排列组合中的区域涂色问题
高中数学排列组合染色问题(公开课)(共10张PPT)
分析：给四川染色有4种方法，给青海染色有3种方 法，给西藏染色有2种方法，给云南染色有2种方法
[a1]
练习1： 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如 图）。现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相 邻部分不能栽种同样颜色的花，共有多少不同的栽种方 法
练习2：某伞厂所生产的伞品种齐全，其中品牌 为"太阳伞"的伞的伞蓬都由太阳光的七种颜色组 成，这七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内，且 恰有一种颜色涂在相对的区域内，则不同颜色图 案的此类太阳伞至多有（ ）种
染色问题
例.将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入如图中 的区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同， 则不同的涂色方法有（ ）种。
A
①
B
②
C
③
D
④
分析：A 4种 B 3种 C 3种 D 3种
变式1.将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入如 图中的区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不 相同，则不同的涂色方法有（ ）种。 A D B C
（A）40320 （B）5040 （C）20160 （D）2520
总结
Hale Waihona Puke 对区域染色的常见思路： （1）直接根据两个基本原理求解； （2）根据所用的颜色的种数分类； （3）根据某两个区域同色或不同 色分类； （4）根据相间区域使用的种类分 类。
作业
（1）用5种颜色给图中的5个车站候车牌（A、B、C、D、E）
分析：A B C D 4种 3种 3种 ？？
为什么第四个区域不确定是几种情况呢？
解：分类：BD同色： BD异色： 36+48=84种
变式2.将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入如 图中的区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不 相同，则不同的涂色方法有（ ）种。
【排列组合】高中数学中涂色问题的“一带一路”模型
涂色问题的“一带一路”模型例题用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种（用数字作答）.解析：按照A→B→C→D的顺序进行涂色N=6×5×5×5=750(种)变式1 用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，若两端的格子颜色相同，则不同的涂色方法共有________种（用数字作答）.解析：按照A→D→B→C的顺序进行涂色N=6×1×5×4=120(种)变式2 用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种（用数字作答）.解析：法一：直接法按照A→B→C→D的顺序进行涂色，对C按照CA同色(1×5)、CA异色(4×4)进行分类，则N=6×5×(1×5+4×4)= 630(种)法二：间接法由例题知在没有其它限制条件下共有750种涂法，由变式1知其中两端颜色相同的涂法有120种. 故两端格子异色的涂法为：N=750－120=630(种)变式3 用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且最多使用3种颜色，则不同的涂色方法共有________种（用数字作答）.解析：由分析知：完成涂色需要用的颜色数可能为2种、3种、4种，而本题中要求“最多使用3种颜色”，故对颜色数进行分类，再按照A→B→C→D的顺序涂色.①2种颜色: 当A、B涂完色后C、D颜色已经确定了，故n1=6×5×1×1=30；②3种颜色: 对C按照CA同色(1×4)、CA异色(4×2)进行分类，则n2=6×5×(1×4+4×2)= 360(种).∴N= n1+ n2=30+360= 390(种)变式4 从6种不同的颜色中选出4种给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种（用数字作答）.解析：法一：直接法(简单快捷)按照A→B→C→D的顺序涂色，N=6×5×4×3=360(种)法二：间接法(繁琐易错)按所用的颜色数进行分类如下：①2种颜色：n1=6×5×1×1=30；②3种颜色：n2=6×5×(1×4+4×2)=360；③4种颜色：n3=6×5×4×3=360.故N=30+360+360=750(种)【思考】用6种不同的颜色给图中的5个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种（用数字作答）.N=6×5×5×5×5= 3750(种)【总结】：用m种不同的颜色给如图n个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有m(m−1)n−1种.练习现要安排一份5天的值班表，每天由1人值班，共有5人. 每人值班的天数不限，但相邻两天不能由同一人值班，则该值班表共有多少种不同的排法？模型转化：将5种颜色涂在5个格子中，每个格子涂一种颜色，相邻的格子颜色不同，则不同的涂色方法共有多少种？N=5×4×4×4×4=1280(种)。
排列组合专题之染色问题3
