命题的形式及等价关系
高一数学上册命题的形式及等价关系(二)教学案沪教版
上海华师大二附中2015届高一数学上册命题的形式及等价关系（二）教学案沪教版【教案样例】教学目标：1．知道命题的四种形式及其相互关系，理解否命题、逆否命题；2．在探究命题的四种形式及其相互关系的过程中，领会分类、判断、推理的思想方法；3．在进一步认识基本的逻辑关系及其运用活动中，体会逻辑语言在数学表达和论证中的重要作用，树立分析问题条理清楚、理由充分、符合逻辑的数学意识.教学重点：理解否命题、逆否命题.教学难点：正确写出命题的否命题和逆否命题；运用逻辑语言表述和论证真命题.教学过程：就是“如果α，那么β”.如果我们把这个命题的结论和条件互换，就得到一个新命题：“如果β，那么α”，这个命题与前一个命题有怎样的关系呢？这就是我们将要学习的“命题的四种形式”(引入新课)……2.概念形成：(教学提示：这一环节可采用教师引领下的学生阅读教材或学生阅读教师呈现的PPT素材，教师引导学生自己互写命题的形式建构概念，激发学生积极思考、参与教学的热情)(1)逆命题：把命题：“如果α，那么β”的结论与条件互换，得到的新命题：“如果β，那么α”.我们把这个新命题叫做原命题的逆命题.事实上，这两个命题互为逆命题.如命题(A)“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等”的逆命题是命题(B)“如果两个三角形面积相等，那么这两个三角形全等”.(2)否命题：若一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定与结论的否定，则把这两个命题叫做互否命题.如果其中一个是原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.、的否定分别记为αβ、，那么命题“如果α，那么β”的否命题就是：我们通常把αβ“如果α，那么β”.如命题(A)的否命题是“如果两个三角形不全等，那么这两个三角形的面积不相等”.(3)逆否命题：我们把原命题“如果α，那么β”的结论否定作条件，把条件否定作结论，就数学思考：命题的否定形式：把原命题“如果α，那么β”的条件不变，结论否定，得到一个新命题：“如果α，那么β”.这个新命题叫做原命题的否定形式.请你说一说否命题与命题的否定形式的区别在哪里？3．概念应用(教学提示：采用师生共同完成，或让学生独立完成，再选代表交流，提问是否有不同答案，进一步明晰概念，达成正确理解概念的目的)【属性】高一（上），集合与命题，四种命题形式，解答题，中，分析问题解决问题【题目】写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假：原命题：若1x >，则0x >.【解答】逆命题：若0x >，则1x >．这是假命题.否命题：若1x ≤，则0x ≤.这是假命题.逆否命题：若0x ≤，则1x ≤.这是真命题.解题反思：熟悉和准确理解一些常见的词或符号的否定形式：“‘<’的否定形式是‘≥’”、“‘ >’的否定形式是‘≤’”、“‘ =’的否定形式是‘≠’”、“‘或’的否定形式是‘且’”、“‘且’的否定形式是‘或’”，是正确写出一个命题的否命题或逆否命题的前提条件. 变式练习：写出命题“如果12a b ==且，那么21a b ab +>>或”的否命题.【属性】高一（上），集合与命题，四种命题形式，解答题，中，分析问题解决问题【题目】写出命题“偶数加偶数是偶数”的否命题和逆否命题.【解答】我们先把原命题改写为：如果是两个偶数相加，那么他们的和是偶数.否命题：如果不是两个偶数相加，那么他们的和不是偶数.逆否命题：如果两个整数相加不是偶数，那么他们不是两个偶数之和.解题反思：若一个命题不是“如果…，那么…”的形式，则我们应先把他改写成“如果…，那么…”的形式，再写他的其他三种命题形式就容易了.数学交流活动：对于四种命题形式，你能画图分析他们之间哪些是互为逆命题、互为否命题、互为逆否命题呢？看谁画的图表直观明了.4．课堂反馈(学生独立完成，教师巡视，提供指导和发现闪光点，获取第一手反馈材料,强化概念的理解和重视概念的应用)(1)教材练习18P 1.4(2)：1，2.(2)练习册习题1.4 A 组5P 4；6P 6.5．课堂小结：（让学生用自己的语言归纳小结，并通过补充和订正提高参与度）(1)原命题、逆命题、否命题、逆否命题；(2)理解四种命题的相互关系，并熟悉一些常见词或符号的否定形式是正确写出一个命题的否命题或逆否命题的保证；(3)知道否命题与命题的否定形式的区别；会写出一个已知命题的逆命题、否命题、逆否命题，并初步判断其真假.6．作业布置：(基础型)必做题：(1) 教材练习18P 1.4(2)：3； (2) 练习册5P 1.4A 5．(拓展型)选做题：(3)写出命题：“如果1x ≥且1y ≥，那么2x y +≥或1xy ≥”的否命题和逆否命题.【情景资源】情景１(新课导入)在初中，我们已经知道命题由条件和结论构成．通过进一步学习和探究，我们发现有些命题的条件与结论与另一个命题的条件与结论之间存在某种关系，譬如，命题：“在ABC ∆中，若AB AC =，则C B ∠=∠”与命题：“在ABC ∆中，若AB AC ≠，则C B ∠≠∠”，两个命题的条件与结论互为否定关系.那么命题之间存在哪些关系呢？这就是我们今天学习的“四种命题形式”(引入新课)……情景２(过渡衔接)学好数学，准确理解概念，弄清概念之间的异同关系是关键，你能说一说否命题与命题的否定形式的区别吗？相同点是什么？不同点有哪些？情景３(过渡衔接)我们已经学习了四种命题形式，你能对他们之间的相互关系“互为逆命题、互为否命题、互为逆否命题”用一个图表的形式加以描述吗？……【题目资源】【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，中，分析问题解决问题【题目】命题“有一个角是60o 的等腰三角形是正三角形”的逆命题是 ．【解答】逆命题：如果一个三角形是正三角形，那么它是有一个角为60o的等腰三角形．【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，中，分析问题解决问题【题目】命题“奇数加奇数是偶数”的逆命题是 ．【解答】逆命题：如果两个整数之和为偶数，那么这两个整数都是奇数．【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，易，分析问题解决问题【题目】命题“若24x =，则2x =”的否命题是 ．【解答】否命题：若24x ≠，则2x ≠．【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，中，分析问题解决问题【题目】命题“如果一元二次方程20(0,)ax bx c a a b c R ++=≠∈、、满足0ac <，那么这个方程有实数根”的逆命题是 ，并判断逆命题的真假．【解答】逆命题：如果一元二次方程20(0,)ax bx c a a b c R ++=≠∈、、有实数根，那么满足0ac <.逆命题是假命题，反例：方程2320x x -+=有实数根，2ac =不满足0ac <.【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，易，分析问题解决问题【题目】命题“如果3≤x ，那么3x <”的否命题是 .【解答】否命题：如果3x >，那么3x ≥.【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，易，分析问题解决问题【题目】命题“如果3≤x ，那么92≤x ”的逆否命题是 ，是 命题【解答】逆否命题：如果29x >，那么3x >.这个命题是假命题.【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，较难，分析问题解决问题【题目】命题“如果34x ==且y ，那么66x y xy +>>或”的否命题是 ．【解答】否命题：如果34x ≠≠或y ，那么66x y xy +≤≤且.【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，易，分析问题解决问题【题目】命题“已知x R ∈，如果||2x <，那么2x <”的逆否命题是 命题(填：真或假)．【解答】原命题的逆否命题是：已知x R ∈，如果2x ≥，那么||2x ≥.这个命题是真命题.【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，中，分析问题解决问题【题目】命题“已知P Q 、是集合，如果P Q P =I ，那么P Q Q =U ”的否命题是 ．【解答】否命题：已知P Q 、是集合，如果P Q P ≠I ，那么P Q Q ≠U .【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，易，分析问题解决问题【题目】命题“如果ABC ∆是等边三角形，那么ABC ∆是轴对称图形”的逆否命题是 ，并判断逆否命题的真假.【解答】逆否命题是：如果ABC ∆不是轴对称图形，那么ABC ∆不是等边三角形．逆否命题是真命题.【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，较难，分析问题解决问题【题目】命题“已知0k ≠，如果函数y kx b =+的图像不经过第四象限，那么00k b >≥且”的否命题是 ．【解答】否命题：已知0k ≠，如果函数(0)y kx b k =+≠的图像经过第四象限，那么00k b <<或【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，较难，分析问题解决问题【题目】命题“四边相等的平面四边形是菱形”的否命题是 .