第五章 内压薄壁容器的应力分析

应力分析是强度设计中首先要解决的问题
第一节 回转壳体的应力分析
一、薄壁容器及其应力的特点
（二）薄壁容器的应力特点 1、筒体的主要部分两向应力。 设备的主体部分应力状态。 薄膜应力——定量计算（※） 2、除有两向应力外，增加封 头的弯曲作用。应力复杂。 边缘应力——定性分析

m
当圆筒容器承受内压力P作用以后，其直径要稍微增大，故圆 筒内的“环向纤维”要伸长，因此在筒体的纵截面上必定有应 力产生，此应力称为环向应力，以 表示；
第五章 内压薄壁容器的应力分析
主要介绍回转壳体的概念、应力分析，结论薄 膜应力理论的推导和应用。
第一节 回转壳体的应力分析
一、薄壁容器及其应力的特点
薄壁容器

Di 0.1 或 K D0 Di 1 .2
容器的厚度与其最大截面圆的内径之 比小于0.1的容器称为薄壁容器。 （超出这一范围的称为厚壁容器）
例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 ,
s R
1 K lim s 0 s R
M s R M
曲率K 的计算公式
设曲线弧 y f ( x) 二阶可导, 则由
tan y ( 设
得

arctan y
d (arctan y) d x
R
ΔR
ΔR R<< 误差允许
第一节 回转壳体的应力分析
二、概念和基本假设
（二）应力分析的基本假定 2、直法线假设：曲面上任意一点的法线在受力后与受力前是 同一条直线。计算角度的基准不变，减少角度的微分量。
θ
第一节 回转壳体的应力分析
二、概念和基本假设
（二）应力分析的基本假定 3、不挤压假设：壳体在膨胀后纤维互相不挤压，在法线方向 不存在应力。三向应力状态可以简化为两向应力状态，即平面 问题。
由于容器两端是封闭的，在承受内压后，筒体的“纵向纤维” 也要伸长，则筒体横向截面也有应力产生，此应力称为径向应 力，以 m 表示。
第一节 回转壳体的应力分析
二、概念和基本假设
（一）概念 1、回转壳体：平面内平滑曲线绕平面内固定轴线旋转 360°形成的壳体。没有拐点
第一节 回转壳体的应力分析
N z mD sin
Pz N z 0
pR2 m 2
第一节 回转壳体的应力分析
四、环向应力计算公式——微体平衡方程式 已求得经向应力σm=pR2/2δ，求环向应力，取小微分体，如 图所示。 1 K' σ m 2 K' K1 σ m
σ θ σ θ σ m
1 θ
K2
2 θ σ θ
图3-6 确定环向应力微元体的取法
微元体abcd 的受力
m 上下面：
内表面：p
环向截面：
图5-7 微小单元体的应力及几何参数
2、回转壳体的经向环向应力分析
图3-8 回转壳体的环向应力分析
内压力p在微体abcd上所产生的外力 的合力在法线n上的投影为Pn 在bc与ad截面上经向应力 的合力 m 在法线n上的投影为Nmn 在ab与cd截面上环向应力 的合力 在法线n 上的投影为 Nn
第一节 回转壳体的应力分析
二、概念和基本假设
（一）概念 7、纬线：过回转轴上一点做 母线的垂线，以该垂线为母线， 壳体回转轴为轴，所形成的锥 面与壳体的割（交）线。
第一节 回转壳体的应力分析
二、概念和基本假设
（一）概念 7、纬线与平行圆（垂直于回转轴的平面与壳体的割线叫 平行圆）
纬线
平行圆
第一节 回转壳体的应力分析
二、概念和基本假设
mm 中间面
（一）概念 3、中间面：指与壳体的 内外表面等距的曲面。
第一节 回转壳体的应力分析
二、概念和基本假设
（一）概念 4、母线：指形成回转壳体的平面曲线。
第一节 回转壳体的应力分析
二、概念和基本假设
经线
（一）概念 5、经线： 通过回转轴 的平面与一 侧回转面的 割（交）线。
过M点与回转轴作一平面，即MAO平面，称为经线
平面。在经线平面上，经线AB’上M点的曲率半 径称为第一曲率半径，用R1表示 ； 过M点作一与回转轴垂直的平面，该平面与回转 轴的交线是一个圆，称为回转曲面的平行圆，也 称为纬线，此平行圆的圆心一定在回转轴上； 过M点再作一与经线AB’在M点处切线相垂直的平 面，该平面与回转曲面相交又得一曲线，这一曲 线在M点的曲率半径称为第二曲率半径，用R2表 示；
Pn pdl1 dl2
N mn d 1 2 m Sdl2 sin 2
Nn
d 2 2 Sdl1 sin 2
根据法线n方向上力的平衡条 件，得到
Pn
N mn
Nn = 0
sin = 代入式（3-8） ，并对各项均除以 ，整理得 2 R 22 2 2 d 2 d 2 dl Sdl 1 dl 2 sin = 式（3-8） ，并对各项均除以 ，整理得 2 R2 2 2
) 2 2

