考研数学三(线性代数)-试卷3

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考研数学三(线性代数)-试卷35

考研数学三（线性代数）-试卷35(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设三阶矩阵A的特征值为一1，1，2，其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P=(3α2，-α3，2α1 )，则P -1 AP等于( )．（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：显然3α2，-α3，2α1也是特征值1，2，一1的特征向量，所以P -1C．3.设A，B为n阶矩阵，且A，B的特征值相同，则( )．（分数：2.00）A.A，B相似于同一个对角矩阵B.存在正交阵Q，使得Q T AQ=BC.r(A)=r(B)D.以上都不对√解析：解析：令A，B有相同的特征值，而r(A)≠r(B)，所以A，B，C都不对，选D．4.设A是n阶矩阵，下列命题错误的是( )．（分数：2.00）A.若A 2 =E，则一1一定是矩阵A的特征值√B.若r(E+A)＜n，则一1一定是矩阵A的特征值C.若矩阵A的各行元素之和为一1，则一1一定是矩阵A的特征值D.若A是正交矩阵，且A的特征值之积小于零，则一1一定是A的特征值解析：解析：若r(E+A)＜n，则｜E+A｜=0，于是一1为A的特征值；若A的每行元素之和为一1，则根据特征值特征向量的定义，一1为A的特征值；若A是正交矩阵，则A T A=E，令AX=λE(其中X≠0)，则X T A T =λX T，于是X T A T AX=λ2 X T X，即(λ2一1)X T X=0，而X T X＞0，故λ2 =1，再由特征值之积为负得一1为A的特征值，选A．5.与矩阵A=相似的矩阵为( )（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：解析：A的特征值为1，2，0，因为特征值都是单值，所以A可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项(D)中的矩阵特征值与A相同且可以对角化，所以选D．6.设A为n阶矩阵，下列结论正确的是( )．（分数：2.00）A.矩阵A的秩与矩阵A的非零特征值的个数相等B.若A～B，则矩阵A与矩阵B相似于同一对角阵C.若r(A)=r＜n，则AD.若矩阵A可对角化，则A的秩与其非零特征值的个数相等√7.设A，B为n阶可逆矩阵，则( )．（分数：2.00）A.存在可逆矩阵P，使得P -1 AP=BB.存在正交矩阵Q，使得Q T AQ=BC.A，B与同一个对角矩阵相似D.存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B √解析：解析：因为A，B都是可逆矩阵，所以A，B等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B，选D．二、填空题(总题数：7，分数：14.00)8.设A｜＞0且A *的特征值为一1，一2，2，则a 11 +a 22 +a 33 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：-2）解析：解析：因为｜A *｜=｜A｜2=4，且｜A｜＞0，所以｜A｜=2，又AA *=｜A｜E=2E，所以A -1一1，1，根据逆矩阵之间特征值的倒数关系，则A的特征值为一2，一1，1，于是a 11+a 22+a 33=一2—1+1=一2．9.设三阶矩阵A的特征值为λ1 =一1，λ2 =一α1，α2，α3，令P=(2α3，-3α1，-α2 )，则P -1 (A -1 +2E)P= ．（分数：2.00）填空项1:__________________解析：解析：P -1 (A -1 +2E)P -1 A -1 P+2E，而-1 A -110.设λ1，λ2，λ3是三阶矩阵A的三个不同特征值，α1，α2，α3分别是属于特征值λ1，λ2，λ3的特征向量，若α1，A(α1，α2 )，A 2 (α1 +α2 +α3 )线性无关，则λ1，λ2，λ3满足 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：λ2λ3≠0）解析：解析：令x 1α1 +x 2 A(α1 +α2 )+x 3 A 2 (α1 +α2 +α3 )一0，即 (x 1 +λ1 x 2 +λ12 x 3 )α1 +(λ2 x 2 +λ22 x 3 )α2 +λ32 x 3α3 =0，则有 x 1 +λ1 x 2 +λ12 x 3 =0，λ22 x2 +λ22 x3 =0，λ32 x3 =0，因为x 1，x 2，x 3只能全为零，所以≠0→λ2λ3≠0．11.若α1，α2，α3是三维线性无关的列向量，A是三阶方阵，且Aα1 =α1 +α2，Aα=α2 +α3，Aα3 =α3 +α1，则｜A｜= ．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：令P=(α1，α2，α3 )，因为α1，α2，α3线性无关，所以P可逆，12.设A为三阶实对称矩阵，α1=(a，一a，1) T是方程组AX=0的解，α=(a，1，1一a) T是方程组(A+E)X=0的解，则a= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为A为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交，因为AX=0及(A+E)X=0有非零解，所以λ1 =0，λ2 =一1为矩阵A的特征值，α1 =(a，一a，1) T，α2 =(a，1，1一a) T是它们对应的特征向量，所以有α1Tα2 =a 2一a+1一a=0，解得a=1．13.设a= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：由｜λE一A｜λ+1)(λ一1) 2 =0得λ1 =一1，λ2 =λ3 =1．因为A有三个线性无关的特征向量，所以r(E—A)=1，解得a=4．14.设有三个线性无关的特征向量，则a= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由｜λE一A｜=0得A的特征值为λ1 =一2，λ1 =λ3 =6．因为A有三个线性无关的特征向量，所以A可以对角化，从而r(6E—A)=1，解得a=0．三、解答题(总题数：13，分数：26.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)

考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(14年)行列式【】A．(ad－bc)2B．－(ad－bc)2C．a2d2－b2c2D．b2c2－a2d2正确答案：B解析：按第1列展开，得所求行列式D等于D＝＝－ad(ad－bc)＋bc(ad－bc)＝－(ad－bc)2 知识模块：线性代数2．(89年)设A和B都是n×n矩阵，则必有【】A．｜A＋B｜＝｜A｜＋｜B｜B．AB＝BAC．｜AB｜＝｜BA｜D．(A＋B)-1＝A-1＋B-1正确答案：C 涉及知识点：线性代数3．(94年)设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则【】A．r＞r1．B．r＜r1．C．r＝r1．D．r与r1的关系依C而定．正确答案：C解析：因为，用可逆矩阵C右乘矩阵A相当于对A施行若干次初等列变换，而初等变换不改变矩阵的秩，故有r(AC)＝r(A)．知识模块：线性代数4．(96年)设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是矩阵A的伴随矩阵，则【】A．(A*)*＝｜A｜n-1AB．(A*)*＝｜A｜n+1AC．(A*)*＝｜A｜n-2AD．(A*)*＝｜A｜n+2A正确答案：C解析：由A*＝｜A｜A-1，得(A*)*＝｜A*｜(A*)-1，又｜A*｜＝｜A｜n-1，故(A*)*＝｜A｜n-1(｜A｜A-1)-1＝｜A｜n-1A＝｜A｜n-2A．故C正确．知识模块：线性代数5．(97年)设A、B为同阶可逆矩阵，则【】A．AB＝BA．B．存在可逆矩阵P，使P-1AP＝B．C．存在可逆矩阵C，使CTAC＝B．D．存在可逆矩阵P和Q，使PAQ＝B．正确答案：D解析：因为，方阵A可逆A与同阶单位阵E行等价，即存在可逆矩阵P，使PA＝E．同理，由于B可逆，存在可逆矩阵M，使MB＝E．故有PA＝MB，PAM-1＝B，记M-1＝Q，则P、Q可逆，使PAQ＝B．于是知D正确．知识模块：线性代数6．(98年)设n(n≥3)阶矩阵A＝的秩为n－1，则a必为【】A．1B．C．－1D．正确答案：B解析：因为r(A)＝n－1＜n，故必有｜A｜＝0，而因此，或者a＝，或者a＝1．显然，当a＝1时，有r(A)＝1＜n－1,所以，有a＝，而且当a＝时，A 的左上角的n－1阶子式等于，可知此时确有r(A)＝n一1，故选项B正确．知识模块：线性代数7．(01年) 其中A可逆，则B-1等于【】A．A-1P1P2B．P1A-1P2C．P1P2A-1D．P2A-1P1正确答案：C解析：矩阵B是经A的列重排后所得的矩阵，由初等列变换与初等方阵的关系，有B＝AP2P1，故B-1＝P1-1P2-1A-1，而P1-1＝P1，P2-1＝P2，故有B-1＝P1P2A-1．知识模块：线性代数8．(03年)设三阶矩阵A＝，若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有【】A．a＝b或a＋2b＝0．B．a＝b或a＋2b≠0．C．a≠b且a＋2b＝0．D．a≠b且a＋2b≠0．正确答案：C 涉及知识点：线性代数9．(04年)设n阶矩阵A与B等价，则必有【】A．当｜A｜＝a(a≠0)时，｜B｜＝a．B．当｜A｜＝a(a≠0)时，｜B｜＝－a．C．当｜A｜≠0时，｜B｜＝0．D．当｜A｜＝0时，｜B｜＝0．正确答案：D解析：A与B等价是指A可经若干次初等变换化成B．如果对A分别施行一次第1、2、3种初等变换得到方阵B，则由行列式的性质知，依次有｜B｜＝－｜A｜，｜B｜＝k｜A｜(常数k≠0)，｜B｜＝｜A｜．可见，经初等变换后，方阵的行列式等于零或者不等于零的事实不会改变，但在不等于零时，行列式的值可能改变．因此，只有D正确．知识模块：线性代数10．(05年)设矩阵A＝(aij)3×3满足A*＝AT，其中A*为A的伴随矩阵，A*为A的转置矩阵．若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11为【】A．B．3C．D．正确答案：A解析：由题设条件A*＝AT，即其中Aij为｜A｜中元素aij的代数余子式(i，j＝1，2，3)，得aij＝Aij(i，j＝1，2，3)，故有再从AT＝A*两端取行列式，得｜A｜＝｜AT｜＝｜A*｜＝｜A｜2，即｜A｜(1－｜A｜)＝0 由此得｜A｜＝1．所以，有知识模块：线性代数11．(06年)设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的－1倍加到第2列得C，记P＝，则【】A．C＝p-1AP．B．C＝PAP-1．C．C＝PTAP．D．C＝PAPT．正确答案：B解析：将单位矩阵E的第2行加到第1行即得初等矩阵P，由初等变换与初等矩阵的关系，有B＝PA．令矩阵则将E的第1列的－1倍加到第2列即得矩阵Q，于是有C＝BQ，从而有C＝PAQ．由于所以，C＝PAQ＝PAP-1，只有选项B正确．知识模块：线性代数填空题12．(88年)＝_______．正确答案：－3解析：把行列式的各行都加到第1行，得知识模块：线性代数13．(16年)行列式＝_______．正确答案：λ4＋λ3＋2λ2＋3λ＋4解析：按第1列展开，得行列式为知识模块：线性代数14．(88年)设矩阵A＝，则A-1＝_______．正确答案：解析：利用初等行变换法：故A-1＝A．知识模块：线性代数15．(91年)设A和B为可逆矩阵，X＝为分块矩阵，则X-1＝_______．正确答案：解析：设A、B分别为m阶、n阶可逆方阵，设其中X12，X21分别为m阶、n阶方阵，则有XX-1＝Em+n，即由分块矩阵的乘法，得AX21＝Em，AX22＝0，BX11＝0，BX12＝En 因为A、B均为可逆矩阵，所以解得X21＝A-1，X22＝0，X11＝0，X12＝B-1 于是得知识模块：线性代数16．(92年)设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且｜A｜＝a，｜B｜＝b，C ＝，则｜C｜＝_______．正确答案：(－1)mnab解析：从[O A]的第m行开始，依次将[O A]的每一行作，z次相邻两行的交换，把它移到[B O]的下边去，则经mn次相邻两行的交换，就将[O A]移到了[B O]的下边，因此有知识模块：线性代数17．(93年)设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为_______．正确答案：0解析：因为r(A4×4)＝2，即A中非零子式的最高阶数为2，故A的3阶子式全为0，即A的每个元素的余子式全为0，从而每个元素的代数余子式全为0，故A*＝O，从而有r(A*)＝0．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研试题[线性代数部分]

