数为（ D ） A ．20 B ．40 C ．80 D ．160答案及解析：【分析】=（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2，由此能求出含 x 6 的项的系数．【解答】解：∵（x 2﹣4）5， ∴T r+1==（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2， ∴含 x 6 的项的系数为=160． 故选：D ．23.【来源】浙江省诸暨市牌头中学 2018 届高三 1 月月考数学试题 在⎛x 2 - ⎝2 ⎫6的展开式中，常数项为（ D ）⎪⎭ A ．-240 B ．-60 C ．60 D ．24024.【来源】浙江省湖州市 2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 的展开式中，含 x 3 的项的系数是（ D ） A ．121 B ．﹣74C ．74D ．﹣121答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用等比数列的前 n 项公式化简代数式；利用二项展开式的通项公式求出含 x 4 的项的系数，即是代数式的含 x 3 的项的系数．【解答】解：（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 ==，（1﹣x ）5 中 x 4 的系数 ，﹣（1﹣x ）9 中 x 4 的系数为﹣C 4=﹣126，﹣126+5=﹣121． 故选：D25.【来源】甘肃省兰州市第一中学 2018 届高三上学期期中考试数学（理）试题在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中，x 3 的系数是（ A ） A ．0B ．10C ．－10D ．20答案及解析：(x +1)4 的展开式的通项, 因此在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中,x 3 的系数是26.【来源】山西重点中学协作体 2017 届高三暑期联考数学（理）试题在二项式 + 1的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互 x xx 1 ⎝ ⎭不相邻的概率为( D ) A ． 16B ． 14C. 1 3D ． 51227.【来源】湖北省孝感市八校 2017-2018 学年高二上学期期末考试数学（理）试题已知C 0- 4C 1+ 42C 2- 43C 3+ + (-1)n 4nC n= 729 ，则C 1+ C 2+ + C n的值等于（ C ）nnnnnA ．64B ．32 C.63 D ．31答案及解析：nnn因为 ，所因，选 C. 28.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题若òn(2x -1)dx = 6 ，则二项式(1 - 2x )n的展开式各项系数和为( A ) A ．－1 B ．26 C ．1 D ． 2n29.【来源】浙江省金华十校 2017 届高三数学模拟试卷（4 月份）数学试题若(x －1)8=1+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8，则 a 5=（ B ） A ．56B ．﹣56C ．35D ．﹣35答案及解析：利用通项公式即可得出． 解：通项公式 T r+1=（﹣1）8﹣r x r ，令 r=5，则（﹣1）3=﹣56．故选：B ．30.【来源】广东省茂名市五大联盟学校 2018 届高三 3 月联考数学（理）试题6⎛ 1 ⎫ x 4在( + x ) 1+ y ⎪ 的展开式中， y 2 项的系数为（ C ）A ．200B ．180 C. 150 D ．120答案及解析：展开式的通项公式，令可得：，，展开式的通项公式 ，令可得，据此可得： 项的系数为 .本题选择 C 选项.31.【来源】吉林省长春外国语学校 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题 (2－x )(1+2x )5 展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ）x x 0 1 2 2017 3n nx A ． 30 B ． 70 C ．90 D ．－15032.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第三次联考数学试题若(1 + x )3 + (1 + x )4 + (1 + x )5 + + (1 + x )2017 = a + a x + a x 2 + + a x 2017 ，则 a 的值为（ D ）3 2017 32018 420174201833.【来源】广东省肇庆市 2017 届高考二模数学（理）试题若（x 6+ 1 ）n的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于（ C ）A ．3B ．4C ．5D ．6答案及解析：【分析】二项式的通项公式 T r+1=C ）r ，对其进行整理，令 x 的指数为 0，建立方程求出 n 的最小值．【解答】解：由题意 ）n 的展开式的项为）r =C n r=C r令r=0，得 r ，当 r=4 时，n 取到最小值 5故选：C ．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条 件转化成指数为 0，得到 n 的表达式，推测出它的值．34.【来源】上海市金山中学 2017-2018 学年高二下学期期中考试数学试题 设(3x -1)6= a x 6+ a x 5+ + a x + a ，则| a | + | a | + | a | + + | a| 的值为…（ B ）651126(A) 26(B) 46(C) 56(D) 26+ 4635.【来源】浙江省台州市 2016-2017 学年高二下学期期末数学试题x -已知在（ 2 1 ）n的展开式中，第 6 项为常数项，则 n =（ D ）A ．9B ．8C ．7D ．6答案及解析：【考点】二项式系数的性质． 【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：∵第 6 项为常数项，由 =﹣ •x n ﹣6，可得 n ﹣6=0．解得 n=6． 故选：D ．36.【来源】山东省潍坊寿光市 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题⎛ 1 ⎫6+ 2x ⎪ ⎝ ⎭的展开式中常数项为（ B ） A ．120B ．160C. 200D ．24037.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 (2x + 3)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4(a + a + a )2 - (a + a )2若0 1 2 3 4，则 0 2 41 3 的值为（ A ）． 5 x A ． C B ． C C ． C D ． Cx x A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2答案及解析：令 x = 1， a + a + + a = (2 + 3)4 ，1 4令 x = -1， a - a + a - a + a= (-2 + 3)4 ，1234而 (a + a + a )2 - (a + a )22413= (a 0 + a 2 + a 4 + a 1 + a 3 )(a 0 - a 1 + a 2 - a 3 + a 4 )= (2 + 选 A ．3)4 (-2 + 3)4 = (3 - 4)4 = 1． 38.【来源】云南省曲靖市第一中学 2018 届高三 4 月高考复习质量监测卷（七）数学（理）试题设 i 是虚数单位，a 是(x + i )6的展开式的各项系数和，则 a 的共轭复数 a 的值是（ B ） A ． －8iB ． 8iC ． 8D ．-8答案及解析：由题意，不妨令 ，则，将转化为三角函数形式，，由复数三角形式的乘方法则，，则，故正确答案为 B.39.【来源】福建省三明市 2016-2017 学年高二下学期普通高中期末数学（理）试题 a 2 52x + x - 的展开式中各项系数的和为－1，则该展开式中常数项为( A ) x xA ．－200B ．－120 C.120 D ．20040.【来源】甘肃省天水一中 2018 届高三上学期第四次阶段（期末）数学（理）试题已知（1+ax ）(1+x )5 的展开式中 x 2 的系数为 5，则 a =( D )A.-4B.-3C.-2D.-141.【来源】广东省深圳市宝安区 2018 届高三 9 月调研测数学（理）试题(1 + 1)(1 + x )5 展开式中 x 2 的系数为 ( A )xA ．20B ．15C ．6D ．142.【来源】甘肃省民乐一中、张掖二中 2019 届高三上学期第一次调研考试（12 月）数学（理）试题⎛ a ⎫ ⎛1 ⎫5x + ⎪ 2x - ⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭ 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为( D )A ．-40B ．-20C ．20D ．4043.【来源】浙江省名校协作体 2018 届高三上学期考试数学试题⎛ 1+ 2⎫(1- x )4 展开式中 x 2 的系数为（ C ） x ⎪ ⎝ ⎭A .16B .12C .8D .444.【来源】山西省太原市 2018 届高三第三次模拟考试数学（理）试题已知(x -1)(ax +1)6展开式中 x 2 的系数为 0，则正实数a = （ B ） 22 A ．1B ．C.53D ． 2x 4 5 5 答案及解析：的展开式的通项公式为.令 得 ；令得.展开式 为. 由题意知，解得（舍）.故选 B. 45.【来源】吉林省松原市实验高级中学、长春市第十一高中、东北师范大学附属中学 2016 届高三下学期三校联合模拟考试数学（理）试题(x +1)2 (x - 2)4的展开式中含 x 3 项的系数为( D )A ．16B ．40 C.－40 D ．846.【来源】海南省天一大联考 2018 届高三毕业班阶段性测试（三）数学（理）试题若(2x - 3)2018= a + a x + a x 2 + L + ax 2018 ，则 a + 2a + 3a + L + 2018a= （ D ）122018A ．4036B ．2018C ．-2018D ．-4036123201847.【来源】湖北省天门、仙桃、潜江 2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题(1 + x )8 (1 + y )4 的展开式中 x 2y 2 的系数是 ( D )A ．56B ．84C ．112D ．168答案及解析：因的展开式 的系数 ，的展开式 的系数 ，所的系数.故选 D.48.【来源】北京西城八中 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 ⎛ x 2 - 在二项式⎝ 1 ⎫5⎪⎭ 的展开式中，含 x 的项的系数是（ C ）． A ．－10B ．－5C ．10D ．5答案及解析：解： ⎛ x 2 - 1 ⎫5⎪ 的展开项T = C k (x 2 )k (-x -1 )5-k = (-1)5-k C k x 3k -5 ，令3k - 5 = 4 ，可得 k = 3， ⎝x ⎭ k +1 5 5∴ (-1)5-k C k = (-1)5-3 C 3= 10 ． 故选 C ．49.【来源】广东省化州市 2019 届高三上学期第二次模拟考生数学（理）试题 已知(x +1)(ax - 1)5的展开式中常数项为－40，则 a 的值为（ C ）xA. 2B. －2C. ±2D. 450.【来源】福建省“华安一中、长泰一中、南靖一中、平和一中”四校联考 2017-2018 学年高二下学期第二次联考试题（5 月）数学（理）试题若(1 - 2 x )n(n ∈ N *) 的展开式中 x 4的系数为 80，则(1 - 2 x )n的展开式中各项系数的绝对值之和为( C ) A ．32B ．81C ．243D ．256。
2018届高三上学期期末联考理科数学试卷 Word版含答案
2018届上学期期末联考高三理科 数学试卷【完卷时间：120分钟；满分150分】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把答案填涂在答题卷相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．。
1．若{}m A ,1,0=，02B x x {|}=<<，且{}m B A ,1=⋂，则m 的取值范围是( ) A ．01(,) B ．12(,) C ．0112(,)(,) D ．02(,)2. 复数2(2)1i z i+=-（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知| ||1,||2,,a b c a b ===+且,c a ⊥ 则向量a 与b 的夹角θ等于( )A ．030B ．060C ．0120D ．01504.如图是一个几何体的三视图，尺寸如图所示，（单位：cm ），则这个几何体的体积是（ ）A ．)3610(+πcm 3B ．)3511(+πcm 3C ．)3612(+πcm 3D ．)3413(+πcm 35.程序框图如图：如果上述程序运行的结果S=1320，那么判断框中应填入 （ ）A ．K<10？B ．K ≤10？C ．K<11？D ．K ≤11？ 6. 等差数列{}n a 中，n S 是前n 项和，且k S S S S ==783,，则k 的值为( )A.4B.11C.2D. 127．函数331x x y =-的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．8．在平面直角坐标系中，不等式组)(,,04,0为常数a a x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为（ ）A ．223+B ．—223+C ．—5D ．1 9．若函数()cos(2)6f x x π=-，为了得到函数()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象( )A ．向右平移6π个长度单位 B.向右平移3π个长度单位 C.向左平移6π个长度单位 D.向左平移3π个长度单位10.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点为E ，过双曲线的左焦点且垂直于x 轴的直线与该双曲线相交于A 、B 两点，若∠AEB=90°，则该双曲线的离心率e 是（ ） A ．215+ B ．2 C ．215+或2 D ．不存在11. 若关于x 的方程x ax x =-23有不同的四解，则a 的取值范围为（ ）A ．a ＞1B ．a ＜1C ．a ＞2D ．a ＜212.设()f x 是定义在R 上的恒不为零的函数，对任意的实数,x y R ∈，都有()()()y x f y f x f +=若112a =，()n a f n =,n N *∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是（ ） A ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市朝阳区2018-2019高三数学期末考试(理科)试题(解析版)