【解答】原命题可改写成：如果一个平面四边形的四边都相等，那么该四边形是一个菱形. 因此，原命题的否命题是：如果一个平面四边形的四边不都相等，那么该四边形不是一个菱形.【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，较难，分析问题解决问题【题目】命题：“已知x y N ∈、，如果x y +是偶数，那么x 和y 都是偶数”的逆否命题是 ．【解答】逆否命题：已知x y N ∈、，如果x 和y 不都是偶数，那么x y +不是偶数．【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，解答题，易，分析问题解决问题【题目】已知命题A 是B 互为否命题，命题C 是B 的逆命题，则命题C 与A 互为 命题.【解答】逆否命题.【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，较难，分析问题解决问题【题目】命题“已知m n Z ∈、，如果m n 、均为偶数，那么m n +是偶数”.的逆否命题是 ，并判断逆否命题的真假.【解答】逆否命题是：已知m n Z ∈、，如果m n +不是偶数，那么m n 、不都为偶数”． 这个命题是真命题.【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，较难，分析问题解决问题【题目】命题“如果00x y >>且，那么0xy >”的逆否命题是 ，是 命题(填：真或假).【解答】逆否命题是：如果0xy ≤，那么00x y ≤≤或.这是一个真命题.【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，易，分析问题解决问题【题目】命题“已知a b c R ∈、、且0a ≠，如果 240b ac ->，那么关于x 的方程20ax bx c ++=有实数根”的逆命题是 ，并判断逆命题的真假.【解答】逆命题是：已知a b c R ∈、、且0a ≠，如果关于x 的方程20ax bx c ++=有实数根，那么240b ac ->.逆命题是假命题.【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，易，分析问题解决问题【题目】命题“如果0a ≠，那么0ab ≠”的逆否命题是 ，并判断其真假.【解答】，逆否命题：如果0ab =，那么0a =.逆否命题是假命题.【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，中，分析问题解决问题【题目】已知命题A ：如果2x <，那么4x <；命题B ：如果2x ≥，那么4x ≥；命题C ：如果4x ≥，那么2x ≥，填写各命题之间的关系：A B 与互为 命题，B C 与互为 命题，A 与C 互为 命题.【解答】A B 与互为否命题；B C 与互为逆命题；A 与C 互为逆否命题.【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，中，分析问题解决问题【题目】命题“如果抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的图像经过原点，那么0=c ”的逆命题是 ，并判断逆命题的真假.【解答】逆命题是：如果0=c ，那么抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的图像经过原点.逆命题是真命题.。
4命题的形式及等价关系--学生
精锐教育学科教师辅导教案学员编号：年级：高一课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：桂阳阳课程主题：命题的形式及等价关系授课时间：学习目标命题的形式及等价关系教学内容内容回顾知识精讲知识点一命题的形式及等价关系【知识梳理】1.命题的概念：可以判断真假的语句叫做命题；2.四种命题形式：原命题，逆命题，否命题，逆否命题；原命题：若α，则β；逆命题：若β，则α；否命题：若α，则β；（α表示α的否定，β表示β的否定）逆否命题：若β，则α；3.等价命题：如果B A 、是两个命题，A B B A ⇒⇒,，那么B A 、叫等价命题。
4.四种命题形式及其相互关系:的图像经过第一、二、三象限；知BA B中，若|AC6、已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7、已知命题甲：4a b +≠,命题乙:1≠a 且3≠a ，则命题甲是命题乙的条件8、1122123639x x x x x x >+>⎧⎧⎨⎨>>⎩⎩是的条件总结回顾课后作业1.05x <<是|2|3x -<的条件．2.方程20x x m -+=有根的一个充分非必要条件是.14.写出=0ab的一个充要条件、一个充分非必要条件、一个必要非充分条件..15.已知命题:p方程2220-上有解；命题:q只有一个实数满足不等式+-=在[1,1]a x ax2220++≤.若,p q都是假命题，求a的取值范围.x ax a预习内容。
1.4 (2)命题的形式及等价关系
1.4 (2)命题的形式及等价关系（导学案）组卷： 姜汉明 审卷：周海英上课日期：________年____月____日； 班级_______学号____姓名__________学习目标：（1）理解四种命题的概念；（2）理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式； （3）理解等价命题的概念和四种命题形式之间存在的等价关系． 学习重点及难点：理解四种命题的关系；理解等价命题的概念。
学习过程： 一、 知识回顾（1）_________________语句叫做命题， _________________叫做真命题。
_________________假命题。
（2）语句“内接于圆的四边形对角互补”是否是命题？（ ） （3）命题 “内接于圆的四边形对角互补”的条件是_________________ 结论是_________________ 二、新知导学：1、把原来命题“内接于圆的四边形对角互补”中的结论作为条件，原来命题中的条件作为结论所组成的新命题为________________________________这个命题叫做原来命题的逆命题。
并且它们互为逆命题。
把原来命题“内接于圆的四边形对角互补”中条件和结论都换成它们的否定形式，得到的新命题为________________________________这个命题叫做原来命题的否命题。
并且新命题与原来的命题互为否命题。
把原来命题“内接于圆的四边形对角互补”中条件和结论互换并同时否定而得到的新命题为________________________________这个命题叫做原来命题的否命题。
并且新命题与原来的命题互为否命题。
2、四个命题的一般形式： 原命题： 如果α，那么β 逆命题：如果___，那么___ 否命题：如果___，那么___ 逆否命题：如果___，那么___ 并在四种命题之间的相互关系如下： 3、举例例1：试写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假。
1.3.2_命题的四种形式
C充分不必要
D不充分不必要
练习4、
注、等价法 1.已知p是q的必要而不充分条件， 充分不必要条件 那么┐p是┐q的_______________. （转化为逆否命题）
2：若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充要条件,则A为C的 （ Ａ ）条件 A.充要 B必要不充分 C充分不必要 D不充分不必要
结论2：（1）“或”的否定为“且”，
（2）“且”的否定为“或”， （3）“都”的否定为“不都”。
充分条件与必要条件
练习： 1．设p是q的充分不必要条件，则 p是 q 的 必要不充分 条件．
2.已知p是q的必要而不充分条件， 充分不必要条件 那么┐p是┐q的_______________.
3：若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充 要条 Ａ 件,则A为C的（ ）条件 A.充要 B必要不充分
2．写出“若x2+y2=0，则x=0且y=0”的逆否 命题： ；
3．写出命题“若a和b都是偶数，则a+b是
偶数”的否命题和逆否命题． 4．判断命题“若x+y≤5，则x≤2或y≤3”的 真假.
5. 下列四个命题中真命题是 ①“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题 ②“面积相等的三角形全等”的否命题 ③“若m≤1，则方程x2－2x+m=0有实根” 的逆否命题 ④“若A∩B=B，则A B”的逆否命题 A.①② C.①②③ B.②③ D.③④
例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、 否命题、逆否命题，并分别指出其假。
分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。 解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。 （真） （真） （假）
否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0.
