命题的形式及等价关系

1.4.1命题的形式及等价关系（1）---命题与推出关系

【学习目标】：

1．了解命题、真命题、假命题，理解命题的推出关系、等价关系，推出关系的传递性；

2．在探究命题推出关系的过程中，体会举反例判断假命题的要领，初步会用推出关系的传递性证明一个命题是真命题的方法；

3．在认识一些基本的逻辑关系及其运用活动中，体会逻辑语言在数学表达和论证中的作用， 确立真命题必须作出证明的数学意识.

【预习导学】

【问题导引】

问题1.在命题“如果2x >，那么24x >”中，条件和结论分别指的什么？

提示：“2x >”是条件，“24x >”是结论.

问题2.命题“如果x+y=2,那么x ≥1且y ≥1”是真命题吗？为什么？

提示：假命题；反例：x=1.3,y=0.7满足命题的条件2x y +=，但不满足命题结论11x y ≥≥且 问题3.如何判断命题“末两位数是12的正整数能被4整除”是真命题吗？为什么？ 提示：是真命题；

理由：因为末两位数是12的正整数可以写成10012k +的形式(*k N ∈)，而100124(253)k k +=+，所以10012k +能被4整除.即命题“末两位数是12的正整数能被4整除”是一个真命题.

【知识梳理】

知识点1命题，真命题，假命题的概念

1.命题的构成：在数学中常见的命题由条件与结论两部分组成.

2.判断一个命题的假命题，只需举出一个反例即可

3.确定一个命题是真命题：必须证明若满足命题条件就一定能推出命题的结论.

4.推出关系：一般地说，如果命题α成立可以推出命题β成立，那么就说由α可以推出β，并用记号“βα⇒”，读作“α推出β”.

也就是说，βα⇒表示以α为条件、β为结论的命题是真命题.

如果α成立不能推出β成立，记为“βα⇒/”，读作“α推不出β”.换言之，βα⇒/表示以α为条件、β为结论的命题是假命题.

(2)推出关系“⇒”是一种关系符号，具有传递性，推出关系的传递性证明一个命题是真命题的基本方法.

5.等价关系：如果αβ⇒，并且βα⇒，那么记作αβ⇔，叫做α与β等价.

【课堂讲义】

要点1命题及真假性判断

【例1】下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果是命题，那么他们是真命题或是假命题？为什么？

(1)个位数是5的自然数能被5整除；

(2)凡直角三角形都相似；

(3)上课请不要讲话；

(4)互为补角的两个角不相等；

(5)如果两个三角形的三条边对应相等，那么两个三角形全等；

(6)你是高一学生吗？

【解析】例（3）（6）不是命题。例（1）（2）（4）（5）是命题，其中例（2）（4）是假命题，（）（）是真命题。

（3）不是表示判断的句子，（6）是个问句，也不的表示判断的句子故都不是命题；

（1）个位数是5的自然数都可以表示为10n+5的形式，所以能被5整除。是真命题；（5）是初中学过的三角形全等一个判定定理，是真命题；

（2）取三角分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°的两个直角三角形，显然不相似。故命题是假命题；（4）取互补的两个角分别为90°、90°，它们相等。故命题为假命题。 规律总结：举反例是判断假命题的重要方法；我们必须通过论证来说明一个命题是真命题. 变式：判断下列命题的真假：

（1）如果一元二次方程20(0,)ax bx c a a b c R ++=≠∈、、满足0ac <，那么这个方程有实数根．

（2）如果一元二次方程2

0(0,)ax bx c a a b c R ++=≠∈、、有实数根，那么0ac <．

【解答】（1）真命题.若0ac <，则△=b 2-4ac>0，故方程有实根。

（2）假命题.因为当c=0时，显然方程有实根，此时不满足0ac <。

要点2命题及推出关系 【例2】 判断下列各组中命题,αβ的推出关系：

(1):αk 是能被4整除的自然数， :βk 是偶数；

(2):α实数x 满足方程2870x x -+=，:β17x x ==或；

(3):α实数x 满足方程||5x =，:β5x =；

【解析】(1) :αk 是能被4整除的自然数，即42(2)()k m m m N ==∈，所以，k 是偶数.

即αβ⇒.但β⇒α/.反例：因为6k =是偶数，而不能被4整除.

(2) 实数x 满足方程2870x x -+=，可得17x x ==或，即⇒αβ.同样，如果17x x ==或，则有2870x x -+=，即⇒βα.因此，⇔αβ.

(3) 若5x =，必有||5x =，即⇒βα.但5x =-满足||5x =，而不满足5x =，即α⇒β/.

变式：已知:αABC ∆是等边三角形；:βABC ∆是轴对称图形.命题,αβ的推出关系是 ．

【解答】αβ⇒，但βα⇒/．

【课堂小结】

(1)命题、真命题、假命题；

(2)命题的推出关系、等价关系，推出关系的传递性；

(3)会用举反例方法判断假命题；确定一个命题是真命题则需要证明.

【当堂检测】

1.判断下列命题的真假

（1）有一个角是60o 的等腰三角形是正三角形．

（2）奇数加奇数为偶数．

（3）若21x =，则1x =．

（4）如果||2a <，那么2a <．

【答案】（1）（2）是真命题；（3）（4）是假命题.

2.判断下列各组命题中p,q 的推出关系

（1）已知a b c R ∈、、且0a ≠，p ：240b ac ->，q :关于x 的方程20ax bx c ++=有实数根.

（2）已知p ：0a ≠，q :0ab ≠.

【答案】（1）p q ⇒，但q p ⇒/.（2）q p ⇒，但p q ⇒/.

3.已知:α一次函数(0)y kx b k =+≠的图像经过第一、二、三象限；:β一次函数(0)y kx b k =+≠中0,0k b >>.命题,αβ的推出关系是 ． 【答案】αβ⇔.