泰勒公式课件98855
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第三节泰勒公式39页PPT
Q
(n n
1
)
(
)
f (n1) ( )
(n 1) !
(在x0与x之间 )
Pn(n1)(x)0,Rn(n1)(x) f(n1)(x)
Rn(x)f(n(n 1)1()!)(xx0)n1
Qn(n1)(x)(n1)!
(在x0与x之间 )
证毕！
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p8(x)比 p2(x)在更大的范围内更接近余弦函数.
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(1) 若f(x)在x0连续 , 则有 xl im x0 f(x)f(x0) 由极限和无穷小量间的关系
f(x)f(x0)
f(x)f(x0)
用常数代替函 数误差太大
(2) 若f(x)在x0可导 , 由微分有
f(x 0 x ) f(x 0 ) f(x 0 ) x
余项 公式
Rn(x)f(n (n 1)1())!(xx0)n1
① 称为 f ( x)的 n 阶泰勒公式
②
（
.
在
x
0与x
之间）
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
证明: Pn(x) R n(x)f(x)P n(x)
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余其项中f ( ：x R ) n (x Pf n)(( xx ) 0 f() n ( n 1f )1( )( x )!0 () x x f x( (0x n )n 0 )n) ( !1 x0f)②(2(（x !x0 )(x 在x0)xn x0与0)R2 xn之(x间①) ）
f(x)coxs
p1(x)
y1
y=1
令：p8(0)f(0),求出a0 1
p8 (0)f(0) a1 0
数学分析-Taylor公式与科学计算PPT课件
03 Taylor公式在科学计算中 的应用
多项式逼近
多项式逼近
利用Taylor公式，可以将复杂的函数展开 为多项式形式，从而实现对复杂函数的 近似计算。这种多项式逼近方法在数值 分析和科学计算中具有广泛的应用。
VS
逼近精度
通过选择合适的阶数和节点，可以控制多 项式逼近的精度。高阶多项式逼近能够更 好地逼近函数，但同时也需要更多的计算 资源和时间。
总结词
通过Taylor展开，可以将微分方程转化为差分方程，从 而简化求解过程。
详细描述
在求解微分方程时，有时可以利用Taylor展开将微分方 程转化为差分方程，从而简化求解过程。这种方法在数 值分析中有着广泛的应用，尤其在处理偏微分方程时非 常有效。
05 结论
Taylor公式的意义与价值
1 2
精确近似
数学分析-Taylor公式与科学计算 PPT课件
目录
• 引言 • Taylor公式简介 • Taylor公式在科学计算中的应用 • 实例演示 • 结论
01 引言
主题简介
数学分析
数学分析是研究函数的极限、连 续性、可微性、可积性和实数完 备性的学科，是数学专业的重要
基础课程之一。
Taylor公式
算过程。
求解微分方程
要点一
初值问题
在求解微分方程时，可以利用Taylor公式对微分方程进行 离散化，从而转化为数值求解问题。通过选择合适的步长 和阶数，可以控制数值解的精度和稳定性。
要点二
边值问题
对于微分方程的边值问题，可以利用Taylor公式将问题转 化为有限元方法或边界元方法等数值方法进行求解。这种 方法在科学计算和工程领域中具有广泛的应用。
02 Taylor公式简介
高等数学(第二版)上册课件：泰勒公式
分析
近 1.若在 x0点相交
似 程
Pn (x) f (x0)
度 越
2.若有相同的切线
来
越 好
Pn' (x) f ' (x0)
3.若弯曲方向相同
Pn'' (x) f '' (x0 )
y
y f (x)
0 x0
x
（1） 求 n 次近似多项式
Pn (x0) f (x0)
p'n (x0 )
f
' n
所以
f (x) 8 10(x 1) 9(x 1)2 6(x 1)3 (x 1)4
【例3.3.4】 求 f (x) ex2 的带有佩亚诺余项麦克劳林展开式
解
因为 ex 1 x x2 xn o(xn1)
2!
n!
用 x2代替公式中的 x，即得
ex2 1 x2 x4 x2n o(x2n2 )
2!
n!
