全等三角形

一、选择题
1.（优质试题·滨州）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，
∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC ＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】∵∠AOB=∠COD，∴∠AOC=∠BOD，又∵OA=OB，OC=OD，∴△AOC ≌△BOD，∴AC=BD，故①正确；∵△AOC≌△BOD，∴∠MAO=∠MBO，如图，设OA与BD相交于N，又∵∠ANM=∠BNO，∴∠AMB=∠AOB=40°，故②正确；如图，过点O分别作AC和BD的垂线，垂足分别是E，F，∵△AOC≌△BOD，AC=BD，∴OE=OF，∴MO平分∠BMC，故④正确；在△AOC中，∵OA＞OC，∴∠ACO＞∠OAC，∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC=∠OBD，∴∠ACO＞∠OBM，在△OCM 和△OBM中，∠ACO＞∠OBM，∠OMC=∠OMB，∴∠COM＜∠BOM，故③错误，所以①②④正确．故选B．
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二、填空题
16．（优质试题·嘉兴）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合，AC＝12cm．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F 同时从点C出发沿射线BC方向滑动．当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为cm；连接BD，则△ABD的面积最大值为cm2．
【答案】24-
【解析】∵AC＝12cm，∠A＝30°，∠DEF＝45°,
∴BC＝4cm，AB＝8cm，ED＝DF＝6cm,
如图，当点E沿AC方向下滑时，得△E'D'F'，过点D'作D'N⊥AC于点N，作D'M ⊥BC于点M,
∴∠MD'N＝90°，且∠E'D'F'＝90°,
∴∠E'D'N＝∠F'D'M，且∠D'NE'＝∠D'MF'＝90°，E'D'＝D'F',
∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS）,
∴D'N＝D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM,
∴CD'平分∠ACM,
即点E沿AC方向下滑时，点D'在射线CD上移动，
∴当E'D'⊥AC时，DD'值最大，最大值＝ED﹣CD＝（12﹣6）cm,
∴当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长＝2×（12﹣6）＝（24﹣12）cm.
如图，连接BD'，AD'，
∵S△AD'B＝S△ABC+S△AD'C﹣S△BD'C,
∴S△AD'B＝BC×AC+×AC×D'N﹣×BC×D'M＝24+（12﹣4）×D'N,
当E'D'⊥AC时，S△AD'B有最大值，
∴S△AD'B最大值＝24+（12﹣4）×6＝（24+36﹣12）cm2．
故答案为：（24﹣12），（24+36﹣12）.
18．（优质试题·株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，在直线x ＝1处放置
反光镜I ，在y 轴处放置一个有缺口的挡板II ，缺口为线段AB ，其中点A(0，1)，点B 在点A 上方，且AB ＝1，在直线x ＝﹣1处放置一个挡板III ，从点O 发出的光线经反光镜I 反射后，通过缺口AB 照射在挡板III 上，则落在挡板III 上的光线的长度为．
第18题 【答案】32
【解析】如图，落在挡板III 上的光线的长度为MN 的长度,对应的反光镜I 的边界点分别为点P 和点Q ，根据光线的折射，入射角等于反射角可得∠OPF=∠APF,从而证明△APF ≌△OPF ，所以AO=2AF=2OF ，∴AF=12
,同理△AQB ≌△AQO,AB=AO=1，所以NE=2，∵AQ ⊥y 轴，∴PQ=AF=
1
2,
由题意知，△AEM ≌△AQP ，所以ME=PQ=1
2,
所以MN=NE-ME=2-12=3
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三、解答题
23．（优质试题·武汉，23，20分）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB n
=，M是BC
BC
上一点，连接AM
（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN （2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q
①如图2，若n＝1，求证：CP BM
=
PQ BQ
②如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值（用含n的式子表示）
【解题过程】
（1）证明：延长AM 交CN 于点H ， ∵AM 与CN 垂直，∠ABC ＝90°，
∴∠BAM ＋∠N ＝90°，∠BCN ＋∠N ＝90°， ∴∠BAM ＝∠BCN ． ∵n ＝1，∠ABC ＝90°， ∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CBN ． ∴△ABM ≌△CBN ， ∴BM ＝BN ．
（2）①证明：过点C 作CD //BP 交AB 的延长线于点D ，则AM 与CD 垂直． 由（1），得BM ＝BD ．
∵CD //BP ，∴CP DB PQ
BQ
=，即CP BM PQ
BQ
=
②1n
提示：延长PM 到N ，使得MN ＝PM ，易知△PBM ≌△NCM ，则∠CNM ＝∠BPM ＝90°，∵AB n BC
=，BC ＝2BM ，∴
2AB
n BM
=，设PM ＝MN ＝1，则PB ＝CN ＝2n ，tan ∠
BPQ ＝tan ∠NCP ＝PN CN
＝2PM CN ＝
2
2n ＝1n
图3
图2
图1
A
Q B
M
P
C
P
Q B M
A
C
M
N B A
C
21．（优质试题·益阳）已知，如图，AB ＝AE ，AB ∥DE ，∠ECB=70°，∠D=110°，求证:△ABC ≌△EAD.
第21题图
【解题过程】证明：由∠ECB=70°得∠ACB=110°. ∵∠D=110°， ∴∠ACB=∠D. ∵AB ∥DE ， ∴∠CAB=∠E. 又∵AB=AE ， ∴△ABC ≌△EAD.
19．（优质试题·黄冈）如图，ABCD 是正方形，E 是CD 边上任意一点，连接AE ，作BF⊥AE ，DG⊥AE ，垂足分别为F ，G.求证：BF －DG ＝FG.
H
图1
M
N B A
C
D
图2
P
Q M
A
C
N
图3
A
Q B
M
P
C
【解题过程】
20．（优质试题安徽）如图，点E 在□ABCD 内部，AF ∥BE ，DF ∥CE. （1）求证：△BCE ≌△ADF ；
（2）设□ABCD 的面积为S ，四边形AEDF 的面积为T ，求T
S
的值.
【解题过程】解：（1）证明：如图1，延长FA 与CB 交于点M ，∵AD ∥BE ，
∴∠FAD=∠M ，又∵AF ∥BE ，∴∠M=∠EBC ，∴∠FAD=∠EBC ，同理得∠FDA=
∠ECB ，
在△BCE 和△ADF 中，∵∠EBC=∠FAD ，BC=AD ，∠ECB=∠FDA ，
∴△BCE ≌△ADF ； ………………4分
E F
C
B A
D。