随机过程的统计特性和平稳随机过程
通信原理随机过程
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通信原理
2.随机过程的均值及相关函数 （时域） (1) 均值: E X (t) mX (t)
任何随机过程都可以看成是一个零均值随机 过程与一个确定函数的和。 X (t) X (t) mX (t)
(2) 相关函数:自相关函数 E X (t1)X (t2) RX (t1,t2) 互相关函数 E X (t1)Y (t2 ) RXY (t1,t2)
（2）自相关函数
RY (t1,t2 ) E[Y (t)Y (t )]
E[ X (t u)X (t v)h(u)h(v)dvdu]
RX ( u v)h(u)h(v)dvdu RY ( )
(6) 零均值随机过程和确定信号之和的功率谱密度为PX ( f ) Pm( f )
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通返信回原目理录
3.2 平稳随机过程
1.定义 2.各态历经性（遍历性） 3.联合平稳 4.复平稳过程 5.零均值平稳过程通过滤波器 6.平稳序列 7.循环平稳过程
1.定义
（1）严平稳随机过程(狭义平稳)
如果对于任意n和t1, t2 , …,tn以及 有
通信原理
安建伟
北京科技大学通信工程系
第3章随机过程
3.1 随机过程的统计特性 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯过程 3.4 高斯白噪声 3.5 匹配滤波器
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通信原理
引言
为什么研究随机过程？
– 通信中，信号、干扰、噪声等都是随机信号， 具有一定的统计规律性。
– 随机过程是随机信号的数学模型。
研究什么？
T 2T T
时间平均
1T
lim x(t)
x(t )dt
随机过程的概念及分类方法
随机过程的概念及分类方法随机过程的概念及分类方法随机过程是描述随机现象的数学模型。
它可以看作是一个随机函数，它的输出值依赖于时间和样本空间中的随机变量。
随机过程的研究可追溯到19世纪末20世纪初，当时数学家们开始研究大量的样本统计规律。
随机过程在经济学、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
随机过程的分类方法主要有以下几种：1. 马氏性质：马氏性质是指在一个随机过程中，给定过去的状态和未来的状态，当前的状态与过去的状态是独立的。
如果一个随机过程满足马氏性质，那么它被称为马氏过程。
常见的马氏过程有马尔可夫链、泊松过程等。
2. 独立增量：独立增量是指在一个随机过程中，任意两个时间点上的增量是独立的。
如果一个随机过程满足独立增量性质，那么它被称为独立增量过程。
常见的独立增量过程有布朗运动和泊松过程。
3. 平稳性：平稳性是指随机过程的统计特性在时间上是不变的。
如果一个随机过程满足平稳性质，那么它被称为平稳过程。
常见的平稳过程有伊索和无记忆过程。
4. 高斯过程：高斯过程是指随机过程中的任意有限个随机变量满足多维高斯分布。
高斯过程在概率论和统计学中有着重要的应用，常见的高斯过程有布朗运动和高斯白噪声过程。
5. 跳跃过程：跳跃过程是指随机过程中存在不连续的跳跃现象。
跳跃过程在金融学和通信工程中有着重要的应用，常见的跳跃过程有泊松过程和利维过程。
除了以上的分类方法，随机过程还可以按照时间的连续性分为连续时间随机过程和离散时间随机过程。
连续时间随机过程是指随机变量的索引集为连续集合，如实数集；离散时间随机过程是指随机变量的索引集为离散集合，如整数集。
另外，在实际应用中，为了更好地描述随机过程的行为，人们还可以使用数学方法对随机过程进行建模。
常见的建模方法有马尔可夫模型、自回归模型、移动平均模型等。
总结起来，随机过程是描述随机现象的数学模型，可以分为马氏过程、独立增量过程、平稳过程、高斯过程和跳跃过程等。
此外，随机过程还可根据时间的连续性分为连续时间随机过程和离散时间随机过程。
随机过程知识点汇总
随机过程知识点汇总随机过程是指一组随机变量{X(t)}，其中t属于某个集合T，每个随机变量X(t)都与一个时刻t相关联。
２．随机过程的分类随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
离散时间随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如随机游走。
连续时间随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如XXX运动。
３．随机过程的数字特征随机过程的数字特征包括均值函数和自相关函数。
均值函数E[X(t)]描述了随机过程在不同时刻的平均取值。
自相关函数R(t1,t2)描述了随机过程在不同时刻的相关程度。
４．平稳随机过程平稳随机过程是指其均值函数和自相关函数都不随时间变化而变化的随机过程。
弱平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，而不依赖于具体的时间点。
强平稳随机过程的概率分布在时间上是不变的。
５．高斯随机过程高斯随机过程是指其任意有限个随机变量的线性组合都服从正态分布的随机过程。
高斯随机过程的均值函数和自相关函数可以唯一确定该过程。
６．马尔可夫随机过程马尔可夫随机过程是指其在给定当前状态下，未来状态的条件概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关的随机过程。