05年一、选择题（１１）设12,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别是12,αα，则112,()A ααα+线性无关的充分必要条件是（）。

（A ）10λ≠（B ）20λ≠ （C ）10λ=（D ）20λ=（１２）设A 为ｎ(2)n ≥阶可逆矩阵，交换Ａ的第一行与第二行得到矩阵B ，**,A B 分别是矩阵A ，B 的伴随矩阵，则（）。

（A ）交换*A 的第一列与第二列得*B （B ）交换*A 的第一行与第二行得*B （C ）交换*A 的第一列与第二列得－*B （D ）交换*A 的第一行与第二行得－*B 二、填空题（５）设123,,ααα是三维列向量，记矩阵123(,,)A ααα=，123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++，如果1A =，则B = 。

三、解答题（２０）已知二次型22221231312(,,)(1)(1)22(1)f x x x a x a x x a x x =-+-+++的秩为２．①求a 的值；②求正交变换X QY =，把二次型123(,,)f x x x 化成标准形；③求方程123(,,)0f x x x =的解．（２１）已知３阶矩阵A 的第一行是(,,)a b c ，,,a b c 不全为零，矩阵12324636B k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（k 为常数），且0AB =，求线性方程组0AX =的通解．06年一、选择题（11）设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是（A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.（C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.（D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. 【】（12）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的－1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）1C P AP -= （B ）1C PAP -= （C ）TC P AP = （D ）TC PAP = 【】二、填空题（4）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = ．（数一）（4）已知12,a a 为2维列向量，矩阵1212(2,)A a a a a =+-，12(,)B a a =。

[考研类试卷]考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编10.doc

[考研类试卷]考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编10一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 设A为n阶实矩阵，A T是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：A T Ax=0，必有( )（A）(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解。

（B）(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解。

（C）(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解。

（D）(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解。

2 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵。

已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )（A）P-1α。

（B）P Tα。

（C）Pα。

（D）(P-1)Tα。

3 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )（A）λ1=0。

（B）λ2=0。

（C）λ1≠0。

（D）λ2≠0。

4 设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( ) （A）λE一A=λE—B。

（B）A与B有相同的特征值和特征向量。

（C）A与B都相似于一个对角矩阵。

（D）对任意常数t，tE—A与tE一B相似。

5 矩阵相似的充分必要条件为( )（A）a=0，b=2。

（B）a=0，b为任意常数。

（C）a=2，b=0。

（D）a=2，b为任意常数。

6 设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是( ) （A）A T与B T相似。

（B）A-1与B-1相似。

（C）A+A T与B+B T相似。

（D）A+A-1与B+B-1相似。

7 设矩阵A=，则( )（A）A与C相似，B与C相似。

（B）A与C相似，B与C不相似。

（C）A与C不相似，B与C相似。

（D）A与C不相似，B与C不相似。

二、填空题8 设α=(1，1，1)T，β=(1，0，k)T，若矩阵αβT相似于，则k=_________。

考研数学三线性代数(向量)模拟试卷3(题后含答案及解析)

考研数学三线性代数（向量）模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．现有四个向量组①(1，2，3)T，(3，一l，5)T，(0，4，一2)T，(1，3，0)T；②(a，l，b，0，0)T，(c，0，d，2，0)T，(e，0，f,0，3)T；③(a，l，2，3)T，(b，1，2，3)T，(c，3，4，5)T，(d，0，0，0)T；④(1，0，3，1)T，(一1，3，0，一2)T，(2，1，7，2)T，(4，2，14，5)T。

则下列结论正确的是( ) A．线性相关的向量组为①④；线性无关的向量组为②③。

B．线性相关的向量组为③④；线性无关的向量组为①②。

C．线性相关的向量组为①②；线性无关的向量组为③④。

D．线性相关的向量组为①③④；线性无关的向量组为②。

正确答案：D解析：向量组①是四个三维向量，从而线性相关，可排除B。

由于(1，0，0)T，(0，2，0)T，(0，0，3)T线性无关，添上两个分量就可得向量组②，故向量组②线性无关。

所以应排除C。

向量组③中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，于是α1，α2，α4线性相关，那么添加α3后，向量组③必线性相关。

应排除A。

由排除法，本题应选D。

知识模块：向量2．设α1，α2，…，αs均为n维向量，下列结论中不正确的是( )A．若对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs≠0，则α1，α2，…，αs线性无关。

B．若α1，α2，…，αs线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs=0。

C．α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s。

D．α1，α2，…，αs线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关。

正确答案：B解析：对于选项A，因为齐次线性方程组x1α1+x2α2+…+xsαs=0只有零解，故α1，α2，…，αs线性无关，A选项正确。

303数学三大纲

303数学考研大纲考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间：试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式：答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构微积分约56%线性代数约22%概率论与数理统计约22%四、试卷题型结构:单项选择题选题8小题，每小题4分，共32分填空题6小题，每小题4分，共24分解答题（包括证明题）9小题，共94分微积分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质…考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念．6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法．7．理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系．8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质．》二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值考试要求1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程．2．掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数，会求反函数与隐函数的导数．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．5．理解罗尔（Rolle）定理、拉格朗日( Lagrange)中值定理，了解泰勒（Taylor）定理、柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用．6．会用洛必达法则求极限．—7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线．9．会描述简单函数的图形．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨（Newton- Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法反常（广义）积分定积分的应用考试要求1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法与分部积分法．2．了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法．3．会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题．.4．了解反常积分的概念，会计算反常积分．四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法与隐函数求导法二阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算无界区域上简单的反常二重积分考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算．>五、无穷级数考试内容常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式考试要求1．了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念．2．了解级数的基本性质及级数收敛的必要条件，掌握几何级数及级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法．3．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法．4．会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域5．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数．6．了解麦克劳林（Maclaurin）展开式．|六、常微分方程与差分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法．3．会解二阶常系数齐次线性微分方程．4．了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程．5．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念．6．了解一阶常系数线性差分方程的求解方法．!7．会用微分方程求解简单的经济应用问题．线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵%考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法．5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则．三、向量考试内容>向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法考试要求1．了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则．2．理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系5．了解内积的概念．掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．四、线性方程组考试内容线性方程组的克拉默（Cramer）法则线性方程组有解和无解的判定齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组（导出组）的解之间的关系非齐次线性方程组的通解·考试要求1.会用克拉默法则解线性方程组．2.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法．3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵考试要求~1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法．2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法．3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．、概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求1．了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式等．3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．二、随机变量及其分布》考试内容随机变量随机变量分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求1．理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用．3．掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布．4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，其中参数为的指数分布的概率密度为5．会求随机变量函数的分布．三、多维随机变量的分布考试内容'多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常见二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布考试要求1．理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质．2．理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度，掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布．3．理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系．4．掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义．5．会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其简单函数的分布．四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望切比雪夫（Chebyshev）不等式矩、协方差、相关系数及其性质~考试要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征．2．会求随机变量函数的数学期望．3．了解切比雪夫不等式．五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫大数定律伯努利（Bernoulli）大数定律辛钦（Khinchine）大数定律棣莫弗—拉普拉斯（De Moivre－Laplace）定理列维—林德伯格（Levy－Lindberg）定理考试要求1．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）．2．了解棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维—林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理），并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率．六、数理统计的基本概念考试内容总体个体简单随机样本统计量经验分布函数样本均值样本方差和样本矩分布分布分布分位数正态总体的常用抽样分布考试要求1．了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为2．了解产生变量、变量和变量的典型模式；了解标准正态分布、分布、分布和分布的上侧分位数，会查相应的数值表．3．掌握正态总体的样本均值、样本方差、样本矩的抽样分布．4.了解经验分布函数的概念和性质．七、参数估计考试内容点估计的概念估计量和估计值矩估计法最大似然估计法考试要求1．了解参数的点估计、估计量与估计值的概念．2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法。

考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)

