第7章动态测试数据处理的基本方法

随机函数用x(t)表示。
每个测量结果xi(t)叫做随机函数的一个现实或一个样本， 如x1(t)，x2(t)，…，xN(t)。而x(t)表示这些随机函数样本 的集合(总体)
表面粗糙度的测量
随机函数
• 自变量为时间t的随机函数，通常叫随机过程(例 如磨加工尺寸是磨削时间的随机函数)。自变量为 空间坐标l的随机函数，通常叫随机场(例如丝杠螺 旋线误差是丝杠长度的随机函数)。随机场和随机 过程的研究方法是一样的。因此以下统称随机过 程或随机函数。 • 所有对自变量为时间t的随机函数计算公式，同 样适用于自变量为空间坐标l或其他参量的随机函 数。
(四)谱密度函数
• 在实际应用中，我们不仅关心作为随机过程的 数据的均值和相关函数，而且往往更关心随机数 据的频率分布情况，也就是要研究随机过程是由 哪些频率成分所组成，不同频率的分量各占多大 比重等。这种分析方法就是所谓频谱分析法，它 在测量误差理论中占有重要地位。 • 对于随机函数，由于它的振幅和相位是随机的， 不能作出确定的频谱图。 • 随机过程的均方值 可用来表示随机函数的强度
瞬态数据
准周期数据以外的非周期数据均为瞬态数据。
产生瞬态数据的物理现象很多。如图所示。
图a为热源消除后物体温度变化及其频谱； 图b为激振力解除后的阻尼振荡系统的自由振动及其频谱； 图c为在t＝c时刻断裂的电缆的应力及其频谱。
瞬态数据的特点
• 与周期数据及准周期数据不同，瞬态数据的特 点是不能用离散频谱表示。 • 瞬态数据的频谱是连续型的且频率范围无限， 这与周期数据及准周期数据有明显区别。 •
方均值
随机过程的二阶原点矩又称方均值
因
故
(7-17)
由此可见，方均值既反映随机过程的中心趋势， 也反映随机过程的分散度。
(三)自相关函数
• 均值和方差是表征随机过程在各个孤立时刻的 统计特性的重要特征量，但不能反映随机过程不 同时刻之间的关系。 • 因此，除均值和方差外，我们还要用另一个特 征量来反映随机过程内不同时刻之间的相关程度， 这特征量叫相关函数或自相关函数。
二、动态测试数据的分类
• 表示物理现象或过程的任何数据，都可以 分为确定性的和随机性的两大类。 • 能够用明确的数学关系式描述的数据称为 确定性数据。 • 不能用明确的数学关系式来表达的数据称 为随机的或非确定性的数据。
动态测试数据的特征
• 动态测试数据的特征可以用数据的幅值随时间 变化的表达式、图形或数据表来表示，这就是数 据的时域描述。 • 时域描述比较简单直观(例如示波器上的波形 图)，但它不能反映数据的频率结构。为此，常对 数据进行频谱分析，研究其频率成分及各频率成 分的强度，这就是数据的频域描述。 • 所谓“域”的不同，是指描述数据的坐标图横 坐标的物理量不同。如时域的横坐标为时间t，频 域的横坐标为频率f或ω。 • 随着研究的目的不同，可采用不同的域描述。
瞬态数据的描述
• 大多数情况下，瞬态数据可通过傅里叶变换，得到其频 域的描述为
（7-7）
x(f)的反变换为
（7-8）
(二)随机性数据
• 与确定性数据不同，随机性数据是不能 用明确的数学表达式来描述。若在一个动 态试验中，不能在合理的试验误差范围内 预计未来时刻的测试结果数据，则可认为 此动态试验数据是随机性数据。随机性数 据只能用概率统计的特征量来描述。
随机过程理论
• 显然，用过去静态测量精度评定方法(如前几章 所述)是不能正确评定动态测量结果的，而且不能 进一步分析动态测量中的特殊现象(例如测量速度、 频率响应、记录失真等)。 • 因此，有必要进一步介绍动态测量及误差计算 的理论基础——随机过程理论。
用轮廓仪测量磨削表面粗糙度的记录曲线
用轮廓仪测量某磨削表面粗糙度的记录曲线中的任一 点的表面轮廓高度是一个随机变量，而沿任一方向的轮 廓曲线是一个随机函数。因而连续测量表面粗糙度可以 看作是一个随机过程。
随机函数的方差和标准差也是一个非随机的时间函数，它 确定了随机函数所有现实相对于均值的分散程度。 在t＝t1时刻，随机函数的方差和标准差计算类似于第二章随 机误差的方差和标准差计算方法。
