随机过程的统计特性和平稳随机过程

定义2：设有一个过程 X (t)，若对于每一个固定的时刻 t j ( j 1, 2,...)，X (t j )是一个随机变量，则 X (t) 称为随机过程。
随机过程是随机变量的集合
随机过程X(t,e)四种不同情况下的意义：
•当t固定，e固定时， X(t) 是一个确定值； •当t固定，e可变时， X(t) 是一个随机变量； •当t可变，e固定时， X(t) 是一个确定的时间函数； •当t可变，e可变时， X(t) 是一个随机过程；
自然界变化的过程可以分为确知过程和随机过程两大类
确过知程
随机 过程
每次观测所得结果都相同，都是时间t的 一个确定的函数，具有确定的变化规律。
每次观测所得结果都不同，都是时间t的 不同函数，观测前又不能预知观测结果， 没有确定的变化规律。
实际过程
正弦信号
调制信号
周期性脉冲信号
雷达接收机的噪声
鸟叫声
爆破信号
2.1 随机过程的基本概念及定义 2.2 随机过程的统计描述 2.3 平稳随机过程 2.4 随机过程的联合分布和互相关函数 2.5 随机过程的功率谱密度 2.6 典型的随机过程
1
0
-1
10
10
20
30
40
50
60
70
80
0
-1
10
10
20
30
40
50
60
70
80
0
-1
10
10
20
30
[xi (t1) mX (t1)][ x j (t2 ) mX (t2 )] pij (t1, t2 )
i1 j1
和
例3、设随机振幅信号为
X (t) V sin0t 其中 0 为常数，V是标准正态随机变量。
求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。
三、随机过程的特征函数
X (,t) E{e jX (t)}
40
50
60
70
80
0
-1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
X (n) Acos(0n )
xi (n,i ) A cos(0n i )
随机相位信号
5
0
-5
0
50
100
150
200
5
0
-5
0
50
100
150
200
5
0
-5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
50
100
150
200
5
0
-5
0
50
t1 100
150
200
接收机噪声
FX (x,t) P{X (t) x}
连续随机过程：
f
X
( x, t )
FX (x, x
t)
随机序列：
FX (x, n) P{X (n) x}
fX
(x,
n)
FX (x, x
n)
例1、 设随机振幅信号
X (t) Y cos0t
其中0 是常数，Y是均值为零，方差为1的正态随机 变量，求 t 0, 2 , 时的概率密度。
0
-1
0
5
10
15
20
25
时间-秒(假定T=1秒）
半随机二元传输信号
随机游动 设X(n)表示质点在t=n时刻与原点的距离，如果X(n-1)=k，那么，
k 1 质点正向移动一个距离单元 X (n) k 1 质点反向移动一个距离单元
x
q 0 p
X (n)
n
01 2 3 4 5 6 7
质点沿x轴作随机游动
30 20
2、二维概率分布
FX (x1, x2,t1,t2 ) P{X (t1) x1, X (t2 ) x2}
fX
(x1,
x2,t1,t2 )
2 FX
(x1, x2,t1,t2 x1x2
)
注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。
x 1(n) x2 (n)
例2、设随机相位信号
X (n) cos(n /10 )
其中 {0, / 2) ，且取值概率各为1/2, 求
时的n1一维0 和二n2维概10率分布。
1
1
0
0
-1 -1
0
20
40
0
20
40
60
，
60
二、随机过程的数字特征
•均值
mX (t) E{X (t)} xf X (x,t)dx
•方差
2 X
(t)
E{[
在实际中还有一类过程，它是按照确定的数学公式产 生的时间序列，它是一个确定性的时间序列，但它的变化 过程表现出随机序列的特征，我们把它称为伪随机序列， 伪随机序列可以用来模拟自然界实际的随机过程 。
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
50
100
150
200
伪随机序列
一、随机过程的概率分布
1、一维概率分布
离散随机过程数字特征
N
mX (t) xi (t) pi (t) i 1
N
2 X
(t
)
[xi (t) mX (t)]2 pi (t)
i 1
NN
RX (t1,t2 ) E{X (t1) X (t2 )}
xi (t1)x j (t2 ) pij (t1, t2 )
i1 j1
NN
K X (t1,t2 )
f
1、随机过程(Stochastic Process)定义
定义1：设随机试验E的样本空间为S={e}，对其每一个元素
ei (i 1, 2,...)都以某种法则确定一个样本函数x(t, ei ),由全部元
素{e}所确定的一族样本函数X (t, e) 称为随机过程,简记为X (t)。
随机过程是样本函数的集合
相似均值和方差的随机过程
•协方差函数
KX (t1,t2 ) E{[ X (t1) mX (t1)][ X (t2 ) mX (t2 )]}
如果 K X (t1,t2 ) 0，则称 X (t1 )和 X (t2 )是不相关的。如果 RX (t1, t2 ) 0 ，则称 X (t1 ) 和 X (t2 ) 是相互正交的。如果 f X (x1, x2 ,t1,t2 ) f X (x1,t1 ) f X (x2 ,t2 ) ，则称随机过程在 t1 和 t2 时刻的状态是相互独立的。
2、随机过程分类
连续型随机过程 连续随机序列 离散型随机过程 离散随机序列
状态 连续 连续 离散 离散
时刻 连续 离散 连续 离散
半二元传输信号
用无数次投掷硬币的随机试验来定义一个随机过程X(t)，
-1 第n次投出正面
X
(t
)
1
第n次投出反面
X(t)称为半二元传输信号。
(n-1)T t<T
1
X
(t)
mX
(t)]2}
E{X 2 (t)} mX2 (t)
•均值与方差的物理意义：
E{X
2
(t )}
2 X
(t )
m
2 X
(t )
表示消耗在单位 电阻上的总的平
均功率。
•相关函数(correlation function)
RX (t1, t2 ) E{X (t1 ) X (t2 )} x1x2 f (x1, x2 , t1, t2 )dx1dx2