高三数学二轮复习 第一篇 专题通关攻略 专题六 解析几何 16_1 直线与圆 理 新人教版
高考数学二轮复习专题6解析几何第一讲直线与圆理
高考数学二轮复习专题 6 分析几何第一讲 直 线与 圆 理第一讲 直线与圆1．两直线平行．(1) 设直线 l 1， l 2 是两条不重合的直线，斜率都存在，分别为k 1，k 2，则有 l 1∥ l 2? k 1＝k 2．(2) 设直线 l ， l 2是两条不重合的直线，斜率都不存在，则有 l ∥ l．1122．两直线垂直．(1) 设直线 l 1， l 2 的斜率都存在，分别为k 1， k 2，则 l 1⊥ l 2? k 1k 2＝－ 1．(2) 若直线 l 1， l 2 的斜率一个为 0，另一个斜率不存在，则l 1⊥ l 2．1．两点间的距离公式．点 P 1( x 1， y 1) ， P 2( x 2， y 2) 的距离为 | P 1P 2| ＝（ x 2 －x 1） 2＋（ y 2－y 1） 2．2．点到直线的距离公式．点 ( x 0， y 0) 到直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0 的距离为 d ＝| Ax 0＋ By 0＋C |A 2＋B 2 ．3．两条平行直线间的距离．| C －C |平行线 l 1： Ax ＋ By ＋ C 1＝ 0 与 l 2： Ax ＋ By ＋ C 2＝ 0 间的距离 d ′＝21A 2＋B 2．1．直线与圆的地点关系及其判断．(1) 几何法．设圆心到直线l 的距离为 d，圆的半径为r ，则直线与圆相离? d＞r；直线与圆相切? d＝r；直线与圆订交? d＜r．(2)代数法．Ax＋By＋ C＝0，（x－a） 2＋（y－b） 2＝r 2消元后得一元二次方程的鉴别式的值，则直线与圆相离 ? ＜ 0；直线与圆相切? ＝0；直线与圆订交 ? ＞ 0．2．圆与圆的地点关系．(1)几何法．设两圆的圆心距为d，半径分别为r 1， r 2，则两圆外离 ? d＞r1＋r2；两圆外切 ? d＝r1＋r2；两圆订交 ? | r1－r2 | ＜d＜r1＋r2；两圆内切 ? d＝ | r1－r2|( r1≠r2) ；两圆内含 ? 0≤d＜ | r1－r2|( r1≠r2) ．(2)代数法．222，（ x－ a1）＋（ y－ b1）＝r1（－2）2＋（－2）2＝22，则x a y b r两圆外离或内含 ? 方程组无解；两圆外切或内切 ? 方程组有一组实数解；两圆订交 ? 方程组有两组不一样的实数解．3 ．设空间两点A( x1， y1， z1)， B( x2， y2， z2)，则 A， B 两点间距离为d ＝（ x2－ x1）2＋（ y2－ y1）2＋（ z2－ z1）2．判断下边结论能否正确( 请在括号中打“√”或“×”) ．(1) 依据直线的倾斜角的大小不可以确立直线的地点．( √ )(2) 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × )(3) 直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ×)(4) 经过定点 A (0 ， b ) 的直线都能够用方程 y ＝ kx ＋ b 表示． ( ×)(5) 经过随意两个不一样的点P 1( x 1， y 1) ， P 2( x 2， y 2) 的直线都能够用方程 ( y － y 1)( x 2－ x 1)＝ ( x － x 1)( y 2－y 1) 表示． ( √ )(6) 方程 Ax 2＋ Bxy ＋ Cy 2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 表示圆的充要条件是 A ＝ C ≠0， B ＝ 0， D 2＋ E 2－4AF >0.( √ )1．直线 l 过点 ( － 1， 2) 且与直线 3x ＋ 2y ＝0 垂直，则 l 的方程是 ( D)A ． 3x ＋ 2y － 1＝0B ． 3x ＋ 2y ＋ 7＝ 0C ． 2x － 3y ＋ 5＝0D ． 2x － 3y ＋ 8＝ 022分析： 由题可得 l 斜率为 3，∴ l： y － 2＝ 3( x ＋1) ，即 2x － 3y ＋ 8＝ 0 . 应选 D.2．(2015 ·山东卷 ) 一条光芒从点 ( － 2，－ 3) 射出，经 y 轴反射后与圆 ( x ＋ 3) 2＋ ( y － 2) 2＝1 相切，则反射光芒所在直线的斜率为( D)5332A ．－ 3或－5B ．－ 2或－ 3C ．－ 5或－4 D ．－ 4或－ 3 45 3 4分析： 由已知，得点 ( － 2，－ 3) 对于 y 轴的对称点为 (2 ，－ 3) ，由入射光芒与反射光芒的对称性，知反射光芒必定过点(2 ，－ 3) ．设反射光芒所在直线的斜率为k ，则反射光芒所在直线的方程为y ＋ 3 ＝ k ( x － 2) ，即kx － y － 2k － 3＝ 0. 由反射光芒与圆相切，则有d ＝| － 3k － 2－2k － 3|43k 2＋ 1＝1，解得k ＝－ 3或k ＝－ 4，应选D.3．圆 ( x ＋ 2) 2＋ y 2＝ 4 与圆 ( x －2) 2＋ ( y － 1) 2＝ 9 的地点关系为( B)A ．内切B ．订交C ．外切D ．相离4. (2015 ·江苏卷) 在平面直角坐标系xOy 中，以点 (1 ， 0) 为圆心且与直线mx － y － 2m－1＝ 0( m ∈R)相切的全部圆中，半径最大的圆的标准方程为( x － 1) 2＋ y 2＝ 2．分析：直线mx－ y－2m－1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点 (2 ，－ 1) 时，圆的半径最大，此时半径 r 知足 r 2＝ (1 － 2) 2＋(0 ＋ 1) 2 ＝2.