排列组合专题之染色问题 【引例】引例1．在一个正六边形的6个区域栽种观赏植物，如右图，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有四种不同的植物可供选择，则有________种栽种方案．引例2．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____种．（以数字作答）【分析】首先栽种第1部分，有14C 种栽种方法；然后问题就转化为用余下3种颜色的花，去栽种周围的5个部分（如右图所示），此问题和引例1是同一题型，因此我们有必要对这一题型的解法做一深入探讨。
【剖析】为了深入探讨这一题型的解法，（1）让我们首先用m （m ≥3）种不同的颜色（可供选择），去涂4个扇形的情形（要求每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色），如图所示以1和3（相间）涂色相同与否为分类标准：①1和3涂同一种颜色，有m 种涂法；2有m-1种涂法,4也有m-1种涂法,∴ 共有 (1)(1)m m m ⋅-⋅-种涂法。
②1和3涂不同种颜色，有2m A 种涂法;2有m-2种涂法，4也有m-2种涂法，∴ 共有 2(2)(2)m A m m ⋅-⋅-种涂法。
综合①和②，共有(1)(1)m m m ⋅-⋅-+2(2)(2)m A m m ⋅-⋅-432463m m m m =-+-种涂法。
（２）下面来分析引例1以A 、C 、E （相间）栽种植物情况作为分类标准：①A 、C 、E 栽种同一种植物，有4种栽法；B 、D 、F 各有3种栽法，∴ 共有 4×3×3×3＝108 种栽法。
②A 、C 、E 栽种两种植物,有222432C C A 种栽法（24C 是4种植物中选出2种，23C 是A 、C 、E3个区域中选出2个区域栽种同一种植物，22A 是选出的2种植物排列），B 、D 、F 共有3×2×2 种栽法（注：若A 、C 栽种同一种植物，则B 有 3 种栽法，D 、F 各有2种栽法），222432322432C C A ∴⨯⨯⨯=共有种栽法。
排列组合中的涂色问题(二)
变式1 如下图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求 相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方 法共有________种．
按S—A—B—C—D的顺序进行涂色，对S、A、B涂色，有4×3×2=24种.由于 C的颜色可能与A同色或异色，这影响到D的颜色的选取方法数，故分类讨论：
变式2 如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块．现有4种不同的花供 选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法 总数为________种.
按A—B—C—D的顺序进行涂色，对A、B涂色，有4×3=12种. 由于C的颜色可能与A同色或异色，这影响到D的颜色的选取方 法数，故分类讨论： ①C与A同色时，D应与A(C)不同色，有3种选择，即有1×3=3种涂色方法； ②C与A异色时，C有2种选择颜色，D也有2种颜色可供选择，即有2×2=4种 涂色方法. 因此，对C、D有1×3+2×284种.
思考题 将一个四棱锥P-ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱 的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总 数是多少？
龟壳模型 将5种不同的颜色涂在如图5个区域，每个区域内只能涂一种颜色，且 相邻两个区域的颜色不同，则不同的涂色方法共有________种.
龟壳模型 将5种不同的颜色涂在如图5个区域，每个区域内只能涂一种颜色，且 相邻两个区域的颜色不同，则不同的涂色方法共有________种.
按S—A—B—C—D的顺序进行涂色，对S、A、B涂色，有5×4×3=60种. 由于C的颜色可能与A同色或异色，这影响到D的颜色的选取方法数，故 分类讨论： ①C与A同色时(此时C对颜色的选取方法唯一)，D应与A(C)、S不同色，有3种选择， 即有1×3=3种涂色方法； ②C与A异色时，C有2种选择颜色，D也有2 种颜色可供选择，即有2×2=4种涂色方法. 因此，对C、D有1×3+2×2=7种涂色方法。 从而对如图5个区域总的涂色方法有60×7=420种.
排列组合中染色问题(精华版)
涂 3 色： A53 60 ；涂 4 色：C12 A54 240 ；
涂
5
色：
A55
120 ，∴共有 60
240
120
420
图7
种
2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种 情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例7、（江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域， 且相邻两个区域不能同色
D. 60 新疆 王新敞 奎屯
②
④
③ ①
①
③
④
②
①
③ ②
④
图一
若变为图二,图三呢?
图二
图三
(240种, 320种)
例5.(03年)如图，一个地区分为 5个行政区域， 现给地图着色， 要求相邻区域不得使用同一颜 色，现有4种颜色可供选择，则 不同的着色方法共有
72 种.（以数字作答）
练习2:用红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂在“田”字形的4个小方格 内，每格涂一种颜色，相邻的两格涂不同的颜色，如果颜色可以 反复使用，共有多少种不同的涂色方法
涂 2 色： A52 20 ；涂 3 色：C12 A53 120 ； 图6
涂 4 色： A54 120 ，∴共有 20 120 120 260 种
解后思:关于涂色问题,一般来说,以”某两个区域同色或 异色分类”或”以使用颜色的多少分类”是常见的两种 思考方式.