马尔可夫性质可以用转移概率矩阵描述，并且可以用马尔可夫链来建模。
７．泊松过程泊松过程是指在一个时间段内随机事件发生的次数服从泊松分布的随机过程。
泊松过程的重要性质是独立增量和平稳增量。
８．随机过程的应用随机过程在金融学、信号处理、通信工程、控制理论等领域有广泛的应用。
例如，布朗运动被广泛应用于金融学中的期权定价，马尔可夫链被应用于自然语言处理中的语言模型。
t)|^2]协方差函数BZs,t)E[(ZsmZs))(ZtmZt))]，其中Zs和Zt是Z在时刻s和t的取值。
复随机过程是由实部和虚部构成的随机过程，其均值和方差函数分别由实部和虚部的均值和方差函数计算得到。
协方差函数和相关函数也可以类似地计算得到。
复随机过程在通信系统中有广泛的应用，例如调制解调、信道编解码等。
平稳随机过程及其遍历性
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f X (x1, x2 , t1, t2 ) f X (x1, x2 , )
随机过程X(t)的自相关函数，自协方差函数都是 平稳的。
都与时间无关
RX (t1, t2 ) x1x2 f X (x1, x2;t2 t1)dx1dx2
x1x2
➢ 二阶平稳(n=2) 严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的 时间间隔有关，而与时间起点无关。 n 2, t t1, t2 t1时，二维概率密度：
fX (x1, x2 ,t1,t2 ) f X (x1, x2,t1 t,t2 t)
fX (x1, x2 , 0,t2 t1) f X (x1, x2, )
平稳随机过程及其遍历性
随机过程可分为平稳与非平稳两大类, 严格地说, 所 有信号都就是非平稳得, 但就是, 平稳信号得分析要容 易得多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机过程得 主要物理条件在时间得进程中不改变, 或变化极小, 可 以忽略, 则此信号可以认为就是平稳得、 如接收机得 噪声电压信号, 刚开机时由于元器件上温度得变化, 使 得噪声电压在开始时有一段暂态过程, 经过一段时间 后, 温度变化趋于稳定, 这时得噪声电压信号可以认为 就是平稳得。
或
X (很t) 小m，X 即使X (两t 者 )的 m相X 关程度较强，则 也不会
太大，所以K并X 不( )能准确表示关联程度的大小。为了消除
实际应用中,通过上式来判定过程得平稳性就是很不容易得,因此 在实际中往往不需要所有时间都平稳,只要观测得有限时间平稳 就行了。
3
f X (x1,, xn ,t1 t,,tn t) f X (x1,, xn ,t1,,tn )
(2) 特性 ➢ 一阶平稳(n=1) 严平稳随机过程得一维概率密度函数与时间无关 n 1, t t1 时,对于一维概率密度有: fX (x1, t1 t) f X (x1, t1) f X (x1, 0) f X (x1)
平稳随机过程
平稳随机过程⏹严格平稳随机过程⏹广义平稳随机过程⏹平稳随机过程自相关函数性质⏹各态历经过程1. 严格平稳（Strict Sense Stationary, SSS)随机过程定义: 随机过程X (t )的任意N 维统计特性与时间起点无关。
1111(,,,,,)(,,,,,)X N N X N N p x x t t t t p x x t t +∆+∆=如果X (t ) 是严格平稳的,则与t 无关。
(,)()X X p x t p x =即X(t)与X(t+∆t)具有相同的统计特性。
二维概率密度只依赖于τ，与t 1和t 2的具体取值无关。
12121212121221212(,,,)(,,,)(,,,0)(,,)X X X X p x x t t p x x t t t t p x x t t t t p x x t t =+∆+∆=-∆=-=ττ=-如果X (t )是严格平稳随机过程, 则121212121212(,)(,,,)()X X X R t t x x p x x t t dx dx R t t ∞-∞==ττ=-⎰()()X X Xm t xp x dx m ∞-∞==⎰222()()()XX X Xt x m p x dx ∞-∞σ=-=σ⎰100200300400500-4-3-2-101234Stationay Gaussian Noise0100200300400500-4-3-2-101234Non-stationay Gaussian Noise可以证明：独立同分布(IID)的随机序列是严格平稳的。
IID: Independent and Identical Distribution即对于任意的n ，X [n ]具有相同的一维概率密度，且对任意n 1和n 2(n 1≠n 2 ), X [n 1]和X [n 2]相互独立。
121111(,,...,,,...,)(,)(,)()NX N N X i i i NX i i i NX i i p x x x n n n n p x n n p x n p x ===+∆+∆=+∆==∏∏∏利用同分布利用独立性与n 无关例1：随机幅度信号0()cos X t Y t=ω0ω是常数~(0,1)Y N 判断X (t )是否严平稳。
随机过程例题和知识点总结
随机过程例题和知识点总结随机过程是研究随机现象随时间演变的数学学科，在通信、金融、物理等众多领域都有广泛应用。
下面我们通过一些例题来深入理解随机过程的相关知识点。
一、随机过程的基本概念随机过程可以看作是一族随机变量的集合，其中每个随机变量都对应着某个特定的时刻。