考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(99年)设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则【】A．λE－A＝λE－B．B．A与B有相同的特征值和特征向量．C．A和B都相似于一个对角矩阵．D．对任意常数t，tE－A与tE－B相似正确答案：D解析：由已知条件，存在可逆矩阵P，使得P-1AP＝B 所以P-1(tE －A)P＝tE－P-1AP＝tE－B 这说明tE－A与tE－B相似，故D正确．知识模块：线性代数2．(02年)设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是【】A．P-1αB．PTαC．PαD．(P-1)Tα正确答案：B解析：由条件有AT＝A，Aα＝λα，故有(P-1AP)T(PTα)＝PTA(PT)-1PTα＝PTAα＝PTλα＝λ(PTα) 因为PTa≠0(否则PTα＝0，两端左乘(PT)-1，得α＝0，这与特征向量必为非零向量矛盾)，故由特征值与特征向量的定义，即知非零向量PTα是方阵(PTAP)T的属于特征值λ的特征向量．因此，B正确．知识模块：线性代数3．(05年)设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1＋α2)线性无关的充分必要条件是【】A．λ1＝0B．λ2＝0C．λ1≠0D．λ2≠0正确答案：D解析：由条件知α1，α2线性无关．向量组α1，A(α1＋α2)，即向量组α1，λ1α1＋λ2α2，显然等价于向量组α1，λ2α2，当λ2＝0时，α1，λ2α2线性相关，当λ2≠0时，α1，λ2α2线性无关，故向量组α1，A(α1＋α2)线性无关向量组α1，λ2α2线性无关≠0，只有选项D正确．知识模块：线性代数4．(10年)设A为4阶实对称矩阵，且A2＋A＝O．若A的秩为3，则A 相似于【】A．B．C．D．正确答案：D解析：设A按列分块为A＝[α1 α2 α3 α4]，由r(A)＝3，知A的列向量组的极大无关组含3个向量，不妨设α1，α2，α3是A的列向量组的极大无关组．由于A2＝－A，即A[α1 α2 α3 α4]＝－[α1 α2 α3 α4]，即[Aα1 Aα2 Aα3 Aα4]＝[－α1－α2－α3－α4]，得Aαj＝－αj，j＝2，3，4．由此可知－1是A的特征值值且α1，α2，α3为对应的3个线性无关的特征向量，故－1至少是A的3重特征值．而r(A)＝3＜4，知0也是A的一个特征值．于是知A的全部特征值为：－1，－1，－1，0，且每个特征值对应的线性无关特征向量个数正好等于该特征值的重数，故A相似于对角矩阵D ＝diag(－1，－1，－1，0)，故选项D正确．知识模块：线性代数5．(13年)矩阵相似的充分必要条件为【】A．a＝0，b＝2．B．a＝0，b为任意常数．C．a＝2，b＝0．D．a＝2，b为任意常数．正确答案：B解析：B为对角矩阵，B的特征值为其主对角线元素2，6，0．若A与B相似，则由相似矩阵有相同的特征值，知2为A的一个特征值，从而有由此得a＝0．当a＝0时，矩阵A的特征多项式为由此得A的全部特征值为2，b，0．以下可分两种情形：若b为任意实数，则A为实对称矩阵，由于实对称矩阵必相似于对角矩阵，且对角矩阵的主对角线元素为该实对称矩阵的全部特征值，所以此时A必相似于B．综上可知，A与B相似的充分必要条件为a＝0，b为任意常数．所以只有选项B正确．知识模块：线性代数6．(16年)设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是【】A．AT与BT相似．B．A-1与B-1相似．C．A＋AT与B＋BT相似．D．A＋A-1与B＋B-1相似．正确答案：C解析：由已知条件知，存在可逆矩阵P，使得P-1AP＝B……(1)．由(1)两端取转置，得PTAT(PT)-1＝BT，可见AT与BT相似，因此选项A正确；由(1)两端取逆矩阵，得P-1A-1P＝B-1……(2)，可见A-1与B-1相似，因此选项B 正确；将(1)与(2)相加，得P-1(A＋A-1)P＝B＋B-1，可见A＋A-1与B＋B-1相似，因此选项D正确．故只有选项C错误．知识模块：线性代数7．(07年)设矩阵，则A与B 【】A．合同，且相似．B．合同，但不相似．C．不合同，但相似．D．既不合同，也不相似．正确答案：B解析：由A的特征方程得A的全部特征值为λ1＝λ2＝3，λ3＝0，由此知A不相似于对角矩阵B(因为A的相似对角矩阵的主对角线元素必是A的全部特征值3，3，0)，但由A的特征值知3元二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ的秩及正惯性指数均为(二次型f＝χTAχ经适当的正交变换可化成标准形f＝3y12＋3y22，再经可逆线性变换可化成规范形f＝z12＋z22，而f的矩阵A与f 的规范形的矩阵B＝diag(1，1，0)是合同的)．知识模块：线性代数8．(08年)设A＝则在实数域上与A合同的矩阵为【】A．B．C．D．正确答案：D解析：记(D)中的矩阵为D，则由知A与D有相同的特征值3与－1，它们又都是实对称矩阵，因此存在正交矩阵P与Q，使PTAP＝＝QTDQ，QPTAPQT＝D，或(PQT)A(PQT)＝D，其中PQT可逆，所以A与D合同．知识模块：线性代数9．(15年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)在正交变换χ＝Py下的标准形为2y12＋y22－y32，其中P＝(e1，e2，e3)．若Q＝(e1，－e3，e2)，则f(χ1，χ2，χ3)在正交变换χ＝Qy，下的标准形为【】A．2y12－y22＋y32．B．2y12＋y22－y32．C．2y12－y22－y32．D．2y12＋y22＋y32．正确答案：A解析：设二次型的矩阵为A，则由题意知矩阵P的列向量e1，e2，e3是矩阵A的标准正交的特征向量．对应的特征值依次是2，1，－1．即有Ae1＝2e1，Ae2＝2e2，Ae3＝2e3 从而有AQ＝a(e1，－e3，e2)＝(Ae1，－Ae3，Ae2)＝(2e1，－(－e3)，e2) ＝(e1，－e3，e2) 矩阵Q的列向量e1，－e3，e2仍是A的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是2，－1，1．矩阵Q是正交矩阵，有Q-1＝QT，上式两端左乘Q-1，得Q-1AQ＝QTAQ＝从而知厂在正交变换χ＝Py下的标准形为f＝2y12－y22＋y32．于是选A．知识模块：线性代数10．(16年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝a(χ12＋χ22＋χ32)＋2χ1χ2＋2χ2χ3＋2χ1χ3的正、负惯性指数分别为1，2，则【】A．a＞1B．a＜－2C．－2＜a＜1D．a＝1或a＝－2正确答案：C解析：先来求二次型的矩阵A的特征值，由得A的全部特征值为λ1＝λ2＝a－1，λ3＝a＋2，由题设条件知有两个特征值小于零，有一个特征值大于零，所以a－1＜0＜a＋2，由此得－2＜a＜1，故只有选项C正确．知识模块：线性代数填空题11．(04年)二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(χ1＋χ2)2＋(χ2－χ3)2＋(χ3＋χ1)2的秩为_______．正确答案：2解析：f的矩阵A＝的秩为2，所以f的秩为2．知识模块：线性代数12．(11年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ的秩为1，A的各行元素之和为3，则f在正交变换χ＝Qy下的标准形为_______．正确答案：3y12解析：由f的秩为1，知f的矩阵A只有一个不为零的特征值，A的另外两个特征值均为零．再由A的各行元素之和都等于3，即，知A的全部特征值为λ1＝3，λ2＝λ3＝0．于是f经正交变换化成的标准形为f＝λ1y12＋λ2y22＋λ3y32＝3y12．知识模块：线性代数13．(14年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12－χ22＋2aχ1χ3＋4χ2χ3的负惯性指数为1，则a的取值范围是_______．正确答案：[－2，2]解析：对f配方，可得f(χ1＋aχ3)2－(χ2－2χ3)2＋(4－a2)χ32 于是f可经可逆线性变换化成标准形f＝z12－z22＋(4－a2)z32 若4－a2＜0，则f的负惯性指数为2，不合题意；若4－a2≥0，则f的负惯性指数为1．因此，当且仅当4－a2≥0，即｜a｜≤2时，f的负惯性指数为1．知识模块：线性代数14．(07年)设矩阵A＝，则A3的秩为_______．正确答案：1解析：利用矩阵乘法，容易计算得由于A3中非零子式的最高阶数为1，故由矩阵的秩的定义，即知r(A3)＝1．知识模块：线性代数15．(09年)设α＝(1，1，1)T，β＝(1，0，k)T．若矩阵αβT相似于，则k＝_______．正确答案：2解析：矩阵A＝αβT＝由A的特征方程得A的特征值为λ1＝λ2＝0，λ3＝k＋1．又由A与对角矩阵相似，知A的特征值为3，0，0．比较得k＋1＝3，所以k＝2．知识模块：线性代数16．(97年)若二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2χ12＋χ22＋χ32＋2χ1χ2＋t χ2χ3是正定的，则t的取值范围是_______．正确答案：解析：f的矩阵为因为，f正定甘A的顺序主子式全为正，显然A的1阶和2阶顺序主子式都大于零，故f正定知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学(三)题库线性代数(第一章行列式)打印版【圣才出品】

2．设 A 为 n 阶方阵，B 是 A 经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵，则有（）。 A．|A|＝|B| B．|A|≠|B| C．若|A|＝0，则一定有|B|＝0 D．若|A|＞0，则一定有|B|＞0 【答案】C 【解析】矩阵 A 经过若干次初等变换后得到矩阵 B，则存在可逆矩阵 P，Q 使得 B＝PAQ，因此|B|＝|PAQ|＝|P|·|A|·|Q|，若|A|＝0，则必有|B|＝|P|·|A|·|Q|＝0 成立。
1
1
1 ，则|A|＝____。
0
【解析】行列式每列所含元素相同，可将其余各列均加到第一列上，提出公因子（n－
1）后，再计算。
n 1 1 1
1
2,3, ,n列加到第一列上 n 1 0 1
1
原式
n 1 1 0
1
n 1 1 1
0
11 1
1
101
1
n 1 1 1 0
1
11 1
0
11 1
1
2,3, ,n行＋1行1
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】根据题设条件可知
AB
2
2
2
22
2 2
2
1 2
1 3
2 2
2 B
1 3
A 2 B
2
2 3 2 3 2 3 3 3
3 3
二、填空题
2x 1 1
1．在函数 f x x x x 中，x2 的系数是____。
12x
【答案】－3
【解析】根据行列式的定义，能出现 x2 的只有以下两项：（－1）r（132）a11a23a32＋
0 1 0
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考研数学三(解答题)高频考点模拟试卷3(题后含答案及解析)

考研数学三（解答题）高频考点模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1.1．已知y=y(x)由方程．正确答案：方程两边对自变量x求导，得涉及知识点：微积分2．设，求n及a的值．正确答案：由此可知n=2，a=-2e2．涉及知识点：函数、极限、连续3．已知矩阵A的伴随矩阵A*=diag(1，1，1，8)，且ABA-1=BA-1+3E，求B正确答案：由题意可知A-1存在，A*=｜A｜A-1两端取行列式可得｜A*｜=｜A｜4｜A-1｜=｜A｜3，因为A*=diag(1，1，1，8)，所以｜A｜=8，即｜A｜=2．由ABA-1=BA-1+3E移项并提取公因式得，(A-E)BA-1=3E，右乘A得(A-E)B=3A，左乘A-1得(E-A-1)B=3E．且由已求结果｜A｜=2，知涉及知识点：矩阵4．求A的特征值．正确答案：A+3E就是一个秩为1的矩阵了，于是A=A+3E一3E，就容易求特征值了．的秩为1，因此特征值为0，0，6．A的特征值为一3，一3，3．涉及知识点：线性代数5．已知抛物线y=ax2+bx(其中a＜0，b＞0)在第一象限内与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S，问当a，b为何值时，S 最大?最大值是多少?正确答案：由图1—5—3可知，抛物线与z轴交点的横坐标为x1=0 由直线x+y=5与抛物线y=ax2+bx相切可知，它们有唯一的交点，其坐标满足方程将方程①代入方程②得ax2+(b+1)x一5=0．其判别式必等于零，即△=(b+1)2+20a=0，因为，当0＜b＜3时，S’(b)＞0；当b＞3时，S’(b)＜0．所以，当b=3时，S(b)取极大值，即最大值．解析：利用定积分求面积，容易得到其面积是a，b的函数S(a，b)，问题是如何求S(a，b)的最大值．因为抛物线与固定直线相切，所以a与b并非独立变量．利用相切的条件可求出它们之间的函数关系，于是将问题转化为一元函数求最值的问题．知识模块：微积分6．已知三元二次型XTAX经正交变换化为2y12－y22－y32，又知矩阵B满足矩阵方程BA－1=2AB+4E，且A*α=α，其中α=[1，1，－1]T，A*为A的伴随矩阵，求此二次型XTBX的表达式．正确答案：由条件知A的特征值为2，－1，－1，则｜A｜=2，因为A*的特征值为，所以A*的特征值为1，－2，－2．由已知，α是A*关于λ=1的特征向量，也就是α是A关于λ=2的特征向量．由得2ABA－1=2AB+4E=>B=2(E－A)－1，则B的特征值为－2，1．1，且Bα=－2α．设B关于λ=1的特征向量为β=[x1，x2，x3]T，又B是实对称阵，α与β正交，故x1+x2－x3=0，解出β1=[1，－1，0]T，β2=[1，0，1]T，令故XTBX=－2x1x2+2x1x3+2x2x3．涉及知识点：线性代数7．求直线与平面x－y＋2z＝3之间的夹角．正确答案：涉及知识点：综合8．设≥一1，求正确答案：当一1≤x≤0时，当x＞0时，因此涉及知识点：定积分及应用9．设L：y＝sinx(0≤x≤)，由x＝0，L及y＝sinx围成面积S1(t)；由y＝sint，L及x＝围成面积S2(t)，其中0≤t≤．(1)t取何值时，S(t)＝S1(t)＋S2(t)取最小值?(2)t取何值时，S(t)＝S1(t)＋S2(t)取最大值?正确答案：S1(t)＝tsint－∫0tsinxdx＝tsint＋cost－1，S2(t)＝sint，S(t)＝S1(t)＋S2(t)＝2(t－)sint＋2cost－1．由S’(t)＝2(t－，．(1)当t＝时，S(t)最小，且最小面积为－1；(2)当t＝0时，S(t)最大，且最大面积为S(0)＝1．涉及知识点：微积分10．设f(x)在[0，+∞)上连续，且f(0)＞0，设f(x)在[0，x]上的平均值等于f(0)与f(x)的几何平均数，求f(x)．正确答案：涉及知识点：微积分11．将f(x)=展开x的幂级数．正确答案：涉及知识点：无穷级数12．已知三阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a,b,c不全为零，矩阵B=(k为常数)，且AB=0，求线性方程组Ax=0的通解。