例6:用5种颜色给图7中的5个车站的候车牌（A、B、C、D、E） 染色，要求相邻两个车站间的候车牌的颜色不同，有多少种不 同的染色方案？
分析：依题意至少要用3种颜色
3.根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻 区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加 法原理求出不同涂色方法总数。
排列组合题型全归纳 专题06 染色问题(原卷版)
专题06染色问题【方法技巧与总结】涂色问题常用方法：(1)根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法；(2)根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数；(3)根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论.从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数.k 种颜色圆周染色问题如图，把一个圆分成(2)n n ≥个扇形，每个扇形用k 种颜色之一染色，要求相邻扇形不同色，有(1)(1)(1)n n n a k k =-+-⨯-种方法.正常着色定理如图，用k （k 为正整数）种颜色给图的n 个顶点着色，则正常着色的方法为：,(1)(1)(1),2n n n k F k k n =-+--≥，1,k F k =.【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）如图是某届国际数学家大会的会标，现在有4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（）A．72B．48C．36D．24例2．（2023·全国·高三专题练习）如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（）A．480B．600C．720D．840例3．（2023·全国·高三专题练习）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（）种不同的染色方案.A．96B．144C．240D．360例4．（2023·全国·高三专题练习）有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（）A．1512种B．1346种C．912种D．756种例5．（2023·全国·高三专题练习）在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域（有公共边）涂不同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有（）A．720种B．2160种C．4100种D．4400种例6．（2023·全国·高三专题练习）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域A、B、C、D、E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（）A．120种B．720种C．840种D．960种例7．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考开学考试）用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中5个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为（）A ．6B ．10C ．16D ．20例8．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是（）A ．1440B ．720C ．1920D ．960例9．（2023·全国·高三专题练习）如图，用五种不同的颜色给图中的O ，A ，B ，C ，D ，E 六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（）A ．480B ．720C ．1080D ．1200例10．（2023·全国·高三专题练习）用五种不同颜色给三棱柱111ABC A B C -的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（）A ．840种B ．1200种C ．1800种D ．1920种例11．（2023·全国·高三专题练习）正方体六个面上分别标有A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（）种.A ．420B ．600C ．720D ．780例12．（2023春·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考阶段练习）如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.A．40320种B．5040种C．20160种D．2520种例13．（2023·全国·高三专题练习）如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A．192B．336C．600D．以上答案均不对例14．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是()A．420B．210C．70D．35例15．（2023·全国·高二专题练习）如图，给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，若有四种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有______种.例16．（2023·全国·高三专题练习）如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G，H八个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段上的点颜色不同，则不同的涂色方法有___________种.例17．（2023·全国·高三专题练习）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种(以数字作答)．例18．（2023·全国·高三专题练习）如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色至少使用一次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则区域A，B，C，D和1A，1B，1C，1D分别各涂2种不同颜色的涂色方法共有_________种；区域A，B，C，D和1A，1B，1C，1D分别各涂4种不同颜色的涂色方法共有_________种.例19．（2023·陕西宝鸡·统考一模）七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形､一个正方形和一个平行四边形.若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有______种.例20．（2023秋·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）如图，节日花坛中有5个区域，现有4种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，则符合条件的种植方案有_____________种.例21．（2023·高二课时练习）如图，用5种不同的颜色给图中的A、B、C、D、E、F6个不同的点涂色，要求每个点涂1种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有______种.例22．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的十一面体ABCDEFGHI中，用3种不同颜色给这个几何体各个顶点染色，每个顶点染一种颜色，要求每条棱的两端点异色，则不同的染色方案种数为__________．例23．（2023·全国·高二专题练习）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图所示．将一个正四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数．例24．（2023·全国·高三专题练习）如图，一个正方形花圃被分成5份．(1)若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有5种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？(2)若向这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法？例25．（2023·全国·高三专题练习）用()3,n n n N *≥∈种不同的颜色给如图所示的A 、B 、C 、D 四个区域涂色．（1）若相邻区域能用同一种颜色，则图①有多少种不同的涂色方案？（2）若相邻区域不能用同一种颜色，当6n =时，图①、图②各有多少种不同的涂色方案？（3）若相邻区域不能用同一种颜色，图③有180种不同的涂色方案，求n 的值．例26．（2023·全国·高二专题练习）如图所示的A ，B ，C ，D 按照下列要求涂色．（1）用3种不同颜色填涂图中A，B，C，D四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？（2）若恰好用3种不同颜色给A，B，C，D四个区域涂色，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？（3）若有3种不同颜色，恰好用2种不同颜色涂完四个区域，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？例27．（2023·全国·高二专题练习）（1）从5种颜色种选出3种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每一个顶点涂一种颜色，并使同一条棱上的两个顶点异色，则不同的涂色方法有______种；（2）从5种颜色种选出4种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每一个顶点涂一种颜色，并使同一条棱上的两个顶点异色，则不同的涂色方法有______种．。
排列组合(四)
用四种不同颜色给图中所有区域涂色，要求每一个区域涂一种 【例题】 颜色 相邻两区域不能涂同 种颜色 共有_________种不同的 颜色，相邻两区域不能涂同一种颜色，共有 涂色方法.
