导数的概念及其几何意义教案

§2 导数的概念及其几何意义

第四课时 导数的几何意义习题课

一、教学目标：会利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程。

二、教学重点：曲线上一点处的切线斜率的求法

教学难点：理解导数的几何意义

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）、复习：导数的几何意义：函数)(x f y =在x 0处的导数就是曲线)(x f y =在点（x 0，)(0x f ）处的切线的斜率。

（二）、探究新课

例1、在曲线34x

y =上求一点P 使得曲线在该点处的切线满足下列条件： （1）平行于直线y ＝x ＋1；

（2）垂直于直线2x －16y ＋1＝0；

（3）倾斜角为135°。

解：设点坐标为（0x ，0y ），则

202002020202020)

(48)()(484)(4x x x x x x x x x x x x x x x x x y ∆+∆--=∆∆+∆-∆-=∆-∆+=∆∆ ∴当Δx 趋于0时，30

400088)(x x x x f -=-='。 （1）∵切线与直线y ＝x ＋1平行。

∴1)(0='x f ，即1830

=-x ， ∴20-=x ，10=y 。

即P （―2，1）。

（2）∵切线与直线2x －16y ＋1＝0垂直， ∴1)16

2(·)(0-=--'x f ，即181·830-=-x ，

∴10=x ，40=y 。

即P （―1，4）。

（3）∵切线倾斜角为135°，

∴1135tan )(00-=='x f ，即1830

-=-

x ， ∴20=x ，10=y 。

即P （2，1）。

例2、求曲线1)(3+==x x f y 过（1，1）点的切线的斜率。

解：设过（1，1）点的切线与13+=x y 相切与点)1,(300+x x P ，则 2020320203030)(33)()(33)1(1)(x x x x x

x x x x x x x x x x y ∆+∆+=∆∆+∆+∆=∆+-+∆+=∆∆ 当Δx 趋于0时， 2003)(x x f ='，

由导数的几何意义可知，曲线在点P 处的切线的斜率为203x k = ①

又过（1，1）点的切线的斜率1

11030--+=x x k ② ∴由①②得：130302

-=x x x 解得：00=x 或230=x ，∴0=k 或427=k ， ∴曲线13+=x y 过（1，1）点的切线的斜率为0或427。 例3、如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 2() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况．

解：我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线，刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况．

（1） 当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴，所以，在0t t =附近曲线

比较平坦，几乎没有升降．

（2） 当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<，所以，在1t t =附近

曲线下降，即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减．

（3） 当2t t =时，曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<，所以，在2t t =附近

曲线下降，即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减． 从图3.1-3可以看出，直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度，这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢．

（三）、小结：利用导数的几何意义求曲线)(x f y =在0x x =处切线方程的步骤：

（1）已知曲线的切点),(00y x P ①求出函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f '；②根据直线的点斜式方程，得切线方程为))((000x x x f y y -'=-。（2）过曲线外的点),(11y x P ①设切点为),(00y x ，求出切点坐标；②求出函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f '；③根据直线的点斜式方程，得切线方程为))((000x x x f y y -'=-。

（四）、练习：练习册30P ：7、8．

（五）、作业：练习册30P ：5、6、9、10

五、教后反思：