考研数学三N维向量-试卷3_真题(含答案与解析)-交互

考研数学三（N维向量）-试卷3(总分54, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.下列向量组α1，α2，…，α3中，线性无关的是SSS_SINGLE_SELA (1，2，3，4)，(4，3，2，1)，(0，0，0，0)．B (a，b，c)，(b，c，d)，(c，d，e)，(d，e，f)．C (a，l，b，0，0)，(c，0，d，2，3)，(e，4，f，5，6)．D (a，1，2，3)，(b，1，2，3)，(c，4，2，3)，(d，0，0，0)．分值: 2答案:C解析：有零向量的向量组肯定线性相关，任意n+1个n维向量必线性相关．因此(A)，(B)均线性相关．对于(D)，若d=0，肯定线性相关；若d≠0，则 (a，1，2，3)-(b，1，2，3)= (d，0，0，0)，即α1，α2，α4线性相关，而线性相关的向量组再增加向量肯定仍是线性相关，因此不论哪种情况，(D)是线性相关的．由排除法可知(C)入选．另一方面，若能观察出β1=(1，0，0)，β2 =(0，2，3)，β3=(4，5，6)所构成的行列式则可知β1，β2，β3线性无关，而α1，α2，α3是其延伸组，即不论如何扩充均线性无关，故选(C)．2.已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则命题正确的是SSS_SINGLE_SEL Aα1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1线性无关．Bα1 -α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1线性无关．Cα1+α2，α2+α3，α3-α4，α4-α1线性无关．Dα1+α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1线性无关．分值: 2答案:D解析：由观察法可知(α1+α2)-(α2+α3)+(α3+α4)-(α4+α1 )=0，即(A)线性相关．对于(B)，(α1-α2)+(α2-α3)+(α3-α4)+(α4-α1)=0，即(B)线性相关．而(C)中，(α1+α2)-(α2+α3)+(α3-α4)+(α4-α1)=0，即(C)线性相关．由排除法可知(D)正确．作为复习并掌握基本方法，请读者直接证明(D)线性无关.3.设α1，α2，…，αs是n维向量，则下列命题中正确的是SSS_SINGLE_SELA如αs 不能用α1，α2，…，αs-1线性表出，则α1，α2，…，αs线性无关．B如α1，α2，…，αs线性相关，αs不能由α1，α2，…，αs-1线性表出，则α1，α2，…，αs-1线性相关．C如α1，α2，…，αs中，任意s-1个向量都线性无关，则α1，α2，…，αs线性无关．D零向量0不能用α1，α2，…，αs线性表出．分值: 2答案:B解析：(A)，(C)，(D)均错，仅(B)正确． (A)中当αs 不能用α1，α2，…，αs-1线性表出时，并不保证每一个向量αi(i=1，2，…，s-1)都不能用其余的向量线性表出．例如，α1 =(1，0)，α2=(2，0)，α3=(0，3)，虽α3不能用α1，α2线性表出，但2α1-α2+0α3=0，α1，α2，α3是线性相关的． (C)如α1，α2，…，αs线性无关，可知它的任何一个部分组均线性无关．但任一部分组线性无关并不能保证该向量组线性无关．例如 e1 =(1，0，0，…，0)，e2=(0，1，0，…，0)，…，en=(0，0，0，…，1)，α=(1，1，1，…，1)，其中任意n个都是线性无关的，但这n+1个向量是线性相关的． (D)在线性表出的定义中，对组合系数没有任何约束条件，因此，零向量可以用任何向量组线性表出，最多组合系数全取为0，即0=0α1+0α2，+ 0s．其实，零向量0用α1，α2，…，αs 表示时，如果组合系数可以不全为0，则表明α1，α2，…，αs是线性相关的，否则线性无关．关于(B)，由于α1，α2，…，αs线性相关，故存在不全为0的ki (i=1，2，…，s)，使 k1α1+k2α2+…+ksαs =0．显然，ka=0(否则αs可由α1，…，αs-1线性表出)，因此α1，α2，…，αs-1线性相关．4.设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表出，则下列命题正确的是SSS_SINGLE_SELA 若向量组Ⅰ线性无关，则ar≤s．B 若向量组Ⅰ线性相关，则r＞s．C 若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s．D 若向量组Ⅱ线性相关，则r＞s．分值: 2答案:A解析：因为Ⅰ可由Ⅱ线性表出，故r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)．当向量组Ⅰ线性无关时，有r(Ⅰ)=r(α1，α2，…，αr)=r．由向量组秩的概念自然有r(Ⅱ)=r(β1，β2，…，βs)≤s．从而(A)正确．若α1= ，可见(B)、(D)均不正确．若α1= ，可知(C)．不正确．2. 填空题1.已知向量组α1 =(1，2，-1，1) T，α2=(2，0，a，0) T，α3=(0，-4，5，1-a) T的秩为2，则a=______．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：3解析：根据三秩相等定理及经初等变换秩不变定理，对(α1，α2，α3)作初等变换，有所以a=3．2.若α1 =(1，0，5，2) T，α2=(3，-2，3，-4) T，α3=(-1，1，t，3) T线性相关，则t=______.SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：1解析：α1，α2，α3线性相关的充要条件是齐次方程组x1α1+x2α2 +x3α3=0有非零解．对系数矩阵高斯消元，化为阶梯形，于是有因为齐次方程组有三个未知数，它若有非零解则阶梯形方程组中方程个数必不大于2，故知t=1．3.若α1 =(1，-1，2，4) T，α2=(0，3，1，2) T，α3=(3，0，7，a)T，α4=(1，-2，2，0) T线性无关，则a的取值范围为________．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：a≠14解析：n个n维向量α1，α2，…，αn线性无关｜α1，α2，…，αn｜≠0．因为所以a≠14．4.若β=(1，2，t) T可由α1 =(2，1，1) T，α2=(-1，2，7) T，α3=(1，-1，-4) T线性表出，则t=_______.SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：5解析：β可以由向量组α1，α2，α3线性表出的充要条件是线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=β有解．对增广矩阵高斯消元，化为阶梯形，即5.设α1 =(1，2，1) T，α2=(2，3，a) T，α3=(1，a+2，-2) T，若β1=(1，3，4) T可以由α1，α2，α3线性表出，β2=(0，1，2) T不能由α1，α2，α3线性表出，则a=_____.SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：-1解析：依题意，方程组x1α1+x2α2+x3α3=β1有解，而方程组x1α1 +x2α2+x3α3=β2无解.因为两个方程组的系数矩阵相同，故可合并一次加减消元，即可见a=-1时，方程组x1α1+x2α2+x3α3=β1有解，而x1α1+x2α2+x3α3=β2无解，故a=-1.3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2022年考研数学(三)真题解析