(7-14)
(7-15)
式(7—14)给出的随机函数方差，实质上是x(t)的二阶中心矩， 而二阶原点矩
(7-16)
动，其函数形式如下：
（7-2）
时域
频域
复杂周期数据
复杂周期数据是由不同频率的正弦周期数据叠加而成的， 其频率比为有理数，其图形是由基波的整数倍波形叠加而成 的。 若基波频率为f1，各组成项的频率为nfl，n＝l，2，…，则 复杂周期数据可以展开为博里叶级数:
（7-3）
式中，
式(7—3)还可以写成如下形式：
•
随机数据的分类
• 根据随机数据的统计特征量是否随时间 变化，可把随机数据分为平稳过程和非平 稳过程两大类。 • 平稳随机过程又可进一步分为各态历经的 和非各态历经的。
随机数据的分类
第源自文库节 随机过程及其特征
• 重复测量一个不变的物理量，由于被测量、 测量仪器或测量条件的随机因素，造成所 测得一系列测量结果包含随机误差(偶然误 差)，其中每次测量结果都是取得一个随机 的、但是唯一的测量值，因而，测量结果 是一个随机变量。
（7-4） 式中，
可见，复杂周期数据是由一个静态分量A0和无限多 个谐振分量(振幅为An，相位为θn)组成，谐振分量的频 率都是f1的整倍数。
复杂周期数据的图形描述
由图可见，即使x(t)可能包含无限多个频率分量，但频 谱仍然是离散的。周期性方波、三角波及锯齿波都是复杂 周期性波形的例子。 在几何量测量中，不圆度误差数据通常也是复杂周期数 据．它是由偏心量、椭圆度及各种棱圆度等谐波分量叠加 而成的。
2．非周期数据
• 凡能用明确的数学关系式描述的，但又 不是周期性的数据，均称为非周期数据。 它包括准周期数据和瞬态数据。
•
准周期数据
• 准周期数据是由彼此的频率比不全为有理数的两个以上 正弦数据叠加而成的数据。 • 例如
x1(t)为周期性数据。 1/3，1/7，3/7是有理数。 X2(t)为准周期性数据。
对随机函数的理解
• • • • 实际上，含义1、2、3的本质是一样的，只是对随机过 程的描述方式不同。 含义1是从总体集合意义上讲的。 含义2是从一个时间历程(一个现实)上描述。一个现实是 表示一次实验给定的结果．这时，随机函数表现为一个非 随机的确定性函数。 含义3则是从一个固定的t值上描述，由图7—12截取各 个现实，得一组xl(t1)，x2(t1)，…，xN(t1)值，这是一组 随机变量，同样反映随机过程x(t)的特征。 由此可见，随机函数兼有随机变量与函数的特点。在一般 实际测量中，多采用含义2描述随机过程，而在理论分析 中，多采用含义3进行研究。
两个随机函数的均值(数学期望)和方差几乎一样，但 x(t)(图a)的特点是变化缓慢，规律性较明显，即x1(t)在不同t 时刻的函数值之间有较明显的联系．相关性较强。
而x2(t)(图b)的特点是变化剧烈，即x2(t)在不同t时刻的函数 值之间的联系不明显，而且随首两时刻间隔增大，它的联系 迅速减少,相关性变弱。
自相关函数
自相关函数是一个二元的非随机函数，这个函数在数学 上可用相关矩来定义。
(7-18)
在实际应用中，自相关函数还有一种更常用的表示 式．称为标准自相关函数，其定义是
(7-20)
自相关函数具有以下性质：
• ①当t’＝t相关函数等于随机函数的方差。 • 由于方差可以由自相关函数表示，故随机函数的基本特征 量仅为均值与自相关函数。 • ②自相关函数是对称的。 • ③在随机函数上加上一个非随机函数时，它的均值(数学 期望)也要加上同样的非随机函数，但它的自相关函数不 变。 • 所谓非随机函数可以是一个固定的数，也可以是t的函 数。 • ④在随机函数上乘以非随机因子f(t)时，它的均值也应 乘上同一因子，而它的自相关函数应乘上f(t)f(t’)。 • 特别是当f(t)＝常数C时，它的自相关函数应乘上c2。
1/ 50
3/ 50
是无理数
准周期数据的表达式
（7-5）
式中的任一频率成分fn与另一频率成分fm之比 在工程实践中，当两个或 准周期数据的频域描述如图所示。 几个不相关的周期性物理现 象混合作用时，常会产生准 周期数据。例如几个电动机 不同步振动造成的机床或仪 表的振动，其动态测试结果 即为准周期数据。 fn／fm不全为有理数。
