阻尼振动和受迫振动

x(t ) C1e( 2 02 )t C2e( 2 02 )t
两项都衰减，不是周期振动。
其中C1，C2是积分 常数，由初始条件
x(t)
来决定，这种情况 称为过阻尼。
t
无振动发生。
过阻尼
12
（3）如果
2


2 0
方程的解：
x(t) (C1 C2t)e t
18
讨论：
p

0
,
Ap

H /m p2

h p2
较小
p 0 ,
Ap

H /m

2 0

H k
p 0,
H /m
Ap 2 0 若 很小，Ap 很大。
3-2 共振
求振幅 Ap 得出
h
对频率的极值，
(02 p2 )2 4 2 p2
振幅有极大值：
Ar
2
h
02 2

0 )
Ep

1 2
kx2

1 2
kA2
cos2 (0t

0 );
V
E 1 源自文库 V 2 1 kx2 1 kA2
2
2
2
o
x
简谐振动在相空间中的轨迹为椭圆。
V 2 x2
a2 b2 1
6
§2 谐振子的阻尼振动
2-1 无阻尼的自由振动T 2 2 m
2-2 谐振子的阻尼振动
d2 dt
x
2

2
dx dt

02
x

0
为二阶常系数齐次微分方程。
x c e c e 通解
( 2 02 )t 1
( 2 02 )t 2
（1）阻尼较小时，
2


2 0
为虚数，令

02 2
x e t (c1e it c2e it )
x(t ) Aet cos(t 0 )
arctg A1 sin1 A2 sin 2 A1 cos 1 A2 cos 2
可见：
2 1 2k
A A1 A2
合振幅最大。
k 0,1,2,
A A2 A1
26

•• 几何方法 Y
A

A2
A2 sin 2

2
A1
1
A1 sin1
CAIUPS
在阻尼振动中，要维持振动，外界需加一个周期的强迫
力------策动力。这种在周期性处力作用下进行的振动叫
受迫振动。阻尼力： fr v x
设强迫力 f H cos pt
d2x dt 2

2
dx dt
02 x

h cos
pt
令
2 0

k ;
m

；h
x(t)
C1 , C2 是由初始条件 决定的积分常数。
t
临界阻尼

2


2 0
称之为临界阻尼情况。它是振动系统
刚刚不能作准周期振动，而很快回到
平衡位置的情况，应用在天平调衡中。
是从有周期性因子 02到无 2周期性的临界点。
13
x
欠阻尼 过阻尼
临界阻尼
o
t
三种阻尼振动比较
14
§3 谐振子的受迫振动 共振 3-1 谐振子的受迫振动
频率响应曲线
p p p
定义振动系统的品质因数： Q 0 2
22
Ap Ap / 2
频率响应曲线
p p p
定义振动系统的品质因数： Q 0 2
Q值的意义，不仅表征了受迫阻尼振动系统 频率选择性能的好坏，而且系统 Q 值越低，
则系统的阻尼损耗越大，能量衰减越快。
23
本讲提纲 §4 简谐振动的合成 4.1 同方向、同频率的简谐振动的合成 4.2 同方向、不同频率的简谐振动的合成 4.3 垂直方向、同频率简谐振动的合成 4.4 垂直方向、不同频率简谐振动的合成
A A1
当 A1 A2时，A 0称为干涉相消。
讨论三： 一般情况：
2 1 k


A2
A
A1
| A1 A2 | A | A1 A2 |
29
4.2 同方向、不同频率的简谐振动的合成
为了简单起见，先讨论两个振幅相同， 初相位也相同，在同方向上以不同频 率振动的合成。其振动表达式分别为：
10
由初始条件决定A和初相位 0,设
t 0, x (0) x0 ,
即有：x0 Acos 0
dx dt t0 V0
V0 Asin0 A cos0
x(t)
A
x02

(V0
x0 2
)2
,
t
tg0


V0 x0 x0
欠阻尼
11
（2）阻尼较大时， 2 02 方程的解：
0
K
实际振动过程存在着阻力，这种由弹性恢复力和 阻力共同作用的振动叫阻尼振动振动系统受介质 的粘滞阻力与速度大小成正比，与其方向相反。
•当物体低速运动时，阻力 •当物体高速运动时，阻力
f cv
f cv2
子弹运动、卫星发射过程，受到的阻力与速度平方正比 反向。由于振动系统要不断克服阻力作功，所以要逐渐 损耗振动的能量使振幅逐渐变小直至振动停止。
•第一项为阻尼振动项，当时间较长时衰减为0。 •第二项为策动力产生的周期振动。
开始时运动比较复杂，当第一项衰减为 0 后， 只作 受迫振动，振动频率为策动力的频率。
16
经过足够长的时间，称为定态解：
x(t) Ap cos( pt 0 )
该等幅振动的角频率就是强迫力的频率；
稳定态时的振幅及与强迫力的相位差分别为：
h
Ap
(
2 0

p2
)2

4
2
p2
0

arctg
2p

2 0

p2
17
在受迫振动中，振子因外力对它作功而获得能量， 同时又因有阻尼而损耗能量。受迫振动开始时，前者 大于后者，从而振动逐渐加强，随着振动加强，损耗 能量增多，直到获得能量恰好补偿损耗的能量时，达 到稳定状态。
强调：无阻尼的线性振子的振动与受迫稳态振动，从 运动学角度看，都是简谐振动。但从动力学角度看二 者有本质的区别：线性振子是保守的孤立系统，系统 机械能守恒，有其自身的固有频率；而受迫稳态振动 是开放的耗散系统，它不断从策动力源吸收能量，同 时又由于阻尼而耗散能量，它只按外力的频率振动。 并且受迫振动的振幅、初位相只由振动系统和外力性 质决定，而与初始条件无关。
A1 cos1 A2 cos2
X
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
arctg A1 sin1 A2 sin 2 A1 cos 1 A2 cos 2
27
上面得到：
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) arctg A1 sin 1 A2 sin 2
A1 cos1 A2 cos2
讨论一：
2 1 2k k 0,1,2,
A A1 A2 合振幅最大。