例如，考虑一个在时间段0, T内的股票价格变化过程，对于每个时刻 t∈0, T，都有一个对应的随机变量 X(t)表示股票的价格。
二、常见的随机过程类型1、泊松过程泊松过程常用于描述在一定时间内随机事件发生的次数。
例如，某电话交换台在单位时间内接到的呼叫次数就可以用泊松过程来建模。
例题：假设某电话交换台在上午 9 点到 10 点之间接到的呼叫次数是一个泊松过程，平均每分钟接到 2 次呼叫。
求在 9 点 10 分到 9 点 20 分这 10 分钟内接到至少 5 次呼叫的概率。
解：设 X(t) 表示在时间段 0, t 内接到的呼叫次数，且 X(t) 是一个强度为λ ＝ 2 的泊松过程。
10 分钟内接到的呼叫次数 X(10) 服从参数为λt ＝ 2×10 ＝ 20 的泊松分布。
P(X(10) ≥ 5) ＝ 1 P(X(10) ＜ 5) ＝ 1 P(X(10) ＝ 0) ＋ P(X(10) ＝ 1) ＋ P(X(10) ＝ 2) ＋ P(X(10) ＝ 3) ＋ P(X(10) ＝ 4)通过泊松分布的概率质量函数可以计算出每个概率值，进而求得最终结果。
2、马尔可夫过程马尔可夫过程具有“无记忆性”，即未来的状态只与当前状态有关，而与过去的状态无关。
例题：一个状态空间为｛0, 1, 2} 的马尔可夫链，其一步转移概率矩阵为 P ＝ 05 03 02; 02 06 02; 01 03 06 ，初始状态为 0，求经过 3 步转移后处于状态 2 的概率。
解：通过计算 P³得到 3 步转移概率矩阵，然后取出第 0 行第 2 列的元素即为所求概率。
2.2 平稳随机过程
2016/9/6 1
第2章
随机过程 f1(x1, t1)=f1(x1) (2.2 - 2)
2016/9/6
16
第2章
随机过程
根据上述关系式及自相关函数R(τ)的性质，不难推演功 率谱密度Pξ(ω)有如下性质： （1） Pξ(ω)≥0，非负性； （2.2 - 20） （2）Pξ (-ω)= Pξ(ω)，偶函数。 （2.2 - 21）
因此， 可定义单边谱密度Pξ(ω)为
2 P ( ) P 1 ( ) 0
(2.2-15)
(2.2-16)
虽然式（2.2 - 15）给出了平稳随机过程ξ(t)的功率谱密度
Pξ(ω)，但我们很难直接用它来计算功率谱。那么，如何方便
地求功率谱Pξ(ω)呢？ 我们知道，确知的非周期功率信号的自 相关函数与其谱密度是一对傅氏变换关系。对于平稳随机过
程，也有类似的关系，即
j P ( ) R ( )e d
当均值为0时，有R(0)=σ2。
2016/9/6
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第2章
随机过程
2.2.4平稳随机过程的功率谱密度
随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。我们
知道，随机过程中的任一实现是一个确定的功率型信号。而对 于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度为
Pf ( ) lim
T
FT ( ) T
平稳随机过程在满足一定条件下有一个有趣而又非常有 用的特性， 称为“各态历经性”。这种平稳随机过程，它的 数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现 的数字特征（均为时间平均）来替代。也就是说，假设x(t)是 平稳随机过程ξ(t)的任意一个实现，它的时间均值和时间相关 函数分别为
【复习笔记】信号分析基础
第二章 信号分析基础1、信号分析中常用函数包括：δ函数、sinc(t)函数、复指数函数e st① δ函数具有“抽样（乘积）、筛选（积分）、卷积”特性，其拉氏变换和傅氏变换的值均为1。
② 卷积特性的表达式为)()()()()(t f d t f t t f =-=*⎰+∞∞-ττδτδ，τ为两信号之间的时差。
③ sinc(t)函数又称为闸门函数、滤波函数或内插函数，分别对应其用处：闸门（或抽样）、低通滤波、采样信号复原时sinc(t)函数叠加构成非采样点波形。
④ 复指数函数e st 中出现的“负频率”是与负指数相关联的，是数学运算的结果，并无确切的物理含义。
2、一个信号不能够在时域或频域都是有限的。
3、信号的时域统计分析：均值x μ、均方值ψ2x 、方差σ2x 。
三者具有如下关系：2x2x 2x μσψ+= 式中，ψ2x （又称平均功率，平均能量的一种表达）表达了信号的强度； σ2x 描述了信号的波动量； μ2x 描述了信号的静态量。
4、各态历经过程：此过程中的任一个样本函数x(t)都经历了过程的各种状态，从它的一个样本函数x(t)中可以提取到整个过程统计特征的信息。
5、相关函数的性质：① 自相关函数R x (τ)是τ的偶函数，满足：)()(ττ-=x x R R 。
② 互相关函数R xy (τ)是τ的非奇非偶函数，满足：)()(ττ-=yx xy R R 。
③ 当τ=0时，自相关函数具有最大值。
对于功率信号，若均值μx =0，则在τ=0点处，有ψ2x =σ2x =R x (τ)。
④ 周期信号的R x (τ)仍然是与原信号同频率的周期信号，但不具有原信号的相位信息。
⑤ 两周期信号（同频）的R xy (τ)仍然是与原信号同频率的周期信号，但保留了原信号的相位信息。
⑥ 两个不同频的周期信号互不相关，其互相关函数R xy (τ)=0。
⑦ 随机信号的R x (τ)将随|τ|值增大而很快趋于0。
有限带宽白噪声信号的R x (τ)是一个sinc(τ)型函数，即可说明。
随机过程关于平稳过程中的各态历经性的综述
