A3沪科版九年级数学上相似三角形典型例题练习

相似三角形的判定

一．知识点讲解 1. 相似三角形的定义

（1）相似三角形定义：如果两个三角形的对应角相等、对应边成比例，我们就称这两个三角形相似。

如图所示，ABC ∆与DEF ∆相似,记作“ABC ∆∽DEF ∆”，读作ABC ∆相似于DEF ∆ 。

（2）相似比：相似三角形对应边长度的比叫做相似比。

（3）注意：①如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例。 ②相似三角形相似比是有顺序的。

③全等三角形是特殊的相似三角形，但相似三角形不一定是全等三角形。 ④用字母表示两个三角形相似时，应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

2.平行线截三角形相似的定理

（1）平行线截三角形相似的定理：

平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。 （2）数学表达式： BC DE //Θ ABC ∆∴∽DEF ∆

3.相似三角形的判定定理

（1）判定定理1：AA 文字语言

数学语言

图形

如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（简记为：两角分别相等的两个三

角形相似。）

//,B B A A ∠=∠∠=∠Θ

ABC ∆∴∽///C B A ∆

（2）判定定理2：SAS 文字语言

数学语言 图形

如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且

夹角相等，那么这两个三角形相似。 （简记为：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。） /

////,A A C

A AC

B A AB ∠=∠=且Θ

ABC ∆∴∽/

//C B A ∆

（3）判定定理3：SSS 文字语言

数学语言 图形

如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

（简记为：三边成比例的两个三角形相似。） /

/////C B BC

C A AC B A AB =

=Θ

ABC ∆∴∽///C B A ∆

（4）判定定理4：HL 文字语言

数学语言 图形

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似。

（简记为：三边成比例的两个三角

形相似。）

/

/////C

B BC

C A AC B A AB ==Θ

ABC ∆∴∽///C B A ∆

4.相似三角形的基本类型

相似三角形

的基本类型

A字型

8字型

双垂直型

一线三等角型

一线三等角型是以等腰三角形或者等边三角形为背景，三个等角的顶点在同一直线

上，其中3

2

1∠

=

∠

=

∠，可根据6

4

180

2

,5

4

180

1∠

-

∠

-

=

∠

∠

-

∠

-

=

∠ο

ο，得图

中两个阴影部分三角形相似。

一线三垂直型

5.相似三角形判定思路

判定思路

有平行截线①平行线截三角形相似的定理

②用平行线的性质，找等角

有一组等角①找另一对等角

②找该角的两边对应成比例

直角三角形①找一组锐角相等

②两组边对应成比例

等腰三角形①找顶角相等

②一组底角相等

③底和腰对应成比例

有两组边对应成比例①夹角相等

②第三组边也对应成比例

③有一组直角

二．考点讲解

考点1：利用相似三角形的定义判定两三角形相似

1. 如图所示，在ABC ∆中，BC DE //. （1

）求AB AD ,AC AE ,BC

DE

的值； （2）ADE ∆与ABC ∆相似吗？为什么？

考点2：利用相似三角形的定义确定相似比

2. 如图，已知OAC ∆∽OBD ∆,且4=OA ,2=AC ,2=OB .求：（1）OAC ∆与OBD ∆

的相似比；（2）BD 的长。

变式练习：如图所示，ABC ∆∽ACD ∆,下列式子不成立的是（ ）

A.

CD BC AC AB = B.AC AB AD AC = C.AB AD AC ⋅=2 D.AD

AC

BC AB =

考点3：利用平行线识别相似三角形

3.如图所示，在▱ABCD 中，BE 交AC ，CD 于G ，F ，交AD 的延长线于E ，则图中的相似三角形有（ ）

A ．3对

B ．4对

C ．5对

D ．6对

变式练习：如图，△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形的对数是（ ）

A ．1对

B ．2对

C ．3对

D ．4对

考点4：利用证相似三角形求线段的长

4.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为AD 上一点，EF 交AC 于G ，AF=2cm ，DF=4cm ，AG=3cm ，则AC 的长为（ ）

A ．9cm

B ．14cm

C ．15cm

D ．18cm

变式练习：如图，在平行四边形ABCD 中，EB AE =,2=AF ，则=FC .

考点5：利用相似三角形对应边的比相等证明线段成比例

5.如图所示，P 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上一点，AP 分别交BD 和CD 于点M 和N .求证：

MP MN AM ⋅=2.

变式练习：如图，在梯形ABCD 中，CD AB //，且CD AB 2=,点E ，F 分别是BC AB ,的中点，EF 与BD 相交于

点M .（1）求证：EDM ∆∽FBM ∆; （2）若9=DB ，求BM 的长。

考点6：利用两角分别相等证明两三角形相似

6.如图所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于点E ，交BC 的延长线于点F 。求证：ABF ∆∽CAF ∆.

变式练习:如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在BC ，AB 上，且∠ADE=60°．求证：△ADC∽△DEB．

考点7：利用相似三角形证明等积式

7.如图所示，在ABC ∆中，ο90=∠BAC ,BC 的垂直平分线交BC 于点D ,交AB 于E ,交CA 的延长线于F .求证：DF DE DA ⋅=2.