d K ds
又 故曲率计算公式为
y K 2 32 ( 1 y )
曲率圆与曲率半径
设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点
y
D( , )
M 处作曲线的切线和法线, 在曲线
的凹向一侧法线上取点 D 使
C

M ( x, y)
T
1 o x DM K 把以 D 为中心, 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的
PR2
PD
2 D R1 ， R2 r 2
1
2
讨论1：薄壁圆筒上开孔的有利形状
筒长为L 周长为K
σ θ σ m σ θ
图3-10 薄壁圆筒上开孔
σ m
① 环向应力是经向应力 的2倍，所以环向承受应 力更大，环向上就要少削 弱面积，故开设椭圆孔时， 椭圆孔之短轴平行于筒体 轴线，见图
Sdl 1 dl 2
d 1 d 2 即 pdl dl 即 -2 Sdl1 sin =0 （式 （3-8 ） 1 2 - 2 m Sdl2 sin 1） 2 2 dd d 2 d 11 与 2 因为微体的夹角 很小，因此取 dl 2 2 m Sdl2 sin -2 Sdl1 sin =0 （3-8） 2 2 dl1 d d 1 d d d1 和 d 2 1很小，可取 微元体的夹角 1 2 dSdl = 体的夹角 m Sdl2 sind 1 与 -2 =0 sin （3-8） 2 很小，因此取 1 sin 2 R1 2 2 2 2 dl1 d 1 d 1 角d 1 与d 2 很小，因此取 sin = d 2 d 2 dl 2 2 R sin 2 2 = 1 dl d 1 d 1 2 R2 1 2 2 sin = d dl d 2 1 dl 2 Sdl 2 22 R1 2 2
σ m
δ
σ θ σ θ
第一节 回转壳体的应力分析
三、经向应力的计算公式—区域平衡
pR2 m 2
1、截面法
m——经向应力，MPa
p ——工作压力，MPa
R2 ——第二曲率半径，mm
——壁厚，mm
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用假想截面将壳体沿经线的法线方向切开，即平行圆直径D 处有垂直 于经线的法向圆锥面截开，取下部作脱离体，建立静力平衡方程式。
第二节 薄膜理论的应用
区域平衡方程式
pR2 m 2
m
R1
微体平衡方程式

R2

p

一、受气体内压的圆筒形壳体
D 图3-9 受气体内压的圆筒形壳体 R ，R r pR2 PD 由区域平衡方程式 m pR2 = PD D 由区域平衡方程式 = 2 4 m R1 ， R2 r 2 4 2 p m m p pR 代入微体平衡方程式 代入微体平衡方程式 ，得 ，得 PD 由区域平衡方程式 = RR R 1 2 R2 1 2 S 4S PR 2 PD = pPR = PD 2 = 2 = 代入微体平衡方程式 ，得 R R S 2
第一节 回转壳体的应力分析
二、概念和基本假设
（一）概念 5、经线： 指出任意点 的经线。
第一节 回转壳体的应力分析
二、概念和基本假设
A
（一）概念 6、法线：通过曲面上的一 点并垂直于曲面的直线称 为曲面在该点的法线。
B
第一节 回转壳体的应力分析
二、概念和基本假设
（一）概念 6、法线：指出任意 点的法线。
讨论2：介质与压力一定，壁厚越大，是否应力就越小
PD P PD P ② m = = ， = = ， 4 4 / D 2 2 / D 所以应力与 δ/D 成反比，不能只看壁厚大小。
二、概念和基本假设
（一）概念 8、第一曲率半径R1：过该点的经线在该点的曲率半径。
第一曲率半径
O Ｍ Ｍ Ｍ O N
第一节 回转壳体的应力分析
二、概念和基本假设
（一）概念 9、第二曲率半径R2：过该点垂直于经过该点经线的平面与壳 体的割（交）线在该点的曲率半径。
Ｍ K2 K2
Ｍ K2
Ｍ
过M点可作无数平面，每一平面与回转曲面相交均有交线，每条交 线都在M点有不同的曲率半径，但我们只关心下面三个：
式1各项均除以 ） ，并对各项均除以
整理得 ，整理得
m
R1