【例题】 （2012年陕西理8）两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜 负为止,则所有可能出现的情形 则所有 能出 的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形 各人输赢局次的 视为 情形 )共有（ ） A、10种 B、15种 C、20种 D、30种
排列组合(四)
【例题】用四种不同颜色给图中所有区域涂色，要求每一个区域涂一种颜 色 相邻两区域不能涂同 种颜色 共有_________种不同的涂 色，相邻两区域不能涂同一种颜色，共有 色方法.
【例题】用四种不同颜色给图中所有区域涂色，要求每 用四种不同颜色给图中所有区域涂色，要求每一个区域涂一种 个区域涂 种 颜色，相邻两区域不能涂同一种颜色，共有_________种不同的 涂色方法.
2
1ห้องสมุดไป่ตู้
【例题】 （2012年安徽理10）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换 ,任意两位同学之间最多交换一次 任意两位同学之间最多交换 次,进行交换的两位同学互赠一份纪 进行交换的两位同学互赠 份纪 念品,已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学 人数为（ ） A、 1或3 B、 1或4 C、2 或3 D、 2或4
排列组合难点之分块涂色
排列组合问题难点之分块涂色例1：将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物。
则有多少种种植方法？A.42B.48C.56D.81楚香凝解析：三种作物全部都要用上，A有3种选择，B有两种，C有两种，D有两种，E 有两种，共3*2^4=48种，里面包含了XYXYX这种只用到了两种作物的六种情况（C3 2*C2 1），所以要减去这六种情况，总共48-6=42种，选A例2：用5种不同颜色为图中ABCDE五个部分染色，相邻部分不能同色，但同一种颜色可以反复使用，也可以不使用，则符合要求的不同染色方法有多少种？楚香凝解析：先排连接部分最多的C，有5种，然后A有4种，B有3种，D有3种，E有3种，所以共5*4*3*3*3=540种例3：如图，把A，B，C，D，E，F这六个部分用5种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色，那么这幅图一共有多少种不同的着色方法？楚香凝解析：注意D和F只是有交点，并没有相邻。
先排连接部分最多的E，有5种，然后F有4种，B有3种，A有3种，C有3种，D有3种，所以共5*4*3*3*3*3=1620种例4：将一个四棱锥的五个顶点染色，使同一条棱的2个端点不同色，且只由五个颜色可以使用，有多少种染色方法？楚香凝解析：先排连接区域最多的元素A，有5种颜色，然后排B有4种颜色，排C有3种颜色，共5*4*3接下来排D的时候，要进行分类讨论，因为D和B的颜色是否相同，影响到E颜色的选取①当D和B颜色相同时，D有一种颜色选择，E跟ABD连接，所以E有3种颜色选择，1*3②当D和B颜色不同时，D和ABC连接，D有两种选择，E跟ABD链接，E有两种颜色选择,2*2 所以总情况数=5*4*3*（1*3+2*2）=420种例5：小明家门前有一块形状如图所示的花园，他想在花园里种花，发现家里有5种花的种子。
他对花园的唯一要求是相邻的两块地不能种植同样的花，那么一共有（）种不同的种植方案。
1.2.5排列组合中的涂色问题(北师大版)
面涂色问题 例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6
个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的 涂色方案共有多少种？
分析：显然，至少需要3三种颜色，由于有多种不同情况， 仍应考虑利用加法原 理分类、乘法原理分步进行讨论
染色问题:
• 例3 有n种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求 在①②③④四个区域中相邻(有公共边界)区域中 不用同一种颜色.