当 A1 A2 称为干涉相长。
A 2A1
A A2 A1
28
讨论二：

2 1 (2k 1)
k 0,1,2, A2
A | A1 A2 |
7
以弹簧一维振动为例
F F弹 fr ma
dx fr v dt
v F弹 , f
x ox
弹性力或准弹性力和上述阻力作用下的动力学方程：
mx kxx 阻尼振动微分方程
令：
02

k m
;
2m
mx kx x
称 0为振动系统的固有角频率，称为阻尼系数 8
24
§4 简谐振动的合成 4.1 同方向、同频率的简谐振动的合成
结论：
•• 代数方法：设两个振动具有相同频率， 同一直线上运动，有不同的振幅和初相位
x1(t ) A1 cos(t 1) x2 (t ) A2 cos(t 2 )
的仍 简然 谐是
x(t) x1(t) x2 (t)
当 0 弱阻尼时
共振发生在固有频率处，称为尖锐共振。
pr 0 , Ar , 0r 2
20
受迫振动相位落后于强迫力相位 2，即振动速度 与强迫力同相位，即外力始终对系统作正功，对 速度的增大有最大的效率。这正是振动振幅急剧 增大的原因。
但是，随着振幅的增大，阻力的功率也不 断增大，最后与强迫力的功率相抵，从而 使振幅保持恒定。从能量观点看在共振时， 这能量转变为共振质点的能量，也叫共振 吸收。
A
弹性力是保守力总机械能守恒， 即总能量不随时间变化。
3
求出动能的时间平均值:
Ek

1 T
T 0
1 2
k A2
sin
2
(0t

0
)dt
kA2 2 0 sin2 x dx 1kA2
2T0 0
4
求出势能的时间平均值:
1
EP T
T 0
1 2
k A2
cos2 (0t
振同 动频
( A1 cos1 A2 cos2 ) cost。 率
( A1 sin 1 A2 sin 2 ) sin t
合振幅 Acos cost Asin sint
Acos(t )
25
式中：
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
共振的振幅。
pr 02 2 2 共振的角频率。
19
pr 02 2 2 共振的角频率。
代入
0

2p
arctg

2 0

p2

共振时的初相位 0r arctg
02 2
当强迫力的频率为某一值时，稳定受迫振动的 位移振幅出现最大值的现象，叫做位移共振，
简称共振（resonance)。
0 )dt
kA2

2 0 cos2 x dx 1kA2
2T0 0
4
4
求出势能的时间平均值:
1
Ep T
T 0
1 2
k A2
cos2 (0t
0 )dt
kA2 2 0 cos2 x dx 1kA2
2T0 0
4
结论：
* 即弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且 等于总机械能的一半
0)
• 简谐振动的势能：
f弹性力 kx
dEp dx
Ep

1 2
kx2

1 2
kA2
c os2 (0t
0 );
2
• 简谐振动的总能量：
E Ek Ep

1 2
kA2[sin2 (0t
0
)

cos2 (0t
0 )]

1 2
kA2
E 1 kA2
Ek
Ep
2
A o
9
x Ae t cos(t )
振幅项 Aet 随时间周期性衰减。 x
•周期因子 cos(t )
Ae t
振动周期
T 2
o
02 2
t
2 T
02 2
无阻尼时
2
T0 0 T T0 有阻尼时，周期慢长。
阻力使周期增大 这种情况称为欠阻尼
* 任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比
* 振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还 反映了振动系统总能量的大小及振动的强度。
这些结论同样适用于任何简谐振动。
5
1.6 相图
坐标和速度组成的坐标系，称为相空间。
在相空间中，用每一点表示运动状态，可得出相图。
Ek
1 2
mV2

1 2
k 2 A2
sin2 (0t
陆果一书讨论阻尼弹簧振子的相图。p168
21
通常称 Ap与p的关系曲线为频率响应曲线。
当 Ap max(Ap ) / 2 时，即相对振幅为 0.707 (即相对强度为1/2) 处曲线宽度，定义为共振 峰的宽度 或共振带宽。可证明在弱阻尼的情
况下，共振带宽为： p p 2
Ap
Ap / 2
x1(t ) Acos(1t )
x2 (t ) Acos(2t )
http://222.30.32.13/jpkc/index.aspx
1
1.5 简谐振动的能量 • 简谐振动的动能：
km X
ox
x(t) Acos(0t 0 )
以水平的弹簧振子为例
0 k / m
Ek
1 2
mV2

1 2
m A202
sin2 (0t

0 )

1 2
k A2
sin 2 (0t
1.5 简谐振动的能量 §2 谐振子的阻尼振动
• 无阻尼的自由振动
• 谐振子的阻尼振动
§3 谐振子的受迫振动 共振 • 谐振子的受迫振动 • 共振
§4 简谐振动的合成 4.1 同方向、同频率的简谐振动的合成 4.2 同方向、不同频率的简谐振动的合成 4.3 垂直方向、同频率简谐振动的合成 4.4 垂直方向、不同频率简谐振动的合成
2m

H m
是典型的常系数、二阶、线性、非齐次微分方程。
由微分方程理论： 非齐次微分方程的通解=
齐次微分方程的解+非齐次的一个特解。
15

2


2 0
，则其通解为：
x(t) Aet
cos(

2 0
2 t 0 ) Ap
cos(pt 0 )
受迫振动可以看成是两个振动合成的。