关于平稳过程中的各态历经性的综述首先要介绍一下什么就是平稳过程,平稳过程就是一类统计特性不随时间推移而变化的过程。
在实际中,有相当多的随机过程,不仅它现在的状态,而且它过去的状态,都对未来状态的发生有着很强的影响。
有这样重要的一类随机过程,即所谓平稳随机过程,它的特点就是:过程的统计特性不随时间的推移而变化。
严格地说,如果对于任意的ｎ(=１,2…),12,,t t t T ∈n …,与任意实数h,当12,,n t h t h t h T +++∈…,时,n 维随机变量(X(1t ),X(2t ),…,X(t n ))与 (Ｘ(1t h +),Ｘ(2t h +),…,Ｘ(n t h +))具有相同的分布函数,则称随机过程{}X ∈（t ）,t T 具有平稳性,并同时称此过程为平稳随机过程,或简称平稳过程。
在实际工作中,确定随机过程的均值函数与相关函数就是很重要的。
而要确定随机过程的数字特征一般来说需要知道过程的一﹑二维分布,这在实际问题中往往不易办到,因为这时要求对一个过程进行大量重复的实验,以便得到很多的样本函数。
但就是由于平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化,就会提出这样一个问题:能否从一个时间范围内观察到的样本函数或一个样本函数在某些时刻的取值来提取过程的数字特征呢?所谓各态历经,就是指可以从过程的一个样本函数中获得它的各种统计特性;具有这一特性的随机过程称为具有各态历经性的随机过程,只要有一个样本函数就可以表示出它的数字特征。
定义 设X(t)就是均方连续平稳随机过程,如果它沿整个时间上的平均值即时间平均值〈Ｘ(t)〉存在,即〈Ｘ(t)〉＝1lim ()2T TT X t dt T -→∞⎰ 存在,而且〈X(ｔ)〉＝E{Ｘ(ｔ)}＝X μ依概率１相等。
即〈X(ｔ)〉依概率１等于X μ＝ E ｛Ｘ(t)｝, X μ代表随机过程的集平均(或称统计平均),则称该过程的均值具有各态历经性。
定义 设X(t)就是一均方连续平稳随机过程,且对于固定的τ,()Xt X t τ（+）也就是连续平稳随机过程,〈()X t X t τ（+）〉 代表()Xt X t τ（+）沿整个时间轴的平均值,即()X t X t τ（+）=1lim (+)()2TT T X t X t dt T τ-→∞⎰ 若〈()Xt X t τ（+）〉存在,称〈()X t X t τ（+）〉为Ｘ(τ)的时间相关函数。
平稳各态遍历随机过程的概念
平稳各态遍历随机过程的概念在概率论和数理统计中，平稳各态遍历随机过程是一种重要的概念，它由平稳性和各态遍历性两个性质共同定义。
这种随机过程在许多实际应用领域，如物理学、经济学、生物学等，都有广泛的出现。
本文将详细介绍平稳各态遍历随机过程的概念，包括平稳性、各态遍历性、随机过程和遍历性等方面。
1. 平稳性平稳性是指随机过程的统计特性不随时间的推移而改变。
换句话说，平稳随机过程在任何时间点的概率分布与时间无关。
例如，在金融市场中，如果一个股票价格的时间序列是平稳的，那么无论何时观察该股票价格，其均值和方差等统计特性都保持不变。
2. 各态遍历性各态遍历性是指随机过程在长时间内能够充分地展现出所有可能的状态。
具体来说，如果一个随机过程是各态遍历的，那么对于任何给定的时间间隔，在间隔内的任何时刻观察到的样本点都具有相同的概率分布。
例如，在气象学中，如果一个气候模型的时间序列是各态遍历的，那么可以通过观察该时间序列来预测未来任何时间点的气候状态。
3. 随机过程随机过程是指一系列随时间变化的随机变量。
例如，在金融市场中，股票价格可以看作是一个随机过程，它随时间变化，并且每个时刻的股票价格都是一个随机变量。
随机过程可以用来描述许多自然现象和人为现象，如天气变化、交通流量、人口增长等。
4. 遍历性遍历性是指一个随机过程能够覆盖所有可能的状态。
具体来说，如果一个随机过程是遍历的，那么在足够长的时间内，该过程可以展现出所有可能的状态。
例如，在密码学中，一个随机密钥生成器是遍历的，意味着在足够多的次数之后，该生成器能够产生所有可能的密钥。
总的来说，平稳各态遍历随机过程是指具有平稳性和各态遍历性的随机过程。
这种随机过程在许多领域都有广泛的应用，如预测气候变化、金融市场分析、密码学等。
通过对其概念的理解和研究，可以更好地应用这些方法来处理和分析实际问题。
随机过程分析
随机过程分析摘要随着科学的发展，数学在我们日常的通信体系中有着越来越重的地位，因为在科学研究中，只有借助于数学才能精确地描述一个现象的不同量之间的关系,从最简单的加减乘除，到复杂的建模思想等等。
其中，随机过程作为数学的一个重要分支，更是在整个通信过程中发挥着不可小觑的作用。
如何全面的对随机信号进行系统和理论的分析是现在通信的关键，也是今后通信业能否取得巨大进步的关键。
关键字通信系统随机过程噪声通信中很多需要进行分析的信号都是随机信号。
随机变量、随机过程是随机分析的两个基本概念。
实际上很多通信中需要处理或者需要分析的信号都可以看成是一个随机变量，利用在系统中每次需要传送的信源数据流，就可以看成是一个随机变量。
例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。
也就是说把随某个参量而变化的随机变量统称为随机函数；把以时间t为参变量的随机函数称为随机过程。
随机过程包括随机信号和随进噪声。
如果信号的某个或某几个参数不能预知或不能完全预知，这种信号就称为随机信号；在通信系统中不能预测的噪声就称为随机噪声。
下面对随机过程进行分析。