北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷（理工类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用并集定义直接求解．【详解】集合A＝{x∈N|1≤x≤3}＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，∴A∪B＝{1，2，3，4，5}．故选：D．【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.设复数满足，则=A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】由（1﹣i）z＝2i，得z，∴|z|．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的=A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件跳出循环，确定输出S的值【详解】模拟程序的运行，可得S＝12，n＝1执行循环体，S＝10，n＝2不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝6，n＝3不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝0，n＝4不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝﹣8，n＝5满足条件S+n≤0，退出循环，输出S的值为﹣8．故选：A．【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4.在平面直角坐标系中，过三点的圆被轴截得的弦长为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用待定系数法求出圆的一般方程，令y＝0可得：x2﹣4x＝0，由此即可得到圆被轴截得的弦长.【详解】根据题意，设过A、B、C的圆为圆M，其方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，又由A（4，4），B（4，0），C（0，4），则有，解可得：D＝﹣4，E＝﹣4，F＝0，即圆M的方程为x2+y2﹣4x﹣4y＝0，令y＝0可得：x2﹣4x＝0，解可得：x1＝0，x2＝4，即圆与x轴的交点的坐标为（0，0），（4，0），则圆被x轴截得的弦长为4；故选：A．【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及待定系数法求圆的方程，关键是求出圆的方程．5.将函数的图象向右平移个单位后，图象经过点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数平移变换的规律得到向右平移φ（φ＞0）个单位长度的解析式，将点带入求解即可．【详解】将函数y＝sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，可得y＝sin2（x﹣φ）＝sin（2x﹣2φ），图象过点，∴sin（2φ），即2φ2kπ，或2kπ，k∈Z，即φ 或，k ∈Z ，∵φ＞0，∴φ的最小值为． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，考查计算能力，属于基础题． 6.设为实数，则是 “”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 由“x ＜0”易得“”，反过来，由“”可得出“x ＜0”，从而得出“x ＜0”是“”的充分必要条件．【详解】若x ＜0，﹣x ＞0，则：；∴“x ＜0“是““的充分条件；若，则；解得x ＜0； ∴“x ＜0“是““的必要条件；综上得，“x ＜0”是“”的充分必要条件．故选：C ．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件． 7.对任意实数，都有（且），则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得a＞1且a≤e x+3对任意实数x都成立，根据指数函数的性质即可求出．【详解】∵log a（e x+3）≥1＝log a a，∴a＞1且a≤e x+3对任意实数x都成立，又e x+3＞3，∴1＜a≤3，故选：B【点睛】本题考查了对数的运算性质和函数恒成立的问题，属于中档题．8.以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正八面体与大小正方体的关系，即可得到结果.【详解】正方体C1各面中心为顶点的凸多面体C2为正八面体，它的中截面（垂直平分相对顶点连线的界面）是正方形，该正方形对角线长等于正方体的棱长，所以它的棱长a2；以C2各个面的中心为顶点的正方体为图形C3是正方体，正方体C3面对角线长等于C2棱长的，（正三角形中心到对边的距离等于高的），因此对角线为，所以a，3故选：【点睛】本题考查组合体的特征，抓住两个组合体主元素的关系是解题的关键，考查空间想象能力，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9.已知数列为等差数列，为其前项的和.若，，则_______.【答案】【解析】【分析】运用等差数列的前n项和公式可解决此问题．【详解】根据题意得，2＝6，∴＝3 又＝7，∴2d＝7﹣3＝4，∴d＝2，＝1，∴S＝55+20＝25，5故答案为：25．【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式的应用．10.已知四边形的顶点A，B，C，D在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则____________.【答案】【解析】【分析】以A为坐标原点，以AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，分别求出的坐标，由数量积的坐标运算得答案．【详解】如图，以A为坐标原点，以AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（4，2），C（7，0），D（3，﹣2），∴，，∴7×1+0×4＝7．故答案为：7．【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，合理构建坐标系是解题的关键，是基础的计算题．11.如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为_______________．【答案】【解析】【分析】由三视图还原几何体，该几何体为三棱锥，底面三角形ACB与侧面三角形APB为全等的等腰直角三角形，侧面PAB⊥侧面ACB，AB＝4，PO＝OC＝2，由此即可得到结果．【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面三角形ACB与侧面三角形APB为全等的等腰直角三角形，侧面PAB⊥侧面ACB，AB＝4，PO＝OC＝2．侧面PAC与PBC为全等的等边三角形．则该三棱锥的体积为V＝．故答案为：．【点睛】本题考查由三视图求体积，关键是由三视图还原原几何体，考查空间想象能力及运算能力，是中档题．12.过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为.若，则__________________.【答案】【解析】【分析】设直线AB的倾斜家为锐角θ，由|AF|＝4|BF|，可解出cosθ的值，进而得出sinθ的值，然后利用抛物线的焦点弦长公式计算出线段AB的长，再利用|CD|＝|AB|sinθ可计算出答案．【详解】设直线AB的倾斜角为θ，并设θ为锐角，由于|AF|＝4|BF|，则有，解得，则，由抛物线的焦点弦长公式可得，因此，．故答案为：5．【点睛】本题考查抛物线的性质，解决本题的关键在于灵活利用抛物线的焦点弦长公式，属于中等题．13.2018年国际象棋奥林匹克团体赛中国男队、女队同时夺冠.国际象棋中骑士的移动规则是沿着3×2格或2×3格的对角移动.在历史上，欧拉、泰勒、哈密尔顿等数学家研究了“骑士巡游”问题：在格的黑白相间的国际象棋棋盘上移动骑士，是否可以让骑士从某方格内出发不重复地走遍棋盘上的每一格？图（一）给出了骑士的一种走法，它从图上标1的方格内出发，依次经过标2,3,4,5,6,,到达标64的方格内，不重复地走遍棋盘上的每一格，又可从标64的方格内直接走回到标1的方格内.如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，_____（填“能”或“不能”）走回到标50的方格内.若骑士限制在图（二）中的3×4=12格内按规则移动，存在唯一一种给方格标数字的方式，使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2,3,4,5,6,,到达右下角标12的方格内，分析图（二）中A处所标的数应为____.【答案】(1). 能(2).【解析】【分析】根据题意，画出路线图，解判断是否能，再根据题意，结合题目中的数字，即可求出A处的数字．【详解】如图所示：如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，能走回到标50的方格内，如图所示：使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2，3，4，5，6，…，到达右下角标12的方格，且路线是唯一的，故A处应该为8，故答案为：能，8【点睛】本题考查了合情推理的问题，考查了转化与化归思想，整体和部分的思想，属于中档题14.如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是___________.【答案】【解析】【分析】设等腰三角形底角为，阴影面积为，根据正弦函数的图象与性质即可得到结果.【详解】设等腰三角形底角为，则等腰三角形底边长为高为，阴影面积为：,当时，阴影面积的最大值为故答案为：【点睛】本题考查平面图形的面积问题，考查三角函数的图象与性质，解题关键用等腰三角形底角为表示等腰三角形的底边与高.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.在中，已知，（1）求的长；（2）求边上的中线的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用同角关系得到，结合正弦定理即可得到的长；（2）在中求出，结合余弦定理即可得到边上的中线的长. 【详解】解：（1）由，，所以.由正弦定理得，，即.（2）在中，.由余弦定理得，,所以.所以.【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查推理及运算能力，属于中档题.16.某日A,B,C三个城市18个销售点的小麦价格如下表：（1）甲以B市5个销售点小麦价格的中位数作为购买价格，乙从C市4个销售点中随机挑选2个了解小麦价格.记乙挑选的2个销售点中小麦价格比甲的购买价格高的个数为，求的分布列及数学期望；（2）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大.请你对A,B,C三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）.【答案】（1）分布列见解析，期望为1（2）C,A,B【解析】【分析】(1)由题意可得的可能取值为0，1，2.求出相应的概率值，即可得到的分布列及数学期望；（2）三个城市按照价格差异性从大到小排列为：C，A，B．【详解】解：（1）B市共有5个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500.所以中位数为2500，所以甲的购买价格为2500.C市共有4个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580，故的可能取值为0，1，2.，，.所以分布列为所以数学期望.（2）三个城市按小麦价格差异性从大到小排序为：C,A,B【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.17.如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且分别是的中点.（1）求证：平面；（2）当侧面是正方形，且时，（ⅰ）求二面角的大小；（ⅱ）在线段上是否存在点，使得？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）（ⅰ）（ⅱ）点在点处时，有【解析】【分析】（1）取中点，证明四边形是平行四边形，可得从而得证；（2）（ⅰ）先证明平面以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，即可得到二面角的大小；（ⅱ）假设在线段上存在点，使得. 设，则.利用垂直关系，建立的方程，解之即可.【详解】证明：（1）取中点，连，连.在△中，因为分别是中点，所以，且.在平行四边形中，因为是的中点，所以，且.所以，且.所以四边形是平行四边形.所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为侧面是正方形，所以.又因为平面平面，且平面平面，所以平面.所以.又因为，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示. 设，则，.（ⅰ）设平面的一个法向量为.由得即令，所以.又因为平面，所以是平面的一个法向量.所以.由图可知，二面角为钝角，所以二面角的大小为.（ⅱ）假设在线段上存在点，使得.设，则.因为，又，所以.所以.故点在点处时，有【点睛】本题考查向量法求二面角大小、线面平行的证明，考查满足线面垂直的点的位置的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力、空间想象能力，是中档题．18.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的极小值；（Ⅱ）当时，讨论的单调性；（Ⅲ）若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，当时，求得，得出函数的单调性，进而求解函数的极值；（Ⅱ）由，由，得或，分类讨论，即可得到函数的单调区间；（Ⅲ）由（1）和（2），分当和，分类讨论，分别求得函数的单调性和极值，即可得出相应的结论，进而得到结论.【详解】解：（Ⅰ）当时：，令解得，又因为当，，函数为减函数；当，，函数为增函数.所以，的极小值为.（Ⅱ）.当时，由，得或.(ⅰ)若，则.故在上单调递增；（ⅱ）若，则.故当时，；当时，.所以在，单调递增，在单调递减.(ⅲ)若，则.故当时，；当时，.所以在，单调递增，在单调递减.（Ⅲ）（1）当时，，令，得.因为当时，，当时，，所以此时在区间上有且只有一个零点.（2）当时：（ⅰ）当时，由（Ⅱ）可知在上单调递增，且，，此时在区间上有且只有一个零点.（ⅱ）当时，由（Ⅱ）的单调性结合，又，只需讨论的符号：当时，，在区间上有且只有一个零点；当时，，函数在区间上无零点.(ⅲ)当时，由（Ⅱ）的单调性结合，，，此时在区间上有且只有一个零点.综上所述，.【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.19.过椭圆W:的左焦点作直线交椭圆于两点，其中，另一条过的直线交椭圆于两点（不与重合），且点不与点重合.过作轴的垂线分别交直线，于,.（Ⅰ）求点坐标和直线的方程；（Ⅱ）求证：.【答案】（Ⅰ），的方程为（Ⅱ）详见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可得直线的方程为.与椭圆方程联立方程组，即可求解B点坐标；（Ⅱ）设，，的方程为，联立方程组，根据根与系数的关系，求得，，进而得出点的纵坐标，化简即可证得，得到证明.【详解】（Ⅰ）由题意可得直线的方程为.与椭圆方程联立,由可求.（Ⅱ）当与轴垂直时，两点与,两点重合，由椭圆的对称性，.当不与轴垂直时，设，，的方程为（）.由消去，整理得.则，.由已知，，则直线的方程为，令，得点的纵坐标.把代入得.由已知，，则直线的方程为,令，得点的纵坐标.把代入得.把，代入到中，=.即，即..【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.20.已知是由正整数组成的无穷数列，对任意，满足如下两个条件：①是的倍数；②.（1）若，，写出满足条件的所有的值；（2）求证：当时，；（3）求所有可能取值中的最大值.【答案】（1）（2）见解析（3）85【解析】【分析】（1）根据满足的两个条件即可得到满足条件的所有的值；（2）由，对于任意的，有. 当时，成立，即成立；若存在使，由反证法可得矛盾；（3）由（2）知，因为且是的倍数，可得所有可能取值中的最大值.【详解】（1）的值可取.（2）由，对于任意的，有.当时，，即，即.则成立.因为是的倍数，所以当时，有成立.若存在使，依以上所证，这样的的个数是有限的，设其中最大的为.则,成立，因为是的倍数，故.由,得.因此当时，.（3）由上问知，因为且是的倍数，所以满足下面的不等式：，. 则,, ,,,,,,,,当时，这个数列符合条件.故所求的最大值为85.【点睛】本题考查了数列的有关知识，考查了逻辑推理能力，综合性较强.。
2018年广西高三上学期期末联考数学(理)试卷
2018年广西高三上学期期末联考数学（理）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数（为虚数单位），那么的共轭复数为（ ） A ．B ．C ．D ． 3．某单位为了了解用电量度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程，预测当气温为时，用电量度数为（ ） A ．68 B ．67 C ．65 D ．64 4．的展开式中的系数为（ ）A ．208B ．216C ．217D ．218 5．执行如图的程序框图，那么输出的值是（ ）A ．101B ．120C ．121D ．1036．设的三个内角所对的边分别为，如果，且{}2log 1M x x =<{}210N x x =-≤M N =I {}12x x ≤<{}12x x -≤<{}11x x -<≤{}01x x <≤21iz i+=-i z 3322i +1322i -1322i +3322i -y x℃ˆ2yx a =-+4-℃()423a b c +-2abc ABC ∆,,A B C ,,a b c ()()3a b c b c a bc +++-=，那么的外接圆面积与内切圆面积的比值为（）A．4 B．2 C．17．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆被的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B． C． D．8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．36 C．．9．已知各项都为正数的等比数列，满足，若存在两项，则的最小值为（）A．2 B． C． D．110．已知圆，抛物线，与相交于两点，且，则抛物线的方程为（）A． B． C． D．sin2sin cosA B C=ABC∆O3sin4y xπ=1361181121832+32+32+{}na3122a a a=+,m na a14a=14m n+3213()221:24C x y+-=()22:20C y px p=>1C2C,A BAB=2C285y x=2165y x=2325y x=2645y x=11．已知函数满足，当时，.若函数在区间上有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知点为的重心，设的内角的对边为且满足向量，若，则实数（ ）A ．2B ．3C ．D ． 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若满足约束条件，则的最小值为 ．14．如果将函数的图象向左平移个单位所得到的图象关于原点对称，那么 ．15．已知分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若为等边三角形，则的面积为 ．16．把长和宽分别为和2的长方形沿对角线折成的二面角，下列正确的命题序号是 ．