泰勒公式课件98855

2. 在近似计算中的应用
f(x)f (0) f(0)x f (0) x2 f (n)(0) xn
2!
n!
误差
Rn(x)
M (n1)!
xn1,
其中M 为 f (n1)(x)在包含 0 , x 的某区间上的上界.
常见类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;
2!
n!
几个初等函数的麦克劳林公式：
(1) f(x)ex
f(k)(x)ex, f(k)(0)1(k1,2, )
e x f(0)f(0)x
f
(0) 2!
x2 f(nn)!(0)xnRn(x)
1x
x2 2!
x3 3!
x n
n
!
Rn(x)
其中
Rn(x)
f
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(n1)( x)
(n1)!
xn1
e x (n 1) !
3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的
适用范围.
例2 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 106.
解 在 e x 的麦克劳林公式 中令 x = 1 , 得
e 1 11 1e (0 1 ).
2! n ! (n 1 )! 由于 0ee3,欲使
Rn(1)
(n
3 1)
!106,
n 1 !x l ix0 m R n(n1)(x x ) R x0 n(n1)(x0)n1!Rn(n)(x0) 0.
注 定理3.6的条件可以减弱：
定理3.6 若 f(x)在 xx0处 n阶可导，则
f(x )k n 0f(k k )( !x 0)(xx 0)k o (x (x 0)n )
提示：证明同上，只需注意到： (xU(x0))
f(nn)(!x0)(xx0)nRn(x),
其中 Rn(x)f((nn 11)()!)(xx0)n1(在 x0与 x之)间 .
带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式
证 令 R n (x ) f(x ) p n (x )则,有
Rn(x0)Rn (x0) R n (n )(x 0)0 , 且 R n (n＋ 1)(x)f(n＋ 1)(x).( pn (n1)(x)0)
分析 要证 f(x) f (x0) f(x 0 )x ( x 0 )f2(x!0)(xx0)2
f(nn)(!x0)(xx0)no((xx0)n), pn(x)
只需证 xl ixm 0f((x x)xp0n)n (x)0.
令 R n ( x ) f( x ) p n ( x ) (称为余项) ,
只需证
只需证
Rn(x)f((nn 11 )()!)(xx0)n1.
(
x
Rn( x) x0 )n1
(Rxn(xx)0)nRn1(x00)(n1R)n((11)x0)n
柯西中值定理
(1在 x0与 x之)间
(nRn1()1()1 R x0n )(nx0)0 (n1)n R(n (2 2)x0)n1
(2在 x0与 1之)间
2° 难以估计误差
只知道 R 1(误 x)o差 (xx： 0) 不能具体估计R出 1(x)误 的差 大.小
需要解决的问题: 1° 寻找多项 pn(式 x)，使得 f(x) pn(x),
且去掉 x 对 x0很 于小的 . 限制
2° 给出误差： R n (x ) f(x ) p n (x )
的具体估计式.
由e x计算1e可x1知 x当212!n1=x3 3!9 时 上1式xn 成 n! 2立.(7ne,1x因1 8 )(此!0x2.n81 11)
2! 9!
3. 利用泰勒公式求极限
例3 求极l限 imcoxsex22.
x0
x4
解 利用带皮亚诺余克项劳的林麦公 . 式
co x s 12 1 ！ x24 1 ！ x4o (x4),
(nR n(1n)) (2n()nRn(xn0)()x00)
Rn(n1)( )
(n 1) !
(在 x0与 x n之)间 ,
即
(R xnR(xnx)(0x))nf(1(nn 1R1 )(()n(nn!)1(1)x() !)x0)n1.
例1 求函f(数 x)1按 (x1)的幂展开 x
拉格日型n余 阶项 泰的 勒.公式 解 f(n)(x)(x1n)n1n!, f(n1)(x)(1)nxn 1 (n 21).!
f(k)(x) ( 1 ) ( k 1 )1 (x ) k
f(k )(0 )( 1 ) ( k 1 ) (k1,2, )
(1x)1x (1)x 2
2!
( 1 ) ( n 1 )x n n!
Rn(x)
其中 Rn(x)( (n 1 ) 1 ) ( !n )(1 x ) n 1x n 1
p1(x0)f(x0)
相切
猜 pn(x) 与 f (x) 在x0 处相同的导数的阶数 越高，它们就有可能越接近？
寻求n次近似多项式： pn(x)a 0 a 1 ( x x 0 ) a 2 ( x x 0 ) 2 a n ( x x 0 ) n ,
要求: p n (x 0 )f(x 0 ), p n (x 0 ) ,f(x 0 ),
xl im x0(xRn(xx0))n 0.
证 令 R n (x ) f(x ) p n (x )则,有 Rn(x0)Rn (x0) R n (n )(x0)0.
xl imx0(xRn(xx0))n xl ixm 0n(xRn (xx0p ))n n(x 10 )f洛(x 必0 )达,法则
xl ix0 m n(n1R )n x ((x )x0)n2 p n ( p n n )( ( x x 0 0 xl) ) i m x0,f fRn( ( n !n(x )(( xn0 x ) 10 ,))x(.x0))
et 1t1t2o(t2) 2!
当t
x2 2
时，ex221x222 1！ x44o(x4),
x2
xlim0cosxx4e 2
x l i01 m 2 1 ！ x2x 4 !4o(x4) x4 [1x 2 22 1 !x 4 4o(x4)]
xl im 0(2c e14x2o 2 x 18 )xxs 1 144 2 1 x！ o22(x x 2 4 2 )1！ 4 1 x ！ 44 x 4 1 1o 2(o .x (x 44 )), ,
xn1
(01)
(2)f(x)sixn
f(k)(x)six nk( π ) 2
f(k)(0)sinkπ 2
0, (1)m1,
k2m (m1,2, ) k2 m 1
sinxx x 3 3!
x5 5!