本类有 C35·C13·C12×2 种涂法．
第三类：用 5 色中的 4 色，有 C45·A44种涂法． 由分类加法计数原理，共有涂法 C25·A22＋C35·C13·C12×2＋C45·A44＝260(种)．
法3——按涂色区域分类 A52 +2A53 +A54
【训练1】 用4种不同的颜色涂入图中矩形A、B、 C、D中，要求相 邻的矩形涂色不同，则不同的 涂色方法共有多少种？
第二类，A、D同色，分三步完成，第一步涂A和D有5 种方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法。根据 分步计数原理，共有5×4×3＝60种方法。
根据分类计数原理，共有120+60＝180种方法。
４、某城市在中心广场建造一个花圃，
5
花圃分为6个部分（色的花，每部分栽种一
法二 (按用色种数分类) 第一类：用 5 色中的两色，则 A、C 同色，B、D 同色，共 有 C25·A22种涂法． 第二类：用 5 色中的 3 色，选取 3 种颜色有 C35种选法， 三色中的一种颜色涂 A，有 C13种涂法， 一种颜色涂 B 有 C12种方法， 若余下的一种颜色涂 C，则 D 与 B 同色． 若余下的一种颜色涂 D，则 C 与 A 同色． 故最后一种颜色有两种涂法．
解 (分步涂色)
排列组合中的染色问题(教师用)
排列组合中的染色问题(教师用)111如果方格数有变化，应该怎样解？2.如图所示的花圃分成六个区域，现要栽四种不同的花，每一部分栽一种花色且相邻部分颜色不同，则不同的栽法种数为（120 ）562341解：先安排1、2、3有2434=A种，不妨已分别栽A 、B 、C ，则4、5、6的栽法有B-C-D B-D-C D-B-C D-B-D D-C-D 共计五种。
所以共计有24*5=120种。
3.用五种不同的颜色涂如图所示的区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，则不同的填法种数为（260） 解：①.如果用4种颜色，有12045=A种21432②.如果用3种颜色，选色的1035=C，填色方案有2*2*3=12种，共计10*12=120种，BBB CCC AAABC A③.用2色图，20225=⨯C ，综上共计120+120+20=260种。
4.用五种颜色涂如图所示的区域，有多少种不同的涂法？（180） 解：1432①.如果用3种颜色，603335=⨯A C；②. .如果用4种颜色，有12045=A种。
所以共计3180种。
5.用六种广告色着色图中区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色。
（480）1432解：4804456=⨯⨯⨯6.用n 种不同的颜色涂如图所示的区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，不同的图法种数为120种，则n=（120）。
1432解：4nA =120，即)123)(103(22+---n n n n=0，解得n=5。
7.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并且使同一条棱上的两端异色，若只有五种颜色可供选用，则不同的染色方案有多少种？（420）4SCDBA解：先染S 、A 、B ，（6035=A）然后涂C ，⎪⎩⎪⎨⎧---)5/3(4)5/4/3(2)4/3(5D C D C D C 共七种，所以不同选法种数为60*7=420种。
8. 如图所示的花圃分成六个区域，现要栽四种不同的花，每一部分栽一种花色且相邻部分颜色不同，则不同的栽法种数为（120 ） 解：同第2题。
【高中数学公开课学案】排列组合中的涂色问题
排列组合中的涂色问题学习目标：1. 通过例题讲练，能够归纳、识别模型，“对症下药”；2. 能够将新情境变为相应模型，培养转化与化归思想.重难点：甄别题型，掌握方法一、“一带一路”模型例1 用6种不同的颜色给图中4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，相邻的两个格子不同色，则不同的涂色方法共有_____种.变式1 例1中增加条件“且两端的格子不同色”，则不同的涂色方法共有_____种.变式2 例1中增加条件“且最多使用3种颜色”，则不同的涂色方法共有_____种.【总结】用m种不同的颜色给如图n个格子涂色，每个格子涂一种颜色，相邻的两个格子不同色，则不同的涂色方法共有种.二、“飞机场”模型(H模型)例2 用6种不同的颜色把图中A,B,C,D四块区域区分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有_____种.变式用5种不同的颜色把图中A,B,C,D四块区域区分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有_____种.【总结】用m种不同的颜色给例2中的四块区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻的两个区域不同色，则不同的涂色方法共有种.三、“龟壳”模型例3 如图所示，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能栽种相同颜色的花卉，相邻两个花池的花卉颜色不同，则最多有_____种栽种方案．变式1如图某地区有5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_____种．变式2如图所示的5个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余4个区域中涂色，有4种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为_____.变式3 用5种不同的颜色对如图所示的4个区域进行涂色, 要求相邻的小三角形颜色不同, 则有_____种不同的涂法.【巩固练习】1. 某单位要安排一份5天的值班表，每天由1人值班，共有5位人员. 每人值班的天数不限，但相邻两天不能由同一人值班，则该值班表共有多少种不同的排法？2. 现用5种颜色对图中A,B,C,D四个部分着色，要求有公共边的两块不能用同一种颜色，则共有几种不同的着色方法？3. 河南省地处黄河中下游，大部分位于黄河以南，故称河南。
涂色问题的解题思路2(课堂参照)
解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、区域涂色问题1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类： （1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ； 所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 2) 区域3与5必须同色，故有34A 种； 3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=723、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
排列组合中的染色问题(教师版)
排列组合中的染色问题辅导教师：朱屿 电话：150****8809染色问题的基本要求：每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色; 染色问题的基本方法:先选色后涂色;染色问题的注意事项;分清区域数量和可供选择的颜色种类。
必要时可以对颜色或区域进行分类。
1.将A 、B 、C 三种不同的颜色，填到如图所示区域中，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，三种颜色都用到，则不同的涂法种数为（ 90种 ）解：906121212121213=-C C C C C C （详解:先从三种不同的颜色中选出一种填到第一个小格中,后面每小格都有两种不同的选法,所以共有121212121213C C C C C C 种,但由于每种颜色都用到,所以总计有:（90种,） 变式训练：1、如果方格数有变化，应该怎样解？2、如果颜色有变化呢？ 2.如图所示的花圃分成六个区域，现要栽四种不同的花，每一部分栽一种花色且相邻部分不种同颜色的花，则不同的栽法种数为（120种 ）解：先安排六个区域的中1、2、3有2434=A 种，不妨已分别栽A 、B 、C ，则余下的区域4、5、6的栽法有B-C-D ， B-D-C ， D-B-C ，D-B-D ，D-C-D 共计五种。
