三角形的概念和三边关系.
三角形的概念及三边关系与三角形有关的线段
三角形的概念及三边关系与三角形有关的线段三角形，这一简单而又神奇的几何图形，在我们的生活和数学世界中都扮演着至关重要的角色。
从建筑结构到艺术设计，从物理学原理到数学定理的证明，三角形无处不在，展现着其独特的魅力和价值。
首先，让我们来理解一下三角形的概念。
三角形，用最直白的话来说，就是由三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。
这三条线段就是三角形的边，它们相交的点被称为顶点，相邻两边所组成的角就是三角形的内角。
三角形的种类多种多样。
按照角的大小，我们可以分为锐角三角形（三个角都小于 90 度）、直角三角形（有一个角等于 90 度）和钝角三角形（有一个角大于 90 度）。
而按照边的长短关系，又有等边三角形（三条边都相等）、等腰三角形（至少有两条边相等）和一般三角形（三条边都不相等）之分。
接下来，咱们重点聊聊三角形的三边关系。
这可是三角形中非常重要的一个知识点。
三角形的三边长度并非随意组合的，它们之间存在着一定的约束和规律。
其中一个重要的关系就是：三角形任意两边之和大于第三边。
比如说，如果有一个三角形，三条边分别是 a、b、c，那么就一定有 a ＋ b ＞ c，a ＋ c ＞ b，b ＋ c ＞ a。
为什么会有这样的关系呢？咱们可以想象一下，如果两边之和等于或者小于第三边，那么这三条线段根本就无法首尾相连形成一个封闭的图形。
反过来，已知三角形的两条边长度，我们也可以大致确定第三边的取值范围。
假设两条边的长度分别是 a 和 b，那么第三边 c 的长度就应该满足｜a b| ＜ c ＜ a ＋ b。
再来说说与三角形有关的线段。
除了三条边，三角形还有三条重要的线段：中线、高线和角平分线。
中线，就是连接三角形顶点和它对边中点的线段。
每个三角形都有三条中线，并且这三条中线相交于一点，这个点被称为三角形的重心。
重心有一个很有趣的性质，就是它把每条中线都分成了1 ：2 的两段。
高线，也叫三角形的高，是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。
三角形的三边长度关系
三角形的三边长度关系一、什么是三角形的三边长度关系三角形是几何学中最基本的形状之一，由三条边和三个角组成。
三角形的三边长度之间存在一定的关系，这个关系可通过不等式来描述。
在本文中，我们将探讨三角形三边长度关系的原理和性质，并给出相关的数学证明和例子。
二、三边长度关系的基本定理在三角形中，三条边的长度分别为a、b、c，根据三条边的关系，可以得到以下的三个定理。
1. 任意两边之和大于第三边三角形的基本性质之一是，任意两边之和大于第三边。
即对于三角形ABC来说，有以下的关系式成立：a +b > cb +c > aa + c > b这个定理可以直观地理解为，在一个平面上，无法通过两条较短的线段连接起来构成一条较长的线段。
2. 两边之差小于第三边三角形的第二个定理是，两边之差小于第三边。
即对于三角形ABC来说，有以下的关系式成立：a -b | < cb -c | < aa - c | < b这个定理可以通过反证法来证明。
假设存在一个三角形ABC，使得|a - b| >= c，那么可以推出a >= b + c，与第一个定理矛盾，所以这个不等式成立。
3. 两边之和大于第三边的充要条件三角形的第三个定理是，两边之和大于第三边是构成三角形的充要条件。
即对于三角形ABC来说，有以下的关系式成立：a +b >c 且 b + c > a 且 a + c > b证明：假设存在一个三角形ABC，使得a + b > c 且 b + c > a 且 a + c > b不成立。
不失一般性，我们假设a + b <= c。
由于a和b的长度是正数，所以这个不等式不成立。
因此，两边之和大于第三边是构成三角形的必要条件。
三、三边长度关系的数学证明下面我们给出三边长度关系的数学证明，以深入理解这个定理的原理。
1. 任意两边之和大于第三边的证明假设有一个三角形ABC，其中三边分别为a、b、c。
三角型的三边关系
三角型的三边关系三角形是平面几何中最基本的图形之一，由三条线段组成。
在三角形中，三边之间存在着一些重要的关系，这些关系对于解决各种几何问题都非常重要。
下面将详细介绍三角形的三边关系。
一、基本概念1. 三角形的定义在平面直角坐标系中，如果有三个不共线的点A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则以这三个点为顶点所组成的图形称为三角形ABC。
2. 三边在一个三角形ABC中，AB、BC和AC分别称为这个三角形的“边”，而A、B和C则分别称为这个三角形的“顶点”。
3. 顶点连线在一个三角形ABC中，连接两个不相邻顶点所得到的线段称为这个三角形的“对角线”。
二、直角三角形1. 定义如果一个三角形有一个内角等于90度，则这个三角形就是直角三角形。
2. 特征直角三角形有以下特征：（1）直角所对应的边称为斜边，而另外两条边则分别称为直角腿；（2）斜边是直接连接两个不相邻顶点的线段；（3）直角腿的长度可以通过勾股定理求出，即c²=a²+b²。
三、等腰三角形1. 定义如果一个三角形有两条边相等，则这个三角形就是等腰三角形。
2. 特征等腰三角形有以下特征：（1）等腰三角形的两个等边所对应的内角相等；（2）等腰三角形的第三条边称为底边，底边所对应的内角称为底角；（3）等腰三角形的高是从底边上某一点到另一条边上垂直引出的线段，高所在的直线称为高线。
四、等边三角形1. 定义如果一个三角形的所有边都相等，则这个三角形就是等边三角形。
2. 特征等边三角形有以下特征：（1）等边三角形的每个内角都是60度；（2）等边三角形中任意两个顶点之间都存在一条相同长度的弧；（3）等边三角形中任意两个顶点之间都存在一条相同长度的弦。
五、不规则三角形1. 定义如果一个三角形的三条边长度都不相等，则这个三角形就是不规则三角形。
2. 特征不规则三角形有以下特征：（1）不规则三角形的内角和等于180度；（2）不规则三角形中任意两个顶点之间都存在一条弧，但这条弧的长度可能不同；（3）不规则三角形中任意两个顶点之间都存在一条弦，但这条弦的长度可能不同。
三角形三边定义及关系
三角形三边定义及关系三角形，作为几何学中最基础且最重要的图形之一，具有丰富的性质和内涵。
本文将深入探讨三角形三边的定义及关系，以期帮助读者更好地理解这一概念。
一、三角形的定义三角形是由三条边构成的闭合二维图形。
这三条边两两相交，且每条边的两个端点都在其他两条边的某一侧。
三角形是最简单的多边形之一，也是构建更复杂图形的基础。
二、三边定义1.边的长度三角形的每条边都有确定的长度。
在欧几里得平面几何中，边的长度是实数，且不同的边长对应不同的三角形。
2.边的方向三角形的三条边都有一定的方向性。
在几何图形中，方向由边的两个端点和其延伸方向共同决定。
三角形的三条边两两相交，形成了三个角，分别称为锐角、直角和钝角。
三、边与边之间的关系1.定量关系三角形的任意两边之和大于第三边。
这是三角形的一个重要性质，也是判断三条线段能否构成三角形的依据。
此外，任意两边之差小于第三边。
2.定性关系除了定量关系外，三角形各边之间还存在定性关系。
例如，三角形中的角平分线将对应边分为两段，这两段的比例与角的正弦值成正比。
四、应用场景三角形三边定义及关系在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
例如，建筑学中经常用到三角形的稳定性，这是由于三角形的三条边可以互相支撑，形成一个稳定的结构。
此外，航海、测量和工程设计中也经常用到三角形的知识。
五、与其他几何图形的区别三角形是多边形中最简单的一种，其性质与其他多边形存在明显差异。
例如，四边形有四条边和四个角，其各边之间的关系与三角形不同。
此外，三角形各内角的和为180度，而四边形各内角的和为360度。
这些性质上的差异使得三角形在几何学中具有独特的地位。
六、学习方法与技巧1.实践与理论相结合：在学习三角形三边定义及关系时，应结合实际案例进行思考和实践，以便更好地理解和掌握知识。
2.注重基础概念：在学习过程中，要注重对基础概念的掌握和理解，如三角形的定义、边的长度和方向等。
只有掌握了这些基础概念，才能更好地理解后续的定理和性质。
三角形的边长关系公式
三角形的边长关系公式一、定义与基本概念1. 三角形是由三条边和三个内角所组成的几何图形。
2. 三角形的边分为三边，分别为边a、边b和边c，而三个内角分别为角A、角B、角C。
二、三角形的边长关系公式1. 边长关系公式一：三角形的内角和公式三角形的内角和等于180度。
角A + 角B + 角C = 180°2. 边长关系公式二：三角形的周长公式三角形的周长等于边a、边b和边c的和。
周长 = 边a + 边b + 边c3. 边长关系公式三：三角形的两边之和大于第三边任意两边之和大于第三边，即满足以下条件：边a + 边b > 边c边b + 边c > 边a边c + 边a > 边b4. 边长关系公式四：三角形的两边差的绝对值小于第三边任意两边差的绝对值小于第三边，即满足以下条件：|边a - 边b| < 边c|边b - 边c| < 边a|边c - 边a| < 边b三、应用举例1. 判断三边能否构成三角形根据边长关系公式三，我们可以判断任意三边是否能构成三角形。