一、选择题1．已知两条直线 y ＝ ax －2 和 y ＝( a ＋ 2) x ＋1 相互垂直，则a 等于 ( D)A ．2B ．1C ．0D ．－1分析： 解法一 将选项分别代入题干中察看，易求出 D 切合要求．应选D.解法二 ∵直线＝－ 2 和 y ＝( ＋ 2) x ＋1 相互垂直，∴( ＋2) ＝－1. ∴ ＝－ 1. 故y axaa a a选 D.2. (2015 ·江苏卷改编 ) 在平面直角坐标系xOy 中，以点 (1 ， 0) 为圆心且与直线 mx － y－2m － 1＝ 0( m ∈R)相切的全部圆中，半径最大的圆的标准方程为( A)A ． ( x － 1) 2＋ y 2＝ 2B ． ( x －1) 2＋ ( y －1) 2＝ 2C ． x 2＋ ( y － 1) 2＝ 2D ． ( x －2) 2＋ ( y －1) 2＝ 2分析： 直线 mx － y － 2m －1＝ 0 经过定点 (2 ，－ 1) ．当圆与直线相切于点 (2 ，－ 1) 时，圆的半径最大，此时半径r 知足 r 2＝ (1 － 2) 2＋(0 ＋1) 2 ＝2.3．(2015 ·北京卷 ) 圆心为 (1 ， 1) 且过原点的圆的方程是 ( D)A ． ( x － 1) 2＋ ( y －1) 2＝ 1B ． ( x ＋ 1) 2＋( y ＋ 1) 2＝ 1C ． ( x ＋ 1) 2＋ ( y ＋1) 2＝ 2D ． ( x － 1) 2＋( y － 1) 2＝ 2分析： 圆的半径 r ＝ （ 1－ 0）2＋（ 1－ 0） 2＝ 2，圆心坐标为 (1 ， 1) ，因此圆的标准方程为 ( x －1) 2＋ ( y － 1) 2＝ 2.4．对随意的实数 k ，直线 y ＝ kx ＋1 与圆 x 2＋ y 2＝ 2 的地点关系必定是 ( C)A ．相离B．相切C ．订交但直线可是圆心D ．订交且直线过圆心圆心 C (0 ，0) 到直线 kx － y ＋ 1＝ 0 的距离为 d ＝112＝ r ，且分析： 解法一1＋ k 2≤ 1＜圆心 C (0 ，0) 不在该直线上．解法二直线 kx － y ＋ 1＝0 恒过定点 (0 ，1) ，而该点在圆 C 内，且圆心不在该直线上． 故选 C.5．已知圆的方程为x 2＋y 2－6 －8 y ＝ 0. 设该圆过点 (3 ， 5) 的最长弦和最短弦分别为ACx和 BD，则四边形 ABCD的面积为( B)A．10 6 B ．20 6C．30 6 D ．406分析：由 x2＋ y2－6x－8y＝0，得( x－3)2＋( y－4)2＝25，圆心为 (3 ， 4) ，半径为 5.又点 (3 ，5) 在圆内，则最长弦 | AC| ＝ 10，最短的弦 | BD| ＝2·25－（ 3－ 3）2－（ 4－ 5）2＝2 24＝4 6，∴ S 四边形ABCD＝1×10×46＝ 20 6. 26．(2015 ·新课标Ⅱ卷 ) 已知三点(1 ，0)， (0，3)， (2，3) ，则△外接圆的A B C ABC圆心到原点的距离为( B)521254A. 3B.3C.3D.3分析：在座标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得| AB| ＝| AC| ＝| BC| ＝2( 也能够借助图形直接察看得出) ，因此△ABC为等边三角形．设BC的中点为 D，点 E 为外心，同时也是重心．因此 | |2| ＝23|22421＝ |3，进而| |＝ |＋ || ＝1＋＝，AE3AD OE OA AE33应选 B.二、填空题7．(2014 ·陕西卷 ) 若圆C的半径为1，其圆心与点 (1 ， 0) 对于直线y＝x对称，则圆C 的标准方程为x2＋( y－1)2＝1．分析：因为圆心与点(1 ，0) 对于直线y＝ x 对称，因此圆心坐标为(0 ，1) ．因此圆的标准方程为： x2＋( y－1)2＝1.8．(2014 ·湖北卷 ) 直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1 分红长度相等的四段弧，则a2＋ b2＝2．分析：依题意，设l 1与单位圆订交于A， B 两点，则∠ AOB＝90°.如图，当a＝1， b＝－1 时知足题意，因此a2＋ b2＝2.三、解答题9．已知圆C： x2＋y2－2x＋4y－4＝0，能否存在斜率为 1 的直线l ，使以l被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明原因．分析：圆 C化成标准方程为( x－ 1) 2＋( y＋ 2) 2＝ 9.假定存在以AB为直径的圆M，圆心 M的坐标为( a， b)，b＋2因为 CM⊥ l ，∴ k CM k l＝－1，× 1＝－1，∴ a＋ b＋1＝0，得 b＝－ a－1.①直线 l 的方程为 y－ b＝ x－ a，即 x－ y＋ b－ a＝0.| |＝| b－a＋ 3|，CM2∵以 AB为直径的圆M过原点，∴| MA|＝ | MB| ＝| OM|.2＝9－|b－a＋3|2b－ a＋3|2∴ | MB|2＝| CB|2－ | CM|＝ | OM|2＝a2＋b2，即 9－|＝ a2＋b2.②22 3由①②得 a＝2或 a＝－1，35当 a＝时， b＝－，22此时直线 l 的方程为 x－y－4＝0；当 a＝－1时， b＝0，此时直线 l 的方程为 x－y＋1＝0.故这样的直线l 是存在的，方程为x－ y－4＝0或 x－y＋1＝0.10．在平面直角坐标系12222 xOy中，已知圆 C：( x＋3)＋ ( y－ 1)＝ 4和圆 C：( x－4)＋( y－5) 2＝ 4.