§1.4 (2)命题的形式及等价关系
说明：本系列教案,学案，经多次使用，修改，其中有部分来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。
为了一个课件，我们仔细研磨；为了一个习题，我们精挑细选；为了一点进步，我们竭尽全力；没有最好，只有更好！制作水平有限，错误难免，请多指教：28275061@【教学内容的课时安排】本章总共15课时，其中教案 §1.4 (2)命题的形式及等价关系一、教学目标设计（1）理解四种命题的概念；（2）理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式； （3）理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；（4）初步掌握反证法的概念，进一步领会分类、判断、推理的思想方法.二、教学重点及难点理解四种命题的关系；体会反证法的理论依据.三、教学过程设计 （一）．复习提问：什么是命题？什么是真命题 ？什么是假命题？（二）．讲授新课： 1、概念引入在命题“若1=x ，则12=x ”中，条件是“1=x ”，结论是“12=x ”. 如果我们把以上命题作以下变化：（1）如果把命题中的结论“12=x ”作为条件，把命题中的条件“1=x ”作为结论，则得到了新命题“若12=x ”，则1=x ”.我们把原来命题中的结论作为条件，原来命题中的条件作为结论所组成的新命题叫做原来命题的逆命题.并且它们互为逆命题.（2）如果将命题的条件和结论都换成它们的否定形式，即条件是“1≠x ”，结论是“12≠x ”，那么就可得到一个新命题：“若1≠x ，则12≠x ”.像这种将命题的条件与结论同时否定而得到的新命题叫做原来命题的否命题.并且新命题与原来的命题互为否命题.（3）如果将命题的条件和结论互换并取原来的否定形式，即条件是“12≠x ”，结论是“1≠x ”，那么就可得到一个新命题：“若12≠x ，则1≠x ”.像这种将命题的条件与结论互换并同时否定而得到的新命题叫做原来命题的否命题.并且新命题与原来的命题互为否命题.2、概念形成由以上例子归纳出四个命题的一般形式： 原命题： βα，那么如果 逆命题： αβ，那么如果 否命题： βα，那么如果 逆否命题：αβ，那么如果并在四种命题之间的相互关系如下：3、概念运用例1：试写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假.命题A ：如果两个三角形全等，那么它们面积相等；命题B ：如果一个三角形两边相等，那么这两边所对的角也相等.[说明] 我们从以上的实例中发现：原命题与逆否命题是同真同假的；逆命题与否命题是同真同假的.我们可以用证明一个命题的逆否命题来证明原命题.互逆互逆逆 逆否 否例2：写出命题：若0432=-+x x ，则4-=x 或1=x 的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假.说明：常见的否定词 （1）是，不是； （2）等于，不等于； （3）属于，不属于； （4）大于，小于或等于； （5）或，且； （6）都是，不都是；（7）至少有一个，一个也没有； …… [说明]1、原命题为真，它的逆命题不一定为真.2、原命题为真，它的否命题不一定为真.3、原命题为真，它的逆否命题一定为真.并可由此引入等价命题.5、等价命题如果A ,B 是两个命题，A B B A ⇒⇒,，那么A ,B 叫做等价命题.三、课堂小结：1、四种命题的概念及形式2、四种命题之间的关系及同真同假性.导学案§1.4 (2)命题的形式及等价关系学习目标：（1）理解四种命题的概念；（2）理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式； （3）理解等价命题的概念和四种命题形式之间存在的等价关系． 学习重点及难点：理解四种命题的关系；理解等价命题的概念. 学习过程： 一、 知识回顾______________语句叫做命题， _____________叫做真命题______________假命题； 二、新知导学： 1、概念引入在命题“若1=x ，则12=x ”中，条件是“1=x ”，结论是“12=x ”. 如果我们把以上命题作以下变化：（1）如果把命题中的结论“12=x ”作为条件，把命题中的条件“1=x ”作为结论，则得到了新命题“若12=x ”，则1=x ”.我们把原来命题中的结论作为条件，原来命题中的条件作为结论所组成的新命题叫做原来命题的 .并且它们互为 .（2）如果将命题的条件和结论都换成它们的否定形式，即条件是“1≠x ”，结论是“12≠x ”，那么就可得到一个新命题：“若1≠x ，则12≠x ”.像这种将命题的条件与结论同时否定而得到的新命题叫做原来命题的 ..并且新命题与原来的命题互为 .（3）如果将命题的条件和结论互换并取原来的否定形式，即条件是“12≠x ”，结论是“1≠x ”，那么就可得到一个新命题：“若12≠x ，则1≠x ”.像这种将命题的条件与结论互换并同时否定而得到的新命题叫做原来命题的 ..并且新命题与原来的命题互为 ..互逆互逆逆 逆否 否2、四个命题的一般形式： 原命题： 如果α，那么β逆命题：如果 ，那么 ； 否命题：如果 ，那么 ； 逆否命题：如果 ，那么 ； 并在四种命题之间的相互关系如下：3、举例例1：试写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假. 命题1：如果两个三角形全等，那么它们面积相等； 逆命题:_______________________ __； 否命题:_______________________ ； 逆否命题:_________________________ ；命题2：如果一个三角形两边相等，那么这两边所对的角也相等. 逆命题:_______________________ __； 否命题:_______________________ ； 逆否命题:_________________________ ；命题3：若0432=-+x x ，则4-=x 或1=x 逆命题:_______________________ __； 否命题:_______________________ ； 逆否命题:_________________________ ；说明：常见的否定词 （1）是，不是； （2）等于，不等于； （3）属于，不属于； （4）大于，小于或等于； （5）或，且； （6）都是，不都是；（7）至少有一个，一个也没有； ……找规律：原命题与逆否命题是__________________；逆命题与否命题是__________________.我们可以用证明一个命题的_________来证明原命题.归纳：（1）、原命题为真，它的逆命题不一定为真. （2）、原命题为真，它的否命题不一定为真. （3）、原命题为真，它的逆否命题一定为真.4.概念： 如果A ,B 是两个命题，__________________，那么A ,B 叫做等价命题. 例2．若M a ∈，则M b ∉的等价命题是 .例3.”的真假．且则判断命题“若00,0≠≠≠b a ab三、学习小结：1. 给出下列语句的否定形式（1）“都是”的否定形式是 ； （2）“大于或等于”的否定形式是 ； （3）“且”的否定形式是 ；2. 命题“若3x ≠且2x ≠，则2560x x -+≠”的等价命题是____________________．3. 写出下列命题的逆命题，否命题和逆否命题，判断它们的真假. （1）两条对角线不相等的平行四边形不是矩形；逆命题:_____________________ _ __， ； 否命题: _____________________ _ __， ； 逆否命题: _____________________ _ __， ；（2）若10≥x ，则2012>+x ；逆命题:_____________________ _ __， ； 否命题: _____________________ _ __， ； 逆否命题: _____________________ _ __， ； （3）若1>ba，则b a >； 逆命题:_____________________ _ __， ； 否命题: _____________________ _ __， ； 逆否命题: _____________________ _ __， ；（4）若抛物线c bx ax y ++=2的图像经过原点，则0=c逆命题:_____________________ _ __， ； 否命题: _____________________ _ __， ； 逆否命题: _____________________ _ __， ；。
沪教版高一上册数学高一上册教案命题的形式及等价关系
1.4 (2)命题的形式及等价关系一、教学内容分析教材介绍了四种命题的构成及等价命题的概念，这给我们今后证明一个命题为真（假）命题可转化该命题的等价命题（通常是逆否命题）为真（假）命题提供了理论依据。
本小节由命题条件的改变、结论的改变，构成四种命题形式：原命题、逆命题、否命题、逆否命题。
接着，通过具体的例题练习讲述四种命题的关系，最后，给出等价命题的定义，提供了一种证明的方法，并通过具体的例题给出反证法。
二、教学目标设计（1）理解四种命题的概念；（2）理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；（3）理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；（4）初步掌握反证法的概念，进一步领会分类、判断、推理的思想方法。
三、教学重点及难点理解四种命题的关系；体会反证法的理论依据。
四、教学用具准备多媒体教室五、教学流程设计六、教学过程设计一．复习提问：（1）什么是命题？什么是真命题 ？什么是假命题？（2）语句“内接于圆的四边形对角互补”是否是命题？（3）命题 “内接于圆的四边形对角互补”的条件与结论各是什么？二．讲授新课：关于四种命题1、概念引入在命题“内接于圆的四边形对角互补”中，条件是“内接于圆的四边形”，结论是“四边形的对角互补”。
如果我们把以上命题作以下变化：（1）如果把命题中的结论“四边形的对角互补”作为条件，把命题中的条件“内接于圆的四边形” 作为结论，则得到了新命题“对角互补的四边形内接于圆”。
我们把原来命题中的结论作为条件，原来命题中的条件作为结论所组成的新命题叫做原来命题的逆命题。
并且它们互为逆命题。
（2）如果将命题的条件和结论都换成它们的否定形式，即条件是“四边形不内接于圆”，结论是“四边形对角不互补”，那么就可得到一个新命题：“不内接于圆四边形对角不互补”。
像这种将命题的条件与结论同时否定而得到的新命题叫做原来命题的否命题。
并且新命题与原来的命题互为否命题。
（3）如果将命题的条件和结论互换并取原来的否定形式，即条件是“四边形对角不互补”，结论是“四边形不内接于圆”，那么就可得到一个新命题：“对角不互补的四边形不内接于圆”。
1.4 命题的形式及等价关系