如果边长不符合该公式，即两边之和小于等于第三边的情况下，则无法构成三角形。
2. 解决已知两边和一个角的情况如果我们已知两边的边长和它们之间的夹角，可以利用三角函数的性质来求解第三边的长度。
例如，已知边a的长度为8，边b的长度为10，夹角C为45度，可以使用余弦定理来计算边c的长度：边c² = 边a² + 边b² - 2 * 边a * 边b * cos(角C)边c = √(边a² + 边b² - 2 * 边a * 边b * cos(角C))3. 计算三角形的面积根据边长关系公式二，可以计算三角形的周长。
进一步，我们可以使用海伦公式来计算三角形的面积，公式如下：面积= √(p * (p - 边a) * (p - 边b) * (p - 边c))其中，p是三角形的半周长，p = 周长 / 2。
三角形的定义及性质
三角形的定义及性质三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段组成，每两条线段之间的交点称为顶点，两条线段之间的边称为边。
本文将探讨三角形的定义以及其常见的性质。
一、三角形的定义在几何学中，三角形可以定义为一个有三条边的图形。
每一条边都连接两个顶点，而每两条边之间的交点也是一个顶点。
三角形的三个顶点分别用A、B、C表示，三条边分别用a、b、c表示。
根据边长的关系，三角形可以分为以下三种类型：1. 等边三角形：如果三条边的长度都相等，即a=b=c，那么这个三角形就是等边三角形。
2. 等腰三角形：如果两条边的长度相等，即a=b或b=c或a=c，那么这个三角形就是等腰三角形。
3. 不等边三角形：如果三条边的长度都不相等，即a≠b≠c，那么这个三角形就是不等边三角形。
二、三角形的性质三角形有许多有趣的性质，下面将介绍其中一些常见的性质：1. 三角形的内角和为180度：对于任意三角形ABC，其内角A、B、C的度数之和等于180度。
这是因为在平面几何中，三角形的内角和总是固定的。
2. 外角等于两个不相邻内角之和：三角形的每个内角都有一个对应的外角，它是与内角不相邻的另外一条边所在的角。
对于三角形ABC来说，外角A等于内角B和C的度数之和，外角B等于内角A和C的度数之和，外角C等于内角A和B的度数之和。
3. 三边关系：在三角形ABC中，两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
换句话说，对于三角形ABC来说，a+b>c，a+c>b，b+c>a。
这个性质被成为三边关系定理，它是判断三条线段能否组成三角形的重要条件。
4. 直角三角形：如果三角形中有一个内角等于90度，那么这个三角形就是直角三角形。
根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方之和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
5. 等腰三角形的性质：对于等腰三角形ABC来说，它有以下一些独特的性质：- 两个底角（即底边对应的内角）是相等的；- 等腰三角形的高（即从顶点到底边的垂直距离）是中线、中位线、角平分线和高线；- 等腰三角形可以划分为两个全等的直角三角形。
三角形概念及三边关系(6种题型)2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(浙教版)(解析版)
三角形概念及三边关系（6种题型）【题型目录】题型1：三角形的识别与有关概念题型2：三角形的分类题型3：三角形个数问题题型4：构成三角形三边条件题型5：确定第三边取值范围题型6：三角形三边关系应用【知识梳理】一．三角形（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．.二．三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．【考点剖析】题型1：三角形的识别与有关概念一、单选题1．（浙江宁波·八年级校考期中）一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；B、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；C、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；D、不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接，是三角形，符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查三角形图形的知识，根据三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
判断是否三条线段首尾顺次相接是解决本题的关键。
2．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）三角形是指()A．由三条线段所组成的封闭图形B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形【答案】C【分析】根据三角形的定义解答即可．【详解】因为三角形的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的定义．解题的关键是熟记三角形的定义．二、填空题3．如图，图中共有_____个三角形，∠B是_________________的内角．【答案】3; △ABC或△ABD.【分析】按照从左到右的顺序，分单个的三角形和复合的三角形找出所有的三角形，然后再计算个数．由三角形内角的定义进行填空．【详解】图中的三角形有：△ABC、△ACD、△ABD共3个．∠B是△ABC和△ABD的内角．故答案是：3，△ABC和△ABD.【点睛】本题考查了三角形．填第一个空的难点在于找出复合三角形的个数，按照一定的顺序找即可做到不重不漏．题型2：三角形的分类一、单选题1．（浙江·八年级期末）图中的三角形被木板遮住了一部分，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能【答案】D【分析】根据图中信息即可判定．【详解】解：图中被木板遮住的三角形有可能是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，故选：D．【点睛】本题考查了三角形分类，解题关键是要理解三角形分类的依据，图中只能看到三角形的一个锐角，解题关键是理解另外两个角都可能是锐角，也可能有一个是直角或钝角． 2．（2022秋·浙江杭州·八年级校联考阶段练习）已知，ABC 中，::6:3:1A B C ∠∠∠=，则ABC 是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．形状无法判断【答案】A【分析】根据::6:3:1A B C ∠∠∠=，设出各角的度数，结合三角形内角和定理求出各角，再根据三角形分类特征判定即可．【详解】解：∵::6:3:1A B C ∠∠∠=，∴可设6,3,A x B x C x ∠=∠=∠=，∵180A B C ∠+∠+∠=︒，∴63180x x x ++=︒，解得：18x =︒，∴108,54,18A B C ∠=︒∠=︒∠=︒．∴ABC 是钝角三角形．故选：A【点睛】本题考查三角形分类，熟练掌握三角形内角和定理，根据各角比例设未知数求解各个角的度数是解决问题的关键．二、填空题3．（2022秋·浙江·八年级阶段练习）在ABC 中，::1:3:2A B C ∠∠∠=，则ABC 是__________三角形．【答案】直角【分析】根据三角形内角和为180度，结合已知条件求出A B C ∠∠∠，，的度数即可得到答案．【详解】解：∵::1:3:2A B C ∠∠∠=，∴设32A x B x C x ∠∠∠===，，，∵180A B C ∠∠∠++=︒，∴6180x =︒，∴30x =︒，∴309060A B C ∠∠∠=︒=︒=︒，，，∴ABC 是直角三角形，故答案为：直角．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，熟知三角形内角和定理及列出一元一次方程是解题的关键．题型3：三角形个数问题一、单选题 1．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，以AB 为边的三角形的个数是（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】D 【分析】根据三角形的概念、结合图形写出以AB 为边的三角形．【详解】解：以AB 为边的三角形的有△ABC ，△ABD ，△ABF ，△ABE ，一共有4个．故选：D ．【点睛】本题考查的是三角形的认识，不重不漏的写出所有的三角形是解题的关键．2．