(1) 若直线l过点 (4 ， 0) ，且被圆1截得的弦长为2 3，求直线l 的方程；AC(2) 设 P 为平面上的点，知足：存在过点P 的无量多对相互垂直的直线 l 1 和 l 2，它们分 别与圆 C 和圆 C 订交，且直线 l 1被圆 C 截得的弦长与直线 l 2 被圆 C 截得的弦长相等， 试求1212全部知足条件的点P 的坐标．分析： (1) 因为直线 x ＝ 4 与圆 C 1 不订交，因此直线 l 的斜率存在． 设直线 l 的方程为 y＝k ( x － 4) ，即 kx －y － 4k ＝ 0.由垂径定理，得圆心C 1 到直线的距离 d ＝22－2 32＝1，2| － 3k － 1－ 4k |＝ 1.联合点到直线距离公式，得k 2＋ 127化简，得 24k ＋ 7k ＝ 0，解得 k ＝ 0 或 k ＝－.7因此直线 l 的方程为： y ＝ 0 或 y ＝－( x － 4) ，即 y ＝ 0 或 7x ＋ 24y － 28＝ 0.24(2) 设点 P 坐标为 ( m ， n ) ，直线 l 1， l 2 的方程分别为：1y － n ＝k ( x － m ) ， y － n ＝－ k ( x － m )( k ≠0) ，11即： kx － y ＋ n －km ＝ 0，－ k x － y ＋n ＋ k m ＝ 0.因为直线 l 1被圆 C 截得的弦长与直线 l2 被圆 C 截得的弦长相等，两圆半径相等，由垂12径定理，得圆心 C 1 到直线 l 1 与圆心 C 2 到直线 l 2 的距离相等．41|－3 －1＋ － |－ k － 5＋ n ＋ k mn km＝，故有k 2＋ 11k 2＋1化简得 (2 － m － n ) k ＝ m － n － 3 或 ( m －n ＋ 8) k ＝m ＋ n － 5，对于 k 的方程有无量多解，有2－m－n＝ 0，m－n＋8＝0，或m－n－3＝0m＋n－5＝0，3，13或5，－1.解得点 P 坐标为－2222经查验，以上两点知足题目条件．11．已知过点A(－1，0)的动直线 l 与圆 C：x2＋( y－3)2＝4订交于 P，Q两点， M是 PQ 中点， l 与直线 m： x＋3y＋6＝0订交于点 N.(1)求证：当 l 与 m垂直时， l 必过圆心 C；(2)当 PQ＝2 3时，求直线 l 的方程．1分析： (1) ∵l与m垂直，且k m＝－，∴ k l＝3.3故直线 l 方程为 y＝3( x＋1)，即3x－ y＋3＝0.∵圆心坐标 (0 ，3) ，知足直线l 方程．∴当 l 与 m垂直时， l 必过圆心 C.(2)①当直线 l 与 x 轴垂直时，易知 x＝－1切合题意．②当直线l与 x 轴不垂直时，设直线l的方程为y＝ k( x＋1)，即kx－ y＋ k＝0，∵ PQ＝23，CM＝4－3＝ 1，则由CM＝|－ 3＋k| k2＋1＝ 1，得4k＝3.∴直线l ：4x－3y＋4＝0.故直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋ 4＝ 0.。
高考数学二轮复习 专题6 解析几何 第1讲 直线与圆 理
第1讲直线与圆直线的方程及应用1.(2015贵阳模拟)过点(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为( A )(A)x-2y+7=0 (B)2x+y-1=0(C)x-2y-5=0 (D)2x+y-5=0解析:由题意,可设所求直线方程为x-2y+C=0,又因为点(-1,3)在所求直线上,所以-1-2×3+C=0,解得C=7.故选A.2.(2015长春调研)一次函数y=-错误!未找到引用源。
x+错误!未找到引用源。
的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( B )(A)m>1且n<1 (B)mn<0(C)m>0且n<0 (D)m<0且n<0解析:因为y=-错误!未找到引用源。
x+错误!未找到引用源。
经过第一、三、四象限,故-错误!未找到引用源。
>0,错误!未找到引用源。
<0,即m>0,n<0,但此为充要条件,因此其必要不充分条件为mn<0.故选B.3.(2015郑州模拟)直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是( D )(A)（-1,错误!未找到引用源。
）(B) （-∞,错误!未找到引用源。
）∪（1,+∞）(C)(-∞,1)∪（错误!未找到引用源。
,+∞） (D)(-∞,-1)∪（错误!未找到引用源。
,+∞）解析: 如图,k AB=-1,k AC=错误!未找到引用源。
,因此满足条件的直线l的斜率范围是(-∞,-1)∪（错误!未找到引用源。
,+∞）.故选D. 4.(2015山西模拟)已知直线a2x+y+2=0与直线bx-(a2+1)y-1=0互相垂直,则|ab|的最小值为( C )(A)5 (B)4 (C)2 (D)1解析:由题意得a2b+[-(a2+1)]=0,所以b=错误!未找到引用源。
,所以|ab|=|a×错误!未找到引用源。
|=|a+错误!未找到引用源。
高三数学二轮复习第一篇专题突破专题六解析几何第1讲直线与圆理
跟踪集训
1.已知三点A(1,0),B(0, 3),C(2, )3,则△ABC外接圆的圆心为
.
答案 解析
1
,
2
3 3
设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则
1 D F 0,
3 ∴3E F 0,
D
E
7 2D 3E F 0,
F
∴△ABC外接圆的圆心为
2,
4 3
1,
1, 2.
