上海市2021年高考复习数学模拟试卷(一)

时，B 取得
n
7．（5 分）函数 y＝arcsin（1﹣x）+arccos2x 的值域为
．
8．（5 分 ） 设 正 项 数 列 {an}的 前 n 项 和 是 S n， 若 {a n}和 { S 푛}都 是 等 差 数 列 ， 且 公 差 相 等 ， 则 a 1+d
＝
．
{ 9．（5 分）已知函数 f（x） =
휋 7．（5 分）（2021•上海模拟）函数 y＝arcsin（1﹣x）+arccos2x 的值域为 [6，휋] ．
【考点】34：函数的值域；4R：反函数；HV：反三角函数．
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】先求出函数的定义域，再判断函数的单调性，根据单调性求最值．
【解答】解：由题意知{ - 1‒≤1 ≤12-푥 ≤x 1≤ 1，
9 푦的最小值是
25
．
【考点】7F：基本不等式及其应用．
【专题】35：转化思想；59：不等式的解法及应用．
【分析】利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵x，y∈R+，且 4x+y＝1，
19
19
则푥 + 푦 = （4x+y）(푥 + 푦) = 13 +
푦푥
+
36푥 푦
≥
13+2
푦 36푥 푥 ⋅ 푦 = 25．
푙푖푚[
푛→∞
푛(푛
+
1)
+
푛(푛
+
2)]
=
1
2
푛푙푖→푚∞（1 + 푛1 + 1 + 푛2）＝1+2
＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查极限的计算，考查学生的计算能力，属于基础题． 4．（5 分）（2021•上海模拟）已知二元一次方程组的增广矩阵是（1m 푚4 푚푚+ 2 ），若该方程组无解，则
实数 m 的值为 ﹣2 ．
9
1 解得：0 ≤ x ≤ 2， 即函数的定义域为[0，12] 所以 arcsin（1﹣x）是减函数，arccos2x 也是减函数 所以当 x＝0 时，函数有最大值，为y = 휋2 + 휋2 = 휋；
当x
=
1 2时，函数有最小值，为y
=
휋6
+
0
=
휋 6，
휋 所以值域为[6，휋]，
휋 故答案为[6，휋]．
2
．在数列{a }中，若当 n≥k 时，a ＝1，当 1≤n＜k 时，a
n
n
n
＞1（k≥2，k∈N*），则首项 a1 可取数值的个数为
（用 k 表示）．
二、选择题
13．（5 分）函数 y＝2x+log2x 的零点在区间（ ）内．
A．(14，13)
B．(13，25)
C．(25，12)
D．(12，23)
（1）求集合 A；
（2）若 B∩∁RA＝B，求实数 a 的取值范围．
|3
18．（14 分）行列式
‒2 1
퐴푐표푠푥 퐴푠푖푛푥
1
퐴
|2
0
（A＞0）按第一列展开得 3푀11 ‒ 2푀21 + 푀31，记函数 f（x）＝
푐표푠푥
M11+M21，且 f（x）的最大值是 4．
（1）求 A；
휋 （2）将函数 y＝f（x）的图象向左平移12个单位，再将所得图象上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍， 纵坐标不变，得到函数 y＝g（x）的图象，求 g（x）在( ‒ 1휋2，1112휋)上的值域．
=
4
푐표푠(훼 ‒ 휋2) +Biblioteka Baidu2푠푖푛(휋
5，则2푡푎푛(휋 + 훼) + 푐표푡(휋2
‒ 훼) + 훼)
=
152 ．
【考点】GO：运用诱导公式化简求值．
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】利用诱导公式化简，再代入即可得出结论．
6
4 【解答】解：∵cosα = 5，
푐표푠(훼 ‒ 휋2) + 2푠푖푛(휋
高考复习
练习 20．（14 分）已知无穷数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足S푛 = 퐴푎푛2 + 퐵푎푛 + 퐶，其中 A、B、C 是常数． （1）若 A＝0，B＝3，C＝﹣2，求数列{an}的通项公式；
1
1
（2）若 A＝1，B = 2，C = 16，且 an＞0，求数列{an}的前 n 项和 Sn；
C．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∈S
D．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∉S
三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 2푥 ‒ 1