(一)概率密度函数
概率密度函数是描述随机数据落在给定区间内的概率。
概率密度函数
(7-10)
(7-11) (7-12)
(二)均值、方差和方均值
对于自变量t的每一个给定值，mx(t)等于随机函数x(t) 在该t值时的所有数值的平均值(数学期望)，即
(7-13)
随机过程的均值是一个非随机的平均函数，它确定了 随机函数x(t)的中心趋势，随机过程的各个现实(样本)都 围绕它变动，而变动的分散程度则可用方差成标准差来 评定。
二、随机过程的基本概念
• 在动态测量中，对某一个不断变化着的量进行 测量，每一个测量结果是一个确定的随时间或空 间变化的函数(例如一条记录曲线)，对于测量的 时间间隔内的每一瞬时，该函数都有一个确定的 数值。但由于随机误差的存在，使得重复多次测 量，会得到不完全相同的函数结果(例如一组记录 曲线)。这种函数，对于自变量(时间或空间)的每 一个给定值，它是一个随机变量，我们称这种函 数为随机函数。
•
三、随机过程的特征量
• 随机变量通常用它的概率分布函数、算 术平均值和标准差作为特征量来表示。 • 同样，随机过程也有它的特征量，这些 特征量不象随机变量的特征量那样表现为 一个确定的数，而是表现为一个函数。
随机过程的特征量
• • • • • 常用四种统计函数来表示，即： ①概率密度函数； ②均值、方差和方均值； ③自相关函数； ④谱密度函数。
一、研究随机过程理论的实际意义
• 随着自动化生产和科学研究的发展，越来越多地需要测 量连续变化的过程，这时被测量可能是随时间而连续变化， 或者是随空间而连续变化。因此测量过程和测量结果也是 随时间而连续变化的。同样，由于检测对象、测量仪器和 测量条件的随机误差，因而被测过程和测量结果都是一个 随机的但是连续变化的函数。它有别于上述随机变量，我 们称之为随机函数。 • 对随机函数的分析计算，本质上类似于前几章的随机误 差，但较复杂一些。 • 随机过程理论就是研究随机性表现为一个过程的随机现 象的学科，通常它是研究动态测量过程及其测量结果的理 论根据。
对随机函数的理解
• 随机过程或随机函数x(t)包含如下的内容： • ①把x(t)看作是样本集合时，x(t)意味着一组时间 函数x1(t)，x2(t)．…，xN(t)的集合； • ②把x(t)看作是一个样本(或一个现实)时，x(t)意 味着一个具体的时间函数. • 例如x(t)＝x3(t)； • ③若t＝tl时，则x(t)意味着一组随机变量x1(t1)， x2(t1)，…，xN(t1)的集合。
第七章 动态测试数据处理 基本方法
前几章介绍了静态测量一个物理量时所得测 量结果的随机特性及其数据处理方法。 本章将进一步讨论被测物理量或所得的测量 结果是随时间不断变化的动态测试结果的特性 及其数据处理方法。
一、动态测试
按照被测物理量是否随时间而变化，测试技术 可分为静态测试和动态测试两大类。 静态测试的被测量是静止不变的，仪器的输入量 为常量。 动态测试的被测量是随时间或空间而变化的，仪 器的输入量及测试结果(数据或信号)也是随时间而 变化的。
动态测量活动日益增加
• 几何量机械量测量，过去以静态测量为主。今 天，随着生产过程的自动化，几何量机械量的动 态测量日益增加。例如机械量测量中的振动测量、 动载和动态应变测量、速度加速度连续测量，以 及流量、压力、温度等物理量的连续测量等。几 何量测量中的线纹尺和圆分度的动态测量、丝杆 或齿轮参数的动态测量、磨削加工中尺寸的测量 和控制、圆度测量、表面粗糙度测量等。
(一)确定性数据
• 确定性数据可以根据它的时间历程记录是 否有规律地重复出现，或根据它是否能展 开为博里叶级数，而划分为周期数据和非 周期数据两类。 • 周期数据又可分为正弦周期数据和复杂 周期数据。 • 非周期数据又可分为准周期数据和瞬态数 据。
确定性数据的分类
1．周期数据
• 周期数据是经过一定时间间隔重复出现的数据。 • 最常见的是正弦周期数据，其幅度随时间作正弦周期波