第1讲 直线与圆
考情分析
总纲目录
考点一 直线的方程 考点二 圆的方程 考点三 直线与圆、圆与圆的位置关系
考点一 直线的方程
1.直线方程的五种形式
(1)点斜式:y-y1=k(x-x1).
(2)斜截式:y=kx+b.
(3)两点式: y =y 1
y2 y1
(xxx21≠ xx1x1 2,y1≠y2).
3
3 3
,
2.已知圆C过点(-1,0),且圆心在x轴的负半轴上,直线l:y=x+1被该圆所截
得的弦长为2 2,则圆C的标准方程为
.
答案 (x+3)2+y2=4
解析 设圆心C的坐标为(m,0)(m<0),则圆心C到直线l:y=x+1的距离d= | m ,∴1 | 弦长为2 = (|mm+11)|=22d,2解得2 m=-3或m=21(舍),
<0),因为所求圆与圆C:x2+y2-2x+4y=0外切于原点,且半径为2 5,所以 a=22(,可2a得)2 a2=45,则a=-2或a=2(舍去).所以所求圆的标准方程 为(x+2)2+(y-4)2=20.
高考数学二轮总复习层级二专题六解析几何第一讲直线与圆学案理含解
学习资料专题六解析几何第一讲直线与圆1．（2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－错误!B．－错误!C．错误!D．2解析：选A由已知可得圆的标准方程为（x－1）2＋(y－4)2＝4，故该圆的圆心为（1，4)，由点到直线的距离公式得d＝错误!＝1，解得a＝－错误!,故选A．2．（2018·全国卷Ⅲ）直线x＋y＋2＝0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆（x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（)A．［2,6］B．[4，8]C．[错误!，3错误!] D．［2错误!，3错误!］解析：选A设圆（x－2）2＋y2＝2的圆心为C,半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C（2，0），r＝2，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为2错误!,可得d max ＝2错误!＋r＝3错误!，d min＝2错误!－r＝错误!.由已知条件可得|AB|＝2错误!，所以△ABP面积的最大值为错误!｜AB｜·d max＝6，△ABP面积的最小值为错误!|AB｜·d min＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2，6]．故选A．3．(2016·全国卷Ⅲ）已知直线l:mx＋y＋3m－错误!＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若｜AB|＝23，则|CD|＝________.解析:设圆心到直线l：mx＋y＋3m－3＝0的距离为d，则弦长｜AB｜＝2错误!＝2错误!,得d＝3，即错误!＝3，解得m＝－错误!，则直线l:x－错误!y＋6＝0,数形结合可得｜CD｜＝错误!＝4。
答案：44．（2018·全国卷Ⅱ）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C 交于A，B两点，|AB｜＝8.(1)求l的方程；（2）求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程．解：(1）由题意得F（1，0），l的方程为y＝k(x－1)（k>0)．设A(x1,y1）,B(x2，y2)，由错误!得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16〉0,故x1＋x2＝错误!。
高考数学大二轮总复习 增分策略 专题六 解析几何 第1讲 直线与圆
等，则m的值为( B )
A.0 或－21
B.12或－6
C.－21或21
D.0 或12
|3m＋5| |－m＋7|
解析 依题意，得 m2＋1＝ m2＋1 .
所以|3m＋5|＝|m－7|.所以(3m＋5)2＝(m－7)2，
所以8m2＋44m－24＝0.所以2m2＋11m－6＝0. 所以 m＝12或 m＝－6.
θ≥
22，即OOMN ≥
2 2.
而 ON＝1，∴OM≤ 2.
∵M(x0,1)，∴ x20＋1≤ 2， ∴x20≤1，∴－1≤x0≤1， ∴x0的取值范围为[－1,1]. 答案 [－1,1]
12 3 4
考情考向分析
考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有 关的问题.直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)， 此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题 的形式出现.
D.3x＋y＋1＝0
解析 由题意可知，直线AC和直线BC关于直线y＝x＋1对 称. 设点B(－1,2)关于直线y＝x＋1的对称点为B′(x0，y0)，
则有 yx00－ ＋21＝－1， y0＋2 2＝x0－2 1＋1
x0＝1， ⇒y0＝0，
即 B′(1,0).
因为B′(1,0)在直线AC上，
所以直线 AC 的斜率为 k＝13－ －01＝12，
3.两个距离公式
(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，
l2：Ax＋By＋C2＝0
间的距离
d＝
|C1－C2| A2＋B2.
(2)点(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离公式 d＝
|Ax0＋By0＋C| A2＋B2 .
例1 (1)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x －2y＋3＝0平行，则k的值是( C )
福建省福清市高考数学二轮复习专题六解析几何第一讲直线与圆课件
z
内含
|O1O2|<|r1-r2|
Δ<0
代数法是不易确定位置关系的,如 Δ<0⇒
注意
相离或内含
第九页，共29页。
6.中点坐标公式
若点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 AB 中点 M(x,y,z)满足
1+2
1+2
1+2
x=
,y=
,z=
.
2
2
2
7.空间两点间的距离公式
z 2+y2=10
答案:(x-2)
第十七页，共29页。
考点(kǎo
diǎn)1
考点(kǎo
diǎn)2
考点
(kǎo
diǎn)3
考点 3
考点4
直线与圆的位置关系、弦长问题
例 3(1)若直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共点,则实数 a 的取值范
围是(
)
A.[-3,-1]
B.[-1,3]
空间中的两点 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离|P1 P2|=
(1 -2 )2 + (1 -2 )2 + (1 -2 )2 .