1.4 命题的形式及等价关系考点诠释1.命题：可以判断真假的语句叫做命题。
2.四种命题（1）四种命题：原命题：如果p ，那么q （或若p 则q ）；逆命题：若q 则p ； 否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p 。
（2）四种命题之间的相互关系若 则否命题原命题若 则若 则逆否命题互 逆互 逆互 为互为逆 否逆否互 否互 否q p 若 则逆命题q p q p q p这里，原命题与逆否命题，逆命题与否命题是等价命题。
3.原命题与它的逆否命题同为真假，原命题的逆命题与否命题同为真假，所以对一些命题的真假判断（或推证），我们可通过对与它同真假的（具有逆否关系的）命题来判断（或推证）。
例题精析例1 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。
（1）若1≤q ，则方程022=++q x x 有实根； （2）若y x ,都是奇数，则y x +是偶数； （3）若0=xy ，则00==y x 或思维引领本题考查四种命题及其真假判断。
.精辟分析（1）原命题是真命题；逆命题：若方程022=++q x x 有实根，则1≤q 是真命题； 否命题：若1>q ，则方程022=++q x x 无实根，是真命题； 逆否命题：若方程022=++q x x 无实根，则1>q 是真命题； （2）原命题是真命题；逆命题：若y x +是偶数，则y x ,都是奇数，是假命题； 否命题：若y x ,不都是奇数，则y x +不是偶数，是假命题； 逆否命题：若y x +不是偶数，则y x ,不都是奇数，是真命题； （3）原命题为真命题；逆命题：若00==y x 或，则0=xy ，是真命题； 否命题：若0≠xy ，则00≠≠y x 且，是真命题； 逆否命题：若00≠≠y x 且，则0≠xy ，是真命题；方法规律总结（1）“原命题”与“逆否命题”同真同假．．．．，“逆命题”与“否命题”同真同假．．．．，但“互逆”或“互否”的命题真假性未必相同。
命题的形式及其等价关系
教学资源信息表命题的形式及等价关系上市高桥中学一、教学内容分析：根据命题的形式及等价关系的内容，教科书上分为三个课时.第一课时学习的内容是命题与推出关系；第二课时学习的内容是命题的四种形式；第三课时学习的内容是等价命题。
根据师训时黄老师提出的要求及考虑到本校学生的实际情况，我将这节课的内容分为了两课时，第一课时学习的内容是命题与推出关系及命题的四种形式，理解推出关系及命题证明的意义，会写出命题的四种形式.第二课时学习的内容先着重强调否命题的否定形式（既是新课，又是复习，同时也作为第二课时的引入部分），让学生发现命题的四种形式之间的相互关系，掌握等价命题的概念，能利用互为逆否命题的等价性来解决一些简单命题的证明。
命题的概念在初中已经出现，所以命题概念的教学不应是第一节课的重点，只须强调命题是一个可以判断真假的陈述句。
本节的教学重点是真命题与假命题证明的思想方法。
真命题的证明方法：可以从已知条件出发，根据已学的公理、定理、公式等应用推出关系，得出所要证明的结论。
也可应用间接证法，如反证法等证明方法。
假命题的证明方法：只需举反例，即举出一个满足命题的条件而不满足命题结论的例子。
在写命题的四种形式时。
学生有很难分清一个命题的条件与结论，此时可将给定的命题写成“如果…，那么…”的形式。
一个命题的否命题是将原命题的条件和结论都写成否定形式，这在教学中是一个难点，可多举一些例子进行说明。
“是”与“不是”是互相排斥的，用集合的观点看，两者的“并”是全集，两者的“交”是空集。
在第二课时中，注重学生通过实例发现互为逆否命题的两个命题是同真同假的。
学会在证明原命题困难的情况下，转而证明它的逆否命题。
如遇到“如果不…，那么不…”常可转化为证明它的逆否命题。
等价命题在数学上应用广泛，要知道两个互为逆否命题必等价，但等价命题不一定是互为逆否命题。
二、教学目标设计：能判断什么样的语句是命题，理解推出关系及命题证明的意义，掌握真命题与假命题证明的思想方法,理解命题的四种形式及其相互关系，能写出一个简单命题的逆命题、否命题与逆否命题，掌握等价命题的概念,通过利用互为逆否命题的等价性来解决一些简单命题的的证明。
高一数学命题的形式及等价关系
满足命题的条件而不满足结论的例子叫做反例。
判断一个命题是假命题，只要举出反例即可，那么判 断(1),(5)都是真命题，接下去要怎么做？ 求证：个位数是5的自然数能被5整除。
证明：个位数是5的自然数能写成n=10k+5的形式。 n=10k+5=5(2k+1)是5的倍数，一定能被5整除。 ∴获证。
∴如果一个自然数的个位数是5，那么这个数一定能
被5整除。
二、什么是推出关系？
如果一个自然数的个位数是5，那么这个数一定能被 5整除。 命题α：一个自然数的个位数是5。
命题β：这个数一定能被5整除。
若命题α成立可以推出命题β成立，就记为α=>β
，读作“α推出β”。
α=>β也表示“如果α，那么β”是真命题。 若命题α成立不能推出命题β也成立，写成α≠>β， “如果α，那么β”是假命题。
命题α：两个三角形的三条边对应相等。 命题β：这两个三角形全等。 如果α，那么β。是真命题么？ 三、什么是等价关系？ 如果β，那么α。是真命题么？ α=>β并且 β=>α 所以， α<=>β，叫做α与β等价。 四、证明的基石：推出关系的传递性 书第16页第3行。 P16练习1.4(1)
1.4.2 四种命题形式
2、观察下列原命题的逆命题和否命题： 把“如果β，那么α”看成原命题，它的逆否命题是：
“如果 ，那么 ”
∴原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，它们也是 等价命题。
某些命题本身很难证明，我们利用它们的逆否命题来证
明。
例3、已知BD、CE分别是三角形ABC的∠B、∠C的平分线，
1.4(1)(2)命题的形式及等价关系
1.4（1）命题与推出关系 导学单班级____________ 姓名____________ 学号______________一、学习目标：理解推出关系，会判断命题的真假。
二、学习过程：1、__________________________________叫做命题。
【说明】：通常用陈述句表述，“如果……，那么……”由题设和结论两部分。
2、 命题的类型：_____________________________。
3、练习：例1 下列语句哪些不是命题, 哪些是命题?1）3是15的约数2）3是15的约数吗3）上课请不要讲话4）0.2是整数5）个位数是5的自然数能被5整除6）互为补角的两个角不相等7)凡直角三角形都相似例2 判断下列命题的真假，并说明理由(1) 如果a ，b 都是奇数，那么积ab 也是奇数；(2) 若一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有实根，则0ac <；提醒：要证明一个命题是假命题，只要____________________________这在数学上称为举反例。
而确定一个命题是真命题，就必须作出证明。
4、推出关系：①“αβ⇒”的意义______________________________________________。
②“αβ⇒/”的意义______________________________________________。
③“αβ⇔”的意义：_______________________________________。
【注意】1、推出关系满足传递性：αβ⇒，βγ⇒，那么αγ⇒2、通常在解题中代数式的变形必须是等价的，如求解方程例3 用符号,,⇒⇐⇔表示下列事件的推出关系：1）:0m α= :0mn β= ______________2）:αx = :β()0x x R >∈ ______________3）:α两直线平行 :β内错角相等 ______________4）:αx y > :β22x y x y +>+ _______________5）:α四边形ABCD 是平行四边形 :β四边形ABCD 是矩形 ________ 例4 写出与“一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有一正根，一负根” 等价的命题：1.4（2）四种命题形式及等价命题导学单班级____________ 姓名____________ 学号______________一、学习目标：理解四种命题的形式及其相互关系，能写出简单命题的逆命题、否命题与逆否命题。
命题的形式及等价关系
1.4 命题的形式及等价关系基础热身：(1)命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ） .A 若2x ≥1，则x ≥1或x ≤1-.B 若11x -<<，则21x < .C 若1x >或1x <-，则21x > .D 若x ≥1或x ≤1-，则2x ≥1(2)命题“若函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在定义域内是减函数,则log 20a <”的逆否命题是（ ）A 、若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数B 、若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数C 、若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数D 、若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数知识梳理：1.命题：可以判断真假的语句叫做命题。
说明:(1)命题通常用陈述句表述。
数学中的定义、公理、定理等, 都是数学命题。
在数学中，一般只研究数学命题。
(2)命题一般地由条件、结论两部分组成。
命题常写成“如果α，那么β”的形式。
对于这样的命题，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论。
注意:α、β也都是命题，可能是简单命题，也可能是复合命题。
简单命题：不含逻辑联结词的命题。
复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。
逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。
如：(1)3是12的约数.(2)3是12的约数且3是15的约数.2．判断命题的真假：正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。
（1） 确定一个命题是真命题必须作出证明；①直接证明；②间接证明（同一法、反证法）直接法：即从已知条件出发，依据所学过的公理，定理，公式进行逐步推理，从而得出结论。
四种命题
