第十三章 动能定理(H)

m
dv dt
dr F dr
1 2 d (v ) dv
2
mv dv F dr
d (v v )
d(
1 2
第十三章 动能定理
1 2
mv ) W
2
mv2
2
1 2
mv1 W12
2
2. 质点系的动能定理
d( 1 2 mi vi ) Wi
2
d(
1 2
mi vi ) Wi
m
2
由动能定理得:
0 0 G (l m ) sin 30 0.2G (l m )

k 2
m
2
第十三章 动能定理
(2) 车卸料后又弹回原位置，由动能定理得:
0 0 G0 (l m ) sin 30 0.2G0 (l m )

k 2
a
(JO
W g
R )
2
第十三章 动能定理
例 题3
已知： m ，R, f ， 。 求： 纯滚时盘心的加速度。
C

vC
s
F
解：取系统为研究对象
T1 0 T2 1 2 mvC
2
1 2
J C
2

3 4
2
mg
FN

vC R
T2
mvC
主动力的功： 由动能定理得：
3 4
W12 mgs sin
b. 变力的功
W F cosds
W F cosds
0 s
第十三章 动能定理
W F dr
W

M2
F dr
M1
F Fx i Fy j Fz k dr dxi dyj dzk
M2
W12
M1
( Fx dx Fy dy Fz dz )
r
R
例 题7 已知： 重物A质量为 m1 ，滑轮D质量不计,鼓 轮B半径 r, 轮C半径为 R, 总质量为m2, 对其水
A
平轴O的回转半径为 。 求： 轮重物A 的加速度。
第十三章 动能定理
解：取系统为研究对象
T1 0 T2 1 2 m1v
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C B O

R
D
1 2
J P
2
2
r
J P m2 m2 R
z
A FA rA rB O y FB B
d rB d rA d rAB
FA 和FB 在drA 和drB 上所作之元功:
dW FA d rA FB d rB
i
FB (-drA drB )
FB d(rB - rA )
x
FB d rAB
这一结果表明：当两点之间的距离发生变化时，这两点之 间的内力所作之元功不等于零。
1 2
mvC
2
1 2
J C
2
R
C
v
1 1 3 2 2 2 2 T J P ( mR mR ) mv 2 2 2 4
2
1
T
P
1 2
J C
2
1 2
mvC
2
3 4
mv
2
第十三章 动能定理
§13-3
1. 质点的动能定理
m dv dt
v dv 1 2
动能定理
F
W F1 dr1 F2 dr2
F1dr cos 1 F2 dr2 cos 2 1 0
第十三章 动能定理
C P
F
FN
W F dr F v dt 0
约束反力作功等于零的约束
理想约束。
第十三章 动能定理
4. 内力的功
rB rA rAB
O
主动力的功： 由动能定理得：
mg F
B
P
3 4
mR 0 Ps 2mgfs
2 2

2 R
s 3m
( P 2mgf )
FN
第十三章 动能定理
解：取轮 O 为研究对象
T1 0 1 1 2 2 2 T2 J C ( mR mR ) 2 2 2
m
2
解得：
G G0 sin 30 0.2 sin 30 0.2


7 3
30°
由动能定理得:
0 0 G (l m ) sin 30 0.2G (l m )

k 2
m
2
第十三章 动能定理
均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动 例 题2 惯量为JO。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动， 已知重物重量为W。 求：重物下落的加速度
W12 mi g ( zi1 zi 2 )
质点系：
W 12 mg ( zC1 zC 2 )
第十三章 动能定理
（2）弹性力的功
F k
F k (r l0 )r0
W12

A2
F dr k ( r l0 ) r0 dr
A1 A2
A 1
r0 dr
W Wi Fi drC M C ( Fi )d
FR drC M C d
W 12
C2
C1
FR dr C M C d
1
2
第十三章 动能定理
§13-2
质点的动能
质点和质点系的动能
1 2
T
mv
2
动能和动量都是表征机械运动的量，前者与质点速度的平 方成正比，是一个标量；后者与质点速度的一次方成正比，是
mvC 0 mgs sin
2
a
2 3
g sin
第十三章 动能定理
例 题6 M2 已知： J1 ， J2 ， R1 ， R2 ，
Ⅱ
Ⅰ
M1
i12 = R2 / R1 ， M1 ， M2 。
求： 轴Ⅰ的角加速度。
第十三章 动能定理
解：取系统为研究对象
T1 0 T2 1 2 J11
(sin 0 sin )
1 6
ml 0 mg
2 2
l 2
(sin 0 sin )

第十三章 动能定理
3g l
(sin 0 sin )
将方程对时间求导，并注意:
d dt , d dt
A
P

C

解得：

3g 2l
cos
mg
vC
W F dr F vdt
W
M2
F vdt
M1
第十三章 动能定理
c. 几种常见力的功
（1）重力的功
Fx 0 , Fy 0 , Fz mg
x
W12

z2
z1
mgdz mg ( z1 z 2 )
重力作功仅与质点运动始末位置的高度差有关，与运动轨 迹形状无关。
2

2 2
v Rr
2
P
s
A
T2
1 2
( m1 m2
R
(R r)
)v 2
主动力的功： 由动能定理得：
v
R
2
W12 m1 gs
1 2
2
m1g
)v 0 m1 gs 2
2
(m1 m2
(R r)
aA
第十三章 动能定理
m1 g ( R r )
2
2 2 2
m1 ( R r ) m2 ( R )
T1 0 T2 1 2 mvB
2
B
O
1 2
J A AB
2
2 3
mvB
2
A
主动力的功：
A
W12 mg l 2 mg 3 2 l mg 2l 4mgl
B
vA
AB
由动能定理得：
2 3 ml vB 0 4mgl
2 2
vB
vB
6 gl
第十三章 动能定理
C B O D
2
M2 i12
)1
第十三章 动能定理
将上式对时间求导，并注意:
d1 dt 1 , d1 dt 1
Ⅱ
M2 Ⅰ
M1
J2 i12
M2 i12
2
1 ( M 1
M2 i12
)
( J1
)
主动力的功：
W12 M 11 M 2 2 ( M 1
)1
由动能定理得：
O
P W
第十三章 动能定理
解：取系统为研究对象
T1 0 T2 1W 2 g v
2
1 2

J O
2
v R
O

主动力的功： 由动能定理得：
W12 Ws
1W 2 g v
2
1 JO 2 R
2
v 0 Ws
2
将上式对时间求导，并注意
dv dt
a,
ds dt
WR
2
v
s
v W
1 2
( J1
J2 i12
2
)1 0 ( M 1
2
M2 i12
)1
第十三章 动能定理
例 题5
T1 0 T2 1 2
1 6
解：取杆为研究对象
A
P