第十页，共29页。
考点(kǎo
diǎn)1
考点
(kǎo
diǎn)2
考点(kǎo
diǎn)3
考点4
考点 1
直线及两条直线的位置关系
例1直线2x+my=2m-4与直线mx+2y=m-2垂直的充要条件是(
值是(
)
A.-2 或 12
B.2 或-12
C.-2 或-12
新(全国甲卷)高考数学大二轮总复习与增分策略 专题六 解析几何 第1讲 直线与圆练习 文-人教版高三
第1讲 直线与圆1．(2016·山东改编)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是________． 答案 相交解析 ∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2， ∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1为a ， 圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝⎛⎭⎪⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2. ∴M (0,2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标为N (1,1)，半径r 2＝1， ∴MN ＝1－02＋1－22＝2，r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1.∴r 1－r 2＜MN ＜r 1＋r 2，∴两圆相交．2．(2016·上海)已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1与l 2的距离是________． 答案2553．(2016·浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是______．半径是______． 答案 (－2，－4) 5解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．4．(2016·课标全国乙)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若AB ＝23，则圆C 的面积为________．答案 4π解析 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由AB ＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π.考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题．直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以填空题的形式出现．热点一 直线的方程及应用 1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在． 2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． 3．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2. (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.例1 (1)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是________．(2)过点(5,2)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是______________． 答案 (1)3或5 (2)2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0解析 (1)两直线平行，则A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0，所以有－2(k －3)－2(k －3)(4－k )＝0，解得k ＝3或5，且满足条件A 1C 2－A 2C 1≠0.(2)若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为y ＝kx ，由直线过点(5,2)，可得k ＝25，此时直线方程为2x －5y ＝0；若直线在坐标轴上的截距不为0，根据题意设直线方程为x a ＋y2a＝1，由直线过点(5,2)，可得a ＝6，此时直线方程为2x ＋y －12＝0.思维升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．跟踪演练1 已知直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0与直线l 2：(3－a )x －y ＋a ＝0，若l 1⊥l 2，则a 的值为________． 答案 1或2解析 由l 1⊥l 2，则a (3－a )－2＝0， 即a ＝1或a ＝2.热点二 圆的方程及应用 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. 2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以(－D 2，－E 2)为圆心，D 2＋E 2－4F2为半径的圆．例2 (1)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为______________． (2)过点A (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围为________________．答案 (1)(x －2)2＋(y ±3)2＝4 (2)a <－3或1<a <32解析 (1)因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(2－1)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝± 3.(2)圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的圆心为(a,0)，且a <32，并且(a ，a )在圆外，即有a 2>3－2a ，解得a <－3或1<a <32.思维升华 解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．跟踪演练2 (1)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________________．(2)两条互相垂直的直线2x ＋y ＋2＝0和ax ＋4y －2＝0的交点为P ，若圆C 过点P 和点M (－3,2)，且圆心在直线y ＝12x 上，则圆C 的标准方程为______________．答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254(2)(x ＋6)2＋(y ＋3)2＝34解析 (1)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)， 令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为52. 得该圆的标准方程为(x －32)2＋y 2＝254.(2)由直线2x ＋y ＋2＝0和直线ax ＋4y －2＝0垂直得2a ＋4＝0，故a ＝－2，代入直线方程，联立解得交点坐标为P (－1,0)，易求得线段MP 的垂直平分线的方程为x －y ＋3＝0，设圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则圆心(a ，b )为直线x －y ＋3＝0与直线y ＝12x的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0，y ＝12x ，解得圆心坐标为(－6，－3)，从而得到r 2＝34，所以圆C 的标准方程为(x ＋6)2＋(y ＋3)2＝34.热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法． (1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则d <r ⇔直线与圆相交，d ＝r ⇔直线与圆相切，d >r ⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b2＝r2消去y ，得关于x 的一元二次方程根的判别式Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21，圆C 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22，两圆心之间的距离为d ，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下： (1)d >r 1＋r 2⇔两圆外离； (2)d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切； (3)|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆相交； (4)d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内切； (5)0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内含．例3 (1)已知直线y ＝kx (k >0)与圆C ：(x －2)2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，若AB ＝255，则k ＝_________.(2)若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2恰有一个公共点，则b 的取值范围是____________． 答案 (1)12(2)(－1,1]∪{－2}解析 (1)圆心C ()2，0，半径为1，圆心到直线的距离d ＝||2k k 2＋1，而AB ＝255，得(||2k k 2＋1)2＋⎝⎛⎭⎪⎫552＝1，解得k ＝12. (2)曲线x ＝1－y 2，即x 2＋y 2＝1(x ≥0)表示一个半径为1的半圆，如图所示．当直线y ＝x ＋b 经过点A (0,1)时，求得b ＝1； 当直线y ＝x ＋b 经过点B (1,0)时，求得b ＝－1；当直线和半圆相切于点D 时，由圆心O 到直线y ＝x ＋b 的距离等于半径， 可得|0－0＋b |2＝1，求得b ＝－2，或b ＝2(舍去)．