所以共计有24*5=120种。
3.用五种不同的颜色涂如图所示的区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，则不同的填法种数为（260种）解法一：①.如果用4种颜色，有12045=A 种562341②.如果用3种颜色，选色有1035=C ，填色方案有2*2*3=12种，共计10*12=120种，③.用2色图，20225=⨯C ，综上共计120+120+20=260种。
解法二：从五种颜色中选出两种涂到1、3有A 52=20种，然后涂4区域，分为两种情况：不妨假设1、3涂的是A 、B ，如果4中涂B ，4、2区域有4种涂法；如果4区域不是B ，4、2区域有3*3=9种涂法，所以总的涂法种数为A 52*（4+9）=260种。
涂色问题的解题思路2
4(2) 解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣，其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故 这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂 色问题的常见类型及求解方法。
一、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同 颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5x4x3x4 = 2402、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种 数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类:（4）③与⑤同色、②与④同色，则有4：;（5）②与④同色、③与⑥同色，则有所以根据加法原理得涂色方法总数为5俎=120 例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同 一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？分析：依题意至少要用3种颜色1） 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， ^£^2 八2） 区域3与5必须同色，故有疋种； （3I 5 ）3） 当用四种颜色时，若区域2与4同色， 4） 则区域3与5不同色，有种：若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有霜种，故用四种颜色时共有2 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有疋+2竝=24+2x24=723、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情 形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
排列组合中的涂色问题培训讲学
2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种 情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域， 且相邻两个区域不能同色
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：
（1）Hale Waihona Puke 与⑤同色、④与⑥同色，则有A
4 4
（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有
问题。
四、面涂色问题 例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6
个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的 涂色方案共有多少种？
分析：显然，至少需要3三种颜色，由于有多种不同情况， 仍应考虑利用加法原 理分类、乘法原理分步进行讨论
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4.根据相间区使用颜色的种类分类
例5如图， 6个扇形区域A、B、C、D、E、F，现给这6个区域着色， 要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色， 现有4种不同的颜色可有多少种方法？
• 二、点的涂色问题 方法：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，
（2）根据相对顶点是否同色分类讨论， （3）将空间问题平面化，转化成区域涂色
分析：依题意至少要用3种颜色
3.根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻 区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加 法原理求出不同涂色方法总数。
例4.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内， 每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可 以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
A
4 4
（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有
2023届新高考数学题型全归纳之排列组合专题06 染色问题含解析
2023届新高考数学题型全归纳之排列组合专题6染色问题例1.如图所示的几何体由三棱锥尸-力与三棱柱4qG 组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色（底面44G 不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（ ）B. 9种 D. 36种例2.如图，用四种不同的颜色给图中的4 B, C, D, E, F, G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）A. 192 种B. 336 种C. 600 种D. 624 种例3.现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（）A. 720 种B. 1440 种C. 2880 种D.的20 种例4.将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则 不同的种植方法种数是（ ）.A. 6种C. 12 种/ D、A. 420B. 180C. 64D. 25例5.用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域力、B、C、D、E涂色,要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（）A. 120 种B. 720 种C. 840 种D. 960 种例6.如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内, 且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.A. 40320 种B. 5040 种C. 20160 种D. 2520 种例7.如图所示，将四棱锥S-/4灰刀的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种色可供使用，则不同的染色方法种数为（）A. 240B. 360C. 420D. 960例8.如图所示，将33x33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为（）例9.如图给三棱柱的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同•种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方法有.例10.现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共 有 种不同着色方法例11.