信号处理与数据分析 邱天爽第11章作业答案
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1.（书稿 11.10）设信号 s(t ) 的功率谱为 Pss ( s )
1 1 ，噪声 v(t ) 的功率谱为 Pvv ( s ) ，信号与噪声互 1 s2 4 s2
不相关，试求因果连续维纳滤波器的传递函数。 解：设 x(t ) s(t ) v(t ) ，则由信号与噪声互不相关可得
可以得到白化滤波器为
H w ( s) 1 (1 s )(2 s ) G (s) 2( 2.5 s)
又因为 Psx ( s ) Pss ( s ) ，因此可以得到
Psx ( s) Pss ( s ) 1 / (1 s)(1 s) 0.822 0.115 G (s) G (s) 2( 2.5 s) / (1 s)(2 s) 1 s 2.5 s
解：
由给定系统模型知 x n 是一阶广义平稳马尔可夫信号或 AR(1)信号，此信号可用白噪声 n 激励传递函数为
H ( z) 1 线性系统的输出产生。因此 z 0.6
2 Pxx ( z ) H z H z 1
0.82 (1 0.6 z 1 )(1 0.6 z )
2.（书稿 11.18）设系统模型为 x( n 1) 0.6x (n ) w (n ) ，观测方程为 z( n) x( n) v( n) ，其中 w( n) 为方差
2 w 0.82 的白噪声， v(n) 为方差 v2 1 的白噪声， v(n) 与 x ( n ) 互不相关。试求其离散维纳滤波器。
进一步可以得到
P (s) 0.822 ' H0 (s)= ss G ( s) 1 s
最终，因果连续维纳滤波器的传递函数为
' H 0 (s) H w (s) H 0 (s)
(1 s)(2 s)
0.822 0.582( s 2) 2( 2.5 s) 1 s s 2.5
Pzz ( z ) Pxx ( z ) Pvv ( z )
故 又
G ( z) 2
Pzz ( z ) Pxx ( z ) = G ( z) G ( z)
1 0.3z 1 1 0.3z ，G ( z ) 2 1 0.6 z 1 1 0.6 z
0.82
Pxx ( ห้องสมุดไป่ตู้) Pss ( s) Pvv ( s)
其中：
1 1 5 2s 2 G ( s) 2 2 G ( s) 1 s 4s 1 s2 4 s 2
G (s)
2( 2.5 s ) 2( 2.5 s ) , G (s) (1 s )(2 s ) (1 s )(2 s )
1
2(1 0.6 z )(1 0.3 z )
1 0.6 1 z 0.6 0.3 z 1 2
取其因果律部分，得
' H0 ( z)
0.6 2
1 z 0.6
因此，所求离散维纳滤波器的传递函数为
H 0 ( z) 1 0.3 ' H0 ( z )= G ( z) z 0.3
于是
Pxz ( z ) Pxx ( z ) 0.82 (1 0.6 z 1 )(1 0.6 z ) 0.82 1 0.3 z 1 1 0.3 z 1 2 G ( z )G ( z ) 1 (1 0.6 z )(1 0.6 z ) 1 0.6 z 1 1 0.6 z
1 1 ，噪声 v(t ) 的功率谱为 Pvv ( s ) ，信号与噪声互 1 s2 4 s2
不相关，试求因果连续维纳滤波器的传递函数。 解：设 x(t ) s(t ) v(t ) ，则由信号与噪声互不相关可得
可以得到白化滤波器为
H w ( s) 1 (1 s )(2 s ) G (s) 2( 2.5 s)
又因为 Psx ( s ) Pss ( s ) ，因此可以得到
Psx ( s) Pss ( s ) 1 / (1 s)(1 s) 0.822 0.115 G (s) G (s) 2( 2.5 s) / (1 s)(2 s) 1 s 2.5 s
解：
由给定系统模型知 x n 是一阶广义平稳马尔可夫信号或 AR(1)信号，此信号可用白噪声 n 激励传递函数为
H ( z) 1 线性系统的输出产生。因此 z 0.6
2 Pxx ( z ) H z H z 1
0.82 (1 0.6 z 1 )(1 0.6 z )
2.（书稿 11.18）设系统模型为 x( n 1) 0.6x (n ) w (n ) ，观测方程为 z( n) x( n) v( n) ，其中 w( n) 为方差
2 w 0.82 的白噪声， v(n) 为方差 v2 1 的白噪声， v(n) 与 x ( n ) 互不相关。试求其离散维纳滤波器。
进一步可以得到
P (s) 0.822 ' H0 (s)= ss G ( s) 1 s
最终，因果连续维纳滤波器的传递函数为
' H 0 (s) H w (s) H 0 (s)
(1 s)(2 s)
0.822 0.582( s 2) 2( 2.5 s) 1 s s 2.5
Pzz ( z ) Pxx ( z ) Pvv ( z )
故 又
G ( z) 2
Pzz ( z ) Pxx ( z ) = G ( z) G ( z)
1 0.3z 1 1 0.3z ，G ( z ) 2 1 0.6 z 1 1 0.6 z
0.82
Pxx ( ห้องสมุดไป่ตู้) Pss ( s) Pvv ( s)
其中：
1 1 5 2s 2 G ( s) 2 2 G ( s) 1 s 4s 1 s2 4 s 2
G (s)
2( 2.5 s ) 2( 2.5 s ) , G (s) (1 s )(2 s ) (1 s )(2 s )
1
2(1 0.6 z )(1 0.3 z )
1 0.6 1 z 0.6 0.3 z 1 2
取其因果律部分，得
' H0 ( z)
0.6 2
1 z 0.6
因此，所求离散维纳滤波器的传递函数为
H 0 ( z) 1 0.3 ' H0 ( z )= G ( z) z 0.3
于是
Pxz ( z ) Pxx ( z ) 0.82 (1 0.6 z 1 )(1 0.6 z ) 0.82 1 0.3 z 1 1 0.3 z 1 2 G ( z )G ( z ) 1 (1 0.6 z )(1 0.6 z ) 1 0.6 z 1 1 0.6 z