A3沪科版九年级数学上相似三角形典型例题练习

相似三角形的判定一．知识点讲解 1. 相似三角形的定义（1）相似三角形定义：如果两个三角形的对应角相等、对应边成比例，我们就称这两个三角形相似。

如图所示，ABC ∆与DEF ∆相似,记作“ABC ∆∽DEF ∆”，读作ABC ∆相似于DEF ∆ 。

（2）相似比：相似三角形对应边长度的比叫做相似比。

（3）注意：①如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例。

②相似三角形相似比是有顺序的。

③全等三角形是特殊的相似三角形，但相似三角形不一定是全等三角形。

④用字母表示两个三角形相似时，应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

2.平行线截三角形相似的定理（1）平行线截三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。

（2）数学表达式： BC DE //Θ ABC ∆∴∽DEF ∆3.相似三角形的判定定理（1）判定定理1：AA 文字语言数学语言图形如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（简记为：两角分别相等的两个三角形相似。

）//,B B A A ∠=∠∠=∠ΘABC ∆∴∽///C B A ∆（2）判定定理2：SAS 文字语言数学语言 图形如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

（简记为：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

） /////,A A CA ACB A AB ∠=∠=且ΘABC ∆∴∽///C B A ∆（3）判定定理3：SSS 文字语言数学语言 图形如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

（简记为：三边成比例的两个三角形相似。

） //////C B BCC A AC B A AB ==ΘABC ∆∴∽///C B A ∆（4）判定定理4：HL 文字语言数学语言 图形如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似。

（简记为：三边成比例的两个三角形相似。

）//////CB BCC A AC B A AB ==ΘABC ∆∴∽///C B A ∆4.相似三角形的基本类型相似三角形的基本类型A字型8字型双垂直型一线三等角型一线三等角型是以等腰三角形或者等边三角形为背景，三个等角的顶点在同一直线上，其中321∠=∠=∠，可根据641802,541801∠-∠-=∠∠-∠-=∠οο，得图中两个阴影部分三角形相似。

一线三垂直型5.相似三角形判定思路判定思路有平行截线①平行线截三角形相似的定理②用平行线的性质，找等角有一组等角①找另一对等角②找该角的两边对应成比例直角三角形①找一组锐角相等②两组边对应成比例等腰三角形①找顶角相等②一组底角相等③底和腰对应成比例有两组边对应成比例①夹角相等②第三组边也对应成比例③有一组直角二．考点讲解考点1：利用相似三角形的定义判定两三角形相似1. 如图所示，在ABC ∆中，BC DE //. （1）求AB AD ,AC AE ,BCDE的值； （2）ADE ∆与ABC ∆相似吗？为什么？考点2：利用相似三角形的定义确定相似比2. 如图，已知OAC ∆∽OBD ∆,且4=OA ,2=AC ,2=OB .求：（1）OAC ∆与OBD ∆的相似比；（2）BD 的长。

变式练习：如图所示，ABC ∆∽ACD ∆,下列式子不成立的是（ ）A.CD BC AC AB = B.AC AB AD AC = C.AB AD AC ⋅=2 D.ADACBC AB =考点3：利用平行线识别相似三角形3.如图所示，在▱ABCD 中，BE 交AC ，CD 于G ，F ，交AD 的延长线于E ，则图中的相似三角形有（ ）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对变式练习：如图，△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形的对数是（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对考点4：利用证相似三角形求线段的长4.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为AD 上一点，EF 交AC 于G ，AF=2cm ，DF=4cm ，AG=3cm ，则AC 的长为（ ）A ．9cmB ．14cmC ．15cmD ．18cm变式练习：如图，在平行四边形ABCD 中，EB AE =,2=AF ，则=FC .考点5：利用相似三角形对应边的比相等证明线段成比例5.如图所示，P 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上一点，AP 分别交BD 和CD 于点M 和N .求证：MP MN AM ⋅=2.变式练习：如图，在梯形ABCD 中，CD AB //，且CD AB 2=,点E ，F 分别是BC AB ,的中点，EF 与BD 相交于点M .（1）求证：EDM ∆∽FBM ∆; （2）若9=DB ，求BM 的长。

考点6：利用两角分别相等证明两三角形相似6.如图所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于点E ，交BC 的延长线于点F 。

求证：ABF ∆∽CAF ∆.变式练习:如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在BC ，AB 上，且∠ADE=60°．求证：△ADC∽△DEB．考点7：利用相似三角形证明等积式7.如图所示，在ABC ∆中，ο90=∠BAC ,BC 的垂直平分线交BC 于点D ,交AB 于E ,交CA 的延长线于F .求证：DF DE DA ⋅=2.变式练习：已知：如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OBOE=,连接DE。