R2

p

五、薄膜理论的适用条件
无力矩理论是在旋转薄壳的受力分析中忽略了弯矩的作用。 此时应力状态和承受内压的薄膜相似，又称薄膜理论。
• 回转壳体曲面在几何上是轴对称,壳体厚度无突变；曲 率半径是连续变化的，材料是各向同性的，且物理性能 （主要是E和μ）应当是相同的 • 载荷在壳体曲面上的分布是轴对称和连续的 • 壳体边界的固定形式应该是自由支承的 • 壳体的边界力应当在壳体曲面的切平面内，要求在边界 上无横剪力和弯矩 • δ/Di≤0.1

若自K2点向回转曲面作一个与回转曲面正交的圆锥面，则该圆锥面
与回转曲面的交线也是一个圆——纬线；

就普通回转体而言，用与轴线垂直的平面截取得到的壳体截面与用
上述圆锥面截取得到的壳体截面是不一样的，前者是壳体的横截面，
并不能截出壳体的真正厚度(圆柱形壳体除外)，而后者称为壳体的 锥截面，截出的是回转体的真正壁厚； 第一曲率半径R1的简单求法：经线的曲率半径； 第二曲率半径R2的简单求法：经线到回转轴的距离。
曲率圆 , 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心.
第一节 回转壳体的应力分析
二、概念和基本假设
（一）概念 例题：求圆筒，圆锥，圆球上A、B、C点的第二曲率半径。
A B C D D D
x
第一节 回转壳体的应力分析
二、概念和基本假设
（二）应力分析的基本假定 把工程实际中的对结果影响较小因素忽略，以简化理论分 析的复杂性。——工程思想 1、小位移假设：受内压膨胀变形量与半径之比可以忽略不 记。简化微分阶数。
第一节 回转壳体的应力分析
三、经向应力的计算公式—区域平衡
思考：为什么不能用横截面？
⒈Z轴上的合力为Pz
Pz

4
D2 p
图5-5 回转壳体上的径向应力分析
⒉作用在截面上应力的合力 在Z轴上的投影为Nz ⒊在Z 方向的平衡方程

4 D 2 p mD sin 0 D R2 2 sin D 2 R2 sin
二、概念和基本假设
（一）概念 1、回转壳体：（1）曲线有拐点 （2）回转轴不固定
回转轴
第一节 回转壳体的应力分析
二、概念和基本假设
（一）概念 2、轴对称：指几何形状、约束条件、所受外力对称于回转 轴。即：同一纬度上各点的应力状态相同，便于设计。
σ θ
Ｐ
σ m σ θ
σ m Ｐ
第一节 回转壳体的应力分析
a b
R2=a? R2=b?
R2=a
曲率及其计算公式
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线 转角为 , 定义 弧段 s 上的平均曲率
K s
点 M 处的曲率
M
M s
d K lim s 0 s ds
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
δ
σ θ
dl1 dl2
σ m
m
R1


R2

p
m ——经向应力,MPa
——环向应力，MPa

p ——工作压力.MPa
R1 ——第一曲率半径，mm
R2 ——第二曲率半径,mm
——壁厚，mm
1、截取微元体
截面1 截面2 截面3 壳体的内外表面 两个相邻的，通过壳 体轴线的 经线平面 两个相邻的，与壳体 正交的园锥法截面