一、随机过程的统计特性1、数学期望:表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心，即均值2、方差:表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。
即均方值与均值平方之差。
3、自协方差函数和相关函数:衡量随机过程任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性时，常用协方差函数和相关函数来表示。
（1）自协方差函数定义式中t1与t2是任意的两个时刻；a(t1)与a(t2)为在t1及t2得到的数学期望；用途：用协方差来判断同一随机过程的两个变量是否相关。
（2）自相关函数用途：a 用来判断广义平稳；b 用来求解随机过程的功率谱密度及平均功率。
二、平稳随机过程1、定义（广义与狭义）：则称X(t)是平稳随机过程。
该平稳称为严格平稳，狭义平稳或严平稳。
广义平稳概念：若一个随机过程的数学期望及方差与时间无关，而其相关函数仅与τ有关，则称这个随机过程为广义平稳随机过程。
概率论第三章 平稳随机过程
严平稳过程只要均方值有界， 就是广义平稳的， 但反之则不一定。
当我们同时考虑两个平稳过程X(t)和Y(t)时，若它 们的互相关函数仅是单变量τ 的函数，即
RX Y (t1, t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )] RXY ( ), t2 t1,
则称X(t)和Y(t)宽平稳相依，或称这两个随机过程 是联合宽平稳的。
例3.1 设随机过程 X (t) a cos(0 t )
式中a，ω0为常数，Φ是在区间(0，2π)上均匀分 布的随机变量, 这种信号通常称为随相正弦波。求 证X(t)是宽平稳的。
二、各态历经（遍历）随机过程
在上面的讨论中，每当谈到随机过程时，就意味 着所涉及的是大量的样本函数的集合。要得到随机过 程的统计特性，就需要观察大量的样本函数。
ln
p( X
/
mX
)
K
N 1
exp
i0
(xi
mX
2
2 X
)2
均值估计
让对数似然函数取最大值
ln p( X / mX ) 0 m X
得到均值的最大似然估值
mˆ X
1 N
N 1
xi
i0
此式说明，可用N个观测值的算术平均作为均值mX的估值。
估计量的性质（工程）
1．有偏估计与无偏估计
由于估计量依赖于观测结果，因此估计量本身是 随机变量，于是它也存在其均值和方差。
定义1：取对应于ρX(τ)=0．05的那个时间为相关 时间τ
0
定义2：用图3.6中的矩形(高为ρX(0)=1，底为τ0的
矩形)面积等于阴影面(ρX(τ)积分的一半)来定义
τ0，即
随机过程关于平稳过程中的各态历经性的综述
关于平稳过程中的各态历经性的综述首先要介绍一下什么是平稳过程，平稳过程是一类统计特性不随时间推移而变化的过程。
在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生有着很强的影响。
有这样重要的一类随机过程，即所谓平稳随机过程，它的特点是：过程的统计特性不随时间的推移而变化。
严格地说，如果对于任意的n （=1，2…），12,,t t t T ∈n …,和任意实数h,当12,,n t h t h t h T+++∈…,时，n 维随机变量（X(1t ),X(2t ),…,X(t n )）和 （X （1t h +）,X （2t h +）,…,X （n t h +）） 具有相同的分布函数，则称随机过程{}X ∈（t ）,t T 具有平稳性，并同时称此过程为平稳随机过程，或简称平稳过程。
在实际工作中，确定随机过程的均值函数和相关函数是很重要的。
而要确定随机过程的数字特征一般来说需要知道过程的一﹑二维分布，这在实际问题中往往不易办到，因为这时要求对一个过程进行大量重复的实验，以便得到很多的样本函数。
但是由于平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化，就会提出这样一个问题：能否从一个时间范围内观察到的样本函数或一个样本函数在某些时刻的取值来提取过程的数字特征呢？所谓各态历经，是指可以从过程的一个样本函数中获得它的各种统计特性；具有这一特性的随机过程称为具有各态历经性的随机过程，只要有一个样本函数就可以表示出它的数字特征。
定义 设X （t ）是均方连续平稳随机过程，如果它沿整个时间上的平均值即时间平均值〈X （t ）〉存在，即〈X （t ）〉=1lim()2T TT X t dtT-→∞⎰存在，而且〈X （t ）〉=E ｛X （t ）｝=X μ依概率1相等。
即〈X （t ）〉依概率1等于X μ= E ｛X （t ）｝, X μ代表随机过程的集平均（或称统计平均），则称该过程的均值具有各态历经性。
区分随机过程的“强、弱、平稳”特性及其应用
区分随机过程的“强、弱、平稳”特性及其应用随机过程是随机现象的数学模型，对于不同的随机过程，它们呈现出的特征可能不同，这些特征往往可以帮助我们更好地理解和利用这些随机过程。
其中，“强、弱、平稳”特性是区分随机过程的重要特征之一，本文将对这三种特性的含义和应用进行介绍。
一、强特性强特性也称“样本路径刻面逐点”收敛，是指随机过程的实现轨迹以概率1收敛于某个确定的函数。
因此，强特性能够保证随机过程的实现轨迹具有一定的稳定性，对于计算实现轨迹的统计量，如均值和方差等，有较好的精确度。
强特性的一个重要应用是在风险建模和风险评估中。
比如，对于股票价格的随机过程，强特性可以给我们提供了一个更加准确的预测，减少了金融市场的风险。
二、弱特性弱特性又称“矩收敛”，是指随机过程的统计特性收敛于某个确定的函数。
与强特性不同的是，弱特性只能保证随机过程统计性质的收敛，而不能保证实现轨迹的收敛。