四种命题1．命题及其概念(1)判断一个语句是不是命题，首先应明确它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”两个条件，只有能判断真假的陈述句才是命题．一个命题要么是真的，要么是假的，不能既是真命题又是假命题，也不能模棱两可，无法判断其真假．(2)数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题．2．命题的结构形式(1)数学中的命题大多是：“若p，则q”的形式，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．而数学中的有些命题从形式上看，不是“若p，则q”的形式，但是将它的表述作适当改变，也可以写成“若p，则q”的形式，因此，在研究命题时，不要受其形式的影响．(2)“若p，则q”形式的命题中，p和q本身也可为一个简单命题．(3)并非所有的命题都可写成“若p，则q”型，如“13是有理数”，“5>3”．3．命题真假的判断(1)一个命题的真假与命题所在环境有关．对其进行判断时，要注意命题的前提条件，如“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”在平面几何中是真命题，而在立体几何中却是假命题．(2)关于“若p，则q”型的命题许多命题都可写成“若p，则q”的形式．其中p为条件，q为结论，p和q 本身也可为一个简单命题，这种命题形式明确、简洁，是我们研究命题的主要形式之一．很多命题表面上不是“若p，则q”型的，但是，可以改写成“若p，则q”型，当一个命题改写成“若p则q”的形式之后，判断这种命题的真假的办法：①若由“p”经过逻辑推理得出“q”，则可确定“若p，则q”是真；确定“若p，则q”为假，则只需举一个反例说明即可．②从集合的观点看，我们建立集合A、B与命题中的p、q之间的一种联系：设集合A＝{x|p(x)成立}，B＝{x|q(x)成立}，就是说，A是能使条件p成立的全体对象x所构成的集合，B是能使条件q成立的全体对象x所构成的集合，此时，命题“若p，则q”为真，当且仅当A⊆B时满足．1．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假________的陈述句叫做命题．2．判断为真的语句叫真命题_______，判断为假的语句叫假命题______．3．命题常写成“若p，则q__________”的形式，其中命题中的p叫做命题的条件______，q叫做命题的结论________．考点一命题概念的理解例1判断下列语句是否是命题，并说明理由．(1)求证：3是无理数；(2)x2＋4x＋4≥0；(3)你是高一的学生吗？(4)并非所有的人都喜欢苹果．[分析]由题目可获取以下主要信息：①给定一个语句，②判定其是否为命题并说明理由．解答本题要严格验证该语句是否符合命题的概念．[解析](1)祈使句，不是命题．(2)x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，它包括x2＋4x＋4>0，或x2＋4x＋4＝0，对于x ∈R，可以判断真假，它是命题．(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题．(4)是命题，人群中有的人喜欢苹果，也存在着不喜欢苹果的人．[点评] 判定一个语句是否为命题，主要把握以下两点：(1)必须是陈述语句．祈使句、疑问句、感叹句都不是命题．(2)其结论可以判定真或假．含义模糊不清，不能辨其真假的语句，不是命题．另外，并非所有的陈述语句都是命题，凡是在陈述语句中含有比喻、形容等词的词义模糊不清的，都不是命题．跟踪练习：判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)若x <2，则x <1；(2)x 2＋2x －1＝0；(3)存在实数x ，使得不等式x 2－3x ＋1<0成立．[解析] (1)是命题．因为由x <2不能推出x <1，可以作出判断．(2)不是命题．因为字母的性质不明确，所以不是命题．(3)是命题．因为根据不等式的解法我们可以求得不等式x 2－3x ＋1<0的解，所以是命题．考点二 命题真假的判断例2 判断下列命题的真假：①AB →＋BC →＝AC →；②log 2x 2＝2log 2x ；③若m >1，则方程x 2－2x ＋m ＝0无实根；④直线x＋y＝0的倾斜角是π4；⑤若α＝3π4，则sinα＝22；⑥若x∈A，则x∈(A∩B)．[分析]运用数学中的定义、定理、公理、公式等知识进行判断．[解析]①是真命题；②是假命题．如x＝－1时，log2x2＝0，而2log2x＝2log2(－1)无意义；③是真命题．若m>1，则Δ＝4－4m<0；④是假命题．直线x＋y＝0的倾斜角是3π4；⑤是真命题；⑥是假命题．如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}时，1∈A，但1∉A∩B.[点评](1)真命题的判定方法真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．(2)假命题的判定方法通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．另外，一些命题的真假也可以依据客观事实作出判断．跟踪练习：给出下列几个命题：(1)若x，y互为相反数，则x＋y＝0；(2)若a>b，则a2>b2；(3)若x>－3，则x2＋x－6≤0；(4)若a，b是无理数，则a b也是无理数．其中的真命题有________个．[答案] 1[解析](1)是真命题．(2)设a＝1>b＝－2，a>b，但a2<b2，假命题．(3)设x ＝4，显然x>－3，但x2＋x－6＝14>0，假命题．(4)设a＝(2)2，b＝2，则a b＝(2)2＝2是有理数，假命题.考点三命题结构分析例3指出下列命题的条件与结论．(1)负数的平方是正数；(2)正方形的四条边相等．[分析]由题目可获取以下主要信息：①给出了命题的一般简略形式．②找出命题的条件和结论．解答本题的关键是正确改变命题的表述形式．[解析](1)可表述为“若一个数是负数，则这个数的平方是正数”条件为：“一个数是负数”；结论为：“这个数的平方是正数”．(2)可表述为：“若一个四边形是正方形，则这个四边形的四条边相等”．条件为：“一个四边形是正方形”；结论为：“这个四边形的四条边相等”．[点评]一个命题总存在条件和结论两个部分，但是，有的时候条件和结论不是很明显，这时可以把它的表述作适当的改变，写成“若p，则q”的形式，其中p为条件，q为结论．跟踪练习：写出下列命题的条件与结论．(1)质数是奇数；(2)矩形是两条对角线相等的四边形．[解析](1)可表述为：“若一个自然数是质数，则它是奇数”．条件为：“一个自然数是质数”；结论为：“这个自然数是奇数”．(2)可表述为：“若一个四边形是矩形，则它的两条对角线相等．”条件为：“若一个四边形是矩形”；结论为：“这个四边形的两条对角线相等”.例4将下面的命题写成“若p，则q”的形式．当a>0时，函数y＝ax＋b的值随x的增加而增加．[错解]“若p，则q”的形式为：如果a>0，则函数y＝ax＋b的值随x的增加而增加．[辨析]原命题有两个条件：a>0和x增加，其中a>0是大前提，x增加是条件．[正解]“若p，则q”的形式为：当a>0时，若x的值增加，则函数y＝ax ＋b的值也增加．第2课时四种命题及其相互关系1．四种命题的概念关于原命题的逆命题、否命题和逆否命题的写法：首先：把原命题整理成“若p，则q”的形式．其次：(1)“换位”(即交换命题的条件与结论)得到“若q，则p”，即为逆命题；(2)“换质”(即将原命题的条件与结论分别否定后作为条件和结论)得到“若非p，则非q”即为否命题；(3)既“换位”又“换质”(即把原命题的结论否定后作为新命题的条件，条件否定后作为新命题的结论)得到“若非q，则非p”即为逆否命题．注意：①非p常记作⌝p.②只有“若p，则q”形式的命题才研究它的逆命题、否命题、逆否命题．2．要注意否命题与命题的否定是不同的，“命题的否定”只否定结论，而否命题要对条件和结论分别进行否定．“若p，则q”形式的命题其否命题为“若⌝p，则⌝q”．在写一个命题的否定或否命题时要注意一些关键词的否定，后面学习逻辑联结词时还要详加讨论．3．命题的四种形式间的关系(1)命题的四种形式中，哪个是原命题是相对的，不是绝对的；(2)四种命题间有两对互逆关系，两对互否关系，两对互为逆否的关系，互为逆否的两命题同真同假，在判断和证明中要注意它们之间的相互转化．要通过实例去发现四种命题间的关系，并能用命题间的关系去验证写出的命题是否正确．4．间接证明有关问题由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明一个命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真来间接证明原命题为真，即正难则反的思想．1．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题__________，其中一个命题叫做原命题________，另一个叫做原命题的逆命题________．2．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题_________，其中一个命题叫做原命题_______，另一个叫做原命题的否命题_________．3．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题_____________，其中一个命题叫做原命题________，另一个叫做原命题的逆否命题_________．4．原命题为真，它的逆命题不一定________为真．5．原命题为真，它的否命题不一定_______为真．6．原命题为真，它的逆否命题一定______为真．即互为逆否的命题是等价命题，它们同真____同假____，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为逆否______的命题，它们同真____同假_____．考点一命题的四种形式之间的转换例1写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．(1)负数的平方是正数；(2)正方形的四条边相等．[分析]此题的题设和结论不很明显，因此首先将命题改写成“若p，则q”的形式，然后再写出它的逆命题、否命题与逆否命题．[解析](1)改写成“若一个数是负数，则它的平方是正数”．逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．(2)原命题可以写成：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等．逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形．[点评]写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写．在判断原命题及逆命题的真假时，常借助原命题与其逆否命题同真假，逆命题和否命题同真假进行判断．