(1)m1(2xm2m11)!R2m(x)
其中 R2m(x)s( i1n()2m x(mco21m )s2! x()1π)x2m1 (01)
p n (n )(x 0)f(n )(x 0).
求系数 a i : a 0 pn(x0)f(x0), pn (x)a 1 2a2(xx0) n a n (x x 0 )n 1 a 1 pn (x0)f(x0),
pn (x)a 1 2a2(xx0) n a n (x x 0 )n 1
f(n)(x0)存在
f(n1)(x)在 x0处可导 f(n1)(x)在U 某 (x0)内有定 f(x)在U (某 x0)内 n1 阶可 .
3. 带有拉格朗日型余项的n阶泰勒(Taylor)公式
定理3.7 若 f(x)在包 x0的 含某开 (a,b)内区 具有间
直到 n +1 阶的导数, 则对 x(a,b),有 f(x) f (x0) f(x 0 )x ( x 0 )f2(x!0)(xx0)2
p n (n )(fx (0 x)) 在 fx(0n 处 )(x 0的 )n.阶泰勒多项
Rn(x) 的确定： 2. 带有皮亚诺型余项的n阶泰勒(Taylor)公式 定理3.6 若 f(x)在包 x0的 含某开 (a,b)区间
内具有直到n阶的导数, 则对 x(a,b),有
f(x) f (x0) f(x 0 )x ( x 0 )f2(x!0)(xx0)2 f(nn)(!x0)(xx0)no((xx0)n). 带有皮亚诺型余项的n 阶泰勒公式
(3)f(x)co xs
类似可得
coxs1
x2 2!
x4 4!
(1)m
x2m (2m)
!R 2m 1(x)
其中
R2m1(x)c(1 o )(x m 2 m1 s ( c2 m 2o [) !sx 2 ) )( ]x2m2 (01)
( 4 )f( x ) ( 1 x ) ( x 1 )
Rn(x)f((nn 11)()!)(xx0)n1 (在 x0与 x之)间 .
当 x 0 的 在某 f(n 1 ) 邻 (x ) M ( 域 常 )时 ,内 数 有 Rn(x)(nM 1)!xx0n1.
显 R n ( x ) 然 o ( x ( x 0 ) n )( x x 0 ).
2 泰勒公式的特例 (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为拉格朗日中值定理
f(x)f (x0)f()x ( x 0 ) (在 x0与 x之)间
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
f(x)f (x0) f(x 0 )x ( x 0 ) f2(!)(xx0)2
(在 x0与 x之)间
f(x)f (x0) f(x 0 )x ( x 0 ) d f
(3) 若在泰勒公式中 x00, 称为麦克劳林公式
pn (x)2 !a2 n ( n 1 ) a n ( x x 0 ) n 2
a2
1 2!
pn(x0)
1 2!
f
(x0),
,
pn(n)(x) n!an
a
n
1 n!
pn(n)(x0)
1 n!
f (n)(x0),
21p!nf(要x()x求0): f(x( xp p 0n n x)( ( 0x x )0 0 2) ) f (x ,f f0 ( ( ) x x n 0 1x 0 !) ( ) , f,(x n0 )()x0)(xx0)n
第三节
第三章
泰勒公式
一、泰勒（Taylor）公式 二 、麦克劳林（Maclaurin）公式
三 、泰勒公式的应用
一、泰勒(Taylor)公式
1. 泰勒公式的建立 回顾：设 f (x)在 x0 处可导，则
x 的一次 多项式
y
yf(x)
f (x) f ( x 0 ) f ( x 0 )x ( x 0 )
例4 求lim [xx2ln1 (1)].
pn(x) 的确定: pn(x)a 0 a 1 ( x x 0 ) a 2 ( x x 0 ) 2 a n ( x x 0 ) n ,
观察： f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x x ( 0 ) o ( x x 0 )
有 p1(x0) f(x0) p1(x) 相交
二、麦克劳林（Maclaurin）公式
在泰勒公式中取 x 0 0 , x ( 0 1 ) ,
便可得到麦克劳林（ Maclaurin ）公式： f(x)f (0)f(0)x f (0) x2 2!
f (n)(0) xn f(n1)(x)xn1
n!
(n1)!
由此得近似公式
f(x)f (0) f(0)x f (0) x2 f (n)(0) xn
p1(x)
( 当 f( x 0 ) 0 ,且 px 1( x)x 0 1 时 )O 以x直0 x代曲 x
[ f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x x ( 0 ) o ( x x 0 )]
特点: p1(x0) f(x0)
p1(x0) f(x0)
不足: 1° 精确度不高 只适x用 x0很 于小 x, 的 当 xx0不是,很 误小 差 . 时 较大
(01)
( 5 )f ( x ) l1 n x )( x ( 1 )
已知
f(k)(x)(1)k1((1kx1))k! (k1,2, )
类似可得
ln1(x)x x 2 2
x3 3
(1)n1 xn n
Rn(x)
其中
Rn(x)(n1)1n
xn1
(1 x)n1
(01)
三、泰勒公式的应用
1. 在函数逼近中的应用
f(1)1, f(1)1, f( 1 ) 2 !,
, f(n)(1)n!.
因此 f ( x ) 1 ( x 1 ) ( x 1 ) 2 ( x 1 ) n R n ( x )
其R 中 n(x)( 1 n ) n 2 1(x1)n1, 在1与x之间 .
注 1 泰勒公式的余项估计 用 pn(x)代f替 (x)的误差R n 为 ( x ) f( x ) p n ( x )