【例3.3.1】 求 f (x) ex 的n阶麦克劳林展开式
解 由于 f ' (x) f ''(x) f (n) (x) ex，
所以 f '(0) f ''(0) f (n) (0) 1 ，
取拉格朗日余项，得麦克劳林展开式为
ex 1 x x2 xn e x xn1
则误差 R(x)= f (x) P(x)
设函数 f (x)在含有 x0 的开区间 (a, b) 内具有直到 (n+1) 阶导数，P(x) 为
多项式函数
pn(x)
a 1
(x
x0
)
a2
(x
x0
)2
an(x x0)n
《泰勒公式》PPT课件
Rn ( x)
M (n 1) !
x x0
n1
二、泰勒定理
f (x)
f (x0 )
f ( x0 )( x
x0)
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
Hale Waihona Puke f (n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
Rn ( x)
其中
Rn ( x)
f (n1) ( )
( (n 1) !
x
x0
)n1
(
)
(n 1)! (n 1)!
在x与x0之间
二、泰勒定理
若 f (x)在包含 x0的某开区间 (a,b) 内具有
直 到 n 1 阶的导数 , 则当 x (a , b) 时, 有
f (x)
f (x0)
f ( x0 )( x
x0)
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
f (n)( x0 ) ( x n!
如何确定Pn ( x)？——确定系数a0 , a1 , , an
f (k ) ( x0 ) Pn(k ) ( x0 ) (k 0,1, 2, , n)
设
函
数
f
(
x
)在
含
有
x
的
0
开
区
间(
a
,
b
)内
具
有
1至
(
n
1)阶
导
数
f ( x0 ) Pn ( x0 ) a0
f ( x0 ) Pn ( x0 ) a1
x0 )n
Rn ( x)
①
其中
Rn ( x)
f (n1) ( )
考研高数总复习泰勒公式(讲义)PPT课件
即，泰勒公式是一阶微分近似式和拉氏公式的 推广
2.取 x0 0,
在0 与x 之间,令 x (0 1)
则余项
Rn ( x)
f (n1) (x) x n1
(n 1)!
Foil 10
麦克劳林(Maclaurin)公式
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x 2 f (n) (0) x n
误差 Rn ( x) f ( x) P:
1.若在 x 0 点相交
近
似 程
Pn ( x0 ) f ( x0 )
度 越
2.若有相同的切线
来 越
Pn( x0 ) f ( x0 )
好 3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 )
y
o
皮亚诺形式的余项
f (x)
n k0
f
(k)( x0 )( x k!
x0 )k
o[( x
x0 )n ]
Foil 9
注意:
1. 当n 0 时,泰勒公式变成拉氏中值公式
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 )
(在x
与
0
x之
间)
当 n=1 时，略去余项,得到一阶微分近似式
f (x) f (x0 ) f '(x)(x x0 )
注 意 到 f ( x ) (n1) e x
代入公式,得
e x 1 x x 2 x n e x x n1 (0 1).
2!
n! (n 1)!
Foil 13
由公式可知
ex 1 x x2 xn
2!
n!
估计误差 (设 x 0)
Rn ( x)
ex x n1 (n 1)!
2.取 x0 0,
在0 与x 之间,令 x (0 1)
则余项
Rn ( x)
f (n1) (x) x n1
(n 1)!
Foil 10
麦克劳林(Maclaurin)公式
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x 2 f (n) (0) x n
误差 Rn ( x) f ( x) P:
1.若在 x 0 点相交
近
似 程
Pn ( x0 ) f ( x0 )
度 越
2.若有相同的切线
来 越
Pn( x0 ) f ( x0 )
好 3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 )
y
o
皮亚诺形式的余项
f (x)
n k0
f
(k)( x0 )( x k!
x0 )k
o[( x
x0 )n ]
Foil 9
注意:
1. 当n 0 时,泰勒公式变成拉氏中值公式
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 )
(在x
与
0
x之
间)
当 n=1 时，略去余项,得到一阶微分近似式
f (x) f (x0 ) f '(x)(x x0 )
注 意 到 f ( x ) (n1) e x
代入公式,得
e x 1 x x 2 x n e x x n1 (0 1).
2!
n! (n 1)!
Foil 13
由公式可知
ex 1 x x2 xn
2!
n!
估计误差 (设 x 0)
Rn ( x)
ex x n1 (n 1)!
泰勒公式ppt课件精选全文完整版
令n=2m，于是有
sin x
x
x3 3!
x5 5!
(1)m1 x2m1 (2m 1)
!
R2m
(
x)
其中 R2m (x)
s(in1()mxcos2(m2x1) ) x2m1 (0 1)
(2m 1) !