1….【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可. 【详解】当x0时，1，1 1221x， 2故用排除法可得正确选项为（B）.事实上，limx 0limlim 1，x 0 x 0或 ln(1 x) ln(1 x o(x) o o所以应选（B）【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算.类似例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.54】【例1.55】.2…….【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数f(x)去进行判断，然后选择正确选项.【详解】取f(x) |x|，则limx 0f(x) f( x)0，但f(x)在x 0不可导，故选（D）.x事实上，在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得f(0) 0.lim在（C）中，x 0f(x)f(x) f(0)f(x)lim 0，存在，则f(0) 0,f (0) limx 0x 0xx 0x所以(C)项正确，故选(D)【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例2】，文登07考研模拟试题数学二第一套（2）.3…….【分析】本题实质上是求分段函数的定积分. 【详解】利用定积分的几何意义，可得1111 13F(3) 21 ，F(2) 22 ，2222 28F( 2)200211f(x)dx f(x)dx f(x)dx 12 .20222所以 F(3)33F(2) F( 2)，故选（C）. 44【评注】本题属基本题型. 本题利用定积分的几何意义比较简便.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第5讲【例17】和【例18】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例3.38】【例3.40】.4…….【分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分.【详解】由题设可知，2x ,sinx y 1，则0 y 1, arcsiny x ，故应选（B）.【评注】本题为基础题型. 画图更易看出.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第10讲【例5】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例7.5】，【例7.6】.5…….【分析】本题考查需求弹性的概念. 【详解】选（D）.商品需求弹性的绝对值等于dQP 2P 1 P 40， dPQ160 2P故选（D）.【评注】需掌握微积分在经济中的应用中的边际，弹性等概念.相关公式及例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例11.2】.6…….【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断.【详解】limy lim ln1 e ,limy lim ln1 e 0，x x xx x x 所以 y 0是曲线的水平渐近线；limy lim ln1 e ，所以x 0是曲线的垂直渐近线； x 0x 0xx1exx ln 1 e ln1 e limx 1， ylim lim 0 limx xx x x xx1xxxb lim y xxli x xn1 ex lx，所以0y x是曲线的斜渐近线.故选（D）.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.x注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在. 本题要注意e当x ,x 时的极限不同.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲第4节【例12】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例5.30】，【例5.31】.7……..【分析】本题考查由线性无关的向量组 1, 2, 3构造的另一向量组 1, 2, 3的线性相关性. 一般令 1, 2, 3 1, 2, 3 A，若A 0，则 1, 2, 3线性相关；若A 0，则 1, 2, 可通过简单的线性3线性无关. 但考虑到本题备选项的特征，运算得到正确选项.【详解】由 1 2 2 3 3 1 0可知应选（A）.或者因为10 1 10 1110 1 2, 2 3, 3 1 1, 2, 3 ，而 110 0， 0 11 0 11所以 1 2, 2 3, 3 1线性相关，故选（A）.【评注】本题也可用赋值法求解，如取 1 1,0,0 , 2 0,1,0 , 3 0,0,1 ，以此求出（A），（B），（C），（D）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项.完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第3讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）《线性代数》【例3.3】.TTT2【详解】由 E A111( 3)2可得 1 2 3, 3 0，1122所以A的特征值为3,3,0；而B的特征值为1,1,0.所以A与B不相似，但是A与B的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以A与B 合同，故选（B）.【评注】若矩阵A与B相似，则A与B具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值. 所以通过计算A与B的特征值可立即排除（A）（C）. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）第二篇【例5.17】.9……..【分析】本题计算贝努里概型，即二项分布的概率. 关键要搞清所求事件中的成功次数.【详解】p＝｛前三次仅有一次击中目标，第4次击中目标｝ C3p(1 p)p 3p(1 p)，222故选（C）.【评注】本题属基本题型.类似例题见《数学复习指南》（经济类）第三篇【例1.29】【例1.30】10…….【分析】本题求随机变量的条件概率密度，利用X与Y的独立性和公式fX|Y(x|y)f(x,y)可求解. fY(y)【详解】因为 X,Y 服从二维正态分布，且X与Y不相关，所以X与Y独立，所以f(x,y) fX(x)fY(y).故fX|Y(x|y)f(x,y)fX(x)fY(y)fX(x)，应选（A）.fY(y)fY(y)【评注】若 X,Y 服从二维正态分布，则X与Y不相关与X与Y独立是等价的. 完全类似例题和求法见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）第三篇第二章知识点精讲中的一（4），二（3）和【例2.38】11….【分析】本题求类未定式，可利用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论.x3x21 x xxx3 x2 1 0 0,|sinx cosx| 2，【详解】因为lim limx 2x x3x x311 x2x3 x2 1(sinx cosx) 0. 所以limx 2x x3【评注】无穷小的相关性质：（1）有限个无穷小的代数和为无穷小；（2）有限个无穷小的乘积为无穷小；（3）无穷小与有界变量的乘积为无穷小.完全类似例题和求法见文登强化班笔记《高等数学》第1讲【例1】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.43】12,……..【分析】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式. ( 1)n2nn!( 1)n2nn!12(n)(n)【详解】y ，则y(x) ，故y(0) . ,y n 12n 13(2x 3)2x 3 2x 3【评注】本题为基础题型.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例21】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【2.20】，【例2.21】.13…….【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可. 【详解】利用求导公式可得zy12f1 f2 ， xxy z1 x f1 2f2， yxy所以xy z zx y 2 f1 f2 . x yy x【评注】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第9讲【例8】, 【例9】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例6.16】,【例6.17】,【例6.18】.14…..【分析】本题为齐次方程的求解，可令u 【详解】令uy. xy，则原方程变为 xdu1dudxu x u u3 3 .dx2u2x两边积分得111 lnx lnC， 22u22y2即x1u1e x ex，将yCCx 11代入左式得 C e，，x e.x2故满足条件的方程的特解为 exey，即y【评注】本题为基础题型.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第7讲【例2】, 【例3】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例9.3】.15……….【分析】先将A求出，然后利用定义判断其秩.30 0【详解】A0 0100001000 0 0 0 A3010 000000001 0r(A) 1. 0 0【评注】本题为基础题型.矩阵相关运算公式见《数学复习指南》（经济类）第二篇第二章第1节中的知识点精讲.16……….【分析】根据题意可得两个随机变量服从区间 0,1 上的均匀分布，利用几何概型计算较为简便.【详解】利用几何概型计算. 图如下：21 1 S2 3.所求概率 ASD14【评注】本题也可先写出两个随机变量的概率密度，然后利用它们的独立性求得所求概率.完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例11】，《数学复习指南》（经济类）第三篇【例2.29】，【例2.47】.17……..【分析】由凹凸性判别方法和隐函数的求导可得.【详解】方程 ylny x y 0两边对x求导得y lny y即y (2 lny) 1，则y (1) 上式两边再对x求导得y1 y 0， y1. 22y y(2 lny)y则y (1) ，所以曲线y y(x)在点(1,1)附近是凸的.【评注】本题为基础题型.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲【例10】，《数学复习指南》（经济8类）第一篇【例5.29】.18…….【分析】由于积分区域关于x,y轴均对称，所以利用二重积分的对称性结论简化所求积分.【详解】因为被积函数关于x,y均为偶函数，且积分区域关于x,y轴均对称，所以f(x,y)d f(x,y)d ，其中D为D在第一象限内的部分.DD1而D1f(x,y)dx y 1,x 0,y 0x2d1 x y 2,x 0,ydx1x1 2 x22 xxdy dx y dxy10 01 x2所以1 . 12Df(x,y)d 1 .322【评注】被积函数包含x y时, 可考虑用极坐标，解答如下：1 x y 2x 0,y 0f(x,y)d1 x y x 0,y 02sin cos1sin cos2ddr.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第10讲【例1】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例7.3－例7.4】.19…….【分析】由所证结论f ( ) g ( )可联想到构造辅助函数F(x) f(x) g(x)，然后根据题设条件利用罗尔定理证明.【详解】令F(x) f(x) g(x)，则F(x)在 a,b 上连续，在(a,b)内具有二阶导数且F(a) F(b) 0.（1）若f(x),g(x)在(a,b)内同一点c取得最大值，则f(c) g(c) F(c) 0，于是由罗尔定理可得，存在 1 (a,c), 2 (c,b)，使得F ( 1) F ( 2) 0.再利用罗尔定理，可得存在 ( 1, 2)，使得F ( ) 0，即f ( ) g ( ). （2）若f(x),g(x)在(a,b)内不同点c1,c2取得最大值，则f(c1) g(c2) M，于是 F(c1) f(c1) g(c1) 0,F(c2) f(c2) g(c2) 0，于是由零值定理可得，存在c3 (c1,c2)，使得F(c3) 0 于是由罗尔定理可得，存在 1 (a,c3), 2 (c3,b)，使得F ( 1) F ( 2) 0.( ). 再利用罗尔定理，可得，存在 ( 1, 2)，使得F ( ) 0，即f ( ) g【评注】对命题为f(n)( ) 0的证明，一般利用以下两种方法：(n 1)方法一：验证为f(x)的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；方法二：验证f(n 1)(x)在包含x 于其内的区间上满足罗尔定理条件.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第4讲【例7】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例4.5】，【例4.6】.20….【分析】本题考查函数的幂级数展开，利用间接法. 【详解】f(x)111 11，而x2 3x 4(x 4)(x 1)5 x 4x 11111 x 1 (x 1)nn 1, 2 x 4， x 1x 431 3n 0 3 3n 031111 x 1 ( 1)n(x 1)n, 1 x 3 ， x 121 2n 0 2 n 02n 121(x 1)n ( 1)n(x 1)n( 1)nn 1 n 1 (x 1)n，所以 f(x) n 1n 1322 n 0n 0n 0 3n收敛区间为 1 x 3.【评注】请记住常见函数的幂级数展开.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第11讲【例13】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例8.15】.21…..【分析】将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得a. 【详解】将方程组和方程合并，后可得线性方程组x1 x2 x3 0 x 2x ax 0 1232x1 4x2 ax3 0 x 2x x a 123 1其系数矩阵1 1 1 0 0 0112a4a2210 1 0 000a 1 01101a 103a 1010a 11101a 10. 01 aa 10(a 1)(a 2)0110 11a 10 0200a 3a 2001 aa 1 0显然，当a 1,a 2时无公共解., 1,k为任意常数；当a 1时，可求得公共解为 k 1,0 , 1. 当a 2时，可求得公共解为0,1【评注】本题为基础题型，考查非齐次线性方程组解的判定和结构.完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第4讲【例8】，《数学复习指南》（经济类）第二篇【例4.12】，【例4.15】.22……【分析】本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质.535353【详解】（I）B 1 A 4A E 1 1 1 4 1 1 1 1 4 1 1 1 2 1，TT则 1是矩阵B的属于－2的特征向量. 同理可得5353B 2 2 4 2 1 2 2，B 3 3 4 3 1 3 3.所以B的全部特征值为2，1，1设B的属于1的特征向量为 2 (x1,x2,x3)，显然B为对称矩阵，所以根据不同特征值所对应的特征向量正交，可得T1T 2 0.即 x1 x2 x3 0，解方程组可得B的属于1的特征向量2 k1(1,0, 1)T k2(0,1,0)T，其中k1,k2为不全为零的任意常数.由前可知B的属于－2的特征向量为 k3(1, 1,1)T，其中k3不为零.101 100 -1（II）令P 01 1 ，由（Ⅰ）可得PBP 010 ，则101 00 2 01 1B 101 .110【评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，要想方设法将题设条件转化为Ax x的形式. 请记住以下结论：（1）设是方阵A的特征值，则kA,aA bE,A2,f(A),A 1,A*分别有特征值1A(A可逆） k ,a b, ,f( ),,，且对应的特征向量是相同的.2（2）对实对称矩阵来讲，不同特征值所对应的特征向量一定是正交的完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第5讲【例12】，《数学复习指南》（经济类）第二篇【例5.24】23…….【分析】（I）可化为二重积分计算； (II) 利用卷积公式可得. 【详解】（I）P X 2Yx 2y2 x y dxdy 0dx 2 x y dy 24.x207(II) 利用卷积公式可得 fZ(z)f(x,z x)dxz(2 x)dx,0 z 1 0 2z z20 z 1 1(2 x)dx,1 z 2 (2 z)21 z 2.z 1 0,其他0,其他【评注】 (II)也可先求出分布函数，然后求导得概率密度.完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例10】，【例11】，《数学复习指南》（经济类）第三篇【例2.38】，【例2.44】.（24） (本题满分11分)设总体X的概率密度为0 x 2 ,1f(x) , x 12(1 )0,其他(X1,X2, ,Xn) 为来自总体X的简单随机样本，是样本均值.（I）求参数的矩估计量；（II）判断4是否为的无偏估计量，并说明理由.【分析】利用EX 求（I）；判断E4X【详解】（I）EX222?2.xf(x)dx1xx 1dx dx ，21 2 24 令（II）E422112X . 4222 12 4E 4 4 DX EX ，n而EX2xf(x)dx2221x2x2 2 1dx dx ，21 2 336 所以 DX EX EX 所以212125， 481 12 1 15 2E 42 4 DX EX 1 2 1 ，n 3n 3n 412n故4不是的无偏估计量.【评注】要熟练掌握总体未知参数点估计的矩估计法，最大似然估计法和区间估计法.22。

考研数学三(线性代数)模拟试卷123(题后含答案及解析)