①四面体外接球的体积随的改变而改变； ②的长度随的增大而增大； ③当时，长度最长；④当时，. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）()g x ()12g x g x ⎛⎫=⎪⎝⎭[]1,3x ∈()ln g x x =()()f x g x mx =-1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦m ln 31,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭3ln 3,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,ln 3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦10,e ⎛⎫⎪⎝⎭G ABC ∆ABC ∆,,A B C ,,a b c BG CG ⊥uu u r uu u rtan sin a A b C λ=⋅λ=2312,x y 1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩2z x y =+()()()sin 30f x x ϕπϕ=+-<<12πϕ=12,F F 22143x y -=1F l B A 、2ABF ∆12BF F ∆AB AD ABCD AC B AC D --()0θθπ<<ABCD θBD θ2πθ=BD 23πθ=BD17．已知等比数列中，，成等差数列；数列中的前项和为，.（1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 18．近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇，2017年双11全天交易额达到1682亿元，为规范和评估该行业的情况，相关管理部门制定出针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行评价，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.（1）完成关于商品和服务评价的列联表，判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为随机变量：①求对商品和服务全为好评的次数的分布列； ②求的数学期望和方差. 附：临界值表：的观测值：（其中）关于商品和服务评价的列联表：19．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，平面交于点，且平面.（1）求证：；{}n a 22a =234,1,a a a +{}n b n n S 2n S n n =+{}{},n n a b 14n n n a b b +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭n 22⨯X XX 2K ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++22⨯111ABC A B C -ABC ∆1ACD AB D 1BC ∥1ACD CD AB ⊥（2）若四边形是正方形，且，求直线与平面所成角的正弦值.20．已知点在椭圆上，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆的右顶点，点是椭圆上不同的两点（均异于）且满足直线与斜率之积为.试判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由. 21．已知函数. （1）讨论的单调性；（2）若有两个极值，其中，求的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线，以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线.（1）将曲线倍、2倍后得到曲线.试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；（2）在曲线上求一点，使点到直线的距离最大，并求出此最大值. 23．选修4-5：不等式选讲设函数；（1）若，且对任意恒成立，求实数的取值范围； （2）若，且关于的不等式有解，求实数的取值范围.11CBB C 1A D =1A D 11CBB C 31,2⎛⎫⎪⎝⎭()2222:10x y C a b a b +=>>12C M C ,A B C M MA MB 14AB ()()12ln f x x a x a x=-+∈R ()f x ()f x 12,x x [)2,x e ∈+∞()()12f x f x -xoy 221:1C x y +=xoy O x ():2cos sin 6l ϑθθ-=1C 2C l 2C 2C P P l ()2,f x x x a x =++-∈R 0a <()2log 2f x >x ∈R a 0a >x ()32f x x <a理科数学参考答案及评分标准一、选择题1-5:DBABC 6-10:ADCBC 11、12：AD二、填空题13．-4 14． 15． 16．②④三、解答题17．解：（1）设等比数列的公比为； 因为成等差数列，故，即，故； 因为，即. 因为，故当时，.当时，；综上所述. （2）知； 故数列的前项和为 . 18．解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的列联表如下：4π-2{}n a q 234,1,a a a +()24321a a a +=+432a a =2q =211a a q==12n n a -=2n S n n =+1n =112b S ==2n ≥()()221112n n n b S S n n n n n -=-=+----=2n b n =()1411111n n b b n n n n +==-++1141121n n n n a b b n n -++=+-+14n n n a b b +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭n ()11211111111212223311n nn n n ⨯-⎛⎫+-+-+++-=- ⎪-++⎝⎭L 22⨯，故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关. （2）①每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为，且的取值可以是0,1,2,3. 其中；；. 的分布列为：②，，19．解：（1）证：连结，设与相交于点，连接， 则为中点，∵平面，平面平面 ∴， ∴为的中点. 又∵为正三角形， ∴.（2）∵，∴. 又， ∴.()222008010407011.11110.8281505012080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯25X ()332705125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()2132354155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()21232336255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()333238355125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X 23,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:()26355E X =⨯=()2218315525D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭1AC 1AC 1ACE DE E 1AC 1BC ∥1ACD DE =1ACD I 1ABC 1DE BC ∥D AB ABC ∆CD AB ⊥222115AD A A A D +==1A A AD ⊥1B B BC ⊥11B B A A ∥1A A BC ⊥又，∴平面设的中点为，的中点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则，， ∴. 平面的一个法向量，.所以直线与平面所成角的正弦值为. 20．解：（1）可知离心率，故有，又有点在椭圆上，代入得，解得，，故椭圆的方程为. （2）由题意，直线的斜率存在，可设直线的方程为，，，联立得.∴，.AD BC B =I 1A A ⊥ABC BC O 11B C 1O O OB x 1OO y OA z O xyz-(10,A 12D ⎛ ⎝⎭11,2,22A D ⎛=-- ⎝⎭uuu r 11CBB C ()0,0,1n =r111cos ,A D n A D n A D n⋅==⋅uuu r r uuu r r uuu r r 1A D 11CBBC 1012c e a ==2c a =222222344a ab ac a =-=-=31,2⎛⎫⎪⎝⎭2222:1x y C a b +=221914a b +=2a=b =C 22143x y +=AB AB ()0y kx m k =+≠()11,A x y ()22,B x y 22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2223484120k x kmx m +++-=122834km x x k -+=+212241234m x x k -=+∵直线与斜率之积为. 而点，∴. ∴.化简得，∴， 化简得，解得或， 当时，直线的方程为，过定点.代入判别式大于零中，解得. 当时，直线的方程为，过定点，不符合题意. 故直线过定点.21．解：（1）由题意得，其中， 令，，①当时，令，得，，所以，在单调递增；②当时，，在单调递增；③当时，令，得，，且可知当时，，在单调递增；当时，，在单调递减；MA MB 14()2,0M 12121224y y x x ⋅=--()()()()1212422kx m kx m x x ++=--()()()2212124142440k x x km x x m -++++-=()()22222412841424403434m kmk km m k k---⋅++⋅+-=++22280m km k --=4m k =2m k =-4m k =AB ()4y k x =+()4,0-4m k =()11022k k -<<≠2m k =-AB ()2y k x =-()2,0AB ()4,0-()22212211a x ax f x x x x++'=++=0x >()221m x x ax =++()241a ∆=-1a >()0m x=10x a =-+<20x a =-()0f x '>()f x ()0,+∞11a -≤≤()0f x '≥()f x ()0,+∞1a <-()0f x '=10x a =-+>20x a =-->12x x>(0,x a ∈-()0f x '>()fx (0,a -(x a a ∈--()0f x '<()fx (a a --当时，，在单调递增；综上所述，当时，在单调递增；当，在和单调递增， 在单调递减；（2）由（1）知，由题意知是的两根， ∴，， 可得， ∵，∴令， 则有 当时，，在上单调递减，的最小值为，即的最小值为.22．解：（1）由题意知，直线的直角坐标方程为：.曲线的直角坐标方程为：，()x a ∈-+∞()0f x '>()fx ()a -+∞1a ≥-()f x ()0,+∞1a <-()fx (0,a -()a -+∞(a a --()()22210x ax f x x x ++'=>12,x x 2210x ax ++=121x x ⋅=122x x a +=-211x x =1112a x x =--[)2,x e ∈+∞110,x e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()()()12111f x f x f x f x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭11111112ln x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()112ln F x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()22211ln 121ln x x x F x x x x +-⎛⎫⎛⎫'=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10,x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()0F x '<()F x 10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦()F x 11142F e e e e e e⎛⎫⎛⎫=-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()12f x f x -4e l 260x y --=2C 22134x y +=第页 11 ∴曲线的参数方程为（为参数）. （2）设点的坐标，则点到直线的距离为：， ∴当，时，点， 此时23．解：（1）， ∵对任意恒成立，∴，解得或， ∵，∴实数的取值范围是.（2）当时，，若关于的不等式有解， 则函数的图象与直线有两个交点， ∴，解得. ∴实数的取值范围是.2C 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩θP ),2sin θθP l d ==sin 13πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭56πθ=3,12P ⎛⎫- ⎪⎝⎭max d ==()222f x x x a x x a a =++-≥+-+=+()2log 2f x >x ∈R 24a +>6a <-2a >0a <a (),6-∞-0a >()2f x x x a =++-22,22,222,x a x a x a x a x a --+<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+->⎩x ()32f x x <()f x 32y x =322a a +<4a >a ()4,+∞。
2018届高三上学期期末联考数学(理)试题有答案-精品
2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门 仙桃 潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。
【市级检测】2017-2018学年河南省南阳市高三(上)期末数学试卷(理科)
2017-2018学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知：如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是（）A．∁U（A∩B）∩C B．∁U（B∩C）∩A C．A∩∁U（B∪C）D．∁U（A∪B）∩C 2．已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0（a，b∈R）的一个根，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．33．已知双曲线C的一条渐近线的方程是：y=2x，且该双曲线C经过点，则双曲线C的方程是（）A．B．C．D．4．已知：f（x）=asinx+bcosx，，若函数f（x）和g（x）有完全相同的对称轴，则不等式g（x）＞2的解集是（）A．B．C．D．5．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a3•a5=2，若f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），则f'（0）=（）A．B．C．128 D．﹣1286．已知：，则目标函数z=2x﹣3y（）A．z max=﹣7，z min=﹣9 B．，z min=﹣7C．z max=﹣7，z无最小值D．，z无最小值7．设f（x）=e1+sinx+e1﹣sinx，x1、，且f（x1）＞f（x2），则下列结论必成立的是（）A．x1＞x2B．x1+x2＞0 C．x1＜x2D．＞8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积S=（）A．10πB．C．D．12π9．执行如图的程序框图，若输出S的值是2，则a的值可以为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．201710．我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．其作法如下：①作一个正方形ABCD；②以AD的中点E为圆心，以EC长为半径作圆，交AD延长线于F；③以D为圆心，以DF长为半径作⊙D；④以A为圆心，以AD长为半径作⊙A交⊙D于G，则△ADG为黄金三角形．根据上述作法，可以求出cos36°=（）A．B．C．D．11．已知抛物线E：y2=2px（p＞0），过其焦点F的直线l交抛物线E于A、B=﹣tan∠AOB，则p的值是（）两点（点A在第一象限），若S△OABA．2 B．3 C．4 D．512．已知：m＞0，若方程有唯一的实数解，则m=（）A．B．C．D．1二、填空题：13． 1.028≈（小数点后保留三位小数）．14．已知向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，若（+）=，则与的夹角为．15．已知：，则cos2α+cos2β的取值范围是．16．在四边形ABCD中，∠ABC=90°，，△ACD为等边三角形，则△ABC的外接圆与△ACD的内切圆的公共弦长=．