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18
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类似地,可得
cos x
1 x2 2!
x4 4!
f (k)( x0 )
n!an f (n) ( x0 ). (k 0,1,2,, n)
代入 Pn ( x)中得
Pn ( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2f(n)( x n!)(x
x0
)n
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10
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三、泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b) 内具有直到(n 1) 阶的导数,则
当 x在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个 n次多项式与一个余项Rn ( x)之和:
f (x)
f ( x0 )
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例1:求函数 f (x) ex 的n阶麦克劳林展开式.
解:因为 f'x f''x fn x e x ，
所以 f0 f'0 f''0 fn 0 1 .
故
ex
1 x x2
sin x
x
x3 3!
x5 5!
(1)m1 x2m1 (2m 1)
!
R2m
(
x)
其中 R2m (x)
s(in1()mxcos2(m2x1) ) x2m1 (0 1)
(2m 1) !
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类似地,可得
cos x
1 x2 2!
x4 4!
f (k)( x0 )
n!an f (n) ( x0 ). (k 0,1,2,, n)
代入 Pn ( x)中得
Pn ( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2f(n)( x n!)(x
x0
)n
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三、泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b) 内具有直到(n 1) 阶的导数,则
当 x在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个 n次多项式与一个余项Rn ( x)之和:
f (x)
f ( x0 )
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例1:求函数 f (x) ex 的n阶麦克劳林展开式.
解:因为 f'x f''x fn x e x ，
所以 f0 f'0 f''0 fn 0 1 .
故
ex
1 x x2
高等数学(外)课件-泰勒公式
f (n1) ( )
(n 1)!
(x
x0 )n1 ,
(
在
x0
与
x
之间).
證畢
高等数学
6
注 ① 特别地，当n 0时, 有
f ( x) f ( x0 ) f ( )(x x0 ) ( 在 x0 与 x 之间)
因此, 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.
② 由3式，用Pnx近似表示f x时的误差为Rnx ,
高等数学
2
對於 pnx a0 a1x x0 a2x x0 2 anx x0 n ⑴
假設 Pnx0 f x0 , Pn x0 f x0 , Pn x0 f x0 ,
, Pnn x0 f nx0 , 則有
a0
f x0 , a1
f x0 ,a2
1 2!
f x0 ,
an
x0
1 2!
f x0 x
x0 2
1 n!
f
nx0 x
x0 n
xLeabharlann x0n高等数学
P2
8
③ 在⑶式中，若取 x0 0, 令 x (0 1), 則有
麥克勞林(Maclaurin)公式
f x f 0 f 0x 1 f 0x2 1 f n0xn
2!
n!
1
f n1 x x n1
n!
x n1
所以 f 0 1, f 0 1, f 0 2!, , f n 0 (1)nn!
於是得 1 1 x x2 x3 1 x
1n
xn
1n1 1 xn1
(0
1)
高等数学
13
內容小結
1. 泰勒公式
f x
f x0
f x0 x
《函数的Taylor公式》课件
多变量的taylor公式在多元微积分、偏微分方程等领域有广泛的应用，如求解多变量优 化问题、分析多变量函数的性质等。
分段的taylor公式
分段的taylor公式定义
01
对于分段定义的函数，其taylor公式是在每个分段内展开函数的
一种方法，需要考虑分段点处的连续性和导数。
分段的taylor公式的收敛性
02
taylor公式的推导
一次taylor公式
总结词：线性逼近
详细描述：一次taylor公式可以将一个函数在某一点的值近似为其在该点处的导 数值与自变量增量的线性组合，即 f(x)≈f(a)+f′(a)(x−a)。
二次taylor公式
总结词
二次多项式逼近
详细描述
二次taylor公式在某一点的值近似为该点处的二阶导数与自变量增量的二次多项 式，即 f(x)≈f(a)+f′(a)(x−a)+12!f″(a)(x−a)2。