考研数学三（线性代数）模拟试卷123(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A为m×n阶矩阵，B为n×m阶矩阵，且m＞n，令r(AB)=r，则( )．A．r＞mB．r=mC．r＜mD．r≥m正确答案：C解析：显然AB为m阶矩阵，r(A)≤n，r(B)≤n，而r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤n＜m，所以选(C)．知识模块：线性代数2．设A为四阶非零矩阵，且r(A*)=1，则( )．A．r(A)=1B．r(A)=2C．r(A)=3D．r(A)=4正确答案：C解析：因为r(A*)=1，所以r(A)=4—1=3，选(C)．知识模块：线性代数3．设A，B都是n阶矩阵，其中B是非零矩阵，且AB=O，则( )．A．r(B)=nB．r(B)＜nC．A2一B2=(A+B)(A—B)D．|A|=0正确答案：D解析：因为AB=0，所以r(A)+r(B)≤n，又因为B是非零矩阵，所以r(B)≥1，从而r(A)＜n，于是|A|=0，选(D)．知识模块：线性代数4．设A，B分别为m阶和n阶可逆矩阵，则的逆矩阵为( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：A，B都是可逆矩阵，因为所以选(D)．知识模块：线性代数5．设则A，B的关系为( )．A．B=P1P2AB．B=P2P1AC．B=P2AP1D．B=AP2P1正确答案：D解析：P1=E12，P2=E23(2)，显然A首先将第2列的两倍加到第3列，再将第1及第2列对调，所以B=AE23(2)E12=AP2P1，选(D)．知识模块：线性代数6．设则( )．A．B=P1AP2B．B=P2AP1C．B=P2-1AP1D．B=P1-1AP2-1正确答案：D解析：显然因为P1-1=P1，所以选(D)．知识模块：线性代数填空题7．设A为四阶矩阵，|A*|=8，则正确答案：因为A为四阶矩阵，且|A*|=8，所以|A*|=|A|3=8，于是|A|=2．又AA*=|A|E=2E，所以A*=2A-1，故涉及知识点：线性代数8．若矩阵B是三阶非零矩阵，满足AB=O，则t=__________．正确答案：由AB=0得r(A)+r(B)≤3，因为r(B)≥1，所以r(A)≤2，又因为矩阵A有两行不成比例，所以r(A)≥2，于是r(A)=2．涉及知识点：线性代数9．设则A-1=__________．正确答案：涉及知识点：线性代数10．设则A-1=_______．正确答案：涉及知识点：线性代数11．设则(A*)-1=___________．正确答案：|A|=10，因为A*=|A|A-1，所以A*=10A-1，故涉及知识点：线性代数12．设则(A一2E)-1=____________．正确答案：涉及知识点：线性代数13．设n阶矩阵A满足A2+A一3E，则(A一3E)-1=__________．正确答案：由A2+A=3E，得A2+A一3E=0，(A一3E)(A+4E)=一9E，涉及知识点：线性代数14．正确答案：令A=(α1，α2，α3)，因为|A|=2，所以A*A=|A|E=2E，而A*A=(A*α1，A*α2，A*α3)，所以于是涉及知识点：线性代数15．设n维列向量a=(a，0，…，0，a)T，其中a且B为A的逆矩阵，则a=__________．正确答案：由且ααT≠O，得解得a=一1．涉及知识点：线性代数16．设三阶矩阵A，B满足关系A-1BA=6A+BA，且则B=____________．正确答案：由A-1BA=6A+BA，得A-1B=6E+B，于是(A-1一E)B=6E，涉及知识点：线性代数17．设A是4×3阶矩阵且r(A)=2，则r(AB)=_____________.正确答案：因为|B|=10≠0，所以r(AB)=r(A)=2．涉及知识点：线性代数18．设B为三阶非零矩阵，且AB=O，则r(A)=____________.正确答案：因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，又因为B≠O，所以r(B)≥1，从而有r(A)≤2，显然A有两行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)=2．涉及知识点：线性代数19．则P12009P2-1=_____________．正确答案：因为Eij-1=Eij，所以Eij2=E，于是涉及知识点：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三(线性代数)历年真题汇编1.doc

考研数学三（线性代数）历年真题汇编1(总分：50.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：14，分数：28.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________2.设n阶方阵A的秩r(A)=r＜n，那么在A的n个行向量中【】（分数：2.00）A.必有，一个行向量线性无关．B.任意r个行向量都线性无关．C.任意r个行向量都构成极大线性无关向量组．D.任意一个行向量都可以由其它r个行向量线性表出．3.设A为n阶方阵且∣A∣=0，则【】（分数：2.00）A.A中必有两行(列)的元素对应成比例．B.A中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合．C.A中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合．D.A中至少有一行(列)的元素全为0．4.向量组α1，α2，…，αs线性无关的充分条件是【】（分数：2.00）A.α1，α2，…，αs均不为零向量．B.α1，α2，…，αs中任意两个向量的分量不成比例．C.α1，α2，…，αs中任意一个向量均不能由其余s一1个向量线性表示．D.α1，α2，…，αs中有一部分向量线性无关．5.设有任意两个n维向量组α1，…，αm和β1，…，βm，若存在两组不全为零的数λ1，…，λm和k 1，…，k m，使(λ1 +k 1 )α1 +…+(λm +k m )αm +(λ1一k 1 )β1 +…+(λm一k m )βm =0，则【】（分数：2.00）A.α1，…，αm和β1，…，βm都线性相关．B.α1，…，αm和β1，…，βm都线性无关．C.α1 +β1，…，αm +βm，α1一β1，…，αm一βm线性无关．D.α1 +β1，…，αm +βm，α1—β1，…，αm一βm线性相关．6.设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是【】（分数：2.00）A.α1 +α2，α2 +α3，α3一α1B.α1 +α2，α2 +α3，α1 +2α2 +α3C.α1 +2α2，2α2 +3α3，3α3 +α1D.α1 +α2 +α3，2α1一3α2 +22α3，3α1 +5α2一5α37.设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm-1。

考研数学三线性代数(行列式)模拟试卷3(题后含答案及解析)

考研数学三线性代数（行列式）模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设2n阶行列式D的某一列元素及其余子式都等于a，则D=( )A．0。

B．a2。

C．一a2。

D．na2。

正确答案：A解析：按这一列展开，D=a1jA1j+a2jA2j+…+a2njA2nj=aA1j+aA2j+…+aA2nj，并注意到这一列元素的代数余子式中有n个为a，n个为一a，从而行列式的值为零，故选A。

知识模块：行列式2．四阶行列式的值等于( )A．a1a2a3a4一b1b2b3b4。

B．a1a2a3a4+b1b2b3b4。

C．(a1a2一b1b2)(a3a4一b3b4)。

D．(a2a3一b2b3)(a1a4一b1b4)。

正确答案：D解析：方法一：将此行列式按第一行展开，原式=a1=(a1a4—b1b4)(a2a3一b2b3)，故选D。

方法二：交换该行列式的第二行与第四行，再将第二列与第四列交换，即原式=由拉普拉斯展开可知，原式=(a1a4一b1b4)(a2a4一b2b3)，故选D。

知识模块：行列式3．设A=，且|A|=m，则|B|=( )A．m。

B．一8m。

C．2m。

D．一2m。

正确答案：D解析：方法一：故选D。

方法二：将行列式|A|的第一列加到第二列上，再将第二、三列互换，之后第一列乘以2就可以得到行列式|B|。

由行列式的性质知|B|=一2|A|=一2m，故选D。

知识模块：行列式4．α1，α2，α3，β1，β2均为四维列向量，A=(α1，α2，α3，β1)，B=(α3，α1，α2，β2)，且|A|=1，|B|=2，则|A+B|=( )A．9。

B．6。

C．3。

D．1。

正确答案：B解析：方法一：由矩阵加法公式，得A+B=(α1+α3，α2+α1，α3+α2，β1+β2)，结合行列式的性质有|A+B|=|α1+α3，α2+α1，α3+α2，β1+β2| =|2(α1+α2+α3)，α2+α1，α3+α2，β1+β2| =2 |α1+α2+α3，α2+α1,α3+α2，β1+β2| =2 |α1+α2+α3，α3，一α1,β1+β2|=2|α2，－α3，α1,β1+β2|=2|α1，α2，α3，β1+β2|=2(|A|+|B|)=6。

303数学三大纲

303数学考研大纲考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间：试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式：答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构微积分约56%线性代数约22%概率论与数理统计约22%四、试卷题型结构单项选择题选题8小题，每小题4分，共32分填空题6小题，每小题4分，共24分解答题（包括证明题）9小题，共94分微积分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念．6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法．7．理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系．8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值考试要求1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程．2．掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数，会求反函数与隐函数的导数．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．5．理解罗尔（Rolle）定理、拉格朗日( Lagrange)中值定理，了解泰勒（Taylor）定理、柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用．6．会用洛必达法则求极限．7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线．9．会描述简单函数的图形．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨（Newton- Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法反常（广义）积分定积分的应用考试要求1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法与分部积分法．2．了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法．3．会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题．4．了解反常积分的概念，会计算反常积分．四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法与隐函数求导法二阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算无界区域上简单的反常二重积分考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算．五、无穷级数考试内容常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式考试要求1．了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念．2．了解级数的基本性质及级数收敛的必要条件，掌握几何级数及级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法．3．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法．4．会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域5．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数．6．了解麦克劳林（Maclaurin）展开式．六、常微分方程与差分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法．3．会解二阶常系数齐次线性微分方程．4．了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程．5．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念．6．了解一阶常系数线性差分方程的求解方法．7．会用微分方程求解简单的经济应用问题．线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法．5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则．三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法考试要求1．了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则．2．理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系5．了解内积的概念．掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．四、线性方程组考试内容线性方程组的克拉默（Cramer）法则线性方程组有解和无解的判定齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组（导出组）的解之间的关系非齐次线性方程组的通解考试要求1.会用克拉默法则解线性方程组．2.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法．3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵考试要求1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法．2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法．3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求1．了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式等．3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．二、随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求1．理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用．3．掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布．4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，其中参数为的指数分布的概率密度为5．会求随机变量函数的分布．三、多维随机变量的分布考试内容多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常见二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布考试要求1．理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质．2．理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度，掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布．3．理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系．4．掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义．5．会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其简单函数的分布．四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望切比雪夫（Chebyshev）不等式矩、协方差、相关系数及其性质考试要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征．2．会求随机变量函数的数学期望．3．了解切比雪夫不等式．五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫大数定律伯努利（Bernoulli）大数定律辛钦（Khinchine）大数定律棣莫弗—拉普拉斯（De Moivre－Laplace）定理列维—林德伯格（Levy－Lindberg）定理考试要求1．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）．2．了解棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维—林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理），并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率．六、数理统计的基本概念考试内容总体个体简单随机样本统计量经验分布函数样本均值样本方差和样本矩分布分布分布分位数正态总体的常用抽样分布考试要求1．了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为2．了解产生变量、变量和变量的典型模式；了解标准正态分布、分布、分布和分布的上侧分位数，会查相应的数值表．3．掌握正态总体的样本均值、样本方差、样本矩的抽样分布．4.了解经验分布函数的概念和性质．七、参数估计考试内容点估计的概念估计量和估计值矩估计法最大似然估计法考试要求1．了解参数的点估计、估计量与估计值的概念．2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法。