（浙江·八年级期末）如图，图中以AB 为边的三角形的个数共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】利用三角形定义解答即可．【详解】解：以AB 为边的三角形有△ABD ，△ABC ，共2个，故选：B ．【点睛】此题主要考查了三角形，关键是掌握由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．3．（浙江杭州·八年级校考阶段练习）图中钝角三角形有（）个．A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】根据钝角三角形的定义即可解决问题，三角形按角的大小可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，有一个角是钝角的三角形就是钝角三角形【详解】△ABD、△ACF与△ABF是钝角三角形【点睛】本题关键是知道大于90°小于180°的角为钝角，有一个角是钝角的三角形就是钝角三角形.二、填空题【答案】6【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形数出三角形的个数．【详解】解：图中有：△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC，共6个．故答案为：6．【点睛】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的定义，数三角形时，要不重不漏．5．（浙江·八年级统考阶段练习）某同学在纸上画了四个点，如果把这四个点彼此连接，连成一个图形，则这个图形中会有_____个三角形出现．【答案】0或3或4或8 ．【分析】根据条件，画出符合条件的图形，再数三角形的个数即可．【详解】（1）当四个点有两个点在一直线时，把这四个点彼此连接，会连成一个四边形，如图，四边形的两条对角线将这个四边形分成三角形的个数是：4个，1和2，2和3，3和4，4和1，每两个小三角形可以组成大点的三角形的个数是：4个，这个图形中三角形的个数是：4+4=8（个）；（2）当三个点在一条直线时，如图，会连成一个大三角形，这个图形中一共有3个三角形；（3）如下图，把这四个点彼此连接，连成一个图形，这个图形中一共有4个三角形；（4）当四点在一条直线上时，则是一条线段，没有三角形；故答案为0或3或4或8【点睛】本题考查排列组合图形的计数．根据条件，画出符合条件的图形是解题关键.题型4：构成三角形三边条件1．（2022秋·浙江杭州·八年级期末）若下列各组值都代表线段的长度，则三条线段首尾顺次相接能构成三角形的是（）A．3，3，4B．4，9，5C．5，18，8D．9，15，3【答案】A【分析】根据三角形的三边关系逐一判断即可得答案．+>，所以能构成三角形，故符合题意；【详解】解：A、334+=，所以不能构成三角形，故不符合题意；B、459+<，所以不能构成三角形，故不符合题意C、5818+<，所以不能构成三角形，故不符合题意；D、3915故选：A．【点睛】此题考查了三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，熟记三角形的三边关系是解题的关键．2．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）下列各条线段的长能组成三角形的是（）A．5，7，12B．5，12，16C．2，3，6D．5，5，12【答案】B【分析】根据三角形的三边关系逐一进行判断即可得到答案．+=，不满足三角形的三边关系，不能组成三角形，不符合题意，选项错误；【详解】解：A、5712B、5，12，16满足三角形的三边关系，能组成三角形，符合题意，选项正确；+=<，不满足三角形的三边关系，不能组成三角形，不符合题意，选项错误；C、2356+=<，不满足三角形的三边关系，不能组成三角形，不符合题意，选项错误，D、551012故选B．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．3．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成三角形的是（）A．1，2，3B．3，4，5C．2，3，5D．3，5，9【答案】B【分析】根据三角形的三边关系逐项判断即可．+=，不能组成三角形，故不符合题意；【详解】解：A、123+=>，能组成三角形，故符合题意；B、3475+=，不能组成三角形，故不符合题意；C、235+=<，不能组成三角形，故不符合题意．D、3589故选：B．【点睛】本题考查三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边这一关系是解答本题的关键． 4．（2022秋·浙江温州·八年级乐清外国语学校校考阶段练习）下列各组线段中，能组成三角形的是（ ）A ．3,3,5a cm b cm c cm ===B ．3,4,8a cm b cm c cm ===C ．2,3,5a cm b cm c cm ===D ．4,4,9a cm b cm c cm ===【答案】A【分析】根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【详解】A ．∵335+>，∴3,3,5a cm b cm c cm ===能组成三角形，故符合题意；B ．∵348+<，∴3,4,8a cm b cm c cm ===不能组成三角形，故不符合题意；C ．∵235+=，∴2,3,5a cm b cm c cm ===不能组成三角形，故不符合题意；D ．∵449+<，∴4,4,9a cm b cm c cm ===不能组成三角形，故不符合题意；故选A ．【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．题型5：确定第三边取值范围【答案】C【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，然后选择答案即可．【详解】解：∵853−=，8513+=，∴5cm <第三边13cm <，纵观各选项，能组成三角形的第三根木棒的长度是6cm ．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟记关系式求出第三边的取值范围是解题的关键．6．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）三角形的两边长分别为4，9，则第三边长不可能是（ ）A ．6B ．9C ．12D ．15【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的范围，判断即可．【详解】解：∵三角形的两边长分别为4，9，∴第三边长x 的范围是9494x −<<+，即513x <<，∴不可能是15，故选D ．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．二、填空题 7．（2022秋·浙江金华·八年级校联考阶段练习）在ABC 中，6AB =，8BC =，则AC 的长x 的取值范围是______．【答案】214x <</142x >>【分析】直接利用三角形的三边关系写出答案即可．【详解】解：在ABC 中，6AB =，8BC =，8686AC ∴−<<+，即：214x <<，故答案为：214x <<．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是了解三角形的两边之和大于第三边，难度不大．8．（2022秋·浙江绍兴·八年级校联考期中）已知三角形三边长分别为4，9，x ，则x 的取值范围是________．【答案】513x <<【分析】根据三角形的三边关系解答即可．【详解】解：三角形三边长分别为4，9，x ，则x 的取值范围是9494x −<<+，∴513x <<，故答案为：513x <<．【点睛】此题考查了三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，熟记三角形的三边关系是解题的关键．9．（2022秋·浙江金华·八年级校联考期中）在ABC 中，68AB BC ==，，则AC 的长x 的取值范围是______．【答案】214x <</142x >>【分析】直接利用三角形的三边关系写出答案即可．【详解】解：∵在ABC 中，68AB BC ==，，∴8686x −<<+，即：214x <<，故答案为：214x <<．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是了解三角形的两边之和大于第三边，难度不大．题型6：三角形三边关系应用10．（浙江台州·八年级台州市书生中学校考阶段练习）在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝2，并且AC 为偶数，求△ABC 的周长．【答案】18【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是偶数，确定第三边的值，从而求得三角形的周长．