故当直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2恰有一个公共点时，b 的取值范围是－1<b ≤1或b ＝－2.思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．跟踪演练3 (1)过点P (－4,0)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝5相交于A ，B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为____________．(2)已知在平面直角坐标系中，点A (22，0)，B (0,1)到直线l 的距离分别为1,2，则这样的直线l 共有________条． 答案 (1)x ±3y ＋4＝0 (2)3解析 (1)如果直线l 与x 轴平行，则A (1－5，0)，B (1＋5，0)，A 不是PB 的中点，则直线l 与x 轴不平行；设l ：x ＝my －4，圆心C 到直线l 的距离d ＝5m 2＋1，令AB 中点为Q ，则AQ ＝5－d 2，PQ ＝3AQ ＝35－d 2，在Rt△CPQ 中PQ 2＋CQ 2＝PC 2，得d 2＝52＝251＋m 2，解得m ＝±3，则直线l 的方程为x ±3y ＋4＝0.(2)由题意得直线l 为圆(x －22)2＋y 2＝1(A 为圆心)与圆x 2＋(y －1)2＝4(B 为圆心)的公切线，∵AB ＝222＋－12＝3＝1＋2，∴两圆外切，∴两圆共有3条公切线．故答案为3.1．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为______________．押题依据 直线和圆的方程是高考的必考点，经常以填空题的形式出现，利用几何法求圆的方程也是数形结合思想的应用． 答案 x 2＋(y ±33)2＝43解析 由已知得圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π.设圆心坐标为(0，a )，半径为r ， 则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33， 故圆C 的方程为x 2＋(y ±33)2＝43. 2．设m ，n 为正实数，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －4＝0与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0相切，则mn 的最小值为________．押题依据 直线与圆的位置关系是高考命题的热点，本题与基本不等式结合考查，灵活新颖，加之直线与圆的位置关系本身承载着不等关系，因此此类题在高考中出现的可能性很大． 答案 3＋2 2解析 根据圆心到直线的距离是2得到m ，n 的关系，然后结合不等式即可求解． 由直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －4＝0与圆(x －2)2＋(y －2)2＝4相切，可得2|m ＋n |m ＋12＋n ＋12＝2，整理得m ＋n ＋1＝mn ，由m ，n 为正实数，可知m ＋n ≥2mn ，令t ＝mn ，则2t ＋1≤t 2，因为t >0，所以t ≥1＋2，所以mn ≥3＋2 2.故mn 有最小值3＋22，无最大值．3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________. 押题依据 本题已知公共弦长，求参数的范围，情境新颖，符合高考命题的思路． 答案102解析 联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0， 故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为|－5|a 2＋4a2＝5a (a >0)．故222－5a2＝22，解得a 2＝52，因为a >0，所以a ＝102.A 组 专题通关1．设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且PA ＝PB ，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是____________． 答案 x ＋y －5＝0解析 由于直线PA 的倾斜角为45°，且PA ＝PB ，故直线PB 的倾斜角为135°，又由题意知P (2,3)，∴直线PB 的方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0.2．(教材改编)设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则a ＝________. 答案 0解析 由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，得(|a ＋1|a 2＋1)2＋(－3)2＝22，解得a ＝0.3．过坐标原点且与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋52＝0相切的直线的方程为________________．答案 3x ＋y ＝0或x －3y ＝0解析 设直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0. ∵圆方程可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝52，∴圆心为(2，－1)，半径为102. 依题意有|2k ＋1|k 2＋1＝102，解得k ＝－3或k ＝13，∴直线方程为3x ＋y ＝0或x －3y ＝0.4．已知圆O 1的方程为x 2＋y 2＝4，圆O 2的方程为(x －a )2＋y 2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a 的所有取值构成的集合是____________． 答案 {1，－1,3，－3}解析 ∵两个圆有且只有一个公共点， ∴两个圆内切或外切．内切时，|a |＝1；外切时，|a |＝3，∴实数a 的取值集合是{1，－1,3，－3}．5．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM ＋PN 的最小值为__________． 答案 52－4解析 两圆的圆心均在第一象限，先求PC 1＋PC 2的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，则(PC 1＋PC 2)min ＝C 1′C 2＝52，所以(PM ＋PN )min ＝52－(1＋3)＝52－4.6．已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋1＝0，l 1∥l 2，则a 的值为________，直线l 1与l 2间的距离为________．答案 －12解析 ∵l 1∥l 2，∴a ·1＝－1·1⇒a ＝－1， 此时l 1：x ＋y －1＝0，∴l 1，l 2之间的距离为|1－－1|2＝ 2.7．在平面直角坐标系xOy 中，过点P ()－2，0的直线与圆x 2＋y 2＝1相切于点T ，与圆()x －a 2＋()y －32＝3相交于点R ，S ，且PT ＝RS ，则正数a 的值为________．答案 4解析 由题意得PT ＝22－1＝3，k PT ＝33，PT ：y ＝33(x ＋2)，即x －3y ＋2＝0，又RS ＝PT ＝3，所以圆()x －a 2＋()y －32＝3的圆心到直线PT 距离为3－322＝32，从而|a －1|2＝32，因此正数a 的值为4. 8．(2016·课标全国丙)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若AB ＝23，则CD ＝______.答案 4解析 设AB 的中点为M ，由题意知，圆的半径R ＝23，AB ＝23，所以OM ＝3，解得m ＝－33， 由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，解得A (－3，3)，B (0,23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x＋3)，BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2,0)，D (2,0)，所以CD ＝4. 9．已知点A (3,3)，B (5,2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程．解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得交点P (1,2)．①若点A ，B 在直线l 的同侧，则l ∥AB . 而k AB ＝3－23－5＝－12，由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.②若点A ，B 分别在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点(4，52)，由两点式得直线l 的方程为y －2x －1＝52－24－1，即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0.10．(2015·课标全国Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求MN . 解 (1)由题设可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝41＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k 1＋k 1＋k2＋8. 由题设可得4k 1＋k 1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1， 所以l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在l 上，所以MN ＝2.B 组 能力提高11．直线y ＝k (x －1)与以A (3,2)，B (2，3)为端点的线段有公共点，则k 的取值范围是________． 答案 [1,3]解析 因为直线y ＝k (x －1)恒过P (1,0)，画出图形，直线y ＝k (x －1)与以A (3,2)，B (2,3)为端点的线段有公共点，则直线落在阴影区域内，因为k PA ＝2－03－1＝1， k PB ＝3－02－1＝3，故k 的取值范围是[1,3]．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x －1)2＋y 2＝2，圆C 2：(x －m )2＋(y ＋m )2＝m 2，若圆C 2上存在点P 满足：过点P 向圆C 1作两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，△ABP 的面积为1，则正数m 的取值范围是__________．