跟踪练习：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)若x2＋y2＝0，则x，y全为0.(2)若a＋b是偶数，则a，b都是偶数．[解析](1)逆命题：若x，y全为0，则x2＋y2＝0；否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为0；逆否命题：若x，y不全为0，则x2＋y2≠0.(2)逆命题：若a，b都是偶数，则a＋b是偶数；否命题：若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数；逆否命题：若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数.考点二四种命题的关系及真假判断例2写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假．(1)菱形的对角线互相垂直；(2)等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．[解析](1)逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直，则它是菱形．是假命题．否命题：若一个四边形不是菱形，则它的对角线不互相垂直．是假命题．逆否命题：若一个四边形的对角线不互相垂直，则这个四边形不是菱形．是真命题．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．是真命题．否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．是真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．是假命题．(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．是假命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的孤．是假命题．逆否命题：若一条直线不平分弦所对的孤，则这条直线不是弦的垂直平分线．是真命题．[点评]①四种命题具有两对互为逆否的关系，所以，判断四种命题的真假时，只需判断出原命题与其逆命题的真假，即可得其他命题的真假．②当一个命题是否定性命题且不易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假以达到目的．跟踪练习：已知一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题，在这四个命题中()A．真命题个数一定是奇数B．真命题个数一定是偶数C．真命题个数可能是奇数，也可能是偶数D．以上判断都不对[答案] B[解析]因为原命题是真命题，则它的逆否命题一定是真命题，一个命题的逆命题是真命题，则它的否命题一定是真命题，故选B.考点三互为逆否命题同真同假的应用例3判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．[分析]解答本题可以直接进行逻辑推理判断；可以从逆否命题直接判断；也可以先判断原命题的真假，然后利用等价命题的同真同假判断．[解析]解法一：∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.∴方程x2＋2x－3＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．解法二：原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题为“若方程x2＋2x－3m＝0无实数根，则m≤0”．方程x2＋2x－3m＝0无实数根，∴Δ＝4＋12m<0.∴m<－13≤0.∴“若方程x2＋2x－3m＝0无实数根，则m≤0”为真．[点评]本题中解法一利用了原命题与它的逆否命题同真同假的方法解决；解法二是先写出原命题的逆否命题，再判断其真假．跟踪练习：有下列四个命题：(1)“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题；(2)“对顶角相等”的逆命题；(3)“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；(4)“直角三角形的两锐角互为余角”的逆命题．其中真命题的个数是()A．0B．1C．2D．[答案] B[解析](1)“若x＋y≠0，则x与y不是相反数”是真命题．(2)“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题．(3)“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，当x＝4时，x>－3而x2－x－6＝6>0，故是假命题．(4)“若一个三角形的两锐角互为余角，则这个三角形是直角三角形”，真命题．[点评]本题的解法中运用了举反例的办法，如(2)、(3)的解法．举出一个反例说明一个命题不正确是以后经常用到的方法.例4写出命题“已知a、b、c、d是实数，如果a＝b，c＝d，则a＋c＝b ＋d”的逆命题、否命题，并证明它们的真假．[错解]逆命题：如果a＋c＝b＋d，则a、b、c、d是实数，且a＝b，c＝d.假命题．否命题：如果a、b、c、d不是实数，a≠b，c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．[辨析]上述解法没有弄清命题的条件，将大前提“a、b、c、d是实数”充当了条件．[正解]逆命题：已知a、b、c、d是实数，如果a＋c＝b＋d，则a＝b，c ＝d.假命题．否命题：已知a、b、c、d是实数，如果a≠b，或c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．。
命题的四种形式及关系
命题的四种形式及关系1. 什么是命题？在逻辑学中，命题是一个陈述句，它可以被判断为真或假。
命题是逻辑推理的基本单位，通过对命题的分析和组合，我们可以进行有效的推理和论证。
2. 命题的四种形式2.1 简单命题简单命题是最基本的命题形式，它不能再被分解为更小的命题。
简单命题通常用一个字母或一个词来表示，例如：P、Q、R等。
简单命题可以是真（True）或假（False）。
例如，“太阳从东方升起”这个陈述就是一个简单命题，它可以被判断为真。
2.2 复合命题复合命题由多个简单命题通过逻辑运算符连接而成。
常见的逻辑运算符有：•否定（Negation）：表示取反关系，用符号”¬“表示。
•合取（Conjunction）：表示与关系，用符号”∧“表示。
•析取（Disjunction）：表示或关系，用符号”∨“表示。
•条件（Implication）：表示蕴含关系，用符号”→“表示。
•双条件（Biconditional）：表示等价关系，用符号”↔“表示。
例如，命题”P并且Q”可以表示为P∧Q，命题”P或者Q”可以表示为P∨Q。
2.3 合取范式合取范式是一种复合命题的标准形式，它由多个简单命题的合取构成。
合取范式通常用括号和逻辑运算符来表示。
例如，命题”(P∨Q)并且(¬R)“就是一个合取范式。
在合取范式中，每个简单命题都是一个子命题，并通过逻辑运算符连接起来。
2.4 析取范式析取范式是另一种复合命题的标准形式，它由多个简单命题的析取构成。
析取范式通常用括号和逻辑运算符来表示。
例如，命题”(P∧¬Q)或者R”就是一个析取范式。
在析取范式中，每个简单命题都是一个子命题，并通过逻辑运算符连接起来。
3. 命题的关系3.1 等价关系两个命题被称为等价关系，如果它们具有相同的真值表。
换句话说，两个等价的命题在所有情况下都具有相同的真假值。
等价关系可以用双条件符号”↔“来表示。
例如，命题”P并且Q”和命题”Q并且P”是等价命题，可以表示为P∧Q ↔ Q∧P。
1.4.3-命题的形式及等价关系(含答案)
1.4.3-命题的形式及等价关系(含答案)本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March1.4.3 命题的形式及等价关系【课堂例题】例1.判定下列两个命题是否等价：(1)命题A:“4是偶数”，命题B:“4是2的整数倍”.(2)命题A:“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”；命题B:“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”.(3)命题A:“如果a b =，那么ac bc =”；命题B:“如果a b ≠，那么ac bc ≠”.(4)命题A:“如果a b =，那么ac bc =”；命题B:“如果ac bc =，那么a b =”.例2.利用等价命题，判断下列命题的真假：(1)如果2230x x --≠，那么1x ≠-且3x ≠;(2)如果a b +不是偶数，那么,a b 不都是偶数;(3)如果0x y +≤或者0xy ≤，那么0x ≤或者0y ≤；(4)如果x AB ∉，那么x A ∉且x B ∉.例3. 若22323420x xy y x y +++++≠，求证：10x y ++≠例4.利用反证法证明：(1)已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：,,a b c 中至少有一个不小于13;(选用是无理数.1.4.3 命题的形式及等价关系【知识再现】1.如果,A B 是两个命题，满足 且 ，那么,A B 叫做等价命题，记作 .2.原命题必然与 是等价命题；原命题的否命题必然与 是等价命题.3.反证法是通过假设 不成立，经过一系列推理得出结论与已知条件、定理等矛盾，从而说明假设不成立，原命题成立的一种间接证明法.【基础训练】1.写出下列命题的一个等价命题：(1)“若1x <-，则||1x >” ；(2)“若,x y 都不为零，则0xy ≠” ；(3)“能被10整除的数必能被5整除”.2.已知语句α与语句β的关系是：αβ⇒，则下列必定正确的推出关系是( )A.αβ⇒;B.αβ⇒;C.βα⇒;D.βα⇒;3.利用等价命题，判断下列命题的真假：(1)若(2)(4)0--≠x y ，则2≠x 且4≠y ；( )(2)若4+≤x y 或4xy ≤，则2≤x 或2y ≤;( )(3)若,a b 不都是偶数，则a b +不是偶数. ( )4.(1)由命题甲成立，可以推出命题乙不成立，下列说法一定正确的是( ).(A)命题甲不成立，可以推出命题乙成立；(B)命题甲不成立，可以推出命题乙不成立；(C)命题乙成立，可以推出命题甲成立；(D)命题乙成立，可以推出命题甲不成立.(2)以下说法错误的是( ).