【详解】根据三角形的三边关系得：8﹣2＜AC ＜8+2，即6＜AC ＜10，∵AC 为偶数，∴AC ＝8，∴△ABC 的周长为：8+2+8＝18．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系，还要注意第三边是偶数这一条件．11．（浙江台州·八年级台州市书生中学校考阶段练习）已知三角形的三边长分别为2，a-1，4，则化简|a-3|+|a-7|．【答案】4【分析】由三角形的三边关系可以得到a 的取值范围，再根据绝对值的意义进行化简可以得解．【详解】解：由三角形三边关系得： 2<a-1<6，得 3<a<7则原式=a-3+7-a=4．【点睛】本题考查三角形和绝对值的综合应用，熟练掌握三角形的三边关系和绝对值的意义是解题关键．12．（浙江杭州·八年级阶段练习）若一个三角形的两边分别为2和8,而第三边长为奇数,求此三角形的周长.【答案】17或19【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边．【详解】设第三条边长为x,则,第三条边长为奇数,所以三角形的周长为2+8+7=17或2+8+9=19.【点睛】本题主要考查了三角形中三边的关系,解决本题的关键是要熟练掌握三角形三边关系.【过关检测】一、单选题1．（2022秋·浙江·八年级阶段练习）图中三角形的个数是()A．8B．9C．10D．11【答案】B【详解】解：∵图中的三角形有：△AGD，△ADF，△AEF，△AEC，△ABC，△DGF，△DEF，△CEF，△CEB，∴共9个三角形.故选B.2．（浙江台州·八年级校考阶段练习）以下由四位同学描述三角形的四种不同的说法，正确的是（）A．由三个角组成的图形叫三角形B．由三条线段组成的图形叫三角形C．由三条直线组成的图形叫三角形D．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形【答案】D【分析】根据三角形的定义判断即可.【详解】解：三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形，故A，B，C错误，D正确，故选D.【点睛】本题考查了三角形的定义，熟记三角形定义是解题关键.3．（2022秋·浙江金华·八年级校考期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．2，3，4B．2，3，5C．2，5，10D．8，4，4【答案】A【分析】根据三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边，即两条较短的边的长大于最长的边即可．+，能构成三角形，故选项符合题意；【详解】A、23>4+=，不能构成三角形，故选项不符合题意；B、235+<，不能构成三角形，故选项不符合题意；C、2510+=，不能构成三角形，故选项不符合题意．D、448故选：A．【点睛】熟练的掌握判断以三条线段为边能否构成三角形的方法是解本题的关键．4．（2023春·浙江金华·八年级浙江省义乌市后宅中学校考阶段练习）下列三条线段的长度能构成三角形的是（）A．1，2，3B．2，2，4C．2，9，6D．4，6，9【答案】D【分析】根据三角形的三边关系逐项判断即可．+=，不能够组成三角形，故本选项不符合题意；【详解】解：A、123+=，不能组成三角形，故本选项不符合题意；B、224+<，不能够组成三角形，故本选项不符合题意；C、269+>，能够组成三角形，故本选项符合题意．D、469故选：D．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，属于基础题目，熟知三角形任意两边和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．5．（浙江杭州·八年级期中）如果三角形的三个内角的比是3，4，7，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】B【分析】设三个角分别为：3x，4x，7x．根据三角形的内角和定理得3x+4x+7x=180°，可得到x的值，即可得到7x的值，于是可判断三角形的形状．【详解】解：设三个角分别为：3x，4x，7x．∵3x+4x+7x=180，∴x=90 7，∴7x=90°，所以此三角形为直角三角形．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和为180°．同时考查了三角形的分类．6．（2022秋·浙江·八年级专题练习）若三角形三个内角度数之比为2：3：5，则这个三角形一定是（）A．等腰直角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形【答案】C【分析】设三个内角的度数为2x，3x，5x，根据三角形的内角和定理，转化为解一元一次方程．【详解】解：设三个内角的度数为2x，3x，5x，根据三角形的内角和定理，可得2x+3x+5x＝180°，解得x＝18°，∴三个内角的度数为36°，54°，90°，故三角形是直角三角形，故选：C．【点睛】本题考查三角形内角和定理，涉及一元一次方程的解法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．7．（浙江·八年级校考阶段练习）图中，三角形的个数为（）A．5B．6C．7D．8【答案】A【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形数出三角形的个数．【详解】解：图中是三角形的有：△ABC、△ADE、△BDF、△DEF、△CEF共5个．故选A．【点睛】此题考查三角形，解题关键在于掌握其性质.8．（浙江宁波·八年级校考期中）将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（）A．都是直角三角形B．都是钝角三角形C．都是锐角三角形D．是一个直角三角形和一个钝角三角形【答案】C【分析】分三种情况讨论，即可得到这两个三角形不可能都是锐角三角形．【详解】如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形．如图，直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形．因为剪开的边上的两个角互补，故这两个三角形不可能都是锐角三角形．故选：C【点睛】本题主要考查了三角形的分类，理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．9．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，称有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，则图中的共边三角形有（）对．A．8B．16C．24D．32【答案】D【分析】根据有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，首先确定三角形的边，然后确定三角形即可．【详解】解：以AB为公共边的三角形有：△ABD和△ABC；以AC为公共边的三角形有：△ACE和△ACB；以AD为公共边的三角形有：△ADE和△ABD；以AE为公共边的三角形有：△AED和△AEC；以BC为公共边的三角形有：△BCO和△BCA和△BCD和△BCE，4个三角形中任何两个都是共边三角形，有6对；以BD为公共边的三角形有：△BDC，△BDE，BDA任何两个都是3对共边三角形；以BE为公共边的三角形有：△BEO，△BED，△BEC任何两个都是3对共边三角形．以OB为公共边的三角形有：△OBE和△OBC；以CD为公共边的三角形有：△CDO和△CDB和△CDE任何两个都是3对共边三角形．以CE为公共边的三角形有：△CED，△CEA，△CEB任何两个都是3对共边三角形；以CO为公共边的三角形有：△COD△COB；以DE为公共边的三角形有：△AED和△OED和△BED和三角CED，4个三角形中任何两个都是共边三角形，有6对；以OD为公共边的三角形有：△ODC和△ODE；以OE为公共边的三角形有：△OBE和△ODE．共32对．故选：D．【点睛】本题主要考查了共边三角形的定义，正确理解定义是解题的关键．二、填空题10．（2022秋·浙江金华·八年级校考阶段练习）已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形有_____个．【答案】3【分析】先根据三角形的三边关系求出x 的取值范围，再求出符合条件的x 的值即可．【详解】解：∵三角形三边长分别为2，x ，13，∴132132x −<<+，即1115x <<，∵x 为正整数，∴x 可以为12、13、14，共3个．故答案为：3．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，解题的关键是理解和掌握三角形三边的关系． 11．