答案 [1,3＋23]解析 设P (x ，y )，设PA ，PB 的夹角为2θ.△ABP 的面积S ＝12PA 2sin 2θ＝PA 2·2PC 1·PA PC 1＝1. 由2PA 3＝PC 21＝PA 2＋2，解得PA ＝2，所以PC 1＝2，所以点P 在圆(x －1)2＋y 2＝4上．所以|m －2|≤m －12＋－m 2≤m ＋2，解得1≤m ≤3＋2 3.13．已知圆O ：x 2＋y 2＝4，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P 、Q 两点，且满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为________．答案 ±1解析 设l ：y ＝kx ＋b (b ≠0)，代入圆的方程，化简得(1＋k 2)x 2＋2kbx ＋b 2－4＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，得x 1＋x 2＝－2kb 1＋k 2，x 1x 2＝b 2－41＋k 2， k OP ·k OQ ＝y 1x 1·y 2x 2＝(k ＋bx 1)(k ＋b x 2) ＝k 2＋kb (x 1＋x 2x 1x 2)＋b 2x 1x 2 ＝k 2＋kb (－2kb b 2－4)＋b 21＋k 2b 2－4＝k 2b 2－4－2k 2b 2＋k 2b 2＋b 2b 2－4＝b 2－4k 2b 2－4， 由k OP ·k OQ ＝k 2l ，得b 2－4k 2b 2－4＝k 2， 解得k ＝±1.14．已知以点C (t ，2t)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点． (1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．(1)证明 由题意知圆C 过原点O ，且OC 2＝t 2＋4t 2. 则圆C 的方程为(x －t )2＋(y －2t )2＝t 2＋4t 2， 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t； 令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t .故S △OAB ＝12OA ×OB ＝12×|2t |×|4t|＝4， 即△OAB 的面积为定值．(2)解 ∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN .∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程为y ＝12x ， ∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15＜5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点；当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95>5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，应舍去．综上，圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.。
高考总复习二轮数学精品课件 专题6 解析几何 第1讲 直线与圆
8
,
5
4 =
(4 -4) +
=
∴ (4 + 1)2 + (4 -1) = 42 ,解得 4 = 1,
169
2
(4 -4)2 + (4 -2)2 = 42 ,
4 = 25 .
42
∴圆的方程为
42 ,
2
8 2
169
- 5 +(y-1)2= 25 .
[例2-3] (2023·广东揭阳模拟)在某数学活动课上,数学教师把一块三边长分
2
2
|3-1|
2
= 5,
1+
解得
1
k=- 或
2
k=2.
所以直线l的方程为x+2y+9=0或2x-y+3=0.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-3,此时圆心(0,-2)到直线的距离
为3,不满足题意.
综上,直线l的方程为x+2y+9=0或2x-y+3=0.
(3)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮
经检验知,a=2 或 a=-1 时,l1∥l2.
1
当 a=2 时,d=
当
2-2
2
=
|2+1|
a=-1 时,d=
5
故 a=-1 满足题意.
3 2
.
4
=
3 5
.
5
(2)圆x2+y2+4y=0的圆心到经过点M(-3,-3)的直线l的距离为 5 ,则直线l的
方程为( B )
A.x+2y-9=0或2x-y+3=0
解析 (1)由题意,设圆 C 的圆心为 C(a,0)(a>0),
高考数学二轮复习 专题6 解析几何 第一讲 直线与圆 文
第一讲 直线与圆若直线、圆、椭圆单独命题则属于送分题，因为高考题多在知识交汇点处命题，预测2016年高考中有直线与充要条件综合的题目，直线与圆、椭圆综合的题目，以选择题、填空题的形式出现的可能性大，也可能以解答题的形式出现．两直线的平行与垂直1．两直线平行．(1)设直线l 1，l 2是两条不重合的直线，斜率都存在，分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2．(2)设直线l 1，l 2是两条不重合的直线，斜率都不存在，则有l 1∥l 2．2．两直线垂直．(1)设直线l 1，l 2的斜率都存在，分别为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1．(2)若直线l 1，l 2的斜率一个为0，另一个斜率不存在，则l 1⊥l 2．两点间距离公式及点到直线的距离公式1．两点间的距离公式．点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的距离为|P 1P 2|＝ （x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2．2．点到直线的距离公式．点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B2． 3．两条平行直线间的距离．平行线l1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离 直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系及其判定．(1)几何法．设圆心到直线l 的距离为d ，圆的半径为r ，则直线与圆相离⇔d ＞r ；直线与圆相切⇔d ＝r ；直线与圆相交⇔d ＜r ．(2)代数法．⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2消元后得一元二次方程的判别式Δ的值，则 直线与圆相离⇔Δ＜0；直线与圆相切⇔Δ＝0；直线与圆相交⇔Δ＞0．2．圆与圆的位置关系．(1)几何法．设两圆的圆心距为d ，半径分别为r 1，r 2，则两圆外离⇔d ＞r 1＋r 2；两圆外切⇔d ＝r 1＋r 2；两圆相交⇔|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2；两圆内切⇔d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)；两圆内含⇔0≤d ＜|r 1－r 2|(r 1≠r 2)．(2)代数法．⎩⎪⎨⎪⎧（x －a 1）2＋（y －b 1）2＝r 21，（x －a 2）2＋（y －b 2）2＝r 22，则 两圆外离或内含⇔方程组无解；两圆外切或内切⇔方程组有一组实数解；两圆相交⇔方程组有两组不同的实数解．3．设空间两点A(x 1，y 1，z 1)，B(x 2，y 2，z 2)，则A ，B 两点间距离为d ＝判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(√)(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(×)(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(×)(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．(×)(5)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．(√)(6)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF>0.(√)1．直线l 过点(－1，2)且与直线3x ＋2y ＝0垂直，则l 的方程是(D )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析：由题可得l 斜率为23，∴l ：y －2＝23(x ＋1)，即2x －3y ＋8＝0 .故选D . 2．(2015·山东卷)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(D ) A ．－53或－35 B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34解析：由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k(x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34，故选D . 3．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为(B ) A ．内切 B ．相交C ．外切D ．相离4. (2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________________________________________．解析：直线mx －y －2m －1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r 满足r 2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝2。
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4.(2016·浙江高考)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y +5a=0表示圆,则圆心坐标是________,半径是________.