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1 1 a 1 1 1 a
1
A 1 a 1 1 0 a 1 1 a 0 a 1 1 2 0 1 a 1 a2 a 2
1 1
a
1
0 a 1
1 a
0
0 0 a 1a 2 a 2
＿
当 a＝1 时，则 r（A）＝1≠r（A）＝2，此时方程组无解；
＿
当 a＝－2 时，则 r（A）＝r（A）＝2＜3，此时方程组有无穷多解，所以 a＝－2。
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第五章矩阵的特征值和特征向量
解答题
2 1 1
→
1．设矩阵
A
1 1
2 1
1 a
可逆，向量α＝（1，b，1）T
是矩阵
A*的一个特征向量，λ
是 α 对应的特征值，其中 A*是矩阵 A 的伴随矩阵，求非零实数 a、b、λ。
→
是二重特征值，知矩阵 2E－A 的秩为 1，即 2E－A 的任意两行元素都成比例。所以有
得 x＝2，y＝－2。
1 1 1
2E
A
x 3
2 3
y 3
→→
→
→
与（2E－A）x＝0同解的方程组为 x1＋x2－x3＝0，解得ξ1＝（－1，1，0）T，ξ2＝（1，
0，1）T 为矩阵 A 的属于特征值 λ＝2 的特征向量。
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→
→
xn＝0 同解，其基础解系为 n－1 个 n 维列向量，ξ2＝（－1，1，0，…，0）T，ξ3＝（－1，
→
0，1，0，…，0）T，…，ξn＝（－1，0，0，…，1）T，所以属于矩阵 A 的特征值 λ2＝λ3

考研数学三(线性代数)模拟试卷34(题后含答案及解析)

考研数学三（线性代数）模拟试卷34(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A是n阶矩阵，α是n维列向量，且秩=秩(A)，则线性方程组A．AX=α必有无穷多解B．AX=α必有惟一解C．仅有零解D．必有非零解正确答案：D解析：方程组=0是λ+1元齐次线性方程组，由条件，其系数矩阵的秩=An ×m的秩≤n＜n+1，故该λ+1元齐次线性方程组必有非零解。

于是知(D)正确。

知识模块：线性代数2．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)x=0A．当n＞m时仅有零解B．当n＞m时必有非零解C．当m＞n时仅有零解D．当m＞n时必有非零解正确答案：D解析：注意AB为m阶方阵，方程组(AB)x=0有非零解(只有零解)r(AB)＜m(r(AB)=m)。

当m＞n时，有r(AB)≤r(A)≤n＜m故当m＞n时，方程组(AB)x=0必有非零解。

可以举例说明备选项(A)、(B)都不对。

故只有(D)正确。

知识模块：线性代数3．设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠0，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系A．不存在B．仅含一个非零解向量C．含有两个线性无关的解向量D．含有三个线性无关的解向量正确答案：B解析：由A*≠0知A*至少有一个元素Aij=(一1)i+jMij≠0，故A的余子式Mij≠0，而Mij为A的n—1阶子式，故r(A)≥n一1，又由Ax=b有解且不唯一知r(A)＜n，故r(A)=n一1，因此，Ax=0的基础解系所含向量个数为n一r(A)=n 一(n一1)=1，只有(B)正确。

知识模块：线性代数4．设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Ax=β的通解为A．B．C．D．正确答案：C解析：首先，由是Ax=β的一个特解；其次，由解的性质或直接验证，知η2一η1及η3一η1均为方程组Ax=0的解，再次，由η1，η2，η3线性无关，利用线性无关的定义，或由[η2一η1，η3一η1]=[η1，η2，η3]及矩阵的秩为2，知向量组η2一η1，η3一η1线性无关，因此，方程组Ax=0至少有2个线性无关的解，但它不可能有3个线性无关的解(否则，3一r(A)=3，这与A η1=β≠0矛盾)，于是η2一η1，η3一η1可作为Ax=0的基础解系，Ax=0的通解为k1(η2一η1)+k2(η3一η1)，再由非齐次线性方程组解的结构定理即知只有选项(C)正确。