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州市十三中教育集团（总校）校考期中）已知三角形两边的长分别为1和6，第三边长为整数，则该三角形周长为______．【答案】13【分析】利用三角形三边长之间的关系解题即可．【详解】解：∵三角形两边的长分别为1和6，∴第三边的边长大于5，小于7，∵ 第三边长为整数，∴第三边边长为：6，周长为：16613++=，故答案为：13．【点睛】本题主要考查三角形三条边边长之间的关系，能够熟练利用边长之间的关系求出第三条边是解题关键．12．（2022秋·浙江·八年级期末）已知三角形的三边长分别为2，5，x ，则x 的取值范围是______．【答案】3＜x ＜7【分析】根据已知三角形两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和解答．【详解】解：根据三角形的三边关系，得：5﹣2＜x ＜2+5，即：3＜x ＜7．故答案为：3＜x ＜7．【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件，用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．13．（浙江台州·八年级校联考阶段练习）在一个三角形中，三个内角之比为1：2：6，则这个三角形是______三角形．【答案】钝角【分析】根据三角形的内角和定理可计算求解．【详解】解：设三角形的内角为别为x ，2x ，6x ，26180x x x ++=︒，解得20x =︒，∴2x=40°,6x=120°，∴这个三角形的最大的内角的度数是120︒，是钝角三角形．故答案为：钝角．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．【答案】15c ＜＜/51c >>()220b −=可得3a =，2b =，再利用三角形的三边关系可得答案．【详解】解：()220b −=， ∴30a −=，20b −=，∴3a =，2b =，∵a ，b ，c 为三角形的三边长，∴1 5.c ＜＜故答案为：1 5.c ＜＜【点睛】本题考查的是算术平方根的非负性，偶次方的非负性的应用，三角形的三边关系的理解，利用非负数的性质求解3,2a b ==是解本题的关键． 三、解答题15．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知三条线段3a =，5b =，7c =，以这三条线段为边能构成三角形吗？请说明理由．【答案】能，理由见解析【分析】根据三线段构成三角形的条件即可判断．【详解】∵c 是最长线段，而8a b c +=>∴以这三条线段为边能构成三角形【点睛】本题考查了构成三角形的条件，一般地：由于最长线段与任一线段的和总是大于第三边的，因此只要考虑两条短线段的和是否大于最长线段，即可判断三线段是否构成三角形．【答案】2a.【分析】通过三角形的三边关系可得a+b-c 和b-a-c 的符号，再去绝对值解题即可. 【详解】由三角形三边关系知，a b c +>，b a c −<，∴()2a b c b a c a b c c b a a +−+−−=+−+−−=.【点睛】本题考查了三角形的三边关系，及去绝对值运算，解本题的关键是结合三边关系来正确的去绝对值.【答案】（1）（28－3a ）；（2）不可以，理由见解析.【分析】（1）根据“第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米”表示出第二条边长，然后再根据总长即可表示出第三条边长；（2）若第一条边长为7米，分别求出第二条边长和第三条边长，判断是否能构成三角形即可.【详解】解：（1）∵第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米，第一条边长为a 米∴第二条边长为（2a+2）米，由题意可知：第三条边长为[30－a －（2a+2）]=（28－3a ）米；（2）若a=7，则第二条边长为（2×7+2）=16米，第三条边长为（28－3×7）=7米∵7＋7＜16∴此时不能构成三角形，∴第一条边长不可以为7米.【点睛】此题考查的是用代数式表示实际意义和三角形的三边关系，掌握实际问题中各个量之间的关系和用三边关系判断三条线段是否能构成三角形是解决此题的关键.18．（浙江湖州·八年级统考阶段练习）现有三条线段，它们的长分别是9cm，18cm，26cm．这三条线段能构成三角形的三边吗？为什么？【答案】能，理由见解析【分析】根据三角形的三边关系判断即可．【详解】解：∵9+18=27＞26，∴这三条线段能构成三角形的三边．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边．19．（浙江·八年级统考期中）已知：如图，P是ABC内一点．+>+．求证：AB AC PB PC【答案】见解析．【详解】试题分析：首先延长BP交AC于点D，再在△ABD中可得PB+PD＜AB+AD，在△PCD中，PC＜PD+CD 然后把两个不等式相加整理后可得结论．试题解析：证明：延长BP交AC于点D，在△ABD中，PB+PD＜AB+AD①在△PCD中，PC＜PD+CD②①+②得PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD，即PB+PC＜AB+AC，即：AB+AC＞PB+PC．。
三角形的概念是什么性质
三角形的概念是什么性质三角形是平面几何学中最基本的形状之一，它由三条边和三个角组成。
本文将介绍三角形的概念及其相关性质，包括角度关系、边长关系和面积计算等方面。
一、三角形的定义在几何学中，三角形是由三条线段（称为边）连接而成的图形。
三角形的定义包括以下几个方面：1. 由三条线段连接而成，每条线段称为一个边；2. 三个点（顶点）区分了三条边；3. 任意两条边之和大于第三条边；4. 三个内角的和等于180度。
根据三角形定义的不同特点，我们可以将三角形分为不同类型，如等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。
二、角的性质1. 内角和：三角形的内角和恒为180度。
即三个内角A、B、C的和等于180度，即A + B + C = 180度。
这一性质被称为三角形内角和定理。
2. 外角和：三角形的外角和等于360度。
即三个外角的和等于360度。
3. 相关角关系：三角形内部的角之间有一些特殊的相关关系：a. 对顶角：两个内角的对边是另外一个角的对顶边。
对边是没有共同端点的两条边，对顶边为对应的边。
b. 共顶点角：两个内角共享一个顶点为共顶点角。
三、边长关系1. 三角不等式定理：三角形的任意两边之和大于第三边。
即对于三角形的三条边a、b、c，有a+b>c、a+c>b和b+c>a。
2. 等边三角形：三边长度相等的三角形称为等边三角形。
等边三角形的三个内角均为60度。
3. 等腰三角形：两条边长度相等的三角形称为等腰三角形。
等腰三角形的两个内角相等。
四、面积计算三角形的面积可使用不同方法进行计算，最常用的方法是使用海伦公式和高度法。
1. 海伦公式：对于已知三条边长的三角形，可以使用海伦公式来计算其面积。
海伦公式为：面积S = √(p × (p - a) × (p - b) × (p - c))其中p为半周长，即p = (a + b + c) / 2。
2. 高度法：对于已知底边和高的三角形，可以使用高度法计算其面积。
三角形的三边关系基础知识
三角形的三边关系基础知识在数学中，三角形是研究几何形状和关系的重要概念。
而三角形的三边关系则是三角形基础知识中的重要内容之一。
本文将介绍三边关系的相关概念和性质，以帮助读者更好地理解三角形的特性和性质。
1. 三边关系的定义三角形由三条边所组成，而这三条边之间存在着特殊的关系。
在三角形ABC中，设三条边分别为a，b，c，则三边关系可以用下述定义来描述：a +b > cb +c > ac + a > b这三个不等式被称为三边关系的定义。
简而言之，任意两边之和大于第三边，而任意两边之差小于第三边。
2. 三边关系的性质三边关系的定义为我们提供了关于三角形边长的限制条件。
根据这些条件，我们可以推导出一些重要的性质。
（1）等边三角形当三条边的长度都相等时，即a = b = c，这样的三角形称为等边三角形。
在等边三角形中，每条边都相等，同时三个内角也相等，每个内角为60度。
当两条边的长度相等时，即a = b 或 b = c 或 c = a，这样的三角形称为等腰三角形。
在等腰三角形中，两个等边对应的两个内角相等。
（3）直角三角形当一个角恰好为90度时，这样的三角形称为直角三角形。
在直角三角形中，较长的一条边称为斜边，而与直角相对的两个较短的边分别称为直角边。
根据勾股定理，斜边的平方等于直角边平方的和。
（4）斜三角形当三条边均不相等时，这样的三角形称为斜三角形。
斜三角形是三角形中最常见的一种类型，其内角的大小也是各不相同的。
3. 三边关系的应用三边关系在几何学和应用数学中具有广泛的应用。
（1）判断三角形的存在性根据三边关系的定义，我们可以判断给定三边长度是否可以构成一个三角形。