近似计算误差估计
taylor公式还可以提供近似计算的误 差估计，帮助我们了解近似值的精度 。
函数性质的研究
研究函数的局部行为
taylor公式可以用来研究函数在某一 点的局部行为，例如求函数的极值点 或拐点。
函数展开与收敛性
taylor公式可以用来研究函数的展开 和收敛性，从而深入了解函数的性质 。
函数的分析和计算非常有用。
适用范围广：Taylor公式适用于各种 类型的函数，包括连续可导的函数。
局限性
收敛性：Taylor公式的收敛速度可能 很慢，需要足够多的项才能达到所需 的精度。
区间限制：Taylor公式只在一定区间 内收敛，超出这个区间公式就不再成 立。
taylor公式的进一步研究
分段的taylor公式
分段的taylor公式定义
01
对于分段定义的函数，其taylor公式是在每个分段内展开函数的
一种方法，需要考虑分段点处的连续性和导数。
分段的taylor公式的收敛性
02
taylor公式的推导
一次taylor公式
总结词：线性逼近
详细描述：一次taylor公式可以将一个函数在某一点的值近似为其在该点处的导 数值与自变量增量的线性组合，即 f(x)≈f(a)+f′(a)(x−a)。
二次taylor公式
总结词
二次多项式逼近
详细描述
二次taylor公式在某一点的值近似为该点处的二阶导数与自变量增量的二次多项 式，即 f(x)≈f(a)+f′(a)(x−a)+12!f″(a)(x−a)2。
近似计算误差估计
taylor公式还可以提供近似计算的误 差估计，帮助我们了解近似值的精度 。
函数性质的研究
研究函数的局部行为
taylor公式可以用来研究函数在某一 点的局部行为，例如求函数的极值点 或拐点。
函数展开与收敛性
taylor公式可以用来研究函数的展开 和收敛性，从而深入了解函数的性质 。
函数的分析和计算非常有用。
适用范围广：Taylor公式适用于各种 类型的函数，包括连续可导的函数。
局限性
收敛性：Taylor公式的收敛速度可能 很慢，需要足够多的项才能达到所需 的精度。
区间限制：Taylor公式只在一定区间 内收敛，超出这个区间公式就不再成 立。
taylor公式的进一步研究
高等数学3(6)泰勒公式课件
)
(
x
x00
)n
f (n1) ( )
(n 1)!
(
x
x00
)n1
n阶泰勒公式 (在x0与x之间).
(5)在泰勒公式中, 若x0 0, 则介于0, x之间,故
可表为 x (0 1),这时的泰勒公式,即
按x的幂(在零点)展开的泰勒公式称为: 麦克劳林(Maclaurin,C.(英)1698-1746)公式
f (n1) ( )
(n 1)!
得
Rn ( x)
(x)
Rn(n) (n ) (n) (n )
R(n) n
(
n
(n) (n
) )
R(n) n
(
x0
)
(n)( x0 )
R(n1) n
(
)
(n1) ( )
(在x0与 n之间也在x0与x之间)
注意到
R ( n 1) n
(
x)
f
(n1) (x), (n1) (x) (n 1)!
注意:
Pn(k )( x0 ) f (k )( x0 )
11
泰勒公式
下面给出带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式. 定理1 (带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式) 设
1函数f (x)在x0点的某个邻域O x0 内有定义;
2 在此邻域内f (x)有直到n 1阶导数;
3 f n (x0)存在. 称为f ( x)按( x x0 )的幂展开的
应用
理论分析 近似计算
特点(1)易计算函数值;
(2)导数与积分仍为多项式;
(3)多项式由它的系数完全确定, 而其系数
又由它在一点的函数值及导数值确定.
用怎样的多项式去逼近给定的函数
泰勒公式.ppt
hn
f n x h
n!
lim 1 .
h0 n 1
证明:
又因为f x h f x hf x
hn
f n x
n!
hn1
n 1
f n1 x o
hn1
.
所以 h
f
n
x h
f x 1,求证 : x 0,2,都有 f x 2.
证 : x0 0,2,由泰勒公式,有
f
0
f
x0
f x0 0
x0
1 2
f 1 0
x0 2
f
x0
f x0 x0
1 2
f 1 x02 ,1 0, x0
f
2
f
x0
f
x0 2
x0
1 2
f
2 2
x0 2 ,
2 x0, 2
二式相减
f 2 f 0
2f
x0
1 2
f
2 2
f
x0
f x0 x x0
1 2!
f x
x0 2 ,
在x与x0之间.
取x 0, x0 x,则
f
0
f
x
f x0 x
1 2!
f 1 0 x2 ,
0 x 1; 1
0
f
0
f
x0
1 2
f 1 0 x0 2
2
1 2
泰勒taylor公式名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
23
n1
1 1 x x2 xn o( xn ) 1 x
(1 x)m 1 mx m(m 1) x2 2!
m(m 1)(m n 1) xn o( xn ) n!
例2
计算
e x2 lim
x0
2cos x 3. x4
解 e x2 1 x 2 1 x4 o( x4 ) 2!
sin x x x 3 x5 (1)n x 2n1 o( x 2n2 )
3! 5!
(2n 1)!
cos x 1 x 2 x4 x6 (1)n x 2n o( x 2n )
2! 4! 6!