例如，对于一个有限范围内的随机游走过程，其实现轨迹是不收敛的，但是它满足弱特性，因此我们可以通过它的期望和协方差性质等来计算一些统计量。
弱特性的应用，在统计建模中尤其重要，它可以帮助建立统计模型并对数据进行分析和预测，如时间序列分析和金融风险度量等。
三、平稳特性平稳特性也称“平稳性”，是指随机过程的统计特性不随时间而变化。
对于平稳过程，随机过程在时间维度上的统计特性是保持不变的。
平稳性分为宽平稳和严平稳。
其中宽平稳是指均值和协方差在时间平移下不变，严平稳则更为严格，它要求随机过程的所有阶矩在时间平移下都是不变的。
平稳特性是理解随机过程的重要工具。
在实际应用中，平稳特性可以帮助建立更加简洁和准确的模型。
比如，对于广泛的市场分析、自然现象的分析、心电信号处理等方面，平稳特性可以提供简便和直观的方法，更好地理解与描述随机现象。
总结：强、弱和平稳是所涉及的不同随机过程之间的关键特性。
他们在模型构建与验证过程中具有重要的地位。
通过理解这些特性，我们可以更好地理解和应用各种随机过程。
第二章 随机过程
图2-1-1 噪声电压的输出波形
定义1 设随机试验E的样本空间为 ，如果 对于每一个样本 ，总可以依某种规则确定 一时间t的函数 (T是时间t的变化范 围 ) 与之对应。于是，对于所有的 来说， 就得到一族时间t的函数，称此族时间的函数为 随机过程（也称随机信号）X，而族中的每一个 函数称为该随机过程的样本函数。 注：随机过程是样本函数的集合 。
决定随机信号的主 要物理条件不变
3、主要性质 (1)、若 是严平稳随机过程，则它的一维概 率密度与时间无关。 证明 令 ，则一维概率密度函数
得证。
(2)、若 是严平稳随机过程，则它的均值、 均方值和方差都是与时间无关的常数。
证明： 根据题意有 (2.3.2) (2.3.3) (2.3.4)
(2)、若 是严平稳随机过程，则它的均值、 均方值和方差都是与时间无关的常数。
2.2.1、随机过程的概率分布
随机过程 ，在每一固定时刻 都是随机变量。 随机事件：
发生概率：
， 和
，
，
1、一维分布函数 与 和 都有直接的关系，是 和 的 二元函数，记为： (2.2.1) 被称为随机过程的一维分布函数。 2、一维概率密度函数 如果存在二元函数 ，使 (2.2.2) 成立,则称 为随机过程的一维概率密度函 数, 是 和 的二元函数，且满足 (2.2.3)
• 研究随机过程的概率密度函数的统计特性是 很困难的； • 随机过程一、二阶矩函数在一定程度上描述 了随机过程的一些重要特性。 (1) 噪声电压是一平稳过程 ，那么一、二阶 矩函数，就是噪声平均功率的直流分量、交 流分量、总平均功率等参数。 (2) 正态随机过程由数学期望和相关函数详 细描述。
1 定义 若随机过程
自协方差函数反映了随机过程 在两个不同 时刻的状态相对于数学均值之间的相关程 度。
随机过程平稳性遍历性正交性不相关性和独立性
随机过程的遍历性
1 a x(t ) lim T T
T 2
T 2
x(t ) dt
1 T2 R( ) x(t ) x(t ) lim x(t ) x(t )dt T T T 2
如果平稳过程使下式成立
a a R( ) R( )
随机过程
1 2
平稳性 遍历性 正交性、不相关性与独立性 正态随机过程的主要性质
3
4
随机过程的平稳性 ， f ( x, y, z, t ) f ( x, y, z, t )，当 x x x 的特性不变，就称 f ( x, y, z, t ) 关于 x 函数是平稳的。 平稳性：若一个函数 判断方法： 方法一： 若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则 E[ X (t )]与时间t 无关。 方法二：若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0 ， X(t0)具有相同的统计特性。 实际意义：
严格平稳
一定
广义平稳
不一定
当随机过程满足高斯分布时，严平稳和宽平稳是等价的。
随机过程的遍历性
• 实际意义： 随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计 平均，但在实际过程中很难测得大量的样本。因此，我们想在满足一定条件下， 从一次试验中得到一个样本函数来决定平稳过程的数字特征，这就是各态历经 性，又称遍历性。
3.高斯过程有很多与高斯变量类似的统计特征，如：
•
• • • •
高斯过程通过线性系统或高斯过程的线性组合仍为高斯型。
如果高斯过程是广义平稳的，则等价于平稳。 如果高斯过程的时间进程中两个不同时刻的随机变量不相关，则等价于统计独立。 高斯过程的线性积分则为相应的高斯随机变量。 两个高斯分布律的随机变量的卷积是高斯分布律，它的均值和方差是原来两个高斯分 布律的均值和方差的代数和。
随机过程的统计特性和平稳随机过程
随机变量的统计特性
随机过程的概率分布 随机过程的数字特征 •均值 •方差 •相关函数 •协方函数
mX (t ) E{ X (t )} xf X ( x, t )dx
FX ( x, t ) P{X (t ) x}
FX ( x1 , x2 , t1 , t2 ) P{X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 }
2 2 X (t ) E{[ X (t ) mX (t )]2} E{X 2 (t )} mX (t )
RX (t1 , t2 ) E{X (t1 ) X (t2 )}
K X (t1 , t2 ) E{[ X (t1 ) mX (t1 )][X (t2 ) mX (t2 )]}
0
