48总复习：基本不等式(提高)知识梳理

基本不等式

【考纲要求】

1.

2

a b

+≤

的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

2.

2

a b

+≤

解决最大（小）值问题. 3.会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【知识网络】

【考点梳理】

考点一：两个重要不等式及几何意义 1．重要不等式：

如果,R a b ∈，那么2

2

2a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 2．基本不等式：

如果,a b

是正数，那么

2a b

+≥（当且仅当a b =时取等号“=”

）. 要点诠释：22

2a b ab +≥

和2

a b +≥两者的异同：

（1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”。

（3）2

2

2a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤

，

2a b +≥可以变形为：2

()2

a b ab +≤. 3.如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，

连接AD 、BD .

扩充不等式

绝对值不等式

柯西不等式

易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2

CD CA CB =⋅，即CD ab =这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab b

a ≥+2

，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.

要点诠释：1.在数学中，我们称

2

b

a +为,a

b 的算术平均数，称ab 为,a b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

2.如果把

2

b

a +看作是正数,a

b 的等差中项，ab 看作是正数,a b 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

2

a b

ab +≤

求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；

② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 要点三、几个常见的不等式 1）()R b a ab b a ∈≥+,22

2

，当且仅当a=b 时取“=”号。

2）

()+

∈≥+R b a ab b

a ,2，当且仅当a=

b 时取“=”号。

3）

()02>⋅≥+b a a

b b a ；特别地：()021>≥+a a

a ；

4）b

a a

b ab b a b a +≥

≥+≥+22222 (),a b R +

∈ 5）()()

+∈≥⎪⎭

⎫

⎝⎛++R b a b a b a ,411； 6）()+

∈≥++R c b a abc c b a ,,33

3

3

；

7）()+

∈≥++R c b a abc

c b a ,,33

要点四、绝对值不等式的性质 1.||||||||||a b a b a b -≤±≤+；

2.||||||a b a c c b -≤-+-； 要点五、柯西不等式

1. 二维形式的柯西不等式： （1）向量形式：

设βα,是两个向量，则||||||αβαβ⋅≤⋅，当且仅当β是零向量或存在实数k ，使βαk =时，等号成立。

（2）代数形式：

①若a 、b 、c 、d 都是实数，则2

2

2

2

2

)())((bd ac d c b a +≥++，当且仅当ac=bd 时，等号成立； ②若a 、b 、c 、d

ac bd ≥+，当且仅当ac=bd 时，等号成立； ③若a 、b 、c 、d

||ac bd ≥+，当且仅当ac=bd 时，等号成立； 要点诠释：柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示； （3）三角形式：

设R y y x x ∈2121,,,，则2212212

222212

1)()(y y x x y x y x -+-≥++

+。 2. 三维形式的柯西不等式（代数形式）：

若321321,,,,,b b b a a a 都是实数，则2

332211232221232221)())((b a b a b a b b b a a a ++≥++++，当且仅当

)3,2,1(,0==i b i 或存在实数k ，使得)3,2,1(==i kb a i i 时，等号成立。

3. 一般形式的柯西不等式（代数形式）： 若,,,,,,,,,,321321n n b b b b a a a a 都是实数，则

222112222122221)())((n n n n b a b a b a b b b a a a +++≥++++++ ，

当且仅当),,2,1(,0n i b i ==或存在实数k ，使得),,2,1(n i kb a i i ==时，等号成立。 【典型例题】

2

a b

+≤

求最值问题 【高清课堂：基本不等式394847 基础练习二】

例1．设0a b >>，则2

11()

a a

b a a b ++-的最小值是 A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

【解析】

221111()()

11

()()

()4a a ab ab ab a a b ab a a b a a b ab a a b ab

+

+=-+++--=-+++-≥