(2n)!
ln(1 x) x x 2 x 3 (1)n x n1 o( x n1 )
麦克劳林(Maclaurin)公式
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
f (n1) (x) x n1
(n 1)!
(0 1)
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 ) ( x 2!
x0 )2
f (n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
Rn ( x)
其中Rn( x)
f (n1) ( ) ( x
(n 1)!
x0 )n1(
在x0 与x 之间).
证明: 由假设,Rn ( x)在(a,b)内具有直到(n 1)阶
O(xn )
四、简朴旳应用
例 1 求 f ( x) e x的n 阶麦克劳林公式.
解 f ( x) f ( x) f (n) ( x) e x , f (0) f (0) f (0) f (n) (0) 1
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(nR n(1n)) (2n()nRn(xn0)()x00)
Rn(n1)( )
(n 1) !
(在 x0与 x n之)间 ,
即
(R xnR(xnx)(0x))nf(1(nn 1R1 )(()n(nn!)1(1)x() !)x0)n1.
例1 求函f(数 x)1按 (x1)的幂展开 x
拉格日型n余 阶项 泰的 勒.公式 解 f(n)(x)(x1n)n1n!, f(n1)(x)(1)nxn 1 (n 21).!
f(nn)(!x0)(xx0)nRn(x),
其中 Rn(x)f((nn 11)()!)(xx0)n1(在 x0与 x之)间 .
带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式
证 令 R n (x ) f(x ) p n (x )则,有
Rn(x0)Rn (x0) R n (n )(x 0)0 , 且 R n (n＋ 1)(x)f(n＋ 1)(x).( pn (n1)(x)0)
3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的
适用范围.
例2 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 106.
解 在 e x 的麦克劳林公式 中令 x = 1 , 得
e 1 11 1e (0 1 ).
2! n ! (n 1 )! 由于 0ee3,欲使
Rn(1)
(n
3 1)
!106,
Rn(x)f((nn 11)()!)(xx0)n1 (在 x0与 x之)间 .
当 x 0 的 在某 f(n 1 ) 邻 (x ) M ( 域 常 )时 ,内 数 有 Rn(x)(nM 1)!xx0n1.
显 R n ( x ) 然 o ( x ( x 0 ) n )( x x 0 ).
2 泰勒公式的特例 (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为拉格朗日中值定理
p1(x0)f(x0)
相切
猜 pn(x) 与 f (x) 在x0 处相同的导数的阶数 越高，它们就有可能越接近？
寻求n次近似多项式： pn(x)a 0 a 1 ( x x 0 ) a 2 ( x x 0 ) 2 a n ( x x 0 ) n ,
要求: p n (x 0 )f(x 0 ), p n (x 0 ) ,f(x 0 ),
2. 在近似计算中的应用
f(x)f (0) f(0)x f (0) x2 f (n)(0) xn
2!
n!
误差
Rn(x)
M (n1)!
xn1,
其中M 为 f (n1)(x)在包含 0 , x 的某区间上的上界.
常见类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;
分析 要证 f(x) f (x0) f(x 0 )x ( x 0 )f2(x!0)(xx0)2
f(nn)(!x0)(xx0ห้องสมุดไป่ตู้no((xx0)n), pn(x)
只需证 xl ixm 0f((x x)xp0n)n (x)0.
令 R n ( x ) f( x ) p n ( x ) (称为余项) ,
只需证
n 1 !x l ix0 m R n(n1)(x x ) R x0 n(n1)(x0)n1!Rn(n)(x0) 0.
注 定理3.6的条件可以减弱：
定理3.6 若 f(x)在 xx0处 n阶可导，则
f(x )k n 0f(k k )( !x 0)(xx 0)k o (x (x 0)n )
提示：证明同上，只需注意到： (xU(x0))
f(x)f (x0)f()x ( x 0 ) (在 x0与 x之)间
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
f(x)f (x0) f(x 0 )x ( x 0 ) f2(!)(xx0)2
(在 x0与 x之)间
f(x)f (x0) f(x 0 )x ( x 0 ) d f
(3) 若在泰勒公式中 x00, 称为麦克劳林公式
由e x计算1e可x1知 x当212!n1=x3 3!9 时 上1式xn 成 n! 2立.(7ne,1x因1 8 )(此!0x2.n81 11)
2! 9!
3. 利用泰勒公式求极限
例3 求极l限 imcoxsex22.
x0
x4
解 利用带皮亚诺余克项劳的林麦公 . 式
co x s 12 1 ！ x24 1 ！ x4o (x4),
pn(x) 的确定: pn(x)a 0 a 1 ( x x 0 ) a 2 ( x x 0 ) 2 a n ( x x 0 ) n ,
观察： f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x x ( 0 ) o ( x x 0 )
有 p1(x0) f(x0) p1(x) 相交
2!
n!