求证：BEDE⊥；（2）如果CDOE⊥，求证：DECDCEBD⋅=⋅.考点8：利用两边对应成比例夹角相等判定两个三角形相似8.如图，在△ABC中，已知AB=AC，D、E、B、C在同一条直线上，且AB2=BD•CE，求证：△ABD∽△ECA．变式练习：如图所示，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且PCBP3=,Q是CD的中点。

求证：ADQ∆∽QCP∆考点9：利用三边对应成比例判定三角形相似9.如图，已知O是△ABC内一点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点．求证：△ABC∽△DEF．变式练习：如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A ． B ． C ． D ．考点10：利用直角三角形相似的判定方法判定两直角三角形相似10.已知在ABCRt∆与///CBARt∆中，ο90/=∠=∠CC,cmAB6=，cmAC8.4=，cmBA5//=，cmCB3//=。

求证ABC∆∽///CBA∆.变式练习：在ABCRt∆和FEDRt∆中，ο90=∠C，10=AB,8=AC，ο90=∠D，5=EF，当=DF时，ABCRt∆∽FEDRt∆.三．基础题型讲解基础题型1：添加条件来说明三角形相似1.如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．AB2=AP•AC D．CBACBPAB=变式练习:如图，21∠=∠，添加一个条件，使得ADE∆∽ACB∆基础题型2：寻找图形中相似三角形的对数2.如图，在平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC,边AD分别交于点E，F。

过点E作BCEG//,交AB于点G，则图中相似三角形有（）A.4对B.5对C.6对D.7对变式练习：如图所示，P为线段AB上一点，AD与BC交于E,BACPD∠=∠=∠,BC交PD于F,AD交PC于G，则图中相似三角形有（）A.1对B.2对C.3对D.4对基础题型3：相似三角形判定定理的应用3.如图所示，在ABC∆中，CEBD,是高，（1）求证：ADE∆∽ABC∆。

（2）若EC与BD交于点O，则OED∆∽OBC∆.变式练习：如图所示，Rt△ABC 中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D 在BC 上运动（不能到达点B ，C ），过点D 作∠ADE=45°，DE 交AC 于点E ．（1）求证：△ABD∽△DCE； （2）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．基础题型4：与相似三角形有关的分类讨论题4. 如图所示，点P 是锐角三角形ABC 中AB 边上的一点，过点P 作直线（不与直线AB 重合）截ABC ∆，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有 条。

变式练习：如图所示M 是ABC Rt ∆的斜边BC 上异于C B ,的一定点，过点M 作直线截ABC ∆,使截得的三角形与ABC ∆相似，这样的直线共有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条基础题型5：相似三角形与函数的综合题5.如图所示，在正方形ABCD 中，2=AB ,P 是BC 边上与点C B ,不重合的任意一点，AP DQ ⊥于点Q ，（1）试说明DAQ ∆∽APB ∆；（2）当点P 在BC 上运动时，线段DQ 也随之变化。

设y DQ x PA ==,，求y 与x 之间的函数表达式。

变式练习：如图所示，ABC ∆为正三角形，E D ,分别是BC AC ,上的点（不在顶点），ο60=∠BDE .（1）求证：DEC ∆∽BDA ∆;（2）若正三角形的边长为4，并设x DC =，y BE =，试求y 与x 之间的函数表达式。

四．拔高题型讲解拔高题型1：利用“三点定形法”找相似的三角形解决问题1.已知：如图所示，CD 是ABC Rt ∆斜边AB 上的高，E 为CB 的中点，ED 的延长线交CA 的延长线于点F 。

求证：DF CB CF AC ⋅=⋅.拔高题型2:利用相似三角形的知识解决与反比例函数有关的问题2. 如图所示，AOB ∆是直角三角形，ο90=∠AOB ，OA OB 2=，点A 在反比例函数xy 1=的图像上。

若点B 在反比例函数xky =的图像上，则k 的值为（ ） A.-4 B.4 C.-2 D.2 3．如图，一条直线与反比例函数y ＝xk的图象交于A （1，4）、B （4，n ）两点，与x 轴交于D 点，AC⊥x 轴，垂足为C ．（1）如图甲，①求反比例函数的解析式；②求n 的值及D 点坐标；（2）如图乙，若点E 在线段AD 上运动，连接CE ，作∠CEF=45°，EF 交AC 于F 点． ①试说明△CDE∽△EAF；②当△ECF 为等腰三角形时，直接写出F 点坐标．拔高题型3：利用相似三角形的判定和定义建立函数关系4.如图所示，在矩形ABCD 中，m AB =，8=BC ，E 为线段BC 上的动点（不与点C B ,重合），连接DE ,过点E 作DE EF ⊥,EF 与线段BA 交于点F ，设x CE =，y BF =。