50
100
150
200
伪随机序列
一、随机过程的概率分布
1、一维概率分布
FX ( x, t ) P{X (t ) x}
连续随机过程：
FX ( x, t ) f X ( x, t ) x
FX ( x, n) P{X (n) x}
随机序列：
FX ( x, n) f X ( x, n ) x
RX (t1 , t2 ) 0 ，则称 X (t1 ) 和 X (t 2 ) 是相互正交的。如果
f X ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) f X ( x1 , t1 ) f X ( x2 , t 2 ) ，则称随机过程在
t1
和 t 2 时刻的状态是相互独立的。
离散随机过程数字特征
X ( n)
0
p
0 1 2 3
4 5
n
通信原理复习要求
第1章1 基本概念：（1）模拟通信系统模型，数字通信系统模型，数字通信系统的主要特点（2）信息量，平均信息量（香农熵）（3）模拟与数字通信系统的主要性能指标（有效性：有效频带（带宽B），传码率R B、传信率R b，频带利用率（带宽效率）：ηb（ηB）；可靠性：信噪比SNR（S/N），误码率P e、误信率P b）等。
2 计算：信息量，平均信息量，传码率R B，传信率R b，频带利用率（带宽效率），误码率P e、误信率P b，二进制与多进制系统的主要性能指标的关系（有效性，可靠性）。
3 填空题、简答题。
第3章1 基本概念：（1）随机过程的统计特性：可以用分布特性（概率分布）和数字特征两种方法描述。
分布特性（概率分布）包括概率分布函数和概率密度函数；数字特征包括数学希望、方差和相关函数等。
（2）平稳随机过程（分布特性与时间起点无关），广义平稳随机过程（数学希望和方差与时间起点无关，自相关函数仅与时间间隔τ有关的平稳随机过程）（3）平稳随机过程相关函数的性质（物理意义）：平稳随机过程ξ(t)的功率谱密度Pξ(ω)与其相关函数R(t)构成一对傅里叶变换关系，R(0) = S（平均功率）等等，功率谱密度意义（描述平稳随机过程的频域特性，建立频域与时域关系，积分面积为总功率，系统传输特性对信号和噪声的影响）。
平稳随机过程的各态历经性与意义（时间平均（一个样本）替代统计平均（无穷多个样本）。
）（4）高斯过程（正态随机过程），窄带随机过程（频带宽度B(△f)远小于其中心频率f c的随机过程，即△f《f c，f c》0）的描述（2种：包络-相位和同相-正交表达式）；平稳窄带高斯过程统计特性（包络服从瑞利分布，相位服从均匀分布）。
正弦波+窄带高斯过程统计特性（包络服从广义瑞利分布，小信噪比时，接近于瑞利分布；大信噪比时，接近于高斯分布）。
白噪声（理想的宽带平稳随机过程，其功率谱密度在整个频域内是均匀分布的。
理想白噪声通过带通滤波器后，其输出就是一个窄带过程。
统计学中的随机过程及其应用
统计学中的随机过程及其应用随机过程是应用最广泛的统计学分支之一。
它是一个具有随机性的时间序列过程。
在实际应用中，随机过程被广泛应用于金融、电子通信、医学、气象学、化学、社会学、经济学等领域。
本文将介绍随机过程的基本概念、特性和应用。
一、随机过程的基本概念随机过程是指具有一定随机性的时间序列过程。
其中，时间序列过程指一系列按时间顺序排列的数值序列，例如股票价格随时间变化的数值序列。
而随机性是指数值序列在各个时间点上存在不确定性，例如股票价格在未来的变化是不确定的。
随机过程可以用随机变量来描述。
假设时间轴上的每一时刻都有一个对应的随机变量，则时间序列过程可以表示为。
其中，是样本空间，是可测空间，代表随机变量的集合，代表随机变量定义域的集合。
随机过程通常用概率分布来描述它在所有时刻的随机性质。
这意味着，我们需要了解每个时刻随机变量的概率分布以及它们之间的关系。
具体而言，这些分布可以是离散的或连续的，并且可以遵循不同的总体分布。
二、随机过程的特性随机过程具有多种特性，其中最重要的包括：1. 平稳性平稳性是指随机过程在时间平移下具有相同的统计特性。
具体而言，它限制了随机过程的均值和自相关函数仅仅依赖于时间间隔而不是时间本身。
平稳过程分为弱平稳和严平稳两种，通过均值与自相关函数的存在与否区分。
2. 马尔可夫性马尔可夫性是指在任意时刻，随机过程的未来状态只与当前状态有关，而与过去状态无关。
这意味着我们无需关心随机过程的完整历史，只需要关心当前状态即可预测未来的状态。
3. 噪声噪声是指在随机过程中存在的不确定性来源。
它们通常被建模为随机漂移或随机扰动项，并在建模过程中扮演了重要的作用。
三、随机过程的应用随机过程的应用非常广泛，包括如下几个方面：1. 金融学随机过程常常被用来模拟金融市场中的价格波动。
具体而言，布朗运动、几何布朗运动等随机过程被广泛地应用于期权定价、风险管理等金融问题中。
2. 通信系统随机过程被应用于调制、解调等通信系统中。
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•协方差函数
KX (t1,t2 ) E{[ X (t1) mX (t1)][ X (t2 ) mX (t2 )]}
如果 K X (t1,t2 ) 0，则称 X (t1 )和 X (t2 )是不相关的。如果 RX (t1, t2 ) 0 ，则称 X (t1 ) 和 X (t2 ) 是相互正交的。如果 f X (x1, x2 ,t1,t2 ) f X (x1,t1 ) f X (x2 ,t2 ) ，则称随机过程在 t1 和 t2 时刻的状态是相互独立的。
X
(t)
mX
(t)]2}
E{X 2 (t)} mX2 (t)
•均值与方差的物理意义：
E{X
2
(t )}
2 X