几个初等函数的麦克劳林公式：
(1) f(x)ex
f(k)(x)ex, f(k)(0)1(k1,2, )
e x f(0)f(0)x
f
(0) 2!
x2 f(nn)!(0)xnRn(x)
1x
x2 2!
x3 3!
x n
n
!
Rn(x)
其中
Rn(x)
f
(n1)( x)
(n1)!
xn1
e x (n 1) !
(3)f(x)co xs
类似可得
coxs1
x2 2!
x4 4!
(1)m
x2m (2m)
!R 2m 1(x)
其中
R2m1(x)c(1 o )(x m 2 m1 s ( c2 m 2o [) !sx 2 ) )( ]x2m2 (01)
( 4 )f( x ) ( 1 x ) ( x 1 )
f(n)(x0)存在
f(n1)(x)在 x0处可导 f(n1)(x)在U 某 (x0)内有定 f(x)在U (某 x0)内 n1 阶可 .
3. 带有拉格朗日型余项的n阶泰勒(Taylor)公式
定理3.7 若 f(x)在包 x0的 含某开 (a,b)内区 具有间
直到 n +1 阶的导数, 则对 x(a,b),有 f(x) f (x0) f(x 0 )x ( x 0 )f2(x!0)(xx0)2
第三节
第三章
泰勒公式
一、泰勒（Taylor）公式 二 、麦克劳林（Maclaurin）公式
三 、泰勒公式的应用
一、泰勒(Taylor)公式
1. 泰勒公式的建立 回顾：设 f (x)在 x0 处可导，则
x 的一次 多项式
y
yf(x)
f (x) f ( x 0 ) f ( x 0 )x ( x 0 )
p n (n )(fx (0 x)) 在 fx(0n 处 )(x 0的 )n.阶泰勒多项
Rn(x) 的确定： 2. 带有皮亚诺型余项的n阶泰勒(Taylor)公式 定理3.6 若 f(x)在包 x0的 含某开 (a,b)区间
内具有直到n阶的导数, 则对 x(a,b),有
f(x) f (x0) f(x 0 )x ( x 0 )f2(x!0)(xx0)2 f(nn)(!x0)(xx0)no((xx0)n). 带有皮亚诺型余项的n 阶泰勒公式
pn (x)2 !a2 n ( n 1 ) a n ( x x 0 ) n 2
a2
1 2!
pn(x0)
1 2!
f
(x0),
,
pn(n)(x) n!an
a
n
1 n!
pn(n)(x0)
1 n!
f (n)(x0),
21p!nf(要x()x求0): f(x( xp p 0n n x)( ( 0x x )0 0 2) ) f (x ,f f0 ( ( ) x x n 0 1x 0 !) ( ) , f,(x n0 )()x0)(xx0)n
2° 难以估计误差
只知道 R 1(误 x)o差 (xx： 0) 不能具体估计R出 1(x)误 的差 大.小
需要解决的问题: 1° 寻找多项 pn(式 x)，使得 f(x) pn(x),
且去掉 x 对 x0很 于小的 . 限制
2° 给出误差： R n (x ) f(x ) p n (x )
的具体估计式.
p1(x)
( 当 f( x 0 ) 0 ,且 px 1( x)x 0 1 时 )O 以x直0 x代曲 x
[ f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x x ( 0 ) o ( x x 0 )]
特点: p1(x0) f(x0)
p1(x0) f(x0)
不足: 1° 精确度不高 只适x用 x0很 于小 x, 的 当 xx0不是,很 误小 差 . 时 较大
xn1
(01)
(2)f(x)sixn
f(k)(x)six nk( π ) 2
f(k)(0)sinkπ 2
0, (1)m1,
k2m (m1,2, ) k2 m 1
sinxx x 3 3!
x5 5!
(1)m1(2xm2m11)!R2m(x)
其中 R2m(x)s( i1n()2m x(mco21m )s2! x()1π)x2m1 (01)
f(1)1, f(1)1, f( 1 ) 2 !,
, f(n)(1)n!.
因此 f ( x ) 1 ( x 1 ) ( x 1 ) 2 ( x 1 ) n R n ( x )
其R 中 n(x)( 1 n ) n 2 1(x1)n1, 在1与x之间 .