如图所示的五个区域中，中心区E 域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供 选择.要求每个区域只涂•种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为.例12.从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色，给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂 两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是.C. 64D. 7856oooooo例13.如图一个正方形花圃被分成5份.若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，则不同的种植方法有种例14.现有五种不同的颜色，要对图形中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用同•种颜色,不同的涂色方法有种.例15.现将如图所示的5个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中3个涂红色，2个涂黄色，若恰有两个相邻的小正方形涂红色，则不同的涂法共有种（用数字作答）.例16.四色猜想是近代数学难题之一，四色猜想的内容是：“任何一张地图最多用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”，如图，一张地图被分成了五个区域，每个区域只使用一种颜色，现有4 种颜色可供选择（四种颜色不一定用完），则满足四色猜想的不同涂色种数为例17.如图，将标号为1, 2, 3, 4, 5的五块区域染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻区域（有公共边）的颜色不同，则不同的染色方法有种・2例18.某城市在中心广场建造一个花圃，花阚分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有种.（用数字作答）例19.给图中4 B, C, D, E尸六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有一种不同的染色方案.例20.如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用）,要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有种.（用数字作答）例21.给如图染色，满足条件每个小方格染•种颜色，有公共边的小方格颜色不能相同，则用4种颜色染色的方案有_种，用5种颜色染色的方案共有_种.例22.如图，用四种不同的颜色给三棱柱48C-48'C'的六个顶点涂色，要求每个点涂•种颜色.若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有种；若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有种.专题6染色问题例1.如图所示的几何体由三棱锥尸-48c与三棱柱48C-4qG组合而成，现用3种不同颜色对这个儿何体的表面涂色（底面431cl不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）A. 6种B. 9种C. 12种D. 36种【解析】先涂三棱锥尸一力8c的三个侧面，有C；C；C：=6种情况，然后涂三棱柱的三个侧面，有C；C：C；=2种情况，共有6x2 = 12种不同的涂法.故选：C.例2.如图，用四种不同的颜色给图中的4 B, C, D, E, F, G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A. 192 种B. 336 种C. 600 种D. 624 种【解析】由题意，点E F, G分别有4, 3, 2种涂法，(1)当力与尸相同时，力有1种涂色方法，此时/有2种涂色方法，①若。
排列组合中的涂色问题
分析：依题意至少要用3种颜色
3.根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻 区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加 法原理求出不同涂色方法总数。
例4.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内， 每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可 以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
4.根据相间区使用颜色的种类分类
例5如图， 6个扇形区域A、B、C、D、E、F，现给这6个区域着色， 要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色， 现有4种不同的颜色可有多少种方法？
• 二、点的涂色问题 方法：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，
（2）根据相对顶点是否同色分类讨论， （3）将空间问题平面化，转化成区域涂色
问题。
四、面涂色问题 例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6
个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的 涂色方案共有多少种？
分析：显然，至少需要3三种颜色，由于有多种不同情况， 仍应考虑利用加法原 理分类、乘法原理分步进行讨论
知识回顾 Knowledge Review
排列组合中涂色问题一、源自域涂色问题1.根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理 染色问题的基本方法。
例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的 各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不 同颜色，则不同的涂色方法有多少种？
分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法， 接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此 ④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有
5434 240
2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种 情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
高中数学课件6-2排列组合之专题二：涂色问题
课堂小结
1.环状涂色问题涂法总数公式: an (1)n (m 1) (m 1)n (n≥2，m≥3)
探究新知
问题：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种, 允许同一种颜色使用多次, 但相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有多少 种？
解: 按地图A, B, C, D四个区域依次分四步完成: 第一步,m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步,m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种,
(其中 n为不同区域数, m为不同颜色数)
2.用 m 不同颜色涂 n 棱锥的顶点涂法总数公式: an m[(1)n (m 2) (m 2)n ] (n≥3，m≥4)
解: 因为 n=6, m=5, 由公式得
an (1)n (m 1) (m 1)n
(1)6 (5 1) (5 1)6
4 46 = 4100
A
F
B
E PC D
巩固练习
1.现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要 求公共边的两块不能用同一种颜色，共有____2_6_0____种不同着色 方法 .