三、解答题：17．（12.00分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=2S n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（2n﹣1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12.00分）如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A11沿CC1折起如图2所示，连接B1C、B1A、B1A1．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若，求二面角C﹣AB 1﹣A1的正弦值．19．（12.00分）为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值μ=65，标准差=2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ﹣σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E（Y）；（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E（Z）．20．（12.00分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于长轴的弦长为．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点P（﹣2，0）的直线与椭圆相交于不同两点M，N．（i）求证：∠AFM=∠BFN；（ii）求△MNF面积的最大值．21．（12.00分）已知函数，且函数f（x）的图象在点（1，﹣e）处的切线与直线x+（2e+1）y﹣1=0垂直．（1）求a，b；（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＜﹣2．[选修4-4：极坐标与参数方程选讲]（本小题满分10分）22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位），且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|的最小值为2．（1）求a+b的值；（2）证明：a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．2017-2018学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知：如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是（）A．∁U（A∩B）∩C B．∁U（B∩C）∩A C．A∩∁U（B∪C）D．∁U（A∪B）∩C 【分析】阴影部分所表示的为在集合B中但不在集合A中的元素构成的部分，即在B中且在A的补集中．【解答】解：阴影部分所表示的为在集合A中但不在集合B，C中的元素构成的，故阴影部分所表示的集合可表示为A∩∁U（B∪C），故选：C．【点评】本题考查利用集合运算表示韦恩图中的集合、考查韦恩图是研究集合关系的常用工具．2．已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0（a，b∈R）的一个根，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【分析】利用实系数方程的虚根成对定理，列出方程组，求出a，b即可．【解答】解：1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0（a，b∈R）的一个根，一元二次方程虚根成对（互为共轭复数）．．得：a=1，b=﹣2，a+b=﹣1．故选：A．【点评】本题考查实系数方程成对定理的应用，考查计算能力．3．已知双曲线C的一条渐近线的方程是：y=2x，且该双曲线C经过点，则双曲线C的方程是（）A．B．C．D．【分析】设出双曲线方程代入点的坐标，然后求解双曲线方程即可．【解答】解：由题可设双曲线的方程为：y2﹣4x2=λ，将点代入，可得λ=﹣4，整理即可得双曲线的方程为．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用以及双曲线方程的求法，考查计算能力．4．已知：f（x）=asinx+bcosx，，若函数f（x）和g（x）有完全相同的对称轴，则不等式g（x）＞2的解集是（）A．B．C．D．【分析】若函数f（x）和g（x）有完全相同的对称轴，则这两个函数的周期是一样的，即ω=1．通过解不等式g（x）＞2求得x的取值范围．【解答】解：由题意知，函数f（x）和g（x）的周期是一样的，故ω=1，不等式g（x）＞2，即，解之得：．故选：B．【点评】考查了正弦函数的对称性．根据函数的对称性求、求出ω是解决本题的关键．5．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a3•a5=2，若f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），则f'（0）=（）A．B．C．128 D．﹣128【分析】令f（x）=x•g（x），其中g（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），利用函数的导数求解即可．【解答】解：令f（x）=x•g（x），其中g（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），则f'（x）=g（x）+x•g'（x），故，各项均为正数的等比数列{a n}，a3•a5=2，，故．故选：B．【点评】本题考查函数的导数的应用，数列的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．6．已知：，则目标函数z=2x﹣3y（）A．z max=﹣7，z min=﹣9 B．，z min=﹣7C．z max=﹣7，z无最小值D．，z无最小值【分析】画出可行域，利用目标函数的几何意义，求解函数的最值即可．【解答】解：画出的可行域，如图：A（0，3），，C（4，5），目标函数z=2x﹣3y经过C时，目标函数取得最大值，z max=﹣7，没有最小值．故选：C．【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最值考查数形结合的应用，是基础题．7．设f（x）=e1+sinx+e1﹣sinx，x1、，且f（x1）＞f（x2），则下列结论必成立的是（）A．x1＞x2B．x1+x2＞0 C．x1＜x2D．＞【分析】根据条件判断函数是偶函数，结合条件判断函数的单调性，进行判断即可．【解答】解：f（x）=f（﹣x），故f（x）是偶函数，而当时，f'（x）=cosx•e1+sinx﹣cosx•e1﹣sinx=cosx•（e1+sinx﹣e1﹣sinx）＞0，即f（x）在是单调增加的．由f（x1）＞f（x2），可得f（|x1|）＞f（|x2|），即有|x1|＞|x2|，即，故选：D．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积S=（）A．10πB．C．D．12π【分析】判断三视图复原的几何体的形状，通过已知的三视图的数据，求出该多面体的外接球的表面积．【解答】解析：该多面体如图示，外接球的半径为AG，HA为△ABC外接圆的半径，HG=1，，故，∴该多面体的外接球的表面积．故选：B．【点评】本题考查多面体的外接球的表面积的求法，考查空间几何体三视图、多面体的外接球等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9．执行如图的程序框图，若输出S的值是2，则a的值可以为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．2017【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，根据输出的S值即可得出该程序中a的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得：S=2，k=0；满足条件k＜a，执行循环体，可得：S=﹣1，k=1；满足条件k＜a，执行循环体，可得：，k=2；满足条件k＜a，执行循环体，可得：S=2，k=3；…，∴S的值是以3为周期的函数，当k的值能被3整除时，不满足条件，输出S的值是2，a的值可以是2016．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，从而得出正确的结论，是基础题．10．我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．其作法如下：①作一个正方形ABCD；②以AD的中点E为圆心，以EC长为半径作圆，交AD延长线于F；③以D为圆心，以DF长为半径作⊙D；④以A为圆心，以AD长为半径作⊙A交⊙D于G，则△ADG为黄金三角形．根据上述作法，可以求出cos36°=（）A．B．C．D．【分析】根据做法，图形如图所示，△ADG即为黄金三角形，不妨假设AD=AG=2，则，由余弦定理即可求出【解答】解：根据做法，图形如图所示，△ADG即为黄金三角形，不妨假设AD=AG=2，则，由余弦定理可得cos36°==故选：B．【点评】本题考查了黄金三角形的定义作法和余弦定理，属于中档题11．已知抛物线E：y2=2px（p＞0），过其焦点F的直线l交抛物线E于A、B=﹣tan∠AOB，则p的值是（）两点（点A在第一象限），若S△OABA．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用三角形的面积推出，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=﹣3，通过，代入求解即可．【解答】解：，即，不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=﹣3，即有，又因为，故：p=2．故选：A．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．12．已知：m＞0，若方程有唯一的实数解，则m=（）A．B．C．D．1【分析】方法一：验证，当时，f（x）=lnx与g（x）=x2﹣x在点（1，0）处有共同的切线，即可；方法二：将方程整理得，设，则由题意，直线是函数f（x）的一条切线，不妨设切点为（x0，y0），列出方程组求解即可．【解答】解：方法一：验证，当时，f（x）=lnx与g（x）=x2﹣x在点（1，0）处有共同的切线y=x﹣1．方法二：将方程整理得，设，则由题意，直线是函数f（x）的一条切线，不妨设切点为（x0，y0），则有：，解之得：x0=1，y0=1，．故选：B．【点评】本题考查函数与方程的应用，求出方程的平方，直线与抛物线的位置关系的应用．二、填空题：13． 1.028≈ 1.172（小数点后保留三位小数）．【分析】根据1.028=（1+0.02）8，利用二项式定理展开，可得它的近似值．【解答】解：1.028=（1+0.02）8=+++×0.023+…+≈=+++×0.023=1+8×0.02+28×0.0004+56×0.000008=1.172，故答案为：1.172【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．14．已知向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，若（+）=，则与的夹角为．【分析】设=（x，y），根据题中的条件求出x+2y=﹣，即=﹣，再利用两个向量的夹角公式求出cosθ的值，由此求得θ的值．【解答】解：设=（x，y），由向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，且（+）=，可得﹣x﹣2y=，即有x+2y=﹣，即=﹣，设与的夹角为等于θ，则cosθ===﹣．再由0≤θ≤π，可得θ=，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，求出=﹣是解题的关键，属于中档题15．已知：，则cos2α+cos2β的取值范围是．【分析】由已知利用二倍角公式化简可求cos2α+cos2β=3（cosβ﹣sinα），由，得sinα的范围，从而可求，进而得解．【解答】解：∵，∴cos2α+cos2β=1﹣2sin2α+2cos2β﹣1=2（sinα+cosβ）（cosβ﹣sinα）=3（cosβ﹣sinα），∵由，得，，易得：，∴，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了正弦函数的性质及其应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．在四边形ABCD中，∠ABC=90°，，△ACD为等边三角形，则△ABC的外接圆与△ACD的内切圆的公共弦长=1．【分析】以AC为x轴，AC的中点为坐标原点建立坐标系，分别求出△ABC的外接圆与△ACD的内切圆的方程，联立求得交点，利用两点间的距离公式求得两圆公共弦长．【解答】解：以AC为x轴，AC的中点为坐标原点建立坐标系，则A（﹣1，0），C（1，0），B（0，1），D（0，﹣），∴△ABC的外接圆的方程x2+y2=1，①△ACD的内切圆方程为，即，②联立①②可得两圆交点坐标为（，﹣），（，﹣），∴两圆的公共弦长为．故答案为：1．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，是中档题．三、解答题：17．（12.00分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=2S n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（2n﹣1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）当n=1时计算可知a1=﹣1，当n≥2时将a n=2S n+1与a n﹣1=2S n﹣1+1作差可知a n=﹣a n﹣1，进而可知数列{a n}是首项为﹣1，公比为﹣1的等比数列；（2）通过（1）可知，分n为奇偶两种情况讨论即可．【解答】解：（1）当n=1时，a1=2S1+1=2a1+1，解得a1=﹣1．当n≥2时，有：a n=2S n+1，a n﹣1=2S n﹣1+1，两式相减、化简得a n=﹣a n﹣1，所以数列{a n}是首项为﹣1，公比为﹣1的等比数列，从而．（2）由（1）得，当n为偶数时，b n+b n=2，；﹣1当n为奇数时，n+1为偶数，T n=T n+1﹣b n+1=（n+1）﹣（2n+1）=﹣n．所以数列{b n}的前n项和．【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和公式，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（12.00分）如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A11沿CC1折起如图2所示，连接B1C、B1A、B1A1．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若，求二面角C﹣AB 1﹣A1的正弦值．【分析】（1）取CC1的中点O，连接OA，OB1，AC1，说明AO⊥CC1，OB1⊥CC1，推出CC1⊥平面OAB1，然后证明AB1⊥CC1；（2）证明AO⊥OB1，以O为原点，以OC，OB1，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AB1C的法向量，平面A1B1A的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值即可．【解答】证明：（1）取CC1的中点O，连接OA，OB1，AC1，∵在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，∴△ACC1，△BCC1为正三角形，则AO⊥CC1，OB1⊥CC1，又∵AO∩OB1=O，∴CC1⊥平面OAB1，∵AB1⊂平面OAB1∴AB1⊥CC1；…4分（2）∵∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，∴AC=2，，∵，则，则三角形AOB1为直角三角形，则AO⊥OB1，…6分以O为原点，以OC，OB1，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），B1（0，，0），C1（﹣1，0，0），A（0，0，），则则，=（0，，），=（1，0，），设平面AB 1C的法向量为，则，令z=1，则y=1，，则，设平面A 1B1A的法向量为，则，令z=1，则x=0，y=1，即，…8分则…10分∴二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值是．…12分．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，考查计算能力与空间想象能力．19．（12.00分）为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值μ=65，标准差=2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ﹣σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E（Y）；（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E（Z）．【分析】（Ⅰ）利用条件，可得设备M的数据仅满足一个不等式，即可得出结论；（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．