【解析】由题意知a2=a+2,解得a=-1或2.当a=-1时方程
为x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,圆心为(-2,
是直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行的 ()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)在△ABC中,A(1,1),B(m, m )(1<m<4),C(4,2),则当 △ABC的面积最大时,m= ( )
A .3 B .9 C .1 D .1
5.两圆的位置关系
设圆O1的半径为r1,圆O2的半径为r2.
圆心距与两圆半径的关系
|O1O2|<|r1-r2| |O1O2|=|r1-r2| |r1-r2|<|O1O2|<r1+r2
|O1O2|=r1+r2 |O1O2|>r1+r2
两圆的位置关系 _内__含__ _内__切__ _相__交__ _外__切__ _外__离__
【解析】选C.由已知得 k A B 1 3 － － 4 2 － 1 3 ， k C B 2 4 1 7 3 ，
所以kAB·kCB=-1，所以AB⊥CB，即△ABC为直角三角 形，其外接圆圆心为(1，-2)，半径r=5，所以外接圆
方程为(x-1)2+(y+2)2=25，令x=0得y=±2 6 -2，所 以|MN|=4 6 .
=a2,由题意,d= a
,所以有a2=
a
2
+2,解得a=2.所以圆M:
2
2
x2+(y－2)2=22,圆心距=2 ,半径和=3,半径差=1,所以
二者相交.
3.(2015·全国卷Ⅱ)过三点A(1，3)，B(4，2)，
C(1，-7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=( )
A.2 6
B.8
C.4 6
D.10
-4),半径为5,当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即
(x1)2y125不表示圆.
2
4
答案:(-2,-4) 5
热点考向一 直线的方程 命题解读:主要考查直线方程、两直线的位置关系以及 三个距离公式,以选择题、填空题为主.
【典例1】(1)(2016·邯郸二模)设a∈R,则“a=-2”
a2 1
3
2.(2016·山东高考)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直 线x+y=0所得线段的长度是2 2 ,则圆M与圆N:(x-1)2 +(y-1)2=1的位置关系是 ( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
【解析】选B.圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)可化为x2+(y-a)2
【易错提醒】 1.忽略条件致误:应用两平行线间的距离公式时忽略两 平行线方程中x,y的系数应对应相等. 2.不能准确掌握直线方程的适用范围致误:点斜式、斜 截式方程不包含垂直于x轴的直线;两点式方程不包含 与坐标轴垂直的方程;截距式方程不包含与坐标轴垂直 的直线及过原点的直线.
3.概念理解不准确致误:误认为两圆相切为两圆外切, 忽视两圆内切的情况;误认为两圆无公共点即外离,忽 视内含的情况. 4.求圆的切线考虑不全面致误:过圆外一定点求圆的切 线,应该有两个结果,若只求出一个结果,应该考虑切线 斜率不存在的情况.
4.圆的方程 (1)标准方程:_(_x_-_a_)_2_+_(_y_-_b_)_2=_r_2_._ (2)一般方程:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件 是_D_2_+_E_2-_4_F_>_0_,其中圆心是_(_ _D2_,__E2_),半径r=__D__2 __2E_2__4_F.
【考题回访】 1.(2016·全国卷Ⅱ)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直 线ax+y-1=0的距离为1,则a= ( )
A .4 B .3 C . 3 D .2 34
【解析】选A.圆x2+y2-2x-8y+13=0化为标准方程为
(x-1)2+(y-4)2=4,
故圆心为(1,4),d= a 4 1解得1，a=- . 4
__x _2 _ __x1 __2___y2 _ __y1 __2.
(2)点到直线的距离:点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距
Ax0 By0 C
离d=____A__2 __B_2___.
(3)两平行线的距离:若直线l1,l2的方程分别为l1:Ax+By
C2 C1
+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则两平行线的距离d=__A__2 __B_2_.
第一讲 直线与圆
【知识回顾】 1.直线的斜率 直线过点A(x1,y1),B(x2,y2),其倾斜角为α ( )，
2
y2 y1
则斜率k=_x_2___x _1 =_t_a_n_α__.
2.直线的两种位置关系
(1)直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2的平行与垂直的判断: ①l1∥l2⇔_k_1=_k_2_且__b_1_≠__b_2; ②l1⊥l2⇔_k_1_·__k_2=_-_1_.
2
4
2
4
【解题导引】(1)先判断当a=-2时,l1与l2是否平行,再由 l1∥l2时求a,判断a是否一定为-2. (2)先求AC的长度,再利用点到直线的距离公式求出点 B到直线AC的距离,最后表示出面积求最大值.
【规范解答】(1)选A.当a=-2时,l1:-2x+2y-1=0,l2:xy+4=0, 显然l1∥l2. 当l1∥l2时,由a(a+1)=2得a=1或a=-2, 所以a=-2是l1∥l2的充分不必要条件.
(2)直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0的平行与垂直 的判断:
①l1与l2平行⇔A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0. ②l1⊥l2⇔_A_1A_2_+_B_1_B_2=_0_.
3.三种距离公式
(1)两点间的距离:若A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=
(2)选B.由两点间距离公式可得|AC|= 1 0点B到直线AC的距离d=|m 3 m 2| ,