当三条边满足任意两边之和大于第三边的条件时，三角形才存在。
（2）解决实际问题三边关系可以帮助我们解决各种实际问题，例如测量无法直接测量的距离、定位远离物体的位置等。
通过测量三角形的边长和角度，我们可以利用三边关系来推算出其他未知量。
三角形地三边关系
一、三角形的有关概念 1、定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形注意三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。
2、有关概念及其表示方法如图所示 线段AB ，BC ，CA 是三角形的边。
点A,B,C 是三角形的顶点。
C B A ∠∠∠,,是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。
即：组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
顶点是A,B,C 的三角形，记作△ABC 。
读作“三角形ABC ”。
△ABC 的三边，有时也用a,b,c 来表示。
如图所示。
三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示.。
① 三角形的分类我们知道，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。
直角三角形两个锐角互余。
斜三角形2、按边分类。
三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形； 三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。
在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
显然，等边三角形是特殊的等腰三角形。
即底边和腰相等的等腰三角形。
按边分类: 不等边三角形等腰三角形三、三角形的三边关系对任意一个△ABC ，如果把其中任意两个顶点（例如B ，C ）看成定点，由“两点的所有连线中，线段最短“可得AB+AC ＞BC ① 同理有 AC+BC ＞AB ② AB+BC ＞AC ③由式子①②③我们可以知道三角形的任意两边之和大于第三边. 注释：（1）三边关系的性质：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，三角形的三边关系反应了三角形边得限制关系。
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形。
三角形的概念及三边关系教案
一、教学目标：1. 让学生理解三角形的定义和性质，掌握三角形的概念。
2. 引导学生探索三角形的三边关系，理解三角形两边之和大于第三边的原理。
3. 培养学生的观察、思考、动手能力和团队协作精神。
二、教学内容：1. 三角形的定义：三角形是由三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。
2. 三角形的性质：三角形具有稳定性，不易变形。
3. 三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：让学生掌握三角形的定义、性质和三边关系。
2. 教学难点：引导学生探索三角形的三边关系，理解并证明两边之和大于第三边的原理。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究三角形的三边关系。
2. 利用实物模型、图片等直观教具，帮助学生直观地理解三角形的性质。
3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力和口头表达能力。
五、教学步骤：1. 导入新课：通过展示三角形的事物图片，引导学生思考三角形的特征。
2. 讲解三角形的定义和性质：讲解三角形的定义，让学生明确三角形是由三条线段组成的封闭图形；讲解三角形的性质，让学生理解三角形的稳定性。
3. 探索三角形的三边关系：让学生观察、分析三角形的三条边，引导学生发现三角形两边之和大于第三边的规律。
4. 证明三角形的三边关系：运用几何图形，引导学生证明三角形两边之和大于第三边的原理。
5. 巩固练习：设计一些有关三角形三边关系的练习题，让学生加以巩固。
6. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调三角形的三边关系在实际应用中的重要性。
7. 作业布置：布置一些有关三角形的练习题，让学生课后巩固所学知识。
六、教学拓展：1. 引导学生思考：在什么情况下，三条线段不能构成一个三角形？2. 讲解不能构成三角形的情况：三条线段中，如果有两条线段的长度之和等于第三条线段的长度，则无法构成三角形。
3. 让学生通过实际操作，尝试用三条线段组成三角形，并判断是否符合三角形的三边关系。
三角三条边的关系公式
三角三条边的关系公式三角形是由三条线段组成的闭合图形。
我们可以用三边的长度来描述一个三角形，但有时候我们也需要了解三边之间的关系。
在本文中，我们将探讨三角形边长之间的关系。
首先，我们需要了解三边之间的一个基本关系：任意两边之和大于第三边。
这是三角形的基本定理之一，也被称为三边不等式。
换句话说，如果我们有一个三角形的三边长a，b，c，那么a+b>c，b+c>a，c+a>b。
接下来，我们将讨论三条边的关系公式。
1.直角三角形的边长关系：直角三角形是指一个角度为90度的三角形。
在一个直角三角形中，三条边之间有一个特殊的关系，即勾股定理。
勾股定理是一个古老的数学定理，它表明：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方和。
数学表达式为：c²=a²+b²，其中c是斜边的长度，a和b是直角边的长度。
2.等腰三角形的边长关系：等腰三角形是指有两条边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两个等边之间有一个特殊的关系，即等腰三角形的两底角也是相等的。
数学表达式为：∠A=∠C，其中A和C是两个等边的底角。
3.等边三角形的边长关系：等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。
在等边三角形中，所有角度也是相等的，每个角度是60度。
正弦函数：sin(A) = a / c余弦函数：cos(A) = b / c正切函数：tan(A) = a / b其中A是角度，a，b，c是对应的边长。
5.钝角三角形的边长关系：钝角三角形是指其中一个角度大于90度的三角形。
在一个钝角三角形中，我们同样可以使用三角函数来描述边长之间的关系。
但是我们要注意，正弦函数和余弦函数的比值在钝角三角形中可能大于1、另外，钝角三角形还有一个特殊的关系，即最长边对应的角度是最大的。
总之，三角形的边长之间存在着许多关系。
我们可以通过勾股定理、等腰三角形和等边三角形的性质来推导出这些关系。
同时，三角形的形状和角度也会影响边长之间的关系。
三角形的三边长度关系
三角形的三边长度关系三角形是几何学中的基本形状之一，由三条线段组成，每条线段称为边，而三条边之间的关系对于三角形的性质和特点有着重要影响。
本文将以三角形的三边长度关系为主题，探讨三角形的性质和特点，带领读者深入了解三角形。
一、三角形的定义及性质三角形是由三条线段组成的多边形，其中的每条线段称为边，而三条边的交点称为顶点。
根据三角形的边长关系，可以将三角形分为三种类型：等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
1. 等边三角形等边三角形的三条边长度相等，每个内角均为60度。
它是一种特殊的等腰三角形，具有对称美观的特点。
2. 等腰三角形等腰三角形的两条边长度相等，另一条边长度不同。
等腰三角形的两个底角相等，而顶角则与底角不相等。
3. 普通三角形普通三角形的三条边长度都不相等，每个内角均不相等。
普通三角形是最常见的三角形类型，根据边长的不同，可以进一步分类为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形。
二、三边长度关系及其应用三角形的三边长度关系是研究三角形性质的基础，它可以帮助我们计算三角形的周长、面积和各个角的大小。
1. 三边之和根据三角形的定义，三角形的任意两边之和大于第三边。
即对于三角形的三条边a、b、c，有a+b>c、a+c>b、b+c>a。
这个关系被称为三边不等式，它是判断三条线段是否可以组成三角形的重要条件。
2. 等边三角形的边长关系等边三角形的三条边长度相等，即a=b=c。
等边三角形的周长可以通过边长乘以3来计算，即周长=3a。
3. 等腰三角形的边长关系等腰三角形的两条边长度相等，即a=b。
等腰三角形的周长可以通过边长乘以2再加上底边长来计算，即周长=2a+c。
4. 普通三角形的边长关系普通三角形的三条边长度都不相等，即a≠b≠c。
普通三角形的周长可以通过三条边长之和来计算，即周长=a+b+c。