（ⅰ）由题意可知Y～B（2，），于是E（Y）=2×=；（ⅱ）确定Z的取值，求出相应的概率，即可求出其中次品个数Z的数学期望E （Z）．【解答】解：（Ⅰ）P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=P（62.8＜X≤67.2）=0.8≥0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=P（60.6＜X≤69.4）=0.94≥0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=P （58.4＜X≤71.6）=0.98≥0.9974，因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；…（4分）（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．（ⅰ）由题意可知Y～B（2，），于是E（Y）=2×=；…（8分）（ⅱ）由题意可知Z的分布列为故E（Z）=0×+1×+2×=．…（12分）【点评】本题考查概率的计算，考查正态分布曲线的特点，考查数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（12.00分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于长轴的弦长为．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点P（﹣2，0）的直线与椭圆相交于不同两点M，N．（i）求证：∠AFM=∠BFN；（ii）求△MNF面积的最大值．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和过焦点垂直于对称轴的弦长，结合a，b，c的关系解得a，b，可得椭圆的方程；（II）方法一、（i）讨论直线AB的斜率为0和不为0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，运用直线的斜率公式求斜率之和，即可得证；（ii）求得△MNF的面积，化简整理，运用基本不等式可得最大值．方法二、（i）由题知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：y=k（x+2），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由直线的斜率公式，求得即可得证；（ii）求得弦长|MN|，点F到直线的距离d，运用三角形的面积公式，化简整理，运用换元法和基本不等式，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由题意可得，令x=﹣c，可得y=±b=±，即有，又a2﹣b2=c2，所以．所以椭圆的标准方程为；（II）方法一、（i）当AB的斜率为0时，显然∠AFM=∠BFN=0，满足题意；当AB的斜率不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，整理得（m2+2）y2﹣4my+2=0，则△=16m2﹣8（m2+2）=8m2﹣16＞0，所以m2＞2．，可得==．则k MF+k NF=0，即∠AFM=∠BFN；（ii）当且仅当，即m2=6．（此时适合△＞0的条件）取得等号．则三角形MNF面积的最大值是．方法二（i）由题知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：y=k（x+2），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣2=0，则△=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）=8﹣16k2＞0，所以．，可得=∴k MF+k NF=0，即∠AFM=∠BFN；（ii），点F（﹣1，0）到直线MN的距离为，即有==．令t=1+2k2，则t∈[1，2），u（t）=，当且仅当，即（此时适合△＞0的条件）时，，即，则三角形MNF面积的最大值是．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和过焦点垂直于对称轴的弦长，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，以及直线的斜率公式，考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．21．（12.00分）已知函数，且函数f（x）的图象在点（1，﹣e）处的切线与直线x+（2e+1）y﹣1=0垂直．（1）求a，b；（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＜﹣2．【分析】（1）由f（1）=﹣e，得a﹣b=﹣1，由f'（1）=2e+1，得到a﹣4b=2，由此能求出a，b．（2）f（x）＜﹣2，即证，令g（x）=（2﹣x3）e x，，由此利用导数性质能证明f（x）＜﹣2．【解答】解：（1）因为f（1）=﹣e，故（a﹣b）e=﹣e，故a﹣b=﹣1①；依题意，f'（1）=2e+1；又，故f'（1）=e（4a﹣b）+1=2e+1，故4a﹣b=2②，联立①②解得a=1，b=2；（2）由（1）得，要证f（x）＜﹣2，即证；令g（x）=（2﹣x3）e x，，g'（x）=﹣e x（x3+3x2﹣2）=﹣e x（x+1）（x2+2x﹣2）令g'（x）=0，因为x∈（0，1），e x＞0，x+1＞0，故，所以g（x）在上单调递增，在单调递减．而g（0）=2，g（1）=e，当时，g（x）＞g（0）=2当时，g（x）＞g（1）=e故当x∈（0，1）时，g（x）＞2；而当x∈（0，1）时，，故函数所以，当x∈（0，1）时，ϕ（x）＜g（x），即f（x）＜﹣2．【点评】本题考查导数的应用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：极坐标与参数方程选讲]（本小题满分10分）22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位），且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．【分析】（I）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可将圆C极坐标方程化为直角坐标方程；（II）先根据（I）得出圆C的普通方程，再根据直线与交与交于A，B两点，可以把直线与曲线联立方程，用根与系数关系结合直线参数方程的几何意义，表示出|PA|+|PB|，最后根据三角函数的性质，即可得到求解最小值．【解答】解：（Ⅰ）由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+（y﹣3）2=9．（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+2（cosα﹣s inα）t﹣7=0．由△=（2cosα﹣2sinα）2+4×7＞0，故可设t1，t2是上述方程的两根，所以，又直线l过点（1，2），故结合t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|====2．所以|PA|+|PB|的最小值为2．【点评】此题主要考查参数方程的优越性，及直线与曲线相交的问题，在此类问题中一般可用联立方程式后用韦达定理求解即可，属于综合性试题有一定的难度．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|的最小值为2．（1）求a+b的值；（2）证明：a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质可得f（x）的最小值为a+b，即可得到所求最小值；（2）运用反证法，结合二次不等式的解法，即可得证．【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，∴f（x）=|x﹣a|+|x+b|≥|（x﹣a）﹣（x+b）|=|a+b|=a+b，∴f（x）min=a+b，由题设条件知f（x）min=2，∴a+b=2；证明：（2）∵a+b=2，而，故ab≤1．假设a2+a＞2与b2+b＞2同时成立．即（a+2）（a﹣1）＞0与（b+2）（b﹣1）＞0同时成立，∵a＞0，b＞0，则a＞1，b＞1，∴ab＞1，这与ab≤1矛盾，从而a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．【点评】本题考查绝对值不等式的性质以及不等式的证明，考查反证法的运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题．。
浙江省杭州市2018届高三上学期期末教学质量检测数学试卷(含答案)
浙江省杭州市2018届高三上学期期末教学质量检测数学试题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}[]22,0,4A x x B =+≤=，则()R C A B =I （ ）A. RB.{}0C.{},0x x R x ∈≠ D.∅ 2.双曲线2214y x -=的渐近线方程为（ ） A.12y x =± B.2y x =± C.3y x =± D.5y x =± 3.设数列{}n a 的通项公式为*2()n a kn n N =+∈，则“2k >”是“数列{}n a 为递增数列的”（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.若函数()f x 的导函数'()f x 的图象如图所示，则（ ）A. 函数()f x 有1个极大值，2个极小值B. 函数()f x 有2个极大值，2个极小值C. 函数()f x 有3个极大值，1个极小值D. 函数()f x 有4个极大值，1个极小值5.若直线y x =与曲线x m y e +=（m R ∈，e 为自然对数的底数）相切，则m =（ ）A. 1B. 2C. 1-D. 2-6.设不等式组01y x y y mx ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，所表示的区域面积为()S m R ∈，若1S ≤，则（ ） A. 2m ≤- B. 20m -≤≤ C. 02m <≤ D. 2m ≥7.设函数2()1x f x b a =+-（0a >且1a ≠），则函数()f x 的奇偶性（ ） A. 与a 无关，且与b 无关 B. 与a 有关，且与b 有关C. 与a 有关，但与b 无关D. 与a 无关，但与b 有关8.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=o，,D E 分别是,BC AB 的中点，AB AC ≠，且AC AD >.设PC 与DE 所成角为α，PD 与平面ABC 所成角为β，二面角P BC A --为γ，则（ ）A.αβγ<<B.αγβ<<C.βαγ<<D.γβα<<9.设函数2()(,)f x ax bx c a b R =++∈，记M 为函数()y f x =在[1,1]-上的最大值，N 为a b +的最大值，则（ ）A. 若13M =，则3N =B. 若12M =，则3N = C. 若2M =，则3N = D. 若3M =，则3N = 10.在四边形ABCD 中，点,E F 分别是,AD BC 的中点，设AD BC m ⋅=u u u r u u u r ，AC BD n ⋅=u u u r u u u r，若 2,1,3AB EF CD ===，则（ ）A. 21m n -=B. 221m n -=C. 21m n -=D. 221n m -=二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.设复数52z i=-（其中i 为虚数单位），则复数z 的实部为 ，虚部为 . 12.在一次随机实验中，事件A 发生的概率为p ，事件A 发生的次数为ξ，则期望E ξ= ，方差D ξ的最大值为 .13.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，5,3,sin 2sin a b C A ===，则sin A = ，设D 为AB 边上一点，且2BD DA =u u u r u u u r ，则BCD ∆的面积为 . 14.如图是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为 ，表面积为 .15.在二项式25()()a x a R x +∈的展开式中，若含7x 的项的系数为10-，则a = .16.有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外均相同）各4只，都分别标有字母,,,A B C D ，任意取出4只，字母各不相同且三种颜色齐备的取法共有 种.（用数字作答） 17.已知单位向量12,e e u r u u r 的夹角为3π，设122a e e λ=+r u r u u r ，则当0λ<时，a λ+r 的取值范围是 .三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本小题满分14分）设向量(23sin ,cos ),(cos ,2cos )a x x b x x =-=r r ，() 1.f x a b =⋅+r r（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若方程2()()f x t t t R =-∈无实数解，求t 的取值范围.19.（本小题满分15分）如图，在三棱锥A BCD -中，60BAC BAD DAC ∠=∠=∠=o ，2AC AD ==， 3.AB =（1）证明：AB CD ⊥；（2）求CD 与平面ABD 所成角的正弦值.20.（本小题满分15分）设函数22()().1f x x R x =∈+ （1）求证：2()1f x x x ≥-++；（2）当[1,0]x ∈-时，函数()2f x ax ≥+恒成立，求实数a 的取值范围.21.（本小题满分15分）已知椭圆22:132x y C +=，直线:(0)l y kx m m =+≠，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点.（1）若3m >，求实数k 的取值范围；（2）若直线,,OA AB OB 的斜率成等比数列（其中O 为坐标原点），求OAB ∆的面积的取值范围.22.（本小题满分15分）设数列{}n a 满足2*113,(1)20().n n n a a a a n N +=-++=∈（1）求证：1n a >；（2）求证：12n n a a +<<；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：1222()233().23n n n S n -≤-≤-。
【全国市级联考】内蒙古赤峰市2018届高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2018年赤峰市高三期末考试试卷理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若,则复数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵∴故选D.2. 集合, ,若,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵集合，，∴是方程的解，即∴∴，故选C3. 若变量满足约束条件,则的最大值是（）A. B. 0 C. D.【答案】D【解析】作出约束条件的可行域如图：则满足条件的区域为三角形，平移直线可知经过点时，目标函数取最大值，为. 故选D.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4. 已知的面积是,, ,则（）A. 5B. 或1C. 5或1D.【答案】B【解析】∵，,∴①若为钝角，则，由余弦定理得，.............................. 解得；②若为锐角，则，同理得.故选B.5. 在一次连环交通事故中,只有一个人需要负主要责任,但在警察询问时,甲说:“主要责任在乙”；乙说:“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说:“反正我没有责任”.四人中只有一个人说的是真话,则该事故中需要负主要责任的人是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】A【解析】①假定甲说的是真话，则丙说“甲说的对”也是真话，这与四人中只有一个人说的是正矛盾，所以假设不成立，故甲说的是假话；②假定乙说的是真话，则丁说“反正我没有责任”也为真话，这与四人中只有一个人说的是正矛盾，所以假设不成立，故乙说的是假话；③假定丙说的是真话，由①知甲说的也是真话，这与四人中只有一个人说的是正矛盾，所以假设不成立，故丙说的是假话；综上可得，丁说的真话，甲乙丙三人说的均为假话，即乙丙丁没有责任，所以甲负主要责任，故选A. 6. 一个长方体被一平面截去一部分后,所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A. 36B. 48C. 64D. 72【答案】B【解析】由题设中提供的三视图可以看出该几何体是一个长方体去掉一个上底是直角梯形，下底是直角三角形的棱台的剩余部分。
高考数学母题题源系列专题07三角函数图像与应用理
考点：三角函数性质
10．【江苏省启东中学高三上学期期中模拟数学试卷】将函数 （ ）的图象，向左平移 个单位，得到 函数的图象，若 在 上为增函数，则 的最大值为_____ _____．
【答案】
考点：三角函数图像及性质
【母题原题4】【2016江苏，理14】在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是▲.