(A)如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题；(B)如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定是真命题；(C)原命题、否命题、逆命题、逆否命题之中，真命题的个数一定为偶数；(D)一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题.5.试判断命题A:“在ABC ∆中，222BC AC AB =+”与命题B:“ABC ∆是直角三角形”是否为等价命题，并说明理由.6.如图，已知四边形ABCD 的对角线交于点求证：若对角线,AC BD 不互相平分，则四边形ABCD 不是平行四边形.7.若22320a b a b --++≠，求证：2a b +≠【巩固提高】8.试判断命题A:“三角形任意两边之和大于第三边”与命题B:“三角形任意两边之差小于第三边”是否为等价命题，并说明理由.9.是无理数.(选做)10.(1); 若2220a b c ab bc ac ++---≠，求证：,,a b c 中至少有两个不相等.(2)已知,a b.提示： 10.(2)a b =- 【温故知新】11.类比A B A B A ⊆⇔=，再写两个：A B ⊆⇔ ;A B ⊆⇔ .【课堂例题答案】例1.是，是，否，否例2.真，真，假，假例3.证：101x y y x ++=⇒=--⇒2222323423(1)2(1)34(1)20x xy y x y x x x x x x +++++=+--+--++--+= 原命题的逆否命题成立，因此原命题成立 证毕例4.(1)证：假设111,,333a b c <<<， 111111,,333333a b c a b c <<<⇒++<++1a b c ⇒++< 与条件矛盾，因此假设不成立，即,,a b c 中至少有一个不小于13. 证毕 (2)Q,,m m n n=互质 222m n =⇒2m 是偶数m ⇒是偶数⇒2,m k k Z =∈2222(2)22k n k n ⇒=⇒=⇒ 2n 是偶数n ⇒是偶数是无理数. 证毕【知识再现答案】1.,,A B B A A B ⇒⇒⇔2.原命题的逆命题，原命题的否命题.3.待证命题的结论不成立.【习题答案】1.(1)若||1x ≤，则1x ≥-；(2)若0xy =，则,x y 中至少有一个为零；(3)不能被5整除的数必定不能被10整除.3.真，真，假4.(1) D ;(2) B5.不等价，A B ⇒，B A ⇒/，因为ABC ∆是直角三角形⇒/90A ︒∠=6.证：四边形ABCD 是平行四边形 //,//AB DC AD BC ⇒ 12()43BD DB ADB CBD ASA ⎧∠=∠⎫⎪⎪⇒=⇒∆≅∆⎨⎬⎪⎪∠=∠⎭⎩AB DC ⇒= 12∠=∠ (),ABO COD ASA AO CO BO DO ⇒∆≅∆⇒== 56∠=∠,AC BD ⇒互相平分 原命题的逆否命题成立，因此原命题成立. 证毕7.证：证明逆否命题 2222(2)3(2)20a b b a a a a a +=⇒=-⇒---+-+=逆否命题成立，因此原命题成立. 证毕8.等价.证：设三边为,,a b c:A “三角形任意两边之和大于第三边”，:B “三角形任意两边之差小于第三边” 若,a b c c a b c b a +>⇒-<-<，同理：,a c b b a c b c a +>⇒-<-<；,b c a a c b a b c +>⇒-<-< 因此A B ⇒；反之，若,,,,,c a b c b a b a c b c a a c b a b c -<-<-<-<-<-<则,,a b c a c b b c a +>+>+>因此B A ⇒；综上：A B ⇔ 证毕⎫⎪⎬⎪⎭9.证：反证法.Q n m=，且,m n 互质 223m n =⇒2n 是3的倍数⇒n 是3的倍数⇒2n 是9的倍数，又223n m =⇒2m 是3的倍数⇒m 是3的倍数，与,m n 互质矛盾 . 证毕 10.(1)证：证明逆否命题.2220a b c a b c ab bc ac ==⇒++---=,逆否命题成立，那么原命题成立. 证毕提示：直接证明可以利用222()()()0a b b c c a -+-+-=(2)证：反证法是有理数，=a b -都是有理数⇒2Q +=∈与已知矛盾，. 证毕11.A B ；对于任意x A ∈，成立x B ∈；U U A B ⊇……答案不唯一。
高中数学上册 1.4《命题的形式及等价关系》教案（4） 沪教版
命题教材：四种命题的关系目的：要求学生明白得四种命题的关系，并能利用那个关系判定命题的真假。
进程：一、温习：四种命题 提问：说出命题“假设两个三角形全等，那么这两个三角形相似”的逆命题、否命题、逆否命题。
（解答略）二、1．接温习提问：原命题与逆否命题互逆否，否命题与逆命题互逆否，逆命题与逆否命题互逆。
小结：得表：2．若是原命题为真，那么逆命题、否命题、逆否命题真假设何？例：原命题：“若 a =0 那么 ab = 0”是真命题逆命题：“假设ab = 0 那么 a = 0”是假命题否命题：“假设 a 0 那么 ab 0”是假命题 逆否命题：“假设 ab 0 那么 a 0”是真命题小结：原命题为真，逆命题不必然为真，否命题也不必然为真，逆否命题为真。
3．又例：假设四边形 ABCD 为平行四边形，那么对角线相互平分。
它的逆命题、否命题、逆否命题均为真。
三、例题： P32 例二 （略）又例：命题“假设 x = y 则 x 2 = y 2”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判定它的真假。
原命题 若p 则q 逆命题 若q 则p 否命题 若p 则q逆否命题 若q 则p 否 互逆 互逆 互 否 互 否 互 为 逆 互 为 逆 否解：逆命题：假设x2 = y2则x = y （假，如x = 1, y = 1）否命题：假设x y 则x2 y2（假，如x = 1,y = 1）逆否命题：假设x2 y2则x y （真）又例：写出命题：“若x + y = 5则x = 3且y = 2”的逆命题否命题逆否命题，并判定它们的真假。
解：逆命题：假设x = 3 且y = 2 则x + y = 5 （真）否命题：假设x+ y 5 则x 3且y 2 （真）逆否命题：假设x 3 或y 2 则x + y 5 （假）四、作业。
2019-2020年高一数学上册必修11.4《命题的形式及等价关系》教案4篇
2019-2020年高一数学上册必修11.4《命题的形式及等价关系》教案4篇教学过程设计逆命题：若 x = 0或 y = 0 则 xy = 0否命题：若 xy0 则 x0且 y 0逆否命题：若 x0且 y 0 则xy0.常见词的否定词语是都是大于所有的任一个至少一个至多一个 P或q P且q词语的否定不是至少有一个（不都是不大于某些某一个一个也没有至少两个 P 且q P或 q若⌝p 则q逆否命题若⌝q 则⌝p4、四种命题及其形式原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题若┑p则┑q；逆否命题若┑q则┑p.5、若pq成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件★当证明“若，则”感到困难时，改证它的等价命题“若┑则┑”成立，6、反证法：步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。
矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。
命题一、选择：1、≥（ A ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D即不充分也不必要条件2、给出如下的命题：①对角线互相垂直且相等的平面四边形是正方形；②00=1；③如果x+y是整数，那么x,y都是整数；④<3或>3.其中真命题的个数是……( D )(A)3 (B)2 (C)1 (D)0 .3、已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条件．那么是成立的：（ A ）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件4、一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ C ）（A）（B）（C）（D）二、填空：5、写出“a,b均不为零”的（1）充分非必要条件是（2）必要非充分条件是：＿＿（3）充要条件是（4）非充分非必要条件是 06、在以下空格内填入“充分非必要条件”，“必要非充分条件”，“充要条件”，“非充分非必要条件”（1）“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的充要条件（2）“a＞2且b＞2”是“a+b＞4且ab＞4”的充分非必要条件（3）的_______必要非充分________条件7、的一个充分不必要条件是_______________8、指出下列各题中甲是乙的什么条件？（1）甲：a、b、c成等比数列；乙：b2=ac______充分非必要条件_________________.（2）甲：______必要非充分________（3）甲：直线l1∥l2，乙：直线l1与l2的斜率相等______非必要非充分_____三、解答9、已知命题P：方程x2＋mx＋1=0有两个不相等的负根；Q：方程4x2＋4(m－2)x＋1=0无实根.若P或Q为真，P且Q为假，求m的取值范围.答案：10、试写出一元二次方程，①有两个正根②两个小于的根③一个正根一个负根的一个充要条件。
§1.4 (1)命题的形式及等价关系
说明：本系列教案,学案，经多次使用，修改，其中有部分来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。