注 1 泰勒公式的余项估计 用 pn(x)代f替 (x)的误差R n 为 ( x ) f( x ) p n ( x )
二、麦克劳林（Maclaurin）公式
在泰勒公式中取 x 0 0 , x ( 0 1 ) ,
便可得到麦克劳林（ Maclaurin ）公式： f(x)f (0)f(0)x f (0) x2 2!
Rn(n1)( )
(n 1) !
(在 x0与 x n之)间 ,
即
(R xnR(xnx)(0x))nf(1(nn 1R1 )(()n(nn!)1(1)x() !)x0)n1.
例1 求函f(数 x)1按 (x1)的幂展开 x
拉格日型n余 阶项 泰的 勒.公式 解 f(n)(x)(x1n)n1n!, f(n1)(x)(1)nxn 1 (n 21).!
f(nn)(!x0)(xx0)nRn(x),
其中 Rn(x)f((nn 11)()!)(xx0)n1(在 x0与 x之)间 .
带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式
证 令 R n (x ) f(x ) p n (x )则,有
Rn(x0)Rn (x0) R n (n )(x 0)0 , 且 R n (n＋ 1)(x)f(n＋ 1)(x).( pn (n1)(x)0)
3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的
适用范围.
例2 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 106.
解 在 e x 的麦克劳林公式 中令 x = 1 , 得
e 1 11 1e (0 1 ).
2! n ! (n 1 )! 由于 0ee3,欲使
Rn(1)
(n
3 1)
!106,
Rn(x)f((nn 11)()!)(xx0)n1 (在 x0与 x之)间 .
当 x 0 的 在某 f(n 1 ) 邻 (x ) M ( 域 常 )时 ,内 数 有 Rn(x)(nM 1)!xx0n1.
显 R n ( x ) 然 o ( x ( x 0 ) n )( x x 0 ).
2 泰勒公式的特例 (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为拉格朗日中值定理
p1(x0)f(x0)
相切
猜 pn(x) 与 f (x) 在x0 处相同的导数的阶数 越高，它们就有可能越接近？
寻求n次近似多项式： pn(x)a 0 a 1 ( x x 0 ) a 2 ( x x 0 ) 2 a n ( x x 0 ) n ,
要求: p n (x 0 )f(x 0 ), p n (x 0 ) ,f(x 0 ),
2. 在近似计算中的应用
f(x)f (0) f(0)x f (0) x2 f (n)(0) xn
2!
n!
误差
Rn(x)
M (n1)!
xn1,
其中M 为 f (n1)(x)在包含 0 , x 的某区间上的上界.
常见类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;
分析 要证 f(x) f (x0) f(x 0 )x ( x 0 )f2(x!0)(xx0)2
f(nn)(!x0)(xx0ห้องสมุดไป่ตู้no((xx0)n), pn(x)
只需证 xl ixm 0f((x x)xp0n)n (x)0.
令 R n ( x ) f( x ) p n ( x ) (称为余项) ,
只需证
n 1 !x l ix0 m R n(n1)(x x ) R x0 n(n1)(x0)n1!Rn(n)(x0) 0.
注 定理3.6的条件可以减弱：
定理3.6 若 f(x)在 xx0处 n阶可导，则
f(x )k n 0f(k k )( !x 0)(xx 0)k o (x (x 0)n )
提示：证明同上，只需注意到： (xU(x0))
f(x)f (x0)f()x ( x 0 ) (在 x0与 x之)间
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
f(x)f (x0) f(x 0 )x ( x 0 ) f2(!)(xx0)2
(在 x0与 x之)间
f(x)f (x0) f(x 0 )x ( x 0 ) d f
(3) 若在泰勒公式中 x00, 称为麦克劳林公式
由e x计算1e可x1知 x当212!n1=x3 3!9 时 上1式xn 成 n! 2立.(7ne,1x因1 8 )(此!0x2.n81 11)
2! 9!
3. 利用泰勒公式求极限
例3 求极l限 imcoxsex22.
x0
x4
解 利用带皮亚诺余克项劳的林麦公 . 式
co x s 12 1 ！ x24 1 ！ x4o (x4),
pn(x) 的确定: pn(x)a 0 a 1 ( x x 0 ) a 2 ( x x 0 ) 2 a n ( x x 0 ) n ,
观察： f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x x ( 0 ) o ( x x 0 )
有 p1(x0) f(x0) p1(x) 相交
2!
n!