5. 三角形的面积计算根据海伦公式，已知三角形的三边长a、b、c，可以通过以下公式计算三角形的面积S：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中，p为半周长，即p=(a+b+c)/2。
认识三角形的三边关系学习三角形的三边关系和判定方法
认识三角形的三边关系学习三角形的三边关系和判定方法认识三角形的三边关系，学习三角形的三边关系和判定方法三角形是初中数学中重要的基础知识，掌握三角形的相关性质和关系对于解题和证明非常重要。
其中，三边关系是三角形的基本性质之一，能够帮助我们判定和描述三角形的形状和大小。
本文将介绍三角形的三边关系以及相应的判定方法。
一、三角形的三边关系三角形的三边关系主要包括三边长关系和三边之间的角关系。
1. 三边长关系在任意一个三角形ABC中，三边的关系可以通过三边的长短来描述。
设三角形的三边分别为a、b、c，其中a和b为两个较短的边，c为最长的边。
根据三边关系的定义，有以下结论：（1）任意两边之和大于第三边：a + b > c，a + c > b，b + c > a。
这是三角形存在的必要条件，通过这个条件可以帮助我们判定一组边长是否能够组成三角形。
（2）任意两边之差小于第三边：|a - b| < c，|a - c| < b，|b - c| < a。
这个条件通常用于判断一个三边长是否构成某种特殊的三角形，比如等边三角形、等腰三角形等。
2. 三边之间的角关系在一个三角形ABC中，三角形的三个内角之间也存在一定的关系。
（1）三角形内角和：在三角形ABC中，三个内角的和为180°，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
（2）三角形内角之间的大小关系：任意两个角之和大于第三个角，即∠A + ∠B > ∠C，∠A + ∠C > ∠B，∠B + ∠C > ∠A。
二、三边关系的判定方法通过三边关系可以帮助我们判定给定的边长是否构成三角形，并且可以判断三角形的特殊性质。
1. 判定三边是否能够构成三角形根据三边关系的第一个条件，可以得到以下判定方法：给定三个边长a、b、c，如果满足a + b > c，a + c > b，b + c > a，那么这三条边长可以构成一个三角形；否则，无法构成三角形。
三角形的概念及三边关系与三角形有关的线段
三角形的概念及三边关系与三角形有关的线段在我们的日常生活和数学学习中，三角形是一种非常常见且重要的几何图形。
无论是在建筑设计、工程测量，还是在数学的理论研究中，三角形都有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解三角形的概念、三边关系以及与三角形有关的线段。
一、三角形的概念什么是三角形呢？简单来说，三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。
这三条线段就叫做三角形的边，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
三角形具有稳定性，这是它的一个重要特性。
比如说，我们常见的自行车车架、三角形的屋顶框架等，就是利用了三角形的稳定性来增强结构的牢固程度。
三角形可以按照角的大小分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
锐角三角形的三个角都小于 90 度；直角三角形有一个角等于 90 度；钝角三角形则有一个角大于 90 度小于 180 度。
二、三角形的三边关系三角形的三边关系是三角形中非常重要的一个知识点。
在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
为什么会有这样的关系呢？我们可以通过一个简单的实验来理解。
假设我们有三根长度分别为 a、b、c 的小棒，如果 a ＋ b ＜ c，那么这三根小棒就无法首尾相接组成一个三角形。
同样，如果 a b ＞ c，也无法组成三角形。
这个三边关系在解决很多与三角形相关的问题时非常有用。
比如，已知三角形的两条边的长度，求第三边的取值范围。
三、与三角形有关的线段1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
三角形有三条高，锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高是直角边，另一条高在三角形的内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条高在三角形的内部。
2、三角形的中线连接三角形的一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。
三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心。
三角形的概念及边的关系
别踩我,我怕疼! 花园里弄不好就
会走出一条小路
3米
5米
来, 你能不能运 用今天所学的知 识解释这一现象?
4 B
他只少走
4米
C
步 （1米=2步）
其实我们离 文明很近！
探 究:
（理论验证）思考：在△ABC中，假设有一
只蚂蚁，要从顶点B出发沿着三角形的边爬到
顶点C，它有几条路线可选择？哪种最短呢？
为什么？
例：等腰三角形中周长为18cm. 如果腰长是底边长的2倍，求各边的长；
解设：等腰三角形的底边长为xcm， 则腰长为2xcm，根据题意，得
x+2x+2x=18 解方程，得
x=3.6 所以三角形的三边长为3.6cm、7.2cm、7.2cm.
巩固新知
一根木棒长为7，另一根木棒长为2。 (1)那么用长度为4的木棒能和它们拼成三角 形吗？ (2)长度为11的木棒呢？ (3)第三条边应在什么范围呢？
点A、点B、点C
∠A、∠B、∠C
解题方法：三角形第三边的取值范围是:
两边之差<第三边<两边之和
课堂小结：
请同学们回顾本节课所学的内容， 你有哪些收获？
回忆
记作：△ABC 三角形九要素：
三角形的边：组成三角形的线段
三角形的顶点：三角形两边的交点；
三角形的角：三角形两边组成的角内 角，简称三角形的角。
边AB、边AC、边BC 或边a、边b、边c
A由此可以得Biblioteka ：AB AC BCB
AB BC AC
C
AC BC AB
理由：两点之间线段最短.
三角形的三边的关系：
A
B
C
三角形任意两边的和大于第三边.
三角形的概念及三边关系教案
三角形的概念及三边关系教案一、教学目标：1. 让学生了解三角形的定义和特性，能够识别和描述三角形。
2. 让学生掌握三角形三边之间的关系，能够运用三角形三边关系解决实际问题。
3. 培养学生的观察能力、操作能力和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 三角形的定义和特性2. 三角形三边关系的推导和理解3. 运用三角形三边关系解决实际问题三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角形的概念和特性，三角形三边关系的理解和运用。
2. 教学难点：三角形三边关系的推导和运用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索和发现三角形的特性和三边关系。
2. 利用图形和实物，帮助学生直观地理解和掌握三角形的概念和特性。
3. 通过实例分析和练习，巩固学生对三角形三边关系的理解和运用。
五、教学准备：1. 教学课件和教案2. 三角形模型和图片3. 练习题和答案教案内容：一、导入（5分钟）1. 引入三角形的概念，让学生尝试描述三角形的特征。
2. 展示三角形模型和图片，引导学生观察和描述三角形的形状和特点。
二、探究三角形的特性（15分钟）1. 引导学生通过观察和操作，发现三角形的三条边之间的关系。
2. 让学生通过实际操作，测量和记录三角形的三边长度，进一步验证三边关系。
三、总结三角形的三边关系（5分钟）1. 引导学生总结三角形三边关系的结果。
2. 强调三角形三边关系在解决实际问题中的重要性。
四、应用练习（10分钟）1. 给出几个实际问题，让学生运用三角形三边关系解决问题。
2. 让学生独立完成练习题，并互相检查答案。
五、总结和反思（5分钟）1. 让学生总结本节课所学的三角形概念和三边关系。
2. 鼓励学生分享自己在解决问题中的心得和体会。
注意事项：1. 在教学中，要注意引导学生通过观察和操作，主动探索和发现三角形的特性和三边关系。
2. 对于不同学生的学习水平和能力，可以适当调整教学内容和教学方式，以满足不同学生的学习需求。
3. 在练习环节，要注意给予学生足够的辅导和指导，确保学生能够正确理解和运用三角形三边关系解决实际问题。
三角形的三边关系
三角形的三边关系关键信息项：1、三角形的定义及构成要素三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。
三角形的边：组成三角形的三条线段。
三角形的顶点：三角形两条边的公共端点。
三角形的内角：三角形相邻两边所组成的角。