(t )
m
2 X
(t )
表示消耗在单位 电阻上的总的平
均功率。
•相关函数(correlation function)
RX (t1, t2 ) E{X (t1 ) X (t2 )} x1x2 f (x1, x2 , t1, t2 )dx1dx2
离散随机过程数字特征
N
mX (t) xi (t) pi (t) i 1
N
2 X
(t
)
[xi (t) mX (t)]2 pi (t)
i 1
NN
RX (t1,t2 ) E{X (t1) X (t2 )}
xi (t1)x j (t2 ) pij (t1, t2 )
i1 j1
NN
K X (t1,t2 )
[xi (t1) mX (t1)][ x j (t2 ) mX (t2 )] pij (t1, t2 )
i1 j1
和
例3、设随机振幅信号为
X (t) V sin0t 其中 0 为常数，V是标准正态随机变量。
求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。
三、随机过程的特征函数
X (,t) E{e jX (t)}
在实际中还有一类过程，它是按照确定的数学公式产 生的时间序列，它是一个确定性的时间序列，但它的变化 过程表现出随机序列的特征，我们把它称为伪随机序列， 伪随机序列可以用来模拟自然界实际的随机过程 。
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
50
100
150
200
伪随机序列
一、随机过程的概率分布
1、一维概率分布
自然界变化的过程可以分为确知过程和随机过程两大类
确过知程
随机 过程
每次观测所得结果都相同，都是时间t的 一个确定的函数，具有确定的变化规律。
每次观测所得结果都不同，都是时间t的 不同函数，观测前又不能预知观测结果， 没有确定的变化规律。
实际过程
正弦信号
调制信号
周期性脉冲信号
雷达接收机的噪声
定义2：设有一个过程 X (t)，若对于每一个固定的时刻 t j ( j 1, 2,...)，X (t j )是一个随机变量，则 X (t) 称为随机过程。
随机过程是随机变量的集合
随机过程X(t,e)四种不同情况下的意义：
•当t固定，e固定时， X(t) 是一个确定值； •当t固定，e可变时， X(t) 是一个随机变量； •当t可变，e固定时， X(t) 是一个确定的时间函数； •当t可变，e可变时， X(t) 是一个随机过程；
30 20
2、二维概率分布
FX (x1, x2,t1,t2 ) P{X (t1) x1, X (t2 ) x2}
fX
(x1,
x2,t1,t2 )
2 FX
(x1, x2,t1,t2 x1x2
)
注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。
x 1(n) x2 (n)
例2、设随机相位信号
X (n) cos(n /10 )
其中 {0, / 2) ，且取值概率各为1/2, 求
时的n1一维0 和二n2维概10率分布。
1
1
0
0
-1 -1
0
20
40
0
20
40
60
，
60
二、随机过程的数字特征
•均值
mX (t) E{X (t)} xf X (x,t)dx
•方差
2 X
(t)
E{[
鸟叫声
爆破信号
2.1 随机过程的基本概念及定义 2.2 随机过程的统计描述 2.3 平稳随机过程 2.4 随机过程的联合分布和互相关函数 2.5 随机过程的功率谱密度 2.6 典型的随机过程
1
0
-1
10
10
20
30
40
50
60
70
80
0
-1
10
10
20
30
40
50
60
70
80
0
-1
10
10
20
30
0
-1
0
5
10
15
20
25
时间-秒(假定T=1秒）
半随机二元传输信号
随机游动 设X(n)表示质点在t=n时刻与原点的距离，如果X(n-1)=k，那么，
k 1 质点正向移动一个距离单元 X (n) k 1 质点反向移动一个距离单元
x
q 0 p
X (n)
n
01 2 3 4 5 6 7
质点沿x轴作随机游动
2、随机过程分类
连续型随机过程 连续随机序列 离散型随机过程 离散随机序列
状态 连续 连续 离散 离散
时刻 连续 离散 连续 离散
半二元传输信号
用无数次投掷硬币的随机试验来定义一个随机过程X(t)，
-1 第n次投出正面
X
(t
)
1
第n次投出反面
X(t)称为半二元传输信号。
(n-1)T t<T
1
f
40
50
60
70
80
0
-1
0
10
20
30
Acos(0n )
xi (n,i ) A cos(0n i )
随机相位信号
5
0
-5
0
50
100
150
200
5
0
-5
0
50
100
150
200
5
0
-5
0
50
100
150
200
5
0
-5
0
50
t1 100
150
200
接收机噪声
1、随机过程(Stochastic Process)定义
定义1：设随机试验E的样本空间为S={e}，对其每一个元素
ei (i 1, 2,...)都以某种法则确定一个样本函数x(t, ei ),由全部元
素{e}所确定的一族样本函数X (t, e) 称为随机过程,简记为X (t)。
随机过程是样本函数的集合
FX (x,t) P{X (t) x}
连续随机过程：
f
X
( x, t )
FX (x, x
t)
随机序列：
FX (x, n) P{X (n) x}
fX
(x,
n)
FX (x, x
n)
例1、 设随机振幅信号
X (t) Y cos0t
其中0 是常数，Y是均值为零，方差为1的正态随机 变量，求 t 0, 2 , 时的概率密度。