【答案】8
【考点】三角恒等变换，切的性质应用
【名师点睛】消元与降次是高中数学中的主旋律，利用三 角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形 中恒有 ，这类同于正、余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时应多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识．此类问题的求解有两种思路：一是边化角，二是角化边．
7.求解三角函数对称性的方法：
（1）求函数 的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题：①由 的对称中心是 ， ，所以 的中心，由方程 解出 即可；②因为 的对称轴是 ， ，所以可由 解出 ，即为函数 的对称轴；注意 的对称中心为 ；
（2） 对于函数 ，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函 数的零点，因此在判 断直线 或点 是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 的值进行判断．
【命题规律】1.高考对三角函数的图象与性质的考查往往集中于正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质，主要考查三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶性、最值、对称性、图象平移及变换等)．
2.高考中主要涉及如下题型：(1)考查周期、单调性、极 值等简单性质；(2)考查与三角函数有关的零点问题；(3)考查图象的识别．
【考点】两角和正切公式
海淀区2018届高三期末数学(理)试题及答案(word版)
海淀区2018届高三期末数学(理)试题及答案(word版)海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）2018. 1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题纸交回。
第一部分（选择题，共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）复数12+=ii（A）2-i（B）2+i（C）2--i （D）2-+i（2）在极坐标系Ox中，方程2sinρθ=表示的圆为（A）（B）（C）（D）（3）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（A ） 4 （B ） 5 （C ） 6 （D ） 7（4）设m 是不为零的实数，则“0m >”是“方程221x y m m-=表示双曲线”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）已知直线0x y m -+=与圆O ：221xy +=相交于A ，B两点，且OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（A（B（C或 （D或（6）从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为（A ）15 （B ）25 （C ）35（D ）45（7）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中： ① 三棱锥的体积为16 ②三棱锥的四个面全是主视图左视图直角三角形③ 所有正确的说法是 （A ）① （B ）①② （C ）②③ （D ）①③ （8）已知点F 为抛物线C ：()220y px p =>的焦点，点K 为点F 关于原点的对称点，点M 在抛物线C上，则下列说法错误．．的是 （A ）使得MFK ∆为等腰三角形的点M 有且仅有4个（B ）使得MFK ∆为直角三角形的点M 有且仅有4个（C ）使得4MKF π∠=的点M 有且仅有4个 （D ）使得6MKF π∠=的点M 有且仅有4个第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
山东省、湖北省部分重点中学2018届高三第二次(12月)联考数学(理)试卷+Word版含解析
山东、湖北部分重点中学2018年第二次联考(理)数学试题（理工农医类）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（原创，容易）已知复数z 满足(1)3i z i -=-+，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B【解析】(1)3i z i -=-+321iz i i-+⇒==---,则2z i =-+.故选B 【考点】复数运算及几何意义.2．（原创，容易）已知全集{}{}2|560,12U x Z x x A x Z x =∈--<=∈-<≤，{}2,3,5B =，则()U A B = ð （ ） A ．{}2,3,5 B ．{}3,5C ．{}2,3,4,5D ．{}3,4,5【答案】B【解析】{}{}0,1,2,3,4,5,0,1,2U A ==,则()U A B = ð{}3,5. 【考点】二次不等式及集合运算.3.（原创，容易）在等差数列{}n a 中，7=14S ，则246a a a ++=（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】744=147142S a a ⇒=⇒=,则246436a a a a ++==. 【考点】等差数列性质.4.（原创，容易）如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．．．．【答案】A【解析】三视图还原为三棱锥A BCD -，如左下图所示，则三棱锥A BCD -的表面积为A BCD S -=21422282⨯⨯⨯+⨯=+【考点】三视图还原及三棱锥的表面积.5.（原创，中档）已知 1.10.6122,3,log 3a b c ===,则,,a b c 的大小为（ ）A ．b c a >> B.a c b >> C. b a c >> D.a b c >> 【答案】D【解析】 1.10.61220,30,log 30a b c =>=>=<, 1.10.622,32a b =>==<=【考点】指数函数对数函数的性质. 6.（原创，中档）若函数()sin(2)3f x x π=+图象的横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变,再向左平移6π得到函数()g x 的图象，则有（ ） A ．()cos g x x = B ．()sin g x x = C ．()cos()3g x x π=+ D ．()sin()3g x x π=+【答案】A【解析】：26sin(2)sin()sin()cos 332y x y x y x x ππππ=+−−−−−→=+−−−→=+=左移横坐标变为倍.【考点】正余弦型函数的图象变换.7.（原创，中档）已知命题:p 若a c b c ⋅=⋅ ，则a b = ，命题:q 若2,a b a b +=<，则21b > ，则有（ ）A ．p 为真 B.q ⌝为真 C. p q ∧为真 D.p q ∨为真 【答案】D【解析】p 为假，2,a b a b +=<2211b b b b ⇒>-⇒>⇒> ，q 为真. 则p q ∨为真，故选D【考点】向量数量积与模、不等式及简易逻辑.8.2cos()4θθ=+，则sin2θ=（）A．13B．23C．23-D．13-【答案】C【解析】222(cos sin)22(cos sin)2cos sinθθθθθθθθ-=⇒+=⇒-2244sin23sin2sin23θθθ+=⇒=-或sin22θ=(舍),故选C考点：三角函数恒等变形．9.（原创，中档）如图所示，扇形AOB的半径为2，圆心角为90 ，若扇形AOB绕OA旋转一周，则图中阴影部分绕OA旋转一周所得几何体的体积为（）A．3π B．5πC．83πD．163π【答案】C【解析】扇形AOB绕OA旋转一周所得几何体的体积为球体积的12，则321633V rππ==，AOB∆绕OA旋转一周所得几何体的体积为31833rππ⨯=，阴影部分旋转所得几何体的体积为83π，故选C【考点】旋转体体积、割与补.10．（原创，中档）函数22()41xxxf x⋅=-的图象大致为（）A BC D【答案】A【解析】222()()()()4122x xx xx x f x f x f x f x -⋅==⇒-=-⇒--为奇函数，排除B ；()0x f x →+∞⇒→；排除D ；211(1=()()(1)322f f f f =⇒<），，排除C ；故选A【考点】函数性质及图象.11.（原创，中档）已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i 行，第j 列的数记为,i j a ，比如3242549,15,23，，，===a a a ，若,2017i j a =，则i j +=（ ）A ．64B ．65C ．71D ．72【答案】D【解析】奇数数列2120171009n a n n =-=⇒=， 按照蛇形排列，第1行到第i 行末共有(1)122i i i ++++=个奇数,则第1行到第44行末共有990个奇数；第1行到第45行末共有1035个奇数；则2017位于第45行；而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数；故2017位于第45行，从右到左第19列，则45,2772i j i j ==⇒+=，故选D【考点】等差数列与归纳推理.12.（原创，难）已知函数()2cos()4f x x x π=+，给出下列命题：①函数()f x 的最小正周期为2π；②函数()f x 关于4x π=对称；③函数()f x 关于3(,0)4π对称；④函数()f x的值域为[，则其中正确的命题个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】()2cos()4f x x x π=+的周期显然为2π；())cos()2sin 422f x x x x x πππ+=++=；()2)cos()2sin 422f x x x x x πππ-=-+-+=；()()44f x f x ππ+=-，故②正确.33())cos()2cos 42f x x x x x πππ+=++=33()2)cos()2cos 42f x x x x x πππ-=-+-+=；33()()44f x f x ππ+=--，故③正确. 2()(cos sin )(cos sin )f x x x x x =+-，设22cos sin (cos sin )2x x t x x t +=⇒-=-，则[t ∈，32y t t =-2min max 230y t t y y '=-=⇒=⇒==，故④正确 【考点】三角恒等变形、函数周期性、对称性及值域. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.（原创，容易）若(,2),(1,1)a x b x ==-，若()()a b a b +⊥- ，则x = ．【答案】1-【解析】22()()1a b a b a b x +⊥-⇒=⇒=-【考点】向量坐标运算及向量垂直.14.（原创，容易）已知实数,x y 满足102400x y x y x -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为 ．【答案】5【解析】由题意可得可行域为如图所示（含边界），11222z x y y x z =+⇒=-+，则在点(1,2)A 处取得最小值5【考点】基本型的线性规划15.（原创，中档）已知在数列{}n a 的前n 项之和为n S ，若1112,21n n n a a a -+==++，则10S = ．【答案】1078【解析】111112,2121n n n n n n a a a a a --++==++⇒-=+11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---⇒=-+-++-+-+⇒ 23122211n n n a n a --=+++++-+ .111212212n n n n ---=+-+=+-. 29101011122210782S ⨯=+++++= . 【考点】等差等比数列及均值不等式16.（原创，难）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD为斜边的等腰直角三角形，若4SC ≤≤，则四棱锥S ABCD -的体积取值范围为 ．【答案】8[]33【解析】如图所示，四棱锥S ABCD -中，可得：;AD SA AD AB AD ⊥⊥⇒⊥平面SAB ⇒平面SAB ⊥平面ABCD ，过S 作SO AB ⊥于O ，则SO ⊥平面ABCD ，故1433S ABCD ABCD V S SO SO -=⋅=，在SAB ∆中，2SA AB ==，设SAB θ∠=，则有，SC =又4SC ≤≤112cos [,]2233ππθθ⇒-≤≤⇒∈，则2sin SO θ=∈，四棱锥S ABCD -的体积取值范围为8[]33【考点】线面垂直、面面垂直、解三角不等式及体积范围.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本题满分12分）（原创，容易）已知单调的等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若339S =，且43a 是65,a a -的等差中项.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若数列{}n b 满足321log n n b a +=，且{}n b 前n 项的和为n T ，求1231111nT T T T ++++ . 【答案】(Ⅰ) 3n n a = ；(Ⅱ)43（18）解：(Ⅰ) 24656603a a a q q q =-⇒--=⇒=或2q =-（舍）；………………3分3131(1)3931a q S a q-==⇒=-…………………5分3n n a =……………………6分(Ⅱ) 213log 321n n b n +==+；………………7分3521(2)n T n n n =++++=+ ………………8分11111()(2)22n T n n n n ==-++………………10分 1231111111111111111()()()()21322423522n T T T T n n ⇒++++=-+-+-+-+ 12311111311()2212n T T T T n n ⇒++++=--++ ……………………12分 【考点】等比数列基本量运算、数列求和 18．（本题满分12分）（原创，中档）设函数()2sin()cos 3f x x x π=+-(Ⅰ) 求()f x 的单调增区间；(Ⅱ) 已知ABC ∆的内角分别为,,A B C，若()2A f =ABC ∆能够盖住的最大圆面积为π，求AB AC ⋅的最小值.【答案】(Ⅰ) 5[,],1212k k k Z ππππ-++∈ ；(Ⅱ)6 （18）解：(Ⅰ) 1()2sin()cos sin 2cos 23222f x x x x x π=+-=+……3分s i n (2)3x π=+……………4分5222,2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤+≤+⇒-+≤≤+∈…………5分 ()f x 的单调增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-++∈……6分 (Ⅱ) 由余弦定理可知：222a b c bc =+-……7分 由题意可知：ABC ∆的内切圆半径为1……8分ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则b c a +-=9分222(b c b c bc +-=+-……………10分4()12b c bc ⇒=+≥⇒≥或43bc ≤（舍）……11分 1[6,)2AB AC bc ⋅=∈+∞ ，当且仅当b c =时，AB AC ⋅的最小值为6.……………12分令也可以这样转化：1r a b c =⇔++=……9分代入222()b c b c bc +-=+-；……………10分4()12b c bc ⇒=+≥⇒≥或43bc ≤（舍）；……………11分 1[6,)2AB AC bc ⋅=∈+∞ ，当且仅当b c =时，AB AC ⋅的最小值为6.……………12分【考点】三角函数式化简、正余弦型函数性质、解三角形及均值不等式求最值. 19．（本题满分12分）（原创，中档）如图，三棱台111ABC A B C -中， 侧面11A B BA 与侧面11AC CA 是全等的梯形，若1111,A A AB A A AC ⊥⊥,且11124AB A B A A ==.（Ⅰ）若12CD DA = ，2AE EB =，证明：DE ∥平面11BCC B ； （Ⅱ）若二面角11C AA B --为3π，求平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值.19.（Ⅰ）证明：连接11,AC BC ，梯形11AC CA ，112AC AC =,易知：111,2AC AC D AD DC == ……2分； 又2AE EB =，则DE ∥1BC ……4分；1BC ⊂平面11BCC B ，DE ⊄平面11BCC B ，可得：DE ∥平面11BCC B ……6分； （Ⅱ）侧面11AC CA 是梯形，111A A AC ⊥，1AA AC ⇒⊥,1A A AB ⊥,则BAC ∠为二面角11C AA B --的平面角，BAC ∠=3π……7分； 111,ABC A B C ⇒∆∆均为正三角形，在平面ABC 内，过点A 作AC 的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设11AA =，则11112,A B AC ==4AC AC ==,故点1(0,0,1)A ，(0,4,0),C1,1)B B ……9分；设平面11A B BA 的法向量为111(,,)m x y z =，则有：11111100(1,00m AB y m m AB y z ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=++=⎪⎩……10分； 设平面11C B BC 的法向量为222(,,)n x y z =，则有：22122200030m CB y n m CB y z ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=-+=⎪⎩……11分； 1cos ,4m n m n m n⋅<>==-， 故平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值为14……12分； 【考点】线面平行证明及二面角计算. 20. （本题满分12分）设函数2()2(2)23xf x x e ax ax b =--++-（原创，中档）（Ⅰ）若()f x 在0x =处的法线（经过切点且垂直于切线的直线）的方程为240x y ++=，求实数,a b 的值；（原创，难）（Ⅱ）若1x =是()f x 的极小值点，求实数a 的取值范围. （Ⅰ）解：()2(1)22x f x x e ax a '=--+；……………………2分； 由题意可知：(0)2f '=；……………………3分；(0)2222f a a '=-+=⇒=；………………4分；易得切点坐标为(0,2)-，则有(0)21f b =-⇒=；………………5分；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：()2(1)222(1)()x x f x x e ax a x e a '=--+=--；………………6分； （1）当0a ≤时，0()01x e a f x x '->⇒=⇒=，(,1)()0x f x '∈-∞⇒<；(1,)()0x f x '∈+∞⇒>；1x =是()f x 的极小值点，∴0a ≤适合题意；………………7分； （2）当0a e <<时，1()01f x x '=⇒=或2ln x a =，且ln 1a <；(,ln )()0x a f x '∈-∞⇒>；(ln ,1)()0x a f x '∈⇒<；(1,)()0x f x '∈+∞⇒>；1x =是()f x 的极小值点，∴0a e <<适合题意；………………9分；（2）当a e ≥时，1()01f x x '=⇒=或2ln x a =，且ln 1a ≥；(,1)()0x f x '∈-∞⇒>；(1,ln )()0x a f x '∈⇒<；(ln ,)()0x a f x '∈+∞⇒>；1x =是()f x 的极大值点，∴a e ≥不适合题意；…………11分综上，实数a 的取值范围为a e <；………………12分； 【考点】函数切线及函数极值. 