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考研数学三（线性代数）-试卷3(总分：64.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设λ 1 ，λ 2 是n 阶矩阵A 的特征值，α 1 ，α 2 分别是A 的对应于λ 1 ，λ 2 的特征向量，则 ( ) （分数：2.00）A.当λ 1 =λ 2 时，α 1 ，α 2 对应分量必成比例B.当λ 1 =λ 2 时，α 1 ，α 2 对应分量不成比例C.当λ 1 ≠λ 2 时，α 1 ，α 2 对应分量必成比例D.当λ 1 ≠λ 2 时，α 1 ，α 2 对应分量必不成比例 √解析：解析：当λ 1 =λ 2 时，α 1 与α 2 可以线性相关也可以线性无关，所以α 1 ，α 2 可以对应分量成比例，也可以对应分量不成比例，故排除(A)，(B)．当λ 1 ≠λ 2 时，α 1 ，α 2 一定线性无关，对应分量一定不成比例，故选(D)．3.已知α 1 =[－1，1，a ，4] T，α 2 =[－2，1，5，a] T，α 3 =[a ，2，10，1] T是4阶方阵A 的3个不同特征值对应的特征向量，则a 的取值为 ( ) （分数：2.00） A.a≠5 √ B.a≠－4 C.a≠－3D.a≠－3且a≠－4解析：解析：α 1 ，α 2 ，α 3 是三个不同特征值的特征向量，必线性无关，由a≠5．故应选(A)．4.设A ，B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，E 为n 阶单位矩阵，则 ( ) （分数：2.00） A.λE －A=λE －BB.A 与B 有相同的特征值和特征向量C.A 与B 都相似于一个对角矩阵D.对任意常数t ，tE －A 与tE －B 相似 √解析：解析：A 与B 相似，存在可逆矩阵P ，使得P －1AP=B ，则 tE －B=tE －P －1AP=P －1(tE)P －P －1AP=P－1(tE －A)P ，即tE －A 与tE －B 相似，选(D)．对于(A)：由λE －A=λE －B ，有A=B ；对于(B)：A 与B 相似，则A 与B 有相同的特征值，但特征向量不一定相同；对于(C)：A 与B 不一定能够相似对角化． 5.设A 为n 阶矩阵，下列命题正确的是 ( ) （分数：2.00）A.若α为A T的特征向量，那么α为A 的特征向量 B.若α为A * 的特征向量，那么α为A 的特征向量 C.若α为A 2 的特征向量，那么α为A 的特征向量 D.若α为2A 的特征向量，那么α为A 的特征向量 √解析：解析：①矩阵A T与A 的特征值相同，但特征向量不一定相同，故(A)错误． ②假设α为A 的特征向量，λ为其特征值，当λ≠0时α也为A *的特征向量．这是由于 A α=λα=>A *A α=λ A *α=A *α= λ －1｜A ｜α．但反之，α为A *的特征向量，那么α不一定为A 的特征向量．例如：当r(A)＜n －1时，A *=O ，此时，任意n 维非零列向量都是A *的特征向量，故A *的特征向量不一定是A 的特征向量．可知(B)错误． ③假设α为A 的特征向量，λ为其特征值，则α为A 2的特征向量．这是由于 A 2α=A(A α)=λA α=λ 2α．但反之，若α为A 2的特征向量，α不一定为A 的特征向量．例如：假设A β1=β 1 ，A β 2 =－β 2 ，其中 β 1 ，β 2 ≠0．此时有A 2 (β 1 +β 2 )=A 2 β 1 +A 2β 2 =β 1 +β2，可知β1 +β2为A 2的特征向量．但β1，β2是矩阵A两个不同特征值的特征向量，它们的和β1 +β2不是A的特征向量．故(C)错误．④若α为2A的特征向量，则存在实数λ使得2Aα=λα，此时有Aαλα，因此α为A的特征向量．可知(D)是正确的．故选(D)．6.已知3阶矩阵A有特征值λ1 =1，λ2 =2，λ3 =3，则2A *的特征值是 ( )（分数：2.00）A.1，2，3B.4，6，12 √C.2，4，6D.8，16，24解析：解析：BA *的特征值是A｜=λ1λ2λ3，λi是A的特征值，分别为1，2，3，故2A *的特征值为4，6，12．7.已知A是3阶矩阵，r(A)=1，则λ=0 ( )（分数：2.00）A.必是A的二重特征值B.至少是A的二重特征值√C.至多是A的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都可能解析：解析：A是三阶矩阵，r(A)=1，r(OE－A)=1． (OE－A)X=0有两个线性无关特征向量，故λ=0至少是二重特征值，也可能是三重，例如：，r(A)=1，λ=0是三重特征值．8.已知ξ1，ξ2是方程(λE－A)X=0的两个不同的解向量，则下列向量中必是A的对应于特征值λ的特征向量的是 ( )（分数：2.00）A.ξ1B.ξ2C.ξ1－ξ2√D.ξ1 +ξ2解析：解析：因ξ1≠ξ2，故ξ1－ξ2≠0，且仍有关系 A(ξ1－ξ2 )=λξ1－ξ2 =λ(ξ1－ξ2 )，故ξ1－ξ2是A的特征向量．而(A)ξ1，(B)ξ2，(D)ξ1 +ξ2均有可能是零向量而不能成为A的特征向量．9.A的特征向量的是 ( )（分数：2.00）A.ξ1 =[1，2，1] TB.ξ2 =[1，－2，1] T√C.ξ3 =[2，1，2] TD.ξ4 =[2，1，－2] T解析：解析：因Aξ2ξ2是A的对应于λ=－2的特征向量．其余的ξ1，ξ2，ξ3均不与Aξ1，Aξ2，Aξ3对应成比例，故都不是A的特征向量．10.下列矩阵中能相似于对角阵的矩阵是（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：四个选项的矩阵，特征值均为1，1，2，能相似于对角阵的矩阵，要求对应二重特征值λ1=λ2 =1，有两个线性无关特征向量．对(C)而言，因r(E－=1．可有两个线性无关特征向量，故(C)可相似于对角阵，而r(E－A)=r(E－B)=r(E－D)=2，都只有一个线性无关特征向量，故均不能：相似于对角阵．二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.设B是3阶非零矩阵，且AB=O，则Ax=0的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：k[－1，1，0] T，k为任意常数）解析：解析：由于A为4×3矩阵，AB=O，且B≠O，我们得知r(A)＜3，对A作变换r(A)＜3，有a=1．当a=1时，求得Ax=0的基础解系为[－1，1，0] T，因此通解为k[－1，1，0] T，k为任意常数．12.已知－2是b≠0是任意常数，则x= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：－4）解析：解析：由｜λE－A｜=｜－2A－E｜=0，可求得x=－4．13.设n阶矩阵A的元素全是1，则A的n个特征值是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0(n－1重根)，n(单根)）λ=0(n－1重特征值)，λ=n(单根)．14.设A是3阶矩阵，已知｜A+E｜=0，｜A+2E｜=0，｜A+3E｜=0，则｜A+4E｜= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：由｜A+E｜=｜A+2E｜=｜A+3E｜=0，知A有特征值λ=－1，－2，－3，A+4E有特征值λ=3，2，1，故｜A+4E｜=6．15.设A是3阶矩阵，｜A｜=3．且满足｜A 2 +2A｜=0，｜2A 2 +A｜=0，则A *的特征值是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：μ1μ2 =－6，μ3 =1）解析：解析：｜A｜｜A+2E｜=0，因｜A｜=3，则｜A+2E｜=0，故A有特征值λ1=－2．又因｜A｜=3=λ1λ2λ3，故λ3 =3． Aξ=λξ，A * Aξ=λA *ξ，A *ξ= ξ，故A *有特征值μ1，μ2 =－6，μ3 =1．16.设A是n阶实对称阵，λ1，λ2，…，λn是A的n个互不相同的特征值，ξ1是A的对应于λ1的一个单位特征向量，则矩阵B=A－λ1ξ1ξ1T的特征值是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0，λ2，λ3，…，λn）解析：解析：因A是实对称阵，λ1，λ2，…，λn互不相同，对应的特征向量ξ1，ξ2，…，ξn相互正交，故 Bξi =(A－λ1ξ1ξ1T )ξi故B有特征值为0，λ2，λ3，…，λn．三、解答题(总题数：16，分数：32.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：18.A是三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是相应的特征向量．证明：向量组A(ξ1 +ξ2 )，A(ξ2 +ξ3 )，A(ξ3 +ξ1 )线性无关的充要条件是A是可逆矩阵．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：A(ξ1 +ξ2 )，A(ξ2 +ξ3 )，A(ξ3 +ξ1 )线性无关<=>λ1ξ1 +λ2ξ2，λ2ξ2 +λ3ξ3，λ3ξ3 +λ1ξ1线性无关<=>[λ1ξ1 +λ2ξ2，λ2ξ2 +λ3ξ3，λ3ξ3 +λ1ξ1 ]=[ξ1，ξ2，ξ3 ] 秩为3．因为ξ1，ξ2，ξ3线性无关，=2λ1λ2λ3≠0<=>｜A｜=λ1λ2λ3≠0，A是可逆阵．)解析：19.设A是三阶实矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是三个对应的特征向量．证明：当λ2λ3≠0时，向量组ξ1，A(ξ1 +ξ2 )，A 2 (ξ1 +ξ2 +ξ3 )线性无关．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：因 [ξ1，A(ξ1 +ξ2 )，A 2 (ξ1 +ξ2 +ξ3 )]=[ξ1，λ1ξ1 +λ2ξ2 +λ12ξ1 +λ22ξ2 +λ32ξ3 ]=[ξ1，ξ2，ξ3 ] 因λ1≠λ2≠λ3，故ξ1，ξ2，ξ3线性无关，由上式知ξ1，A(ξ1 +ξ2 )，A 2 (ξ1 +ξ2 +ξ3 )线性无关=λ2λ32≠0，即λ2λ3≠0．)解析：20.设A是n阶实矩阵，有Aξ=λξ，A Tη=μη，其中λ，μ是实数，且λ≠μ，ξ，η是n维非零向量．证明：ξ，η正交．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：Aξ=λξ，两边转置得ξT A T =λξT，两边右乘η，，得ξT A Tη=λξTη，ξTμη=λξTη， (λ－μ)ξTη=0，λ≠μ，故ξTη=0，ξ，η相互正交．)解析：21.设矩阵k为何值时，存在可逆阵P，使得P －1 AP=A，求出P及相应的对角阵．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：λ=－1是二重特征值，为使A相似于对角阵，要求r(λE－A)=r(－E－A)=1，r(－E－A)=1=>k=0，故k=0时，存在可逆阵P，使得 P －1 AP=A． k=0时，故k=0时，存在可逆阵使得)解析：22.已知A的特征值和特征向量，a为何值时，A相似于A，a为何值时，A不能相似于A．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：=(λ－a)[λ－(1－a)][λ－(1+a)]=0，得λ1=1－a，λ2=a，λ3=1+a．a≠且a≠0时，λ1≠λ2≠λ3，A～A；a=0时，λ1 =λ3 =1，r(E－)解析：23.已知α=[1，k，1] T是A －1的特征向量，其中α所对应的特征值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由题设A －1α=λα，A是A －1的对应于α的特征值，两边左乘A，得α=λAα，A －1可逆，λ≠0，Aα= μα，即对应分量相等，得 3+k=μ， 2+2k=kμ， 3+k=μ，得2+2k=k(3+k)，k 2 +k－2=0，得k=1或k=－2．当k=1时，α=[1，1，1] T，μ=4，λ= ；当k=－2时，α=[1，－2，1] T，μ=1，λ=1．)解析：24.设矩阵λ=2是A的二重特征值，试求可逆阵P，使得P －1 AP=A，A是对角阵．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：A有三个线性无关的特征向量，λ=2是二重特征值，故特征矩阵2E－A的秩应为1．r(2E－A)=r =1．解得x=2，y=－2，故A= 因trA=10= =4+λ3，故λ3=6．λ=2时，(2E－A)X= =0．解得λ=6时，(6E－A)X= =0，解得令P=[ξ1，ξ2，ξ3 ]= ，则P －1)解析：25.已知ξ=[1，1，－1] T是矩阵A= (1)确定参数a，b及考对应的特征值λ；(2)A是否相似于对角阵，说明理由．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：(1)设A的特征向量考所对应的特征值为λ，则有Aξ=λξ，即解得λ=－1，a=－3，b=0． (2)当a=－3，b=0时，由｜λE－A｜= =(λ+1) 3 =0 知λ=－1是A的三重特征值，但 r(－E－=2．当λ=－1时，对应的线性无关特征向量只有一个，故A不能相似于对角阵．)解析：26.设矩阵A｜=－1，A的伴随矩阵A *有特征值λ0，属于λ0的特征向量为α=[1，－1，1] T，求a，b，c及λ0的值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：A *α=λ0α，左乘A，得AA *α=｜A｜α=－α=λ0 Aα．即由此得λ0 (－a+1+c)=1，① λ0 (－5－b+3)=1，② λ0 (c－1－a)=－1，③ 由式①，③解得λ0 =1，代入式①，②得b=－3，a=c．由｜A｜=－1，a=c，有=a－3=－1．得a=c=2，故得a=2，b=－3，c=2，λ0 =1．)解析：27.设A 是三阶实对称阵，λ 1 =－1，λ 2 =λ 3 =1是A 的特征值，对应于λ 1 的特征向量为ξ 1 =[0，1，1] T，求A ．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：λ 2 =λ 3 =1有两个线性无关特征向量ξ 2 ，ξ 3 ，它们都与ξ 1 正交，故可取ξ 2 =[1，0，0] T，ξ 3 =[0，1，－1] T，且取正交矩阵 T= 则A=TAT －1 =TAT T)解析：28.设A 是n 阶方阵，2，4，…，2n 是A 的n 个特征值，E 是n 阶单位阵．计算行列式｜A －3E ｜的值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：若λ为A 的特征值，则λ－3为A －3E 的特征值．所以A －3E 的特征值为－1，1，3，…，2n －3，故｜A －3E ｜=(－1)×1×3×…×(2n－3)=－(2n －3)！！．) 解析：29.设矩阵已知A 的一个特征值为3，试求y ；(2)求矩阵P ，使(AP) T(AP)为对角矩阵．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：(1)｜A －λE ｜=(λ－1)(λ+1)[λ 2－(2+y)λ+(2y －1)]=0y=2． (2)A 为对称矩阵，要使(AP) T(AP)=P TA 2P 为对角矩阵，即将实对称矩阵A 2对角化．由(1)得A 的特征值λ 1=－1，λ 2，3 =1，λ 4 =3，故A 2的特征值λ 1，2，3 =1，λ 4 =9．且 A 2= A 2的属于特征值λ1，2，3=1的正交单位化的特征向量为A 2的属于特征值λ 4 =9的正交单位化的特征向量为P 4 = 令P=[p 1 ，p 2 ，p 3 ，p 4 ]= ，则(AP) T)解析：30.设A 为3阶矩阵，λ 1 ，λ 2 ，λ 3 是A 的三个不同特征值，对应的特征向量为α 1 ，α 2 ，α 3 ，令β=α 1 +α 2 +α 3 ． (1)证明：β，A β，A 2β线性无关； (2)若A 3β=A β，求秩r(A －E)及行列式｜A+2E ｜．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：(1)设 k 1 β+k 2 A β+k 3 A 2 β=0， ① 由题设A α i =λ i α i (i=1，2，3)，于是 A β=A α 1 +A α 2 +A α 3 =λ 1 α 1 +λ 2 α 2 +λ 3 α 3 ， A 2β=λ 1 2α 1 +λ 2 2α 2 +λ 32α 3 ，代入①式整理得 (k 1 +k 2 λ 1 +k 3 λ 1 2 )α 1 +(k 1 +k 2 λ 2 +k 3 λ 2 2)α 2 +(k 1 +k 2λ 3 +k 3 λ 3 2)α 3 =0．因为α 1 ，α 2 ，α 3 是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有其系数行列式≠0，必有k 1 =k 2 =k 3 =0，故β，A β，A 2β线性无关． (2)由A3β=A β有 A[β，A β，A 2β]=[A β，A 2β，A 3β]=[A β，A 2β，A β]=[β，A β，A 2β]令P=[β，A β，A 2β]，则P 可逆，且 P －1AP= =B ，从而有r(A －E)=r(B －E)= =2．｜A+2E ｜=｜B+2E ｜=6．)解析：31.设B，使A=B 2．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：｜λE－A｜= =λ(λ－9) 2 =0=>λ1 =0，λ2 =λ3 =9．λ1 =0=>(0E－A)X=0=>ξ1=[1，2，2] T；λ2=λ3=9=>(9E－A)X=0=>ξ2=[2，－2，1] T，ξ3=[2，1，－2] T．单位化Q= 为正交矩阵．因此)解析：32.证明：A～B，其中P，使得P －1 AP=B．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由A知，A的全部特征值是1，2，…，n，互不相同，故A相似于由其特征值组成的对角阵B．由于λ1 =1时，(λ1 E－A)X=0，有特征向量ξ1 =[1，0，…，0] T；λ2 =2时，(λ2 E－A)X=0，有特征向量ξ2=[0，1，…，0] T；…… λn=n时，(λn E－A)X=0，有特征向量ξn=[0，0，…，1] T．故有 Aξn =nξn，Aξn－1 =(n－1)ξn－1，…，Aξ1 =ξ1，即 A[ξn，ξn－1，ξ1 ]=[nξn，(n－1)ξn－1，ξ1 ]=[ξn，ξn－1，ξ1 ] 故得可逆阵 P=[ξn，ξn－1，ξ1有 P －1 AP=B．)解析：。

考研数学三(线性代数)-试卷3