2.(2008年全国)如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现
有 4种不同的花供选种，要在每块花坛里种一种花，且相邻的两
块 种不同的花，则不同的种法总数为( B )
A.96
B.84
C.60
D.48
A
D
B
C
典例分析
例2 (2003年高考题)如图，一个地区分为5个行政区域，现
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排列组合中区域涂色问题
排列组合中的区域涂色问题技巧性强，方法灵活多变，一直是选修2-3中的教学难点问题。
本文对部分常见区域涂色问题的解题规律做一下探讨。
区域涂色问题，应当从使用多少种颜色入手，分类讨论。
再每一类中（若有必要），再根据两个不相邻区域是否同色分小类讨论。
最后再根据分类加法计数原理求出所有方法种数。
例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？
分析：当使用4中颜色涂色时，方法种数为4
5A ；当使用3中颜色时，分两类：①④同色或者②④同色，方法种数为3
52A 。
可以这样给学生解释：①④同色，相当于①④合并成了一个区域，这样的话原本的四个区域变成了3个区域，故涂色方法种数为3
5A 。
根据
分类分类加法原理，所有涂色方法总数为43
55
2A A +。
例2、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？
分析：依题意，可分为3种颜色或4中颜色两类。
①当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，区域3与5必须同色，（相当于5个区域合并成了4个区域）故有
3
4
A 种；
②当用四种颜色时，若区域2与4同色，则区域3与5不同色，有4
4A 种；若区域3
与5同色，则区域2与4不同色，有4
4A 种，故用四种颜色时共有2
4
4A 种。
最后，由加法
原理可知满足题意的着色方法共有
34
A +2
4
4A =24+2⨯24=72
例3、用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
分析：可把问题分为三类：
①涂四中颜色：四格涂不同的颜色，方法种数为
4
5A ；
②涂三种颜色：有且仅两个区域相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为
1254
2C A ；
③涂两种颜色：两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为2
5A ，
因此，所求的涂法种数为
212
255452260
A C A A ++=
例4、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类： （1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有4
4A ； （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ； （4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ； （5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ； 所以根据分类加法原理得涂色方法总数为54
4A =120
例5、将一个四棱锥S ABCD -的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？
分析：可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？ ①
②
③
④ ⑤
⑥。
①若恰用三种颜色，，此时只能A 与C 、B 与D 分别同色，故有3
560A =种方法。
②若恰用四种颜色染色， A 、C 同色，有45A 种染法； D 、B 同色也有4
5A 种染法，共
有4
52240A =种方法。
③若恰用五种颜色染色，有5
5120A =种染色法
例6、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD 的四条边，每条边只涂一种颜色 ，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
①使用四颜色共有
4
4A 种
②使用三种颜色涂色，则必须将一组对边染成同色，故有3
42A 种， ③使用二种颜色时，则两组对边必须分别同色，有2
4A 种
因此，所求的染色方法数为
411224423484
A C C A A ++=种
例7、用六种颜色给正四面体A BCD -的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共
顶点的棱涂不同的颜色，问有多少种不同的涂色方法？ 解：（1）若恰用三种颜色涂色，则每组对棱必须涂同一颜色，而这三组间的颜色不同，故有3
6A 种方法。
（2）若恰用四种颜色涂色，则三组对棱中有二组对棱的组内对棱涂同色，但组与组之间不同色，故有2
4
36C A 种方法。
（3）若恰用五种颜色涂色，则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色，故有1
5
36C A 种方法。
（4）若恰用六种颜色涂色，则有6
6A 种不同的方法。
综上，满足题意的总的染色方法数为40806
65613462336=+++A A C A C A 种。
例8、四棱锥P ABCD -，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法？
<=>
解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，如图，区域1、2、3、4相当于四个侧面，区域5相当于底面；根据共用颜色多少分类：
①若用3种颜色，即1与3同色、2与4同色，此时有3
4A 种；
②若用4种颜色时，1与3同色、2与4两组中只能有一组同色，此时有14
24C A ；
故满足题意总的涂色方法总方法交总数为314
42472
A C A +=
说明：文中所用例题均来自互联网，经本人改编加工后形成本文。
向原作者致敬。
B
C。