2、三角形三边关系定理定理内容：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
证明方法及依据。
3、三角形三边关系的应用判断三条线段能否组成三角形。
已知三角形的两边，求第三边的取值范围。
解决与三角形边长有关的几何问题。
11 三角形的定义三角形是平面几何中最基本的图形之一，它由三条线段首尾相连所围成。
这三条线段称为三角形的边，其连接的点称为顶点，相邻两边所形成的角称为内角。
111 三角形边的特性三角形的三条边具有特定的性质，它们的长度和位置关系决定了三角形的形状和大小。
112 三角形顶点和内角三角形的顶点是边的交汇点，内角则是三角形内部的角度。
三角形的内角和为 180 度。
12 三角形三边关系定理三角形三边关系定理是三角形的一个重要性质。
该定理指出，对于任意一个三角形，其任意两边之和必然大于第三边，任意两边之差必然小于第三边。
121 定理证明证明三角形三边关系定理可以通过几何构造和逻辑推理来完成。
例如，假设存在一个三角形 ABC，其三条边分别为 a、b、c。
若要证明 a ＋ b ＞ c，可以通过延长 BA 至 D，使得 AD ＝ AC，然后利用三角形的外角性质和等腰三角形的性质进行推理。
122 定理的重要性这个定理是判断三条线段能否构成三角形的关键依据，也是解决许多与三角形边长相关问题的基础。
13 三角形三边关系的应用131 判断三条线段能否组成三角形给定三条线段的长度，如果任意两条线段的长度之和大于第三条线段的长度，且任意两条线段的长度之差小于第三条线段的长度，那么这三条线段可以组成一个三角形。
132 已知三角形的两边，求第三边的取值范围如果已知三角形的两条边分别为 a 和 b，那么第三边 c 的取值范围为｜a b| ＜ c ＜ a ＋ b 。
三角形三边关系 定义
三角形三边关系定义三角形是初中数学中一个重要的概念，它是由三条线段连接起来的几何图形。
在三角形中，三条边之间有着复杂的关系，而这些关系在数学中被称为“三角形三边关系”。
本文将介绍三角形三边关系的定义及其相关概念。
一、三角形的定义三角形是由三条线段连接起来的几何图形，其中任意两条线段之间的夹角都小于180度。
三角形有三个顶点和三条边，可以根据三边的长度、三个角的大小、三个顶点的位置等不同特征进行分类。
二、三角形三边关系的定义三角形三边关系是指三角形中任意两条边的长度之和大于第三条边的长度。
换言之，如果三角形的三条边分别为a、b、c，则有以下关系式：a+b>ca+c>bb+c>a这些关系式是三角形三边关系的基本定义，也是数学中最基本的几何定理之一。
在实际应用中，三角形三边关系可以帮助我们判断三角形是否存在，从而避免出现错误的计算结果。
三、三角形三边关系的相关概念除了基本的三角形三边关系之外，还有一些相关的概念需要了解： 1. 等边三角形等边三角形是指三边长度相等的三角形。
在等边三角形中，每个角的大小都是60度。
2. 等腰三角形等腰三角形是指两条边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两个角的大小相等。
3. 直角三角形直角三角形是指其中一个角的大小为90度的三角形。
在直角三角形中，另外两个角的大小分别为30度和60度。
4. 锐角三角形锐角三角形是指所有角的大小都小于90度的三角形。
在锐角三角形中，三条边的长度之间的关系式为：a+b>cb+c>ac+a>b5. 钝角三角形钝角三角形是指其中一个角的大小大于90度的三角形。
在钝角三角形中，另外两个角的大小分别为小于90度的锐角。
四、三角形三边关系的应用三角形三边关系在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，建筑师需要根据三角形三边关系来计算建筑物的结构和支撑力；在地图制作中，制图人员需要根据三角形三边关系来计算地球上不同地区的距离和方位；在物理学中，科学家们需要根据三角形三边关系来计算力的大小和方向等。
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解题技巧：三角形第三边的取值范围是:
有人说他一步能走3米,你相 信吗？能否用今天学过的知识 去解答呢?
姚明腿长1.28米 答：不能。如果此人一步能走 3米，由三角形三边的关系得， 此人两腿长要大于3米，这与 实际情况相矛盾，所以它一步 不能走3米。
已知：等腰三角形周长为18cm，如果一边长等于4cm， 求另两边的长？
段能否组成三角形？ 解:∵ 6+4>3
6+3>4
4+3>6
只要满足较小的两条
线段之和大于第三条 线段，便可构成三角 形;若不满足，则不能 构成三角形.
∴能组成三角形
判断方法： （1）找出较长边。 （2）比较大小：较长边小于较短两边之和 （3）判断能否组成三角形。
练习三：
判断下列各组线段中，哪些能组成三角 形，哪些不能组成三角形，并说明理由
B
a
C
三角形的内角:∠A 、 ∠B 、 ∠C
三角形的边：AB、AC、BC
c b a
趁热打铁：比一比 谁最快
d c b
记作： △BCD 内角：∠B 顶点： 点B,点C,点D
∠D 边： BC, CD, DB 或 d, c, b
∠C
3 个三角形？ 1.如图图中有____ △ABC 、_____ △ABD 、 2.请用符号与字母表示出来_____ △ADC ； _____ 小思考： 1、∠B的对边：
则这三角形的周长为 （ B ） （A） 14cm （B）19cm （C） 14cm或19cm （D） 不确定
你有什么收获？ 这节课你印象最深的是什么？ 还有什么不明白的吗？
作业：
P44 练习第1、2题
人生的价值，并不是用时间，而
是用深度去衡量的。
——列夫· 托尔斯泰
小试牛刀
下列长度的各组线段能否组成一个三角形？ （1）15cm、10cm、7cm (2) 4cm、5cm、10cm (3) 3cm、8cm、5cm (4) 4cm、5cm、6cm
思考：有两条长度分别为5cm和7cm的线段，
要组成一个三角形那么第三条线段的长度在什么 范围内呢？
2cm 第三条边 12cm
解：若底边长为4cm，设腰长为xcm，则有
2x+4=18
解方程的：x=7
若一条腰长为4cm，设底边长为xcm，则有
2×4+x=18
解得：x=10
因为4+4<10，所以，以4cm为腰不能构成三角形.
所以，三角形另两边长都是7cm
挑战极限
（1）任何三条线段都能组成一个三角形 (× ) （2）因为a+b>c,所以a、b、c三边可以构成三角形（ × ） (3) 以长为3cm、5cm、7cm、10cm的四条线段中的 2 个三角形． 三条线段为边，可构成_____ （4）已知等腰三角形的两边长分别为8cm，3cm，
△ABD AD AC
A
2、以AD为边的三角形有：
△ADC
B
D
C
观察：
以下三个三角形的边各有什么特点？
顶 角
等边三角形 是特殊的等 腰三角形。
腰
底角
腰底ຫໍສະໝຸດ 底角等边三角 形（正三 角形）
三边互不相等
有两边相等
等腰三 角形
三边都相等
等边三角形 也是等腰三 角形吗？
三角形的分类
不等边三角形（三边都不相等的三角形）
（1）a＝2.5cm，b＝3cm，c＝5cm； （2） e＝ 6.3cm， f＝ 6.3cm， g＝ 12.6cm
解（1）∵ 最长线段是c=5cm, a+b=2.5+3=5.5(cm) ∴ a+b＞c.线段a,b,c能组成三角形。 （2）∵ 最长线段是g=12.6cm, e+f=6.3+6.3=12.6(cm) ∴ e+f=g.线段e,f,g不能组成三角 形。
什么是三角形的边，顶点，内角。 你认识三角形了吗？
什么叫三角形?
三角形的定义 ：
不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的 图形，叫做三角形 注意点： （1）三条线段（2）不在同一直线上 （3）首尾顺次相接
三角形的表示及概念
A c b
三角形的顶点： A、B、C 三角形ABC
记作：△ABC 读作：三角形ABC
两点之间线段最短
由此可以得到： AC
A B
AB BC AC AC AB BC
BC AB
三角形任何两边的和大于第三边. 三角形任何两边的差小于第三边.
A
判断能否构 成三角形的 依据
a+b＞c
c b
a－b＜c
a －c ＜b c
－b ＜a
a+c＞b
C
B
a
c+b＞a
例1、长度为6cm, 4cm, 3cm三条线
只有两条边相等的等腰三角形
按 边 分
等腰三角形
等边三角形（或正三角形）
抢答
有一个周长为11的△ ABC，其中AB=3，BC=5 请问 △ ABC是什么三角形 等腰三角形
蚂蚁从A到B的路线有那些？走那条路线最 近呢？为什么？
路线1：从A到C再到B路线走 路线2：沿线段AB走
C
请问：路线1、路线2 那条路程较短，你能 说出你的根据吗？
2.1三角形（一）
三角形的概念 和三边关系
A
B
1.如何表示线段？
a
A α 1 B
线段AB或线段a
2.如何表示一个角？
o
表示法：∠AOB或者∠O 或者∠α 或者∠1
请大家仔细观察一组图片，看看主要是有那种几何图形构成?
读一读
课本42-43页，并回答以下问题：
什么样的图形叫三角形？
如何用符号语言表示一个三角形