21.（本题满分12分） 已知函数()(ln 1)1f x x x ax ax =⋅++-+．（原创，中档）（Ⅰ）若()f x 在[1,)+∞上是减函数，求实数a 的取值范围. （原创，难）（Ⅱ）若()f x 的最大值为2，求实数a 的值. （Ⅰ）()ln 220f x x ax a '=++-≤在[1,)+∞恒成立……1分；2ln 12x a x+⇒≤-在[1,)+∞恒成立……2分； 设2ln (),[1,)12x g x x x +=∈+∞-，则2122ln ()(12)x x g x x ++'=-，由1x ≥得：()0g x '>……3分； ()g x 在[1,)+∞上为增函数1x ⇒=，()g x 有最小值(1)2g =-. ∴2a ≤-；……4分； （Ⅱ）注意到(1)2f =，又()f x 的最大值为2，则(1)0f '=202a a ⇒+=⇒=-；………………6分下面证明：2a =-时，()2f x ≤，即()(ln 21)210f x x x x x =⋅-++-≤,1ln 230x x x⇔--+≤；……………7分 设1()ln 23,(0,)h x x x x x =--+∈+∞；……………8分 22221121(21)(1)()2x x x x h x x x x x-+++-'=-+==……………9分 (0,1)()0()x h x h x '∈⇒>⇒在(0,1]上为增函数；(1,)()0()x h x h x '∈+∞⇒<⇒在[1,)+∞上为减函数；……………10分1()x h x =⇒有最大值(1)0h =；……………11分()(1)0h x h ≤=()(ln 21)210f x x x x x ⇔=⋅-++-≤∴2a =-适合题意；……………12分【考点】导函数单调性、函数最值及不等式证明.选做题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】（原创，容易）已知直线l 的参数方程为()x t t y a t=⎧⎨=-⎩为参数．以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系, 圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（Ⅰ）求直线l 与圆C 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 分圆C 所得的弧长之比为3:1，求实数a 的值．解：（Ⅰ）由题意知：2224cos 4cos 40x x y ρθρρθ=⇒=⇒-+=…………3分，0x t x y a x y a y a t=⎧⇒+=⇒+-=⎨=-⎩；…………5分 （Ⅱ）222240(2)4x x y x y -+=⇒-+=；…………6分，直线l 分圆C 所得的弧长之比为3:1⇒弦长为8分，d ⇒==9分，0d a ⇒==⇒=或4a =；…………10分，【考点】方程互化、圆弦长.23．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】 （原创，容易）已知函数()241f x x x =-++,（Ⅰ）解不等式()9f x ≤；（Ⅱ）若不等式()2f x x a <+的解集为A ，{}230B x x x =-<，且满足B A ⊆，求实数a 的取值范围.23. 解：（Ⅰ）()9f x ≤可化为2419x x -++≤2339x x >⎧⎨-≤⎩，或1259x x -≤≤⎧⎨-≤⎩，或1339x x <-⎧⎨-+≤⎩；…………………………2分 24x <≤，或12x -≤≤，或21x -≤<-； ……………………4分不等式的解集为[2,4]-；……………………………5分（Ⅱ）易知(0,3)B =；…………………………6分所以B A ⊆，又2412x x x a -++<+在(0,3)x ∈恒成立；…………………………7分 241x x a ⇒-<+-在(0,3)x ∈恒成立；…………………………8分1241x a x x a ⇒--+<-<+-在(0,3)x ∈恒成立；…………………………9分 (0,3)(0,33)35a x a x x x >-⎧⎨>-∈∈+⎩在恒成立在恒成立05a a a ≥⎧⇒⇒≥5⎨≥⎩………………………10分 【考点】绝对值不等式解法、不等式恒成立.齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018届高三第二次调研联考数学（理）参考答案及评分标准1．【答案】B2．【答案】B3.【答案】C4.【答案】A5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】D8.【答案】C9.【答案】C10．【答案】A11.【答案】D12.【答案】D13.【答案】1-14.【答案】515.【答案】107816.【答案】8]317.【答案】(Ⅰ) 3n n a = ；(Ⅱ)43 解：(Ⅰ) 24656603a a a q q q =-⇒--=⇒=或2q =-（舍）；………………3分3131(1)3931a q S a q-==⇒=-…………………5分 3n n a =……………………6分(Ⅱ) 213log 321n n b n +==+；………………7分3521(2)n T n n n =++++=+ ………………8分11111()(2)22n T n n n n ==-++………………10分 1231111111111111111()()()()21322423522n T T T T n n ⇒++++=-+-+-+-+ 12311111311()2212n T T T T n n ⇒++++=--++ ……………………12分 【考点】等比数列基本量运算、数列求和18．【答案】(Ⅰ) 5[,],1212k k k Z ππππ-++∈ ；(Ⅱ)6 解：(Ⅰ) 1()2sin()cos sin 232f x x x x x π=+-=+……3分 s i n (2)3x π=+……………4分 5222,2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤+≤+⇒-+≤≤+∈…………5分 ()f x 的单调增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-++∈……6分 (Ⅱ) 由余弦定理可知：222a b c bc =+-……7分由题意可知：ABC ∆的内切圆半径为1……8分ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，则b c a +-=9分222(b c b c bc +-=+-……………10分4()12b c bc ⇒=+≥⇒≥或43bc ≤（舍）……11分 1[6,)2AB AC bc ⋅=∈+∞ ， 当且仅当b c =时，AB AC ⋅ 的最小值为6.……………12分令也可以这样转化：12r a b c =⇔++=……9分代入222()b c b c bc +-=+-；……………10分4()12b c bc ⇒=+≥⇒≥或43bc ≤（舍）；……………11分1[6,)2AB AC bc ⋅=∈+∞ ， 当且仅当b c =时，AB AC ⋅ 的最小值为6.……………12分19．19.（Ⅰ）证明：连接11,AC BC ，梯形11AC CA ，112AC AC =,易知：111,2AC AC D AD DC == ……2分； 又2AE EB = ，则DE ∥1BC ……4分；1BC ⊂平面11BCC B ，DE ⊄平面11BCC B ，可得：DE ∥平面11BCC B ……6分；（Ⅱ）侧面11AC CA 是梯形，111A A AC ⊥，1AA AC ⇒⊥,1A A AB ⊥,则BAC ∠为二面角11C AA B --的平面角， BAC ∠=3π……7分； 111,ABC A B C ⇒∆∆均为正三角形，在平面ABC 内，过点A 作AC 的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设11AA =，则11112,A B AC ==4AC AC ==,故点1(0,0,1)A ，(0,4,0),C1,1)B B ……9分；设平面11A B BA 的法向量为111(,,)m x y z =，则有：11111100(1,00m AB y m m AB y z ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=++=⎪⎩ ……10分； 设平面11C B BC 的法向量为222(,,)n x y z =，则有：22122200030m CB y n m CB y z ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=-+=⎪⎩……11分； 1cos ,4m n m n m n⋅<>==- ， 故平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值为14……12分；20.（Ⅰ）解：()2(1)22x f x x e ax a '=--+；……………………2分；由题意可知：(0)2f '=；……………………3分；(0)2222f a a '=-+=⇒=；………………4分；易得切点坐标为(0,2)-，则有(0)21f b =-⇒=；………………5分；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：()2(1)222(1)()x x f x x e ax a x e a '=--+=--；………………6分；（1）当0a ≤时，0()01x e a f x x '->⇒=⇒=，(,1)()0x f x '∈-∞⇒<；(1,)()0x f x '∈+∞⇒>；1x =是()f x 的极小值点，∴0a ≤适合题意；………………7分；（2）当0a e <<时，1()01f x x '=⇒=或2ln x a =，且ln 1a <；(,ln )()0x a f x '∈-∞⇒>；(ln ,1)()0x a f x '∈⇒<；(1,)()0x f x '∈+∞⇒>； 1x =是()f x 的极小值点，∴0a e <<适合题意；………………9分；（2）当a e ≥时，1()01f x x '=⇒=或2ln x a =，且ln 1a ≥；(,1)()0x f x '∈-∞⇒>；(1,ln )()0x a f x '∈⇒<；(ln ,)()0x a f x '∈+∞⇒>； 1x =是()f x 的极大值点，∴a e ≥不适合题意；…………11分综上，实数a 的取值范围为a e <；………………12分；21.（Ⅰ）()ln 220f x x ax a '=++-≤在[1,)+∞恒成立……1分； 2ln 12x a x+⇒≤-在[1,)+∞恒成立……2分； 设2ln (),[1,)12x g x x x +=∈+∞-，则2122ln ()(12)x x g x x ++'=-，由1x ≥得：()0g x '>……3分； ()g x 在[1,)+∞上为增函数1x ⇒=，()g x 有最小值(1)2g =-. ∴2a ≤-；……4分； （Ⅱ）注意到(1)2f =，又()f x 的最大值为2，则(1)0f '=202a a ⇒+=⇒=-；………………6分下面证明：2a =-时，()2f x ≤，即()(ln 21)210f x x x x x =⋅-++-≤,1ln 230x x x⇔--+≤；……………7分 设1()ln 23,(0,)h x x x x x =--+∈+∞；……………8分 22221121(21)(1)()2x x x x h x x x x x-+++-'=-+==……………9分 (0,1)()0()x h x h x '∈⇒>⇒在(0,1]上为增函数；(1,)()0()x h x h x '∈+∞⇒<⇒在[1,)+∞上为减函数；……………10分1()x h x =⇒有最大值(1)0h =；……………11分()(1)0h x h ≤=()(ln 21)210f x x x x x ⇔=⋅-++-≤∴2a =-适合题意；……………12分22．解：（Ⅰ）由题意知：2224cos 4cos 40x x y ρθρρθ=⇒=⇒-+=…………3分， 0x t x y a x y a y a t =⎧⇒+=⇒+-=⎨=-⎩；…………5分 （Ⅱ）222240(2)4x x y x y -+=⇒-+=；…………6分，直线l 分圆C 所得的弧长之比为3:1⇒弦长为8分，d ⇒==9分，0d a ⇒==⇒=或4a =；…………10分，23. 解：（Ⅰ）()9f x ≤可化为2419x x -++≤2339x x >⎧⎨-≤⎩，或1259x x -≤≤⎧⎨-≤⎩，或1339x x <-⎧⎨-+≤⎩；…………………………2分 24x <≤，或12x -≤≤，或21x -≤<-； ……………………4分不等式的解集为[2,4]-；……………………………5分（Ⅱ）易知(0,3)B =；…………………………6分 所以B A ⊆，又2412x x x a -++<+在(0,3)x ∈恒成立；…………………………7分 241x x a ⇒-<+-在(0,3)x ∈恒成立；…………………………8分1241x a x x a ⇒--+<-<+-在(0,3)x ∈恒成立；…………………………9分 (0,3)(0,33)35a x a x x x >-⎧⎨>-∈∈+⎩在恒成立在恒成立05a a a ≥⎧⇒⇒≥5⎨≥⎩………………………10分。
吉林省长春市普通高中2018届高三数学一模考试试题理(含解析)
长春市普通高中届高三质量监测（一）数学试题卷（理科）一、选择题：本大题共个小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．. 设为虚数单位，则（）. . . .【答案】【解析】由题意可得：.本题选择选项.. 集合的子集的个数为（）. . 7 . .【答案】【解析】集合含有个元素，则其子集的个数为.本题选择选项.. 若图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩关于测试序号的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升．其中正确结论的个数为（）. . . .【答案】【解析】通过函数图象，可以看出①②③均正确.故选.. 等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为（）. . . .【答案】【解析】因为等差数列中，，所以，有，所以当时前项和取最小值.故选....................... 已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为（）. ， . ，86 . ， . ，【答案】【解析】由茎叶图可知，中位数为，众数为. 故选.. 若角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（）. .. .【答案】【解析】因为直线的倾斜角是，所以终边落在直线上的角的取值集合为或者.故选.. 已知，且，则的最小值为（）. . 9 . .【答案】【解析】由题意可得：，则：，当且仅当时等号成立，综上可得：则的最小值为.本题选择选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．. 《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为丈），那么该刍甍的体积为（）. 立方丈 . 立方丈 . 立方丈 . 立方丈【答案】【解析】由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为，四棱锥的体积为，则刍甍的体积为.故选.. 已知矩形的顶点都在球心为，半径为的球面上，，且四棱锥的体积为，则等于（）. . . .【答案】【解析】由题意可知球心到平面的距离，矩形所在圆的半径为，从而球的半径 .故选.. 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）. 求首项为，公差为的等差数列前项和. 求首项为，公差为的等差数列前项和. 求首项为，公差为的等差数列前项和. 求首项为，公差为的等差数列前项和【答案】【解析】由题意可知，为求首项为，公差为的等差数列的前项和.故选.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.. 已知为坐标原点，设分别是双曲线的左、右焦点，点为双曲线上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为，则（）. . . .【答案】【解析】延长交于点，由角分线性质可知根据双曲线的定义，，从而，在中，为其中位线，故.故选. 点睛：对于圆锥曲线问题，善用利用定义求解，注意数形结合，画出合理草图，巧妙转化. . 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为（）. . . .【答案】【解析】,作图如下：，四个交点分别关于对称，所以零点之和为，选.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、填空题（每题分，满分分，将答案填在答题纸上）. 已知角满足，，则的取值范围是．【答案】【解析】结合题意可知：，且：，利用不等式的性质可知：的取值范围是.点睛：利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，是避免错误的有效途径．. 已知平面内三个不共线向量两两夹角相等，且，，则．【答案】【解析】因为平面内三个不共线向量两两夹角相等，所以由题意可知，的夹角为，又知，，所以，，故答案为.. 在中，三个内角的对边分别为，若，且，面积的最大值为．【答案】【解析】由可得，，得，由余弦定理，面积的最大值为，当且仅当时取到最大值，故答案为.【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.. 已知圆锥的侧面展开图是半径为的扇形，则圆锥体积的最大值为．【答案】【解析】设圆锥的底面半径为，由题意可得其体积为：当且仅当时等号成立.综上可得圆锥体积的最大值为.三、解答题:共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第～题为必考题，每个试题考生都必须作答．第、题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共分．. 已知数列的前项和．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求证：．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)利用已知条件，推出新数列是等比数列，然后求数列的通项公式；（Ⅱ）化简，则，利用裂项相消法和，再根据放缩法即可证明结果.试题解析：(Ⅰ)由，则.当时，，综上.（Ⅱ）由.. 得证.. 长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在我市推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：（Ⅰ）现从节云课中采用分层抽样的方式选出节，求选出的点击量超过的节数．（Ⅱ）为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费分钟进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费分钟进行剪辑，点击量超过，则不需要剪辑，现从（Ⅰ）中选出的节课中随机取出节课进行剪辑，求剪辑时间的分布列与数学期望．