17．（14 分）已知集合A = {푥| 푥 + 1 ≤ 1，푥 ∈ 푅}，集合 B＝{x||x﹣a|≤1，x∈R}．
1 +
1
‒
푛
1 +
2）]＝
3
．
【考点】6F：极限及其运算．
【专题】52：导数的概念及应用．
【分析】푛l→i∞m[n2（푛2
‒
푛
1 +
1
‒
푛
1 +
2）]
=
푛2
2푛2
푙푖푚[
푛→∞
푛(푛
+
1)
+
푛(푛
+
2)]，由此可求极限的值．
【解答】解：lim[n
푛→∞
2（
2 푛
‒
푛
1 +
1
‒
푛
1 +
2）]
=
푛2
2푛2
试卷
A．
B．
2
2 1年
C．
D．
16．（5 分）集合 S＝{（x、y、z）|x、y、z∈N*，且 x＜y＜z、y＜z＜x、z＜x＜y 恰有一个成立}，若（x、 y、z）∈S 且（z，w，x）∈S，则下列选项正确的是（ ）
A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∉S
B．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S
14．（5 分）已知 a，b 为实数，命题甲：ab＞b2，命题乙：1＜1＜0，则甲是乙的（ ） 푏푎
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
15．（5 分）点 P 在边长为 1 的正方形 ABCD 的边上运动，M 是 CD 的中点，则当 P 沿 A﹣B﹣C﹣M 运动 时，点 P 经过的路程 x 与△APM 的面积 y 的函数 y＝f（x）的图象的形状大致是图中的（ ）
∴|1m 푚4 |= 0且|
푚+ 푚
2|≠
0，
4
푚
∴m2﹣4＝0 且 4m﹣m（m+2）≠0，
∴m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查二元一次方程组的增广矩阵．考查行列式，解答的关键是二元线性方程组的增广矩 阵的涵义．
5．（5
分）（2021•上海模拟）已知
x，y∈R+，且
1 4x+y＝1，则푥
+
1 19 由 an =- 9n + 9 = 0 得 n＝19，
即 a19＝0，当 n≥20 时，an＜0，
当 n＜19，an＞0，
因此在 a2，a4，a8，a2 ，中，当 n≤4 时，a2푛＞0，
푛
当 n≥5 时，a2푛＜0，
故当 n＝4 时，Bn 取得最大值． 故答案为：4．
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式和前 n 项和公式的计算，要求熟练掌握相应的公式，考查 学生的计算能力．
2021 年上海市高考数学模拟试卷（一）
一、填空题
1．（5 分）幂函数 y＝f（x）的图象经过点(4，14)，则f(14)的值为
2．（5 分）已知 cosα
=
4
푐표푠(훼 ‒ 휋2) + 2푠푖푛(휋
5，则2푡푎푛(휋 + 훼) + 푐표푡(휋2
‒ 훼) + 훼)
=
．
3．（5
2 分）计算：푛l→i∞m[n2（푛
11．（5 分）函数 g（x）（x∈R）的图象如图所示，关于 x 的方程[g（x）]2+m•g（x）+2m+3＝0 有三个不
同的实数解，则 m 的取值范围是
．
1
20
12．（5 分）已知无穷数列{an}具有如下性质：①a1为正整数；②对于任意的正整数 n，当 a n为偶数时，
푎푛
푎푛 + 1
an+1 = 2 ；当 an 为奇数时，an+1 =
19．（14 分）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图：点 A、B、C 分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾 屿，点 C 在点 A 的北偏东 47°方向，点 B 在点 C 的南偏西 36°方向，点 B 在点 A 的南偏东 79°方 向，且 A、B 两点的距离约为 3 海里．
3
（1）求 A、C 两点间的距离；（精确到 0.01）
【考点】OO：二元一次方程组的矩阵形式．
【专题】17：选作题．
【 分 析 】 根 据 二 元 一 次 方 程 组 的 增 广 矩 阵 是 （ 1m
| 푚 + 2|≠ 0，从而可求实数 m 的值．
4푚 푚
푚4 푚푚+ 2
），该方程组无解，可得| m 1
4 |= 0且
푚
7
【解答】解：∵二元一次方程组的增广矩阵是（1m 푚4 푚푚+ 2 ），该方程组无解，
【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用．