几个初等函数的麦克劳林公式：
(1) f(x)ex
f(k)(x)ex, f(k)(0)1(k1,2, )
e x f(0)f(0)x
f
(0) 2!
x2 f(nn)!(0)xnRn(x)
1x
x2 2!
x3 3!
x n
n
!
Rn(x)
其中
Rn(x)
f
(n1)( x)
(n1)!
xn1
e x (n 1) !
(3)f(x)co xs
类似可得
coxs1
x2 2!
x4 4!
(1)m
x2m (2m)
!R 2m 1(x)
其中
R2m1(x)c(1 o )(x m 2 m1 s ( c2 m 2o [) !sx 2 ) )( ]x2m2 (01)
( 4 )f( x ) ( 1 x ) ( x 1 )
f(n)(x0)存在
f(n1)(x)在 x0处可导 f(n1)(x)在U 某 (x0)内有定 f(x)在U (某 x0)内 n1 阶可 .
3. 带有拉格朗日型余项的n阶泰勒(Taylor)公式
定理3.7 若 f(x)在包 x0的 含某开 (a,b)内区 具有间
直到 n +1 阶的导数, 则对 x(a,b),有 f(x) f (x0) f(x 0 )x ( x 0 )f2(x!0)(xx0)2
第三节
第三章
泰勒公式
一、泰勒（Taylor）公式 二 、麦克劳林（Maclaurin）公式
三 、泰勒公式的应用
一、泰勒(Taylor)公式
1. 泰勒公式的建立 回顾：设 f (x)在 x0 处可导，则
x 的一次 多项式
y
yf(x)
f (x) f ( x 0 ) f ( x 0 )x ( x 0 )
p n (n )(fx (0 x)) 在 fx(0n 处 )(x 0的 )n.阶泰勒多项
Rn(x) 的确定： 2. 带有皮亚诺型余项的n阶泰勒(Taylor)公式 定理3.6 若 f(x)在包 x0的 含某开 (a,b)区间
内具有直到n阶的导数, 则对 x(a,b),有
f(x) f (x0) f(x 0 )x ( x 0 )f2(x!0)(xx0)2 f(nn)(!x0)(xx0)no((xx0)n). 带有皮亚诺型余项的n 阶泰勒公式
pn (x)2 !a2 n ( n 1 ) a n ( x x 0 ) n 2
a2
1 2!
pn(x0)
1 2!
f
(x0),
,
pn(n)(x) n!an
a
n
1 n!
pn(n)(x0)
1 n!
f (n)(x0),
21p!nf(要x()x求0): f(x( xp p 0n n x)( ( 0x x )0 0 2) ) f (x ,f f0 ( ( ) x x n 0 1x 0 !) ( ) , f,(x n0 )()x0)(xx0)n
2° 难以估计误差
只知道 R 1(误 x)o差 (xx： 0) 不能具体估计R出 1(x)误 的差 大.小
需要解决的问题: 1° 寻找多项 pn(式 x)，使得 f(x) pn(x),
且去掉 x 对 x0很 于小的 . 限制
2° 给出误差： R n (x ) f(x ) p n (x )
的具体估计式.
p1(x)
( 当 f( x 0 ) 0 ,且 px 1( x)x 0 1 时 )O 以x直0 x代曲 x
[ f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x x ( 0 ) o ( x x 0 )]
特点: p1(x0) f(x0)
p1(x0) f(x0)
不足: 1° 精确度不高 只适x用 x0很 于小 x, 的 当 xx0不是,很 误小 差 . 时 较大
xn1
(01)
(2)f(x)sixn
f(k)(x)six nk( π ) 2
f(k)(0)sinkπ 2
0, (1)m1,
k2m (m1,2, ) k2 m 1
sinxx x 3 3!
x5 5!
(1)m1(2xm2m11)!R2m(x)
其中 R2m(x)s( i1n()2m x(mco21m )s2! x()1π)x2m1 (01)
f(1)1, f(1)1, f( 1 ) 2 !,
, f(n)(1)n!.
因此 f ( x ) 1 ( x 1 ) ( x 1 ) 2 ( x 1 ) n R n ( x )
其R 中 n(x)( 1 n ) n 2 1(x1)n1, 在1与x之间 .
注 1 泰勒公式的余项估计 用 pn(x)代f替 (x)的误差R n 为 ( x ) f( x ) p n ( x )
二、麦克劳林（Maclaurin）公式
在泰勒公式中取 x 0 0 , x ( 0 1 ) ,
便可得到麦克劳林（ Maclaurin ）公式： f(x)f (0)f(0)x f (0) x2 2!