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）.【解析】试题分析：(Ⅰ)因为节云课中采用分层抽样的方式选出节，所以节应选出节；（Ⅱ）的所有可能取值为，根据古典概型概率公式分别求出各随机变量的概率，从而可得分布列，由期望公式可得结果..试题解析：(Ⅰ)根据分层抽样，选出的节课中有节点击量超过.（Ⅱ）的可能取值为，，，则的分布列为即 .. 如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）设，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：(Ⅰ) )连接交于点，连接，根据中位线定理可得，由线面平行的判定定理即可证明平面；（Ⅱ）以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：(Ⅰ)连接交于点，连接在中，（Ⅱ），设菱形的边长为，则.取中点，连接.以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立如图所示坐标系.，，，，，，，即二面角的余弦值为.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（）将空间位置关系转化为向量关系；（）根据定理结论求出相应的角和距离.. 已知椭圆的两个焦点为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过的直线与椭圆交于两点（点位于轴上方），若，且，求直线的斜率的取值范围．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）.【解析】试题分析：()由题意可得，，，则椭圆方程为.()联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得到关于实数的不等式，求解不等式可得直线的斜率的取值范围是.试题解析：()由椭圆定义，有，，，从而.()设直线，有，整理得，设，，有，，，，由于，所以，，解得.，，由已知.. 已知函数，．（Ⅰ）若函数与的图像在点处有相同的切线，求的值；（Ⅱ）当时，恒成立，求整数的最大值；（Ⅲ）证明：．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)求出与，由且解方程组可求的值；（Ⅱ）恒成立等价于恒成立，先证明当时恒成立，再证明时不恒成立，进而可得结果；（Ⅲ））由，令，即，即，令，各式相加即可得结果. 试题解析：(Ⅰ)由题意可知，和在处有相同的切线，即在处且，解得.（Ⅱ）现证明，设，令，即，因此，即恒成立，即，同理可证.由题意，当时，且，即，即时，成立.当时，，即不恒成立.因此整数的最大值为.（Ⅲ）由，令，即，即由此可知，当时，，当时，，当时，，……当时，.综上：.即.（二）选考题：请考生在、两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．. 选修：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以圆心，为半径．（Ⅰ）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；（Ⅱ）设直线与圆相交于两点，求．【答案】(Ⅰ)为参数），；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（）根据直线参数方程形式直接写出直线的参数方程，根据直角三角形关系得，即为圆的极坐标方程（）利用将圆的极坐标方程化为直接坐标方程，将直线参数方程代入，利用韦达定理及参数几何意义得试题解析：（Ⅰ）直线的参数方程为（为参数），圆的极坐标方程为 .（Ⅱ）把代入，得，，设点对应的参数分别为，则,. 选修：不等式选讲设不等式的解集为．（Ⅰ）求集合；（Ⅱ）若，求证：．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集（）利用分析法证明，将所求不等式转化为，再根据，证明试题解析：（）由已知，令由得.（）要证，只需证，只需证，只需证只需证，由，则恒成立.点睛：()分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.()利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.。
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2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-试卷类型：A天门 仙桃 潜江5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -= A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。
则按程序框图正确编程运行时输 出y 的值为3的概率为 A ．12B ．13C ．16D ．1810．从抛物线24y x =在第一象限内的一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||9PM =，设抛物线的焦点为F ，则直线PF 的斜率为ABCD11．已知三点(12)(1)(0)A B a C b ---，，，，，共线，则122(0,0)a b a b ab+++>>的最小值为A ．11B ．10C ．6D ．412．已知正方形ABCD 的边长是a ，依次连接正方形ABCD 各边中点得到一个新的正方形，由此规律，依次得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A 点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．设这10条线段的长度之和是S 10，则10(2S =A ．3164aB ．6164aC ．3132aD ．61128a第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题 共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．已知向量a ，b 的夹角为60︒，||2,||5==a b ，则2-a b 在a 方向上的投影为 ▲ ．14．若实数x ，y 满足202080y x y x y -⎧⎪-⎨⎪--⎩≥≥≥，则目标函数321z x y =-+的最小值为 ▲ ．15．如图12F F ，是椭圆22:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A ， B 分别是12C C ，在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2 为矩形，则2C 的虚轴长为 ▲ ．16．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点Q 在线段CC 1上 ，则线段PQ 长的最小值为 ▲ ．三、解答题：本大题分必做题和选做题，其中第17～21题为必做题，第22～23为选做题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案填在答题卡上对应题号指定框内． 17．（本题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos cos cos C A B A B +． （Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若1a c +=，求b 的取值范围．C18.（本题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中， PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，3PA=，连接CE并延长交AD于F．2（Ⅰ）求证：AD⊥CG；（Ⅱ）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．19.（本题满分12分）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；（Ⅱ）设是此人停留期间空气质量优良的天数，求的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）20.（本题满分12分）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e=，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A'两点||4AA'=．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P'，过P、P'作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ P Q'⊥，求圆Q的标准方程．21.（本题满分12分）设函数2()(1)()x f x x e kx k =--∈R ． （Ⅰ）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1(1]2k ∈，时，求函数()f x 在[0]k ，上的最大值M ．请考生在22，23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑． 22．（本题满分10分）【选修4—4 坐标系与参数方程】 已知动点P 、Q 都在曲线2cos :(2sin x tC t y t =⎧⎨=⎩为参数）上，对应参数分别为t α=与2t α=（02απ<<），M 为PQ 的中点．(Ⅰ) 求M 的轨迹的参数方程；(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．23．（本题满分10分）【选修4—5 不等式选讲】(Ⅰ)当2a =时，求不等式()4|4|f x x --≥的解集；(Ⅱ)已知关于x 的不等式|(2)2()|2f x a f x +-≤的解集为{|12}x x ≤≤，求a 的值．天门、仙桃、潜江2017－2018学年度第一学期期末联考高三数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：1—5 BDCAB 6—10 DACCC 11—12 AC二、填空题：13．3214．53-15．2 16三、解答题：本大题分必做题和选做题，其中第17～21题为必做题，第22～24为选做题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
把答案填在答题卡上对应题号指定框内。
17．解：（Ⅰ）由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=，即有sin sin cos 0A B A B =………………………………………3分因为sin 0A ≠，∴sin 0B B =．又cos 0B ≠，∴tan B =又0B π<<，∴3B π=，∴1cos 2B =………………………………6分（Ⅱ）由余弦定理，有2222cos b a c a B =+-． 因为11cos 2a c B +==，，有22113()24b a =-+………………………9分又01a <<，于是有2114b <≤，即有112b <≤………………………12分18．解：（Ⅰ）在△ABD 中，因为点E 是BD 的中点，∴EA=EB=ED=AB=1，故23BAD ABE AEB ππ∠=∠=∠=，…………………………………1分 因为△DAB ≌△DCB ，∴△EAB ≌△ECB ，从而有3FED BEC AEB π∠=∠=∠=…………………………………2分∴FED FEA ∠=∠，故EF ⊥AD ，AF=FD ． 又PG=GD ，∴FG//PA ．又PA ⊥平面ABCD ，∴GF ⊥AD ，故AD ⊥平面CFG …………………………………………5分又CG ⊂平面CFG ，∴AD ⊥CF …………………………………………6分（Ⅱ）以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则33(000)(100)(0)(00)(00)22A B C D P ，，，，，，，，，，，…………7分故1(02BC =），33(22CP =-，，），3(02CD =-）． 设平面BCP 的法向量111(1)y z =，，n ，则11110233022y y z ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得1123y z ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 即12(1)3=，n …………………………………………………………9分 设平面DCP 的法向量222(1)y z =，，n ，则22230233022y y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，，解得222y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2(12)=n ．从而平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值为12124||3cos ||||θ===n n n n 12分 19．解：设A i 表示事件“此人于3月i 日到达该市”（i=1，2，…，13）． 根据题意，1()13i P A =，且()ij A A i j =∅≠…………………………2分（Ⅰ）设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则58B A A =．∴58582()()()()13P B P A A P A P A ==+=…………………………4分）（Ⅱ）由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，且 36711367114(1)()()()()()13P X P A A A A P A P A P A P A ===+++=，1212131212134(2)()()()()()13P X P A A A A P A P A P A P A ===+++=5(0)1(1)(2)13P X P X P X ==-=-==∴的分布列为：故的数学期望5441201213131313EX =⨯+⨯+⨯=……………………8分（Ⅲ）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大……………………12分20．解：（Ⅰ）由题意知，(2)A c -，在椭圆上，则2222()21c a b -+=，从而22221c b+=………………………………………1分由e ，得22481b e ==-，从而222161b a e ==-．故该椭圆的标准方程为221168y x +=…………………………………………4分（Ⅱ）由椭圆的对称性，可设0(0)Q x ，． 又设()M x y ，是椭圆上任意一点，则222222000||()28(1)16x QM x x y x x x x =-+=-++- 22001(2)8([4,4])2x x x x =--+∈-…………………………………………6分 设11()P x y ，，由题意知，点P 是椭圆上到点Q 的距离最小的点，因此，上式当1x x =时取最小值．又因为1(44)x ∈-，，∴上式当02x x =时取最小值，从而102x x =，且20||8QP x =-．因为PQ P Q '⊥，且11()P x y '-，，∴101101()()0QP QP x x y x x y =--=，，-，即22101()0xx y -=-…………8分由椭圆方程及102x x =，得221118(1)0416x x --=，解得1102x x x ==2216||83PQ x =-=．………10分 故这样的圆有两个，其标准方程分别为22221616((33x y x y +=+=，…………………………12分21．解：（Ⅰ）当1k =时，2()(1)x f x x e x =--， ()(1)2(2)x x x f x e x e x x e '=+--=-……………………………………2分由()0f x '=，解得120ln 20x x ==>，．6分由()0f x '>，解得0ln2x x <>或．由()0f x '<，解得0ln2x <<．∴函数()f x 的单调增区间为(0)(ln 2)-∞+∞，和，，单调减区间为(0ln 2)，…………………………………………………………6分（2）因为2()(1)x f x x e kx =--，∴()2(2)x x f x xe kx x e k '=-=-． 令()0f x '=，解得120ln(2)x x k ==，……………………………………8分因为1(1]2k ∈，，∴2(12]k ∈，，∴0ln(2)ln 2k <≤．设()ln(2)g k k k =-，1(1]2k ∈，， 11()10k g k kk-'=-=≤，∴()g k 在1(1]2，上是减函数， ∴()(1)1ln 20g k g =->≥，即0ln(2)k k <<．∴()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：∴函数()f x 在[0，k]上的最大值为(0)f 或()f k ． 3(0)1()(1)k f f k k e k =-=--，，33()(0)(1)1(1)(1)k k f k f k e k k e k -=--+=---22(1)(1)(1)(1)[(1)]k k k e k k k k e k k =---++=--++因为1(1]2k ∈，，∴10k -≤． 令2()(1)k h k e k k =-++，则()(21)k h k e k '=-+．对任意的1(1]2k ∈，，k y e =的图象恒在21y k =+的图象的下方， ∴(21)0k e k -+<，即()0h k '<…………………………………………10分∴函数()h k 在1(1]2，上为减函数，故127111(1)()()(1)02424h h k h e <<=-++=<，∴()(0)0f k f -≥，即()(0)f k f ≥．∴函数()f x 在[0]k ，的最大值3()(1)k M f k k e k ==--………………12分22．解：(Ⅰ) 依题意有(2cos ,2sin ),(2cos2,2sin 2)P Q αααα…………………………2分 因此(cos cos2,sin sin 2)M αααα++ ……………………………………3分M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩（α为参数，02απ<<）……5分当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点………………………………10分23．解：(Ⅰ)当2a =时，26,2()|4|2,2426,4x x f x x x x x -+≤⎧⎪+-=<<⎨⎪-≥⎩………………………………1分当2x ≤时，由()4|4|f x x ≥--得264x -+≥，解得1x ≤…………2分 当24x <<时，()4|4|f x x ≥--无解……………………………………3分 当4x ≥时，由()4|4|f x x ≥--得264x -≥，解得5x ≥…………4分∴()4|4|f x x ≥--的解集为{|15}x x x ≤≥或…………………………5分 (Ⅱ)记()(2)2()h x f x a f x =+-，则2,0()42,02,a x h x x a x a a x a -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩………………………………………………7分又已知|()|2h x ≤的解集为{|12}x x ≤≤，。