【分析】根据题意，设幂函数 f（x）＝xa，将（4，14）代入其解析式可得14 = 4a，则 a＝﹣1，即可得 1
函数 f（x）的解析式，将 x = 4代入，计算可得答案．
‒
푛
1 +
1
‒
푛
1 +
2）]＝
．
4．（5 分 ） 已 知 二 元 一 次 方程 组的 增广 矩 阵是（1m 푚4 푚푚+ 2 ），若该方程组无解，则实数 m 的 值
为
．
5．（5
分）已知
x，y∈R+，且
1 4x+y＝1，则푥
+
9 푦的最小值是
．
6．（5 分）等差数列{an}中，a1＝2，S10＝15，记 Bn＝a2+a4+a8 + ⋯ + 푎2푛，则当 n＝ 最大值．
故答案为：25．
【点评】本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6．（5 分）（2021•上海模拟）等差数列{an}中，a1＝2，S10＝15，记 Bn＝a2+a4+a8 + ⋯ + 푎2푛，则当 n＝
4 时，Bn 取得最大值． 【考点】85：等差数列的前 n 项和．
【点评】该题考查三角函数的反函数值域，属难题，解答该题时要注意三角函数的图象与其反函数的 图象关于 y＝x 对称．
8．（5 分）（2021•上海模拟）设正项数列{an}的前 n 项和是 Sn，若{an}和{ S푛}都是等差数列，且公差相 3
等，则 a1+d＝ 4 ．
∴ 2푡푎푛(휋
+
훼)
+
푐표푡(휋2
‒ 훼) + 훼)
=
푠푖푛훼 + 2푠푖푛훼 2푡푎푛훼 ‒ 푡푎푛훼
=
3cosα
=
12 5．
12 故答案为： 5 ．
【点评】本题考查诱导公式的运用，考查学生的计算能力，正确运用诱导公式是关键．
3．（5
2 分）（2021•上海模拟）计算：푛l→i∞m[n2（푛
‒
푛
푥2 ‒ 3푡푥 (푡 ‒ 13)
+ 푥
18，푥 ≤ ‒3 푥
33，记
，＞
a ＝f（n）（n∈N*），若{a }是递减数列，则实数
n
n
t 的取值范围是
．
10．（5 分）已知 f（x）＝asin2x+bcos2x（a，b 为常数），若对于任意 x∈R 都有 f（x）≥f（152휋），则方程 f
（x）＝0 在区间[0，π]内的解为 ．
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】由条件求出数列的公差，利用等差数列的前 n 项和公式进行计算即可．
8
【解答】解：在等差数列{an}中，a1＝2，S10＝15， 10 × 9
∴S10＝10a1 + 2 푑 = 15，
即 20+45d＝15，45d＝﹣5，
1 ∴d =- 9，
1
1 19
an＝2 - 9（n﹣1） =- 9n + 9 ，
（2）某一时刻，我国一渔船在 A 点处因故障抛锚发出求救信号．一艘 R 国舰艇正从点 C 正东 10 海里 的点 P 处以 18 海里/小时的速度接近渔船，其航线为 P→C→A（直线行进），而我东海某渔政船正位于 点 A 南偏西 60°方向 20 海里的点 Q 处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行 8 海里至点 M 处，再折向点 A 直线航行，航速为 22 海里/小时．渔政船能否先于 R 国舰艇赶到进行救助？说明理 由．
【解答】解：根据题意，设幂函数 f（x）＝xa，
1
1
幂函数
y＝f（x）的图象经过点(4，4)，则有4
=
4 ，则
a
a＝﹣1，
则 f（x）＝x﹣1，
1
1
f(4) = （
1
）﹣ ＝4；
4
故答案为：4．
【点评】本题考查幂函数的性质，关键是求出 f（x）的解析式．
2．（5 分）（2021•上海模拟）已知 cosα
푡 ‒ 2푥
（3）对于（2）中的
g（x），若关于
x
的不等式g(8
+
2푥
+
)
3
≥
1
‒
푙표푔23在
R
上恒成立，求实数
t
的取
值范围．
4
5
2021 年上海市高考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、填空题
1
1
1．（5 分）（2021•上海模拟）幂函数 y＝f（x）的图象经过点(4，4)，则f(4)的值为 4
（3）试探究 A、B、C 满足什么条件时，数列{an}是公比不为﹣1 的等比数列．
21．（14 分）已知函数 f（x）＝log2（x+a）； 1
（1）当 a＝1 时，若0＜f(1 - 2x) - f(x)＜2，求 x 的取值范围；
（2）若定义在 R 上奇函数 g（x）满足 g（x+2）＝﹣g（x），且当 0≤x≤1 时，g（x）＝f（x），求 g （x）在[﹣3，﹣1]上的反函数 h（x）；