为了一个课件，我们仔细研磨；为了一个习题，我们精挑细选；为了一点进步，我们竭尽全力；没有最好，只有更好！制作水平有限，错误难免，请多指教：28275061@【教学内容的课时安排】本章总共15课时，其中§1.4 (1)命题的形式及等价关系一、教学目标设计理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；知道推出关系的概念，理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；掌握等价关系的概念.二、教学重点及难点了解命题的构成；会用举反例法说明一个命题为假命题；知道真命题需要证明.三、教学用具准备多媒体四、学过程设计(一)、复习回顾在初中，我们已学过命题，真命题，假命题.命题：表示判断的语句.真命题：正确的命题.假命题：错误的命题.命题“全等三角形的面积相等”的条件与结论各是什么？本节将进一步研究命题与其有关的命题的概念.[说明]通过学生回顾以前的知识，唤起他们原有认知结构中的知识结点，从而为下面的要学习的一些下位概念的同化和顺应提供最近发展区.(二)、讲授新课1．命题例1：下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？（1）个位数是5的自然数能被5整除；（2）凡直角三角形都相似；（3）上课请不要讲话；（4）互为补角的两个角不相等；（5）你是高一学生吗？结论：①命题必定由条件与结论两部分组成.②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可）.③真命题必须证明.2、推出关系：一般地，如果α这件事成立可以推出β这件事也成立，那么就说由α可以推出β，并用记号α⇒β表示，读作“α推出β”.换言之，α⇒β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题.例2：设α表示“两个角是对顶角”，β表示为“两个角相等”，问能用“⇒”表示α、β之间关系吗？例3：在下列各题中，用符号“⇒”或“⇔”把α、β这两件事联系起来.(1).α：实数x 满足92=x ，β：3=x 或3-=x ；(2).α：U B A = ，β：U B U A ==或（U 为全集）； (3).α：B A ⊆，β：A B A = ； (4).α：0=ab ，β：0=a3、α与β等价：如果α⇒β，β⇒α，那么记作βα⇔，叫做α与β等价4、传递性：α⇒β，β⇒γ，则α⇒γ（类比推出关系的传递性，你能再举一些具有传递关系的关系吗？说说看）三、巩固练习：课本P/17 练习1.4（1）——1，2，3四、课堂小结：本节课主要介绍了真假命题判断的方法及命题的推出关系.五、教学反思（1）命题的有关概念在初中平面几何中已经学过,因此可以通过具体的例子帮助学生回顾旧知,为以后进一步研究命题做好铺垫.在推出关系的教学中,要强调命题的条件和结论,要结合并集的概念强调“或”的三层含义.（2）理解推出关系具有传递性，为以后学习充要条件做好准备. （3）要明确有关数学符号、记号的意义，正确加以使用.本单元中引进的数学符号、记号比较多，初学者往往不善于使用，对此教学中必须在每一符号引进时，说明其意义，配备适当的例题、习题，逐步让学生熟悉这些符号，正确地运用这些符号.导学案§1.4 (1)命题的形式及等价关系学习目标⒈知道“命题”、“推出”的意义；知道命题的结构“如果α，那么β”．⒉．掌握真假命题判断的方法及命题的推出关系；理解“证明“的意义学习重点：学会找一个命题的条件和结论，了解推出关系的定义.学习难点：判断命题的真假并说明理由学习过程：一、知识回顾1、_________________语句叫做命题，命题通常用_______________表述._________________叫做真命题._________________假命题.2、在数学中常见的命题由_______与________两部分组成.二、新知导学1、推出关系：一般地，如果α这件事成立可以推出β这件事也成立，那么就说由α可以推出β，并用记号_______表示，读作“_______”.换言之，α⇒β表示以____为条件，____为结论的命题是真命题.2、α与β等价：如果α⇒β，β⇒α，那么记作________ ___，叫做α与β.3、传递性：α⇒β，β⇒γ，则_____________.三、问题探究例1：下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果是命题，请写出命题的条件与结论（1）如果两直线平行，那么同位角相等（2）全等三角形的面积相等（3）上课请不要讲话（4）你主动学习了吗？反思：命题必定由条件与结论两部分组成.例2：判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由.(1).个位数是5的自然数能被5整除；(2).凡直角三角形都相似；(3).互为补角的两个角不相等；说明：举反例，即：举出一个满足条件，不满足结论的例子.例3：设α表示“两个角是对顶角”，β表示为“两个角相等”，问能用“⇒”表示α、β之间关系吗？例4：在下列各题中，用符号“⇒”或“⇔”把α、β这两件事联系起来.(1). α：实数x 满足92=x ，β：3=x 或3-=x . __________(2). α：B A ⊆，β：A B A = .__________ (3). α：0=ab ，β：0=a .__________四、学习小结1. 用“或”、“且”、“非”填空：⑴ 若()()130x x -+=，则1x =_______3x =-； ⑵ 若0ab ≠，则0a ≠_______0b ≠； ⑶ 若0x ≥，则x 是_______负实数．2. 判断下列命题的真假（在题后括号中填“真”或“假”）：（1） 如果b a ,都是奇数，那么b a +是偶数……………………………（ ） （2） 一组对边平行且两对对角线相等的四边形是平行四边形…………（ ） （3） 如果2<a ，那么2<a ……………………………………………（ ） （4） 如果A B A = ，那么B B A = …………………………………（ ）3. 在下列各题中，用符号“⇒”或“⇐”或“⇔”把命题α与β联系起来．⑴ α：x 是方程2320x x -+=的根 β：2x =⑵ α：5x =- β：||5x =⑶ α：A B ⊆ β：A B A =（4）α：x 适合方程0652=+-x x ， β：3x 2==或x ；（5）α：B A ⊆， β：B B A = ；。
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1.4.1命题的形式及等价关系（1）---命题与推出关系
【学习目标】：
1．了解命题、真命题、假命题，理解命题的推出关系、等价关系，推出关系的传递性；
2．在探究命题推出关系的过程中，体会举反例判断假命题的要领，初步会用推出关系的传递性证明一个命题是真命题的方法；
3．在认识一些基本的逻辑关系及其运用活动中，体会逻辑语言在数学表达和论证中的作用， 确立真命题必须作出证明的数学意识.
【预习导学】
【问题导引】
问题1.在命题“如果2x >，那么24x >”中，条件和结论分别指的什么？
提示：“2x >”是条件，“24x >”是结论.
问题2.命题“如果x+y=2,那么x ≥1且y ≥1”是真命题吗？为什么？
提示：假命题；反例：x=1.3,y=0.7满足命题的条件2x y +=，但不满足命题结论11x y ≥≥且 问题3.如何判断命题“末两位数是12的正整数能被4整除”是真命题吗？为什么？ 提示：是真命题；
理由：因为末两位数是12的正整数可以写成10012k +的形式(*k N ∈)，而100124(253)k k +=+，所以10012k +能被4整除.即命题“末两位数是12的正整数能被4整除”是一个真命题.
【知识梳理】
知识点1命题，真命题，假命题的概念
1.命题的构成：在数学中常见的命题由条件与结论两部分组成.
2.判断一个命题的假命题，只需举出一个反例即可
3.确定一个命题是真命题：必须证明若满足命题条件就一定能推出命题的结论.
4.推出关系：一般地说，如果命题α成立可以推出命题β成立，那么就说由α可以推出β，并用记号“βα⇒”，读作“α推出β”.
也就是说，βα⇒表示以α为条件、β为结论的命题是真命题.
如果α成立不能推出β成立，记为“βα⇒/”，读作“α推不出β”.换言之，βα⇒/表示以α为条件、β为结论的命题是假命题.
(2)推出关系“⇒”是一种关系符号，具有传递性，推出关系的传递性证明一个命题是真命题的基本方法.
5.等价关系：如果αβ⇒，并且βα⇒，那么记作αβ⇔，叫做α与β等价.
【课堂讲义】
要点1命题及真假性判断
【例1】下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果是命题，那么他们是真命题或是假命题？为什么？
(1)个位数是5的自然数能被5整除；
(2)凡直角三角形都相似；
(3)上课请不要讲话；
(4)互为补角的两个角不相等；
(5)如果两个三角形的三条边对应相等，那么两个三角形全等；
(6)你是高一学生吗？
【解析】例（3）（6）不是命题。
例（1）（2）（4）（5）是命题，其中例（2）（4）是假命题，（）（）是真命题。
（3）不是表示判断的句子，（6）是个问句，也不的表示判断的句子故都不是命题；
（1）个位数是5的自然数都可以表示为10n+5的形式，所以能被5整除。
是真命题；（5）是初中学过的三角形全等一个判定定理，是真命题；
（2）取三角分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°的两个直角三角形，显然不相似。
故命题是假命题；（4）取互补的两个角分别为90°、90°，它们相等。
故命题为假命题。
规律总结：举反例是判断假命题的重要方法；我们必须通过论证来说明一个命题是真命题. 变式：判断下列命题的真假：
（1）如果一元二次方程20(0,)ax bx c a a b c R ++=≠∈、、满足0ac <，那么这个方程有实数根．
（2）如果一元二次方程2
0(0,)ax bx c a a b c R ++=≠∈、、有实数根，那么0ac <．
【解答】（1）真命题.若0ac <，则△=b 2-4ac>0，故方程有实根。
（2）假命题.因为当c=0时，显然方程有实根，此时不满足0ac <。
要点2命题及推出关系 【例2】 判断下列各组中命题,αβ的推出关系：
(1):αk 是能被4整除的自然数， :βk 是偶数；
(2):α实数x 满足方程2870x x -+=，:β17x x ==或；
(3):α实数x 满足方程||5x =，:β5x =；
【解析】(1) :αk 是能被4整除的自然数，即42(2)()k m m m N ==∈，所以，k 是偶数.
即αβ⇒.但β⇒α/.反例：因为6k =是偶数，而不能被4整除.
(2) 实数x 满足方程2870x x -+=，可得17x x ==或，即⇒αβ.同样，如果17x x ==或，则有2870x x -+=，即⇒βα.因此，⇔αβ.
(3) 若5x =，必有||5x =，即⇒βα.但5x =-满足||5x =，而不满足5x =，即α⇒β/.
变式：已知:αABC ∆是等边三角形；:βABC ∆是轴对称图形.命题,αβ的推出关系是 ．
【解答】αβ⇒，但βα⇒/．
【课堂小结】
(1)命题、真命题、假命题；
(2)命题的推出关系、等价关系，推出关系的传递性；
(3)会用举反例方法判断假命题；确定一个命题是真命题则需要证明.
【当堂检测】
1.判断下列命题的真假
（1）有一个角是60o 的等腰三角形是正三角形．
（2）奇数加奇数为偶数．
（3）若21x =，则1x =．
（4）如果||2a <，那么2a <．
【答案】（1）（2）是真命题；（3）（4）是假命题.
2.判断下列各组命题中p,q 的推出关系
（1）已知a b c R ∈、、且0a ≠，p ：240b ac ->，q :关于x 的方程20ax bx c ++=有实数根.
（2）已知p ：0a ≠，q :0ab ≠.
【答案】（1）p q ⇒，但q p ⇒/.（2）q p ⇒，但p q ⇒/.
3.已知:α一次函数(0)y kx b k =+≠的图像经过第一、二、三象限；:β一次函数(0)y kx b k =+≠中0,0k b >>.命题,αβ的推出关系是 ． 【答案】αβ⇔.。